Ch8多元函数微分学基础练习

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多元函数微分学练习题及答案

三. 设Lx, y, z, ln x ln y 3ln z (x2 y2 z2 5R2 )
求得此函数定义域内唯一的稳定点R，，R 3R ，也是所求函数的最大值点，所求最大值为f R, R, 3R ln 3 3R5 .
ln x ln y 3ln z ln 3 3R5
u y xf2 ( xz xyz y ) f 3
.
3、f x ( x, y)
(
x
2 xy 3 2 y2
)2
,
x
2
0, x 2 y 2 0
y2
0 ,
f y (x,
y)
x2(x2 (x2
y2 y2 )2
)
,
x2
o, x 2 y 2 0
y2
0
五、(
f1
f2 )dx
y (z) 1
f2 (z) dy. y (z) 1
六、 xe2 y fuu e y fuy xe y f xu f xy e y fu.
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
二、(1)当 x y 0时,在点( x, y)函数连续；
(2)当 x y 0时,而( x, y)不是原点时,
则( x, y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微

高数下课件 ch8习题课

=n (2 x, 2 y, − 1) (1,−2,5) = (2, − 4, − 1)，
∴ 平面 π 方程为 2( x − 1) − 4( y + 2) − (z − 5) =0，
即 2x − 4 y − z − 5 =0，
x + y + b =0
由直线
l
方程
x
+
ay
−
z
−
3
得 =0
y =− x − b z = (1 − a)x − (3 +
22
⋅
−
y x2
= 4 x3 f1′ + 2 xf2′ + x4 yf1′1′ − yf2′2′ .
例3 设=u f ( x, y, z)，ϕ ( x2 ,e y= , z) 0= ，y sin x，其中
f ,ϕ 具有一阶连续偏导数，且 ∂ϕ ≠ 0，求 du .
∂z
dx
解 du = ∂f + ∂f ⋅ dy + ∂f dz ， dx ∂x ∂y dx ∂z dx
ab)
代入平面 π
方程得
(5 + a)x + (4b + ab − 2) = 0，所以 a = −5，b = −2.
例12 设 xyz a (其中 a 为常数，且 x > 0，y > 0， z > 0)，求函数 u = x + y + z 的最小值.
证一 u = x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3 3 a，
解 ∂=z ∂x
f1′⋅
y
+
f
′
2
⋅
1 y
+

高数多元函数微分学

设 u ( x , y ) 、v ( x , y ) 、w w ( x , y ) 都在点 ( x , y ) 具有对 x
y 的偏导数， z f (u,v,w ) 在对应点 (u,v,w ) 具有连续偏导数，则
合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w ( x , y )] 在对应点 ( x , y ) 的两个偏
z 2eu2v
v
z
dv e x
dx
u
x
v
d dx z u zd du x vzd dx veu2v(cox s2ex)
es ixn2ex(co xs2ex)
例2 求 d xsinx ( x 0) dx
这CH是8多幂元指函数函微分学数的求导
可利用对数求导,可不可以用链式法则?
解令 ux,vsixn ,zuv
z x
z u
u x
z v
v x
，
z y
z u
u y
z v
v y
仍为u、v的二元函数
观点要明确！
即:
z u
fu
f1
u v
vzfv f2
u v
从而也x、是 y的函.数
复合二阶偏导：
CH8多元函数微分学
z z u z v
x u x v x
f1
u x
f
2
v x
2z x 2
z x x
x
个偏导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
链式法则如图示
CH8多元函数微分学

(完整版)多元函数微分学测试题及答案

第8章测试题1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（）条件．A ．充分B ．充分必要C ．必要D ．非充分非必要2.函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂及z y ∂∂在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（）条件．A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0）是（）A 不是(,)f x y 连续点B 不是(,)f x y 的极值点C 是(,)f x y 的极大值点D 是(,)f x y 的极小值点4. 函数22224422,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在（0，0）处（ C ）A 连续但不可微B 连续且偏导数存在C 偏导数存在但不可微D 既不连续，偏导数又不存在5.二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y x yf x y x y 在点(0,0)处( A). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在C ．不可微,偏导数存在D ．不可微,偏导数不存在6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数. 则=∂∂22y z( ). (A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂； (B)22y vv f∂∂⋅∂∂；(C)22222)(y v v fy v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂； (D)2222y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂.7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0)(,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（）.A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ∂∂∂ 11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求 z z x y x y ∂∂-∂∂ 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ∂∂11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ∂∂∂.13.求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值14.22在椭圆x +4y =4上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短.第8章测试题答案1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.D8.C 8. ()()3(1)z y z y e e ---9. 2122z z x y x y f f x y y x∂∂-=-∂∂ 10.2222(12sin )x y z u xe z y x++∂=+∂11.123123231113223233 ()(),()()dz f f yf dx f f xf dyzf f x y f f x y f xyf x y=+++-+∂=+++-+-+∂∂12.极小值11(0,)f ee-=-13. r h==14. 83(,)55。

第八章多元函数微分练习题

5、已知函数 z f (sin x, y 2 ) ，其中 f (u, v) 有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
6、设
z
xf
(x2,
xy)
其中
f
(u, v)
的二阶偏导数存在，求
z y
、
2z yx
。
7、设 z f (2x 3y, xy) 其中 f 具有二阶连续偏导数，求 2 z 。 xy
z x
三、计算题
1、设 z f (x2 , x ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。
y
x xy
2、已知 z ln x x2 y 2 ，求 z ， 2 z 。 x xy
3、求函数 z tan x 的全微分。 y
4、设 z f (x y, xy) ，且具有二阶连续的偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
x1 （
y0
)
A、-1
B、 0
C、 1
D、 2
8、函数 z ( x y)2 ，则 dz x1, y0 =（
）
A、 2dx 2dy B、 2dx 2dy
C、 2dx 2dy D、 2dx 2dy
二、填空题
1、函数 z x y 的全微分 dz 2、设 u e xy sin x ，则 u
y
xy
17、设 z f (x2 y, y2 x) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 2 z 。 xy
18、设
z
z(x,
y)
是由方程
z
ln
z
xy
0
确定的二元函数，求
2z x2
19、设 z yf ( y2, xy) ,其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 2z 。 xy

多元函数微分学练习题及解答

xy
1
ex cos y 8、 lim
x, y0,01 x y
[解]：函数 z ex cos y 在 0, 0点连续，故 lim ex cos y e0 cos 0 1 。
1 x y
x,y0,01 x y 1 0 0
教材 P63 页习题 9-1 第 6 大题求极限。
xy
9、讨论函数
x
f22
x y2
x2
f11
2x2 y2
f12
x2 y4
f22
2x y3
f
2
。
20、设
f
具有连续导数，
z
xy
xf
y x
，证明
x
z x
y
z y
xy
z
[证明]：
z x
y
f
y x
x
f
y x
y x2
y
f
y x
y x
f
y x
z y
x
x
f
y x
1 x
x
f
y x
x
z x
y
高等数学（B）—多元函数微分学复习题
1、二元函数 z f x, y在点 P0 x0 , y0 处的两个偏导数存在是 z f x, y在点 P0 x0 , y0 处连
续的 ______ 条件（填：充分、必要、充要或无关）
[解]：无关条件，
2、如果函数 z f x, y 的两个混合偏导数 2 z , 2 z 在区域 D 内
26、求 3x2 y2 z2 16 在 1, 2, 3处的切平面与 xoy 面夹角的余弦
y
5）
2z y 2
x sin x

第八章多元函数的微分法及其应用练习题

第8章多元函数的微分法及其应用§8.1 多元函数的基本概念一、填空题1．已知22),(y x xyy x f -=+ ，则f(x,y)= 。

2．函数)1ln(4222y x y x Z ---=的定义域为。

3．11lim0-+→→xy xy y x = 。

二、判断题1．如果P 沿任何直线y=kx 趋于（0，0）,都有A P f kxy x ==→)(lim 0，则A y x f y x =-→→)(lim 00。

（）2．从0)0,(lim 0=→x f x 和2)2,(lim 0=→x x f x 知),(lim 0y x f y x →→不存在。

（）3．下面定义域的求法正确吗？)ln(11),(y x y x y x f -+-+=解：012)2()1()2(0)1(01>-⇒+⎩⎨⎧>->-+x y x y x 所以定义域为x>1/2的一切实数。

三、选择题1．有且仅有一个间断点的函数是（）（A ）、x y （B ）、)22l n (y x e x +- （C ）、yx x+ （D ）、arctanxy 2.下列极限存在的是（）（A ）、y x x y x +→→00li m （B ）、y x y x +→→1l i m 00 （C ）、y x x y x +→→200l i m （D ）、yx x y x +→→1s i n lim 00四、求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。

1．y x y x z --+=112.221)ln(yx x x y z --+-=3．)]1)(9ln[(2222-+--=y x y x z五、求下列极限，若不存在，说明理由。

1．22101lim y x xy y x +-→→2. 222200cos 1lim y x y x y x ++-→→3．y x x y x +→→00lim§8.2 偏导数一、判断题1．如果f(x,y)在(x 0,y 0) 处，xf ∂∂存在，则一元函数f(x,y 0)在（x,y 0）处连续。

微积分第七章-多元函数微分学习题

总结词
理解偏导数与全微分的关系，掌握二者之间的转换方法。
详细描述
偏导数是全微分的线性近似，即当自变量改变量Δx、Δy等趋于0时，全微分等于偏导数乘以自变量改变量。因此，在求函数在某一点的切线斜率时，可以使用偏导数；而在计算函数在某一点的微小改变量时，则使用全微分。
03
习题三：方向导数与梯度
THANKS
感谢观看
Delta y]
计算多元函数的梯度
总结词
梯度是多元函数在某点处的方向导数的最大值，表示函数在该点处沿梯度方向变化最快。
详细描述
梯度的计算公式为：[nabla f(x_0, y_0) = left( frac{partial f}{partial x}(x_0, y_0), frac{partial f}{partial y}(x_0, y_0) right)]梯度向量的长度即为函数在该点的变化率。
讨论多元函数极值的性质
要点一
总结词
极值的性质包括局部最大值和最小值、鞍点的存在以及多变量函数的极值与一元函数的极值之间的关系。
要点二
详细描述
在多元函数中，极值具有局部性，即在一个小的区域内，一个函数可能达到其最大值或最小值。鞍点是函数值在某方向上增加而在另一方向上减少的点。此外，多变量函数的极值与一元函数的极值之间存在一些关系，例如，在一元函数中，可微函数在区间上的最大值和最小值必然在驻点处取得，但在多元函数中，这一性质不再成立。
利用二阶条件求多元函数的极值
总结词
二阶条件是进一步确定极值点的工具，通过判断二阶偏导数的符号，我们可以确定是否为极值点。
详细描述
在得到临界点后，我们需要进一步判断这些点是否为极值点。这需要检查二阶偏导数的符号。如果所有二阶偏导数在临界点处都为正，则该点为极小值点；如果所有二阶偏导数在临界点处都为负，则该点为极大值点；如果既有正又有负，则该点不是极值点。

多元函数微分法及其应用习题

多元函数微分法及其应用习题一、主要内容平面点集和区域多元函数概念多元函数的极限极限运算多元连续函数的性质多元函数连续的概念全微分概念方向导数全微分的应用复合函数求导法则高阶偏导数偏导数概念全微分形式的不变性隐函数求导法则多元函数的极值微分法在几何上的应用1、区域（1）邻域（2）区域连通的开集称为区域或开区域．（3）聚点（4）n维空间2、多元函数概念定义类似地可定义三元及三元以上函数．3、多元函数的极限（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限说明：（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4、极限的运算5、多元函数的连续性6、多元连续函数的性质（1）最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．（2）介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．7、偏导数概念８、高阶偏导数纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.９、全微分概念函数连续函数可导函数可微偏导数连续多元函数连续、可导、可微的关系10、全微分的应用主要方面:近似计算与误差估计.以上公式中的导数称为全导数.11、复合函数求导法则无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.12、全微分形式不变性13、隐函数的求导法则隐函数的求导公式14、微分法在几何上的应用(1)空间曲线的切线与法平面切线方程为法平面方程为(２)曲面的切平面与法线切平面方程为法线方程为15、方向导数记为三元函数方向导数的定义梯度的概念梯度与方向导数的关系16、多元函数的极值定义多元函数取得极值的条件定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.驻点极值点注意条件极值：对自变量有附加条件的极值．二、典型例题例1解例2解例3解于是可得,例4解例5解例6解分析:得测验题测验题答案设是平面上的一个点，是某一正数，与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.设为取定的一个自然数，我们称元数组的全体为维空间，而每个元数组称为维空间中的一个点，数称为该点的第个坐标.设是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称是变量的二元函数，记为（或记为）.当时，元函数统称为多元函数.定义设函数的定义域为是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称为函数当，时的极限，记为（或这里）.定义设元函数的定义域为点集是其聚点且，如果则称元函数在点处连续.设是函数的定义域的聚点，如果在点处不连续，则称是函数的间断点.定义设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量，如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为同理可定义函数在点处对的偏导数，为记为，，或.，，或.如果函数在区域内任一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是、的函数，它就称为函数对自变量的偏导数，记作，，或.同理可以定义函数对自变量的偏导数，记作，，或.函数的二阶偏导数为如果函数在点的全增量可以表示为，其中A,B不依赖于而仅与有关，，则称函数在点可微分，称为函数在点的全微分，记为，即=.定理如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点可导，且其导数可用下列公式计算：．如果及都在点具有对和的偏导数，且函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算..隐函数存在定理1设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有.隐函数存在定理2设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有，.隐函数存在定理3设、在点的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且,，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）在点不等于零，则方程组、在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，，它们满足条件,，并有定理如果函数在点是可微分的，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有，其中为轴到方向L的转角．（其中）定义设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这向量称为函数在点的梯度，记为.函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为.设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点：若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，.定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，则在点处是否取得极值的条件如下：（1）时有极值，当时有极大值，当时有极小值；（2）时没有极值；（3）时可能有极值.又,，令第二步对于每一个驻点，求函数极值的一般步骤：第三步定出的符号，再判定是否是极值. 求出实数解，得驻点.第一步解方程组求出二阶偏导数的值.拉格朗日乘数法要找函数在条件下的可能极值点，先构造函数，其中为某一常数，可由解出，其中就是可能的极值点的坐标. 选择题:二元函数的定义（A）；（B）；（C）；（D）.2、设,则().（A）；（B）；（C）；（D）.3、().(A)0；(B)1；(C)2；(D).4、函数在点处连续,且两个偏导数存在是在该点可微的().（A）充分条件,但不是必要条件；（B）必要条件,但不是充分条件；（C）充分必要条件；（D）既不是充分条件,也不是必要条件.5、设则在原点处().(A)偏导数不存在；(B)不可微；(C)偏导数存在且连续；(D)可微.6、设其中具有二阶连续偏导数.则().(A)；(B)；(C)；(D).7、曲面的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积V=(). (A)；(B)；(C)；(D).8、二元函数的极值点是().(A)(1,2)；(B)(1.-2)；(C)(-1,2)；(D)(-1,-1).9、函数满足的条件极值是().(A)1；(B)0；(C)；(D).10、设函数在点的某邻域内可微分,则在点处有().二、讨论函数的连续性，并指出间断点类型.三、求下列函数的一阶偏导数:1、；2、；3、.四、设,而是由方程所确的函数,求.五、设,其中具有连续的二阶偏导数,求.设,试求和.设轴正向到方向的转角为求函数在点(1,1)沿方向的方向导数,并分别确定转角使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零.求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点.九、在第一卦限内作椭球面的切平面,使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求这切平面的切点,并求此最小体积.一、1、A；2、B；3、B；4、B；5、D；6、C；7、A；8、A；9、D；10、B.二、(1)当时,在点函数连续；(2)当时,而不是原点时,则为可去间断点,为无穷间断点.三、1、,；2、.3、.四、.五、.六、七、八、九、切点.。

多元函数微分学习题及详细解答

C. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 z z(x, y)
D. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 y y(x, z)
3.证明：函数 f (x, y) xy 在点 O(0, 0) 处可微。
证明：由定义，
f
x
(0,
0)
lim
x0
（f x, 0) x
f
(0, 0)
0
4.设
z
xy＋f
(u),
，u
y x
，f
(u)
为可微函数，求:
x
z x
y
z y
解： z x
y
xf
(u)
y x2
f (u)
f (u)
y
y x
f (u)
z x xf (u) 1 x f (u).
y
x
故
x
z x
y z y
x
f
(u)
y
f
(u) x
y
yx
f (u)
xf (u) xy yf (u) xy yf (u)
（3）如果函数 f (x, y) 在点 0, 0 处连续，那么下列命题正确的是（ B ）
A.若极限 lim f (x, y) 存在，则 f (x, y) 在点 0,0 处可微
x0 x y
y0
B.
若极限 lim x0
f (x, y) 存在，则 x2 y2
f (x, y) 在点 0, 0 处可微
y0
2 ，求
f
xx
(0,0,1),f
yz
(0,
1,0),f
zzx
(2,0,1)

多元函数微分学练习试卷1(题后含答案及解析)

多元函数微分学练习试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学2．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学3．正确答案：B 涉及知识点：多元函数微分学4．正确答案：B 涉及知识点：多元函数微分学5．正确答案：B 涉及知识点：多元函数微分学填空题6．正确答案：涉及知识点：多元函数微分学7．正确答案：涉及知识点：多元函数微分学解答题8．求下列函数的定义域：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学9．求下列函数的定义域：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学10．求下列函数的定义域：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学11．求下列函数的定义域：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学12．求下列函数的定义域：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学13．求下列函数的定义域：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学14．求下列函数的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学15．求下列函数的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学16．求下列函数的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学17．求下列函数的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学18．求下列函数的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学19．求下列函数的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学20．求下列函数在给定的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学21．求下列函数在给定的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学22．求下列函数在给定的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学23．求下列函数在给定的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学。

多元函数微分学练习题

x y
（2）
xy ；（3） lim x x 2 y 2 y 3．问下列函数在 (0, 0) 点是否连续？
1 （4） lim 1 x x y 4
。
x3 y , x 2 y 2 0, 6 2 （1） f ( x, y ) x y 0, x 2 y 2 0; x3 y3 , x 2 y 2 0, sin （2） f ( x, y ) x 2 y 2 0, x 2 y 2 0. 4．设 D 是 Oxy 平面中的有界闭区域，M 0 为 D 外的一点。证明在 D 中必存在点 P0
8．设 z arcsin
x x2 y2
，求
2z 2z z ， 2，。 x yx x
4 a 2t
9．证明：函数 u
1 2a t
e

( x b ) 2
（ a, b 为常数）当 t 0 时满足方程
u 2u a2 2 。 t x
x y 10．设 u ( x, y ) yf y xg x ，其中函数 f ， g 具有二阶连续导数。证明 2u 2u x 2 y 0。 xy x 2 f 2u 2u 11．设二元函数 f 具有二阶连续导数，且满足 2 y ， x y ， 2 x， xy x y 求f。 12．有一边长分别为 x 6m 与 y 8m 的矩形，如果 x 边增加 5cm ，而 y 边减少 10cm ，问这个矩形的对角线的长度的变化情况？
(1, 1, 1)
。
1 2 2 , x 2 y 2 0, ( x y ) sin 2 2 x y 2．设 f ( x, y ) 0, x 2 y 2 0.

（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案

（完整版）多元函数微分法及其应⽤习题及答案第⼋章多元函数微分法及其应⽤(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z 2，xy z2 ，则在D 上，xy zy x z =22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z 23及23y x z。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线??=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾⾓是多少？9．求⽅程1222222=++c11．设()y x f z ,=是由⽅程y z z x ln =确定的隐函数，求xz，y z ??。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由⽅程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz，y z ??，y x z 2。

14．设y ye z x cos 2+=，求全微分dz 。

15．求函数()222ln y x z ++=在点()2,1的全微分。

高等数学第四章多元函数的微分知识点及习题

法线方程：
− − −
=
=

特别：曲线方程写成： = , 时，令 , , = , − 则在 , ,
的法向量为 = , , −
例题、求曲面 2 + 2 2 + 3 2 = 36在点
线方程。

。
三、全微分
全微分： = (, ) ,
= (, , ) ,
ⅆ =

ⅆ

ⅆ =
+

ⅆ

ⅆ

+

ⅆ

例题、计算 = ⅇ 在点 2,1 处的全微分。
+

ⅆ

例题、计算 = +
解：

=1

sin
2
+ ⅇ 的全微分。

求证

+
1
ln
= 2
例题、设 = arcsin
例题、设 = 1 +

，求，。
2
2

+

，求，。

例题、设 =

ln tan ，求，。

例题、设 =
2

ⅇ
sin

1, −2,1 处的切线方程和法平面方程。
十一、曲面的切平面和法平面方程
曲面: , , = 在 , , 处的法向量
= , , , , , , , ,
切线方程：
− + − + − =

多元函数微积分练习题

练习题一多元函数微分学部分练习题1 求函数yx yx z -++=11的定义域.2已知xy y x xy y x f 5),(22-+=-，求),(y x f . 3计算下列极限（1）22)0,1(),()ln(limy x e x y y x ++→ （2） 4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→（3）243lim)0,0(),(-+→xy xy y x （4）xy x xy 1)1,0(),()1(lim +→（5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),()(2sin lim yx y x y x ++→ 4 证明极限y x yx y x +-→)0,0(),(lim不存在.5 指出函数22),(y x yx y x f -+=的间断点.6计算下列函数的偏导数（1）)ln(2y x z =（2）x xy z )1(-=（3）),(2y x f x z = （4）)(xy xz ϕ=（5）y xy y x z 2344+-+= （6）)ln(22y x z +=（7）)3cos(22y x e z yx += （8）y xy z )1(+=（9）2221zy x u ++=（10）⎰=220sin y x dt t z7 计算下列函数的二阶偏导数（1）243y xy x z -+= （2）)ln(xy y z =（3）y e z xysin = （4）),(2y x f x z = （5）2(,)z f xy x =8求下列函数的全微分（1）xyxe z = （2）221y x z +=（3）xy z arcsin = （4）),(y x yf xy z += 9 设⎰=xydt t y x f 12sin ),(，求df .10 （1）22uv v u z -=，其中y x u cos =，x y v sin =,求x z ∂∂，yz ∂∂ （2）)arctan(),,(z y x z y x f u ++==，其中)cos(xy z =,求x z ∂∂，yz ∂∂ （3）vu ez -=， t u sin =，2t v =,dz dt（4）),(22y x yx f z -=,求x z ∂∂，yz ∂∂ （5）设),()2(xy x g y x f z +-=，求x z ∂∂，yz ∂∂； 11 （1）设0)ln(22=+-+y x xy x ，求dxdy . （2）设xyz e z =，求yz x z ∂∂∂∂,. （3）已知⎩⎨⎧=++=++1022z y x z y x ，求dz dx ，dz dy. 12 求曲线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=211t z t t y t t x 在点1=t 的切线及法平面方程.13求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(0-M 处的切线与法平面方程.14求曲面3=+-xy z e z在点)0,1,2(M 处的切平面和法线方程. 15求函数22)1(-+=y x z 的极值.16求函数32z xy u =在条件a z y x =++)0,,,(>a z y x 下的极值.17求函数32z xy u =在曲面03222=-++xyz z y x 上点)1,1,1(P 处，沿曲面在该点朝上的法线方向的方向导数.18 设222(,,)3f x y z x y z xy x y z =+++-++，求(1,2,3)gradf .二多元函数积分学部分练习题1、改变下列二次积分的积分次序（1）⎰⎰112),(xdy y x f dx （2）⎰⎰--yy dx y x f dy 21110),(（3）⎰⎰⎰⎰+2242220),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy2、计算下列二重积分（1）⎰⎰D xyd σ，其中区域D 是曲线xy 1=，2=x 及x y =所围成的区域. （2）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D 是曲线x y 42=及x y =所围成的区域. （3）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D ：1≤+y x .（4）⎰⎰+D d y x σ)cos(，其中区域D 是曲线x y =，0=y 及2π=x 所围成的区域.（5）⎰⎰--Dy xd e σ22，其中积分区域D 为中心在原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.（6）⎰⎰+Dd y x σ22，其中积分区域为D ：122≥+y x ，x y x 222≤+，0≥y .3、设函数),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddxdy y x f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2xy =和1=x 所围成的区域.4、设函数)(u f 具有连续导数，且0)0(=f ，3)0(='f ，求3220222)(limtd y x f t y x t πσ⎰⎰≤+→+.5 计算下列三重积分（1）⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )sin(,其中Ω是由三个坐标面与平面2π=++z y x 所围成的立体；（2）计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω是由曲面222y x z --= 以及22y x z +=所围成的空间形体.（3）计算积分⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ，其中Ω是球面4222≤++z y x在第一卦限的部分.6 试计算立体Ω由曲面228y x z --=及22y x z +=所围成的体积. 7计算⎰⎰⎰Ωdxdydz e z，其中Ω是球面1222≤++z y x . 8 计算下列曲线积分（1）LxydS ⎰，其中L 为圆222a y x =+在第一象限内的部分；（2）222()x y z dS Γ++⎰，其中Γ是球面9222=++z y x 与平面0=++z y x 的交线.（3）⎰+-+Ldy y x dx y )2()1(3，其中L 是曲线23x y =上从点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段弧；（4）计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 为圆周θcos r x =，θsin r y =上由0=θ到πθ2=的一段弧.（5）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中求一条直线L ，使沿该曲线到点O 到点A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.（6）计算⎰⎰∑dS z 1，其中∑为球面4222=++z y x 被平面1=z 截出的上半部分. （7）计算⎰⎰∑++dS z y x )(222，其中∑为锥面222y x z +=介于平面0=z 与1=z 之间的部分. （8）计算⎰⎰∑+dxdy y x e z 22，其中∑是锥面22y x z +=夹在平面1=z 和2=z 之间部分的外侧.（9）计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 333，其中∑为以点)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)1,0,0(C 为顶点的三角形的上侧.9求曲线Γ：a x =，at y =，221at z =（10≤≤t ，0>a ）的质量，设其线密度为az 2=ρ. 10 （1）设L 为取正向的圆周922=+y x ，计算曲线积分⎰-+-Ldyx x dx y xy )4()22(2的值.（2）利用Stokes 公式计算曲线积分⎰++=Lxdz zdy ydx I ，其中L 是球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线，由z 轴的正向看去，圆周沿逆时针方向.（3）计算对坐标的曲线积分⎰++L dy x dx x xy 2)(2，其中L 为222R y x =+的第一象限由),0(R 到)0,(R 的一段弧.（4）已知1)(=πϕ，试确定)(x ϕ，使曲线积分⎰+-BAdy x dx xyx x )()]([sin ϕϕ 与路径无关，并求当A ，B 分别为)0,1(，),(ππ时线积分的值（5）计算⎰⎰∑++=yzdxdy xydzdx xzdydz I ，其中∑是圆柱面222R y x =+与平面0=x ，0=y ，0=z 及h z =)0(>h 所围成的在第一卦限中的立体的表面外侧.11（1）设k z j y i x r++=，计算r rot .（2）设()A xyz xi yj zk =++，计算divA。

高等数学题库第08章(多元函数微分学).

- 1 -第八章多元函数微积分习题一一、填空题1. 设f(x,y)=x-3y. ，则f(2,-1)=_______,f(-1,2)=________x2+y2_______. 2. 已知f(x,y)=2x2+y2+1，则f(x,2x)=__________二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形 1.z=3. z=y-x 2. z=-x+-y 4-x2-y24. z=log2xy习题二一、是非题1. 设z=x+lny，则2∂z1=2x+ （）∂xy2. 若函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)均存在，则该函数在P点处一定连续（）3. 函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处一定有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0) （）xy⎧,x2+y2≠0⎪4. 函数f(x,y)=⎨x2+y2在点(0,0)处有fx(0,0)=0及⎪0,x2+y2=0⎩fy(0,0)=0 （）5. 函数z=x2+y2在点(0,0)处连续，但该函数在点(0,0)处的两个偏导数zx(0,0),zy(0,0)均不存在。

（）二、填空题- 2 -1. 设z=lnx∂z∂z，则=___________;∂x∂yy2x=2y=1=___________;2. 设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数fx(a,b)和fy(a,b)均存在，则limh→0f(a+h,b)-f(a,b-2h)=_________.h2xy+sin(xy);x2+ey三、求下列函数的偏导数：1. z=x3y-y3x+1;2. z=3. z=(1+xy)y;4. z=lntanx; y5. u=xy2+yz2+zx2∂2z∂2z∂2z四、求下列函数的2,和：∂x∂y2∂x∂y3241. z=x+3xy+y+2;2. z=xy五、计算下列各题1. 设f(x,y)=e-sinx(x+2y),求fx(0,1),fy(0,1);∂2z2. 设f(x,y)=xln(x+y)，求2∂x六、设z=ln(x+y)，证明：x1313∂2z,2x=1∂yy=2∂2z,x=1∂x∂yy=2.x=1y=2∂z∂z1+y=. ∂x∂y3习题三一、填空题2xy_____. 1．z=xy+e在点(x,y)处的dz=__________ 2．z=xx+y_____. 在点(0,1)处的dz=__________- 3 -3．设z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全增量为∆z，全微分为dz，则f(x,y)在点(x0,y0) 处的全增量与全微分的关系式是__________________.二、选择题1．在点P处函数f(x,y)的全微分df存在的充分条件为（）A、f的全部二阶偏导数均存在B、f连续C、f的全部一阶偏导数均连续D、f连续且fx,fy均存在2．使得df=∆f的函数f为（）A、ax+by+c(a,b,c为常数)B、sin(xy)C、e+eD、x2+y22三、设z=xy，当∆x=0.1,∆y=0.2时，在(1,2)点处，求∆z和dz。

[整理]8多元函数微分法及其应用习题与答案

第八章多元函数微分法及其应用A 题1、填空题1）设()22,y x y x f +=，()22,y x y x g -=，则()[]=2,,y y x g f2）设()y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z3）设()y x y y x y x f arctan arctan ,22-⋅=，则()=∂∂y x f ,04）设()()y ax x x z ++++=ϕ211，若已知：当0=x 时，()2ln ey z =，则=dz 5）设()y x f z ,=，由1345=++yz xz z 所确定，则()=0,0'x f6）设2lnx y z +=，则在点()1,1,10M 的法线方程为 7）曲面1232222=++z y x 上点()1,2,1-处的切平面方程为8）设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为2、下列函数的定义域并图示 1)y x y x z -++=112)()221ln y x x x y z --+-=3)22arccosy x z u +=3、求下列各极限1)()()221,0,1limy x xy y x +-→2)()()xyxy y x 42lim 0,0,+-→3)()()()y xy y x sin lim0,2,→4、问函数xy x y z 2222-+=在何处间断.5、求下列函数的偏导数 1)uvv u s 22+=2)()()xy xy z 2cos sin +=3)yx z tanln =4)z y x u =6、曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点()5,4,2处的切线对于x 轴的倾角是多少?7、设()()yx y x y x f arcsin1,-+=，求()1,x f x .8、求下列函数的22x z ∂∂,22y z ∂∂,yx z ∂∂∂2 1)xy z arctan=2)x y z =9、求下列函数的全微分 1)22y x y z +=2)yz x u =10、求函数22y x xy z +=当2=x ，1=y ，01.0=∆x ，03.0=∆y 时的全增量和全微分.11、计算()()3393.102.1+的近似值.12、已知边长为cm x 6=与cm y 8=的矩形，如果x 边增加cm 5而y 边减少cm 10，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？13、设v u z ln 2=，而y x u =，y x v 23-=，求x z ∂∂，yz ∂∂.14、设()y x z -=arcsin ，而t x 3=，34t y =，求dtdz .15、设()12+-=a z y e u ax ，而x a y sin =，x z cos =，求dxdu .16、求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）1)()xy ey x f u ,22-=2)()xyz xy x f u ,,=17、设()y y x f x z cos ,31-=，求x z ∂∂，yz ∂∂.18、设()22y x f z +=，其中f 就有二阶导数，求22x z ∂∂，y x z ∂∂∂2，22y z ∂∂.19、求下列函数的22xz ∂∂，y x z ∂∂∂2，22y z ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数） 1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y x x f z ,2)()y x u f z ,,=，其中y xe u =3)()y x ey x f z +=,cos ,sin20、设y z z x ln =，求x z ∂∂及yz ∂∂.21、设()y x z z ,=由方程()0,2=xyz F 确定，求dz .22、设()z y x x ,=，()z x y y ,=，()z x z z ,=都是由方程()0,,=z y x F 所确定的具有连续偏导数的函数，求xz z y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂.23、设()z y x z y x 3232sin 2-+=-+，计算yz x z ∂∂+∂∂.24、求下列方程组所确定函数的导数或偏导数 1)设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x 求dz dx ，dz dy2)设⎪⎩⎪⎨⎧-=+=vu e y v u e x u u cos sin 求x u ∂∂，y u ∂∂，x v ∂∂，y v ∂∂25、求曲线mx y 22=，x m z -=2在点()000,,z y x 处的切线和法线方程.26、求出曲线t x =，2t y =，3t z =上的点，使在该点的切线平行于平面42=++z y x .27、求椭球面12222=++z y x 上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程.28、求函数22y x z +=在点()2,1处沿从点()2,1到点()32,2+的方向的方向导数.29、求函数222z y x u ++=沿曲线t x =，2t y =，3t z =在点()1,1,1处的切线正方向（对应于t 增大的方向）的方向导数.30、设()z y x xy z y x z y x f 62332,,222--++++=，求()0,0,0gradf 及()1,1,1gradf .31、问函数z xy u 2=在点()2,1,1-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.32、求函数()()y y x ey x f x 2,22++=的极值.33、求函数xy z =在适合条件1=+y x 下的极大值.34、欲选一个无盖的长方形水池，已知底部造价为每平方米a 元，侧面造价为每平方米b 元，现用A 元造一个容积最大的水池，求它的尺寸.35、要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.36、在平面xoy 上求一点，使它到0=x ，0=y 及0162=-+y x 三直线的距离平方之和为最小.B 题1、填空题1) 设()x y y x z -+=22arcsin ，其定义域为2) 设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin ,2xy xy xy y x y x f ，则()=1,0x f 3) 已知函数()22,y x y x y x f z -=-+=，则=∂∂+∂∂y z x z 4) 函数()z y x z y x f 1,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，则()=1,1,1df 5) ()y x f ,在点()y x ,处可微分是()y x f ,在该点连续的的条件，()y x f ,在点()y x ,处连续是()y x f ,在该点可微分的的条件6) ()y x f z ,=在点()y x ,的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂存在是()y x f ,在该点可微分的条件 7) 由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数()y x z z ,=在点()1,0,1-处的全微分为8) 设y x e u xsin -=，则y x u ∂∂∂2在点⎪⎭⎫ ⎝⎛π1,2处的值为 9) 设()()y ax y xy f xz ++=ϕ1，f ，ϕ具有二阶连续导数，则=∂∂∂y x z 2 10) 由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()2,3,0处的指向外侧的单位法向量为11) 曲面4323232=++z y x 上任一点的切平面在坐标轴上的截距平方和为12) 设()222ln zy x u ++=在点()2,2,1-M 处的梯度=M gradu 13) 设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为2、求函数()()2221ln 4,y x y x y x f ---=的定义域，并求()()y x f y x ,lim0,21,⎪⎭⎫⎝⎛→.3、证明：()()0lim220,0,=+→yx xy y x .4、证明下列极限不存在1) ()()()222220,0,limy x y x y x y x -+→2) ()()4220,0,limy x xy y x +→5、求下列函数的偏导数1) ()yxy z +=12)nx e z t kn cos 2-=3) ()xyy x ey x z 2222++=6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000,2222222y x y x yx y x y x f ，求()y x f x ,及()y x f y ,.7、设y x z arctan =，而v u x +=，v u y -=，验证：22vu v u v z u z +-=∂∂+∂∂.8、设()u xF xy z +=，而xyu =，()u F 为可导函数，证明：xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂.9、设()22yx f y z -=，其中()u f 为可导函数，验证：211y z y z y x z x =∂∂+∂∂.10、设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求xv x u ∂∂⋅∂∂.11、设()()xy x g y x f z ,2+-=，其中函数()t f 二阶可导，()v u g ,具有连续二阶偏导数，求yx z ∂∂∂2.12、设()y x f u ,=的所有二阶偏导数连续，而23ts x -=，23ts y +=，证明：2222⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂t u s u y u x u 及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.13、设v e x u cos =，v e y usin =，uv z =，试求x z ∂∂和yz ∂∂.14、在方程02222=∂∂-∂∂y ux u 中，函数u 具有二阶连续偏导数，令⎩⎨⎧+=-=y x y x ηξ，求u 以ξ，η为自变量的新方程.15、设0=-xyz e z，求22xz∂∂.16、设()v u ,Φ具有连续偏导数，证明由方程()0,=--Φbz cy az cx 所确定的函数()y x f z ,=，满足c yz x z a=∂∂+∂∂. 17、设()()⎩⎨⎧-=+=y v x u g v y v ux f u 2,,，其中f ，g 具有一阶连续偏导数，求x u ∂∂和xv ∂∂.18、求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点()1,1,1处的切线及法平面方程.19、试证曲面a z y x =++()0>a 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为一常数.20、求函数z y x u ++=在球面1222=++z y x 上点()000,,z y x 处沿球面在该点的外法线方向的方向导数.21、设()θθsin ,cos =l ，求函数()22,y xy x y x f +-=在点()1,1处沿方向l 的方向导数，并分别确定角θ，使这个导数有： a)最大值 b)最小值 c)等于022、证明：曲面()0,=--bz y az x F 上任意点处的切平面与直线z bya x ==平行（a ，b 为常数）.23、求平面1222=++z cwy b v x a u 的三截距之积在条件1222222=++c w b v a u 之下的最小值.24、经过⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1,2的所有的平面中，哪一个平面与坐标面围成的立体体积最小？最小体积是多少？25、抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这个椭圆的最长与最短距离.C 题1、讨论函数()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,0,00,0,1sin ,2222y x y x y x y x y x f 在()0,0点处的连续性，偏导数存在性，可微性. 2、设yx y z 1tan⎪⎭⎫ ⎝⎛=，求x z ∂∂及yz ∂∂. 3、设()y x z z ,=由方程()z y f y x z ,2++=所确定，求xz∂∂， y z ∂∂及y x z ∂∂∂2.4、设()y x z z ,=由方程⎰-+=x y zt dt e x z 22所确定，求xz ∂∂， y z ∂∂.5、设()t x f y ,=，而t 是由方程()0,,=t y x F 所确定的x ，y 的函数，其中f ，F 都具有一阶连续偏导数，试证明：tF y F t f x Ft f t F x f dxdy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=.6、设()z y x f u ,,=，()0,,2=z e x yϕ，x y sin =，其中f ，ϕ都具有一阶连续偏导数，且0≠∂∂x ϕ，求dxdu. 7、设变换⎩⎨⎧+=-=ayx v y x u 2可把方程0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂y zy x z x z 转化为02=∂∂∂v u z ，求常数a . 8、求椭球面2132222=++z y x 上某点M 处的切平面π的方程，使π过已知直线L ：2121326--=-=-z y x . 9、求函数22y xy x z +-=在区域1≤+y x 的最大值，最小值.10、求旋转椭球面14222=++z y x 在第一卦限部分上的点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小.第八章多元函数微分法及其应用习题答案A1、填空题1)422422y y x x +- 2）()22y x y -+ 3）y -4）()()()dy y ax x dx y ax x a y ax x dz +++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=2221212ln 21 5）51- 6）111111--=-=-z y x 7)()()()0162812=-++--z y x 8）352、下列函数的定义域并图示1）(){}0,0,>->+y x y x y x 2）(){}1,0,0,22<+≥>-y x x x y y x 3）(){}0,0,,22222≠+≥-+y x z y x z y x3、1）1 2）41-3）2 4、(){}02,2=-x y y x 5、 1）21u v v u s -=∂∂,21vuu v s -=∂∂2）()()[]xy xy y xz2sin cos -=∂∂,()()[]xy xy x y z 2sin cos -=∂∂ 3）y x y x z 2csc 2=∂∂,y x yx y z2csc 22-=∂∂ 4）1-=∂∂z yx z y x u ,x x zy u z y ln 1=∂∂,x x z yz u z yln 2-=∂∂ 6、4π7、()11,=x f x 8、 1）()222222y x xyx z +=∂∂,()222222y x xy y z +-=∂∂,()222222y x x y y x z +-=∂∂∂2）y y x z x 222ln =∂∂,()2221--=∂∂x y x x yz ,()y x y y x z x ln 112+=∂∂∂- 9、1）()()xdy ydx y xxdz -+-=23222）xdz yx xdy zx dx yzx dz yzyz yz ln ln 1++=- 10、02.0=∆z ，03.0=dy 11、95.2 12、cm 5-13、()()22223323ln 2y y x x y x y x x z -+-=∂∂，()()223223323ln 2y y x x y x yx y z ----=∂∂ 14、()()232431413t t t dt dz ---= 15、x e dx du ax sin =16、1）'2'12f ye xf xuxy +=∂∂,'2'12f xe yf y u xy +-=∂∂ 2）'3'2'1yzf yf f x u ++=∂∂,'3'2xzf xf y u +=∂∂,'3xyf zu=∂∂ 17、()2'1cos ,33x y y x f xf x z --=∂∂,x y f f y zsin '2'1+-=∂∂ 18、'''22224f f x x z +=∂∂，''24xyf y x z =∂∂∂，'''22224f f y yz +=∂∂ 19、1）''222''22''112212f y f y f x z ++=∂∂,'22''22''122211f y f y f yx y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂∂ ''2242'23222f yx f y x y z +=∂∂ 2）()''''''2''22xx y xu ux y uu f e f f e f xz +++=∂∂'''''''''22u y xy xu y yu y uu y f e f f xe f e f xe yx z ++++=∂∂∂ ()'''''''22''22yyy yu u uy y uu f xe f f f e x f yz ++++=∂∂ 3）()''332''13''112'1'322cos 2cos sin f e xf e xf xf f e xz y x y x y x ++++++-=∂∂()''332''32''13''12'32sin cos sin cos f e yf e xf e yf x f e yx z y x y x y x y x +++++-+-=∂∂∂()''332''23''222'2'322sin 2sin cos f e yf e yf yf f e yz y x y x y x ++++-+-=∂∂ 20、z x z x z +=∂∂,()z x y z y z+=∂∂2 21、dy y z dx yf f x dz -'-=122 22、1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z y y x 23、1=∂∂+∂∂y zx z 24、1）y x z y dz dx --=，yx xz dz dy --= 2）()1cos sin sin +-=∂∂v v e v x u u ,()1cos sin cos +--=∂∂v v e v y u u ()[]1cos sin cos +--=∂∂v v e u e v y v u u ,()[]1cos sin sin +-+=∂∂v v e u e v x v u u25、切线方程：000211z z z y m y y x x --=-=- 法线方程：()()()02100000=---+-z z z y y y mx x 26、()1,1,11--P 及⎪⎭⎫⎝⎛--271,91,312P 27、切平面方程：2112±=+-z y x28、321+ 29、147630、()→→→--=k j i gradf 6230,0,0，()→→+=j i gradf 361,1,131、→→→+-=k j i gradu 42是方向导数取最大值的方向，此方向导数的最大值为21=gradu32、极小值：21,21e f -=⎪⎭⎫⎝⎛- 33、极大值：4121,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛z34、a A y x 3＝＝宽长，aAb a z 32＝高35、当长，宽都是32k ，而高3221k 为时，表面积最小 36、⎪⎭⎫⎝⎛516,58 B 解答及提示 1、填空题1)(){}0,1,22≥>≤+x y y xy x 2) ()11,0=x f 3)y x 22-4)dy dx - 5)充分，必要 6)必要 7)dy dx dz 2-=8)2⎪⎭⎫⎝⎛e π 9)()()()y x ay y x xy yf y x z ++++=∂∂∂'''''2ϕϕ 10)()3,2,05111)64 12)()2,2,192- 13)35 2、 (){}x y y x y x 4,10,222≤<+<，43ln 2 3、提示：222221y x y x xy +≤+ 4、证明下列极限不存在1)()1lim222220=-+=→y x y x y x yx x ,()0lim2222220=-+=→y x y x y x xy x2)1lim 242202+=+=→k ky x xy kyx y 5、求下列函数的偏导数1)()121-+=∂∂y xy y x z ,()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=∂∂xy xy xy xy y z y 11ln 1 2)nx e kn t z t kn cos 22--=∂∂,nx ne xzt kn sin 2--=∂∂ 3) ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++=∂∂+y x y x y y x x ex z xyy x 2222222222 ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=∂∂+2222222222xy y x x y x y eyz xyy x 6、提示：()0,0处的偏导数应按定义求()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002,22222223y x y x y x xy y x f x ,()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=000,2222222222y x y x y x y x x y x f y10、()()'211g y yf f xv x u ++=∂∂⋅∂∂ 11、22212''22xyg g x g f y x z +++-=∂∂∂ 13、提示：由⎪⎩⎪⎨⎧==ve y ve x uusin cos 解出()()⎩⎨⎧==y x v v y x u u ,,再解或者由⎪⎩⎪⎨⎧==ve y v e x uusin cos 直接分别求对于x ，对于y 的偏导数，通过解关于x u ∂∂，y u ∂∂或x v ∂∂，y v ∂∂的方程组解出x u ∂∂，y u ∂∂ ，x v ∂∂，yv∂∂14、提示：将ξ，η看作中间变量，通过复合函数偏导数运算求得新方程为02=∂∂∂ηξu15、()322322222xy e e z y z xy ze y x z z zz ---=∂∂ 17、()()()'1'2'2'1'1'2'2'11211g f yvg xf g f zyvg uf x u ------=∂∂，()()()'1'2'2'1'1'1'11211g f yvg xf uf xf g y u----+=∂∂ 18、提示：平法球法切向＝ηηη→→→⨯,切线方程：1191161--=-=-z y x 法平面方程：024916=--+z y x20、()000,,000z y x luz y x ++=∂∂处沿球面在该点的外法线方向的方向导数21、θθsin cos +=∂∂l f ,a)4πθ= b)45πθ=c)43πθ=或47π22、提示：令()()bz y ay x F z y x G --=,,,,已知曲线在任意点处的法向量即为{}''',,z y x G G G =→η 23、提示：考虑()uvw c b a w v u f 222,,=在条件1222222=++cw b v a u 之下的最小值，由拉格朗日乘数法得最小值为abc 3324、提示：设平面方程为0=+++D Cz By Ax ，问题即求：22262361C B A D V =在条件0312=+++D C B A 下的最小值，由拉格朗日乘数法得平面方程为：0662=-++z y x ，最小体积是325、提示：问题可看作2222z y x d ++=在条件⎩⎨⎧=+++=122z y x y x z 下的最值，令()()()1,,,,22222-+++++++=z y x u yx z y x u z y x F λλ求得最长距离为：359+，最短距离为：359-C 解答及提示解：1）因为()2222221sin0y x y x yx +≤++≤又 0lim 2200=+→→y x y x 由夹逼准则知：()01sinlim 22220=++→→yx y x y x ,又因 ()00,0=f ,所以 ()y x f ,在()0,0处连续 2）根据定义 ()y x f ,在()0,0处的偏导数为：()()()()()01s i n lim0,00,0lim0,02200'=∆∆⋅∆=∆-∆+=→∆→∆xx x xf x f f x x x同理可得 ()00,0'=y f3）()()()()[]()()22221sin0,00,0y x y x f y x f z ∆+∆⋅∆+∆=-∆+∆+=∆ ()()()()[]()()2222''1sin0,00,0y x y x y f x f y x ∆+∆⋅∆+∆+∆+∆= 而 ()()[]()()()()01sinlim2222220=∆+∆∆+∆⋅∆+∆→∆→∆y x y x y x y x所以 ()y x f ,在()0,0处可微分C1、解：两边取对数有：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y y z tan ln 1ln两边对x 求偏导有：x yxy x y x z z 22sec tan1111⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂故xyx y x x z y2112s e ct a n 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂ 同理： xy x y xy x y x y y y z y y2112sec tan 1tan ln tan 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂ 2、解：两边分别对x 求偏导有：xzf x z z∂∂+=∂∂'212, 故 '221f z x z -=∂∂ 同理由：y z f f y z z ∂∂++=∂∂'2'112，得： '2'121f z f y z -+=∂∂ 对方程'221f z x z -=∂∂两边同时求y 的偏导有：()2'2''22''21222f z y z f f y z y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--∂∂-=∂∂∂将'2'121f z f y z -+=∂∂代入上式有： ()()3'2'1''22''22''21'2''21'12'2'2'1''22''21'2'122222221212f z f f f f f zf f f z f z f f f f z f y x z -++-+--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---+-=∂∂∂ 4、解：方程可表示为：⎰⎰-+=-xat xy at dt e dt e x z 222（a 为任意常数）对方程两边求x 的偏导数有：()()x z z e e x x z z x y ∂∂--+=∂∂-21122，所以 ()zx y e z ez z x x z +-=∂∂-2242，同理得 ()zx y ez e z y z +=∂∂-2225、由题意可知：tF x Fdxdt ∂∂∂∂-=，t F y F dy dt ∂∂∂∂-=，由()()y x t x f y ,,=，两边对x 求导有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂=dx dy y t x t t f x f dx dy ，得：yt t f x t t f x f dx dy ∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂=1 将上面偏导代入即得结果 6、解：dx dz z f dx dy y f x f dx du ∂∂+∂∂+∂∂= ，易见 x dxdy cos = 由()0,,2=z e x yϕ，对方程两边求x 的导数有：0cos 2'3'2'1=++dx dz x e x yϕϕϕ，得'3'2'1cos 2ϕϕϕx e x dx dzy +-= 7、解法一：v z u z x z ∂∂+∂∂=∂∂，vza u z x z ∂∂+∂∂-=∂∂222222222v z v u z u z x z ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂，2222222244v z a v u z a u z x z ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂()22222222vza v u z a u z y x z ∂∂+∂∂∂-+∂∂-=∂∂∂ 将上述结果代入原方程，经整理后可得：()()065102222=∂∂-++∂∂∂+vz a a v u z a 依题意a 应满足：⎩⎨⎧≠+=-+0510062a a a ，3=∴a解法二：将z 视为以x ，y 为中间变量的u ，v 的二元复合函数，由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=++=222a v u y a v av x ，从而2+=∂∂a a u x ，2+=∂∂a a v x ，21+-=∂∂a u y ，21+=∂∂a v y yz a x z a a u y y z u x x z u z ∂∂+-∂∂+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂212 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+=∂∂∂v y y z v x y x z a y y y x z v x x z a a v u z 2222222212 ()()()22222222212222yza y x z a a x z a a∂∂+-∂∂∂+-+∂∂+=依题意 0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂y z y x z x z ，即 y x zx z y z ∂∂∂+∂∂=∂∂222226 代入上式得 ()()y x za a x z a a v u z ∂∂∂+-+∂∂+-=∂∂∂22222223262，令 02=∂∂∂v u z ，得：⎩⎨⎧≠+=-0203a a 故 3=a 8、解：令()2132,,222-++=z y x z y x F ，x F x 2'=，y F y 4'=，z F z 6'=椭球面在点()000,,z y x M 处的切平面π的方程为()()()0642000000=-+-+-z z z y y y x x x ，即2132000=++z z y y x x因为平面π过直线L ，故直线L 上任意两点，如点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3,6，⎪⎭⎫ ⎝⎛27,0,0应满足平面π的方程，代入有：212366000=++z y x ()1 20=z ()2 又因为2132202020=++z y x ()3解()1，()2，()3有 30=x ，00=y ，20=z 及 10=x ，20=y ，20=z 故所求切平面方程为：72=+z x 及 2164=++z y x9、解：函数z 在闭区域1≤+y x 上连续，故存在最大值，最小值令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0202''x y z y x z yx ⇒ 0==y x 此时 0=z显然()0.0是函数在区域内的唯一驻点，且()()[]02122222≥-++=+-=y x y x y xy x z所以函数在驻点()0.0取得最小值，而函数的最大值只可能在区域的边界上取得设()y x f z ,=，显然()()y x f y x f ,,=--，故只需讨论以下边界的函数值 1）1=+y x 10≤≤x 10≤≤y 2）1=-y x 10≤≤x 01≤≤-y 对于情形1）()()4121311222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+--=x x x x x z∴ 当 0=x 或 1=x 时 z 取最大值 1ma x=z对于情形2）()()432111222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+--=x x x x x z∴ 当 0=x 或 1=x 时 1ma x=z综上()00,0min ==z z ()()()()10,11,00,11,0ma x=====--z z z z z10、设所取的点为()z y x M ,,，在点M 处切平面的法向量为⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,2,2z y x ，切平面方程为()()()0222=-+-+-z Z zy Y y x X x ，即14=++Z z yY xX （考虑到14222=++z y x ）此平面在三个坐标轴上的截距分别为：x 1，y 1，z4 问题即为求()z y x ,,，使得函数()2221611,,z y x z y x F ++=在条件⎪⎩⎪⎨⎧>>>=++0,0,014222z y x z y x 下求极值令 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++=141611,,,222222z y x z y x z y x G λλ则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==+-==+-==+-=014022022022222'2'2'2'z y x G z zG y y G x x G z y x λλλλ 解得 λ18222===z y x代入约束条件得 14181812=⎪⎭⎫ ⎝⎛++z 由 0,0,0>>>z y x 知21==y x ，2=z ， ∴所求点为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21,21M。

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4．求下列方程所确定的隐函数的偏导数：
（1） x 2 y 2 z 2 4z 0 ，求 z x ， z y ；
（2） z x y (z) ，可导，求 z y / zx ．
5．求下列函数的二阶偏导数：
（1） z ye xy ；
（2） z 1 x y x 2 y 2 ；
7．（1）依题意，记 S 为所用材料的面积，则目标函数与约束条件依次为
S 2 r 2 2 rh 2 r(r h), r 2h V0
Lr 4 r 2 h 2 rh 0
记
L 2 r 2 2 rh ( r 2h V0 ) ，令
（2）某企业的产出 z 与投入 x 及 y 的函数关系为 z 5x 2 y 3 ，在 x y 5 的条件下，
试确定投入量 x 及 y 的比例，使得企业的产出 z 达到最大，并求出最大产出．参考解答
1．（1）对 x 、 y 无任何限制，因而 D 是 xoy 平面．
（ 2 ）由对数定义知，定义域 D = {(x, y) 1 x y 0, x R, y R} ，即直线
（2） z x 1 2x, z xx 2, z xy z yx 0 ，
z y 1 2 y, z yy 2 ．
（3） z x 2xy 3 , z xx 2 y 3 , z xy 6xy 2 ， z y 3x 2 y 2 , z yy 6x 2 y, z yx 6xy 2 ．
得 zx

1

1 y
(
z)
,
zy

(z) 1 y (z)
，故 z y
/ zx
(z)．
5．（1） z x y 2e xy , z y e xy xye xy (1 xy)e xy ， z xx y 3e xy , z yy xe xy (x x 2 y)e xy ， z xy 2 ye xy y 3e xy ye xy (2 y 2 ) ， z yx ye xy ( y xy 2 )e xy ye xy (2 y 2 ) ．
x dy (ln y)dx ． y
（3） z x 2xy 3 , z y 3x 2 y 2 ，故 dz 2xy 3dx 3x 2 y 2dy ．
（4） z x
1( y
x )x

2
1 xy
,
zy
x(
1 y
)y

1 2y
x
，
y
故 dz 1 dx 1 x dy ． 2 xy 2 y y
（4） zx ln(1 y),
z xx 0,
z xy
1， 1 y
zy

x, 1 y
z yy

(1
x y)2
,
z yx

1 1 y
．
6．（1）由 z x b, z y c ，故 dz bdx cdy ．（2） dz d (x ln y) xd (ln y) (ln y)dx
y ( y)2

1 x2

y x2 y2
；
x
x
zy
1 1 ( y)2
1 x
( y)y

x2
x
y2
．
x
3．（1） z x 2x ，故 z x (1, 1) 2 ，同理， z y (1, 1) 2 ．
（2）因为，故 z x (0,
0)

（3） z x 2 y 3 ；
6．求下列函数的全微分：
（1） z a bx cy ；
（4） z x ln(1 y) . （2） z x ln y ；
（3） z x 2 y 3 ；
（4） z x ． y
7．应用题：
（1）使用铁皮作一个圆柱形的密封桶，设容积为定数V0 ，试确定桶的高 h 和桶底的半径 r ，以使所用材料最省？
1 x y 0 上方的点集．
（ 3 ）由 1 x2 0 及 1 y2 0 ，得定义域是正方形区域：
{(x, y) 1 x 1, 1 y 1, x R, y R} ．
（4）由 | x | | y | 1 ，得定义域是由 x y 1 及 x y 1这四条直线围成的
3．求下列函数在指定点的偏导数：
（1） z x 2 y 2 ，求 z x (1, 1) ；
（4） z arcsin( | x | | y | ) ．
（2） z xe xy ；（4） z arctan y ．
x
（2） z sin x ln( y 1) cos y ln(1 x) ，求 zx (0, 0) 及 z y (0, 0) ．
Ch8 多元函数微分学基础练习
1．求下列函数的定义域：
（1） z 1 x y ；
（2） z ln(1 x y) ；
（3） z 1 x 2 1 y 2 ；
2．求下列函数的偏导数：
（1） z x3 y 2 ；
（3） z ln(x 2 y 4 1) ；
正方形区域．
2．（1） z x 3x 2 y 2 , z y 2x3 y ．
（2） z x e xy xye xy , z y x 2e xy ．
（3） z x

1
2x x2
y4
,
zy
1
4y3 x2
y4
．
（4） z x

1
1 ( y)2

y

(
1 x
)x

1
Lh

2 r
r2

0
，解得
L r 2h V0 0
dz ( x, dx
0)
x0

1 1 x
x0
1；又由于
z(0, y) 0 ，故 z y (0, 0) 0 ．
4．（1）方程两边对 x 求偏导，得 2x 2zz x 4z x 0 ，解得
zx

x 2
z
．同理，
zy

y 2
z
．
（2）方程两边分别对 x 及 y 求导，得 z x 1 y (z)z x , z y (z) y (z)z y ，解