数学复习-方程和方程组

方程和方程组

基础知识点：

一、方程有关概念

1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程

1、一元一次方程

(1)一元一次方程的标准形式：a x+b=O (其中x是未知数，a、b是已知数，0)

(2)一玩一次方程的最简形式：a x=b (其中x是未知数，a、b 是已知数，a* 0)

(3)解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为

1。

(4)一元一次方程有唯一的一个解。

2、一元二次方程

(1)一元二次方程的一般形式：a x2 bx c 0 (其中x是未知数，

a、b、c是已知数，a* 0)

(2)一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法

(3)一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。

(4)一元二次方程的根的判别式：b2 4ac

当4> 0时方程有两个不相等的实数根；

当厶=0时方程有两个相等的实数根；

当厶< 0时方程没有实数根，无解；

当0时方程有两个实数根

(5)—元二次方程根与系数的关系：

一2 b 若x1, x2是一兀二次方程ax bx c 0的两个根，那么：x1x2

a c

x x2

a

(6 )以两个数x「X2为根的一元二次方程(二次项系数为1 )是：

x2 (x-1 x2)x x1x20

三、分式方程

(1)定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

(2)分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

特殊方法：换元法。

(3)检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

四、方程组

1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。

2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组

3、一次方程组： （1）二元一次方程组：

一般形式：

3 x by c

(

a 1, a 2,

b 1 ,b 2, C 1 ,C 2 不全为 0)

a 2x

b 2y C 2

解法：代入消远法和加减消元法

解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。 （2）三元一次方程组： 解法：代入消元法和加减消元法 4、二元二次方程组：

（1） 定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两个二元二 次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。

（2） 解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一次方程组。 考点与命题趋向分析 例题：

一、一元二次方程的解法 例1、解下列方程：

1 2 2 2 2

（1）2（x 3）

2 ；（2）2x 3x 1 ；（ 3）

4（x 3） 25（x 2）

分析：（1）用直接开方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法 解：略

2

［规律总结］如果一元二次方程形如 （x m ） n （n 0），就可以用直接开方法来解； 利用公

式法可以解任何一个有解的一元二次方程， 运用公式法解一元二次方程时， 一定要把方程化

成一般形式。

例2、解下列方程：

（1） x 2 a （3x 2a b ） 0（ x 为未知数）；（2） x 2 2ax 8a 2 0

分析：（1）先化为一般形式，再用公式法解；

（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。

［规律总结］对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用公式法时要注意 判断△的正负。

二、分式方程的解法： 例3、解下列方程：

分析：（1）用去分母的方法；（2）用换元法 解：略

［规律总结］一般的分式方程用去分母法来解，一些具有特殊关系如：有平方关系，倒数关系 等的分式方程，可采用换元法来解。 三、根的判别式及根与系数的关系

例4、已知关于x 的方程：（p 1）x 2 2px p 3 0有两个相等的实数根，求

p 的值。

2

(2)—

6x x 2 2

5

分析：由题意可得 =0，把各系数代入 =0中就可求出P ,但要先化为一般形式。

［规律总结］对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有要特别留意二次项系数不能为 0

例5、已知a 、b 是方程x 2 v 2x 1 0的两个根，求下列各式的值：

（1）a 2 b 2 ；（2）--

a b

分析：先算出a+b 和ab 的值，再代入把（1）（ 2）变形后的式子就可求出解。

［规律总结］此类题目都是先算出两根之和和两根之积，再把要求的式子变形成含有两根之和 和两根之积的形式，再代入计算。但要注意检验一下方程是否有解。 例6、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程 x 2 x 5 0的两个根小3

分析：先出求原方程的两根之和

x 1 x 2和两根之积 x 1x 2再代入求出（论 3） （x 2 2）和

（X i 3）（X 2 3）的值，所求的方程也就容易写出来。解：略

［规律总结］此类题目可以先解出第一方程的两个解，但有时这样又太复杂，用根与系数的关 系就比较简单。 三、方程组

例7、解下列方程组：

x y 2z 1

2x 3y 3

（1）

；

（ 2） 2x y z 5

x 2y 5

x y 3z 4

分析：（1 ）用加减消元法消x 较简单；（2）应该先用加减消元法消去 y ,变成二元一次方程 组，较易求解。解：略 ［规律总结］加减消元法是最常用的消元方法，消元时那个未知数的系数最简单就先消那个未 知数。 例8解下列方程组:

分析：（1 ）可用代入消远法，也可用根与系数的关系来求解；

（2）要先把第一个方程因式分

解化成两个二元一次方程，再与第二个方程分别组成两个方程组来解。解：略

［规律总结］对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般用代入消元法， 对

于两个二元二次方程组成的方程组， 一定要先把其中一个方程因式分解化为两个一次方程再 和第二个方程组成两个方程组来求解。

(1)

x y 7 xy 12

(2)

c

2

3x xy 2 2

x y

4y 2 25

3x 4y