最新常微分方程第二版答案第6章6-1知识点复习考点归纳总结参考

习 题 6-1

1． 求出齐次线性微分方程组

y t A dt

dy

)(=的通解，其中A （t ）分别为： （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。

（1）方程组的分量形式为：

211y y dt dy += ，22y dt

dy

= 从后一式容易求出2y 的通解为 t ke y =2 ，其中K 为任意常数，可分别取02=y 和

t e y =2，代入前一式得到两个相应的特解，t e y =1和 t te y =2这样就求得方程组的一个解矩阵为

()0

t t t e te t e ⎛⎫Φ=

⎪⎝⎭

又 2det ()0t

t e Φ=≠ 。因此，)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，根据定理6.1 ,方程的通解为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛t t t e te c e c y y 21210

（2）方程的分量形式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-==122

1

y dt

dy y dt dy

由①、②可和 21

120d y y dt

+=

由观察法知，t y cos 1=，t y sin 1=为此方程的两个特解，将其代入②式可得两个相应的特解，将其代入②式可得两个相应的特解：2sin y t =-，2cos y t =。这样就

求得方程组的一个解矩阵为 cos int ()int cos t s t s t ⎛⎫

Φ= ⎪-⎝⎭

又 []01)(det ≠=Φ=t ，因此

)(t Φ中方程组的一个基解矩阵。故方程组的通解为1122cos int

int cos y t s c c y s t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=+ ⎪ ⎪

⎪-⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

① ②

（3）程组的分量形式为：⎪⎩⎪

⎨⎧='='='13

22

31y

y y y y y 解 ①+③得

3131)(y y y y dt d

+=+ 解 ①-③得 1313()d

y y y y dt

-=- 解之得 131132 t t y y k e y y k e --+=-=

由④、⑤可得 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=----t

t t t t t t t e c e c e k e k y e c e c e k e k y 312.133121121

21 又由②得 t e c y 22=

由此可求得方程组的一个解矩阵

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-=Φ--t t t t t

e e e e e t 0

00

0)( 显然，[]0)(det ≠-=Φt ze t ，因此)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，故方程组的通解为

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪

⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t t e t e e c e c e e c y y y 0000321321

3．试证向量函数组 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 ，⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛00x ，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛002x 在任意区间 b x a <<上线性相关，则存在

不全为零的三个常数 321,,c c c 使得

,000000012321=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x c x c c 即 b x a x c x c c <<=++0

2321①而①式之左端是一个不高于二

次的多项式，它最多只可能有二个零点，同此这与①式在b x a <<上恒等于零矛盾，从而得证。

①

② ③

4．试证基解矩阵完全决定齐次线性方程组即如果方程组

y x A dx

dy

)(=与y x B dx

dy

)(= 有一个相同的基解矩阵，则 )()(x B x A =

证：设这两个方程组的相同基解矩阵为 )(x Φ那么，必有 []0)(det ≠Φt ,故)(x Φ可逆,设逆矩阵为)(1x -Φ,同而

1

()()()d A x x B x dx

-Φ=

Φ= 证毕

6．设当b x a <<时，非齐次线性方程组

()()dy

A x y f x dx

=+（1）中的()f x 不恒为零。证明（1）有且至多有 n+1个线性无关解。

证 设)(),(1x y x y n 是方程组（1）的相应齐次方程组的n 个线性无关的解，)(x ϕ是（1）任意一个特解，则 )()(,),()(),()(21x x y x x y x x y n ϕϕϕ+++

是(1)的n+1个线性无关解.这是因为,若存在常数 121,,,+n n k k k k 使得

()()0)()()()()(111≡++++++x k x x y k x x y k n n n ϕϕϕ 则一定有 1210n n k k k k +==== 否则有

1

1121

121

()()()n

n n n k k x y x y x k k k k k k ϕ++--=

+

+

++++++

这与)(x ϕ为(1)的解矛盾，因此，0121≡++++n n k k k k 假设可知021==-==n k k k 故01=+n k ，所以（1）n+1个线性无关的解。

又设 )(x ϕ是（1）在(a,b)上的任一解，12

1 n y y y +是（1）的n+1个线性无关的

解， 那么，),()(1x y x -ϕ2()(),

,x y x ϕ-)()(1x y x n +-ϕ 是(1)的对应齐次方程组

y x A dx

dy

)(= （2） 的解，而（2）最多有n 个线性无关的解，所以必存在不全为零的常数,,,,121+n k k k 使得 ),(b a x ∈

()()0))(()()(112211≡-+-+-++n n y x k y x k y x k ϕϕϕ