【必考题】高考数学一模试题带答案
一模高考数学试卷答案
1. 下列函数中，定义域为实数集的是（）A. y = √(x - 1)B. y = log₂(x + 2)C. y = |x| + 1D. y = 1/x答案：C解析：A选项中，x - 1需要大于等于0，即x≥1；B选项中，x + 2需要大于0，即x>-2；D选项中，x不能为0。
只有C选项的定义域为实数集。
2. 已知函数f(x) = x² - 4x + 4，则f(x)的对称轴是（）A. x = 2B. x = 1C. x = 3D. x = 4答案：A解析：函数f(x) = x² - 4x + 4可以写成f(x) = (x - 2)²，所以对称轴为x = 2。
3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 2n + 1，则S10等于（）A. 110B. 105C. 100D. 95答案：A解析：根据等差数列的求和公式，S10 = (a1 + a10) 10 / 2 = (3 + 21) 10 /2 = 110。
4. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则向量a·b的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C解析：向量a·b = 2 1 + 3 2 = 2 + 6 = 8。
5. 下列不等式中，正确的是（）A. x² > 0B. x³ > 0C. x² < 0D. x³ < 0答案：A解析：对于实数x，x²和x³要么都大于0，要么都小于0，不可能一个大于0，一个小于0。
二、填空题6. 函数y = log₃(x + 1)的值域为______。
答案：[0, +∞)解析：对数函数的底数大于1，所以值域为[0, +∞)。
7. 数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列的前5项和为______。
答案：30解析：a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = (3 1 - 2) + (3 2 - 2) + (3 3 - 2) + (3 4 - 2) + (3 5 - 2) = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 30。
2024北京高三一模数学题目(含答案)利用导数研究函数的性质
一、单选2024北京高三一模数学题目（含答案）利用导数研究函数的性质题1．（2024北京朝阳高三一模）已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，对任意()1,2,,i x i n =⋅⋅⋅，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y xi i x y =，则使得12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数n 为（）A ．14B ．16C ．21D ．232．（2024北京海淀高三一模）函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A ．[0,2]B ．[3,0][3,4)-C ．(5,0][2,4)-D ．(4,0][2,3)- 3．（2024北京海淀高三一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,24．（2024北京房山高三一模）若函数(]()ln ln(1),,0()1,0,exx x x x ∞∞⎧-∈-⎪=⎨∈+⎪⎩，则函数()()g x f x x c =++零点的个数为（）A ．1B ．2C ．1或2D ．1或35．（2024北京延庆高三一模）已知函数()321x f x x =--，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．()(),01,∞∞-⋃+二、填空题6．（2024北京顺义·二模）已知函数()()213f x kx b x =-++，给出下列四个结论：①当0k =时，对任意b ∈R ，()f x 有1个极值点；②当18k >时，存在b ∈R ，使得()f x 存在极值点；③当0b =时，对任意k ∈R ，()f x 有一个零点；④当103b <<时，存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点.其中所有正确结论的序号是.7．（2024北京海淀高三一模）已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是.8．（2024北京石景山高三一模）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,N ,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩为既约真分数和内的无理数．若数列*1,n n a R n n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，给出下列四个结论：①1n a n =；②21n n a a ++<；③1112n i i i a a +=<∑；④11ln 2ni i n a =+≥∑．其中所有正确结论的序号是．9．（2024北京石景山高三一模）设函数()323,13,1x ax x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩，①若()f x 有两个零点，则实数a 的一个取值可以是；②若()f x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是．10．（2024北京延庆高三一模）已知函数()221ln 1.x ax x f x a x x x⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，，，给出下列四个结论：①存在实数a ，使得函数()f x 的最小值为0；②存在实数0a <，使得函数()f x 的最小值为1-；③存在实数a ，使得函数()f x 恰有2个零点；④存在实数a ，使得函数()f x 恰有4个零点．其中所有正确结论的序号是．三、解答题11．（2024北京东城高三一模）已知函数()()ln 1f x x x =-.(1)求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；(3)若()2f x x a>-，求实数a 的值.12．（2024北京朝阳高三一模）已知函数()()()1e R xf x ax a =-∈.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的不等式()()1f x a x >-无整数解，求a 的取值范围.13．（2024北京顺义·二模）设函数()e cos xf x a x =+，a ∈R .曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =+.(1)求a 的值；(2)求证：方程()2f x =仅有一个实根；(3)对任意()0,x ∈+∞，有()sin 2f x k x >+，求正数k 的取值范围.14．（2024北京房山高三一模）已知函数1()e axf x x=+．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设2()()g x f x x '=⋅，求函数()g x 的极大值；(3)若e a <-，求函数()f x 的零点个数．15．（2024北京西城高三一模）已知函数()()1ln e xf x x ax x a=++．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率；(2)当1a =-时，讨论()f x 的单调性；(3)若集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素，求a 的值．16．（2024北京海淀高三一模）已知函数12()e a x f x x -=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.17．（2024北京门头沟高三一模）已知函数()()21ln 12f x ax x x a x =-+-．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点())1,1f 处的切线方程；(2)当a<0时，求()f x 的极值；(3)当112a ≤≤时，判断()f x 零点个数，并说明理由．18．（2024北京石景山高三一模）已知函数()()e 0axf x x a =>．(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)求()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值；(3)当1a =时，求证：()ln 1f x x x ≥++．19．（2024北京丰台高三一模）已知函数()()e ln 1xf x x x =++-，曲线():C y f x =在点()()00,x f x 处的切线为():l yg x =，记()()()h x f x g x =-．(1)当00x =时，求切线l 的方程；(2)在（1）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥；(3)当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数．（结论不要求证明）20．（2024北京延庆高三一模）已知函数()()ln 22f x x a x =-++-.(1)若曲线()y f x =的一条切线方程为1y x =-，求a 的值；(2)若函数()f x 在区间()1,2上为增函数，求a 的取值范围；(3)若21,e x ∀∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 无零点，求a 的取值范围．参考答案1．D【分析】构造函数()()ln 2xf x x x=≥，结合函数单调性可得e 4ix <≤，则有()1211e 154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.【详解】由i i y xi i x y =，且2i y ≥，2i x >，故ln ln i i i i y x x y =，即ln ln i ii ix y x y =，令()()ln 2xf x x x=≥，()21ln x f x x -'=，故当()2,e x ∈时，()0f x ¢>，当()e,+x ∈∞时，()0f x '<，即()f x 在()2,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，由ln ln i ii ix y x y =，即()()i i f x f y =，故e i x >，2e i y ≤<，又()()ln 2ln 42424f f ===，故4i x ≤，即e 4i x <≤，若12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即601en ≤+，由e 2.72≈，故60122.06123.07e +≈+=.故最大正整数n 为23.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数()ln xf x x=的性质，结合其单调性得到2e i y ≤<，从而得到e 4i x <≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.2．D【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.3．B【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.4．A【分析】令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，构造函数()()h x f x x =+，利用导数求出函数()h x 的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解.【详解】(]()(]()[)ln ln(1),,0ln(1),,0(),0,11,0,1e ,1,x x x x x f x x x x x x∞∞∞∞⎧⎪-∈-⎧-∈-⎪⎪==∈⎨⎨∈+⎪⎪⎩⎪∈+⎩，令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，令()()(]()[)ln(1),,02,0,11,1,x x x h x f x x x x x x x∞∞⎧⎪-+∈-⎪=+=∈⎨⎪⎪+∈+⎩，当(],0x ∈-∞时，()()ln 1h x x x =-+，则()11011x h x x x =+=-'≥-，所以函数()h x 在(],0-∞上单调递增，且()00h =，当()0,1x ∈时，()()20,2h x x =∈，当[)1,x ∞∈+时，()1h x x x =+，则()2221110x h x x x-=='-+≥，所以函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，且()12h =，又当x →-∞时()h x ∞→-，当x →时，()h x ∞→+，作出函数()h x的大致图象如图所示，由图可知函数(),y f x x y c =+=-的图象有且仅有一个交点，所以函数()()g x f x x c =++零点的个数为1个.故选：A.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.5．A【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在001x <<，再由函数的单调性及(0)(1)0f f ==可得不等式的解集.【详解】因为()32ln 3x f x '=-单调递增，且(0)ln 320f '=-<，(1)3ln 320f '=->，所以存在唯一0(0,1)x ∈，使得0()0f x '=，所以当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又(0)(1)0f f ==，且001x <<，所以由()0f x <可得01x <<，故选：A 6．①④【分析】对①：借助导数研究函数的单调性即可得极值点个数；对②：借助导函数的导函数研究导函数可得导函数无零点，故函数不存在极值点；对③：举出反例即可得；对④：将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x =+的切线，结合零点的存在性定理得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.【详解】对①：当0k =时，()213f x b x =，()()2232x f x x -'=+，则(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>，当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故对任意b ∈R ，()f x 有1个极大值点0x =，故①正确；对②：当18k >时，()()2232f x k x x +-'=-，若()f x 存在极值点，则()f x '有变号零点，则()2232xk x -=+必须有解，令()()2232xx g x -=+，则()()()()()()()()2222224332222611238386333x x x x x x g x x x x x +'+=--+++-=++-+=，故当()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时，()0g x '>，当()1,1x ∈-时，()0g x '<，故()g x 在(),1-∞-、()1,+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减，又0x ≥时，()0g x ≤，()()()28211131g =+-⨯--=，即()18g x ≤恒成立，故当18k >时，()2232x k x -=+无解，故②错误；对③：当0b =时，()213f x kx x =-+，当0k =时，()2103f x x =>+，此时函数()f x 无零点，故③错误；对④：当103b <<时，若存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点，则直线y kx b =+与曲线213y x =+有三个不同交点，由直线y kx b =+过点()0,b ，曲线213y x =+过点10,3⎛⎫⎪⎝⎭，又103b <<，213y x =+是偶函数，且在()0,∞+上单调递减，故当0k <时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第二象限必有一交点，同理，当0k >时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第一象限必有一交点，过点()0,b 作曲线213y x =+0201,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则切线方程为()()00020222133x y x x x x --+-=+，即()()00020222133x b x x x --+⨯-=+，则()()22020313x b x +=+，由103b <<，则()()0220231133x x +<+，即()()2220011540x x +-++>，即()()()22220000141130x x x x +-+-=->，即203x ≥，故当103b <<时，存在()0,x ∈-∞+∞ ，使曲线213y x =+有过点()0,b 的切线，且切点为021,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，当0x >时，切线斜率为()22230x x +<-，则当()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭时，有()00f x <，又()1030b f =->，则存在()100,x x ∈，使()10f x =，此时函数y kx b =+单调递减，而2103y x =>+恒成立，故存在()20,x x ∈+∞，使()20f x =，即当0x >时，存在()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，同理可得，当0x <()02020,23x k x ⎛⎫- ∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，故④正确.故答案为：①④.【点睛】关键点点睛：第④个结论关键点在于将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x=+的切线，结合零点的存在性定理去得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.7．②③④【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -==kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k x =或22k x =（负值舍去），则20122k x +=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k k x =或22k k x =（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则2221171174242412222k t x ⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==>=-，即1x =-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.8．②③④【分析】根据黎曼函数的定义和性质逐项分析.【详解】对于①，N ,1n n +∈∴= 时，()11001a R ==≠，故①错误；对于②，111n a n +=+，212n a n +=+，+12n n a a +∴>，故②正确；对于③，11223341111111123341ni i n n i a a a a a a a a a a n n ++==++++=⨯+⨯++⋅+∑ 11111111123341212n n n =-+-++--<++ ，故③正确；对于④，123111123ni n i a a a a a n==++++=+++∑ ，()2n ≥，构造函数()e 1xg x x =--，()0x >，则()e 10xg x ='->，()g x 单调递增，()(0)0g x g ∴>=，即当0x >时e 1x x >+，11132111e 1,e 1,,e 123n n>+>+>+ ，11123345111111eln 2342232nn n n n n +++++⎛⎫>⨯⨯⨯⨯=∴+++> ⎪⎝⎭，当1n =时，110ni i a a ===∑，11ln 02+=，11ln 2ni i n a =+⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭∑，故④正确.故选：②③④.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．9．1-（13a <-内的值都可以）01a ≤≤或2a ≥【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解；②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解.【详解】①函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，()2130f a =+>，所以函数()f x 在区间()1,+∞上无零点，则函数()33f x x ax =+在(],1-∞上有2个零点，即330x ax +=，()230x x a +=，则0x =，或x =或x =，a<0，1>，解得：13a <-，所以a 的一个值是1-；②函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，则在(],1-∞上，()33f x x ax =+也单调递增，且321331a a +≤⨯+，若函数在()33f x x ax =+在区间(],1-∞单调递增，则()2330f x x a '=+≥，即2≥-a x 在区间(],1-∞上恒成立，即()2maxa x≥-，即0a ≥，不等式321331a a +≤⨯+，解得：2a ≥或1a ≤，综上可知，01a ≤≤或2a ≥.故答案为：1-（13a <-内的值都可以）；01a ≤≤或2a ≥10．①③【分析】取特殊值判断①，当0a <时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④.【详解】当0a =时，()210 1.x x f x x ⎧<=⎨≥⎩，，，，显然函数的最小值为0，故①正确；当0a <时，ln ()(1)a xf x x x =≥，()21ln ()a x f x x-'=，当1e x <<时，()0f x '<，当e x <时，()0f x '>，所以()f x 在[)1,e 上单调递减，在[)e,+∞上单调递增，所以e x =时，()f x 有最小值(e)eaf =，由1e a =-可得a e =-，此时，1x <时，2()2e f x x x =-，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以()(1)12e f x f >=-，与最小值为1-矛盾，若1x <时，2()2f x x ax =+的对称轴方程为0x a =->，当1x a =-<时，即1a >-时，2min ()()f x f a a =-=-，若21a -=-，则1a =-与1a >-矛盾，当1x a =-≥时，()f x 在(,1)-∞上单调递减，无最小值，综上，当0a <时，函数()f x 的最小值不为1-，故②错误；由②知，1a <-时，1x <时，()f x 单调递减且(0)0f =，当1x ≥时，()0f x ≤且(1)0f =，所以函数恰有2个零点，故③正确；当0a >时，ln ()0(1)a xf x x x=≥≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，当0a <时，ln ()0(1)a xf x x x=≤≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，综上0a ≠时，ln ()(1)a xf x x x=≥有且只有1个零点，而2()2(2)f x x ax x x a =+=+在1x <上至多有2个零点，所以0a ≠时，函数没有4个零点，当0a =时，函数有无数个零点，故④错误.故答案为：①③【点睛】关键点点睛：本题的关键是对a 分类讨论，利用导数研究[)1,+∞上的函数性质，结合二次函数性质研究另一段函数.11．(1)24y x =-(2)2(3)2a =【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出函数()g x 的单调区间，进而可求出最小值；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，在1a >时，再分x a >和1x a <<两种情况讨论，分离参数，构造函数并求出其最值，即可得解.【详解】（1）()()()ln 111xf x x x x '=-+>-，则()()22,20f f '==，所以曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-；（2）()()()()ln 111xg x f x x x x '==-+>-，()()()22112111x x x g x x x x ---'=+=---，当12x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()min 22g x g ==；（3）函数()f x 的定义域为()1,+∞，当1a ≤时，0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由（2）得()2f x '≥，令()()2h x f x x =-，则()()()201h x f x x ''=-≥>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，又当1x →时，()h x →-∞，因为1a ≤，所以22a -≥-，此时()22a f x x -<-不恒成立，故1a ≤不符题意；当1a >时，若x a >，则0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由上可知函数()()2h x f x x =-在(),a +∞上单调递增，所以()()()()ln 12h x h a a a a x a >=-->，所以()2ln 12a a a a -≤--，解得2a ≥①，若1x a <<，则()2f x x a>-，即()()2f x x a <-，即()22a f x x ->-，由上可知函数()()2h x f x x =-在()1,a 上单调递增，所以()()()()ln 1211h x h a a a a a <=--<<，所以()2ln 12a a a a -≥--，解得2a ≤②，由①②可得2a =，综上所述，2a =.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．12．(1)答案见解析(2)1a ≥【分析】（1）首先求函数的导数，再分0,0,0a a a ><=三种情况讨论()f x 的单调性；（2）不等式转化为11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设函数()1e x x h x x -=-，利用导数求函数的取值范围，再结合不等式，讨论a 的取值，即可求解.【详解】（1）()()1e xf x a ax '=--，当()0f x '=，得1ax a-=，当0a >时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0a <时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当0a =时，()e xf x =，函数()f x 在R 上单调递增，综上可知，0a >时，函数()f x 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎝⎭，单调递减区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a <时，函数()f x 的单调递减区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a =时，函数()f x 的增区间是(),-∞+∞，无减区间.（2）不等式()()1e 1xax a x ->-，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设()1e x x h x x -=-，()2e 21e ex x xx x h x -+-'=-=，设()e 2xt x x =+-，()e 10x t x '=+>，所以()t x 单调递增，且()01t =-，()1e 20t =->，所以存在()00,1x ∈，使()00t x =，即()00h x '=，当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()00000e 1e x x x x h x h x -+≥=，因为e 1xx ≥+，所以()()()00002000000011e 110e e e x x x x x x x x x x h x h x +-+-++≥=≥=>，当0x ≤时，()()01h x h ≥=，当1x ≥时，()()11h x h ≥=，不等式()()1e 1xax a x ->-无整数解，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭无整数解，若0a ≤时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，若1a ≥时，即11a≤，因为函数()h x 在(],0-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，所以Z x ∈时，()()(){}1min 0,11h x h h a ≥=≥，所以()1h x a<无整数解，符合题意，当01a <<时，因为()()1011h h a==<，显然0,1是()1a h x ⋅<的两个整数解，不符合题意，综上可知，1a ≥.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键1是不等式的变形11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，第二个关键是确定函数()1ex x h x x -=-的单调性，以及确定()()011h h ==.13．(1)1a =；(2)证明见解析；(3)01k <≤.【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；（2）分0x >，0x =，0x <，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；（3）令()e cos sin 2xF x x k x =+--，分01k <≤，1k >两种情况，利用导数讨论最值即可得解.【详解】（1）解：因为()e cos x f x a x =+，所以()00e 1f a a =+=+，又点()()0,0f 在切线2y x =+上，所以()02f =，所以12a +=，即1a =.（2）证明：欲证方程()2f x =仅有一个实根，只需证明e cos 20x x +-=仅有一个零点，令()e cos 2x g x x =+-，则()e sin xg x x '=-，令()()e sin xh x g x x =-'=，则()e cos x h x x '=-，讨论：（1）当0x >时，()0e cos e cos 1cos 0x h x x x x =->-=-≥'，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01h x h >=，即()e sin 10xg x x =>'->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，即此时无零点；（2）当0x =时，()00g =，即此时有一个零点；（3）当0x <时，()0e cos 2e cos 21cos 0x g x x x x =+-<+-=-+≤所以，当0x <时，()0g x <，即此时无零点综上可得，()e cos 2xg x x =+-仅有一个零点，得证.（3）当()0,x ∞∈+时，e cos sin 2x x k x +>+，即e cos sin 20x x k x +-->恒成立，令()e cos sin 2xF x x k x =+--，则()e sin cos xF x x k x =-'-，由（Ⅱ）可知，()0,x ∞∈+时e sin 1x x ->，所以()e sin cos 1cos xF x x k x k x '=-->-，讨论：（1）当01k <≤时，因为1cos 1x -≤≤，所以cos k k x k -≤≤，即11cos 1k k x k -≤-≤+，所以()1cos 10F x k x k >≥'--≥，即当01k <≤时，()0F x '>，所以()e cos sin 2xF x x k x =+--在()0,x ∞∈+时单调递增，所以()()00F x F >=恒成立，即满足条件e cos sin 20x x k x +-->，（2）当1k >时，由()e sin cos xF x x k x =-'-可知()010F k ='-<，又()ππe 0F k '=+>，所以存在()00,πx ∈，使得()00F x '=，所以，当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()000F x F <=，即不能保证e cos sin 20x x k x +-->恒成立，综上可知，正数k 的取值范围是01k <≤.【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问题转化为函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.14．(1)3y x =-+(2)答案见解析(3)1【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）求导，分0a =，0a >和a<0三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；（3）令1()e 0ax f x x =+=，则1e ax x =-，再分x 的正负讨论，当0x <时，分离参数可得()ln x a x-=-，则函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x -==-图象交点的个数，构造函数()()()ln 0x h x x x-=-<，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.【详解】（1）当0a =时，1()1f x x=+，()21f x x '=-，则()()11,12f f =-'=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x -=--，即3y x =-+；（2）21()e ax f x a x'=-，则()22()()e 10ax g x f x x ax x =⋅=-≠'，则()()()222e e 2e 0ax ax axg x ax a x ax ax x =+=+≠'，当0a =时，()1g x =-，此时函数()g x 无极值；当0a >时，令()0g x '<，则0x >或2x a <-，令()0g x '<，则20x a -<<，所以函数()g x 在(2,,0,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 的极大值为2241eg a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；当a<0时，令()0g x '<，则0x <或2x a>-，令()0g x '<，则20x a <<-，所以函数()g x 在()2,0,,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，而函数()g x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，所以此时函数()g x 无极值.综上所述，当0a ≤时，函数()g x 无极大值；当0a >时，()g x 的极大值为241ea -；（3）令1()e 0axf x x =+=，则1e ax x =-，当0x >时，1e ,00axx>-<，所以0x >时，函数()f x 无零点；当0x <时，由1e axx =-，得1ln ax x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()ln x a x-=-，则0x <时，函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x-==-图象交点的个数，令()()()ln 0x h x x x -=-<，则()()2ln 1x h x x --'=，当e x <-时，()0h x '>，当e 0x -<<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(),e ∞--上单调递增，在()e,0-上单调递减，所以()()max 1e eh x h =-=，又当x →-∞时，()0h x >且()0h x →，当0x →时，()h x ∞→-，如图，作出函数()h x 的大致图象，又e a <-，由图可知，所以函数()()ln ,x y a h x x-==-的图象只有1个交点，即当0x <时，函数()f x 只有1个零点；综上所述，若e a <-，函数()f x 有1个零点．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.15．(1)2e 2+(2)单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-(3)1a e=-【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；（2）对函数求导得到()()11e x f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'，由函数()f x 定义域知1e 0x x -<，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；（3）对函数求导得到()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，再分0a >和a<0两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.【详解】（1）当1a =时，()ln e xf x x x x =++，所以()()111e x f x x x=+++',得到()12e 2f '=+，所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处切线的斜率为2e 2+．（2）当1a =-时，()()ln e xf x x x x =+--，易知()f x 的定义域为(),0∞-，又()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭'，因为(),0x ∈-∞，所以1e 0xx-<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-．（3）因为()()1ln e xf x x ax x a =++，所以()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，易知0a ≠，当0a >时，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ¢>恒成立，故()f x 在)∞+上单调递增，又12111e 0af a a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以0a >不合题意，当0a <时，()f x 的定义域为(),0∞-，此时1e0xx a+<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,0-，所以()()max 1()11ln ef x f a a =-=-+--．设()()11ln (0)e g x x x x=-+--<，则()2211e 1e e x g x x x x +=+='，当1,e x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，1,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 的单调递减区间为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以min 1()1e g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素时1a e=-．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.16．(1)()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞(2)1a ≥-【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【详解】（1）易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x (),2∞，单调递减区间为()2,∞+.（2）令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.17．(1)12y =-(2)()12f x a =-极大值，无极小值(3)当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值；（3）依题意可得()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，则判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，利用导数说明()F x 的单调性，求出()()max ln 221F x a a a =-+，再令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，利用导数说明()H x 的单调性，即可求出()max H x ，从而得解.【详解】（1）当1a =时()21ln 2f x x x x =-，则()112f =-，()ln 1f x x x '=+-，所以()10f '=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为12y =-.（2）函数()f x 的定义域为(0,∞+，且()()ln 1ln 1f x a x a x a a x x '=+-+-=-+，令()()ln 1g x f x a x x '==-+，则()1a a xg x x x-'=-=，因为a<0，所以()0g x '<恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，即()f x '在()0,∞+上单调递减，又()10f '=，所以当01x <<时()0f x ¢>，当1x >时()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值()12f x a =-极大值，无极小值.（3）令()0f x =，即()21ln 102ax x x a x -+-=，因为0x >，所以()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，所以判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，又()1222a a x F x x x -'=-=，112a ≤≤，所以当02x a <<时()0F x '>，当2x a >时()0F x '<，所以()F x 在()0,2a 上单调递增，在()2,a +∞上单调递减，所以()()()max 2ln 221F x F a a a a ==-+，令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，则()11ln 22H x x '=-，因为[]1,2x ∈，所以()()111ln 2ln 210222H x '≤-=-<，所以()H x 在[]1,2上单调递减，所以()()10H x H ≤=，所以()20F a ≤，当且仅当12a =时等号成立，所以当12a =时()F x 有一个零点，即()f x 有一个零点，当112a <≤时()F x 无零点，即()f x 无零点，综上可得当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将问题转化为()1ln 102a x x a -+-=，利用导数求出()()max ln 221F x a a a =-+，再构造函数()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈.18．(1)y x =(2)见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，再讨论01a <≤和1a >两种情况求函数的单调性，求函数的最值；（3）首先根据不等式构造函数()e ln 1xg x x x x =---，再利用导数求函数的最小值，即可证明.【详解】（1）()()1e axf x ax '=+，()01f '=，()00f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =；（2）()()1e axf x ax '=+，0a >当01a <≤时，()0f x '≥在区间[]1,1-上恒成立，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以函数()f x 的最小值为()1e axf --=-，最大值为()1e a f =，当1a >时，()0f x '=，得()11,0x a=-∈-，()f x '在区间11,a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭小于0，函数()f x 单调递减，()f x '在区间1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦大于0，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()1e ax f --=-，()1e a f =，显然()()11f f >-，所以函数()f x 的最大值为()1e a f =，综上可知，当01a <≤时，函数()f x 的最小值为()1e ax f --=-，最大值为()1e af =，当1a >时，函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最大值为()1e af =；（3）当1a =时，()e xf x x =，即证明不等式e ln 1x x x x ≥++，设()e ln 1xg x x x x =---，0x >，()()11e ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭x g x x x ，设()1e xh x x =-，0x >，()21e 0xh x x'=+>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，并且1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()1e 10h =->，所以函数()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点0x ，使()0001e 0x h x x =-=，即()00g x '=，则在区间()00,x ，()0x '<，()g x 单调递减，在区间()0,x +∞，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 的最小值为()00000e ln 1xg x x x x =---，由()0001e 0xh x x =-=，得001x x e =，且00ln x x =-，所以()00g x =，所以()e ln 10xg x x x x =---≥，即()ln 1f x x x ≥++.19．(1)1y x =+(2)函数()h x 有唯一零点0x =，证明过程见解析(3)2【分析】（1）只需分别求出()()0,0f f '即可得解；（2）首先有()()e ln 121xh x x x =++--，()()1e 211x x x h x x +--'=+，令()()()1e 21,1x m x x x x =+-->-，我们可以通过构造导数来说明()0m x >，即()0h x '>，这表明了()h x 单调递增，注意到()00h =，由此即可进一步得证；（3）首先我们可以连续求导说明函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增.其次()()()()()000h x f x f x x x f x =---'，故()()()0h x f x f x ''-'=.进一步有()()000h x h x '==，然后分000,10x x >-<<两种情况分类讨论即可求解.【详解】（1）当00x =时，()()001f x f ==，而()1e 11x f x x =+-+'，所以()01f '=，从而切线方程为10y x -=-，也就是1y x =+.（2）由题意()()()()()()e ln 11e ln 121x xh x f x h x x x x x x =-=++--+=++--，所以()()1e 211e 211x xx x h x x x +--=+-='++，令()()1e 21x m x x x =+--，则()()2e 2xm x x =+-'，当10x -<<时，122x <+<，0e 1x <<，所以()2e 2e 212x xx +<<⨯=，即()0m x '<，所以当10x -<<时，()m x 单调递减，()()00m x m >=，当0x >时，22x +>，e 1x >，所以()2e 2e 212x xx +>>⨯=，即()0m x '>，所以当0x >时，()m x 单调递增，()()00m x m >=，综上，()0m x ≥恒成立，也就是()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()1,∞-+又因为()00h =，故函数()h x 有唯一零点0x =，且当10x -<<时，()0h x <，当0x >时，()0h x >；因此当10x -<<时，()0xh x >，当0x >时，()0xh x >，故()0xh x ≥；（3）对n 个实数12,,...,n a a a ，定义()12max ,,...,n a a a 和()12min ,,...,n a a a 分别为12,,...,n a a a 中最大的一个和最小的一个.现在，()()e ln 1x f x x x =++-，故()1e 11xf x x =+-+'，令()()f x x ϕ'=，再对()x ϕ求导一次得到()()21e 1xx x ϕ=-+'.当10x -<<时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=-<-='-=++，()x ϕ单调递减；当0x >时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=->-='-=++，()x ϕ单调递增.。
2024年山东省菏泽市高三一模考试数学试题及答案
2024 年高三一模考试数学试题一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.已知样本数据为xx1、xx2、xx3、xx4、xx5、xx6、xx7, 去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比, 下列数字特征一定不变的是A. 极差B. 平均数C. 中位数D. 方差2.已知复数zz满足zz(1+i)=i2024, 其中i为虚数单位, 则zz的虚部为A. −12B. 12C. −12iD. √223.已知集合AA={xx∣xx=3nn,nn∈ZZ},BB={xx∣0≤xx≤6}, 则AA∩BB=A. {1,2}B. {3,6}C. {0,1,2}D. {0,3,6}4.pp:mm=2,qq:(mmxx+yy)5的展开式中xx2yy3项的系数等于 40 , 则pp是qq的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.已知向量aa=(sin θθ,cos θθ),bb=(√2,1), 若aa⋅bb=|bb|, 则tan θθ=A. √22B. √2C. √3D. √326.已知ff(xx)=xxℎ(xx), 其中ℎ(xx)是奇函数且在R上为增函数, 则A. ff�log213�>ff�2−32�>ff�2−23�B. ff�2−32�>ff�2−23�>ff�log213�C. ff�log213�>ff�2−23�>ff�2−32�D. ff�2−23�>ff�2−32�>ff�log213�7.已知圆C1:xx2+(yy−3)2=8与圆C2:(xx−aa)2+yy2=8相交于A、 B两点, 直线AB交xx轴于点P, 则SS△CC1PPCC2的最小值为A. 32B. 92C. 272D. √2328.若数列{aa nn}的通项公式为aa nn=(−1)nn−1nn, 记在数列{aa nn}的前nn+2(nn∈NN∗)项中任取两数都是正数的概率为PP nn, 则A. PP1=23B. PP9<PP10C. PP10<PP11D. PP11<PP12二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.9.已知函数ff(xx)=Asin (ωωxx+φφ)(AA>0,ωω>0,0<φφ<ππ)的部分图像如图所示, 令gg(xx)=ff(xx)−2sin2�ππ2+xx�+1, 则下列说法正确的有A. ff(xx)的最小正周期为ππB. gg(xx)的对称轴方程为xx=kkππ+ππ3(kk∈z)C. gg(xx)在�0,ππ2�上的值域为�−1,12�D. gg(xx)的单调递增区间为�kkππ+ππ3,kkππ+5ππ6�(kk∈z)10.如图, 在棱长为 2 的正方体AABBAAAA−AA1BB1AA1AA1中, PP为侧面AAAAAA1AA1上一点, QQ为BB1AA1的中点, 则下列说法正确的有A. 若点PP为AAAA的中点, 则过PP、QQ、AA1三点的截面为四边形B. 若点PP为AA1AA的中点, 则PPQQ与平面BBAAAA1BB1所成角的正弦值为√105C. 不存在点PP, 使PPQQ⊥AA1AAD. PPQQ与平面AAAAAA1AA1所成角的正切值最小为√5511.如图, 过点AA(aa,0)(aa>0)的直线AABB交抛物线yy2=2ppxx(pp>0)于AA,BB两点, 连接AAAA、BBAA,并延长, =−aa于MM,NN两点, 则下列结论中一定成立的有A. BBMM//AANNB. 以AABB为直径的圆与直线xx=−aa相切C. SS△AAAAAA=SS△MMAAMMD. SS△MMCCMM2=4SS△AAMMCC⋅SS△AACCMM三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.12.如图, 在正四棱台AABBAAAA−AA1BB1AA1AA1中, AA1BB1=√2,AABB=2√2,该棱台体积V=14√33, 则该棱台外接球的表面积为____________13.已知斜率为√3的直线过双曲线AA:xx2aa2−yy2bb2=1(aa>0,bb>0)的右焦点FF且交双曲线右支于AA、BB两点, AA在第一象限, 若|AAFF|=|AAFF|, 则AA的离心率为_________14.关于xx的不等式xxee aaxx+bbxx−ln xx≥1(aa>0)恒成立, 则bb aa的最小值为_______四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13 分) 已知数列{aa nn}的前nn项和为SS nn, 且SS nn=2aa nn−2(nn∈NN∗).(1) 求数列{aa nn}的通项公式;(2) 若bb nn=log2aa2nn−1,cc nn=1bb nn bb nn+1, 求证: cc1+cc2+cc3+⋯+cc nn<12.16.(15 分) 某商场举行 “庆元宵, 猜谜语” 的促销活动, 抽奖规则如下: 在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1,2,3的空心小球, 球内装有难度不同的谜语. 每次随机抽取 2 个小球, 答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语, 答错则终止游戏. 已知标号为1,2,3的小球个数比为1:2:1, 且取到异号球的概率为57.(1) 求盒中 2 号球的个数;（2）若甲抽到 1 号球和 3 号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示, 请帮甲决策猜谜语的顺序 ()球号 1 号球 3 号球答对概率0.8 0.5奖金100 50017.(15 分) 如图, 已知AABBAAAA为等腰梯形, 点EE为以BBAA为直径的半圆弧上一点, 平面AABBAAAA⊥平面BBAAEE,MM为AAEE的中点, BBEE=AABB=AAAA=AAAA=2,BBAA=4.(1) 求证: AAMM/ /平面AABBEE;(2) 求平面AABBEE与平面AAAAEE所成角的余弦值.18.(17 分) 如图, 已知椭圆AA:xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)与yy轴的一个交点为AA(0,√2), 离心率为√22,FF1,FF2为左、右焦点, MM,NN为粗圆上的两动点, 且∠MMAAFF1=∠NNAAFF1.(1) 求粗圆AA的方程;(2) 设AAMM,AANN的斜率分别为kk1,kk2, 求kk1kk2的值;(3) 求△AAMMNN面积的最大值.19.(17 分) 帕德近似是法国数学家亨利. 帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法. 给定两个正整数mm,nn, 函数ff(xx)在xx=0处的[mm,nn]阶帕德近似定义为:RR(xx)=aa0+aa1xx+⋯+aa mm xx mm1+bb1xx+⋯+bb nn xx nn, 且满足: ff(0)=RR(0),ff′(0)=RR′(0),ff′′(0)=RR′′(0),⋯, ff(mm+nn)(0)= RR(mm+nn)(0).(注: ff′′(xx)=[ff′(xx)]′,ff′′′(xx)=[ff′′(xx)]′,ff(4)(xx)=[ff′′′(xx)]′,ff(5)(xx)=�ff(4)(xx)�′,⋯;ff(nn)(xx)为ff(nn−1)(xx)的导数)已知ff(xx)=ln (xx+1)在xx=0处的[1,1]阶帕德近似为RR(xx)=aaxx1+bbxx.(1) 求实数aa,bb的值;(2) 比较ff(xx)与RR(xx)的大小;(3) 若ℎ(xx)=ff(xx)RR(xx)−�12−mm�ff(xx)在(0,+∞)上存在极值, 求mm的取值范围.2024.03高三数学一模试题参考答案一、单选题 1—8．CADA BCBC二、多选题 9—11. ACD AB ACD三、填空题 12.16π 1313+ 14.-1 四、解答题15题解析：(1)由S n =2a n −2 ①当n =1时，S 1=2a 1−2=a 1解得a 1=2 当n ≥2时，S n−1=2a n−1−2 ②①−②得a n =2a n−1 ∴a n =a 12n−1=2n经验证a 1符合上式，所以a n =2n ---------------------------------------6分 (2)证明：由(1)知a 2n−1=22n−1∴b n =log 2a 2n−1=2n −1，b n+1=2n +1------8分则c n =1b n b n+1=12(12n−1−12n+1)---------------------10分 c 1+c 2+c 3+⋯+c n =12(11−13+13−15+⋯+12n −1−12n +1)=12(1−12n +1)<12------------------------------------13分16. （1）由题意可设1，2，3号球的个数分别为n ，2n ，n ，则取到异号球的概率 P =2C n 1C 2n1+C n 1C n 1C 4n2=57 -----2分∴2∙5n 24n(4n −1)=57即n 2=2n 解得n =2 -----4分 所以盒中2号球的个数为4个. -----5分 （2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，因为猜对谜语的概率相互独立，记X 为甲获得的奖金总额，则X 可能的取值为0元，100元，600元， P (X =0)=0.2P (X =100)=0.8×(1−0.5)=0.4 P (X =600)=0.8×0.5=0.4X 的分布列为： -----8分X 的均值为 E (X )= -----9分 若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立，记Y 为甲获得的奖金总额，则Y 可能的取值为0元，500元，600元， P (Y =0)=0.5P (Y =500)=0.5×(1−0.8)=0.1P (Y =600)=0.8×0.5=0.4 -----12分 Y 的分布列为：Y 的均值为E (Y )=290 -----13分 因为E (Y )>E (X )，所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语. -----15分17.(1)取BE 的中点N ，连接AN ，MN ，则MN //=12BC又∵AD //=12BC ∴MN //=AD∴ANDM 为平行四边形∴DM ∥AN -----3分 又DM ⊄平面ABE AN ⊂平面ABE∴DM ∥平面ABE -----5分(2)取AD 中点为F ，过点O 作直线BC 的垂线交BC ̂于点G ，分别以OG ，OC ，OF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ∵BC 为直径，∴BE =12BC∴∠BCE =30∘，∠BOE =60∘，∠EOG =30∘，在梯形ABCD 中易求高为√3 -----7分 ∴E(√3，−1，0)，C(0，2，0)，D(0，1，√3)，B(0，−2，0)，A(0，−1，√3) ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，−3，0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−1，√3)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，1，0)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，√3) ----9分设平面DCE 的法向量为m ⃗⃗ =(x ，y ，z)则{m ⃗⃗ ∙CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ ∙CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0∴{√3x −3y =0−y +√3z =0令y =√3则x =3， z =1∴m ⃗⃗ =(3，√3，1)同理求得平面ABE 的法向量为n ⃗ =(1，−√3，1) -----13分 设平面ABE 与平面CDE 所成的角为α 则cos α=|m⃗⃗⃗ ∙n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |∙|n ⃗ ||=√6565∴平面ABE 与平面CDE 所成角的余弦值为√6565. -----15分18.解：（1）由题意得，2222b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解之得2242a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的程为221.42x y +=.----------------3分(2)由（1）知14所以b c AF O π==∠=,设直线AM 、AF 1、AN 的倾斜角分别为1112,tan ,tan ,,4、、、则k k 则MAF F AN αγθπαθβγαβθβγθ+=⎧∠=∠====⎨-=⎩所以πα+β=θ=22，--------------------------------------------------------6分所以所以即πα=-β=αβ==β121tan tan(),tan tan 1,12tan k k ----------------------------------------------------------------------------------------------8分 （3）设直线AM：=+1y k x解方程组⎧=+⎪⎨+=⎪⎩122142y k x x y得221211221212)0,,1212（同理得M Nk x x x x k k ++=∴=-=-++， 由（2）知112211,,2N k k x k =∴=-+ -------------------------------10分2222222221111sin 22()(1)又（y AMNM M M M M SAM AN MAN AM AM AN AM x x k x k x ∴=∠===⋅=+=+=+222222222221122211122222222222221212212111(1)(,,2,1()4,()41(N N N N N N N（）同理，，（）（）M M M N N M NM M N M M M kk AN k x x AM AN x x k k AM AN x y x y x x k x k x x x k AM AN x x AMAN AM AN x x x x k k k ++=+==⋅==+=+∴⋅=∴-⋅=-+=-222221114)(),2N N 1分M M x x k x x k =----------- 1111221111112211111122422211111111211111111221221116163216111,212(12)(2)252252()911,（）（）令t=则AMNM N AMNSk x x k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k o S k ∴==-=---++--=-=-==-----------++++++-+->=12692,,2932773当2即k =取等号，所以的最大值是1分AMN t t t t t S-±≤====+----------------------19.解：（1）由()l )1n(1()，ax R x x bxf x =+=+，223112(),(),(),(),1(1)(1)(1)知a abf x f x R x R x x x bx bx -''''''==-==++++由题意(0)(0)(0)(0)，f R f R ''==，所以11,212所以a=1,b=a ab =⎧⎨=-⎩ --------------------3分（2）由(1)知，2()2x R x x =+，令()()ln(1)2()(1),2-x Rx x x x f x x ϕ=>-+=-+ 则22214()1(2)(1)(2())，所以x x o x x x x x ϕϕ'=-=>++++在其定义域(-1,+∞)内为增函数，又(0)(0()()(0)0;(0)0,0()0() 1()()(0)0时， 时 ）f R x R x x f x x f x x R x ϕϕϕϕϕ==-=-≥=-=<∴≥<-=<()(); 0 1()().0所以时，时,f x R x f R x x x x ≥-<<<≥--------------7分222()()11()()()()ln(1),()2111(1)ln(1)ln(1)()1(3)由f x h x m f x m x R x xmx x x x h x m x x x x x ==--=+++-++'∴=-++++()1()()()()2由f x h x m f x R x =--在(0,+∞)上存在极值，所以()h x '在(0,+∞)上存在变号零点. []2()(1)ln(1),()21ln(1)12ln(1),1()21令则g x mx x x x g x mx x mx x g x m x '=+-++=+-++=-+''=-+()()0,()()(0)0,()()(0)00,,.0为减函数，在①当时，上为减函数，无零点，不满足条件g x g x g x g g x g x m g '''''<<=<=<+∞()()0,()()(00)0,()()(0)0,.,21②当2为增函数，在无零点，不满足1,即时，上为增函数，条件m m g x g x g x g g x g x g '''''+>>>>=>=∞min 11()02,1121101()0,()1()0,()22111()(1)2(1)ln(11)12ln 2;2222 即 当时，为减函数；时，为增函1③当021,0时，令数即，m m g x m x x mx g x g x x g x g x m mg x g m m m m m m''<<<<==∴=-+''''''<<-<>->''∴=-=---+=-+2221()1ln ,01,()0,(1)(12)ln 202110,01,(1)01,1ln(1)ln(1);11()(1)ln(1)1令易证恒成立；，H x x x x H x g m m mmx mx x m x m mx x mx x x x mx x g x x x x '=-+<<<∴-=-+<--><<∴-<∴>-∴+-+>-+++⎡⎤+=+-+⎢⎥+⎣⎦221()ln(1)1ln(1)ln(1)(1)ln(1),11ln(1)()(1)(1)(1)22令易证mx x mx l x x x mx x m x x m x x x m m l x m x m x m x +-=-+=+-+>-+=+-+-+++≤⎡∴>+-=+-++-⎢⎣2216161,1,(1)028(1)022令则1 (0<<)mx x x m m m x m m m m +-≥=-+=∴+-=->216()0,(1)0即l x l m ∴>->由零点存在定理可知，2021216,1()(,)122上存在唯x 在一零点m m m m l x m --⎛⎫+∞-∈ ⎪⎝⎭101()0,(),(0)0,21()0,(0,1)2时，为减函数所以此时，在 又由③知，当内无零点,x g x g x g mg x m''''<<-<='<----------------------------------- ----- ------17分()()10,0,.2上存在变号零点，综上所述实数m 的取值范在围为g x ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴。
高考一模数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 【答案】C【解析】根据三角函数的定义，sinA = 对边/斜边，cosA = 邻边/斜边。
在直角三角形ABC中，∠A=30°，则sinA=1/2，cosA=√3/2。
因此，C选项正确。
2. 【答案】A【解析】由一元二次方程的求根公式可得，x1=(-b+√(b²-4ac))/(2a)，x2=(-b-√(b²-4ac))/(2a)。
因为a=1，b=-3，c=2，代入公式计算得x1=2，x2=1。
故A选项正确。
3. 【答案】D【解析】根据复数的乘法法则，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
代入a=2，b=-1，c=3，d=2，得(2-1i)(3+2i)=(6-2)+(6-3)i=4+3i。
故D选项正确。
4. 【答案】B【解析】根据数列的通项公式an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
由题意知，数列的前三项为1，4，7，公差为3。
代入公式计算得an=1+(n-1)×3=3n-2。
故B选项正确。
5. 【答案】C【解析】由集合的运算性质，A∪B=(A-B)∪(A∩B)。
因此，集合A∪B包含A中不属于B的元素以及A∩B中的元素。
故C选项正确。
二、填空题（每题5分，共25分）6. 【答案】-3【解析】由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=-1，n=5，得a5=2+(5-1)×(-1)=-3。
7. 【答案】π/3【解析】由三角函数的性质，sin(π/3)=√3/2。
8. 【答案】1/4【解析】由复数的模长公式，|a+bi|=√(a²+b²)，代入a=2，b=-1，得|2-1i|=√(2²+(-1)²)=√5。
复数的模长等于1/|2-1i|=1/√5=1/4。
9. 【答案】2【解析】由指数函数的性质，(2^3)^2=2^(3×2)=2^6=64。
高考一模数学试卷及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[0, 2]上的最大值为M，则M等于：A. -1B. 0C. 2D. 32. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 35，S9 = 81，则公差d等于：A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列命题中正确的是：A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则loga > logbC. 若a > b > 0，则a/b > b/aD. 若a > b，则a - b > 04. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2等于：A. 2B. 3C. 4D. 55. 函数y = 2sin(2x - π/6)的图像关于点(π/3, 0)对称，则实数x的取值范围是：A. x ∈ [0, π/2]B. x ∈ [π/2, π]C. x ∈ [π, 3π/2]D. x ∈[3π/2, 2π]6. 若直线y = kx + 1与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的取值范围是：A. k ∈ (-1, 1)B. k ∈ [-1, 1]C. k ∈ (-∞, -1) ∪ (1, +∞)D. k ∈ (-∞, 1) ∪ (1, +∞)7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[0, 2]上的图像是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增8. 已知等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则数列的前5项之和S5等于：A. 31B. 32C. 33D. 349. 若向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a·b等于：A. 7B. 5C. 3D. 110. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|，则f(x)的最小值为：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2024年上海市高考数学一模考试题分类(三角与三角函数 )汇编(附答案)
1一、三角定义、常用三角公式1.（2024 高三一模闵行 2）若sin 3α=，则()sin πα-=______.2.（2024高三一模青浦3）已知α满足cos m α=，则πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭.（结果用含有m 的式子表示）.3.（2024高三一模杨浦3）若3sin 5α=，则cos 2α=______.4.（2024高三一模嘉定4）已知tan 2α=，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.5.（2024高三一模金山5）已知角α、β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______.6.（2024高三一模松江5）已知3sin ,0,52πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为______.7.（2024高三一模虹口6）已知1cos 3x =-，且x 为第三象限的角，则tan 2x =______.8.（2024高三一模静安14）设α是第一象限的角，则2α所在的象限为（）A.第一象限B.第三象限C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限9.（2024高三一模长宁15）设点P 是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置()01,0P 出发，沿单位圆按逆时针方向转动角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭后达点1P ，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角4π到2P .若点2P 的横坐标为35-，则点1P 的纵坐标为（）A.210B.25 C.325D.7210二、解三角形1.（2024 高三一模黄浦 8）在 ∆ABC 中，三个内角 A , B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ，若5a 2 −5b 2 +6bc −5c 2 =0，则sin 2A 的值为______.2.（2024 高三一模松江 9）在 ∆ABC 中，设角 A , B ,C 所对边的边长分别为a ,b ,c ，若a =3,c =5, B =2A ，则边长b =______.2024年上海市高考数学一模考试题分类（三角与三角函数 ）汇编3.（2024高三一模普陀14）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =20c b C -+=，则该三角形外接圆的半径为（）A.1B.C.2D.4.（2024高三一模虹口17）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()sin sin sin ,sin m A B C A =+- ，(),n c b c a =+- ，且m //n ．（1）求角B 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，求sin sin y A C =+的取值范围．5.（2024高三一模奉贤17）在ABC ∆中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c .cos sin A a B=+（1）求角B 的大小；（2）当a =b =c 和ABC ∆的面积S .6.（2024高三一模嘉定17）已知三角形ABC ，1CA CB ⋅=- ，三角形的面积12S =，（1）求角C 的值；（2）若3sin cos 4A A =，2a =，求c .7.（2024高三一模宝山18）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、.（1）若2sin a B =，求角A 的大小；（2）若BC 边上的高等于2a ，求cbb c +的最大值.8.（2024高三一模崇明18）在ABC ∆中，5a =，6b =．（1）若4cos 5B =-，求A 和ABC ∆外接圆半径R 的值；（2）若ABC ∆的面积4S =，求c 的值．9.（2024高三一模闵行18）在ABC △中，角A B C 、、所对边的边长分别为a b c 、、，且2cos a c B c -=.（1）若1cos 3B =,3c =，求b 的值；（2）若ABC △为锐角三角形，求sin C 的取值范围.10.（2024高三一模青浦18）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2220a c b ac -++=.（1）求角B 的大小；（2）若23b =，求△ABC 的周长的最大值.三、三角函数及其性质1.（2024 高三一模嘉定 3）函数y =sin πx 的最小正周期为______.2.（2024高三一模普陀6）若函数tan 3y x =在区间,6m π⎛⎫⎪⎝⎭上是严格增函数，则实数m 的取值范围为______.3.（2024高三一模闵行7）若将函数()()sin 20y x ϕϕπ=+<<的图像向右平移3π个单位，得到的图像所对应的函数为奇函数，则ϕ=______.4.（2024高三一模虹口8）已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如右图所示，则()f x =______.（第8题图）5.（2024高三一模青浦8）若函数cos()y x ϕ=+是奇函数，则该函数的所有零点是.6.（2024高三一模奉贤9）设函数()sin 0y x ωω=>在区间()0,2π上恰有三个极值点，则ω的取值范围为______.7.（2024高三一模金山9）已知()()sin 0y x ωω=>在区间[]0,π上是严格增函数，且其图像关于()4,0π对称，则ω的值为______.8.（2024高三一模黄浦10）若ϕ是一个三角形的内角，且函数()3sin 2y x ϕ=+在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ϕ的取值范围是______.9.（2024高三一模杨浦10）函数()()cos f x x ωϕ=+，()0,2ϕπ∈，在x ∈R 上是单调增函数，且函数关于原点对称，则满足条件的数对(),ωϕ=______.10.（2024高三一模普陀10）设函数()sin 2y x ϕ=+02πϕ⎛<<⎫⎪⎝⎭的图像与直线y t =相交的连续的三个公共点从左到右依次记为A ，B ，C ，若2BC AB =，则正实数t 的值为______.11.（2024高三一模浦东新区10）如图，已知函数()sin 0,0,02y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图像与y 轴的交点为()0,1，并已知其在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+-．记()y f x =，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.12.（2024高三一模长宁11）若函数()sin cos x a x f x =+在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格单调函数，则实数a 的取值范围为______.13.（2024高三一模静安17）记)(cos sin 32cos sin )(22R ∈++-=x x x x x x f λ，其中λ为实常数．（1）求函数)(x f y =的最小正周期；（2）若函数)(x f y =的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2π，求该函数在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32,0上的最大值和最小值．四、三角应用题1.（2024 高三一模奉贤 10）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A 和B . 某日两个观测点的林场人员都观测到C 处出现火情. 在 A 处观测到火情发生在北偏西40方向，而在B 观测到火情在北偏西60方向. 已知B 在A 的正东方向10km 处（如图所示），则BC AC -=______km.（精确到0.1km ）2.（2024高三一模徐汇10）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽BC 为1米，则该设备能水平通过直角型过道的长AB 不超过______米.3.（2024高三一模长宁19）汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为A、B、C、D，向左转向，左前轮转向角为α，右前轮转向角为β，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB为w米，前后轴距AD为l米.（1）试用w、l和α表示tanβ；（2）如图2，有一直角弯道，M为内直角顶点，EF为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A、D与路边FS相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O到路边EF的距离为d，若OB d<且OM ODw=，<，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570l=.2.680问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？图1图24.（2024高三一模杨浦19）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面ABC 与111A B C 全等且所在平面平行，ABC △与111A B C △各边表示挡雨棚支架，支架1AA 、1BB 、1CC 垂直于平面ABC ．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为π6（即π6AOB ∠=），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形11AA O O （O 、1O 分别在CA 、11C A 延长线上）．（1）挡雨板（曲面11BB C C ）的面积可以视为曲线段BC 与线段1BB 长的乘积．已知1.5OA =米，0.3AC =米，12AA =米，小组成员对曲线段BC 有两种假设，分别为：①其为直线段且π3ACB ∠=；②其为以O 为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；（2）小组拟自制ABC △部分的支架用于测试（图3），其中0.6AC =米，π2ABC ∠=，CAB θ∠=，其中ππ62θ<<，求有效遮挡区域高OA 的最大值．图15.（2024高三一模浦东新区19）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形AOC 区域和三角形COD 区域组成．其中A O D 、、三点共线，扇形半径OA 为30米．规划口袋公园建成后，扇形AOC 区域将作为花草展示区，三角形COD 区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道．（1）若π3AOC ∠=，2OD OA =，求休闲步道总长（精确到米）；（2）若π6ODC ∠=，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形COD 的形状．6.（2024高三一模黄浦19）某公园的一个角形区域AOB 如图所示，其中23AOB π∠=.现拟用长度为100米的隔离档板(折线DCE )与部分围墙（折线DOE ）围成一个花卉育苗区ODCE ，要求满足OD OC OE ==.（1）设333DOC πππαα⎛⎫∠=+-<< ⎪⎝⎭，试用α表示OD ；（2）为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计?请说明理由.7.（2024高三一模金山19）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．图1图2第19题图（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过4π，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD ，0.8m AD =， 2.4m AB =，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角4πα=的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH ， 1.2m EH =．设PHG β∠=，当冰箱被卡住时(即点H 、G 分别在射线PR 、PQ 上，点O 在线段EF 上），尝试用β表示冰箱高度EF 的长，并求出EF 的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m ）8.（2024高三一模徐汇19）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地OAB 中，2AOB π∠=，500OA =米，点Q 是弧AB 的中点，P 为线段OQ 上一点（不与点O ，Q 重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道PO ，PA ，PB .记APQ θ∠=，三条轨道的总长度为y 米．（1）将y 表示成θ的函数，并写出θ的取值范围；（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道PO 的长．参考答案1一、三角定义、常用三角公式1. （2024 高三一模闵行 2）若sin 3α=，则()sin πα-=______.【答案】13【解析】诱导公式，()1sin sin 3παα-==.2.（2024高三一模青浦3）已知α满足cos m α=，则πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭.（结果用含有m 的式子表示）.【答案】m【解析】由诱导公式πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α，所以答案为m .3.（2024高三一模杨浦3）若3sin 5α=，则cos 2α=______.【答案】725【解析】27cos 212sin 25αα=-=.4.（2024高三一模嘉定4）已知tan 2α=，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】12-【解析】11tan cot 2tan 2πααα⎛⎫+=-=-=- ⎪⎝⎭.5.（2024高三一模金山5）已知角α、β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______.【答案】1-【解析】角α、β的终边关于原点O 对称，所以()21,k k αβπ-=+∈Z ，所以()cos 1αβ-=-.6.（2024高三一模松江5）已知3sin ,0,52πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为______.【答案】17-【解析】343sin ,0,,cos ,tan 5254πθθθθ⎛⎫=∈∴== ⎪⎝⎭，3tan tan1144tan 3471tan tan 144πθπθπθ--⎛⎫∴-===- ⎪⎝⎭++.7.（2024高三一模虹口6）已知1cos 3x =-，且x 为第三象限的角，则tan 2x =______.【答案】427-【解析】1cos 3x =-，且x 为第三象限的角，则sin 3x =-，tan x ∴=，()222tan 22242tan 21tan 71x x x ⨯∴===---.8.（2024高三一模静安14）设α是第一象限的角，则2α所在的象限为（）A.第一象限B.第三象限C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限【答案】C【解析】由题意，222k k ππαπ<<+，k ∈Z ，则24k k απππ<<+，k ∈Z ，当k 为奇数时，2α在第三象限，当k 为偶数时，2α在第一象限，故选C.8.（2024高三一模长宁15）设点P 是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置()01,0P 出发，沿单位圆按逆时针方向转动角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭后达点1P ，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角4π到2P .若点2P 的横坐标为35-，则点1P 的纵坐标为（）A.10B.5C.5D.10【答案】D【解析】由题意可知3cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为3444πππα<+<，所以4sin 45πα⎛⎫+=⎪⎝⎭24372sin sin sin cos cos sin 44444425510ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫=+-=+-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选D.二、解三角形1.（2024 高三一模黄浦 8）在 ∆ABC 中，三个内角 A , B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ，若5a 2 −5b 2 +6bc −5c 2 =0，则sin 2A 的值为______.【答案】2425【解析】222222655650,5bca b bc c b c a -+-=∴+-=，222635cos 225bcb c a A bc bc +-∴===，4sin 5A ∴=，4324sin 22sin cos 25525A A A ∴==⨯⨯=.2.（2024高三一模松江9）在ABC ∆中，设角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，若3,5,2a c B A ===，则边长b =______.【答案】【解析】由正弦定理sin sin sin 22sin cos a b b b A B A A A ===得cos 2bA a=①，由余弦定理可得222cos 2b c a A bc+-=②，则2222225322625b bc a b b b a bc b +-+-=⇒=⇒=⨯.3.（2024高三一模普陀14）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若a =20c b C -+=，则该三角形外接圆的半径为（）A.1B.C.2D.【答案】A【解析】20c b C -+=，因为a =22cos 0c b a C -+=，由正弦定理可得sin 2sin 2sin cos 0C B A C -+=，即()sin 2sin 2sin cos 0C A C A C -++=，化简可得1cos 2A =，所以sin 2A =，由正弦定理可得2sin aR A=（R 为外接圆半径），解得1R =.故选A.4.（2024高三一模虹口17）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()sin sin sin ,sin m A B C A =+- ，(),n c b c a =+- ，且m //n．（1）求角B 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，求sin sin y A C =+的取值范围．【答案】（1）3B π=；（2）32,⎛ ⎝【解析】(1)因为m //n，所以()()sin sin sin sin A B C b c a c A +-⋅+-=⋅，由正弦定理，可得()()a b c b c a ac +-⋅+-=，即222ac a c b =+-.于是，由余弦定理得2221cos 22a c b B ac+-==，又()0,B π∈，所以3B π=．（2）由（1）可知2,3A C π+=所以2sin sin sin sin()3y A C A A π=+=+-3sin cos )226A A A π=+=+……11分由△ABC 为锐角△,得20,0,232A A πππ<<<-<且所以,62A ππ<<从而362.3A πππ<+<所以sin sin )6y A C A π=+=+的取值范围为32,.⎛ ⎝5.（2024高三一模奉贤17）在ABC ∆中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c .cos sin A a B=+（1）求角B 的大小；（2）当a =b =时，求边长c 和ABC ∆的面积S .【答案】（1）3π=B ；（2）3+【解析】（1）由正弦定理得B A A B C sin sin cos sin 3sin 3⋅+⋅=由于()B A C +-=π，得()BA AB B A sin sin cos sin 3sin 3⋅+⋅=+展开得B A A B B A B A sin sin cos sin 3sin cos 3cos sin 3⋅+⋅=⋅+⋅化简得B B sin cos 3=，则3tan =B ，所以3π=B （2）由正弦定理，得2322sin sin sin3π==cA C Cc A sin sin 2260sin 32==，22sin =A ，因为<a b ，所以A 是锐角，即4π=A 因为32π=+C A ,所以，5,sin 12sin 3π===C c C所以115sin sin32212ABC S ab C π∆==⨯=+6.（2024高三一模嘉定17）已知三角形ABC ，1CA CB ⋅=- ，三角形的面积12S =，（1）求角C 的值；（2）若3sin cos 4A A =，2a =，求c .【答案】（1）34π；（2）c =【解析】（1）1cos 1CA CB ab C ⋅=⇒=-，1sin 12S ab C =⇒=，两式相除得：tan 1C =-，所以3π4C =.（2）sin cos sin 242A A A =⇒=，所以π6A =或π3(舍)，所以π6A =，所以π12B =，sin 4B =由正弦定理得，sin sin a c C A =，sin sin b c C B=，所以22sin sin sin abc C A B=，由（1）ab =所以22c=+即c =7.（2024高三一模宝山18）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、.（1）若2sin a B =，求角A 的大小；（2）若BC 边上的高等于2a，求c b b c +的最大值.【答案】（1）323ππ或=A ；（2）22【解析】（1）根据正弦定理得2sin sin A B B =，所以23sin =A ，所以323ππ或=A .（2）由三角形面积公式得A bc a a sin 212121=⋅，即A bc a sin 22=，又由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得A bc c b A bc cos 2sin 222-+=，解得()A A bc c b cos sin 222+=+，从而()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+4sin 22cos sin 222πA A A bc c b .当24ππ=+A 即4π=A 时bc c b 22+有最大值22，即cbb c +的最大值为22.8.（2024高三一模崇明18）在ABC ∆中，5a =，6b =．（1）若4cos 5B =-，求A 和ABC ∆外接圆半径R 的值；（2）若ABC ∆的面积4S =，求c 的值．【答案】（1）6A π=，5R =；（2）4c =或c =【解析】（1）因为4cos 5B =-，()0,B π∈，所以3sin 5B ==，由正弦定理，得2sin sin a bR A B==，即5623sin 5R A ==，所以1sin 2A =，5R =，因为a b <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此6A π=，5R =（2）由1sin 2ABC S ab C =△得224sin 564ABC S C ab ===⨯△，于是3cos 4C ==±，当3cos 4C =时，由余弦定理，得222356256164c =+-⨯⨯⨯=当3cos 4C =-时，由余弦定理，得2223562561064c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.所以，4c =或c =.9.（2024高三一模闵行18）在ABC △中，角A B C 、、所对边的边长分别为a b c 、、，且2cos a c B c -=.（1）若1cos 3B =,3c =，求b 的值；（2）若ABC △为锐角三角形，求sin C 的取值范围.【答案】（1）b =；（2）1sin (,)22C ∈【解析】（1）将1cos 3B =,3c =带入条件中可得5a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得b =；（2）2cos a c B c -= ，由正弦定理可得sin 2sin cos sin A C B C -=,sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ ,sin cos sin cos sin B C C B C ∴-=,sin()sin B C C -=，(,),(0,)222B C C πππ-∈-∈ ,所以B C C -=,即2B C =,又因为ABC △为锐角三角形，(,)64C ππ∴∈,1sin (,22C ∈10.（2024高三一模青浦18）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2220a c b ac -++=.（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 的周长的最大值.【答案】（1）120B ∠=︒；（2）4+【解析】（1）因为222a cb ac +-=-，由余弦定理得2221cos 22a c b B ac+-∠==-，120B ∠=︒．（2）由正弦定理得，a =4sin A ，c =4sin (600 −A )，所以，∆ABC 的周长为a +b +c =4sin A +4sin (600−A +)=4sin (A +600 +)200 <A <600当 A =300 时，∆ABC 的周长的最大值为4 +．三、三角函数及其性质1.（2024 高三一模嘉定 3）函数y =sin πx 的最小正周期为______.【答案】2【解析】22T ππ==.2.（2024高三一模普陀6）若函数tan 3y x =在区间,6m π⎛⎫⎪⎝⎭上是严格增函数，则实数m 的取值范围为______.【答案】,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由题意，32666m m m ππππ⎧>-⎪⎪⇒-<<⎨⎪<⎪⎩.3.（2024高三一模闵行7）若将函数()()sin 20y x ϕϕπ=+<<的图像向右平移3π个单位，得到的图像所对应的函数为奇函数，则ϕ=______.【答案】23π【解析】函数向右平移3π个单位可以得到2sin 23y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，此时函数为奇函数，则有2sin 003πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则2,3k k πϕπ-=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23πϕ=.4.（2024高三一模虹口8）已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如右图所示，则()f x =______.（第8题图）【答案】cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意知12243124T T πππππωω=-=⇒==⇒=，将,112π⎛⎫⎪⎝⎭代入，解得cos 21126ππϕϕ⎛⎫⨯+=⇒=- ⎪⎝⎭，则()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.5.（2024高三一模青浦8）若函数cos()y x ϕ=+是奇函数，则该函数的所有零点是.【答案】π,x k k =∈Z【解析】函数cos()y x ϕ=+是奇函数，则,2k k Z πϕπ=+∈，cos()sin y x x ϕ=+=±，所以函数零点为π,x k k =∈Z .6.（2024高三一模奉贤9）设函数()sin 0y x ωω=>在区间()0,2π上恰有三个极值点，则ω的取值范围为______.【答案】5744⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】cos y x ωω'=，令0y '=，即cos 0x ω=，即,2x k k πωπ=+∈Z ，因为函数在区间()0,2π上恰有三个极值点，则2257244232ππωπωππωπ⎧>+⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤+⎪⎩.7.（2024高三一模金山9）已知()()sin 0y x ωω=>在区间[]0,π上是严格增函数，且其图像关于()4,0π对称，则ω的值为______.【答案】14或12【解析】因为函数在区间[]0,π上是严格增函数，所以2πωπ≤，所以12ω≤，又图像关于()4,0π对称，所以4,k k πωπ=∈Z ，即,4k k ω=∈Z ，所以14k =或12.8.（2024高三一模黄浦10）若ϕ是一个三角形的内角，且函数()3sin 2y x ϕ=+在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ϕ的取值范围是______.【答案】0,6π⎛⎤⎥⎝⎦【解析】由题意知()0,ϕπ∈，因为函数()3sin 2y x ϕ=+在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则2,23x ππϕϕϕ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，则220,632ππϕπϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪⎡⎤⇒∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪+≤⎪⎩，0,6πϕ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦.9.（2024高三一模杨浦10）函数()()cos f x x ωϕ=+，()0,2ϕπ∈，在x ∈R 上是单调增函数，且函数关于原点对称，则满足条件的数对(),ωϕ=______.【答案】0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭或30,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】当0ω≠时，函数在x ∈R 上显然不具备单调性，故0ω=，又函数关于原点对称，所以函数值为0，所以cos 0ϕ=，又()0,2ϕπ∈，所以2πϕ=或32π，因此满足条件的数对为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭或30,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.10.（2024高三一模普陀10）设函数()sin 2y x ϕ=+02πϕ⎛<<⎫⎪⎝⎭的图像与直线y t =相交的连续的三个公共点从左到右依次记为A ，B ，C ，若2BC AB =，则正实数t 的值为______.【答案】12【解析】由题意可得T π=，函数与y t =()0t >相交图像如图所示，可知C A x x π-=，又2BC AB =，所以3B A x x π=+，()sin 2A t x ϕ=+，()2cos 21A x t ϕ+=-则()()2sin 2sin 2sin 23A B A x x x πϕϕϕ⎛⎫+=+=++⎪⎝⎭()()22sin 2coscos 2sin 33A A x x ππϕϕ=+++，即12t t =-+12t =或12t =-（舍），所以12t =.11.（2024高三一模浦东新区10）如图，已知函数()sin 0,0,02y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图像与y 轴的交点为()0,1，并已知其在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+-．记()y f x =，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【解析】由题意2A =，()00222T x x ππ=+-=，所以2142T ππωω==⇒=，()02sin 16f πϕϕ==⇒=，所以()12sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 366f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.12.（2024高三一模长宁11）若函数()sin cos x a x f x =+在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格单调函数，则实数a 的取值范围为______.【答案】3⎡-⎢⎣【解析】()cos sin x x a x f '=-，因为函数()sin cos x a x f x =+在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格单调函数，所以()0f x '≥或()0f x '≤，当x π=时，()1f π'=-，则()0f x '≥不符合题意，由()0f x '≤，得sin cos a x x ≥，当2,3x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0x >，所以1tan a x ≥在2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，即求max 1tan a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，因为2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tan x ∈，1,tan 3x ⎛∈-∞- ⎝⎭，所以33a ≥-；当7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x <，所以1tan a x ≤在7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，即求min 1tan a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，因为7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3tan 0,3x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，)1tan x ∈+∞，所以a ≤；综上，33a ⎡-⎢⎣∈.13.（2024高三一模静安17）记)(cos sin 32cos sin )(22R ∈++-=x x x x x x f λ，其中λ为实常数．（1）求函数)(x f y =的最小正周期；（2）若函数)(x f y =的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2π，求该函数在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32,0上的最大值和最小值．【答案】（1）π；（2）最大值1，最小值2-【解析】（1）()cos 22f x x x =-+π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭λ+．所以，函数)(x f y =的最小正周期π．（2） π102f λ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴1λ=-．∴π()2sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令π26x t -=，则π7π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．当ππ266x -=-或7π6，即0x =或2π3时，min 2f =-．当ππ262x -=，即π3x =时，max 1f =．四、三角应用题1.（2024 高三一模奉贤 10）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A 和B . 某日两个观测点的林场人员都观测到C 处出现火情. 在 A 处观测到火情发生在北偏西40方向，而在B 观测到火情在北偏西60方向. 已知B 在A 的正东方向10km 处（如图所示），则BC AC -=______km.（精确到0.1km ）【答案】7.8【解析】由图可知130CAB ∠=，30ABC ∠=，20ACB ∠=2.（2024高三一模徐汇10）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽BC 为1米，则该设备能水平通过直角型过道的长AB 不超过______米.【答案】22-【解析】分别以,OB OA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系如图所示，则()3,3M ，令()0,A b ，(),0B a ，()0,0a b >>，则直线AB 的方程为1x ya b+=，则点M 直线上方，且到AB 的距离为1，即22331331111a b a b a b ⎧+>⎪+-=⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2233111a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得223()a b a b ab +=+-，设AB r =，0,0,2OAB r πθθ⎛⎫⎡⎤∠=>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则sin a r θ=，cos b r θ=，223()a b a b ab +=+-可化为23(sin cos )sin cos r r r θθθθ=+-，令sin cos 0,2t πθθθ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则224t πθ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则223(sin cos )131121281sin cos (31)(31)999231t r t t t t θθθθ+--===⨯--+---188(31)231t t =--+-，由1,2t ⎡⎤∈⎣⎦，得312,321t⎡⎤-∈-⎣⎦，所以889(31)2321231321321t t --+≤--+=---，所以()1823218(31)231t t ≥---+-，当且仅当2t =时等号成立，该设备能水平通过直角型过道的长AB 不超过622-米.3.（2024高三一模长宁19）汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为A 、B 、C 、D ，向左转向，左前轮转向角为α，右前轮转向角为β，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB 为w 米，前后轴距AD 为l 米.（1）试用w 、l 和α表示tan β；（2）如图2，有一直角弯道，M 为内直角顶点，EF 为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A 、D 与路边FS 相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O 到路边EF 的距离为d ，若OB d <且OM OD <，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570w =，2.680l =.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？图1图2【答案】（1）tan tan llw βα=+；（2）选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道【解析】（1）由已知AOD α∠=，tan BOC β∠=，所以tan l OD α=，tan lOC w α=+，进而tan tan llw βα=+.（2）以EF 和FS 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，则()3.5, 3.5M --.3 4.642tan lOD l α===，()223 6.766OB l l w=++=，设(),O a b ()0,0a b <<，32 6.642a l =--=-，d b =-，()()()2223.5 3.59.872 3.5OM a b b =+++=++，由OM OD <，得()29.872 3.521.548b ++<，进而 6.9170.83b -<<-，由OB d <，得 6.766b <-，所以当 6.917 6.765b -<<时，OB d <且OM OD <，此时汽车可以通过弯道.答：选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道.4.（2024高三一模杨浦19）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面ABC 与111A B C 全等且所在平面平行，ABC △与111A B C △各边表示挡雨棚支架，支架1AA 、1BB 、1CC 垂直于平面ABC ．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为π6（即π6AOB ∠=），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形11AA O O （O 、1O 分别在CA 、11C A 延长线上）．（1）挡雨板（曲面11BB C C ）的面积可以视为曲线段BC 与线段1BB 长的乘积．已知1.5OA =米，0.3AC =米，12AA =米，小组成员对曲线段BC 有两种假设，分别为：①其为直线段且π3ACB ∠=；②其为以O 为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；（2）小组拟自制ABC △部分的支架用于测试（图3），其中0.6AC =米，π2ABC ∠=，CAB θ∠=，其中ππ62θ<<，求有效遮挡区域高OA 的最大值．【答案】（1）若选择①，挡雨板材料的面积为1.8平方米；若选择②，挡雨板材料的面积为图13π5平方米，约为1.9平方米；（2）OA 的最大值为0.3米【解析】（1）若选择①，结合π6AOB ∠=，得OBC △是直角三角形，10.92BC OC ==米，挡雨板材料的面积为1.8平方米．若选择②，则COB 是一个圆心角为π6的扇形，BC 弧长为π3π1.8610⨯=，挡雨板材料的面积为3π5平方米，约为1.9平方米．（2）在直角ABC △中，由cos AB AC θ=；在ABO △中，由正弦定理，ππsinsin 66AO ABθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，即π6π2sin sin cos 656AO AB θθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2631sin cos cos 522θθθ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭3311sin 2cos25222θθ⎛⎫=⋅-⋅- ⎪⎝⎭3π3sin 25610θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中ππ62θ<<．当ππ262θ-=，即π3θ=时，AO 取得最大值310．综上所述，有效遮挡区域高OA 的最大值为0.3米．5.（2024高三一模浦东新区19）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形AOC 区域和三角形COD 区域组成．其中A O D 、、三点共线，扇形半径OA 为30米．规划口袋公园建成后，扇形AOC 区域将作为花草展示区，三角形COD 区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道．（1）若π3AOC ∠=，2OD OA =，求休闲步道总长（精确到米）；（2）若π6ODC ∠=，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形COD 的形状．【答案】（1）231米；（2）见解析【解析】（1）休闲步道总长为 2AC OA OD CD+++π301203=⨯++10π120=++231≈米.所以休闲步道总长为231米.（2）方案一：设5π,0,6COD θθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭COD ∆中，由正弦定理得π5πsin sin sin 66OCOD CD θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，得5π5π60sin ,60sin ,0,66OD CD θθθ⎛⎫⎛⎫=-=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故COD ∆的面积15π5π3060sin sin 900sin sin 266S θθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π450sin 23θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为5π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ4π2333θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当ππ232θ-=，即5π12θ=时有max S 450=+平方米因此，当亲水平台区的面积最大时，COD ∆是以OC 为底边的等腰三角形.方案二：设5π,0,6COD θθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭COD ∆中，由正弦定理得π5πsin sin sin 66OCOD CD θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，得5π5π60sin ,60sin ,0,66OD CD θθθ⎛⎫⎛⎫=-=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故COD ∆的周长5π60sin 60sin 306L θθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭(60sin 30cos 30θθ=+++π233012θ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭因为5π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ11π121212θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当ππ122θ+=，即5π12θ=时有max L 60233030630230=+=+米因此，当亲水平台区的周长最长时，COD ∆是以OC 为底边的等腰三角形.（本题也可用余弦定理、均值不等式解决）6.（2024高三一模黄浦19）某公园的一个角形区域AOB 如图所示，其中23AOB π∠=.现拟用长度为100米的隔离档板(折线DCE )与部分围墙（折线DOE ）围成一个花卉育苗区ODCE ，要求满足OD OC OE ==.（1）设333DOC πππαα⎛⎫∠=+-<< ⎪⎝⎭，试用α表示OD ；（2）为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计?请说明理由.【答案】（1）50cos2OD α=；（2）当0α=时，花卉育苗区的面积最大，为12503平方米【解析】（1）由πππ()333DOC αα∠=+-<<，2π3AOB ∠=,可知π3COE α∠=-,作OF CD ⊥,垂足为F ，由OD OC =，可知CF DF =且1π262DOF DOC α∠=∠=+，在直角DOF △中，πsin()62DF OD α=+，故π2sin(62CD OD α=+，同理可得ππ2sin(2sin()6262EC OC OD αα=-=-，所以π2sin()62OD α++π2sin()10062OD α-=，可得OD =5050ππsin()sin()cos62622ααα=++-(米).（2）设花卉育苗区的面积为S 平方米，则221π1πsin()sin()2323S OD OD αα=++-22150ππ[sin()sin()]233cos 2ααα=++-.501]1cos1cos2Sα=α==-+α+α.当且仅当cos1α=且ππ33α-<<，即0α=时，S取最大值，此时50OD=米.故使π3DOC∠=，且50OD=米，可使花卉育苗区的面积最大.7.（2024高三一模金山19）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．图1图2第19题图（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过4π，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD，0.8mAD=， 2.4mAB=，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角4πα=的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH， 1.2mEH=．设PHGβ∠=，当冰箱被卡住时(即点H、G分别在射线PR、PQ上，点O在线段EF上），尝试用β表示冰箱高度EF的长，并求出EF的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m）【答案】（1）能；（2）2.6m【解析】（1）当倾斜角π4α=时，冰箱倾斜后实际高度(即冰箱最高点到地面的距离)ππ820.8sin 2.4cos 2.3445h=+=<，故冰箱能够按要求运送入客户家中．（2）延长EF与直角走廊的边相交于M、N，则 1.8 1.8+sin cos MN OM ON =+=ββ， 1.2tan EM β=， 1.2tan FN β=，又EF MN ME NF =--，设()EF f β=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则 1.8 1.81() 1.2(tan )sin cos tan f =+-+βββββ1.8(sin cos ) 1.2sin cos ββββ+-=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．2222332222221.8(cos sin )(sin cos )(1.8(sin cos ) 1.2)(cos s in )()sin cos 1.8(cos sin ) 1.2(cos sin ) 1.8(sin cos )(cos 1)(sin 1)sin cos sin cos f βββββββββββββββββββββββ--+--'=⋅--+----==⋅⋅求得驻点π4β=，作表格得βπ(0,)4π4ππ(,)42()f β'-0+()f β严格减极小值严格增所以()f β最小值π18212() 2.6945f -=≈．由实际意义需向下取整，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为2.6米．8.（2024高三一模徐汇19）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地OAB 中，2AOB π∠=，500OA =米，点Q 是弧AB 的中点，P 为线段OQ 上一点（不与点O ，Q 重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道PO ，PA ，PB .记APQ θ∠=，三条轨道的总长度为y 米．（1）将y 表示成θ的函数，并写出θ的取值范围；（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道PO 的长．【答案】（1）2sin cos 52502,,sin 48y θθππθθ+-⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭；（2）()2503263PO =-【解析】（1）因为点Q 是弧AB 的中点，由对称性，知PA PB =，4AOP BOP π∠=∠=，又APO πθ∠=-，4OAP πθ∠=-，500OA =由正弦定理，得()sin sinsin 44APOAOPπππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以500sin 25024,sin sin AP OP πθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭==.所以500sin 42sin y AP BP OP AP OP πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=++=+=2sin cos sin θθθ+-=，因为APQ AOP ∠>∠，所以4πθ>，13248AQO OAQ πππ⎛⎫∠=∠=-=⎪⎝⎭，所以5,48ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（2）法一：由（1）得：2cos sin y θθ-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．记2cos sin t θθ-=，则sin cos 2t θθ+=，由辅助角公式可得：)2sin()1θϕθϕ+=⇒+=，解得tt 5sin()1,6348ππππθθ⎛⎫+=⇒=∈ ⎪⎝⎭，等号可以取得．故当3πθ=时，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．法二：由（1）得：2cos sin y θθ-=+，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．记2cos sin t θθ-=，tan tan ,tan 2816x θππ5⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则由万能置换公式可得：2222123111132221x x x t x x x x x --+⎛⎫+===+≥= ⎪⎝⎭+，当且仅当33x =即3πθ=时等号成立．故当3πθ=，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．法三：令()2sin cos sin f θθθθ+-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由()212cos '0sin f θθθ-==，解得3πθ=，则有θ43ππθ<<3πθ=538ππθ<<()'f θ0<0=0>()f θ严格减极小值严格增所以当3πθ=，即(2503OP =米时，()f θ有唯一的极小值，即是最小值，则()min 1f θ=+，三条轨道的最小值为+.故当3πθ=时，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．。
浙江省新2025届高三下学期一模考试数学试题含解析
浙江省新2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．22．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．83．半正多面体(semiregular solid ) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．2034．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．5．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ．2D ．736．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，设22),(2),(ln a f b f c f ===，则（ ） A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>7．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( ) A ．31πB ．34C 3πD ．148．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b9．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．710．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30B ．312C ．2D ．6211．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a12．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．5B ．11C ．20D ．25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新高考一模数学试卷答案
一、选择题1. 下列选项中，函数y=2x-3的图像是（）A. B. C. D.答案：A解析：由于函数y=2x-3的斜率为2，且y轴截距为-3，所以其图像是一条通过点(0,-3)且斜率为2的直线，故选A。
2. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1=3，a4=11，则d=（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：由等差数列的性质可知，a4=a1+3d，代入已知条件得11=3+3d，解得d=2。
3. 若复数z满足|z+1|=|z-1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：D解析：由复数的几何意义可知，|z+1|表示复数z到点(-1,0)的距离，|z-1|表示复数z到点(1,0)的距离。
由于|z+1|=|z-1|，所以复数z到这两个点的距离相等，即复数z位于这两个点的中垂线上。
由于点(-1,0)和点(1,0)位于x轴上，所以复数z位于x轴上，即第四象限。
4. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的最小值为（）A. -4B. 0C. 4D. 8答案：B解析：由于f(x)是一个二次函数，其开口向上，所以最小值在顶点处取得。
顶点的横坐标为x=-b/2a=-(-4)/21=2，代入f(x)得f(2)=2^2-42+4=0，所以f(x)的最小值为0。
5. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1=2，a4=32，则q=（）A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B解析：由等比数列的性质可知，a4=a1q^3，代入已知条件得32=2q^3，解得q=4。
二、填空题6. 函数y=3x^2-6x+5的图像的对称轴方程为________。
答案：x=1解析：由于函数y=3x^2-6x+5是一个二次函数，其对称轴的方程为x=-b/2a，代入系数得x=-(-6)/(23)=1。
7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an=2^n-1，则S10=________。
2024届山西省高考一模数学试题(解析版)
数学姓名__________准考证号__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm 的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()1,1,1,1a m b m =+=-，且a b ⊥，则m =（）A.1B.1- C. D.0【答案】D 【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】由题意知()()21110a b m m m ⋅=+⨯-+== ，所以0m =.故选：D2.已知集合{}{}1,1,0,1,2,4A B =≤=-，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}1 B.{}1,1- C.{}0,1 D.{}1,0,1-【答案】C 【解析】【分析】先求得集合A ,根据图示计算出A B ⋂即可.【详解】结合题意图中阴影部分表示的集合为A B ⋂，因为{}1A x=≤，根据幂函数的性质：y =为增函数，且0x ≥，1≤，所以有：01x ≤≤，所以{}|01A x x =≤≤，又{}1,0,1,2,4B =-，所以{}0,1A B = .故选：C3.设命题:R,x p x a kx ∃∈>，则p ⌝为（）A.R,x x a kx ∀∈>B.R,x x a kx ∃∈≤C.R,x x a kx ∀∈≤D.R,x x a kx∃∈=【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式判定即可.【详解】由题意可知:R,x p x a kx ⌝∀∈≤.故选：C4.某学校高三年级组在每次考试后将全年级数学成绩的第85百分位数定为“优秀”分数线.某次考试后，张老师将自己所带100名学生的数学成绩录入计算机，并借助统计软件制作成如图所示的频率分布直方图.据此，以样本估计总体，可知此次考试的“优秀”分数线约为（）A.120B.123C.126D.129【答案】D 【解析】【分析】根据频率分布直方图，求出张老师将自己所带100名学生的数学成绩第85百分位数，以样本估计总体，即可求解.【详解】样本中[)120,135，[)135,150两个小组的频率分别为1150.2075´=，7150.071500´=，由于0.200.070.270.15+=>，故第85百分位数位于[)120,135内，设其为x ，则()10.071350.1575x +-=，解得129x =，由样本估计总体，可知此次考试的“优秀”分数线约为129.故选：D5.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，经过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若223,4,5AF AB BF ===，则椭圆C 的离心率为（）A.22B.33C.12D.55【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆定义求出2a ，根据2ABF △边长确定290BAF ∠=︒，进而求出2c ，即可求解椭圆离心率.【详解】由题意结合椭圆定义可知：2ABF △的周长为124a =，26a =，又因为2222291625AF AB BF +=+==，所以290BAF ∠=︒，又由23AF =，知1223AF a AF =-=，故1212c F F ===，因此椭圆C 的离心率为2262c e a ===.故选：A6.已知数列{}n a 满足1121n n n n a a a a ++=--，且13a =，则2024a =（）A.15B.4- C.54D.23【答案】B 【解析】【分析】由递推公式列举数列的若干项，观察规律，利用数列的周期性计算即可.【详解】由题意可知22232314a a a =--⇒=-，同理312a =-，45678125,,,3,4534a a a a a =====- ，即{}n a 是以6为周期的数列，所以20246337224a a a ⨯+===-.故选：B7.已知函数()f x 是定义在{}0xx ≠∣上不恒为零的函数，若()()()22f x f y f xy yx=+，则（）A.()11f =B.()11f -=C.()f x 为偶函数 D.()f x 为奇函数【答案】C 【解析】【分析】根据题意，令x 、y 取特殊值逐一验证四个选项即可.【详解】令1x y ==，则()()121f f =，故()10f =，A 选项错误；令1x y ==-，则()()121f f =-，故()10f -=，B 选项错误；令1y =-，则()()()()21f f x f x f x x--=+=，故()f x 为偶函数，C 选项正确；因为()f x 为偶函数，又函数()f x 是定义在{}0xx ≠∣上不恒为零的函数，D 选项错误.故选：C8.如图，在体积为1的三棱锥A BCD -的侧棱,,AB AC AD 上分别取点,,E F G ，使::1:1,:2:1AE EB AF FC AG GD ===，记O 为平面BCG ､平面CDE ､平面DBF 的交点，则三棱锥O BCD -的体积等于（）A.14B.15C.16D.17【答案】B 【解析】【分析】先画出图形确定O 的位置，将三棱锥O BCD -的体积，转化为线段的长度比，充分利用直线的平行进行推导，求出比例即可．【详解】如图所示，假设,ED BG J CG DF I == ，连接,BI CJ ，易知BI CJ O = ，在ABD △中，设,GJ GB EJ ED λμ==，所以()2221333AJ AG GJ AD AB AD AB AD λλλ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，()1111222AJ AE ED AB AD AB AB AD μμμμ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，则()()1112421132λμλλμμ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩，即14GJ GB =，同理14GI GC =，则1445JI BO BC BI =⇒=，设,,,O I G A 到底面的距离分别为,,,O I G A h h h h ，则4311,,5435O G O I I G A A h h h h h h h h ===⇒=，所以15O BCD O A BCD A V h V h --==.故选：B【点睛】思路点睛：先根据平面性质确定交点位置，再由平面向量的线性运算计算线段比例关系得出棱锥高的比例关系即可.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数13i,z z =-+是z 的共轭复数，则（）A.32i z +-=B.z 的虚部是3iC.z 在复平面内对应的点位于第二象限D.复数z 是方程2280x x ++=的一个根【答案】AC 【解析】【分析】利用复数的定义、模长公式、几何意义、共轭复数定义与方程的解法一一判定选项即可.【详解】由题意可知32i 2i z +-=+，所以32i z +-=，故A 正确；易知z 的虚部是3，故B 错误；z 在复平面内对应的点为()1,3-，位于第二象限，故C 正确；对于2228012x x x -±++=⇒==-±，显然13i z =--不符合题意，故D 错误.故选：AC10.已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则（）A.当12ω=时，函数()f x 的周期为4πB.函数()f x 图象的对称轴是ππ,6k x k ωω=+∈Z C.当12ω=时，5π3x =是函数()f x 的一个最大值点D.函数()f x 在区间()0,1内不单调，则5π6ω>【答案】ACD 【解析】【分析】由正弦函数的周期，对称性及最大值判断ABC ，由导函数等于0有解判断D.【详解】对A ，当12ω=时，函数()f x 的周期为2π4πω=，故A 正确；对B ，令πππ32x k ω-=+，得5ππ,6k x k ωω=+∈Z ，故函数()f x 图象的对称轴是5ππ,6k x k ωω=+∈Z ，故B 错误；对C ，当12ω=时，()1π5πsin ,1233f x x f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值，故5π3x =是函数()f x 的一个最大值点，故C 正确；对D ，函数()f x 在区间()0,1内不单调，则()πcos 03f x x ωω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭'在()0,1有解，且左右函数值异号，令πππ,333t x ωω⎛⎫=-∈-- ⎪⎝⎭，则2ππ3ω->，解得5π6ω>，故D 正确.故选：ACD.11.群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设G 是一个非空集合，“ ”是一个适用于G 中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G 对“ ”构成一个群：（1）封闭性，即若,a b G ∈，则存在唯一确定的c G ∈，使得c a b = ；（2）结合律成立，即对G 中任意元素,,a b c 都有()()a b c a b c = ；（3）单位元存在，即存在e G ∈，对任意a G ∈，满足a e e a a == ，则e 称为单位元；（4）逆元存在，即任意a G ∈，存在b G ∈，使得a b b a e == ，则称a 与b 互为逆元，b 记作1a -.一般地，a b 可简记作,ab a a 可简记作22,a a a 可简记作3a ，以此类推.正八边形ABCDEFGH 的中心为O .以e 表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以r 表示以点O 为中心，将正八边形逆时针旋转π4的旋转变换；以m 表示以OA 所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算“ ”表示复合变换，即f g 表示将正八边形先进行g 变换再进行f 变换的变换.以形如(,pqr m p q ∈N ，并规定)00r m e ==的变换为元素，可组成集合G ，则G 对运算“ ”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作8D .则以下关于8D 及其元素的说法中，正确的有（）A.28mr D ∈，且22mr r m =B.3r m 与5r m 互为逆元C.8D 中有无穷多个元素D.8D 中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，对选项逐一运算可得结果.【详解】我们有：1 由于两次轴对称等价与不变换，故2m e =；由于旋转45 施行8次等价于旋转360 也就是不变，故8r e =；由于先旋转再关于OA 对称和先关于OA 对称再旋转等效，故rm mr =.2 8D 一共是16个元素，变换后ABCDEFGH 逆时针排列的有8个，顺时针排列的有8个.这就说明：22mr r m =，A 正确；()()353528r m r m r r mr e ===，B 正确；8D 一共是16个元素，C 错误；8D 中，()()()22484428,,m e r r e mr mr m r e =====，D 正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若一个底面半径为1，高为2的圆柱的两个底面的圆周都在球O 的表面上，则球O 的表面积为__________．【答案】8π【解析】【分析】画出组合体的轴截面图，根据轴截面图可知，利用勾股定理可计算出球的半径，进而求得球的表面积.【详解】画出组合体的轴截面图如下图所示，其中BC 是球的半径，AB 是圆柱底面半径，AC 是圆柱高的一半，故222112BC AC AB =+=+=，所以球的表面积为24π8πBC ⋅=.【点睛】本小题主要考查球的表面积计算，考查圆柱和球的组合体问题的求解方法，属于基础题.13.甲､乙､丙､丁､戊､己六位同学中考语文､数学､外语的成绩如下表：甲乙丙丁戊己语文108110115110118107数学110120112111100118外语110100112114110113将每人中考成绩最高的科目认定为他的“最擅长科目”，例如甲的最擅长科目为数学和外语.现从这六位同学中选出三人分别担任语文､数学､外语三个科目的科代表（每科一人，不可兼任），若每个科代表对应的科目都是他的最擅长科目，则符合要求的安排方法共有__________种.【答案】10【解析】【分析】由表格先确定六人各自擅长科目，再分类讨论即可.【详解】由表格可知：甲最擅长科目为数学和外语，乙为数学，丙为语文，丁为外语，戊为语文，己为数学.则语文可从丙、戊两位同学选，数学可从甲乙己三位同学选，外语可从甲丁两位同学选，C C4=种选法；若甲不为课代表，则只需选语文、数学科目代表即可，有1122C2=选法；若甲为课代表，则①甲为数学课代表，只需选语文课代表即可，有12C C4=种选法；②甲为外语课代表，只需选语文、数学课代表即可，有有1122综上所述，共有10种方案.故答案为：1014.已知()()1122,,,A x y B x y 为抛物线28y x =上两个不同的动点，且满足1216y y =-，则112222x y x y +++++的最小值为__________.【答案】6【解析】【分析】根据点A 、B 在抛物线上，化112222x y x y +++++为22121248y y y y ++++，设出直线AB 方程，利用韦达定理化简22121248y y y y ++++得到一元二次函数，即可求出最小值.【详解】由()11,A x y 在抛物线28y x =上可知：2118y x =，所以()2211111422088y y x y y +++=++=≥；同理可得：222222208y x y y ++=++≥，故22121122122248y y x y x y y y ++++++=+++①，设直线AB 方程为x my n =+，直线与抛物线联立，有：28x my ny x=+⎧⎨=⎩消去x 整理有：2880y my n --=，由韦达定理有：128y y m +=，又1216y y =-，故①式化为：221888862m m m ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，故：112222x y x y +++++的最小值为6.故答案为：6【点睛】关键点点睛：要求112222x y x y +++++的最小值，关键在于结合点在曲线上，化112222x y x y +++++为22121248y y y y ++++，再利用韦达定理进一步化简成一元二次函数求最值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其面积为S ，且2224S b c a =+-.（1）求A ；（2）已知a =S 的取值范围.【答案】（1）π4A =（2）02S <≤+【解析】【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解tan 1A =，进而可求解π4A =，（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.【小问1详解】因为三角形的面积为222441sin 2bc A S b c a ==+-⨯，则222sin cos 2b c a A A bc+-==，所以tan 1A =，又(0,π)A ∈，则π4A =；【小问2详解】由于2222cos 22b c a A bc +-==，所以22828b c bc +-=≥-，即(288bc bc -≤⇒≤+b c =取等号，故(11212sin 8222222S bc A ==⨯≤⨯+=，故02S <≤+16.如图，在三棱台111ABC A B C -中，平面11ABB A ⊥平面11111π,,4,2,2AB C BB AB AB AA AB BAC ∠⊥====.（1）证明：AC ⊥平面11ABB A ；（2）若直线BC 与11B C 距离为3，求平面11ABB A 与平面11BCC B 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，进而可求，（2）根据线面垂直的性质，结合平面夹角的几何法，即可求解1AB C ∠即为平面11ABB A 与平面11BCC B 所成角或其补角，根据三角形的边角关系求解长度即可求解.【小问1详解】由于平面11ABB A ⊥平面1,AB C 且交线为1AB ,又111,BB AB BB ⊥⊂平面11ABB A ，所以1BB ⊥平面1,AB C AC ⊂平面1,AB C 故1BB AC ⊥，又11,,,AB AC AB BB B AB BB ⊥⋂=⊂平面11ABB A ,故AC ⊥平面11ABB A 【小问2详解】由（1）知1BB ⊥平面1,AB C 1CB ⊂平面1,AB C 故1BB ⊥1CB ，又11,BB AB ⊥1AB ⊂平面11ABB A ,1CB ⊂平面11BCC B ,所以1AB C ∠即为平面11ABB A 与平面11BCC B 所成角或其补角，过1B 作1B D BC ⊥于D ,由于直线BC 与11B C 距离为3，故13B D =，由于111,4,2BB AB AB AB ⊥==，故1BB ==在直角三角形1BB D中，111sin 2B D DBB BB ∠==,故1π3DBB ∠=，故在直角三角形1BB C中，111tan 6B C BB DBB =∠==，（1）知AC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A 故1AB AC ⊥，所以1Rt AB C △中，11121cos 63B A ABC CB ∠===17.某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军.比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分，比赛没有平局；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束.已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为12.（1）求甲乙决出冠军时比赛局数X 的分布列与数学期望()E X ；（2）求在甲获得冠军的条件下其积分达到11分的概率P .【答案】（1）分布列见解析；()238E X =（2）18【解析】【分析】（1）根据比赛规则，分析比赛可能出现的各种情况，确定X 的取值，进而求出X 的分布列与数学期望；（2）根据条件概率公式求出()()()()()P BC P BC P BC P BC P BC +++即可.【小问1详解】由比赛规则可知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束，则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分，故比赛次数不会超过5；由比赛规则可知，若比赛共进行了n 局，()25n ≤≤，则前n 1-局不可能出现某人连胜2次（否则2连胜后比赛结束），故前n 1-局必定甲乙二人胜负交替，综上可知：比赛决出冠军时，二人比赛过程中的胜负情况有以下三种可能：第一，比赛进行n 局()24n ≤≤，前n 1-局二人胜负交替，第n 局与第n 1-局胜者相同，此人达成2连胜并获得冠军（其积分不超过33110⨯+=，故未达11分）；第二，比赛进行了5局，二人始终胜负交替，其中第5局获胜者获得11分，另一方9分，此时获胜者仅积分率先达到11分并获得冠军；第三，比赛进行了5局，前4局二人胜负交替，但第4局的获胜者在第5局连续获胜，则他同时完成2连胜且积分率先达到11分并获得冠军.即随机事件=i A “第i 局比赛中甲获胜”{}1,2,3,4,5i ∈，B =“甲达成2连胜”，C =“甲先获得11积分”；根据题意，X 的可能取值为2,3,4,5()()()2212121112222P X P A A P A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()331231231113224P X P A A P A A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()44123412341114228P X P A A A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()11115123412488P X P X P X P X ==-=-=-==---=.于是X 的分布列为：X2345P12141818故()111123234524888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】根据以上分析可知：()()()()234121231234111722216P BC P A A P A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()51234511232P BC P A A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()()51234511232P BC P A A A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故()()()()()()()()()1113232|7118163232P BC P BC P C P P C B C P B C P BC P BC P BC ++=⋃===⋃++++.18.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点()3,2A ，其右焦点为F ，且直线2y x =是C 的一条渐近线.（1）求C 的标准方程；（2）设(),M m n 是C 上任意一点，直线22:1mx nyl a b -=.证明：l 与双曲线C 相切于点M ；（3）设直线PT 与C 相切于点T ，且0FP FT ⋅=，证明：点P 在定直线上.【答案】（1）221832x y -=（2）证明过程见解析（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）由题意得229412a bb a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解出,a b 的值即可；（2）一方面(),M m n 是C 上任意一点，从而可得出它也在直线22:1mx nyl a b -=上面，联立椭圆方程，消元后得到一个一元二次方程，证明判别式等于0即可；（3）由（2）中结论，设出点的坐标，可得432nq mp =-，由向量数量积公式化简得-=-0-≠即可得证.【小问1详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点()3,2A ，且直线2y x =是C 的一条渐近线，所以229412a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得228,32a b ==，所以C 的标准方程为221832x y -=；【小问2详解】首先设(),M m n 是C 上任意一点，所以有222222221832m n m n m n m n a b a b ⋅-⋅=-=-=，这表明了点(),M m n 也在直线l 上，也可以得到22432m n -=，联立直线l 的方程与椭圆C 的方程有2218321832x y mx ny ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，化简并整理得()222246425680n mxmx n -+--=，而224320n m -=-≠，且()()()()2222222Δ6444832643240m n mnm m =+-⨯+=-⨯=，这也就是说l 与双曲线C 相切于点M ；【小问3详解】不妨设()(),,,T m n P p q ，由（2）可知过点T 的直线PT 的方程为1832mx ny -=，因为点(),P p q 在直线1832mx ny -=上，所以1832mp nq-=，即有432nq mp =-，又2240a b +=，从而()F ，所以()(),FP p q FT m n =-=-，若0FP FT ⋅=，则()40432FP FT p m qn pm p m pm ⋅=--+=-+++-)580pm p m =-++=，-=-，因为m a ≥=2105m ≠=0-≠，从而5p ==，所以点P 在定直线上2105x =上.19.已知0a >，且1a ≠，函数()()ln 11xf x a x =++-.（1）记()()ln 1,n n a f n n n S =-++为数列{}n a 的前n 项和.证明：当89a =时，642024S <；（2）若1ea =，证明：()0xf x ≥；（3）若()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）直接利用等差数列、等比数列的求和公式计算即可；（2）利用导数研究()e 1xx -+的单调性与最值判定()f x 的单调性即可证明；（3）分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理及极限思想计算即可.【小问1详解】由题意可知89a =时，()()88ln 11ln 1199n nn a n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--++=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以()64126644881998880126412016899919S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++++++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 6484202920428⎛⎫=⎪⎭<-⨯ ⎝；【小问2详解】易知1e a =时，()()()()()()e 1111ln 111e 1e e 1xx x x x f x x f x x x x +'=++-⇒=--=>-++，令()()()()1e 1e 1xxg g x x x x '=->⇒=+--，显然()1,0x ∈-时，()()0,0,g x x '<∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()()000g x g f x '≥=⇒≥，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，所以()1,0x ∈-时，()()0,0,f x x <∈+∞时，()0f x >，故()0xf x ≥；【小问3详解】①若1a >，易知()f x 定义域上为单调递增函数，不会有三个零点，不符题意；②若1,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则()1,0x ∈-时，1e x x a <，x ∈()0,∞+时，1exx a >，由（2）可知：()1,0x ∈-时，()()1ln 110e xf x x <++-<，()0,x ∈+∞时，()()1ln 110ex f x x >++->，且()00f =，则函数()f x 只有一个零点，不符题意；③由（2）知，1ea =时，()f x 在()1,-+∞上单调递增，也不符题意；④若10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()()1111ln 111ln 11xxx x a a a f x x x x a a -⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=+=>-+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()(),l 1111111e 1n ,ln x xh x x x a a a a a h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+>>- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭'-⇒⎭⎝-⎝⎝⎭=，显然()1,0x ∈-时，()()0,0,h x x ∞<∈+'时，()0h x '>，即()h x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，注意到()()10,01ln 0h a h a -=>=+<，(),0x h x →+∞>，所以()()121,0,0,x x ∃∈-∈+∞使得()()120h x h x ==，即()f x 在()11,x -和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，又1x →-时，()f x →-∞，()()()1200f x f f x >=>，(),0x f x →+∞>，所以在区间()()121,,,x x -+∞各存在一个零点，及0x =也是一个零点，符合题意；综上10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：对于第三问，先讨论1a >，此时函数单调递增，排除；结合（2）再讨论1,ea 的大小关系，首先注意到1,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由1,ex x a 的大小关系及（2）的结论放缩下从而确定不符题意，再利用隐零点及零点存在性定理、极限思想来确定10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时符合题意即可.。
2024年高考数学一模《三角函数》题型及答案
三角函数题型01任意角的三角函数题型02两角和与差的三角函数题型03三角函数的图象与性质题型04解三角形题型01任意角的三角函数1(2024·辽宁沈阳·统考一模)sin x =1的一个充分不必要条件是.2(2024·重庆·统考一模)英国著名数学家布鲁克·泰勒(Taylor Brook )以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，其中n !=1×2×3×⋯×n ．根据该展开式可知，与2-233!+255!-277!+⋯的值最接近的是()A.sin2°B.sin24.6°C.cos24.6°D.cos65.4°3(2024·福建厦门·统考一模)若sin α+π4 =-35，则cos α-π4 =．4(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)下列说法正确的是()A.cos2sin3<0B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π2C.终边落在直线y =x 上的角的集合是α α=π4+2k π,k ∈Z D.函数y =tan 2x -π6 的定义域为x x ≠π3+k π2,k ∈Z ，π为该函数的一个周期5(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知函数f (x )=cos xx，若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则下列结论一定正确的是()A.f (sin A )>f (sin B )B.f (cos A )>f (cos B )C.f (sin A )>f (cos B )D.f (cos A )>f (sin B )6(2024·河北·校联考一模)在△ABC 中，若A =nB n ∈N * ，则()A.对任意的n ≥2，都有sin A <n sin BB.对任意的n ≥2，都有tan A <n tan BC.存在n ，使sin A >n sin B 成立D.存在n ，使tan A >n tan B 成立题型02两角和与差的三角函数7(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)若cos α+π4 =35，则sin2α=()A.725B.-725C.925D.-9258(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知cos α+π6 =14，则sin 2α-π6 =()A.78B.-78C.38D.-389(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知sin π2-θ +cos π3-θ =1，则cos 2θ-π3=()A.13B.-13C.33D.-3310(2024·浙江·校联考一模)已知α是第二象限角，β∈0,π2 ,tan α+π4 =-14，现将角α的终边逆时针旋转β后得到角γ，若tan γ=17，则tan β=．11(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知tan α-11+tan α=2，则sin 2α+π6的值为()A.-4+3310B.-4-3310C.4+3310D.4-331012(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知α∈0,π ，且3tan α=10cos2α，则cos α可能为()A.-1010B.-55C.1010D.5513(2024·吉林延边·统考一模)已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ,ω>0 的最小正周期为4π．(1)求ω的值，并写出f x 的对称轴方程；(2)在△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c 满足2a -c cos B =b ⋅cos C ，求函数f A 的取值范围．题型03三角函数的图象与性质14(2024·福建厦门·统考一模)已知函数f (x )=2sin 2x -π3，则()A.f (x )的最小正周期为π2B.f (x )的图象关于点2π3,0 成中心对称C.f (x )在区间0,π3上单调递增D.若f (x )的图象关于直线x =x 0对称，则sin2x 0=1215(2024·吉林延边·统考一模)将函数f x =sin ωx +π6 (ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是()A.13B.23C.43D.5316(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知函数f x =cos2x +a cos x +2，则下列说法正确的有()A.当a =0时，f x 的最小正周期为πB.当a =1时，f x 的最小值为78C.当a =3时，f x 在区间0,2π 上有4个零点D.若f x 在0,π3上单调递减，则a ≥217(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知函数f (x )=sin ωx +3cos ωx (ω>0)满足:f π6=2,f 2π3=0,则()A.曲线y =f (x )关于直线x =7π6对称 B.函数y =f x -π3是奇函数C.函数y =f (x )在π6,7π6单调递减 D.函数y =f (x )的值域为[-2,2]18(2024·辽宁沈阳·统考一模)如图，点A ,B ,C 是函数f x =sin ωx +φ (ω>0)的图象与直线y =32相邻的三个交点，且BC -AB =π3,f -π12=0，则()A.ω=4B.f 9π8 =12C.函数f x 在π3,π2上单调递减D.若将函数f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ 的最小值为π2419(2024·重庆·统考一模)已知f x =2a sin ωx ⋅cos ωx +b cos2ωx ω>0,a >0,b >0 的部分图象如图所示，当x ∈0,3π4时，f x 的最大值为．20(2024·云南曲靖·统考一模)函数f x =A sin ωx +φ (其中A >0，ω>0，φ ≤π2)的部分图象如图所示，则()A.f 0=-1B.函数f x 的最小正周期是2πC.函数f x 的图象关于直线x=π3对称D.将函数f x 的图象向左平移π6个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称21(2024·浙江·校联考一模)已知函数y=2sinωx+φ，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点1,0是函数的一个对称点，则ω和φ的值可能是()A.ω=-π3,φ=-π3B.ω=-π3,φ=2π3C.ω=π3,φ=π3D.ω=π3,φ=2π322(2024·广东深圳·校考一模)已知函数f x =cosωx+π3+1(ω>0)的最小正周期为π，则f x 在区间0,π2上的最大值为()A.12B.1 C.32D.223(2024·山西晋城·统考一模)若函数f(x)=cosωx(0<ω<100)在π,5π2上至少有两个极大值点和两个零点，则ω的取值范围为．24(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数f x =A sinωx+φA>0,ω>0,φ <π的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A.ω=2，频率为1π，初相为π6B.函数f x 的图象关于直线x=-π6对称C.函数f x 在π12,13π24上的值域为0,2D.若把f x 图像上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向左平移π12个单位，则所得函数是y=2sin3x+π12题型04解三角形25(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC=67.5°，从C点测得∠ACD=45°，∠BCE=75°，从E点测得∠BEC=60°．若测得DC=23，CE=2(单位：百米)，则A，B两点的距离为()A.6B.22C.3D.2326(2024·广东深圳·校考一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =3，b =5，c =2a cos A ，则cos A =() A.13B.24C.33D.6327(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c -b =2b cos A ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.B 的取值范围为0,π4C.ab的取值范围为2,3 D.1tan B -1tan A+2sin A 的最小值为2228(2024·福建厦门·统考一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2cos B +ab cos A =2c ．(1)求a ；(2)若A =2π3，且△ABC 的周长为2+5，求△ABC 的面积．29(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知a -bc=sin A -sin Csin A +sin B．(1)求角B 的大小；(2)若b =2，求△ABC 周长的最大值．30(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且cos C =-14,c=2a.(1)求sin A的值；(2)若△ABC的周长为18，求△ABC的面积.31(2024·浙江·校联考一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知c2b2+c2-a2=sin Csin B．(1)求角A；(2)设边BC的中点为D，若a=7，且△ABC的面积为334，求AD的长．32(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知在△ABC中，3sin(A+B)=1+2sin2C 2．(1)求角C的大小；(2)若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．33(2024·辽宁沈阳·统考一模)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且b2=ac+a2.(1)求证：B=2A；(2)当3c+7a3b取最小值时，求cos B的值.34(2024·重庆·统考一模)在梯形ABCD中，AB⎳CD,∠ABC为钝角，AB=BC=2,CD=4，sin∠BCD=154．(1)求cos∠BDC；(2)设点E为AD的中点，求BE的长．35(2024·山西晋城·统考一模)在△ABC中，AB=33，AC=53，BC=73．(1)求A的大小；(2)求△ABC外接圆的半径与内切圆的半径．36(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知B =π4,4b cos C =2c +2a .(1)求tan C ；(2)若△ABC 的面积为32，求BC 边上的中线长.37(2024·云南曲靖·统考一模)在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且c =2a cos C -2b ．(1)求A ；(2)线段BC 上一点D 满足BD =14BC ,AD =BD=1，求AB 的长度．三角函数题型01任意角的三角函数题型02两角和与差的三角函数题型03三角函数的图象与性质题型04解三角形题型01任意角的三角函数1(2024·辽宁沈阳·统考一模)sin x =1的一个充分不必要条件是.【答案】x =π2(答案不唯一)【分析】根据三角函数的性质结合充分不必要条件即可求解.【详解】因为x =π2时sin x =1，由sin x =1可得x =π2+2k π,k ∈Z ,故sin x =1的一个充分不必要条件是x =π2，故答案为：x =π2(答案不唯一)2(2024·重庆·统考一模)英国著名数学家布鲁克·泰勒(Taylor Brook )以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，其中n !=1×2×3×⋯×n ．根据该展开式可知，与2-233!+255!-277!+⋯的值最接近的是()A.sin2° B.sin24.6°C.cos24.6°D.cos65.4°【答案】C【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.【详解】原式=sin2≈sin 2×57.3° =sin 90°+24.6° =cos24.6°，故选：C .3(2024·福建厦门·统考一模)若sin α+π4 =-35，则cos α-π4 =．【答案】-35/-0.6【分析】应用诱导公式有cos α-π4 =cos α+π4 -π2=sin α+π4 ，即可求值.【详解】cos α-π4 =cos α+π4 -π2=sin α+π4 =-35.故答案为：-354(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)下列说法正确的是()A.cos2sin3<0B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π2C.终边落在直线y =x 上的角的集合是α α=π4+2k π,k ∈ZD.函数y =tan 2x -π6 的定义域为x x ≠π3+k π2,k ∈Z ，π为该函数的一个周期【答案】ABD【分析】根据三角函数在各象限内的符号可判断出A 正确；根据扇形弧长和面积公式可知B 正确；由终边相同的角的集合表示方法可知C 错误；根据正切型函数定义域和周期的判断方法可知D 正确.【详解】对于A ，∵2,3均为第二象限角，∴cos2<0，sin3>0，∴cos2sin3<0，A 正确；对于B ，设扇形的半径为r ，则π3r =π，解得：r =3，∴扇形的面积S =12×π3×32=3π2，B 正确；对于C ，终边落在直线y =x 上的角的集合为α α=π4+k π,k ∈Z ，C 错误；对于D ，由2x -π6≠π2+k πk ∈Z 得：x ≠π3+k π2k ∈Z ，∴y =tan 2x -π6 的定义域为x x ≠π3+k π2,k ∈Z ；又tan 2x +π -π6 =tan 2π+2x -π6 =tan 2x -π6 ，∴π是y =tan 2x -π6 的一个周期，D 正确.故选：ABD .5(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知函数f (x )=cos xx，若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则下列结论一定正确的是()A.f (sin A )>f (sin B )B.f (cos A )>f (cos B )C.f (sin A )>f (cos B )D.f (cos A )>f (sin B )【答案】D【分析】由已知可得π2>A >π2-B >0，根据余弦函数的单调性，得出cos A <sin B ，由f x 的单调性即可判断选项.【详解】因为f (x )=cos x x ，所以f (x )=-x sin x -cos xx 2，当x ∈0,π2 时，sin x >0,cos x >0，所以-x sin x -cos xx2<0，即f (x )<0，所以f x 在0,π2上单调递减.因为A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，所以A +B >π2，则π2>A >π2-B >0，因为y =cos x 在0,π2 上单调递减，所以0<cos A <cos π2-B =sin B <1<π2，故f (cos A )>f (sin B )，故D 正确.同理可得f (cos B )>f (sin A )，C 错误；而A ,B 的大小不确定，故sin A 与sin B ，cos A 与cos B 的大小关系均不确定，所以f (sin A )与f (sin B )，f (cos A )与f (cos B )的大小关系也均不确定，AB 不能判断.故选：D6(2024·河北·校联考一模)在△ABC 中，若A =nB n ∈N * ，则()A.对任意的n ≥2，都有sin A <n sin BB.对任意的n ≥2，都有tan A <n tan BC.存在n ，使sin A >n sin B 成立D.存在n ，使tan A >n tan B 成立【答案】AD【分析】根据给定条件，举例说明判断BD；构造函数，借助导数探讨单调性判断AC.【详解】在△ABC中，当A=3B时，n=3，取B=π12，则A=π4，tan A=1，tan B=tanπ3-π4=3-11+3=2-3，3tan B=3(2-3)，则tan A>3tan B，B错，D对；显然0<A<π0<B<π0<C<π，即0<nB<π0<B<π0<π-B-nB<π，则0<B<πn+1，令f(x )=sin nx-n sin x，0<x<πn+1,n≥2，f (x)=n cos nx-n cos x=n(cos nx-cos x)<0，因此函数f(x)在0,πn+1上单调递减，则f(x)<f(0)=0，即sin nB<n sin B，从而sin A<n sin B，A对，C错.故选：AD【点睛】思路点睛：涉及不同变量的数式大小比较，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解作答.题型02两角和与差的三角函数7(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)若cosα+π4=35，则sin2α=()A.725B.-725C.925D.-925【答案】A【分析】根据二倍角的余弦公式和诱导公式即可.【详解】cos2α+π4=2cos2α+π4-1=2×35 2-1=-725,所以sin2α=-cos2α+π2=725，故选：A.8(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知cosα+π6=14，则sin2α-π6=()A.78B.-78C.38D.-38【答案】A【分析】利用换元法，结合诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案.【详解】设α+π6=t，则α=t-π6,cos t=14,sin2α-π6=sin2t-π6-π6=sin2t-π2=-cos2t=-2cos2t-1=-2×142-1=78.故选：A9(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知sinπ2-θ+cosπ3-θ=1，则cos2θ-π3=()A.13B.-13C.33D.-33【答案】B【分析】根据和差角公式以及诱导公式可得32cos θ+32sin θ=1，由辅助角公式以及二倍角公式即可求解.【详解】由sin π2-θ+cos π3-θ =1得cos θ+12cos θ+32sin θ=1，进而可得32cos θ+32sin θ=1，结合辅助角公式得3cos θ-π6=1，则cos θ-π6 =33,∴cos 2θ-π3 =2cos 2θ-π6 -1=-13，故选：B .10(2024·浙江·校联考一模)已知α是第二象限角，β∈0,π2,tan α+π4 =-14，现将角α的终边逆时针旋转β后得到角γ，若tan γ=17，则tan β=．【答案】198/2.375【分析】由两角和的正切公式先得tan α=-53，进一步由两角差的正切公式即可求解.【详解】由题意tan α+π4 =tan α+11-tan α=-14，且γ=α+β，tan γ=tan α+β =17，解得tan α=-53，所以tan β=tan α+β-α =17--53 1+-53 ×17=198.故答案为：198.11(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知tan α-11+tan α=2，则sin 2α+π6的值为()A.-4+3310B.-4-3310C.4+3310D.4-3310【答案】A【分析】先由已知条件求出tan α的值，再利用三角函数恒等变换公式求出sin2α,cos2α的值，然后对sin 2α+π6利用两角和的正弦公式化简计算即可【详解】由tan α-11+tan α=2，得tan α=-3，所以sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan αtan 2α+1=-610=-35，cos2α=cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=1-tan 2αtan 2α+1=1-910=-45，所以sin 2α+π6 =sin2αcos π6+cos2αsinπ6=-35×32+-45 ×12=-4+3310，故选：A12(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知α∈0,π ，且3tan α=10cos2α，则cos α可能为()A.-1010B.-55C.1010D.55【答案】B【分析】由3tan α=10cos2α得3tan α=10×1-tan 2α1+tan 2α，化简后可求出tan α，再利用同角三角函数的关系可求出cos α.【详解】由3tan α=10cos2α，得3tan α=10(cos 2α-sin 2α)，所以3tan α=10×cos 2α-sin 2αcos 2α+sin 2α，所以3tan α=10×1-tan 2α1+tan 2α，整理得3tan 3α+10tan 2α+3tan α-10=0，(tan α+2)(3tan 2α+4tan α-5)=0，所以tan α+2=0或3tan 2α+4tan α-5=0，所以tan α=-2或tan α=-2±193，①当tan α=-2时，sin αcos α=-2，α∈π2,π ，因为sin 2α+cos 2α=1，所以5cos 2α=1，所以cos α=±55，因为α∈π2,π ，所以cos α=-55，②当tan α=-2+193时，sin αcos α=-2+193,α∈0,π2，因为sin 2α+cos 2α=1，所以19-23cos α 2+cos 2α=1，由于α∈0,π2 ，所以解得cos α=932-419，③当tan α=-2-193时，sin αcos α=-2-193,α∈π2,π ，因为sin 2α+cos 2α=1，所以-19-23cos α 2+cos 2α=1，由于α∈π2,π ，所以解得cos α=-932+419，综上，cos α=-55，或cos α=932-419，或cos α=-932+419，故选：B13(2024·吉林延边·统考一模)已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ,ω>0 的最小正周期为4π．(1)求ω的值，并写出f x 的对称轴方程；(2)在△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c 满足2a -c cos B =b ⋅cos C ，求函数f A 的取值范围．【答案】(1)ω=14,x =2π3+2k π,k ∈Z(2)12,1 【分析】(1)利用三角函数的恒等变换化简函数f (x )=sin 2ωx +π6，再根据周期求出ω的值,利用整体法即可求解对称轴.(2)把已知的等式变形并利用正弦定理可得cos B =12，故B =π3，故f (A )=sin 12A +π6 ,0<A <2π3，根据正弦函数的定义域和值域求出f A 的取值范围．【详解】(1)f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx =12+32sin2ωx -sin 2ωx =12+32sin2ωx -1-cos2ωx2=32sin2ωx +12cos2ωx =sin 2ωx +π6 ．∵T =2π2ω=4π，∴ω=14．故f x =sin 12x +π6 令12x +π6=π2+k π,k ∈Z ，解得x =2π3+2k π,k ∈Z ，故对称轴方程为：x =2π3+2k π,k ∈Z(2)由2a -c cos B =b ⋅cos C 得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ，∴2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C =sin (B +C )=sin A ．∵sin A ≠0，∴cos B =12，B ∈0,π ,∴B =π3．∴f (A )=sin 12A +π6 ,0<A <2π3，∴π6<A 2+π6<π2，∴12<sin A 2+π6 <1，∴f (A )∈12,1 题型03三角函数的图象与性质14(2024·福建厦门·统考一模)已知函数f (x )=2sin 2x -π3，则()A.f (x )的最小正周期为π2B.f (x )的图象关于点2π3,0 成中心对称C.f (x )在区间0,π3上单调递增D.若f (x )的图象关于直线x =x 0对称，则sin2x 0=12【答案】BC【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.【详解】由f (x )=2sin 2x -π3 ，最小正周期T =2π2=π，A 错；由f 2π3=2sin 2×2π3-π3 =0，即2π3,0 是对称中心，B 对；由x ∈0,π3 ，则2x -π3∈-π3,π3 ，显然f (x )在区间0,π3 上单调递增，C 对；由题意2x 0-π3=k π+π2⇒2x 0=k π+5π6，故sin2x 0=±12，D 错.故选：BC15(2024·吉林延边·统考一模)将函数f x =sin ωx +π6 (ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是()A.13B.23C.43D.53【答案】B【分析】得出平移后的方程后，再根据正弦型函数的性质即可得到答案.【详解】结合题意可得f x +π2 =sin ωx +π2 +π6 =sin ωx +π2ω+π6,(ω>0)，因为曲线C 关于y 轴对称，所以π2ω+π6=k π+π2,k ∈Z ，解得ω=2k +23,k ∈Z ,因为ω>0，所以当k =0时，ω有最小值23.故选：B .16(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知函数f x =cos2x +a cos x +2，则下列说法正确的有()A.当a =0时，f x 的最小正周期为πB.当a =1时，f x 的最小值为78C.当a =3时，f x 在区间0,2π 上有4个零点D.若f x 在0,π3 上单调递减，则a ≥2【答案】AB【分析】根据三角函数的周期性、含cos x 的二次项函数的值域、三角函数的零点、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】当a =0时，f x =cos2x +2，所以f x 的最小正周期为π，A 选项正确；当a =0时，f x =cos2x +cos x +2=2cos 2x +cos x +1=2cos x +14 2+78≥78，所以f x 的最小值为78，B 选项正确；当a =4时，f x =cos2x +3cos x +2=2cos 2x +3cos x +1=2cos x +1 cos x +1 ，令f x =0，解得cos x =-12或cos x =-1，此时x =2π3或x =4π3或x =π，f x 在区间0,2π 上有3个零点，C 选项错误；f x =cos2x +a cos x +2=2cos 2x +a cos x +1，设t =cos x ，cos x 在0,π3 上单调递减，则t ∈12,1 ，根据复合函数的单调性，g t =2t 2+at +1在12,1 上单调递增，所以-a 4≤12，解得a ≥-2，D 选项错误.故选：AB17(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知函数f (x )=sin ωx +3cos ωx (ω>0)满足:f π6=2,f 2π3=0,则()A.曲线y =f (x )关于直线x =7π6对称 B.函数y =f x -π3是奇函数C.函数y =f (x )在π6,7π6单调递减 D.函数y =f (x )的值域为[-2,2]【答案】ABD【分析】用辅助角公式化简f (x ),再利用f π6=2,f 2π3 =0,得出ω的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可.【详解】f (x )=2sin ωx +π3,所以函数y =f (x )的值域为[-2,2],故D 正确；因为f 2π3=0,所以2π3ω+π3=k 1π,k 1∈Z ,所以ω=3k 1-12,k 1∈Z ，因为f π6 =2,所以π6ω+π3=π2+2k 2π,k 2∈Z ,所以ω=12k 2+1,k 2∈Z ，所以3k 1-12=12k 2+1,即k 1=8k 2+1，所以ω∈{1,13,25,37⋯}，因为f 7π6 =2sin 12k 2+1 7π6+π3 =2sin 14k 2π+3π2=-2，所以曲线y =f (x )关于直线x =7π6对称,故A 正确；因为f x -π3 =2sin 12k 2+1 x -π3 +π3 =2sin 12k 2+1 x -4k 2π =2sin 12k 2+1 x即f x -π3 =-f -x -π3，所以函数y =f x -π3是奇函数,故B 正确；取ω=13,则最小正周期T =2πω=2π13<7π6-π6=π,故C 错误.故选：ABD 18(2024·辽宁沈阳·统考一模)如图，点A ,B ,C 是函数f x =sin ωx +φ (ω>0)的图象与直线y =32相邻的三个交点，且BC -AB =π3,f -π12=0，则()A.ω=4B.f 9π8 =12C.函数f x 在π3,π2上单调递减D.若将函数f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ 的最小值为π24【答案】ACD【分析】令f x =32求得x A ,x B ,x C 根据BC -AB =π3求得ω=4，根据f -π12=0求得f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令f x =sin ωx +φ =32得，ωx +φ=π3+2k π或ωx +φ=2π3+2k π，k ∈Z ，由图可知：ωx A +φ=π3+2k π，ωx C +φ=π3+2k π+2π，ωx B +φ=2π3+2k π，所以BC =x C -x B =1ω-π3+2π ，AB =x B -x A =1ω⋅π3，所以π3=BC -AB =1ω-2π3+2π ，所以ω=4，故A 选项正确，所以f x =sin 4x +φ ，由f -π12=0得sin -π3+φ =0，所以-π3+φ=π+2k π，k ∈Z ，所以φ=4π3+2k π，k ∈Z ，所以f x =sin 4x +4π3+2k π =sin 4x +4π3 =-sin 4x +π3 ，f 9π8 =-sin 9π2+π3 =-12，故B 错误.当x ∈π3,π2 时，4x +π3∈5π3,2π+π3，因为y =-sin t 在t ∈5π3,2π+π3 为减函数，故f x 在π3,π2上单调递减，故C 正确；将函数f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得g x =-sin 4x +4θ+π3，(θ<0时向右平移，θ>0时向左平移)，g x 为偶函数得4θ+π3=π2+k π，k ∈Z ，所以θ=π24+k π4，k ∈Z ，则θ 的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD .19(2024·重庆·统考一模)已知f x =2a sin ωx ⋅cos ωx +b cos2ωx ω>0,a >0,b >0 的部分图象如图所示，当x ∈0,3π4时，f x 的最大值为．【答案】3【分析】由图象求出函数f x 的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数f x 在0,3π4上的最大值.【详解】因为f x =2a sin ωx ⋅cos ωx +b cos2ωx =a sin2ωx +b cos2ωx ω>0,a >0,b >0 ，设f x =A sin 2ωx +φ A >0,ω>0 ，由图可知，函数f x 的最小正周期为T =4×π6+π12 =π，则2ω=2πT =2ππ=2，又因为A =f x max -f x min 2=2+22=2，则f x =2sin 2x +φ ，因为f -π12 =2sin φ-π6 =2，可得sin φ-π6 =1，所以，φ-π6=π2+2k πk ∈Z ，则φ=2π3+2k πk ∈Z ，则f x =2sin 2x +2π3+2k π =2sin 2x +2π3 ，当0≤x ≤3π4时，2π3≤2x +2π3≤13π6，故f x max =2sin 2π3=2×32= 3.故答案为：3.20(2024·云南曲靖·统考一模)函数f x =A sin ωx +φ (其中A >0，ω>0，φ ≤π2)的部分图象如图所示，则()A.f 0 =-1B.函数f x 的最小正周期是2πC.函数f x 的图象关于直线x =π3对称D.将函数f x 的图象向左平移π6个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称【答案】AC【分析】利用图象求出函数f x 的解析式，代值计算可判断A 选项；利用正弦型函数的周期性可判断B 选项；利用正弦型函数的对称性可判断C 选项；利用三角函数图象变换可判断D 选项.【详解】由图可知，A =f x max -f x min 2=2--22=2，函数f x 的最小正周期T 满足3T 4=7π12--π6 =3π4，则T =π，ω=2πT =2ππ=2，B 错；所以，f x =2sin 2x +φ ，f -π6 =2sin 2×-π6 +φ =2sin φ-π3 =-2，可得sin φ-π3 =-1，因为-π2≤φ≤π2，所以，-5π6≤φ-π3≤π6，则φ-π3=-π2，可得φ=-π6，所以，f x =2sin 2x -π6 ，则f 0 =2sin -π6=-1，A 对；f π3 =2sin 2×π3-π6 =2sin π2=2=f x max ，所以，函数f x 的图象关于直线x =π3对称，C 对；将函数f x 的图象向左平移π6个单位长度以后，得到函数y =2sin 2x +π6 -π6 =2sin 2x +π6 的图象，所得函数为非奇非偶函数，D 错.故选：AC .21(2024·浙江·校联考一模)已知函数y =2sin ωx +φ ，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点1,0 是函数的一个对称点，则ω和φ的值可能是()A.ω=-π3,φ=-π3B.ω=-π3,φ=2π3C.ω=π3,φ=π3D.ω=π3,φ=2π3【答案】D【分析】由题意首先得ω=π3，进一步由ω+φ=k π,k ∈Z ，对比选项即可得解.【详解】由题意函数的周期T 满足，T 2=52-42=3=2π2ω ，所以ω=±π3，又点1,0 是函数的一个对称点，所以ω+φ=k π,k ∈Z ，所以ω=π3φ=k π-π3,k ∈Z 或ω=-π3φ=k π+π3,k ∈Z，对比选项可知，只有当ω=π3φ=2π3k =1时满足题意.故选：D .22(2024·广东深圳·校考一模)已知函数f x =cos ωx +π3+1(ω>0)的最小正周期为π，则f x 在区间0,π2上的最大值为()A.12B.1C.32D.2【答案】C【分析】由周期公式求得ω，结合换元法即可求得最大值.【详解】由题意T =2πω=π，解得ω=2，所以f x =cos 2x +π3+1，当x ∈0,π2 时，t =2x +π3∈π3,4π3，所以f x 在区间0,π2 上的最大值为cos π3+1=32，当且仅当x =0时等号成立.故选：C .23(2024·山西晋城·统考一模)若函数f (x )=cos ωx (0<ω<100)在π,5π2上至少有两个极大值点和两个零点，则ω的取值范围为．【答案】85,2 ∪125,100 【分析】先求出极大值点表达式，利用题干条件列不等式赋值求解.【详解】令ωx =2k π，k ∈Z ，得f (x )的极大值点为x =2k πω，k ∈Z ，则存在整数k ，使得ω>02k πω>π2k +1 πω<5π2，解得4(k +1)5<ω<2k (k ∈N *)．因为函数y =cos x 在两个相邻的极大值点之间有两个零点，所以4(k +1)5<ω<2k (k ∈N *)．当k =1时，85<ω<2．当k =2时，125<ω<4．当k ≥2时，4(k +1)5<4(k +2)5<2k ．又0<ω<100，所以ω的取值范围为85,2 ∪125,4 ∪165,6 ∪⋅⋅⋅∪2045,100 =85,2 ∪125,100 ．故答案为：85,2 ∪125,100【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象及其性质，求出4k +15<ω<2k k ∈N * 并赋值计算是解决问题关键.24(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数f x =A sin ωx +φ A >0,ω>0,φ <π 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A.ω=2，频率为1π，初相为π6B.函数f x 的图象关于直线x =-π6对称C.函数f x 在π12,13π24上的值域为0,2 D.若把f x 图像上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向左平移π12个单位，则所得函数是y =2sin 3x +π12【答案】BCD【分析】根据图象求出三角函数解析式，再根据正弦函数图象与性质以及函数平移的原则即可判断.【详解】由图象可得A =2,34T =13π12-π3=3π4,∴T =π，频率是1T =1π,ω=2ππ=2,∵f π3 =2,∴f π3 =2sin 2π3+φ =2，即sin 2π3+φ =1,∴2π3+φ=2k π+π2(k ∈Z )，∴φ=2k π-π6(k ∈Z ),∵|φ|<π,∴φ=-π6，对于A ，∴f (x )=2sin 2x -π6 ，初相是-π6，故A 错误；对于B ，f -π6 =2sin -π3-π6=-2，故B 正确；对于C ，因为x ∈π12,13π24 ，所以2x -π6∈0,11π12，∴f (x )=2sin 2x -π6在π12,13π24上的值域为[0,2]，故C 正确；对于D ，把f (x )的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数为y =2sin 3x -π6，又向左平移π12个单位，得到的函数为y =2sin 3x +π12 -π6 =2sin 3x +π12 ，故D 正确；故选：BCD .题型04解三角形25(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ，E ．从D 点测得∠ADC =67.5°，从C 点测得∠ACD =45°，∠BCE =75°，从E 点测得∠BEC =60°．若测得DC =23，CE =2(单位：百米)，则A ，B 两点的距离为()A.6B.22C.3D.23【答案】C【分析】在△ADC 中，求得AC =DC ；在△BCE 中，利用正弦定理求得BC ；再在△ABC 中，利用余弦定理即可求得结果.【详解】根据题意，在△ADC 中，∠ACD =45°，∠ADC =67.5°，DC =23，则∠DAC =180°-45°-67.5°=67.5°，则AC =DC =23，在△BCE 中，∠BCE =75°，∠BEC =60°，CE =2，则∠EBC =180°-75°-60°=45°，则有CE sin ∠EBC =BC sin ∠BEC ，变形可得BC =CE ⋅sin ∠BEC sin ∠EBC =2×3222=3，在△ABC 中，AC =23，BC =3，∠ACB =180°-∠ACD -∠BCE =60°，则AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos ∠ACB =9，则AB =3．故选：C .【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及距离的求解，属基础题.26(2024·广东深圳·校考一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =3，b =5，c =2a cos A ，则cos A =()A.13B.24C.33D.63【答案】D【分析】由已知结合余弦定理进行化简即可求解.【详解】解：因为c =2a cos A ，由余弦定理可得c =2a ⋅b 2+c 2-a 22bc，将a =3，b =5代入整理得c =26，所以cos A =c 2a =63.故选：D .27(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c -b =2b cos A ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.B 的取值范围为0,π4C.ab的取值范围为2,3 D.1tan B -1tan A+2sin A 的最小值为22【答案】AC【分析】用正弦定理可判断A 项，由锐角三角形可判断B 项，用倍角公式可判断C 项，切化弦后用取等条件即可判断D 项.【详解】在△ABC 中，由正弦定理可将式子c -b =2b cos A 化为sin C -sin B =2sin B cos A ，把sin C =sin A +B =sin A cos B +cos A sin B 代入整理得，sin A -B =sin B ，解得A -B =B 或A -B +B =π，即A =2B 或A =π(舍去)，所以A =2B ，选项A 正确；选项B ：因为△ABC 为锐角三角形，A =2B ，所以C =π-3B ，由0<B <π2,0<2B <π2,0<π-3B <π2,解得B ∈π6,π4 ，故选项B 错误；选项C ：a b=sin A sin B =sin2B sin B =2cos B ，因为B ∈π6,π4 ，所以cos B ∈22,32 ，2cos B ∈2,3 ，即ab的取值范围为2,3 ，故选项C 正确；选项D ：1tan B -1tan A +2sin A =sin A -B sin A sin B +2sin A =1sin A+2sin A ≥21sin A ×2sin A =22，当且仅当1sin A=2sin A 即sin A =±22时取等，但因为B ∈π6,π4 ，所以A =2B ∈π3,π2 ,sin A ∈32,1 ，无法取到等号，故D 错.故选：AC .28(2024·福建厦门·统考一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2cos B +ab cos A =2c ．(1)求a ；(2)若A =2π3，且△ABC 的周长为2+5，求△ABC 的面积．【答案】(1)a =2；(2)34.【分析】(1)应用正弦边角关系及和角正弦公式有a sin (A +B )=2sin C ，再由三角形内角性质即可求边长；(2)应用余弦定理及已知得b 2+c 2+bc =4且b +c =5，进而求得bc =1，最后应用面积公式求面积.【详解】(1)由题设a (a cos B +b cos A )=2c ，由正弦定理有a (sin A cos B +sin B cos A )=2sin C ，所以a sin (A +B )=2sin C ，而A +B =π-C ，故a sin C =2sin C ，又sin C >0，所以a =2.(2)由(1)及已知，有cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-42bc=-12，可得b 2+c 2+bc =4，又a +b +c =2+5，即b +c =5，所以(b +c )2-bc =5-bc =4⇒bc =1，故S △ABC =12bc sin A =34.29(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知a -bc=sin A -sin Csin A +sin B．(1)求角B 的大小；(2)若b =2，求△ABC 周长的最大值．【答案】(1)B =π3(2)6【分析】(1)根据题意利用正、余弦定理进行边角转化，进而可得结果；(2)根据a 2+c 2-b 2=ac ，结合基本不等式运算求解.【详解】(1)因为a -b c =sin A -sin C sin A +sin B，由正弦定理可得a -b c =a -ca +b ，整理得a 2+c 2-b 2=ac ，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =ac 2ac =12，且B ∈0,π ，所以B =π3.(2)由(1)可知：a 2+c 2-b 2=ac ，整理得a +c 2-4=3ac ，即ac =a +c 2-43，因为ac ≤a +c24，当且仅当a =c =2时，等号成立，则a +c 2-43≤a +c 24，可得a +c 2≤16，即a +c ≤4，所以△ABC 周长的最大值为4+2=6.30(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且cos C =-14,c =2a .(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的周长为18，求△ABC 的面积.【答案】(1)158(2)315【分析】(1)由正弦定理边化角结合同角三角函数关系求解;(2)由余弦定理解方程得边长，再利用面积公式求解.【详解】(1)因为0<C <π，cos C =-14，所以sin C =1-cos 2C =154.因为c =2a ，所以sin C =2sin A ，则sin A =sin C 2=158.(2)因为cos C =-14，所以c 2=a 2+b 2+12ab .因为c =2a ，所以3a 2-12ab -b 2=0，解得b =32a .因为△ABC 的周长为18，所以a +b +c =92a =18，解得a =4，则b =6,c =8.故△ABC 的面积为12bc sin A =12×6×8×158=315.31(2024·浙江·校联考一模)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知c 2b 2+c 2-a2=sin Csin B．(1)求角A ；(2)设边BC 的中点为D ，若a =7，且△ABC 的面积为334，求AD 的长．【答案】(1)A =π3(2)132【分析】(1)根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到b 2+c 2-a 2=bc ，再结合余弦定理即可求出角A ；(2)根据三角形面积公式得到bc =3和b 2+c 2=10，再结合中线向量公式计算即可.【详解】(1)在△ABC 中，由正弦定理得，sin C sin B =cb，因为c 2b 2+c 2-a 2=sin C sin B ，所以c 2b 2+c 2-a 2=cb ，化简得，b 2+c 2-a 2=bc ，在△ABC 中，由余弦定理得，cos A =b 2+c 2-a 22bc=12，又因为0<A <π，所以A =π3(2)由S △ABC =12bc sin A =34bc =334，得bc =3，由a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，得7=b 2+c 2-3，所以b 2+c 2=10．又因为边BC 的中点为D ，所以AD =12AB +AC，所以AD =12(AB +AC )2=12b 2+c 2+2bc cos A =12×10+2×3×12=13232(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知在△ABC 中，3sin (A +B )=1+2sin 2C2．(1)求角C 的大小；(2)若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．【答案】(1)π3；(2)4+23．【分析】(1)利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin C +π6=1，再根据角的范围可得解；(2)利用正弦定理求出AB ，求出∠AIB ，设出∠ABI ，将AI ,BI 用∠ABI 表示，根据三角函数知识求出AI +BI 的最大值可得解.【详解】(1)∵3sin (A +B )=1+2sin 2C2，且A +B +C =π，∴3sin C =1+1-cos C =2-cos C ，即3sin C +cos C =2，∴sin C +π6=1．∵C ∈(0，π)，∴C +π6∈π6，7π6 ，∴C +π6=π2，即C =π3．(2)∵△ABC 的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，AB sin ∠ACB =ABsin π3=2×2=4，∴AB =23，∵∠ACB =π3，∴∠ABC +∠BAC =2π3，∵∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，∴∠ABI +∠BAI =π3，∴∠AIB =2π3，设∠ABI =θ，则∠BAI =π3-θ，且0<θ<π3，在△ABI 中，由正弦定理得，BI sin π3-θ =AI sin θ=AB sin ∠AIB =23sin 2π3=4，∴BI =4sin π3-θ ，AI =4sin θ，∴△ABI 的周长为23+4sin π3-θ +4sin θ=23+432cos θ-12sin θ +4sin θ=23+23cos θ+2sin θ=4sin θ+π3+23，∵0<θ<π3，∴π3<θ+π3<2π3，∴当θ+π3=π2，即θ=π6时，△ABI 的周长取得最大值，最大值为4+23，故△ABI 的周长的最大值为4+23．【点睛】关键点点睛：将AI ,BI 用∠ABI 表示，根据三角函数知识求出AI +BI 的最大值是解题关键.33(2024·辽宁沈阳·统考一模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且b 2=ac +a 2.(1)求证：B =2A ；(2)当3c +7a 3b取最小值时，求cos B 的值.【答案】(1)证明见解析(2)cos B =-13【分析】(1)利用余弦定理并结合正弦函数两角和差公式化简即可求解.(2)利用基本不等式求得3c +7a 3b的最小值时的取等条件b =233a ，再结合余弦定理从而求解.【详解】(1)证明：由余弦定理知b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，又因为b 2=a 2+ac ，所以a 2+ac =a 2+c 2-2ac ⋅cos B ，化简得a =c -2a cos B ，所以sin A =sin C -2sin A cos B ，因为A +B +C =π，所以sin A =sin A +B -2sin A cos B ，所以sin A =sin A cos B +cos A sin B -2sin A cos B =cos A sin B -sin A cos B ，所以sin A =sin B -A ，因为A ∈0,π ,B -A ∈-π,π ，所以A =B -A 或A +B -A =π(舍)，所以B =2A .(2)由题知，3c +7a 3b =3ac +7a 23ab =3b 2-a 2 +7a 23ab=b a +43⋅a b ≥243=433，当且仅当b =233a 时取等，又因为b 2=ac +a 2，所以c =13a ，所以cos B =a 2+c 2-b22ac=a 2+13a 2-233a22a ×13a=-13.34(2024·重庆·统考一模)在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ,∠ABC 为钝角，AB =BC =2,CD =4，sin ∠BCD =154．(1)求cos ∠BDC ；(2)设点E 为AD 的中点，求BE 的长．【答案】(1)78；(2)342【分析】(1)在△BCD 中利用余弦定理求出BD ，再利用二倍角的余弦公式计算即得.(2)利用(1)的结论，借助向量数量积求出BE 的长.【详解】(1)在梯形ABCD 中，由AB ⎳CD ,∠ABC 为钝角，得∠BCD 是锐角，在△BCD 中，sin ∠BCD =154，则cos ∠BCD =1-sin 2∠BCD =14，由余弦定理得BD =22+42-2×2×4×14=4，即△BCD 为等腰三角形，所以cos ∠BDC =cos (π-2∠BCD )=-cos2∠BCD =1-2cos 2∠BCD =78.(2)由AB ⎳CD ，得∠ABD =∠BDC ，由点E 为AD 的中点，得BE =12(BA +BD)，所以|BE |=12BA 2+BD 2+2BA ⋅BD =1222+42+2×2×4×78=342.35(2024·山西晋城·统考一模)在△ABC 中，AB =33，AC =53，BC =73．(1)求A 的大小；(2)求△ABC 外接圆的半径与内切圆的半径．【答案】(1)A =2π3(2)32【分析】(1)由余弦定理即可求解；(2)由正弦定理求出外接圆半径，由等面积法求出内切圆半径.【详解】(1)由余弦定理得cos A =AB 2+AC 2-BC 22AB ⋅AC=-12，因为0<A <π，所以A =2π3．(2)设△ABC 外接圆的半径与内切圆的半径分别为R ，r ，由正弦定理得2R =BC sin A=7332=14，则R =7．△ABC 的面积S =12AB ⋅AC ⋅sin A =4534，由12r (AB +AC +BC )=S ，得r =2S AB +AC +BC =32．36(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知B =π4,4b cos C =2c +2a .(1)求tan C ；。
2024年全国统一高考数学Ⅰ卷(带答案解析)
2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{2，3}C．{﹣3，﹣1，0}D．{﹣1，0，2} 2．（5分）若＝1+i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）已知向量＝（0，1），＝（2，x），若⊥（），则x＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．（5分）已知cos（α+β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α﹣β）＝（）A．﹣3m B．﹣C．D．3m5．（5分）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A．2πB．3πC．6πD．9π6．（5分）已知函数为f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．[0，+∞）7．（5分）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为（）A．3B．4C．6D．88．（5分）已知函数为f（x）的定义域为R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且当x＜3时，f（x）＝x，则下列结论中一定正确的是（）A．f（10）＞100B．f（20）＞1000C．f（10）＜1000D．f（20）＜10000二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。
每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）A．P（X＞2）＞0.2B．P（X＞2）＜0.5C．P（Y＞2）＞0.5D．P（Y＞2）＜0.8（多选）10．（6分）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（）A．x＝3是f（x）的极小值点B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）（多选）11．（6分）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于﹣2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（）A．a＝﹣2B．点（2，0）在C上C．C在第一象限的纵坐标的最大值为1D．当点（x0，y0）在C上时，y0≤三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
2024年长沙市第一中学高考数学一模卷+答案解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则下列集合为空集的是( )备战2024高考—名师原创数学一模卷A.B. C. D.2.若复数z 满足，，则( )A. B.C.D.3.在中，若，，则( )A. B. C. D. 4.设是等比数列的前n 项和，若，，则的最小值为( )A. 1B.C.D.5.若过点可以作三条直线与曲线相切，则m 的取值范围为( )A.B.C.D. 6.已知函数的最小正周期为，且在上单调递减，在上单调递增，则实数m 的取值范围是( )A. B.C. D.7.已知，点P 为直线上的一点，点Q 为圆上的一点，则的最小值为( )A.B.C.D.8.已知直三棱柱的外接球表面积为S ，体积为V ，且，若，则V 的最大值为( )A. B. C. D. 4二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如图，在正方体中，则( )A.平面 B. 与平面相交C. 平面D. 平面平面10.工厂生产某零件，其尺寸D服从正态分布单位：其中k由零件的材料决定，且当零件尺寸大于或小于时认为该零件不合格；零件尺寸大于且小于时认为该零件为优质零件；其余则认为是普通零件.已知当随机变量时，，，，则下列说法中正确的有( )A. k越大，预计生产出的优质品零件与不合格零件的概率之比越小B. k越大，预计生产出普通零件的概率越大C. 若，则生产200个零件约有9个零件不合格D. 若生产出优质零件、普通零件与不合格零件盈利分别为3a，2a，，则当时，每生产1000个零件预计盈利2580a11.已知抛物线的准线l的方程为，过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，以A，B为切点分别作C的两条切线，且两切线交于点M，则下列结论正确的是( )A. C的方程为B.C. M恒在l上，且MF恒为的高线D.12.设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，若为奇函数，则A. B.C. ；D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年高考数学一模试卷附答案
2024年高考数学一模试卷附答案一、选择题（每小题5分，共40分）1. 若函数f(x) = x² - 4x + 3在区间（-∞，a）上是减函数，求实数a的取值范围。
A. a ≤ 2B. a ≤ 1C. a ≤ 3D. a ≤ 42. 已知函数g(x) = 2x - 3，若g(2a - 1) = 5，求a的值。
A. 4B. 3C. 2D. 13. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 15，S10 = 30，求公差d。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知三角形ABC的面积为6，且BC = 4，AC = 5，求sinA的值。
A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 4/35. 若直线l：x - 2y + 3 = 0与圆C：(x - 1)²+ (y + 2)² = 16相交于A、B两点，求线段AB的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 86. 已知函数h(x) = x³ - 3x² + 2x，求h(x)的单调递增区间。
A. (-∞，0)B. (0，2)C. (2，+∞)D. (-∞，2)7. 若数列{bn}的通项公式为bn = 3n - 2，求该数列的前10项和。
A. 150B. 160C. 170D. 1808. 若函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|的最小值为3，求x的取值范围。
A. x ≤ 1B. x ≥ 2C. x ≤ 2D. x ≥ 1二、填空题（每小题5分，共40分）9. 已知函数f(x) = x² - 2x + 1，求f(3)的值。
10. 若a² + b² = 5，且a > 0，b < 0，求a +b的取值范围。
11. 已知数列{cn}的前n项和为Tn，且Tn = 2n²+ n，求该数列的通项公式。
12. 若直线y = kx + 1与圆(x - 2)² + (y -3)² = 4相切，求实数k的取值范围。
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D．等腰直角三角形
二、填空题
13．设函数
f
x
log2
log
1 2
x, x 0 (x), x
0
，若 f (a) f (a) ，则实数 a 的取值范围是
__________．
14．已知椭圆 x2 y2 1的左焦点为 F ，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，若线段 PF 的中 95
点在以原点 O 为圆心， OF 为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是_______.
x 1t 2
（ 点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲
线 C 的极坐标方程是 2
2sin
4
.
（1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；
（2）设点 P0, 1 .若直 l 与曲线 C 相交于两点 A, B ,求 PA PB 的值.
程为 y 3x 1 ．
（1）若函数 f x 在 x 2 处有极值，求 f x 的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数 y f x 在区间3,1 上的最大值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B 解析：B 【解析】 【分析】 圆（y﹣1）2+x2＝4 的圆心为（0，1），半径 r＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB|＝2， |AF|＝yA+1，|AB|＝yB﹣yA，即可得出三角形 ABF 的周长＝2+yA+1+yB﹣yA＝yB+3，利用 1＜ yB＜3，即可得出． 【详解】 抛物线 x2＝4y 的焦点为（0，1），准线方程为 y＝﹣1， 圆（y﹣1）2+x2＝4 的圆心为（0，1）， 与抛物线的焦点重合，且半径 r＝2， ∴|FB|＝2，|AF|＝yA+1，|AB|＝yB﹣yA， ∴三角形 ABF 的周长＝2+yA+1+yB﹣yA＝yB+3， ∵1＜yB＜3， ∴三角形 ABF 的周长的取值范围是（4，6）．
g x x2 ；
③
f
x
x0 与
g
x
1 x0
；④
f
x
x2
2x 1与
g t
t2
2t
1．
A．① ②
B．① ③
C．③ ④
D．① ④
8．若干年前，某教师刚退休的月退休金为 6000 元，月退休金各种用途占比统计图如下面
的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折
线图.已知目前的月就医费比刚退休时少 100 元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
A．6500 元
B．7000 元
C．7500 元
D．8000 元
9．当 a 1时， 在同一坐标系中，函数 y ax 与 y loga x 的图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒中任取 3 个球来用,用完后装回盒 中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,其分布列为 P(X),则 P(X=4)的值为
23．若不等式 ax2
5x 2
0 的解集是 x
1 2
x
2
，求不等式 ax2
5x a2
1
0
的
解集．
24．已知函数 f (x) x ln x .
（1）若函数 g(x)
f (x) x2
1 x
，求
g(x)
的极值；
（2）证明： f (x) 1 ex x2 .
（参考数据： ln 2 0.69
__________．
三、解答题
21．已知复数 z1 m 2i ，复数 z2 1 ni ，其中 i 是虚数单位， m ， n 为实数.
（1）若 m 1， n 1 ，求 z1 z2 的值；
（2）若 z1 z22 ，求 m ， n 的值.
22．在平面直角坐标系
xOy
中,已知直线
l
的参数方程为
A． 1 220
B． 27 55
C． 21 25
D． 27 220
11．若实数 满足约束条件
，则
的最大值是（ ）
A．
B．1
C．10
D．12
12．在 ABC 中， A 为锐角， lg b lg(1) lg sin A lg 2 ，则 ABC 为（ ） c
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
A． 2 3
B． 3 5
C． 2 5
D． 1 5
5．已知复数 z 满足 1 i z 2 ，则复数 z 的虚部为（ ）
A．1
B． 1
C． i
D． i
6．函数 y 1 ln x 1 的图象大致为( )
x
A．
B．
C．
D．
7．下列各组函数是同一函数的是（ ）
① f x 2x3 与 f x x 2x ； f x 2x3与y x 2x ② f x x 与
3．4 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张
卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ）
A． 1 2
B． 1 3
C． 2 3
D． 3 4
4．生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3
只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为
ln 3 1.10
3
e2 4.48
e2 7.39 ）
25．已知函数 f (x) m x 1 x 1 .
（1）当 m 5 时，求不等式 f (x) 2 的解集； （2）若二次函数 y x2 2x 3 与函数 y f (x) 的图象恒有公共点，求实数 m 的取值范
围.
26．已知函数 f x x3 ax2 bx c ，过曲线 y f x 上的点 P 1, f 1 处的切线方
15． (x3 1 )7 的展开式中 x 5 的系数是 .（用数字填写答案） x
16．如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 的体积是 120，E 为 CC1 的中点，则三棱锥 E-BCD 的
体积是_____.
17．从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法
【必考题】高考数学一模试题带答案
一、选择题
1．如图，点 是抛物线
的焦点，点 , 分别在抛物线 和圆
线部分上运动，且 总是平行于 轴，则
周长的取值范围是( )
的实
A．
B．
C．
D．
2．{x1
3
是{x1
x2
6
成立的（
）
x2 3 x1x2 9
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
共有_____________种．（用数字填写答案）
18．高三某班一学习小组的 A, B, C, D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活 动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，① A 不在散 步，也不在打篮球；② B 不在跳舞，也不在散步；③“ C 在散步”是“ A 在跳舞”的充分 条件；④ D 不在打篮球，也不在散步；⑤ C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命 题，那么 D 在_________. 19．已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，| a |=2，| b |=1，则| a +2 b |= ______ . 20．若函数 f (x) x2 x 1 a ln x 在 (0, ) 上单调递增，则实数 a 的最小值是