向量应用举例(1)
向量在物理中的应用举例 课件
知识点归纳
向量在物理中的应用 (1)物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成 与向量的加法与减法相类似，可以用向量来解决． (2)物理中的功是一个标量，它是力f与位移s的数量积，即 W＝f·s＝|f|·|s|cos θ.
用向量方法解决力学问题
如图，在重300 N的物体 上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的 两侧，与铅垂线的夹角为30°和60°， 求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．
【思路分析】力的合成与分解，可用向量的平行四边形法 则解决．
【规范解答】如右图，作平行四边形 OACB， 使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC 中，∠ ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，|O→A|＝|O→C |cos 30°＝ 150 3 (N) ， | A→C | ＝ | O→C |sin 30°＝ 150(N)，|O→B|＝|A→C|＝150 N.
力所做的功
已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N，F拉着80 N的木块在摩擦系数为μ＝0.02的水平 面上运动了20 m，问F和摩擦力f所做的功分别是多少？
【思路分析】利用向量数量积的物理意义求解．
【规范解答】设木块的位移为 s，则 F·s＝|F||s|·cos 30°＝
【规范解答】设船速为 v1，水速为 v2， 船的实际速度为 v3.建立如图所示坐标系， 则|v1|＝5 m/s，|v3|＝250 m/s＝4 m/s.
由 v3＝v1＋v2，得 v2＝v3－v1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)， ∴|v2|＝3，即 v2＝3 m/s.
用向量解决相关的物理问题，要将相关的 物理量用几何图形正确地表示出来；根据物理意义，将物理问 题转化为数学问题求解．最后将数学结论还原为物理问题．
高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)
2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。
证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。
图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。
∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。
∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。
又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
绿色通道：1。
向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。
平面向量应用举例
A
b· (a－c)＝0. c· (a－b)＝0. a· (c－b)＝0
① ② ③
B F
a
P
E
b
D
c
C
2 2 2 2
C
探索：平行四边形 ABCD 中， 以上关系是否依然成立？
A
B
例1、证明平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。 D 已知：平行四边形ABCD。 求证： AC 2 BD2 2( AB2 AD2 )
A B
C
结 论： 平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。
a b | a || b | cosθ 2.重要性质: 设a 、b都是非零向量,则
(1)
(2)
a b 0 . a b _________
|a| . a a _____ a ______ 2 | a | __________ . a
2 2
(3) | a b
≤ | a || b | . 当且仅当a / /b时，等号成立． | ____
向量运算 翻译几何结果
练习1:求证：直径所对的圆周角为直角.
已知:如图，AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角 求证： ∠ABC=90°
B O A
图 2.5-4
C
例2. 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边 的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你 能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ 演示
E
猜想：
AR=RT=TC
D
F
C
R
T
A
B
向量在物理中的应用举例
一、教学分析向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位以及几何中的有向线段等概念;向量是既有大小、又有方向的量;它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系;将向量这一工具应用到物理中;可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具;而且用数学的思想方法去审视相关物理现象;研究相关物理问题;可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量;比如力、速度、加速度、位移等都是向量;这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.1力、速度、加速度、位移等既然都是向量;那么它们的合成与分解就是向量的加、减法;运动的叠加亦用到向量的合成;2动量是数乘向量;3功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括;把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象;深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题;并获得这个向量的解;④利用这个结果;对原物理现象作出合理解释;即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较;得出抽象的数学模型.例如;物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时;注重向量模型的运用;引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.二、教学目标1．知识与技能：通过力的合成与分解的物理模型;速度的合成与分解的物理模型;掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤..2．过程与方法：明了向量在物理中应用的基本题型;进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.3．情感态度与价值观：通过对具体问题的探究解决;进一步培养学生的数学应用意识;提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学;善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.三、重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.四、教学设想一导入新课思路1.章头图引入章头图中;道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.章引言说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢它就像章头图中的高速公路一样;是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中;教师展示物理模型;由此展开新课.思路2.问题引入你能举出物理中的哪些向量比如力、位移、速度、加速度等;既有大小又有方向;都是向量;学生很容易就举出来.进一步;你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗你是怎样解决的教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具;对向量在物理中的研究;有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究;体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.二应用示例例1在日常生活中;你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包;夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动;两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型;引导学生由向量的平行四边形法则;力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系其中F为F 1、F 2的合力;就得到了问题的数学解释.图1在教学中要尽可能地采用多媒体;在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F |、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后;与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤;也可以由学生自己完成;还可以用信息技术来验证. 用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化;即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立;即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得;即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案;即回到问题的初始状态;解释相关的物理现象.解:不妨设|F 1|=|F 2|;由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识;可以知道通过上面的式子;我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时;2θ由0°到90°逐渐变大;cos 2θ的值由大逐渐变小;因此|F 1|由小逐渐变大;即F 1;F 2之间的夹角越大越费力;夹角越小越省力.点评:本例是日常生活中经常遇到的问题;学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图;启发学生将物理现象转化成模型;从数学角度进行解释;这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型;为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现;这是一个很简单的向量问题;这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20km/h 的速度向西行驶;感到风从正南方向吹来;而当其速度变为40km/h 时;他又感到风从西南方向吹来;求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v 1表示20km/h 的速度;在无风时;此人感到的风速为-v 1;实际的风速为v ;那么此人所感到的风速为v +-v 1=v -v 1. 令AB =-v 1;AC =-2v 1;实际风速为v .∵DA +AB =DB ; ∴DB =v -v 1;这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.∵DA +AC =DC ;∴DC =v -2v 1;这就是当车的速度为40km/h 时;骑车人感受到的风速.由题意得∠DCA=45°;DB ⊥AB;AB=BC;∴△DCA 为等腰三角形;DA=DC;∠DAC=∠DCA=45°.∴DA=DC=2BC=202.∴|v |=202km/h. 答:实际的风速v 的大小是202km/h;方向是东南方向.例2如图3所示;利用这个装置冲击摆可测定子弹的速度;设有一砂箱悬挂在两线下端;子弹击中砂箱后;陷入箱内;使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M;求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度;由于水平方向上动量守恒;所以m|v |=M+m|v 0|.①由于机械能守恒;所以21M+m v 02=M+mgh.②联立①②解得|v |=.2gh m m M 又因为m 相对于M 很小;所以|v |≈gh m M 2;即子弹的速度大小约为gh m M 2. 三知能训练 1.一艘船以4km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行;已知河水流速为2km/h;则经过3小时;该船实际航程为A.215kmB.6kmC.84kmD.8km图4 2.如图4;已知两个力的大小和方向;则合力的大小为N;若在图示坐标系中;用坐标表示合力F ;则F =___________. 3.一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶;而该船实际航行的方向与水流方向成30°角;求水流速度与船的实际速度.解答: 1.B点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理;所以要通过作高来求.2.415;4图53.如图5所示;设OA 表示水流速度;OB 表示船垂直于对岸的速度;OC 表示船的实际速度;∠AOC=30°;|OB |=5km/h.因为OACB 为矩形;所以|OA |=|AC |·cot30°=|OB |·cot30°=53≈8.66km/h;|OC |= 30cos ||OA =2335=10km/h. 答:水流速度为8.66km/h;船的实际速度为10km/h.点评:转化为数学模型;画出向量图;在直角三角形中解出.四课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化;即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立;即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得;即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案;即回到问题的初始状态;解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③动量mv是数乘向量;冲量Δt F也是数乘向量;④功是力F与位移s的数量积;即W=F·s.五作业。
2.5.2向量在物理中的应用举例1
小结
物理问题 (实际问题）
向量问题 (数学模型)
解释和验证相 关物理现象
数学问题 的解决
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min.
（1）行驶航程最短,是否就是航程时间 最短呢? （2） V1的方向如何才能使航程时间最短?
思考题
已知船在静水中的速度是3km/h,它
要横渡30m的河流,已知水流的速度是 4km/h,思考: 1.这只船可以沿着垂直于河岸的航线 到达正对岸吗?
2.最短多少时间可以过河?
课堂小结
向量解决物理问题的一般步骤: (1)问题的转化：把物理问题转化为数学 问题； (2)模型的建立：建立以向量为主体的数 学模型； (3)参数的获得：求出数学模型的有关解 ——理论参数值； (4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决有相关物理现象.
练习.有两个向量 e1 (1, 0), e2 (0, 1), 今有动点P从P0 ( 1, 2)开始沿着与向量
e1 e2相同的方向做匀速运动 , 速度为 | e1 e2 |, 另有一动点Q , 从Q0 ( 2, 1) 开始沿着与 3e1 2e2相同的方向做匀速 运动, 速度为| 3e1 2e2 |, 设P、Q在时 刻t 0秒时分别在P0、Q0处 , 则当PQ P0Q0时，求 t 的值.
（1） θ为何值时， |F1|最小，最小值是 多少？ （2） |F1|能等于|G|吗？为什么？
例2
如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500m
一膄船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 = 10km / h , 水流速度 v2 = 2km / h,问行驶航程最短时，所用时间是 多少(精确到0.1 min)?
分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的
46平面向量的数量积及应用举例1
(3)设a=(a1,b1),b=(a2,b2),则cos<a,b>=
3、平面向量数量积的坐标表示
（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=.
（2）若a=(x,y)，则|a|2=a·a=,|a|=.
（3）若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a⊥b.
主要方法：零向量:(1)0与实数0的区别,不可写错:0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任意的,并非没有方向,0与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系.
例题分析：
巩固练习：
课后作业：
教
后
反
思
备课组长签字：年月日
教法
讨论与讲授法相结合
学法
课前预习、课堂合作探究
个人主页
教具
教材、练习册
课型
常规课
课时安排
1课时
教
学
过
程
主பைடு நூலகம்知识：
1、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：a·b=b·a
（2）分配律：(a+b)·c=a·c+b·c
（3）数乘向量结合律：(λμ)·a=λ(μa)
2、向量的长度、距离和夹角公式：
(1)设a=(a1,a2),则|a|=.
富县高级中学集体备课教案
年级：高三科目：数学授课人：
课题
平面向量的数量积及应用举例
第46课时
教学
目标
1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义
2、了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
重点
能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
高中数学向量的运算技巧及应用举例
高中数学向量的运算技巧及应用举例向量是高中数学中的重要概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中发挥着重要作用。
掌握向量的运算技巧和应用，对于高中学生来说至关重要。
本文将以具体的题目为例，详细介绍向量的运算技巧及其应用。
一、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中最基础的部分。
在进行向量的加减运算时，需要注意向量的方向和大小。
例题1：已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量c = a + b。
解析：根据向量的加法定义，向量c的横坐标等于向量a和向量b的横坐标之和，纵坐标等于向量a和向量b的纵坐标之和。
因此，向量c = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)。
例题2：已知向量a = (3, 5)和向量b = (2, -4)，求向量c = a - b。
解析：根据向量的减法定义，向量c的横坐标等于向量a和向量b的横坐标之差，纵坐标等于向量a和向量b的纵坐标之差。
因此，向量c = (3 - 2, 5 - (-4)) = (1, 9)。
通过以上两个例题，我们可以看出向量的加法和减法运算实际上就是对应坐标的加减运算。
掌握了这一点，我们就能够轻松地进行向量的加减运算。
二、向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。
数量积表示两个向量的乘积，向量积表示两个向量的叉乘。
例题3：已知向量a = (3, 4)和向量b = (2, -1)，求向量a和向量b的数量积。
解析：向量a和向量b的数量积等于向量a的横坐标乘以向量b的横坐标之和，再加上向量a的纵坐标乘以向量b的纵坐标之和。
因此，向量a和向量b的数量积为3 * 2 + 4 * (-1) = 6 - 4 = 2。
例题4：已知向量a = (3, 4)和向量b = (2, -1)，求向量a和向量b的向量积。
解析：向量a和向量b的向量积等于向量a的横坐标乘以向量b的纵坐标减去向量a的纵坐标乘以向量b的横坐标。
向量在物理学中的应用举例省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
二、速度及位移问题
以某市人民广场中心为原点建立直角坐标系,x轴指向东,y轴指向北一个单 位表示实际旅程100米,一人步行从广场入口处A(2,0)出发,一直沿一个方向 均速前进,6分钟时途经少年宫C,10分钟后抵达科技馆B(-3,5).求：此人位 移向量(说明此人位移距离和方向); 此人行走速度向量(用坐标表示); 少年宫C点相对于广场中心所处位置. (以下数据供选取:tan18°24 ＝ 0.3327,tan18°26 = 13 ,tan2 ＝0.0006)
向量在物理学中应用举例
向量起源于物理,是从物理学中抽象出 来数学概念。物理学中许多问题, 如位移、速度、加速度等都能够利用向 量来处理。用数学知识处理物理问题, 首先要把物理问题转化为数学问题,即 依据题目标条件建立数学模型,再转化 为数学中向量运算来完成。
第1页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 一、受力分析
质量为m物体静止地放在斜面上,斜面与水平面夹角为θ,求斜面对于物体摩擦 力和支持力大小.
⑵t＝10分＝ 16 小时，|V|＝ |AB|t ＝302∴Vx＝|V|cos135°＝－30，Vy ＝|V|sin135°＝30，∴V＝(－30,30)⑶∵AC＝ 610 AB，∴OC＝OA＋ 35 AB＝(2,0)＋ 35 (－5,5)＝(－1,3)∴|OC|＝10，又tan(18°24 ＋2 )＝ 0.3327+0.00061-0.3327×0.0006 ＝ 13 而tan∠COy＝ 13 ，∴∠COy＝ arctan 13 ＝18°26 。 ∴少年宫C点相对于广场中心所处位置为“北
分析： ⑴AB坐标等于它终点坐标减去起点坐标,代入A,B坐标可求；⑵习惯上 单位取百米/小时，故需先将时间换成小时。而速度等于位移除以时间，由 三角知识可求出坐标表示速度向量。⑶经过向量坐标运算及三角函数公式 求解。
平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例-高一数学(人教A版2019必修第二册)
个系统恰好处于平衡状态，求∠的大小.
学习目标
1、用向量解决几何中的平行、垂直、长度/距离、角度等问题；
2、借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系；
3、通过平面向量基本定理，将向量的运算化归为实数的运算.
6.4.1 平面几何中的向量
方法
高一下学期
典例精析
例题：在正方形中，点，分别是，的中点，求证： ⊥
.
法一(几何法)：∆ ≅ ∆
验证： ∙ = 0 ？
法二(基底)： = + = +
1
2
1
2
= − =
−
1
1
∙ = (
+ ) ∙ ( − )
2
1
2
2
2
3
4
1
2
2
=
−
∙ −
又∵在正方形中， = ， ⊥
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： 2 + 2 = 2(2 + 2 ).
新知探究
思考：你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？
2 + 2 = 2(2 + 2 )
平行四边形对角线的平方和=邻边平方和的2倍
思考： 2 = (Ԧ + )2 = Ԧ 2 + 2Ԧ ∙ + 2 ； 2 = (Ԧ − )2 = Ԧ 2 − 2Ԧ ∙ + 2 ，
向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明.
②坐标法：先建直角坐标系，写出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明.
6.4.2 向量在物理中的应
用举例
高一下学期
向量在物理中的应用举例
3.质量 m＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力 F＝10 N 的作用下，沿倾斜角 θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m 的距离.(g＝9.8 N/kg) (1)分别求物体所受各力对物体所做的功； (2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多 少？
解：(1)木块受三个力的作用，重力 G，拉力 F 和 支持力 FN，如图所示， 拉力 F 与位移 s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为 WF＝ F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)； 支持力 FN 与位移方向垂直，不做功，所以 WN＝FN·s＝0； 重力 G 对物体所做的功为 WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝ －19.6(J). (2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W＝WF＋WN＋WG＝ 0.4(J).
[典例 2] 已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一 质点，使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0)，求 F1，F2 分别对质 点所做的功.
[解] 设物体在力 F 作用下的位移为 s，则所做的功为 W ＝F·s.∵―AB→＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15).
＋F22＋2F1·F2＝4＋16＝20，∴|F3|＝2 5. 答案：C
3.一条河宽为 800 m，一船从 A 处出发想要垂直到达河正对岸 的 B 处，若船速为 20 km/h，水速为 12 km/h，则船到达 B 处所需时间为________min. 解析：由题意作出示意图，如图， ∵v 实际＝v 船＋v 水＝v1＋v2， |v1|＝20 km/h， |v2|＝12 km/h，
二、创新应用题 5.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速
度为 3 km/h，方向正东，风吹向北偏西 30°，受风力影响， 静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂 直于河岸的方向以 2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速 度大小及方向.
7向量应用举例
F
X
例3、求证：三角形三条高线共点.
C 证：设CF , AD, BE分别是ABC的三条高， AD BE H . AD BC, BE CA, E H D
AH CB 0, BH CA 0.
A
即(CH CA) CB CH CB CA CB 0,
例1. 求证平行四边形对角线互相平分． 证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条 对角线相交于M，设 AM x AC, BM y BD.
AM
AM AB BM AB y BD AB y( AD AB)
向量应用举例
例1、 (1)求以点C (a, b)为圆心，r为半径的圆的方程; (2)已知A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 试求以AB为直径的圆的方程.
例2、已知圆C : ( x a) ( y b) r , 求与圆C
2 2 2
相切于点P0 ( x0 , y0 )的切线方程 .
(1 y) AB y AD.
由平面向量的基本定理 知：
M是A, B的中点， 即两条对角线互相平分 .
x 1 y 1 x y . 2 x y
例2、P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为 矩形.求证：PA EF且PA EF .
Y A
P
B
E
C
D O
直线Ax By C 0的方向向量是 v (B, A).
点M ( x0 , y0 )到直线l : Ax By C 0的距离d为 d | Ax0 By0 C | A B
2 2
Y
L
n
v
O
M ( x0 , y0 )
数学人教A版2019必修第二册 向量在物理中的应用举例
事实上，要使| |最小，只需
此时
= ，可得 = .
于是| |的最小值为 .
若要使| | = ||，只需
此时
=
最大，
，即
=
.
=
，
技巧总结
用向量解力学问题
对物体进行受力分析
画出受力分析图
转化为向量问题
例题解析
例2.在如图，一条河两岸平行，河的宽度 = ，一艘船从河岸边的
6.4 平面向量的应用
§6.4.2 向量在物理中的应用举例
情境引入
➢ 向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都
是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了
有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为
向量问题来解决.
➢ 因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问
模型的建立
建立以向量为主体的数学模型
参数的获得
求出数学模型的有关解—理论参数值
问题的答案
回到问题的初始状态，解释相关的物理现象
随堂练习
1.一物体在力的作用下，由点(, )移动到点 , ．已知 =
， − ，求对该物体所 做的功
2.如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点
程需要多长时间(精确到. )？
解：设点是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船实际
沿着方向行驶时，船的航程最短.
如图，设 = + ，则|| =
此时，船的航行时间 =
||
=
.
| | − | | = (/).
北师大版数学必修四课件：2.7向量应用举例
uur
整理得4x-3y+10=0,这就是所求的过A且与l平行的直线方程.
uuu r (2)设Q(x,y)为直线l上一动点，则AQ =(x+1,y-2)，点Q在 r uuu r 过A且垂直于l的直线上，当且仅当 ugAQ 0, 转化为坐标
【审题指导】要判断哪根绳受力最大，则需比较
uuu r uuu r uuu r OA 、 OB 、 OC 的大小，可借助物理的相关知识结
合向量的运算解决.
r r r 【规范解答】设OA，OB，OC三根绳子所受力分别是 a,b,c ，
则 a b c 0， a,b 的合力为 c a b, c c ， 如图，在平行四
共线(点)问题
证明共线(点)问题的策略
解决此类问题的关键在于首先选取一组不共线的向量作为
基底，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，
把其他相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相 等建立方程，从而解出相关参数的值.
uuu r uuu r AC BD，
uuu r uuu r AC BD.
方法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，
如图所示：
设A(a,b),B(0,0),C(c,0),则由|AB|=|BC| 得a2+b2=c2.
uuu r uur uuu r AC BC BA c,0 a, b c a, b ， uuu r uuu r uur BD BA BC a, b c,0 a c, b . uuu r uuu r ACgBD (c a, b)g a c, b c 2 a 2 b 2 0. uuu r uuu r AC BD,
【数学】2.5.2 向量在物理中的应用举例1
故事记忆法小妙招
费曼学习法
费曼学习法-简介
理查德·菲利普斯·费曼 （Richard Phillips Feynman）
费曼学习法出自著名物理学家费曼，他曾获的 1965年诺贝尔 物理学奖，费曼不仅是一名杰出的 物理学家，并且是一位伟 大的教育家，他能用很 简单的语言解释很复杂的概念，让其 他人能够快 速理解，实际上，他在学习新东西的时候，也会 不断的研究思考，直到研究的概念能被自己直观 轻松的理解， 这也是这个学习法命名的由来！
1第一遍知道大概说了什么就行；
2第二遍知道哪块是重点；
3第三遍可以做出一些判断。
高效学习逻辑 思维
事实知识（know--what）：知道是什么的知识， 主要叙述事实方面的知识； 原理知识（know--why）：知道为什么的知识， 主 要是自然原理和规律方面的知识； 技能知识（know--how）：知道怎么做的知识， 主要是对某些事物的技能和能力； 人力知识（know--who）：知道是谁的知识， 主 要是谁知道以及谁知道如何做某些事的能力；
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
宝鸡市金台高级中学导学案
年级：高一年级学科：数学章节：第二章第7节
主备人：高伟霞审核人：杨宝华使用时间：2014年4月3日
2.已知直线=
=
+
-k
y
x
l斜率
,0
9
3
4
:，其方向向量v=，若），
（3-,4
=
n则v与n的关系为，向量n与直线l关系为。
3.已知直线,0
:=
+
+c
by
ax
l其方向向量v=，若），
（b
a,
=则v与n的关系为，向量n与直线l关系为；故称向量n为直线l的法向量。
与n向量
同向的单位向量n0=
n
n
=。
二、合作探究，共同提高
例1.如下图所示，直线,0:=++c by ax l M ),(00y x 是直线外一点，任取P ),(y x 是直线上任意一点，则PM = ,直线l 的法向量n= ,PM 在法向量n 的单位向量n 0方向上射影的长度d
0n ∙= .
例2.认真完成预习导引各题，书写例1题证明过程：
1.求点P （
2.
3.已知三点程。
四、回顾小结，全面概括
x
M。