数学归纳法+直接证明与间接证明
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数学归纳法+直接证明与间接证明
题型一：数学归纳法基础
1、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111111112(
)
2
3
4
1
2
4
2n n n n
-+-++
=+
++
-++ 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）
时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （） A ．1+=k n 时等式成立
B ．2+=
k n 时等式成立
C ．2
2+=k n
时等式成立 D ．)2(2+=k n 时等式成立
2、已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）
时命题为真，，则还需证明（ ）
A.n=k+1时命题成立
B. n=k+2时命题成立
C. n=2k+2时命题成立
D. n=2（k+2）时命题成立
3、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=
k n 时命题也成立. 现已知当7
=n 时该命题不成立，那么可推得（）
A ．当n=6时该命题不成立
B ．当n=6时该命题成立
C ．当n=8时该命题不成立
D ．当n=8时该命题成立 4、利用数学归纳法证明
“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k
n =”变到
“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k
B
1
12++k k C
1
)
22)(12(+++k k k D
1
32++k k
5、用数学归纳法证明),1(1112
2
*
+∈≠--=
++++N n a a
a
a a
a n n
，在验证
n=1时，
左边计算所得的式子是（ ）
A. 1
B.a +1
C.21a a ++
D. 421a a a +++
典例分析
6、用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++ )
)(12(31*
∈+⋅⋅⋅⋅N n n ，从“k
到k+1”左端需乘的代数式是（ ）
A.2k+1
B.)12(2+k
C.1
12++k k D.1
32++k k
7、用数学归纳法证明：1+2
1+3
1+)1,(,1
21>∈<-+
*
n N n n n
时，
在第二步证明从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ） A.k 2 B.12-k
C.12-k
D.12+k
8、设)
1()2()1()(-++++=n f f f n n f ，用数学归纳法证明
“)()1()2()1(n nf n f f f n =-++++
”时，第一步要证的等式是
9、用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ”（+∈N n ）时，从 “n k =到1n k =+”时，左边应增添的式子是 10、用数学归纳法证明不等式
24
1312
11
1>++
+++
+n
n n n 的过程中，由k 推
导到k+1时，不等式左边增加的式子是 11、是否存在常数c b a ,,是等式2
222242
1(1)2(2)()n n n n n an bn c
⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-=++对一
切)*N n ∈成立？证明你的结论。
题型二：证明整除问题
1、若存在正整数m ，使得)(93)72()(*∈+-=N n n n f n 能被m 整除，则m =
2、证明：)(,)3(1*∈+-N n x n 能被2+x 整除
3、已知数列{}n
a 满足1
201
a
a ==，，当*n ∈N 时，2
1n n n
a
a a ++=+．
求证：数列{}n
a 的第41(*)m m +∈N 项能被3整除．
4、用数学归纳法证明：7
31(*)
n
n n +-∈N 能被9整除．
题型三：证明恒等式与不等式 1、证明不等式11112
3
21
2
n
n +
+
++
>
-……（n N *
∈）
2、是否存在常数a 、b 、c ，使等式)
(12
)1()1(322
12
2
22
c bn an n n n n +++=
+++⋅+⋅ 对一切正整数n 都成立？证明你的结论
题型四：数列中的数学归纳法 1、已知数列{}n a 中，11,02
n n
n n
a S a a =
+
->，求数列{}n a 的通项公式.
2、由正实数组成的数列{}n
a 满足：2
112n
n n a
a a n +-=
≤，，，．证明：对任意*n ∈N ，
都有1n
a n
<
．
3、在数列{}n
a 中，若它的前n 项和1(*)
n
n S
na n =-∈N ．
⑴计算1
234
a
a a a ，，，的值；
⑵猜想n
a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．