机器人动力学汇总
机器人学中的动力学
机器人学中的动力学机器人学是研究制造、设计和运动控制机器人的学科，广泛应用于工业、医疗保健、国防、探险等领域。
机器人学中的动力学是机器人运动学的重要分支，掌握机器人运动学对于设计、控制机器人运动具有重要意义。
动力学的概念机器人学中的动力学是研究机器人运动的力学学科。
它主要关注如何对机器人的运动进行描述和控制。
机器人动力学包括机器人运动学和机器人力学的研究。
机器人运动学研究机器人的位置和位姿，而机器人力学研究机器人的力学特性和力学运动方程。
机器人学中的动力学主要涉及以下几个方面：- 机器人的运动轨迹和速度规划- 机器人的动力学建模和仿真- 机器人的力学特性和控制机器人的运动轨迹和速度规划机器人的运动轨迹和速度规划是机器人动力学的基本问题。
机器人的运动轨迹是机器人在空间中的运动路径，可以用各种运动学和动力学方法进行描述。
机器人的速度规划通常是在已知机器人的运动轨迹的条件下，确定机器人的运动速度以及加速度和减速度的大小和方向。
机器人的运动轨迹和速度规划在机器人控制中占据着重要的地位。
机器人的控制主要目的是使机器人完成特定的任务，如在制造车间中装配零件等。
在完成这些任务时，机器人需要根据任务的要求确定运动轨迹和速度规划，这样才能在短时间内完成高效的操作。
机器人的动力学建模和仿真机器人的动力学建模是机器人学中难点之一。
一个好的机器人动力学模型必须考虑机器人本身的特性和运动机理。
机器人的动力学模型可以用数学公式或者计算机模拟的方法进行描述。
此外，机器人的动力学模型需要考虑机器人的各种运动方式，如旋转、直线运动等。
机器人的仿真是指利用计算机模拟机器人运动状态和行为的过程。
机器人的仿真可以对机器人的运动轨迹、速度规划和控制逻辑进行模拟和测试，从而为机器人的设计和使用提供依据。
机器人仿真是一种低成本、高效率的机器人研究方法。
机器人的力学特性和控制机器人的力学特性和控制主要研究机器人在行动中的力学特性和控制方法。
机器人的力学特性包括机器人的质量、惯性、摩擦和发热等。
机器人动力学笔记
机器人动力学笔记一、引言。
1. 机器人动力学的定义。
- 研究机器人的运动与作用于机器人上的力/力矩之间的关系。
- 是机器人学中的重要分支，对于机器人的控制、设计等有着关键意义。
二、刚体运动学基础（作为动力学的前置知识）1. 坐标变换。
- 平移变换。
- 设点P在坐标系A中的坐标为(x,y,z)，坐标系A相对于坐标系B沿x轴平移a，沿y轴平移b，沿z轴平移c，则点P在坐标系B中的坐标为(x - a,y - b,z - c)。
- 旋转变换。
- 绕x轴旋转α角的旋转矩阵R_x(α)=begin{bmatrix}100 0cosα-sinα0sinαcosαend{bmatrix}。
- 绕y轴旋转β角的旋转矩阵R_y(β)=begin{bmatrix}cosβ0sinβ 010 -sinβ0cosβend{bmatrix}。
- 绕z轴旋转γ角的旋转矩阵R_z(γ)=begin{bmatrix}cosγ-sinγ0 sinγcosγ0 001end{bmatrix}。
- 一般坐标变换。
- 先平移后旋转或者先旋转后平移的组合变换，通过矩阵乘法来实现。
2. 速度与加速度。
- 线速度。
- 对于刚体上一点P，如果刚体绕某一轴以角速度ω旋转，点P到旋转轴的距离为r，则点P的线速度v = ω× r。
- 角速度。
- 用向量表示刚体的旋转状态，方向为旋转轴方向，大小为旋转的速率。
- 加速度。
- 包括线加速度和角加速度，线加速度a=(dv)/(dt)，角加速度α=(dω)/(dt)。
三、牛顿 - 欧拉方程（用于描述刚体动力学）1. 牛顿第二定律。
- 对于平动，F = ma，其中F是作用在刚体上的合外力，m是刚体的质量，a 是刚体的线加速度。
2. 欧拉方程。
- 对于转动，M = Iα+ω×(Iω)，其中M是作用在刚体上的合外力矩，I是刚体的惯性张量，α是刚体的角加速度，ω是刚体的角速度。
四、机器人动力学建模方法。
《机器人技术基础》第四章 机器人动力学
人
4.2 机械手动力学方程
动
力
学
4.1.1 拉格朗日方法
机器人是一个具有多输入和多输出的复杂的 运动学系统，存在严重的非线性，需要非常复杂 的方法来处理。
动力学处理方法： Lagrange , Newton-Euler, Gauss,Kane, Screw, Roberson-Wittenburg
2 )
d
dt
L
1
(m1 m2 )l12
m2l22
2m2l1l2
cos
2
1
(
m2
l
2 2
m2l1l2 cos 2 )2
2m2l1l2 si n212 m2l1l2 si n22L1Fra bibliotek(m1
m2 )gl1
s i n1
m2 gl2
s i n (1
2)
4.1.2 拉格朗日方程
⑤求出机器人动力学方程：
)
然后求微分，则其速度就为：
x2 y 2
l1 l1
co s11 sin 11
l2 l2
cos(1 2 )(1 2 ) sin(1 2 )(1 2 )
θ1
关节2
m1
（x1, y1)
l2
θ2 m2
（x2, y2 )
由此可得连杆的速度平方值为：
v22 x22 y22 l1212 l22(12 212 22 ) 2l1l2 cos2(12 12 )
m2 gl2 sin(1 2 )
T2 (m2l22 m2l1l2 cos2 )1 m2l222 m2l1l2 sin 21
m2 gl2 sin(1 2 )
4.1.2 拉格朗日方程
将得到的机器人动力学方程简写为如下形式：
机器人的动力学
机器人的动力学是研究机器人运动和力学特性的学科。
它涉及了描述机器人运动、力和力矩之间关系的原理和方法。
机器人动力学的主要内容包括以下几个方面：
运动学：机器人运动学研究机器人的位置、速度和加速度之间的关系。
它涉及描述机器人末端执行器（如机械臂）的位姿和运动轨迹，以及描述机器人关节的运动参数。
动力学：机器人动力学研究机器人在外部作用力或力矩下的运动行为。
它涉及描述机器人的质量、惯性、力和力矩之间的关系，以及机器人的运动响应和稳定性。
控制：机器人动力学与机器人控制密切相关。
动力学模型可以用于设计机器人控制算法，以实现所需的运动、力量和精度。
力觉传感：机器人动力学可以应用于力觉传感技术。
力觉传感器可以用于测量机器人末端执行器的外部力和力矩，以实现机器人与环境的交互、力量控制和安全操作。
动力学模拟和仿真：动力学模型可以用于机器人动力学的模拟和仿真。
通过在计算机中建立机器人动力学模型，可以预测机器人在特定任务和环境中的运动行为和性能。
机器人动力学的研究对于机器人设计、控制和运动规划等方面都具有重要意义。
它可以帮助优化机器人的运动性能、提高机器人的精度和效率，并为机器人在各种应用领域中的安全操作和协作提供基础。
3.2 机器人动力学
x3h θ3 x2
2018年5月18日星期五
3.2
运动学方程的建立
解：（4）建立方程
将相邻杆件位姿矩阵依次相乘，则有：
c 123 s 123 0 0 s 123 c 123 0 0 0 l1c 1 l 2 c 12 l 3 c 123 0 l1 s 1 l 2 s 12 l 3 s 123 1 0 0 1
{i-1}
{0}
M0n M01 M12 Mi 1i Mn1n
3.2
运动学方程的建立
1、运动学方程建立步骤 （1）建立坐标系 （2）确定参数 （3）相邻杆件的位姿矩阵 （4）建立方程 2、运动学方程的解
2018年5月18日星期五
3.2
运动学方程的建立
1、运动学方程建立步骤
运动学方程的模型： M=f(qi)， i=1，…，n M——机器人手在空间的位姿 qi——机器人各个关节变量
机器人运动学
姿态可以用坐标系 三个坐标轴两两夹角的
ｚ
ｚh
余弦值组成3×3的姿态
矩阵来描述。
ｘh ｏ ｐ(ｘ,ｙ,ｚ) h ｏ ｘ
ｙh ｙ
cos(x, xh ) cos(x, yh ) cos(x, z h ) R cos( y, xh ) cos( y, yh ) cos( y, z h ) cos(z , xh ) cos(z , yh ) cos(z , z h )
3.2
运动学方程的建立
解：（4பைடு நூலகம்建立方程
若用矩阵形式表示，则为：
nx n y nz 0 ox oy oz 0 ax ay az 0 p x c 123 s py 123 pz 0 1 0 s 123 c 123 0 0 0 l1c 1 l 2 c 12 l 3 c 123 0 l1 s 1 l 2 s 12 l 3 s 123 1 0 0 1
机器人动力学
首先来看一个两自由度的 平面机械手，如图5-1所示。
容易求得
x y
l1c1 l1s1
l2c12 l2s12
将其微分得
写成矩阵形式
图5-1 两自由度平面机械手
d dy x l1 lc 11 s1l2 lc 2s1122
l2s12 d1 l2c12d2
简写成 ： dx=Jdθ。
式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，反映了关节 空间微小运动dθ与手部（手爪）作业空间微小位移dx之间的关系。
式中：J (q) 是6×n的偏导数矩阵，称为n自由度机器人速度雅
可比矩阵。
5.1.2机器人速度分析
dX J(q) dq 或
dt
dt
vJ(q)q
其中:v―机器人手部在操作空间中的广义速度，vX Ｊ(q)―速度雅可比矩阵
q ―机器人关节在关节空间中的速度
从上式可以看出，对于给定的关节变量q，雅可 比矩阵是从关节空间的关节速度向操作空间的广义 速度映射的线性变换。
对机器人通过奇异位形时轨迹控制方法的研究可以大致分为 如下四种方法:
1)回避机器人操作器的奇异位形
预测奇异位形的可能出现位置,并避免它。理论上对给定的 机器人操作器只要令其雅可比行列式的值等于零，即可找到 它的奇异位形。
2)根据机构的各向同性原理设计机器人操作器
通过设计上的优化，能使得机器人机构在一个比较大的区域 内保持各向同性，即在各个方向的可能误差和施加的力都是 相同的。
工作域边界上的奇异：这种奇异位形出现在机器人 的机械手于工作区的边界上时，也就是在机器人手 臂全部展开或全部折回时出现。这种奇异位形并不 是特别严重，只要机器人末端执行器远离工作区边 界即可。
工作域内部奇异：这种奇异位形出现在两个或多个 关节轴线重合时，这种奇异位形很难处理，因为它 可能出现在工作区的任何位置，并且机器人的末端 执行器在这种奇异位形附近的可操作性会变坏，这 样极大的减少了机器人的可行区。
《机器人动力学》课件
机器人动力学有助于优化机器人的设 计和性能，提高机器人的运动性能和 作业能力。
安全性和稳定性
通过机器人动力学的研究，可以预测 机器人在不同环境和操作条件下的行 为，从而避免潜在的危险和保证机器 人的安全稳定运行。
机器人动力学的发展历程
初始阶段
早期的机器人动力学研究主要关注于简单的机械臂模型，采用经典力学理论进行分析。
刚体动力学是研究刚体在力作用下的运动规律的科学。刚体动力学建模
是研究刚体运动过程中力和运动状态之间的关系。
02
牛顿-欧拉法
牛顿-欧拉法是一种基于牛顿运动定律和欧拉方程的刚体动力学建模方
法。通过这种方法，可以建立刚体的运动方程，描述刚体的运动状态。
03
拉格朗日法
拉格朗日法是一种基于拉格朗日方程的刚体动力学建模方法。这种方法
《机器人动力学》ppt 课件
目录
Contents
• 机器人动力学概述 • 机器人动力学的基本原理 • 机器人动力学建模 • 机器人控制中的动力学应用 • 机器人动力学研究的挑战与展望 • 机器人动力学实验与案例分析
01 机器人动力学概述
定义与特点
定义
机器人动力学是研究机器人运动过程中力和运动状态之间关系的学科。它主要关注机器人在操作物体 、环境交互以及自身运动过程中产生的力和扭矩，以及这些力和扭矩如何影响机器人的运动状态。
在实际应用中的表现。
06 机器人动力学实验与案例分析
实验一：刚体动力学实验
总结词
理解刚体动力学基本原理
详细描述
通过实验一，学生将学习刚体动力学 的基本原理，包括刚体的运动学和动 力学特性。实验将通过演示刚体在不 同条件下的运动，帮助学生理解刚体 动力学的概念和应用。
机器人动力学
机器人动力学机器人动力学是机器人领域中的一个重要研究方向，它主要研究机器人的运动学和动力学行为。
机器人动力学涉及到机器人的运动、力学、控制等方面知识，对于机器人的设计、运动控制和任务完成等都有着重要的影响。
本文将从机器人动力学的基本概念、运动学和动力学模型、以及应用场景方面进行阐述。
一、机器人动力学的基本概念机器人动力学是机器人技术中的一个重要分支领域，它主要研究机器人在运动过程中的力学行为及其控制。
机器人动力学的基础是牛顿运动定律和动力学原理，通过建立机器人的运动学和动力学模型，来描述机器人在不同力场中的运动过程。
二、机器人动力学的运动学模型机器人的运动学描述了机器人末端执行器在空间中的位置和姿态随时间的变化规律。
机器人的运动学模型可以分为正解和逆解两个方向。
正解通过已知机器人关节角度或长度，来求解机器人末端执行器的位置和姿态。
逆解则是通过已知机器人末端执行器的位置和姿态，来求解机器人关节角度或长度。
三、机器人动力学的动力学模型机器人的动力学描述了机器人在运动时所受到的力和力矩，以及机器人关节的运动学参数和动力学参数之间的关系。
机器人的动力学模型可以分为正解和逆解两个方向。
正解通过已知机器人关节角度、速度和加速度，来求解机器人末端执行器的力和力矩。
逆解则是通过已知机器人末端执行器的力和力矩，来求解机器人关节角度、速度和加速度。
四、机器人动力学的应用场景机器人动力学在许多实际应用中发挥着重要作用。
例如，在工业自动化领域，机器人动力学模型可用于控制机器人的姿态和位置，以完成各种生产任务。
在医疗领域，机器人动力学模型可用于辅助手术和康复训练等。
此外，机器人动力学模型还可应用于空间探索、军事作战、环境清理等领域。
总结机器人动力学是机器人技术中的一个重要研究方向，它研究机器人在运动过程中的力学行为和控制方法。
通过建立机器人的运动学和动力学模型，可以描述机器人在不同力场中的运动过程，并应用于工业自动化、医疗领域、空间探索等各个领域。
6机器人动力学(精)
6.2 连杆静力学分析
当连杆处于平衡状态时，其上的合力和合力矩为零，因此得
到力和力矩的平衡方程式（在{i}中的表示）：
i
i i fi fi 1 mi g 0
i
i i i i i ni ni 1 pi 1 fi 1 rci mi g 0
解：总动能 总势能为
（θ为广义坐标）
mg
z
代入Lagrange方程 果一致。这里I=IZ=IC+mL2C
得
，与前面的结
问题：
１.若1自由度机械手为匀质连
杆，质量为m，长度为L，结
果会怎样？
z
２.若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量m在连 杆末端L处，结果会怎样？
6.5 关节空间和操作空间动力学
关节空间动力学方程：
D(q)q h(q, q) G(q)
它反映了关节力矩与关节变量、速度和加速度之间的函数关系。
G ( q ) 为重力矢量。 为离心力和哥氏力向量； D (q ) 为惯性矩阵； h(q, q )
操作空间动力学方程：
F V (q) x u(q, q) p(q)
如速度矢量，纯力矩矢量。由维数、大小、方向和作用线（或位置） 四要素所规定的矢量称为线矢量，如力矢量。
二、旋转关节的连杆运动传递
线速度和角速度传递关系为：
i 1 i 1 i 1 R i i1 zi 1 i 1 i i
i 1
i 1 i i i vi 1 i R( vi i pi 1 )
忽略连杆本身的自重，从末端连杆逐次向基座（连杆0 ）反
向递推各连杆所受的力和力矩，写成在自身坐标系中的表示：
3.5机器人动力学
f m , R m1
T T
1 , , n , R n1
如果施加在机械手上的力作为手爪力的反 力（-F）时，机械手的虚功可表示为：
W F r
T T
应用虚功原理：
F r 0
T T
手爪的虚位移 r 和关节虚位移 之 间的关系，可用雅可比矩阵表示：
3.5 机器人的动力学概述
了解机器人动力学，即了解机器人 动态特性的运动方程式，动力学方程
机器人静力学
1 虚功原理
例：已知作用与杠杆一端的力FA，试用虚功 原理求作用于另一端的力FB，杠杆长度已知
当力FA向下取正，FB向上为正，此时， 假设FA为正值（向下），根据上式， FB 为负值，即FB方向向下。
1 0rad ,
2 2 rad
利用上面推导的静力学关系式
L1sin1 L2 sin(1 2 ) L2 sin(1 2 ) -L2 -L2 J L L1cos1 L2cos(1 2 ) L2cos(1 2 ) 1 0
代入下式
r J
F r 0
T T
得：
T
T
F J 0
T
上式对任何的 都成立，即：
F J0
T T
J F
J F
T
上式表示产生手爪力F的驱动力
例：在图示位置时，求生成手爪力 FA、 FB 的驱动力τ A 、τ B
驱动力大小为手爪力与手爪力到作用线距离乘积
3 惯性矩的确定
动力学不仅与驱动力有关，与绕质 心的惯性矩有关。
力F作用到质量为m的 质点，质点的平移运动 看作是运动方向的标量
机器人的动力学分析
添加标题
感知与决策能力：机器人能够感知 环境做出合理的决策
适应性：机器人能够适应不同的环 境和任务具有较强的适应性
自主决策：机器人能够根据环境变 化做出自主决策
自主学习：机器人能够通过不断学 习提高自身能力
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
自主导航：机器人能够在未知环境 中进行自主导航
自主控制：机器人能够实现对自身 行为的自主控制
定义：机器人轨迹规划是指在满 足机器人动力学约束的前提下为 机器人设计出一条从起点到终点 的轨迹使得机器人能够按照该轨 迹完成指定的任务。
目标：轨迹规划的目标是使机 器人在完成任务的同时能够避 免碰撞、减少能耗、提高效率、 保证安全性和稳定性。
运动学模型：描述机器人运动 学特性的模型
轨迹规划：根据运动学模型规 划机器人的运动轨迹
优化方法：使用优化算法如遗 传算法、粒子群算法等优化轨 迹
轨迹跟踪：控制机器人按照规 划的轨迹运动实现轨迹跟踪
动力学模型：建立机器人的动力学模型包括运动学和动力学方程 轨迹规划：根据动力学模型规划机器人的运动轨迹 优化方法：采用优化算法如遗传算法、粒子群算法等对轨迹进行优化 仿真验证：通过仿真实验验证轨迹规划方法的有效性和可行性
微型化趋势：机器人越来越小功能越来越强大 应用领域：医疗、军事、工业等领域 技术挑战：微型化带来的设计、制造、控制等方面的挑战 发展趋势：微型化机器人将成为未来机器人发展的重要方向
汇报人：
遗传算法：通 过模拟生物进 化过程寻找最
优解
粒子群优化算 法：通过模拟 鸟群觅食行为
寻找最优解
模拟退火算法： 通过模拟金属 冷却过程寻找
最优解
神经网络优化 算法：通过模 拟人脑神经网 络寻找最优解
第四章 机器人动力学 53页 0.6M
m1 m2 gd1 sin1 m2 gd2 sin1 2 c11
2 1 2
2 1 2
2 1 2
2 2
(4 12)
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.2 机械手动力学方程的求法
当考虑关节摩擦阻尼时
T2 d L L dt 2 2
r (t ) r ' (t ) ro ' (t )
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.0 动力学基本定理
绝对运动速度：在定坐标系中的运动速度 相对运动速度：在动坐标系中的运动速度 牵连运动速度：动坐标系在定坐标系中的运动速度 绝对运动加速度：在定坐标系中的运动加速度 相对运动加速度：在动坐标系中的运动加速度 牵连运动加速度：动坐标系在定坐标系中的运动加速度 当牵连速度为平动时， a ae ar 当牵连运动为定轴转动时，
Qj:为非势的广义力
当含有粘性阻尼时，方程变为：
L Q j ，Φ：瑞利耗三散函数 q q j j
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.0 动力学基本定理
例：图示为振动系统方程
1。动能
2。势能
1 2 T (m1 x12 m2 x2 ) 2
注意：这里只求显因变量的偏导数
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.2 机械手动力学方程的求法
代入拉格朗日方程
T1 d L L dt 1 1
m1 m2 d12 m2 d 22 2m2 d1d 2 cos 2 m2 d 22 m2 d1d 2 cos 2 2 1 2m d d sin m d d sin 2 m1 m2 gd1 sin1 m2 gd2 sin1 2
第3章机器人动力学
i
vi 1 i vi i ωi i Pi 1
i 1 i ωi 1 i1 R ωi i
i 1
i 1
v i 1
i 1 i
R i v i i ωi i Pi 1
2 i 1ωi 1 di 1 i 1 Zi 1 di 1 i 1 Zi 1
5 质心的加速度
i
i
vci i vi i ωi i Pci
υci i υi i ωi i Pci i ωi i ωi i Pci
坐标系 ci 与连杆 i 固连，坐标原点位于连杆 i 的质心，坐标方向与 i 同向
上述各式为计算连杆运动的递推公式，递推计算首先从连杆开发， 对于基座而言。 0 ω0 0 ω0 0 ,
0
v0 0 v0 0 ，作为递推的初值。
3.1.5 牛顿—欧拉动力学方程
刚体的运动可以分解为刚体质心的移动和刚体绕质心的转动。 应用牛顿-欧拉方程来建立机器人机构的动力学方程，是指相对 质心的移动用牛顿方程，相对于质心的转动用欧拉方程。 在移动和转动的刚体S上任选固定 在刚体上的一点O，将基准坐标系 的 原点移至点O上成为随行坐标系 ，随 行坐标系 随S移动，但不随S转动， 以便观察S相对坐标系 的转动运动。
A
ωB A ωB 0
A v P A v BO B RB vP A v P A v BO B RB vP
简化为：
A
A
(3) 如果 B 相对 A 纯转动， A PB 0 固定不变，则
A
A
A A vP B RB vP S( A ωB )B RB P
机器人学-第4章_机器人动力学
机械手系统（包括传动装置）的总动能为：
Kt K Ka
1 2
6 i 1
i j 1
i k 1
Trace
Ti qi
Ii
Ti T qk
qj qk
1 2
6
I ai qi2
i 1
(4.20)
4.2.2 动能和位能的计算
23
4.2.2 动能和位能的计算
位能的计算 一个在高度h处质量m为的物体，其位能为：
对拉格朗日函数求导，以得到动 力学方程式。
O3 连杆2
3rp
连杆3 O2
O1 连杆1 0rp
P
连杆4 O4
O
图4.4 四连杆机械手
第四章 机器人动力学
15
4.2.1 速度的计算
连杆3上点P的速度为：
0vp
d dt
(
0
r
p
)
d dt
(T3
3
rp
)
T3 3rp
对于连杆i上任一点的速度为：
v
dr dt
4
4.1.1 刚体的动能与位能
x0 0, x0和x1均为广义坐标，有下式：
M1 x1 c( x1 x0 ) k( x1 x0 ) M1 g F M 0 x0 c( x1 x0 ) k( x1 x0 ) M 0 g F
或用矩阵形式表示为：
M1
0
0 M0
x1 x0
D212 D221 0
重力项
D1 (m1 m2 )gd1 sin1 m2 gd2 sin(1 2 ) D2 m2 gd2 sin(1 2 )
4.1.2 动力学方程的两种求法
10
拉格朗日功能平衡法
表4.1给出这些系数值及其与位置 2的关系。
机器人学-机器人动力学
s 不计算相对于机座坐标系的 ωi、 i 、 i 、& i 、Pi* 、 i 、Fi 、Ni 、fi 、ni 和τi， & & ω v a & & a 而是计算 iR0ωi、 iR0ω i 、 iR0vi、 iR0& i 、 iR0Pi* 、 iR0 s i 、 iR0Fi 、 iR0Ni 、 iR0fi 、 iR n 和iR τ 。 0 i 0 i
θ1
x0 z0 m1
z1 m2
c1 s 0 A1 = 1 0 0
− s1 c1 0 0
0 lc1 0 ls1 1 0 0 1
c2 s 1 A2 = 2 0 0
− s2 c2 0 0
0 lc 2 0 ls 2 1 0 0 1
c12 s 0 A2 = 0 A1 1 A2 = 12 0 0
− s12 c12 0 0
0 l (c12 + c1 ) 0 l (s12 + s1 ) 1 0 0 1
旋转矩阵：
c1 0 R1 = s1 0
− s1 c1 0
0 0 1
& & ω i × Pi * + ω i × ω i × Pi * + v i −1 &i = v & & z i −1 q i + ω i × Pi * + 2ω i × ( z i −1 q i ) + ω i × ω i × Pi * + v i −1 && &
(
)
(
)
& & ai = ω i × si + ω i × (ω i × si ) + vi
机器人动力学汇总
机器人动力学研究的典型方法和应用（燕山大学 机械工程学院）摘 要：本文介绍了动力学分析的基础知识，总结了机器人动力学分析过程中比较常用的动力学分析的方法：牛顿—欧拉法、拉格朗日法、凯恩法、虚功原理法、微分几何原理法、旋量对偶数法、高斯方法等，并且介绍了各个方法的特点。
并通过对PTl300型码垛机器人弹簧平衡机构动力学方法研究，详细分析了各个研究方法的优越性和方法的选择。
前 言：机器人动力学的目的是多方面的。
机器人动力学主要是研究机器人机构的动力学。
机器人机构包括机械结构和驱动装置，它是机器人的本体，也是机器人实现各种功能运动和操作任务的执行机构，同时也是机器人系统中被控制的对象。
目前用计算机辅助方法建立和求解机器人机构的动力学模型是研究机器人动力学的主要方法。
动力学研究的主要途径是建立和求解机器人的动力学模型。
所谓动力学模指的是一组动力学方程（运动微分方程），把这样的模型作为研究力学和模拟运动的有效工具。
报告正文：（1）机器人动力学研究的方法1）牛顿—欧拉法应用牛顿—欧拉法来建立机器人机构的动力学方程，是指对质心的运动和转动分别用牛顿方程和欧拉方程。
把机器人每个连杆（或称构件）看做一个刚体。
如果已知连杆的表征质量分布和质心位置的惯量张量，那么，为了使连杆运动，必须使其加速或减速，这时所需的力和力矩是期望加速度和连杆质量及其分布的函数。
牛顿—欧拉方程就表明力、力矩、惯性和加速度之间的相互关系。
若刚体的质量为m ，为使质心得到加速度a 所必须的作用在质心的力为F ，则按牛顿方程有：ma F =为使刚体得到角速度ω、角加速度εω= 的转动，必须在刚体上作用一力矩M ，则按欧拉方程有：εωI I M +=式中，F 、a 、M 、ω、ε都是三维矢量；I 为刚体相对于原点通过质心并与刚体固结的刚体指标系的惯性张量。
牛顿—欧拉方程法是利用牛顿定律和欧拉方程建立动力学模型的方法。
此法物理意义清晰，适合进行并联机构的正动力学问题和逆动力学问题。
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机器人动力学研究的典型方法和应用（燕山大学 机械工程学院）摘 要：本文介绍了动力学分析的基础知识，总结了机器人动力学分析过程中比较常用的动力学分析的方法：牛顿—欧拉法、拉格朗日法、凯恩法、虚功原理法、微分几何原理法、旋量对偶数法、高斯方法等，并且介绍了各个方法的特点。
并通过对PTl300型码垛机器人弹簧平衡机构动力学方法研究，详细分析了各个研究方法的优越性和方法的选择。
前 言：机器人动力学的目的是多方面的。
机器人动力学主要是研究机器人机构的动力学。
机器人机构包括机械结构和驱动装置，它是机器人的本体，也是机器人实现各种功能运动和操作任务的执行机构，同时也是机器人系统中被控制的对象。
目前用计算机辅助方法建立和求解机器人机构的动力学模型是研究机器人动力学的主要方法。
动力学研究的主要途径是建立和求解机器人的动力学模型。
所谓动力学模指的是一组动力学方程（运动微分方程），把这样的模型作为研究力学和模拟运动的有效工具。
报告正文：（1）机器人动力学研究的方法1）牛顿—欧拉法应用牛顿—欧拉法来建立机器人机构的动力学方程，是指对质心的运动和转动分别用牛顿方程和欧拉方程。
把机器人每个连杆（或称构件）看做一个刚体。
如果已知连杆的表征质量分布和质心位置的惯量张量，那么，为了使连杆运动，必须使其加速或减速，这时所需的力和力矩是期望加速度和连杆质量及其分布的函数。
牛顿—欧拉方程就表明力、力矩、惯性和加速度之间的相互关系。
若刚体的质量为m ，为使质心得到加速度a 所必须的作用在质心的力为F ，则按牛顿方程有：ma F =为使刚体得到角速度ω、角加速度εω= 的转动，必须在刚体上作用一力矩M ，则按欧拉方程有：εωI I M +=式中，F 、a 、M 、ω、ε都是三维矢量；I 为刚体相对于原点通过质心并与刚体固结的刚体指标系的惯性张量。
牛顿—欧拉方程法是利用牛顿定律和欧拉方程建立动力学模型的方法。
此法物理意义清晰，适合进行并联机构的正动力学问题和逆动力学问题。
但此法需要考虑每个关节的约束反力，建模过程比较繁琐。
2）拉格朗日法机器人动力学分析过程中采用拉格朗日方程法一般为二阶拉格朗日方程，是一种比较适合计算机计算方法。
拉格朗日函数L 被定义为系统的动能k E 和位能p E 之差，即：L=k E -p E系统动力学方程式，及拉格朗日方程日下：式中，表示动能和位能的坐标，为相应的速度，而为作用在第i 个坐标上的力或是力矩。
是力或是力矩，由为直线坐标或角坐标所决定。
这些力、力矩和坐标称作广义力、广义力矩和广义坐标，n 为连杆数目。
拉格朗日法是基于能量平衡原理的建模方法。
该方法通过求系统的动能和势能，建立拉格朗日函数，最终可以得到标准的拉格朗日方程。
在求解过程中，避免了运动学加速度和角加速度的求解，推导过程相对简单。
利用矩阵表示动力学模型，便于对机器人进行动力学控制。
但是建模过程过于复杂，运算量较大一般在进行动力学分析时，常将机器人简化或忽略惯性影响，已达到简化模型提高运算效率的目的。
3）凯恩法凯恩法是用达郎倍尔原理及虚位移原理建立动力学方程，它是建立机器人机构动力学模型的一种普遍方法，其基本思想是以广义速率代替广义坐标作为系统的独立变量。
凯恩动力学方程为：0F F r r =+*）（）（ ，r=1,2，…，n 意为广义动力与广义惯性力之和等于零。
凯恩方程法在动力学建模中的突出优点是只需要计算矢量点积、叉积运算，避免了求导运算。
因此计算效率高，便于计算机控制。
4）虚功原理法虚功原理法是利用虚功原理建立动力学模型的方法，该方法避免了对关节力的计算，具有较高的运算效率。
除了以上方法外，还有高斯法、微分几何原理法、旋量对偶数法等。
（2）机器人动力学的应用研究机器人动力学模型主要应用于机器人的设计和离线编程。
在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算实际方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。
在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型的仿真。
动力学研究物体的运动和受力之间的关系。
机器人动力学有两个问题需要解决：动力学正问题，即根据关节驱动力矩或者力计算操作臂的运动（关节位移、速度和加速度）；动力学逆问题，即已知轨迹运动对应的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节力矩或者力。
例：基于动力学的PTl300型码垛机器人弹簧平衡机构设计1、机构介绍PTl300型码垛机器人虚拟样机如图1所示。
PTl300型码垛机器人的基本结构由底座、主臂、前臂、前臂驱动臂、前臂驱动连杆、水平保持连杆、水平保持三角臂、末端手腕支架及平衡弹簧缸组成。
各关节依次称之为腰关节、肩关节、肘关节以及腕关节。
平衡弹簧缸一端固定在距底座一定高度处，另一端固定在主臂顶端，主臂倾动时，平衡弹簧缸(即平衡弹簧)由于被拉伸而在肩关节产生转矩，以此达到平衡主臂关节驱动力矩的目的。
2计问题描述PT1300型码垛机器人主臂弹簧平衡机构如图2所示。
PTl300型码垛机器人主臂弹簧平衡机构的平衡弹簧缸一端固定在距底座高d处，另一端固定在主臂顶端，当主臂偏离竖直初始位置时平衡弹簧缸产生的作用力作用在肩关节上。
如当主臂由初始位置转过角度如时弹簧缸与主臂之间就产生夹角0。
，此时，处于拉伸状态下的弹簧在连接点处就产生拉力F，平衡弹簧缸在点O对机器人主臂产生平衡力矩肘，从而达到平衡目的。
图2中，P 为前臂自重与末端负载在主臂顶端的作用力，G为主臂自重，Z：为主臂长度。
弹簧产生的拉力F为：F= KΔX式中：K为弹簧刚度系数；ΔX为弹簧变形量。
拉力F的力臂，为：（2）式中：Z：为主臂长度；0：为主臂由初始竖直位置OY转过的角度；d为弹簧底端固定处距机器人底座的高度。
弹簧产生的平衡力矩肘为：M= （3）2．1优化对象与约束条件由式(2)和式(3)知平衡力矩M的大小与弹簧的刚度系数K、弹簧变形量缸以及弹簧底端距机器人底座的高度d有关，而弹簧刚度系数K是影响弹簧拉力的重要参数，故选取弹簧刚度系数K作为优化对象，即Xo=K，给定弹簧初始长度=1230mm，d=280mm。
K取值应在一定范围内，即，建议取。
2．2 目标函数弹簧平衡机构主要作用是平衡主臂关节驱动力矩，改善机器人动力学性能，因此本文选取未平衡前的主臂关节驱动力矩最大值经平衡力矩M平衡后的值()最小及主臂关节驱动力矩波动量最大值最小作为动力学性能优化目标，构造多目标优化问题。
由于多目标优化问题，可能存在多个目标函数之间的矛盾情况，即一般不存在公共最优解，为此，考虑利用加权法将多目标优化问题转化成单目标优化问题进行求解，取目标函数加权系数均为0．5，构造评价函数，为：（4）式中：7-：为未经平衡弹簧平衡前的主臂关节驱动力矩。
至此，PT1300型码垛机器人平衡机构优化设计可归结为如下单目标优化问题：3、力学分析由式(4)、式(5)可知，优化目标与主臂关节驱动力矩：息息相关，因此本文运用基于凯恩(Kane)方程的动力学算法建立码垛机器人刚体逆动力学模型，该方法是在拉格朗日引入的广义坐标基础上，导出系统的数学模型后经过后推，得出其显式表达的动力学方程，进一步得出机器人各关节驱动力矩。
式(6)为基于凯恩(Kane)方程的动力学算法递推公式：（6）式中：分别为杆角速度及偏角速度；为杆i一1坐标系原点到杆i坐标系的旋转变换矩阵；为杆i广义角速度；为杆i坐标系的单位向量；为j；号广义速率；为非j 号广义速率；分别为杆i线速度及质心线速度；为杆i—I坐标系原点到杆i坐标系原点的距离向量；为杆i质心相对于，的偏线速度；为杆i坐标系原点到杆i质心的距离向量；为杆i相对于质心Ci的惯性张量；为杆i质量；为向质心Ci简化后的合力；为质心Ci简化后的合力矩；、分别为杆i的加速度及质心加速度；为杆i相对于的偏线速度；为相对于所需的力矩。
3．1确定主、从动关节关系PTl300型码垛机器人机构如图3所示。
图3中，为主动关节，为从动关节，由于关节受水平保持连杆约束，为了使末端执行器一直保持水平，亦将看作主动关节，由于忽略末端水平保持连杆，原四自由度局部闭链机器人转化为五自由度。
在不影响机器人动力学建模精度的前提下，结合机构运动特性，将负载连同末端执行器直接固定在前臂末端(靠近负载一端)，忽略末端执行器旋转动作。
图4所示为PTl300型码垛机器人等效开链机构，将机器人闭链结构拆分成左、右两路开链。
由机器人结构条件得，，和=且左、右支链通过机器人运动学正解所得末端执行器位姿应保持一致，故易得从动与主动关节关系为=。
3．2码垛机器人动力学方程令为关节i的驱动力矩，得到系统的刚体逆动力学方程为：式中：分别为关节驱动力矩中的惯性项、速度项和重力项。
3．3轨迹规划码垛机器人主要是应用在pick—and-place场合，即码垛机器人从传送带上抓取物料，沿运动路径将其放置在托盘指定位置的动作循环。
图5所示为机器人运动路径，根据机器人在完成码垛作业时其与物料传送带以及托盘的位置关系，综合考虑运动过程障碍物情况，选用“门”字形运动轨迹加弧线过渡，给定路径上各关键点坐标值(mm)为：物料抓取点，运动路径转折点及，物料码放点。
机器人运动规律选择修正梯形，末端负载设定为300kg，采用MATLAB软件编程方法得到机器人主臂关节按指定路径及运动规律下的位移、速度及加速度曲线，如图6所示。
3．4优化结果利用穷举法将弹簧刚度系数K的取值范围按间隔1等分，采用MATLAB软件编程方法得到目标函数f与弹簧刚度系数K的变化曲线，如图7所示。
目标函数f在K取等分序列第16项时达到最小，即弹簧刚度系数K=26时，目标函数，值最小。
弹簧变形量曲线如图8所示，弹簧平衡前、后主臂关节驱动力矩曲线如图9所示。
由图8所示可知，弹簧在机器人抓取物料后的提升段(0～1．1s左右)及物料码放时的下降段(2．5—3．3s左右)变形较大。
由图9所示可知，经过弹簧平衡后，主臂关节驱动力矩曲线峰值明显降低，由5232N·m降至4566N·m，降幅达到12．73％，弹簧平衡效果明显。
同时，平衡前、后主臂关节驱动力矩波动量亦伴随主臂关节驱动力矩峰值下降而减小。
4、结语本文采用动力学方法建立了弹簧平衡机构优化模型，并将其应用于PTl300型码垛机器人样机，PTl300型码垛机器人样机如图10所示，得如下结论。
1)提出一种基于动力学的弹簧平衡机构优化设计方法，以主臂关节驱动力矩最大值最小及主臂关节驱动力矩波动量最大值最小作为动力学性能优化目标，构造多目标优化问题。
在此基础上，完成平衡弹簧机构的设计。
2)采用Kane法建立的机器人逆动力学方程，在给定机器人运动路径及运动规律的前提下，结合PTl300型码垛机器人搬运需求，得到机器人主臂关节驱动力矩的变化规律。