最新常微分方程第二版答案第6章6-1知识点复习考点归纳总结参考

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常微分方程第六、八章习题答案

常微分方程第六、八章习题答案

第六章 线性微分方程组、习题6-11.求出齐次线性微分方程组y t A dt dy)(=的通解,其中分别为:)(t A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎩⎨⎧=⇒==⇒=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t C t C C C t t C t t y y y t t ty y y t y t C t C y y y tC y t C y y y y y dt d t t t y t dy t y dt dy t t t t 212121212121212211211121110000.00,0,0.,00;0,00)(A .12211或通解为则方程组的基解矩阵为或取故通解为解:由)( .0.0)(,,0.,1011,1011)(A .2212112221212121C e te e y e te e t ey te y y e y eC y y y y y y y y dt d t t t t t tt t t t t dt dy dt dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=⇒=+=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=或通解为则方程组的基解矩阵为取解:由)(φCt t t t y t t t t t ty t y t y t y C y y dy y dy y y y dy dy y y y y y y dt d t dt dy dt dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧====+⇒=+⇒-=⇒⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=sin cos cos sin .sin cos cos sin )(,sin cos ,cos sin ,1.C 0.,0110;0110)(A .3212122212211122112212121故通解为则方程组的奇解矩阵为并令取解:由)(φ.0000.021000,,1,0,0,,0C ()()(..)()(,001010100,001010100)(A .4321212121313123212223213311133111223321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==±=⇒=⇒=+=⇒=⇒=⇒⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---==⇒=---=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------t t t t t t t t t t t t t t ttt t t tttt t t t t t t ttt t t dt dy tdt dy dtdy e e e C e e C e e C y e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e y C y C e y e y e y e y y y y y C y y dy y dy y y y dy dy b a b y eC y y a y y dt dy t 故通解为线性无关即为方程祖的三个解。

高等数学6章常微分方程

高等数学6章常微分方程
设 y uxe Pxdx

y
u x e
P x dx
uP x e
P x dx
代入(1)中有:
uxeP xd xuxP xeP xdxPxuxePxdx Qx
Qxuxe
Pxdx
,即:u
x
Q x e
P xdx
ux
Qxe
Pxdx
d
xC,从而,
y uxe Pxdx
e
P xdx
Q x e
可化为
y x
的函数
y x
,即:
f
x,
y
y x
,称
该方程为齐次方程.
如: x y y 2 d x x 2 2 x d y 0 y
可化为:dy
dx
xy y 2 x2 2xy
y x
y x
1 2
2
y x
由齐次方程的形式:dy
dx
y x
得其解法为:
对于
dy dx
y x
,令 u
当 y 0 时,原方程有解: y 0 当 p 0 ,即 y 0 时,原方程有解: y C
显 然 此 二 解 是 (*) 式 分 别 当 C2 0 和 C2 C,C1 0 时的特殊情形.

d2x dt 2
,
x
代入方程
d2x dt 2
k
2
x
0
得:
k2C 1co k ts C 2sikn tk 2 C 1co k s tC 2sikn t 0
即:x
C1
cos kt
C2
sin
kt

d2x dt 2
k
2
x

高数应用数学 第6章 常微分方程

高数应用数学 第6章  常微分方程

dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2gh dt,
100 cm
(200h h2 )dh 0.62 2gh dt,
即为未知函数的微分方程.
可分离变量
dt (200 h h3 )dh, 0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
代入M t0 M0 得 M0 Ce0 C ,
M M0et
衰变规律
例4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流
出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满 了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与 孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.
解 由力学知识得,水从孔口流出的 流量为
一、问题的提出
数学知 识
基本科 学原理
微分 方程
例 1 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,当制动
时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动后多少时间列
车才能停住?以及列车在这段时间内行驶了多少路程?
解: 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2
0.4
t 0时, s 0,v ds 20, dt
2.微分方程的解的分类:
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数 的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y,
通解 y Ce x;
y y 0, 通解 y C1 sin x C2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.

【总结】常微分方程知识总结

【总结】常微分方程知识总结

(1) 概念微分方程:一般,凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。

微分方程的阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。

如: 一阶:2dyx dx= 二阶:220.4d sdt=-三阶:32243x y x y xy x ''''''+-=四阶:()4410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式:()(),,,,0n F x y y y'= 。

这里的()ny 是必须出现。

(2)微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间上有阶连续导数,如果在区间上,()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '= 的解。

注:一个函数有阶连续导数→该函数的阶导函数也是连续的。

函数连续→函数的图像时连在一起的,中间没有断开(即没有间断点)。

导数→导函数简称导数,导数表示原函数在该点的斜率大小。

导函数连续→原函数的斜率时连续变化的,而并没有在某点发生突变。

函数连续定义:设函数()y f x =在点的某一邻域内有定义,如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点连续。

左连续:()()()000lim x x f x f x f x --→==左极限存在且等于该点的函数值。

右连续:()()()000lim x x f x f x f x ++→==右极限存在且等于该点的函数值。

在区间上每一个点都连续的函数,叫做函数在该区间上连续。

如果是闭区间,包括端点,是指函数在右端点左连续,在左端点右连续。

函数在点连续()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=(3)微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫微注:任意常数是相互独立的:它们不能合并使得任意常数的个数减少。

《常微分方程》第六章 非线性微分方程

《常微分方程》第六章 非线性微分方程

定理6.1 (稳定性的Liapunov判别法) 设有定义在 D Rn
上的定正(定负)函数 V (x), dV dt
(6.2)
表示 V (x) 沿系统(6.2)的轨线
的全导数
dV (1) 若 dt (6.2)
dV (2) 若 dt (6.2)
在 D 上是常负(常正)的,则 x 0 是稳定的; 在 D 上是定负(定正)的,则 x 0 是渐近稳定的;
称为 x 0 吸引域;如果吸引域是全空间,则称 x 0 是全局渐近
稳定的.
(3) 若 0 0, 0, 都 x0 与 t1 t0 , 使 x0 ,
但 x(t;t0, x0 , 则称 x 0 是不稳定的;
例如, 微分方程 dx ax
dt
满足初值条件 x(t0 ) x0 ,
(a)
(b)
又知,对任意常数,函数x cos(t ), y sin(t ), 也是方程组的解,它的积分曲线是经过(,1, 0)的螺旋
线,但是它们与解x cos t, y sin t有同一条轨线 x2 y2 1.
同是,我们也可以看出, x cos(t ), y sin(t )
(6.1)称为非自治系统, (6.2)称为自治系统,
6.1.1 非自治系统与自治系统的主要区别
自治系统不论是在相空间还是增广相空间,轨线匀不相交. 而非自
治系统在增广相空间积分曲线不相交,但在相空间轨线可能相交.
定义6.1 若存在 x* D 使 f (x*) 0, 则点 x* 称为系统(6.2)
的解为
x x0ea(tt0 ) .
6.3 判定稳定性的Liapunov函数法
定义6.3 设 D x x H Rn,V C(1) (D).

高数答案(全集)第六章参考答案

高数答案(全集)第六章参考答案

高数答案(全集)第六章参考答案第六章常微分方程1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性3. (1)-(3)均为微分方程0222=+y dxy d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得dx ydy cos 2= 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1c x y +-=此外,还有解0=y(2)分离变量,得dx x x y y d xx dx dy y y )111(1)1(2112222+-=+++=+或两边积分,得cx x y ln )1ln(ln )1ln(212++-=+即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2x(3)将变量分离,得1122=-+-yydy xxdx积分得通解21x -+)20(12还有使因子21x -?012=-y 的四个解.x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2)ex2dx-[]0)1( )e y +(1y=+-dy yex2dx=dy y y ??++-2y11 (e 积分得--=y e e y x arctan 212)1ln(212y +-21(5)令 z=x+y+1,z dx dz sin 1+=分解变量得到dx zdz=+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到dz z z z se dz zzdz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 1222-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c22z-∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(214++-∏y x )6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0分离变量得du x dx 1)-u(u u 22-=,即得y 3=c(2y -2x ) 7. 令xy u =,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2222cx x x y +=由定解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y +=8. 将方程化为x y xyy +-='2)(1,令x yu =,得,u u x y +'=代入得dx x du u 1112=- 得c x u ln ln arcsin +=,cx xyln arcsin= 9.化为x e x y dx dy x =+,解得)(1xe c xy +=,代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10.由公式得1)()(-+=-x ce y x ??11.化为x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令xyu =,则原方程化为dx dy y dx du 2--= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得12])(ln 21[1--=x c x y 另为,0=y 也是原方程的解 12.为贝努里方程令x yu =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x解得1122+-=-x cey x13.23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dxdy-=- 22212+-=-y ce z y ,得通解1)2(2212=+--y cex y14.令x y N x y M +-=-=4,32有xNy M ??==??1,这是全微分方程0=duxy x y dy x y dx x y u y x +--=---=?32),()0,0(22)4()3(,即方程得通解为c y x xy =--232 15.化为0122=+-+xdx yx xdy ydx ,得通解为c x xy xy =+-+211ln 16.该方程有积分因子221y x +,)(arctan ))ln(21(2222x y d y x d y x ydx xdy xdy ydx ++=+-++ 17.1c e xe dx e xe e xd dx xe y xx x xx x+-=-==='?21211)2()(c x c x e c e xe x c e dx c e xe y x x x x x x ++-=+-++-=+-=?18.xx x dx x x y x1ln 32ln 12--=+=''? 2ln ln 213)1ln 3(21---=--='?x x x dx x x x y x 21ln 2223)2ln ln 213(2212+--=---=?x x x x dx x x x y x19.令y z '=,则xz z =-',xx x dxdx e c x c e x e c dx xe e z 111)1(])1([][++-=++-=+??=--?即x e c x y 1)1(++-='得2121c e c x y x ++--=20.令p y =',则dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==''所以0)(2323=+-=+-p p dy dp y p p p dy dp p y 则得p=0或02=+-p p dy dp y,前者对应解,后者对应方程y dy p p dp =-)1(积分得y c pp11=-即y c y c p dx dy 111+==两边积分得21||ln c x y c y '+='+,因此原方程的解是21||ln c x y c y '+='+及y=c 。

《高等数学》第6章常微分方程

《高等数学》第6章常微分方程

y x2 4 4 x2
想一想
一电机开动后,每分钟温度升高10 C,同时将按冷却定律不断发散
热量.设电机安置在15 C恒温的房子里,求电机温度与时间t的函
数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的 概念及分类;掌握二阶常系数齐 次、非齐次线性微分方程的求解 方法及分类;能够灵活运用公式 解决实际问题.
Cx x 1,两边积分得 : Cx 1 x 12 C.因此原方程通
2 解为 :
y
1 2
x
12
C x
12
1 2
x
14
Cx
12
(C为任意常数).
2. 求微分方程y 2 y x满足条件y2 0的特解.
x
解:先解方程y 2 y 0 dy 2 dx,两边积分得y Cx2.
方程. 这类方程的求解一般分为两步:
1 分离变量:化原方程为 dy f (x)dx的形式;
g( y)
2 两边积分: gd(yy) f (x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例题
1. 求微分方程 dy 2xy的通解.
dx
解:分离变量为dy
y
2 xdx, 两边积分得
dy y
2xdx ln
同时,C1,C2为任意常数,故y C1ex C2e2x是微分方程的通解.
将条件代入通解中, 得CC11
C2 0 2C2 1
CC12
1 .
1
故所求特解为: y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明,有一块土地正在沙化,并且 沙化的数量正在增加,其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知,每年沙化土地的增长率 是绿地的 1 ,现有土地10万亩,试求沙化土地与

常微分方程第二版答案第6章6-

常微分方程第二版答案第6章6-

习 题 6-11. 求出齐次线性微分方程组 y t A dtdy )(=的通解,其中A (t )分别为: (1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ;(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0110)(t A ;(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。

(1)方程组的分量形式为:211y y dt dy += ,22y dtdy = 从后一式容易求出2y 的通解为 t ke y =2 ,其中K 为任意常数,可分别取02=y 和 t e y =2,代入前一式得到两个相应的特解,t e y =1和 t te y =2这样就求得方程组的一个解矩阵为()0tt t e te t e ⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭又 2det ()0t t e Φ=≠ 。

因此,)(t Φ是方程组的一个基解矩阵,根据定理6.1 ,方程的通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t t e te c e c y y 21210(2)方程的分量形式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-==1221y dtdy y dt dy 由①、②可和 21120d y y dt += 由观察法知,t y cos 1=,t y sin 1=为此方程的两个特解,将其代入②式可得两个相应的特解,将其代入②式可得两个相应的特解:2sin y t =-,2cos y t =。

这样就求得方程组的一个解矩阵为 cos int ()int cos t s t s t ⎛⎫Φ= ⎪-⎝⎭又 []01)(det ≠=Φ=t ,因此)(t Φ中方程组的一个基解矩阵。

故方程组的通解为1122cos int int cos y t s c c y s t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ① ②(3)程组的分量形式为:⎪⎩⎪⎨⎧='='='132231y y y y y y 解 ①+③得3131)(y y y y dtd +=+ 解 ①-③得 1313()d y y y y dt -=- 解之得 131132 t t y y ke y y k e --+=-=由④、⑤可得 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=----tt t t t t t t e c e c e k e k y e c e c e k e k y 312.133******** 又由②得 t e c y 22=由此可求得方程组的一个解矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Φ--t t t t te e e e e t 0000)( 显然,[]0)(det ≠-=Φt ze t ,因此)(t Φ是方程组的一个基解矩阵,故方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t t e t e e c e c e e c y y y 00003213213.试证向量函数组 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00x ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002x 在任意区间 b x a <<上线性相关,则存在不全为零的三个常数 321,,c c c 使得,000000012321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x c x c c 即 b x a x c x c c <<=++02321①而①式之左端是一个不高于二次的多项式,它最多只可能有二个零点,同此这与①式在b x a <<上恒等于零矛盾,从而得证。

第6章常微分方程初值问题的解法

第6章常微分方程初值问题的解法
yk 1ykh 2 k[f(xk,yk)f(xk 1,yk 1)]
ykh 2 k[ (ykx k 1 ) ( yk 1x k 1 1 )]
yk11 29 1yk1k05110
预估-校正Euler方法:
y k 1 0 .90 y k 5 0 .00 k 9 0 .1 5
20
Euler方法
xk
yk
yk y(xk)
0.0 1.000000
0.0
梯形方法
yk
yk y(xk)
1.000000
0.0

预估-校正方法
yk
yk y(xk)
1.000000
0.0
0.1 1.000000 0.2 1.010000
4.8×10-3 8.7×10-3
1.004762 1.018594
y(0) 1
其解析解为: y1xe-t2dt x[0,1] 0 很难得到其解析解
4
例如:
y=x+y , x[0,1]

y(0) 1
其解析解为 yx12ex
只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式 表示的函数解,而大量的微分方程问题很难得到其解析解。
因此,只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
例如:
y=x+y , x[0,1]

y(0) 1
其解析解为:yx12ex
3
但是, 只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析 表达式表示的函数解,而大量的微分方程问题很难得到其解 析解。
因此,只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
例如:
y =e-x2 ,
x[0,1]
7.5×10-5 1.4×10-4

《高等数学》 各章知识点总结——第6章

《高等数学》 各章知识点总结——第6章

第6章 微分方程总结1.可分离变量微分方程一阶微分方程y '=ϕ(x , y ) 或M(x)N(y )dx +P(x)Q(y )dy =0能写成 g (y )dy =f (x )dx 两边积分可得通解。

2.齐次微分方程dyy()dx x =φ,令x yu =, 即y =ux , 有)(u dx dux u ϕ=+, 得⎰⎰=-x dxu u du)(ϕ。

3.一阶线性微分方程(1)齐次线性 0)(=+y x P dx dy 用分离变量法可求得通解P(x)dxy Ce -⎰=。

(2)非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy=+ 由齐次方程常数变易法可得通解])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-。

4.伯努利方程n y x Q y x P dx dy)()(=+ (n ≠0, 1),以y n 除方程的两边, 得 )()(1x Q y x P dx dyy n n =+--令z =y 1-n , 得线性方程 )()1()()1(x Q n z x P n dx dz-=-+.5.可降阶的高阶微分方程(1)y (n )=f (x ) :积分n 次 1)1()(C dx x f y n +=⎰-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-,⋅ ⋅ ⋅.(2)y ''= f (x , y '):设y '=p(x) , 则方程化为 p '=f (x , p )。

(3)y ''=f (y , y '):设y '=p(y), dy dpp dx dydy dpdx dpy =⋅=='',原方程化为 ),(p y f dy dpp =6.二阶常系数线性微分方程(1)二阶常系数齐次线性微分方程: y ''+py '+qy =0(2)二阶常系数非齐次线性微分方程: y ''+py '+qy =f (x )先求对应齐次方程y''+py'+qy=0的通解,再加上非齐次方程的一个特解;(a)f(x)=P m(x)eλx型,特解:y*=x k Q m(x)eλx,其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式,而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2。

《常微分方程》知识点整理

《常微分方程》知识点整理

dyydy1.(变量分离方程)形如dx 《常微分方程》复习资料f (x )ϕ( y )(1.1)的方程,称为变量分离方程,这里 f (x ),ϕ( y ) 分别是 x , y 的连续函数.dy解法:(1)分离变量,当ϕ( y ) ≠ 0 时,将(1.1)写成ϕ( y )= f (x )dx ,这样变量就“分离”了;(2)两边积分得⎰ ϕ( y ) = ⎰f (x )dx + c (1.2),由(1.2)所确定的函数 y = ϕ(x , c ) 就为(1.1)的解.注:若存在 y 0 ,使ϕ( y 0 ) = 0 ,则 y = y 0 也是(1.1)的解,可能它不包含在方程(1.2)的通解中,必须予以补上.dyy2.(齐次方程)形如 = g ( ) 的方程称为齐次方程,这里 g (u ) 是u 的连续函数.dx x解法:(1)作变量代换(引入新变量) u = ,方程化为 xdu = g (u ) - u ,(这里由于 dx x dy = x du dx dx + u ); (2) 解以上的分离变量方程; (3) 变量还原.3.(一阶线性微分方程与常数变异法)一阶线性微分方程 a (x ) dy dx+ b (x ) y + c (x ) = 0 在 a (x ) ≠ 0 的区间上可写成dy= P (x ) y + Q (x ) (3.1),这里假设 P (x ), Q (x ) 在考虑的区间上是 x 的连续函数.若 Q (x ) = 0 ,则(3.1)变为 dx dy= P (x ) y (3.2),(3.2)称为一阶齐次线性方程.若Q (x ) ≠ 0 ,则(3.1)称为一阶非齐次线性方程. dx解法:(1)解对应的齐次方程 dy= P (x ) y ,得对应齐次方程解 y = ce ⎰ p ( x ) dx , c 为任意常数;dx(2)常数变异法求解(将常数c 变为 x 的待定函数c (x ) ,使它为(3.1)的解):令 y = c (x )e ⎰p ( x )dx为(3.1)的解,则dy = dc (x ) e ⎰ p ( x )dx + c (x ) p (x )e ⎰ p ( x )dx ,代入(3.1)得 dc (x )= Q (x )e -⎰ p ( x )dx ,积分得c (x ) = ⎰ Q (x )e -⎰ p ( x )dx + c ; dx dx dx(3)故(3.1)的通解为 y = e ⎰p ( x )dx(⎰ Q (x )e -⎰ p ( x )dxdx + c ) .4.(伯努利方程)形如dy = P (x ) y + Q (x ) y n 的方程,称为伯努利方程,这里 P (x ), Q (x ) 为 x 的连续函数.dx解法:(1)引入变量变换 z = y1-n,方程变为dz = (1- n )P (x )z + (1- n )Q (x ) ;dx(2) 求以上线性方程的通解; (3) 变量还原.5.(可解出 y 的方程)形如 y =dyf (x , dy) (5.1)的方程,这里假设 f (x , y ') 有连续的偏导数. dx解法:(1)引进参数 p = ,则方程(5.1)变为 y = dxf (x , p ) (5.2);(2) 将(5.2)两边对 x 求导,并以 dy = p 代入,得 p = ∂f + ∂f ∂p(5.3),这是关于变量 x , p 的一阶微分方dx ∂x ∂p ∂x程;(3)(i )若求得(5.3)的通解形式为 p = ϕ(x , c ) ,将它代入(5.2),即得原方程(5.1)的通解 y =f (x ,ϕ(x ,c )) ,c 为任意常数;=⎩⎩ ⎩dy ⎩dy ⎩ ⎧x =ψ ( p , c )(ii )若求得(5.3)的通解形式为 x =ψ ( p , c ) ,则得(5.1)的参数形式的通解为⎨y =,其中f (ψ ( p , c ), p )p 是参数, c 是任意常数;⎧Φ(x , p , c ) = 0(iii ) 若求得(5.3)的通解形式为Φ(x , p , c ) = 0 ,则得(5.1)的参数形式的通解为⎨ y = f (x , p ),其中 p是参数, c 是任意常数.6.(可解出 x 的方程)形如 x =dyf ( y , dy ) (6.1)的方程,这里假设 f ( y , y ') 有连续的偏导数. dx解法:(1)引进参数 p = ,则方程(6.1)变为 x = dxf ( y , p ) (6.2);(2) 将(6.2)两边对 y 求导,并以 dx = 1 代入,得 1 = ∂f +∂f ∂p(6.3),这是关于变量 y , p 的一阶微分方 dy p p ∂y ∂p ∂y程;⎧x = f ( y , p )(3)若求得(6.3)的通解形式为Φ( y , p , c ) = 0 ,则得(6.1)的参数形式的通解为⎨Φ( y , p , c ) = 0 ,其中 p 是参数, c 是任意常数.7.(不显含 y 的方程)形如 F (x , dy) = 0 的方程,这里假设 F (x , y ') 有连续的偏导数. dx解法:(1)设 p =,则方程变为F (x , p ) = 0 ;dx⎧x = ϕ(t )(2)引入参数t ,将 F (x , p ) = 0 用参数曲线表示出来,即⎨⎩ ,(关键一步也是最困难一步); =ψ (t )(3) 把 x = ϕ(t ) , p =ψ (t ) 代入 dy = pdx ,并两边积分得 y =⎰ψ (t )ϕ'(t )dt + c ;⎧⎪x = ϕ(t )(4) 通解为⎨⎪ y = ⎰ ψ (t )ϕ'(t )dt + c . 8.(不显含 x 的方程)形如 F ( y , dy) = 0 的方程,这里假设 F ( y , y ') 有连续的偏导数.dx解法:(1)设 p = ,则方程变为 F ( y , p ) = 0 ; dx⎧ y = ϕ(t )(2)引入参数t ,将 F ( y , p ) = 0 用参数曲线表示出来,即⎨ p =ψ ,(关键一步也是最困难一步); (t )dyϕ'(t )(3)把 y = ϕ(t ) , p =ψ (t ) 代入 dx = p ,并两边积分得 x = ⎰ ψ dt + c ;(t )⎧x = ϕ'(t )⎪ (4)通解为⎨dt + c ψ (t ) . ⎪⎩y = ϕ(t ) 9.( F (x , y(k ), , y (n -1) , y n ) = 0(k ≥ 1) 型可降阶高阶方程)特点:不显含未知函数 y 及 y ', , y (k -1) .p ⎰解法:令y(k ) =z(x) ,则y(k +1) =z',y(n)=z(n-k ) .代入原方程,得F (x, z(x), z'(x), , z(n-k ) (x)) = 0 .若能求得z(x) ,1 = +⎰x ⎪ 0n 0 ⎰⎪ ⎨ dx将 y(k )= z (x ) 连续积分 k 次,可得通解.10.( y(n )= f ( y , y (k ) , , y (n -1) ) 型可降阶高阶方程)特点:右端不显含自变量 x .' '' = dp dy dP ''' 2 d 2p dP 2 解法:设 y = p ( y ) ,则 y = P , y = P + P ( ) , ,代入原方程得到新函数 P ( y ) 的(n -1) 阶 dy dx dy dy 2dydy dy方程,求得其解为 dx = P ( y ) = ϕ( y , C 1, , C n -1 ) ,原方程通解为⎰ ϕ( y , C , , Cn -1 )= x + C n .11.(恰当导数方程)特点:左端恰为某一函数Φ(x , y , y ', , y (n -1)) 对 x 的导数,即 ddxΦ(x , y , y ', , y (n -1) ) = 0 .解法:类似于全微分方程可降低一阶Φ(x , y , y ', , y (n -1)) = C ,再设法求解这个方程.12.(齐次方程)特点: F (x , ty , ty ', , ty (n )) = t k F (x , y , y ', , y (n ) ) ( k 次齐次函数).解法:可通过变换 y = e ⎰zdx将其降阶,得新未知函数z (x ).因为 y ' = ze ⎰zdx, y ' = (z '+ z 2)e ⎰zdx, , y(n )= Φ(z , z ', , z (n -1) )e ⎰zdx,代入原方程并消去e k ⎰ zdx ,得新函数 z (x ) 的(n -1) 阶方程 f (x , z , z ', , z (n -1)) = 0 .⎧dy13.(存在唯一性定理)考虑初值问题⎪ dx f (x , y ) (13.1),其中 f (x , y ) 在矩形区域 R : x - x≤ a , y - y≤ b 上连⎨0 0 ⎪ y (x ) = y ⎩ 0 0续,并且对 y 满足 Lipschitz 条件:即存在 L > 0 ,使对所有(x , y 1 ), (x , y 2 ) ∈ R 常成立 bf (x , y 1 ) - f (x , y 2 ) ≤ L y 1 - y 2 , 则初值问题(13.1)在区间 x - x 0 ≤ h 上的解存在且唯一,这里h = min(a ,M), M = Max ( x , y )∈R f (x , y ) .x初值问题(13.1)等价于积分方程 y y 0 0 ⎧ϕ (x ) = yf (t , y )dt ,构造Picard 逐步逼近函数列{ϕn (x )}⎨ϕ (x ) = y +f (ξ,ϕn -1(ξ ))dxx 0 ≤ x ≤ x 0 + h , n = 1, 2, .⎩x 014.(包络的求法)曲线族Φ(x , y , c ) = 0 (14.1)的包络包含在下列两方程 ⎧Φ(x , y , c ) = 0 Φ' (x , y , c ) = 0消去参数c 而得到的曲线⎩ c F (x , y ) = 0 之中.曲线 F (x , y ) = 0 称为(14.1)的c - 判别曲线.15.(奇解的直接计算法)方程 F (x , y , dy) = 0(15.1)的奇解包含在由方程组⎧F (x , y , p ) = 0 消去参数 p 而得到的曲dx ⎨F '(x , y , p ) = 0 ⎩ c线Φ(x , y ) = 0 之中,此曲线称为(15.1)的 p - 判别曲线,这里 F (x , y , p ) = 0 是 x , y , p 的连续可微函数. 注: p - 判别曲线是否为方程的奇解,尚需进一步讨论. 16.(克莱罗方程)形如 y = xdy+ f ⎛ dy ⎫(16.1)的方程,称为克莱罗方程,这里 f ''( p ) ≠ 0 . ⎪ dx ⎝ ⎭= x⎨y = xp + f ( p )⎩x (t ) x (t ) x (t ) 解法:令 p = dy,得 y = xp + f ( p ) .两边对 x 求导,并以dy= p 代入,即得 p = x dp + p + f '( p ) dp,经化简, dx得dp[x + f '( p )] = 0 . dx dpdx dx dx如果 = 0 ,则得到 p = c .于是,方程(16.1)的通解为: y = cx + f (c ) .dx如果 x + f '( p ) = 0 ,它与等式 y = xp + f ( p ) 联立,则得到方程(16.1)的以 p 为参数的解:⎧x + f '( p ) = 0或⎩⎧x + f '(c ) = 0 ⎨y = xc + f (c )其中c 为参数.消去参数 p 便得方程的一个解.17.(函数向量组线性相关与无关)设 x 1 (t ), x 2 (t ), , x m (t ) 是一组定义在区间[a , b ] 上的函数列向量,如果存在一组不全为 0 的常数c 1 , c 2 , c m ,使得对所有 a ≤ t ≤ b ,有恒等式c 1 x 1 (t ) + c 2 x 2 (t ) + + c m x m (t ) = 0 , 则称 x 1 (t ), x 2 (t ), , x m (t ) 在区间[a , b ] 上线性相关;否则就称这组向量函数在区间[a , b ] 上线性无关.⎡ x 11 (t )⎤ ⎡ x 12 (t ) ⎤ ⎡ x 1n (t ) ⎤⎢ x (t )⎥ ⎢ x (t )⎥ ⎢ x (t )⎥ 18.(Wronsky 行列式)设有 n 个定义在 a ≤ t ≤ b 上的向量函数 x (t ) = ⎢ 21 ⎥ , x (t ) = ⎢ 22 ⎥ , , x (t ) = ⎢ 2n ⎥ , 1 ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ n 1 ⎦ ⎣ n 2 ⎦ ⎣ nn⎦ x 11 (t ) x 12 (t ) x 1n (t ) x 21 (t ) x 22 (t ) x 2n (t )由这 n 个向量函数所构成的行列式W [x 1 (t ), x 2 (t ), x n (t ) W (t ) ≡称为这 n 个向量函数所构成的 Wronsky 行列式.x n 1 (t ) x n 2 (t ) x nn (t )如果向量函数 x 1 (t ), x 2 (t ), , x n (t ) 在 a ≤ t ≤ b 上线性相关,则它们的 Wronsky 行列式W (t ) ≡ 0, a ≤ t ≤ b . 19.(基解矩阵的计算公式)(1) 如果矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量v 1, v 2 , , v n ,它们相应的特征值为λ1, λ2 , , λn (不必互不相同),那么矩阵Φ(t ) = [e λ1t v , e λ2t v , , e λn tv ], -∞ < x < +∞ 是常系数线性微分方程组 x ' = Ax 的一个基解矩阵;12n(2) 矩阵 A 的特征值、特征根出现复根时(略); (3) 矩阵 A 的特征根有重根时(略).d n x d n -1 x 20.(常系数齐线性方程)考虑方程 L [x ] = dt n为n 阶常系数齐线性方程.+ a 1 dt n -1 + + a n x = 0 (20.1),其中 a 1, a 2 , a n 为常数,称(20.1)解法:(1)求(20.1)特征方程的特征根λ1, λ2 , , λk ;(2) 计算方程(20.1)相应的解:(i ) 对每一个实单根λk ,方程有解eλk t;(ii ) 对每一个 m > 1重实根λk ,方程有 m 个解: eλk t, t e λk t , t 2e λk t , , t m -1e λk t ;m m m 2 ⎨1 ⎩(iii ) 对每一个重数是 1 的共轭复数α ± β i ,方程有两个解: eαtcos β t , e αt sin β t ;(iv ) 对每一个重数是 m > 1的共轭复数αe αt cos β t , te α t cos β t , , t m -1e α t cos β t ;± βi ,方程有2m 个解: ;e αt sin β t , te αt sin β t , , t m -1e αtsin β t(3) 根据(2)中的(i )、(ii )、(iii )、(iv )情形,写出方程(20.1)的基本解组及通解.21.(常系数非齐次线性方程) y ' + py ' + qy = f (x ) 二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程 y '' + py ' + qy = 0 ,通解结构 y = Y + y .设非齐次方程特解 y = Q (x )e λ x 代入原方程 Q ''(x ) + (2λ + p )Q '(x ) + (λ 2+ p λ + q )Q (x ) = P (x )(1)若λ 不是特征方程的根, λ 2+ p λ + q ≠ 0 ,可设Q (x ) = Q (x ) , y = Q m (x )e λ x;(2)若λ 是特征方程的单根, λ 2 + p λ + q = 0 , 2λ + p ≠ 0 ,可设Q (x ) = xQ (x ) ,y = xQ m (x )e λ x;(3)若λ 是特征方程的重根, λ 2 + p λ + q = 0 , 2λ + p = 0 ,可设Q (x ) = x 2Q (x ) , y = x 2Q (x )eλ x.综上讨论,设 y = x k eλ xQ(x ) , ⎧0λ不是根⎪ λ 是单根. ⎪ λ是重根m m m k =。

第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法

第六章   二阶线性常微分方程的幂级数解法

2n
二者的任意线性组合即为通解。
求解过程中,ck+2 只与ck 有关,而与ck+1 无关,
w1(z) 是偶函数,w2(z)是奇函数。
对于 z → -z 变换, 1 ( z )
2

d w d ( z )
2
2
2( z )
dw d ( z )
l ( l 1)w 0
勒让德方程的形式不变,故 w(-z) 也是方程的解,
2 t 1 t21Fra bibliotekp t和
1 t
4
1 q t
不含 t 负幂项
1 4 5 q b4 t b5 t t
1 2 3 p 2t a 2 t a 3 t t
p z q z
2 z

a2 z
2
( 2n 1 l )( 2n 3 l )(1 l )( 2n l )( 2n 2 l ) ( 2 l )
l 1 l 1 c1 ( 2n 1)! 2 n 2 n
∴勒让德方程在
z 1
内的解就是
2
2n
w( z ) c0
w 0
p( z )
(1 ) z
z (1 z )
q( z )

z (1 z )
有限远处 p(z)、q(z) 有两个奇点, z = 0 和 z = 1 。
所以,z = 0 和 z = 1 是超几何方程的奇点,有限远处 的其它点为方程的常点。
举例
且 w(z)+w(-z) 是偶函数,w(z)-w(-z) 是奇函数。
w( z ) w( z ) c0 w1 ( z ) c1 w 2 ( z ) c0 w1 ( z ) c1 w 2 ( z ) 2c0 w1 ( z )

微积分课后习题参考答案第六章

微积分课后习题参考答案第六章

第六章 微分方程与差分方程§1微分方程的基本概念习 题 6 — 11.验证下列各题中函数是所给微分方程的解,并指出解的类型: ⑴03=+'y y x ,3-=Cx y ; 解:3-=Cx y 是03=+'y y x 的通解;⑵ax xyy +=',bx ax y +=2,其中a ,b 为常数; 解:bx ax y +=2是ax xy y +='的特解(因为b 不是任意常数);⑶()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy ,()xy y ln =;解:()xy y ln =是()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy 的特解;⑷0127=+'-''y y y ,x xe C e C y 4231+=;解:x xe C eC y 4231+=是0127=+'-''y y y 的通解;⑸x y y y 2103=-'+'',50355221--+=-x e C e C y x x. 解:50355221--+=-x e C eC y x x是x y y y 2103=-'+''的通解. 知识点:,定义6.2(若一个函数代入微分方程后,能使方程两端恒等,则称这个函数为微分方程的解)和若微分方程的解中含有独立的任意常数且个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解,不含任意常数的解称为特解。

2.在曲线族()xex C C y 221+=中找出满足条件10==x y ,10='=x y 的曲线.解:由题意得:()xe x C C C y 222122++=',∵10==x y ,10='=x y , ∴解得11=C ,12-=C , 故所求曲线为()xex y 21-=(xxe y 2=)。

高等数学-第6章-常微分方程【可编辑全文】

高等数学-第6章-常微分方程【可编辑全文】

6.3.3 形如 的y 方f 程y, y
6.4 二阶线性微分方程解的结构
6.4.1 二阶线性微分方程的一般形式 6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构 6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.1 二阶线性微分方程的一般形式
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解
6.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解
6.6 微分方程的简单应用
微分方程是利用一元微积分解决实际问题的重要数学工具.现实世 界中,能用微分方程建模研究的实际问题有很多,涉及的领域包括物理 学、化学、经济、生物、军事、资源等.下面举几个简单的例子,说明 如何运用微分方程解决实际问题.
6.3.1 形如 y'' f (x) 的方程 6.3.2 形如y'' f (x, y ') 的方程 6.3.3 形如y f y, y 的方程
6.3.1 形如 的y方'' 程f (x)
6.3.2 形如 的y''方f (程x, y ')
6.3.2 形如 的y''方f (程x, y ')
6.3.2 形如 的y''方f (程x, y ')

大学数学常微分方程第六、八章习题答案

大学数学常微分方程第六、八章习题答案

第六章 线性微分方程组、习题6-11.求出齐次线性微分方程组y t A dt dy)(= 的通解,其中分别为:)(t A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎩⎨⎧=⇒==⇒=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t C t C C C t t C t t y y y t t ty y y t y t C t C y y y tC y t C y y y y y dt d t t t y t dy t y dt dy t t 212121212121212211211121110000.00,0,0.,00;0,00)(A .12211或通解为则方程组的基解矩阵为或取故通解为解:由)( .0.0)(,,0.,1011,1011)(A .2212112221212121C e te e y e te e t ey te y y e y eC y y y y y y y y dt d t t t t t tt t t t t dt dy dt dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=⇒=+=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=或通解为则方程组的基解矩阵为取解:由)(φCt t t t y t t t t t ty t y t y t y C y y dy y dy y y y dy dy y y y y y y dt d t dt dy dt dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧====+⇒=+⇒-=⇒⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=sin cos cos sin .sin cos cos sin )(,sin cos ,cos sin ,1.C 0.,0110;0110)(A .3212122212211122112212121故通解为则方程组的奇解矩阵为并令取解:由)(φ.0000.021000,,1,0,0,,0C ()()(..)()(,001010100,001010100)(A .4321212121313123212223213311133111223321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==±=⇒=⇒=+=⇒=⇒=⇒⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---==⇒=---=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------t t t t t t t t t t t t t t ttttt tt t t t t t t t t ttt t t dt dy tdt dy dtdy e e e C e e C e e C y e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e y C y C e y e y e y e y y y y y C y y dy y dy y y y dy dy b a b y eC y y a y y dt dy t 故通解为线性无关即为方程祖的三个解。

常微分方程教程丁同仁第二版答案完整版

常微分方程教程丁同仁第二版答案完整版
y 平面上的原点出发, 沿 x 轴正方向前进; 同时某 B 从点开始跟踪 A, 即 B 与 A 永远保持等距 b.试求 B 的光滑运动轨迹. 解:设 B 的运动轨迹为 y = y ( x) ,由题意及导数的几何意义,则有
dy y ,所以求 B 的运动轨迹即是求此微分方程满足 y (0) = b 的解. =− 2 dx b − y2
7. (
y + x 2 )dx + (ln x − 2 y )dy = 0 x y 2 解: P ( x, y ) = + x Q ( x, y ) = ln x − 2 y, x ∂P 1 ∂Q 1 = , = , ∂y x ∂x x
所以

∂P ∂Q ,即 原方程为恰当方程 = ∂y ∂x
则(
y dx + ln xdy ) + x 2 dx − 2 ydy = 0 x x3 + y ln x − y 2 = C. 3
常微分方程教程(第二版)-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
5. (t 2 + 1) cos udu + 2 t sin udt = 0 解: P (t , u ) = (t 2 + 1) cos u , 则
Q(t , u ) = 2t sin u
所以
∂P ∂Q = 2t cos u , = 2t cos u , ∂t ∂x
∂Q ∂P ∂P ∂Q = 2 ,所以 = 0, ≠ ∂x ∂y ∂y ∂x
即,原方程不是恰当方程.
2. ( x + 2 y ) dx + (2 x + y ) dy = 0 解: P ( x, y ) = x + 2 y,
Q ( x, y ) = 2 x − y ,

常微分方程6

常微分方程6
6.3 奇点
李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法: 第一方法要利用微分方程的级数解,在他之后没有得 到大的发展; 第二方法是在不求方程的情况下,借助一个所谓的李 雅普诺夫函数V(x)和通过微分方程所计算出来的导数
(5.11)
的符号性质,就能直接推断出解的稳定性,因此又称为 直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法.
方程(6.34)或(6.35)满足存在唯一性定理的条件, 它们在Oxy平面 的积分曲线可看成是方程组(6.33)在Oxy相平面上的轨线。
因此,在相平面上,方程组(6.33)的轨线不能相交。
对于驻定微分方程组
dx dt
X
(x,
y),
dy
dt
Y (x,
y),
(6.33)
假设X ,Y 对x, y有连续偏导数且X 2 Y 2不恒等于零.
假设X ,Y 对x, y有连续偏导数且X 2 Y 2不恒等于零.
在可相将平方面程上组,方(6.程33组)改(6写.3成3)的轨线不能相交。
dy Y (x, y) (X (x, y) 0) (6.34) dx X (x, y)

dx X (x, y) (Y (x, y) 0) (6.35)
dy Y (x, y)
考虑线性驻定微分方程组
dx dt
ax
by,
d我们根据奇点领域内轨线分布的不同的性态来区分奇点的不同类型。 显然,坐标原点(0, 0)是(6.33)的奇点,则x 0, y 0是(6.33)的解.若
ab 0
cd 则此奇点还是唯一的。
微分方程组(6.36)可化成标准形式,其系数矩阵为下列四种形 式之一:
函数的分类
对一切x恒有V(x) 0----函数V为常正的; 对一切x 0都有V(x)>0----函数 V为定正的; -V是定正(或常正)的----V为定负(或常负)的.
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习 题 6-1
1. 求出齐次线性微分方程组
y t A dt
dy
)(=的通解,其中A (t )分别为: (1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ;(2)⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=0110)(t A ;(3)⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。

(1)方程组的分量形式为:
211y y dt dy += ,22y dt
dy
= 从后一式容易求出2y 的通解为 t ke y =2 ,其中K 为任意常数,可分别取02=y 和
t e y =2,代入前一式得到两个相应的特解,t e y =1和 t te y =2这样就求得方程组的一个解矩阵为
()0
t t t e te t e ⎛⎫Φ=
⎪⎝⎭
又 2det ()0t
t e Φ=≠ 。

因此,)(t Φ是方程组的一个基解矩阵,根据定理6.1 ,方程的通解为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛t t t e te c e c y y 21210
(2)方程的分量形式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-==122
1
y dt
dy y dt dy
由①、②可和 21
120d y y dt
+=
由观察法知,t y cos 1=,t y sin 1=为此方程的两个特解,将其代入②式可得两个相应的特解,将其代入②式可得两个相应的特解:2sin y t =-,2cos y t =。

这样就
求得方程组的一个解矩阵为 cos int ()int cos t s t s t ⎛⎫
Φ= ⎪-⎝⎭
又 []01)(det ≠=Φ=t ,因此
)(t Φ中方程组的一个基解矩阵。

故方程组的通解为1122cos int
int cos y t s c c y s t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
① ②
(3)程组的分量形式为:⎪⎩⎪
⎨⎧='='='13
22
31y
y y y y y 解 ①+③得
3131)(y y y y dt d
+=+ 解 ①-③得 1313()d
y y y y dt
-=- 解之得 131132 t t y y k e y y k e --+=-=
由④、⑤可得 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=----t
t t t t t t t e c e c e k e k y e c e c e k e k y 312.133121121
21 又由②得 t e c y 22=
由此可求得方程组的一个解矩阵
⎪⎪⎪⎭


⎛-=Φ--t t t t t
e e e e e t 0
00
0)( 显然,[]0)(det ≠-=Φt ze t ,因此)(t Φ是方程组的一个基解矩阵,故方程组的通解为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪
⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t t e t e e c e c e e c y y y 0000321321
3.试证向量函数组 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 ,⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛00x ,⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛002x 在任意区间 b x a <<上线性相关,则存在
不全为零的三个常数 321,,c c c 使得
,000000012321=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x c x c c 即 b x a x c x c c <<=++0
2321①而①式之左端是一个不高于二
次的多项式,它最多只可能有二个零点,同此这与①式在b x a <<上恒等于零矛盾,从而得证。


② ③
4.试证基解矩阵完全决定齐次线性方程组即如果方程组
y x A dx
dy
)(=与y x B dx
dy
)(= 有一个相同的基解矩阵,则 )()(x B x A =
证:设这两个方程组的相同基解矩阵为 )(x Φ那么,必有 []0)(det ≠Φt ,故)(x Φ可逆,设逆矩阵为)(1x -Φ,同而
1
()()()d A x x B x dx
-Φ=
Φ= 证毕
6.设当b x a <<时,非齐次线性方程组
()()dy
A x y f x dx
=+(1)中的()f x 不恒为零。

证明(1)有且至多有 n+1个线性无关解。

证 设)(),(1x y x y n 是方程组(1)的相应齐次方程组的n 个线性无关的解,)(x ϕ是(1)任意一个特解,则 )()(,),()(),()(21x x y x x y x x y n ϕϕϕ+++
是(1)的n+1个线性无关解.这是因为,若存在常数 121,,,+n n k k k k 使得
()()0)()()()()(111≡++++++x k x x y k x x y k n n n ϕϕϕ 则一定有 1210n n k k k k +==== 否则有
1
1121
121
()()()n
n n n k k x y x y x k k k k k k ϕ++--=
+
+
++++++
这与)(x ϕ为(1)的解矛盾,因此,0121≡++++n n k k k k 假设可知021==-==n k k k 故01=+n k ,所以(1)n+1个线性无关的解。

又设 )(x ϕ是(1)在(a,b)上的任一解,12
1 n y y y +是(1)的n+1个线性无关的
解, 那么,),()(1x y x -ϕ2()(),
,x y x ϕ-)()(1x y x n +-ϕ 是(1)的对应齐次方程组
y x A dx
dy
)(= (2) 的解,而(2)最多有n 个线性无关的解,所以必存在不全为零的常数,,,,121+n k k k 使得 ),(b a x ∈
()()0))(()()(112211≡-+-+-++n n y x k y x k y x k ϕϕϕ
即 ()112211121)(++++++=+++n n n y k y k y k x k k k ϕ 显然,0121≠+++n k k k , 否则,存在不全为零的常数 ,,,,121+n k k k 使得
0)()()(112211≡+++++x y k x y k x y k n n 这与)(,),(),(121x y x y x y n + 线性无关矛盾,故
1
11121
121
()()()n
n n n k k x y x y x k k k k k k ϕ+++--=
+
+
++++++
这说明(1)的任一解,都可由这n+1个线性无关的解的线性表出,同时也说明(1)的任意n+2个解线性相关,故方程组(1)在(a ,b )上至多有n+1个线性无关解。

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