中考数学新定义题型解析专题
中考数学复习考点题型专题讲解13 数轴动点问题中的新定义问题
中考数学复习考点题型专题讲解 专题13 数轴动点问题中的新定义问题例1．（2023·山东沂南期末）有如下定义 数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点A 表示数﹣4，点B 表示数8，M 为数轴一个动点．若点M 在线段AB 上，且点M 是点A 、点B 的“关键点”，则此时点M 表示的数是________． 【答案】5或﹣1.【解析】解 设点M 表示的数是x ， ∴MA ＝x ﹣（﹣4）＝x +4；BM ＝8﹣x ，∵若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”， ∴MA ＝3BM 或BM ＝3MA ，∴x +4＝3（8﹣x ）或8﹣x ＝3（x +4）， 解得 x ＝5或x ＝﹣1． 故答案为 5或﹣1．例2．（2023·北京期中）在同一直线上的三点A 、B 、C ，若满足点C 到另两个点A 、B 的距离之比是2，则称点C 是其余两点的亮点（或暗点），具体地，当点C 在线段AB 上时，若2CACB=，则称点C 是[A ，B ]的亮点；若点C 在线段AB 延长线上，2CBCA=，则称点C 是[,]B A 的暗点，例如，如图1，在数轴上A B C D 、、、分别表示数，-1，2，1，0，则的点C 是[,]A B 的亮点，又是[,]A D 的暗点；点D 是[,]B A 的亮点，又是[,]B C 的暗点．（1）如图2，M 、N 为数轴上的两点，点M 表示的数为－2，点N 表示的数为4，则[,]M N 的亮点表示的数是，[,]N M 的暗点表示的数是 ；（2）如图3，数轴上的点A 所表示的数为点所表示的数为－20，点B 表示的数为40，一只电子蚂蚁P 从点B 出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t 秒．①求当t 为何值时，P 是[,]B A 的暗点；②求当t 为何值时，P 、A 和B 三个点中恰有一个点为其余两点的亮点．【答案】（1）2，-8；（2）①t =60；②当点P 为[,]A B 亮点时，t =10；当点P 为[,]B A 亮点时，t =20；当点A 为[,]P B 亮点时，t =90；当点A 为[,]B P 亮点时，t =45.【解析】解 （1）根据题意，[,]M N 的亮点表示的数在线段MN 上， 设亮点表示的数为x ， 则x +2=2（4-x ）， 解得 x =2∴[,]M N 的亮点表示的数是 2；根据题意，[,]N M 的暗点表示的数在线段NM 延长线上， 设暗点为y ， 则4-y =2（-2-y ） 解得，y =-8故答案为 2，-8；（2）①根据题意，点P 是[,]B A 的暗点，即点P 在线段BA 的延长线上 ∴PB =2t ，P A =2t -60 ∵PB =2P A ∴2t =2(2t -60)解得 t =60；②当点P 为[,]A B 亮点时，即P 在线段AB 上 ∴PB =2t ，P A =60-2t ∴60-2t =2×2t ∴t =10当点P 为[,]B A 亮点时，即P 在线段AB 上 ∴2（60-2t ）=2t ∴t =20；当点A 为[,]P B 亮点时，即A 在线段PB 上 同理，2t -60=2×60 ∴t =90当点A 为[,]B P 亮点时，即A 在线段BP 上 2（2t -60）=60 ∴t =45B 点不可能在线段AP 上，故B 不可能是[A ,P ]、[P ,A ]的亮点综上所述，当点P 为[,]A B 亮点时，t =10；当点P 为[,]B A 亮点时，t =20；当点A 为[,]P B 亮点时，t =90；当点A 为[,]B P 亮点时，t =45．例3．（2023·北京市期中）对于数轴上的两点P ，Q 给出如下定义 P ，Q 两点到原点О的距离之差的绝对值称为P ，Q 两点的“绝对距离”，记为POQ ．例如，P ，Q 两点表示的数如图（1）所示，则312POQ PO QO =−=−=．（1）A ，B 两点表示的数如图（2）所示． ①求A ，B 两点的“绝对距离”；②若点C 为数轴上一点（不与点О重合），且2AOB AOC =，求点C 表示的数．（2）点M ，N 为数轴上的两点（点M 在点N 左侧）且2MN =，1MON =，请直接写出点M 表示的数为________．【答案】（1）①2；②2或-2；（2）12−或32−【解析】解 （1）①求A ，B 两点的绝对距离=2, ②∵AOB AO BO =−=2,又2AOB AOC =， ∴1AOC =，即1AO CO −= ∴OC =0或OC =2 ∵C 不与O 重合∴点C 表示的数为2或-2.（2）由题可知MON =1MO NO −= 得 MO -NO =1或MO -NO =-1 ∵点M 在点N 左侧∴①当M 、N 都在原点的左侧时，∵MN =2， ∴MO -ON =1≠2，该情况不存在，②当M 、N 都在原点的右侧时， 同理知，此情况不存在，③当M 点在原点的左侧，N 点在原点的右侧时， ∵MN =2，即MO +NO =2又MO -NO =1或MO -NO =-1 ∴点M 表示的数为12−或32−．例4．（2023·江苏省锡山期中）如图，数轴上点A 表示的数为-3，点B 表示的数为4，阅读并解决相应问题．（1）问题发现 若在数轴上存在一点P ，使得点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和等于n ，则称点P 为点A 、B 的“n 节点”．如图1，若点P 表示的数为1，点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和为4+3=7，则称点P 为点A 、B 的“7节点”．填空 ①若点P 表示的数为2−，则n 的值为；②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P 为A 、B 的“7节点”，则这样的整点P 共有个．（2）类比探究 如图2，若点P 为数轴上一点，且点P 到点A 的距离为1，请你求出点P 表示的数及n 的值．（3）拓展延伸 若点P 在数轴上运动(不与点A 、B 重合)，满足点P 到点B 的距离等于点P 到点A 的距离的34，且此时点P 为点A 、B 的“n 的节点”，请写出点P 表示的数及n 的值．【答案】（1）7①；8②；（2）点P 表示的数为 -4，n =9，或点P 表示的数为 -2，n =7；（3）P 表示的数为25，n =49，或P 表示的数为1，n =7.【解析】解 （1）①∵点P 表示的数为-2，∴点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和为1+6=7 ∴点P 为点A 、B 的“7节点” ∴n =7故答案为 7；②设出点P 表示的数为x∴点P 到点A 的距离为 ()33x x −−=+，点P 到点B 的距离为 4x −当x >4时，3+47x x +−>，不符合题意；当34x −≤≤时，34=347x x x x ++−++−=，符合题意 当3x <−时，3+47x x +−>，不符合题意； ∵P 为整点∴P 表示的数为 -3或-2或-1或0或1或2或3或4 ∴整点P 共有8个故答案为 8；（2）∵点P 到点A 的距离为1，点A 表示的数为-3， ∴点P 表示的数为 -4或-2当点P 表示的数为 -4时，n =9； 当点P 表示的数为 -2时，n =7； （3）设点P 表示的数为x由题意，得3344x x ×+=−解得 x =1或x =25 即P 表示的数为25或1 当P 表示的数为25时，n =49 当P 表示的数为1时，n =7．例5．（2023·北京八中期中）数轴上点A 表示10−，点B 表示10，点C 表示18，如图，将数轴在原点O 和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，点M 、N 表示的数分别是m 、n ，我们把m 、n 之差的绝对值叫做点M ，N 之间友好距离，即||MN m n =−，那么我们称点A 和点C 在折线数轴上友好距离为28个长度单位．动点P 从点A 出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O 运动到点B 期间速度变为原来的一半 点P 从点A 出发的同时，点Q 从点C 出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P 到达B 点时，点P 、Q 均停止运动．设运动的时间为t 秒．（1）当14t =秒时，P 、Q 两点在折线数轴上的友好距离为______个单位长度． （2）当P 、Q 两点在折线数轴上相遇时，求运动的时间t 的值．（3）是否存在某一时刻使得P 、O 两点在折线数轴上的友好距离与Q 、B 两点在折线数轴上的友好距离相等？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）11.5；（3）存在，t =2或6.5【解析】解 （1）当t =14秒时，点P 和点O 在数轴上相距9个长度单位， 点Q 和点O 在数轴上相距18-1×14=4个长度单位，P 、Q 友好距离9-4=5 故答案为 5；（2）由题意可得 10+（t -5）+t =28， 解得 t =11.5．故运动的时间t的值为11.5；（3）①当点P在AO，点Q在BC上运动时，由题意得10-2t=8-t，解得t=2，②当点P、Q两点都在OB上运动时，t-5=t-8，无解，不存在③当P在OB上，Q在BC上运动时，8-t=t-5，解得t=6.5；即PO=QB时，运动的时间为2秒或6.5秒．综上所述，存在，t的值为2或6.5．例6．（2023·陕西富县月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．（1）当点A表示数2−，点B表示数2时，下列各数52−，1，4是点A，B的“倍分点”的是____；（2）当点A表示数10−，点B表示数30时，D为数轴上一个动点．若点D是点A，B的“倍分点”，求此时点D表示的数.【答案】（1）1，4；（2）①20，0，50，-30；②20，0，50，-30，103，-130，703−，110，503，-90，150.【解析】解（1）∵点A表示数-2，点B表示数2∴AB=2-(-2)=4当C表示的数是52−时，此时点C不是点A，B的“倍分点”．如图，当点C 表示的数是1时，此时点C 是点A ，B 的“倍分点”．如图，当点C 表示的数是4时，此时点C 是点A ，B 的“倍分点”．故答案为 1，4.（2）设点D 对应的数为x ．当点D 在AB 之间时，AB =40，所以BD =10， 即x =20； 当34BD AB =时，BD =30，即x =0． 当点D 在点B 右侧，AD =3BD ，即x +10=3(x -30)，解得x =50； 当点D 在点A 左侧，BD =3AD ，即30-x =3(-x -10)，解得x =-30． 综上所述，点D 表示的数可为20，0，50，-30．例7．（2023·辽宁沈阳月考）在数轴上，若点C 到点A 的距离恰好是3，则称点C 为点A 的“幸福点”；若点C 到点A ，B 的距离之和为6，则称点C 为点A ，B 的“幸福中心”．（1）如图1，点A 表示的数是﹣1，则点A 的“幸福点”C 表示的数是．（2）如图2，点M 表示的数是﹣2，点N 表示的数是4，若点C 为点M ，N 的“幸福中心”，则点C 表示的数可以是（填一个即可）；（3）如图3，点A 表示的数是﹣1，点B 表示的数是4，点P 表示的数是8，点Q 从点P 出发，以2单位/s 的速度沿数轴向左运动，经过秒后点Q 是点A ，B 的“幸福中心”？【答案】（1）-4或2；（2）-2（答案不唯一）；（3）1.75或4.75.【解析】解（1）由题意得点A的“幸福点”C表示的数为-1-3=-4或-1+3=2，故答案为-4或2；（2）由题意得点M、N的距离为4-（-2）=6，∵点C为点M，N的“幸福中心”，∴点C在点M、N之间，∴点C表示的数可以为-2、-1、0、1、2、3、4，故答案为-2（答案不唯一）；（3）由题意可得A、B之间的距离为5，故有两种可能设经过x秒点Q是A、B的“幸福中心”，①点Q在点B和点P之间，则有8-2x-4+8-2x-（-1）=6，解得x=1.75；②点Q在点A的左侧，4-（8-2x）+（-1）-（8-2x）=6，解得x=4.75，综上所述当经过1.75秒或4.75秒时，点Q是A、B的“幸福中心”.例8．（2023·江苏高港月考）阅读理解点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C 是{A，B}的奇点．例如如图1，点A表示的数为﹣3，点B表80÷（3＋1）＝20，30−20＝10，−50＋20＝−30，−50−80÷3＝−7623（舍去），−50−80×3＝−290．故P点运动到数轴上的−290，−30或10位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．故答案为−290，−30或10．例9．（2023·湖南师大附中月考）已知数轴上两点A，B对应的数分别为8−和4，点P为数轴上一动点，若规定点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A B→的“好点”．（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；（2）①若点P运动到原点O时，此时点P关于A B→的“好点”（填是或者不是）；②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A B→的“好点”时，求点P的运动时间；（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．【答案】（1）-2；（2）①不是；1②秒或10秒；（3）-4，-5，-12，-14，-32，-44.【解析】解（1）∵数轴上两点A，B对应的数分别为-8和4，∴AB=4-（-8）=12，∵点P到点A、点B的距离相等，∴P为AB的中点，∴BP=P A=12AB=6，∴点P表示的数是-2；（2）①当点P运动到原点O时，P A=8，PB=4，∵P A≠3PB，∴点P不是关于A→B的“好点”；故答案为不是；②根据题意可知设点P运动的时间为t秒，P A=t+8，PB=|4-t|，∴t+8=3|4-t|，解得t=1或t=10，所以点P的运动时间为1秒或10秒；（3）根据题意可知设点P表示的数为n，P A=n+8或-n-8，PB=4-n，AB=12，①当点A是关于P→B的“好点”时，|P A|=3|AB|，即-n-8=36，解得n=-44；②当点A是关于B→P的“好点”时，|AB|=3|AP|，即3（-n-8）=12，解得n=-12；或3（n+8）=12，解得n=-4；③当点P是关于A→B的“好点”时，|P A|=3|PB|，即-n-8=3（4-n）或n+8=3（4-n），解得n=10或1（不符合题意，舍去）；④当点P是关于B→A的“好点”时，|PB|=3|AP|，即4-n=3（n+8），解得n=-5；或4-n=3（-n-8），解得n=-14；⑤当点B是关于P→A的“好点”时，|PB|=3|AB|，即4-n=36，解得n=-32．综上所述所有符合条件的点P表示的数是-4，-5，-12，-14，-32，-44．。
专题2.4新定义的四种题型与真题训练-中考数学考前30天迅速提分复习方案(上海专用)(解析版)
专题2.4新定义的四种题型与真题训练题型一：函数中新定义问题1.（2022青浦一模18）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为．【解答】解：对y ＝﹣kx +k ，当x ＝0时，y ＝k ，当y ＝0时，x ＝1，∴A （1，0），B （0，k ），∴C （﹣k ，0），将A 、B 、C 的坐标代入y ＝mx 2+2mx +c 得，，解得：或或，∵m ≠0，k ＞0，∴m ＝﹣1，k ＝3，c ＝3，∴一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3，故答案为：y ＝﹣3x +3．2.（2022黄埔一模18）若抛物线2111y ax b x c =++的顶点为A ，抛物线2222y ax b x c =-++的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线2y 上，顶点B 在抛物线1y 上，则称抛物线1y 与抛物线2y 互为“关联抛物线”，已知顶点为M 的抛物线()223y x =-+与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan 4MDO ∠=，那么顶点为N 的抛物线的表达式为_________【详解】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ）已知抛物线()223y x =-+的顶点坐标M 为（2，3）∵3tan 4MDO ∠=，∴34M M N y x x =-，即3324Dx =-，解得24D x =±∵直线MN 与x 轴正半轴交于点D，∴D 点坐标为（6，0）则直线MD 解析式为3(6)4y x =--N 点在直线MD 3(6)4y x =--上，N 点也在抛物线()223y x =-+故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩，化简得2394247b a b a a ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩联立得2394742a a a --=-+，化简得2135042a a -+=解得a =54或a =2（舍），将a =54代入3942b a =-有359157257442161616b =-⨯+=-+=解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N 点坐标为（54，5716）则顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y a x =-+将（2，3）代入2557()416y a x =-+有，25573(2416a =-+化简得95731616a =+，解得a =-1故顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+故答案为：2557()416y x =--+．3.（2020杨浦二模）定义：对于函数y ＝f （x ），如果当a ≤x ≤b 时，m ≤y ≤n ，且满足n ﹣m ＝k （b ﹣a ）（k 是常数），那么称此函数为“k 级函数”．如：正比例函数y ＝﹣3x ，当1≤x ≤3时，﹣9≤y ≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k （3﹣1），求得k ＝3，所以函数y ＝﹣3x 为“3级函数”．如果一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”，那么k 的值是．【分析】根据一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”解答即可．【解答】解：因为一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，可得：k＝2，故答案为：2．题型二：三角形中的新定义1.（2022嘉定一模18）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，点D在边AC上，CD：AD＝1：3，联结BD，点E在线段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝．【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠ACB＝90°，BC＝2，，∴AC＝＝＝4，∵CD：AD＝1：3，∴CD＝1，∵∠BCE＝∠A，∠ACB＝∠CFE＝90°，∴△ABC∽△CEF，∴＝＝＝2，∴设EF为a，则CF为2a，BF为2﹣2a，∵∠ACB＝∠BFE＝90°，∠CBD＝∠FBE，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝，∴a＝，∴EF＝，CF＝1，∴CE＝＝＝，故答案为：．2、（2022杨浦一模17）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c的夹角α的余切值为．【解答】解：过B 作BE ⊥直线a 于E ，延长EB 交直线c 于F ，过C 作CD ⊥直线a 于D ，则∠CDA ＝∠AEB ＝90°，∵直线a ∥直线b ∥直线c ，相邻两条平行线间的距离相等（设为d ），∴BF ⊥直线c ，CD ＝2d ，∴BE ＝BF ＝d ，∵∠CAB ＝90°，∠CDA ＝90°，∴∠DCA +∠DAC ＝90°，∠EAB +∠DAC ＝90°，∴∠DCA ＝∠EAB ，在△CDA 和△AEB 中，，∴△CDA ≌△AEB （AAS ），∴AE ＝CD ＝2d ，AD ＝BE ＝d ，∴CF ＝DE ＝AE +AD ＝2d +d ＝3d ，∵BF ＝d ，∴cotα＝＝＝3，故答案为：3．3.（2022长宁一模17）定义:在△A 中,点D 和点E 分别在AB 边、AC 边上,且DE //BC ，点D 、点E 之间距离与直线DE 与直线BC 间的距离之比称为DE 关于BC 的横纵比.已知,在△A 中,4,BC BC =上的高长为3,DE 关于BC 的横纵比为2:3,则DE =_______．【详解】如图，AF BC ⊥于F ，交DE 于点G ，//DE BC ，ADE ABC ∴△△∽，AG DE ⊥，DE AGBC AF∴=，3AF = DE 关于BC 的横纵比为2:3，4BC =，23DE GF ∴=设2DE a =，则3GF a =，33AG AF GF a∴=-=-23343a a -∴=，解得23a =，43DE ∴=，故答案为：434.（2022虹口一模17）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在4×4的网格中，△ABC 是一个格点三角形，如果△DEF 也是该网格中的一个格点三角形，它与△ABC 相似且面积最大，那么△DEF 与△ABC 相似比的值是．【解答】解：由表格可得：AB ＝，BC ＝2，AC ＝，如图所示：作△DEF ，DE ＝，DF ＝，EF ＝5，∵＝＝＝，∴△DEF ∽△ABC ，则△DEF 与△ABC 相似比的值是．故答案为：．5.（2020松江二模）如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”.已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于度.【分析】设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，根据三角形的内角和列方程组即可得到结论．【解答】解：设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，由题意得，，解得：，答：该三角形的最小内角等于22.5°，故答案为：22.5．6.（2020嘉定二模）定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β,那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为【考查内容】新定义题型，黄金三角形【评析】中等【解析】当∠α为底角时，用内角和公式求得∠β= 36，此时为黄金三角形，腰长与底边长的比值215+；当当∠α为顶角时，用内角和公式求得∠β= 45，此时为等腰直角三角形，腰长与底边长的比值22。
专题71 函数中的新定义问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-新定义问题
例题精讲考点1一次函数新定义问题【例1】．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求y＝2x﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y＝2x﹣1的“不动点”为（1，1）．（1）由定义可知，一次函数y＝3x+2的“不动点”为（﹣1，﹣1）；（2）若一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），求m、n的值；（3）若直线y＝kx﹣3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx﹣3上没＝3S△ABO，求满足条件的P点坐标．有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP解：（1）联立，解得，∴一次函数y＝3x+2的“不动点”为（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）；（2）∵一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），∴n﹣1＝2，∴n＝3，∴“不动点”为（2，2），∴2＝2m+3，解得m＝﹣；（3）∵直线y＝kx﹣3上没有“不动点”，∴直线y＝kx﹣3与直线y＝x平行，∴k＝1，∴y＝x﹣3，∴A（3，0），B（0，﹣3），设P（t，0），∴AP＝|3﹣t|，＝×|t﹣3|×3，∴S△ABPS△ABO＝×3×3，＝3S△ABO，∵S△ABP∴|t﹣3|＝9，∴t＝12或t＝﹣6，∴P（﹣6，0）或P（12，0）．变式训练【变1-1】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是0＜a＜9．解：（1）∵在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1，∴，解得，∴这个函数的表达式是y＝|﹣3|﹣4；（2）∵y＝|﹣3|﹣4，∴，∴函数y＝x﹣7过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）；函数y＝﹣x﹣1过点（0，﹣1）和点（﹣2，2），该函数的图象如图所示，性质：当x＞2时，y的值随x的增大而增大；（3）由函数的图象可得，不等式的解集是：1≤x≤4；（4）由|x2﹣6x|﹣a＝0得a＝|x2﹣6x|，作出y＝|x2﹣6x|的图象，由图象可知，要使方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等实数根，则0＜a＜9，故答案为：0＜a＜9．考点2反比例函数新定义问题【例2】．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝﹣2，a＝3，b＝4；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为x＜0或x＞4．．解：（1）由表格可知，点（3，1）在该函数图象上，∴将点（3，1）代入函数解析式可得：1＝3+|﹣2×3+6|+m，解得：m＝﹣2，∴原函数的解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2；当x＝1时，y＝3；当x＝4时，y＝4；∴m＝﹣2，a＝3，b＝4，故答案为：﹣2，3，4；（2）通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示；（3）要求不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集，实际上求出函数y＝x+|﹣2x+6|+m的图象位于函数y＝﹣（x﹣2）2+8图象上方的自变量的范围，∴由图象可知，当x＜0或x＞4时，满足条件，故答案为：x＜0或x＞4．变式训练【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．【应用】（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是；（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4与双曲线C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B之间的距离是2，点O与双曲线C1之间的距离是；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？解：（1）如图，过点D作DH⊥BC于点H，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∵DH⊥BC，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，∵AB＝6，AD＝4，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣4＝2，∴DH＝×2＝；故答案为：；（2）把A（1，m）代入y＝﹣x+4中，得：m＝﹣1+4＝3，∴A（1，3），把A（1，3）代入y＝，得：3＝，∴k＝3，∴双曲线C1的解析式为y＝，联立，得：﹣x+4＝，即x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴B（3，1），∴AB＝＝2；如图，作FG∥AB，且FG与双曲线y＝只有一个交点，设直线FG的解析式为y＝﹣x+b，则﹣x+b＝，整理得：x2﹣bx+3＝0，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×3＝b2﹣12＝0，∴b＝2或b＝﹣2（不符合题意，舍去），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+2，由﹣x+2＝，解得：x1＝x2＝，∴K（，），∴OK＝＝；故答案为：2，；（3）如图，设点S（a，b）是双曲线y＝（x＞0）上任意一点，且a＜b，以点S为圆心，80为半径作⊙S交l4于E，过点S作SF⊥直线l4于F，交y轴于W，SH⊥x轴于H，SG⊥y轴于G，则SG＝a，SH＝b，ab＝2400，∵直线y＝﹣x平分第二、四象限角，∴∠FOW＝45°，∵∠OFW＝∠SGW＝90°，∴∠OWF＝90°﹣45°＝45°，∴∠SWG＝∠OWF＝45°，∴△WOF和△SWG是等腰直角三角形，∴SW＝SG，WF＝OW，∴SF＝SW+WF＝SG+OW＝a+（b﹣a）＝（a+b），∵EF＝＝＝＝，∵OF＝OW＝（b﹣a），∴OE＝（b﹣a）+，设b﹣a＝m（m＞0），则OE＝m+≤＝40，∴需要在高速路旁修建隔音屏障的长度＝2OE＝2×40＝80，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米．考点3二次函数新定义问题【例3】．小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：函数图象关于y轴对称；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则m的取值范围是﹣1＜m＜0．（2）延伸思考：将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象？写出平移过程，并直接写出当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围．解：（1）观察探究：①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则a的取值范围是﹣1＜m＜0．故答案为：函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜m＜0．（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象，当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3且x≠1，变式训练【变3-1】．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象（如图所示），下列结论正确的是（）A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1.5B．有且只有﹣1≤x≤1时，函数值y随x值的增大而增大C．若a＜0，则8a+c＞0D．若a＜0，则a+b≥m（am+b）（m为任意实数）解：由图象可得，图象具有对称性，对称轴是直线x＝＝1，故选项A错误，不符合题意；当﹣1≤x≤1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2b+c＝4a﹣2×（﹣2a）+c＝4a+4a+c＝8a+c＜0，故选项C错误，不符合题意；∵y＝ax2+bx+c开口向下，对称轴为直线x＝1，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），∴a+b≥m（am+b）+c，故选项D正确，符合题意；故选：D．【变3-2】．已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x轴于另一点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．①直线EF的解析式是y＝x；②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是．解：（1）∵抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4；（2）过点B作BE⊥x轴交DP延长线于点E，过D作DF⊥x于点F，由y＝﹣x2+4，令y＝0，则﹣x2+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2，则B（2，0），∵DF＝3，BF＝2﹣（﹣1）＝3，∴DF＝BF，∴∠DBF＝45°，∴∠DBE＝45°，又∵DB＝DB，BD平分∠ADP，∴△DAB≌△DEB（ASA），∴BA＝BE，∵B（2，0），∴E（2，4），设直线DE的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线DE的解析式为y＝x+，联立，解得或，则P（，）；（3）①∵抛物线关于y轴对称，所以旋转后图形关于x轴对称，∴对于抛物线上任意一点P（a，b）关于原点旋转90°后对应点为P1（b，﹣a）在旋转后图形上，P1（b，﹣a）关于x轴对称的点P2（b，a）在旋转后图形上，∵P（a，b）与P2（b，a）关于y＝x对称，∴图形2关于y＝x对称，∴直线EF的解析式为y＝x，故答案为：y＝x；②如图，连接GH，交EF与点K，则GH＝2GK，过点G作x轴的垂线，交EF于点I，∴当GK最大时，△GFE面积最大，＝GI•（x E﹣x F），又∵S△GFE设G（m，﹣m2+4），则I（m，m），∴GI＝y G﹣y I＝﹣m2+4﹣m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，△GFE面积最大，∴G（﹣，），由①可知G（﹣，）关于y＝x的对称点H（，﹣），∴K（，），∴GK＝＝，∴GH＝2GK＝，∴GH的最大值为，故答案为：．1．对于实数a，b，定义符号max|a，b|，其意义为：当a≥b时，max|a，b|＝a，当a＜b时，max|a，b|＝b．例如max|2，﹣1|＝2，若关于x的函数y＝max|2x﹣1，﹣x+5|，则该函数的最小值为（）A．B．1C．D．3解：当2x﹣1≥﹣x+5时，即x≥2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝2x﹣1，此时x＝2时，y有最小值，最小值为2×2﹣1＝3；当2x﹣1≤﹣x+5时，即x≤2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝﹣x+5，此时x＝2时，y有最小值，最小值为﹣2+5＝3；综上所述，该函数的最小值为3．故选：D．2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为（，）或（﹣，﹣）．解：设B（x，y），∵点A是点B的“关联点”，∴A（x+y，x+）∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∴（x+y）（x+）＝，即：x+y＝或x+y＝﹣，当点B在直线y＝﹣x+上时，设直线y＝﹣x+与x轴、y轴相交于点M、N，则M（1，0）、N（0，），当OB⊥MN时，线段OB最短，此时OB＝＝，由∠NMO＝60°，可得点B（，）；设直线y＝﹣x﹣时，同理可得点B（﹣，﹣）；故答案为：（，）或（﹣，﹣）．3．定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”，一次函数y＝ax+b叫做二次函数y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函数”（a，b为常数，且a ≠0）．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函数y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1．解：∵y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，∴ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，即，解得，∴y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1，故答案为：y＝﹣2x﹣1．4．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不动点”．已知双曲线．（1）下列说法不正确的是C．A．直线y＝x的图象上有无数个“不动点”B．函数的图象上没有“不动点”C．直线y＝x+1的图象上有无数个“不动点”D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（2）求双曲线上的“不动点”；（3）若抛物线y＝ax2﹣3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，①当a＞1时，求c的取值范围．②如果a＝1，过双曲线图象上第一象限的“不动点”做平行于x轴的直线l，若抛物线上有四个点到l的距离为m，直接写出m的取值范围．解：（1）设坐标平面内任意一个“不动点”的坐标为（n，n），直线y＝x，当x＝n时，则y＝n，∴点（n，n）在直线y＝x上，∴直线y＝x上有无数个“不动点”，故A正确；将（n，n）代入y＝，得n＝，此方程无解，∴函数y＝的图象上没有“不动点”，故B正确；将（n，n）代入y＝x+1，得n＝n+1，此方程无解，∴直线y＝x+1上没有“不动点”，故C错误；将（n，n）代入y＝x2，得n＝n2，解得n1＝0，n2＝1，∴函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（0，0）和（1，1），故D正确，故选：C．（2）设双曲线上的“不动点”为（x，x），则x＝，解得x1＝﹣3，x2＝3，∴双曲线上的“不动点”为（﹣3，﹣3）和（3，3）．（3）①设抛物线y＝ax2﹣3x+c上的“不动点”为（x，x），则x＝ax2﹣3x+c，即ax2﹣4x+c＝0，∵该抛物线上有且只有一个“不动点”，∴关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，∴（﹣4）2﹣4ac＝0，∴a＝，∵a＞1，∴＞1，∴0＜c＜4．②∵当a＝1时，则＝1，∴c＝4，∴抛物线为y＝x2﹣3x+4，由（2）得，双曲线在第一象限的不动点为（3，3），∴直线l即直线y＝3，如图，∵y＝x2﹣3x+4＝（x﹣）2+，∴该抛物线的顶点B（，），对称轴为直线x＝，设直线r在直线l下方且到直线l的距离为m，直线x＝交直线l于点A，交直线r于点C，∴AC＝m，A（，3），∴AB＝3﹣＝，设直线t与直线r关于直线l对称，∵当点C在点B的上方时，抛物线上有四个点到l的距离为m，∴0＜m＜．5．在并联电路中，电源电压为U总＝6V，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：I总＝I1+I2（I1＝，I2＝），已知R1为定值电阻，当R变化时，干路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+．（1）定值电阻R1的阻值为6Ω；（2）小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2＝来探究函数I＝1+的图象与性质．总①列表：如表列出I总与R的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ 2.5，n＝2；R…3456…I2＝…2 1.5 1.21…I总＝1+…3m 2.2n…②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来；（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①I总随R的增大而减小；（填“增大”或“减小”）②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向上平移1个单位而得到．解：（1）∵I1＝＝1，∴R1＝6，故答案为：6；（2）①当R＝4时，m＝1+1.5＝2.5，当R＝6时，n＝1+1＝2，故答案为：2.5，2；②图象如下：（3）①根据图象可知，I随R的增大而减小，总故答案为：减小；②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向上平移1个单位得到，故答案为：上，1．6．小欣研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：（1）绘制函数图象①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝1；x…﹣4﹣3﹣2012…y…﹣1﹣2﹣332m…﹣﹣②描点：根据表中的数值描点（x，y）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．（2）探究函数性质：下列说法不正确的是AA．函数值y随x的增大而减小B．函数图象不经过第四象限C．函数图象与直线x＝﹣1没有交点D．函数图象对称中心（﹣1，0）（3）如果点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，如果x1+x2＝﹣2，则y1+y2＝0．解：（1）把x＝0代入到中可得：y＝1，即m＝1，图象如下所示：故答案为：1，图象如上所示；（2）A．当x＜﹣1或x＞﹣1时，函数值y随x的增大而减小，故选项A不正确；B．根据图象可得，函数图象不经过第四象限，故选项B正确；C．根据函数表示可得：x≠﹣1，所以函数图象与直线x＝﹣1没有交点，故选项C正确；D．根据图象可知，函数图象对称中心（﹣1，0），故选项D正确；故选：A；（3）∵x1+x2＝﹣2，∴y1+y2＝＝＝＝0；故答案为：0．7．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：（1）绘制函数图象，列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝．x…﹣3﹣2﹣1123…y…124421m…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；（2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是：②；（填写代号）①函数值y随x的增大而增大；②关于y轴对称；③关于原点对称；（3）在上图中，若直线y＝2交函数的图象于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝4．解：（1）将x＝3代入得y＝，故答案为：．（2）由（1）中的图象可知，在第一象限内，y随x的增大而减小；在第二象限内，y随x的增大而增大；函数图象关于y轴对称，故②正确；故答案为：②．（3）将y＝2代入得x＝1或x＝﹣1，∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，∵AB在直线y＝2上，OC在x轴上，∴AB∥OC，又∵BC∥OA，∴四边形OABC为平行四边形，＝AB•y A＝2×2＝4．∴S四边形OABC故答案为：4．8．【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．【应用】（1）如图②，在直角坐标系中，已知点A（2，），B（2，2），C（3，），则原点O对三角形ABC的视角为30°；（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆O1，以原点O，半径为4画圆O2，证明：圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值；【拓展应用】（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x ＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标．解：（1）延长BA交x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，∵点，，，∴AB∥y轴，，OE＝3，∴AB⊥x轴，∴，OD＝2，∴，，∴∠BOD＝60°，∠COE＝30°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COE＝30°，即原点O对三角形ABC的视角为30°过答案为：30°（2）证明：如图，过圆O2上任一点P作圆O1的两条切线交圆O1于A，B，连接OA，OB，OP，则有OA⊥PA，OB⊥PB，在中，OA＝2，OP＝4，∴，∴∠OPA＝30°，同理可求得：∠OPB＝30°，∴∠APB＝60°，即圆O2上任意一点P对圆O1的视角是60°，∴圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值．（3）当在直线AB与直线CD之间时，视角是∠APD，此时以E（﹣4，0）为圆心，EA 半径画圆，交直线于P3，P6，∵∠DP3B＞∠DP3A＝45°，∠AP6C＞∠DP6C＝45°，不符合视角的定义，P3，P6舍去．同理，当在直线AB上方时，视角是∠BPD，此时以A（﹣2，2）为圆心，AB半径画圆，交直线于P1，P5，P5不满足；过点P1作P1M⊥AD交DA延长线于点M，则AP1＝4，P1M＝5﹣2＝3，∴，∴当在直线CD下方时，视角是∠APC，此时以D（﹣2，﹣2）为圆心，DC半径画圆，交直线于P2，P4，P4不满足；同理得：；综上所述，直线上满足条件的位置坐标或．9．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x﹣1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．（1）①列表：下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值m＝0；n＝3；x…﹣2﹣1012…y…1m00n…②描点：在平面直角坐标系中，以①给出的自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点并连线，作出函数图象；（2）下列关于该函数图象的性质正确的是③；（填序号）①y随x的增大而增大；②该函数图象关于y轴对称；③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；④该函数图象不经过第三象限．（3）若函数值y＝8，则x＝3或﹣9；（4）若关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c 的取值范围是c＞﹣2．解：（1）①m＝﹣（﹣1）﹣1＝0；n＝22﹣1＝3；故答案为：0，3；②描点，连线，作出函数图象如下：（2）从图象可知：下列关于该函数图象的性质正确的是③；故答案为：③；（3）若x≥0时，x2﹣1＝8，解得x＝3或x＝﹣3，∴x＝3；若x＜0时，﹣x﹣1＝8，解得x＝﹣9，故答案为：3或﹣9；（4）由图象可知：关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，则c＞﹣2，故答案为：c＞﹣2．10．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．d/米00.61 1.8 2.43 3.64h/米0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.600.88在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为0.88米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．（精确到0.1米）解：（1）d是自变量，h是这个变量的函数，故答案为：d，h；（2）如图，（3）①当x＝0时，y＝0.88，∴桥墩露出水面的高度AE为0.88米，故答案为：0.88；②设y＝ax2+bx+c，把（0，0.88）、（1，2.38）、（3，2.38）代入得，，解得，∴y＝﹣0.5x2+2x+0.88，对称轴为直线x＝2，令y＝2，则2＝﹣0.5x2+2x+0.88，解得x≈3.3（舍去）或0.7．故答案为：0.7．11．小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．（1）完成函数图象的作图，并完成填空．①列出y与x的几组对应值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣8﹣3010﹣3010a﹣8…表格中，a＝﹣3；②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；③观察图象，当x＝﹣2或2时，y有最大值为1；（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围．解：（1）①把x＝4代入y＝﹣x2+4|x|﹣3得：y＝﹣16+16﹣3＝﹣3，∴a＝﹣3，故答案为：﹣3；②画出当x＞0时函数M的图象如下：③观察图象，当x＝﹣2或2时，y有最大值为1；故答案为：﹣2或2，1；（2）由解得或，由解得或，∴函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标为（﹣6，﹣15）、（0，﹣3）、（2，1）；（3）∵P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，且y1＜y2，∴m的取值范围m＜﹣2.5或﹣0.5＜m＜1.5．12．定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕原点顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W 上，则称点M为函数图象W的“直旋点”．例如，点是函数y＝x图象的“直旋点”．（1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三点中，是一次函数图象的“直旋点”的有②③（填序号）；（2）若点N（3，1）为反比例函数图象的“直旋点”，求k的值；（3）二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上，求D点坐标．解：（1）①点（3，0）绕原点顺时针旋转90°得点（0，﹣3），当x＝0时，y＝1，∴点（3，0）不是一次函数图象的“直旋点”；②点（﹣1，0）绕原点顺时针旋转90°得点（0，1），当x＝0时，y＝1，∴点（﹣1，0）是一次函数图象的“直旋点”；③点（0，3）绕原点顺时针旋转90°得（3，0），当x＝3时，y＝＝0，∴点（0，3）是一次函数图象的“直旋点”；∴是一次函数图象的“直旋点”的有②③；故答案为：②③；（2）点N（3，1）绕原点顺时针旋转90°得点（1，﹣3），∵点N（3，1）为反比例函数图象的“直旋点”，∴，∴k＝﹣3；（3）∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b，，解得：，∴直线AC的解析式为y＝3x+3，设点D（a，3a+3），则D（a，3a+3）绕原点顺时针旋转90°得点（3a+3，﹣a），∵点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”，∴﹣（3a+3）2+2（3a+3）+3＝﹣a，解得：a＝0或a，∴点D的坐标为（0，3）或．13．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界是1．（1）直接判断函数y＝（x＞0）和y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，直接写出其边界值；（2）若一次函数y＝kx+b（﹣2≤x≤1）的边界值是3，且这个函数的最大值是2，求这个一次函数的解析式；（3）将二次函数y＝﹣x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向上平移m个单位，得到的函数的边界值是n，当m在什么范围时，满足≤n≤1．解：（1）y＝（x＞0）不是有界函数；y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是有界函数，当x＝﹣4时，y＝9，当x＝2时，y＝﹣3，∴对于﹣4＜x≤2时，任意函数值都满足﹣9＜y≤9，∴边界值为9．（2）当k＞0时，由有界函数的定义得函数过（1，2），（﹣2，﹣3）两点，设y＝kx+b，将（1，2）（﹣2，﹣3）代入上式得，解得：，所以：y＝x+，当k＜0时，由有界函数的定义得函数过（﹣2，2），（1，﹣3）两点，设y＝kx+b，将（﹣2，2），（1，﹣3）代入上式得，即得，函数解析式为y＝﹣x﹣．（3）若m＞1，函数向上平移m个单位后，x＝0时，y＝m，此时边界值t≥1，与题意不符，故m≤1，函数y＝﹣x2过点（﹣1，﹣1），（0，0）；向上平移m个单位后，平移图象经过（﹣1，﹣1+m）；（0，m）．∴﹣1≤﹣1+m≤﹣或≤m≤1，即0≤m≤或≤m≤1．14．在平面直角坐标系中，由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线C1与抛物线C2：y＝mx2+4mx﹣12m（m ＞0）的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B，且点A的坐标为（0，﹣1）．（1）求M，N两点的坐标及抛物线C1的解析式；（2）若抛物线C2的顶点为D，当m＝时，试判断三角形MND的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，点P（t，﹣）是抛物线C1上一点，抛物线C2第三象限上是＝S△ONQ，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说否存在一点Q，使得S△APM明理由．解：（1）令y＝0，则mx2+4mx﹣12m＝0，解得x＝2或x＝﹣6，∴M（﹣6，0），N（2，0），设抛物线C1的解析式为y＝a（x+6）（x﹣2），将点A（0，﹣1）代入，得﹣12a＝﹣1，解得a＝，∴y＝（x2+4x﹣12）；（2）∵m＝，∴y＝x2+3x﹣9＝（x+2）2﹣12，∴D（﹣2，﹣12），∴MD＝4，ND＝4，MN＝8，∴MD＝ND，∴△MND是等腰三角形；＝S△ONQ，理由如下：（3）∵存在一点Q，使得S△APM∵点P（t，﹣）是抛物线C1上一点，∴﹣＝（t2+4t﹣12），解得t＝﹣1或t＝﹣3，∴P（﹣1，﹣）或P（﹣3，﹣），设直线AM的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣1，过点P作PG∥y轴交AM于点G，当P（﹣1，﹣）时，G（﹣1，﹣），∴PG＝，＝6×＝，∴S△APM＝S△ONQ，∵S△APM∴××2×|y Q|＝，解得y Q＝﹣，∴Q（﹣﹣2，﹣）；当P（﹣3，﹣）时，G（﹣3，﹣），∴PG＝，＝6×＝，∴S△APM＝S△ONQ，∵S△APM∴××2×|y Q|＝，解得y Q＝﹣，∴Q（﹣﹣2，﹣）；综上所述：Q点坐标为（﹣﹣2，﹣）或（﹣﹣2，﹣）．15．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝﹣a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如：y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y ＝a2；当x＝﹣a时，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”．（1）函数y＝2|x|+1是对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0时，y＝2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，y＝2|x|+1的图象．（2）函数y＝x2﹣2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝﹣x+n恰有3个交点时，求n的值．（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），当二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围．解：（1）∵在实数范围内任取x＝a时，y＝2|a|+1，当x＝﹣a时，y＝2|﹣a|+1＝2|a|+1，∴y＝2|x|+1是“对称函数”．故答案为：是；y＝2|x|+1的图象如图1所示，（2）①当直线y＝﹣x+n经过点（0，1）时，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，∴n＝1；②当直线y＝﹣x+n与函数y＝x2﹣2|x|+1的图象的右半侧相切时，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，即方程组有一个解，∴方程x2﹣x+1﹣n＝0有两个相等的实数根．∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（1﹣n）＝0，解得：n＝．综上，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，则n的值为1或；（3）当x＞0时，函数y＝x2﹣bx+1的图象与x轴相切时，方程x2﹣bx+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0，∵b＞0，∴b＝2；当x＞0时，函数y＝x2﹣bx+1的图象与直线DC相切时，方程x2﹣bx+1＝﹣3有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×4，∵b＞0，∴b＝4；当x＜0时，函数y＝x2+bx+1的图象经过点（﹣3，﹣3）时，﹣3＝（﹣3）2﹣3b+1，解得：b＝．综上，当2＜b＜4或b＞时，二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点．16．定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，8），AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3．（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式y＝﹣x2+4x+8，自变量的取值范围是﹣2≤x≤4；（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标；（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式．解：（1）∵半圆的圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3，∴A（﹣2，0），B（4，0），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则，解得，∴“蛋圆”抛物线部分的解析式y＝﹣x2+2x+8（﹣2≤x≤4）；故答案为：＝﹣x2+2x+8；﹣2≤x≤4．（2）如图，设过点C的切线与x轴相交于E，连接CM，∵CE与半圆相切，∴CE⊥CM，∴∠OCE+∠MCO＝90°，∵∠CEO+∠ECO＝90°，∴∠CEO＝∠MCO，又∵∠COE＝∠MOC＝90°，∴△COE∽△MOC，∴＝，由勾股定理得，OC＝＝2，∴OE＝＝＝8，∴过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标为（﹣8，0）；（3）设过点D的“蛋圆”切线解析式为y＝kx+8，联立，消掉y得，x2+（k﹣2）x＝0，∵直线与“蛋圆”抛物线相切，∴△＝（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴过点D的“蛋圆”切线的解析式为y＝2x+8．17．规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O—函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P（1，1）在函数y＝x2上，点Q（﹣1，﹣1）在函数y＝﹣x﹣2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣x﹣2互为“O—函数”，点P与点Q则为一组“XC点”．（1）已知函数y＝﹣2x﹣1和y＝﹣互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”；（2）已知函数y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC 点”；（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB＝，过顶点M作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为﹣，连接OP，AP，BP．若∠OPA＝∠OBP，求t的最小值．解：（1）设P（a，b）在y＝﹣2x﹣1上，则Q（﹣a，﹣b）在y＝﹣上，∴，解得或，∴“XC点”为（﹣2，3）与（2，﹣3）或（，﹣4）与（﹣，4）；（2）设P（s，t）在y＝x2+2x+4上，则Q（﹣s，﹣t）在y＝4x+n﹣2022上，∴，∴n＝﹣t+4s+2022＝﹣s2+2s+2018＝﹣（s﹣1）2+2019，当s＝1时，n有最大值2019，此时“XC点”为（1，7）与（﹣1，﹣7）；（3）设P（x，y）在y＝ax2+bx+c上，则Q（﹣x，﹣y）在y＝2bx+1上，∴，整理得ax2﹣bx+c+1＝0，∵有且仅存在一组“XC点”，∴Δ＝b2﹣4a（c+1）＝0，即＝﹣1，∴顶点M的纵坐标为﹣1，∵ax2+bx+c＝0，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴AB＝＝，∵AB＝，∴＝，∴＝，∵∠OPA＝∠OBP，∠AOP＝∠POB，∴△POA∽△BOP，∴OP2＝OB•OA＝x1•x2，∵P的横坐标为﹣，∴P（﹣，﹣1），∴t+1＝＝＝（c﹣1）2+，∴当c＝1时，t有最小值．18．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．（1）判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是，请在对应横线上画“×”；①其中有两内角分别为30°，60°的三角形×；②其中有两内角分别为50°，60°的三角形×；③其中有两内角分别为70°，100°的三角形√；（2）如图1，点A在双曲线y＝（k＞0）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点，D为y轴负半轴上一点，若∠OAB＝90°．①求k的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”；②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边上一点，BE ＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（﹣6，0），记BE＝t，过A，E作抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），B在A右侧，且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ＝，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．。
2024年九年级中考数学压轴题-圆中的新定义问题(解析版)
圆中的新定义问题1(2023•淮安模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段AB ，若线段PA 或PB 的垂直平分线与线段AB 有公共点，则称点P 为线段AB 的融合点．(1)已知A (3,0)，B (5,0)，①在点P 1(6,0)，P 2(1,-2)，P 3(3,2)中，线段AB 的融合点是 P 1，P 3 ；②若直线y =t 上存在线段AB 的融合点，求t 的取值范围；(2)已知⊙O 的半径为4，A (a ,0)，B (a +1,0)，直线l 过点T (0,-1)，记线段AB 关于l 的对称线段为A B ．若对于实数a ，存在直线l ，使得⊙O 上有A B 的融合点，直接写出a 的取值范围．【解答】解：(1)①∵P 1(6,0)，A (3,0)，∴P 1A 的线段垂直平分线与x 轴的交点为92，0，∴P 1是线段AB 的融合点；∵P 2(1,-2)，B (5,0)，设直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为(a ,0)，∴(a -1)2+4=(5-a )2，解得a =52，∴直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为52，0，∴P 2不是线段AB 的融合点；∵P 3(3,2)，B (5,0)，设直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(b ,0)，∴(b -3)2+4=(5-b )2，解得b =3，∴直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(3,0)，∴P 3是线段AB 的融合点；故答案为：P 1，P 3；②线段AB 的融合点在以A 、B 为圆心，AB 为半径的圆及内部，∵A (3,0)，B (5,0)，∴AB =2，当y =t 与圆相切时，t =2或t =-2，∴-2≤t ≤2时，直线y =t 上存在线段AB 的融合点；(2)由(1)可知，A B 的融合点在以A 、B 为圆心，A B 为圆心的圆及内部，∵A (a ,0)，B (a +1,0)，∴AB =A B =1，∵⊙O 上有A B 的融合点，∴圆O 与圆A 、B 有交点，∴圆O 与圆A 、圆B 的公共区域为以O 为圆心2为半径，以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域，当a >0时，a 的最大值为62-12=35，最小值为22-12-1=3-1，∴3-1≤a ≤35；当a <0时，a 的最大值为-22-12=-3，最小值为-62-12-1=-35-1，∴-35-1≤a ≤-3；综上所述：a 的取值范围为3-1≤a ≤35或-35-1≤a ≤-3．2(2023•西城区校级模拟)在平面内，C 为线段AB 外的一点，若以点A ，B ，C 为顶点的三角形为直角三角形，则称C 为线段AB 的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C 为线段AB 的等腰直角点．(1)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(-1,0)，点N 的坐标为(1,0)，在点P 1(2,1)，P 2(-1,2)，P 332，12 中，线段MN 的直角点是 P 2、P 3 ；(2)在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(t ,0)，(0,4)．①若t =4，如图2所示，若C 是线段AB 的直角点，且点C 在直线y =-x +8上，求点C 的坐标；②如图3，点D 的坐标为(m ,-2)，⊙D 的半径为1，若⊙D 上存在线段AB 的等腰直角点，求出m 的取值范围．【解答】解：(1)∵P 2(-1,2)，M (-1,0)，∴P 2M ⊥MN ，∴P 2是线段MN 的直角点；∵M (-1,0)，N (1,0)，∴MN =2，∵P 332，12，∴P 3O =1，∴P 3在以O 为圆心，MN 为直径的圆上，∴∠MP 3N =90°，∴P 3是线段MN 的直角点；故答案为：P 2、P 3；(2)①∵A (4,0)，B (0,4)，∴OA =OB =4，∴∠OAB =∠OBA =45°．根据题意，若点C 为线段AB 的直角点，则需要分三种情况：当点B 为直角顶点，过点B 作BC 1⊥AB 于点C 1，过点C 1作C 1M ⊥y 轴于点M ，∴∠C 1BM =45°，∴C 1M =BM ，设C 1M =BM =a ，∴C 1(a ,a +4)，∴-a +8=a +4，解得a =2，∴C 1(2,6)；当点A 为直角顶点，过点A 作AC 2⊥AB 于点C 2，过点C 2作C 2N ⊥x 轴于点N ，∴∠C 2AN =45°，∴C 2N =AN ，设C 2N =AN =b ，∴C 2(b +4,b )，∴-(b +4)+8=b ，解得b =2，∴C 2(6,2)；当点C 为直角顶点，取AB 的中点P ，则P (2,2)，设C 3的横坐标为t ，则C 3(t ,-t +8)，由直角三角形的性质可知，C 3P =BP =AP =22，∴(t -2)2+(-t +6)2=(22)2，解得t =4，∴C3(4,4)，综上，点C的坐标为(2,6)或(6,2)或(4,4)．②如图，以AB为边向下作正方形ABC1C2，连接AC1，BC2交于点C3，则C1，C2，C3是线段AB的等腰直角点．根据点A的运动可知，点C1在直线l1:x=-4上运动，C2在直线l2:y=-x-4上运动，C3在直线l3:y=-x上运动．设l2与y=-2相交于点K，l3与y=-2相交于点L，∴K(2,-2)，L(2,-2)．由此可得出临界情况如图：如图3(1)中，当⊙D与l1相切时，m=-5；如图3(2)中，当⊙D与l2相切时，点F为切点，连接DF，则ΔDFK为等腰直角三角形，且DF=1，∴DK=2；∴D(-2+2，-2)，即m=-2+2；如图3(3)中，当⊙D与l3相切时，点G为切点，连接DG，则ΔDGL为等腰直角三角形，且DG=1，∴DL=2；∴D(2-2，-2)，即m=2-2；如图3(4)中，当⊙D与l3相切时，点H为切点，连接DH，则ΔDHL为等腰直角三角形，且DH=1，∴DL=2；∴D(2+2，-2)，即m=2+2；综上，符合题意的m的取值范围：-5≤m≤-2+2或2-2≤m≤2+2．3(2023•秀洲区校级二模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；(1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是③．(填序号)①矩形②菱形③正方形(2)如图1，RtΔABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，sin C=35，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长；(3)如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD= 180°，①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．【解答】(1)解：∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形，故答案为：③；(2)解：∵∠BAC=90°，AB=6，sin C=35，∴BC=10，AC=8，∴BD为直径，∴∠BED =∠DEC =90°，∵四边形ABED 是“婆氏四边形”，∴AE ⊥BD ，∴AD =DE ，AB =BE =6，设AD =DE =m ，则CD =8-m ，EC =4，在Rt ΔEDC 中，m 2+42=(8-m )2，解得m =3，∴DE =3；(3)①证明：如图2，设AC ，BD 相交于点E ，∵∠DCA =12∠AOD ，∠BDC =12∠BOC ，∠BOC +∠AOD =180°，∴∠DCA +∠BDC =12(∠AOD +∠BOC )=12×180°=90°，∴∠CED =90°，∴AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴四边形ABCD 是“婆氏四边形”；②解：过点O 作OM ⊥AD 交于M ，过O 作ON ⊥BC 交于N ，∴AM =12AD ，BN =12BC ，∠AMO =∠BNO =90°，∴∠AOM +∠OAM =90°，∵OA =BO =CO =DO ，∴∠AOM =12∠AOD ，∠BON =12∠BOC ，∵∠BOC +∠AOD =180°，∴∠AOM =∠OBN ，∴ΔOAM ≅ΔBON (AAS )，∴ON =AM =12AD ，∵AD +BC =4，设ON =AM =n ，则AD =2n ，BC =4-2n ，BN =2-n ，在Rt ΔBON 中，BO =n 2+(2-n )2=2(n -1)2+2，当n =1时，BO 有最小值2，∴⊙O 半径的最小值为2．4(2022秋•西城区期末)给定图形W 和点P ，Q ，若图形W 上存在两个不重合的点M ，N ，使得点P 关于点M 的对称点与点Q 关于点N 的对称点重合，则称点P 与点Q 关于图形W 双对合．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1,-2)，B (5,-2)，C (-1,4)．(1)在点D (-4,0)，E (2,2)，F (6,0)中，与点O 关于线段AB 双对合的点是 D ，F ；(2)点K 是x 轴上一动点，⊙K 的直径为1，①若点A 与点T (0,t )关于⊙K 双对合，求t 的取值范围；②当点K 运动时，若ΔABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合，直接写出点K 的横坐标k 的取值范围．【解答】解：(1)当A 点是D 点的中点时，对应点为(2,-4)；当B 点是D 点的中点时，对应点为(14,-4)；当A 点是E 点的中点时，对应点为(-4,-6)；当B 点是E 点的中点时，对应点为(8,-6)；当A 点是F 点的中点时，对应点为(-8,-4)；当B 点是F 点的中点时，对应点为(4,-4)；当A 点是O 点的中点时，对应点为(-2,-4)；当B 点是O 点的中点时，对应点为(10,-4)；∴D 、F 与点O 关于线段AB 双对合，故答案为：D 、F ；(2)①设K(k,0)，∵A(-1,-2)，T(0,t)，∴A点关于K点对称点G为(2k+1,2)，T点关于K点对称点H为(2k,-t)，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴A点关于点K的对称点在以G为圆心，∵⊙K的直径为1，∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心，1为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，1为半径的圆上，如图所示，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴当圆G与圆H有交点，∵GH=1+(t+2)2，∴1+(t+2)2≤2，解得-2-3≤t≤-2+3；②∵A(-1,-2)，B(5,-2)，C(-1,4)，K(k,0)，∴A点关于K点的对称点F(2k+1,2)，B点关于K点的对称点E(2k-5,2)，C点关于K点的对称点G(2k+1, -4)，∴ΔABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域，∵ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，∴阴影区域与圆K有公共交点，∵阴影部分是由ΔEGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，如图1时，k-(2k+1)=12+1，解得k=-52；如图2时，2k+1-k=12+1，解得k=12；∴-52≤k≤12时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；过点K作KN⊥EG交于N，直线EG交x轴于点M，设直线EG的解析式为y=k x+b，∴(2k-5)k +b=2 (2k+1)k +b=-4 ，解得k =-1b=2k-3 ，∴y=-x+2k-3，∴M(2k-3,0)，∵直线y=-x与y=-x+2k-3平行，∴∠KMN=45°，∴KM=2KN=322，如图3时，k-(2k-3)=322，解得k=3-322，如图4时，2k-3-k=322，解得k=3+322，∴3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；综上所述：-52≤k≤12或3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合．5(2022•钟楼区模拟)概念认识：平面内，M为图形T上任意一点，N为⊙O上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”，记作d(T-⊙O)．例：如图1，在直线l上有A、C、O三点，以AC为对角线作正方形ABCD，以点O为圆心作圆，与l交于E、F两点，若将正方形ABCD记为图形T，则C、E两点间的距离称为图形T到⊙的“最近距离”．数学理解：(1)在平面内有A、B两点，以点A为圆心，5为半径作⊙A，将点B记为图形T，若d(T-⊙A)=2，则AB= 3或7．(2)如图2，在平面直角坐标系中，以O(0,0)为圆心，半径为2作圆．①将点C(4,3)记为图形T，则d(T-⊙O)=．②将一次函数y=kx+22的图记为图形T，若d(T-⊙)>0，求k的取值范围．推广运用：(3)在平面直角坐标系中，P的坐标为(t,0)，⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为(5,5)、(5,-5)，将ΔDOE记为图形T，若d(T-⊙P)=1，则t=．【解答】解：(1)如图1中，∵d(T-⊙A)=2，∴CB=CB′=2，∵AC=5，∴AB′=5-2=3，AB=5+2=7．故答案为：3或7．(2)①如图2中，连接OC交⊙O于E．∵C(4,3)，∴OC=42+32=5，∵OE=2，∴EC=3，∴d(T-⊙O)=3．故答案为：3．②如图，设直线y=kx+22与⊙O相切于E，K．连接OK，OE．∵OE⊥DE，OK⊥DK，OD=22，OE=OK=2，∴DK=OD2?OK2=(22)2-22=2，DE=OD2?OE2=(22)2-22=2，∴DE=OE=DK=OK，∴四边形DEOK是菱形，∵∠DKO=∠DEO=90°，∴四边形DEOK是正方形，∴∠ODE=∠ODK=45°，∴直线DE的解析式为y=-x+22，直线DK的解析式为y=x+22，∵d(T-⊙O)>0，∴观察图象可知满足条件的k的值为-1<k<1且k≠0．(3)如图3-1中，当点P在DE的右边时．∵D(5,5)，∴∠DOP=45°，∵d(T-⊙P)=1，∴OP=5+1+2=8∴t=8．如图3-2中，当点P在∠DOE的外侧时，由题意可知OM=1，OP=1+2=3，t=-3．综上所述，满足条件的t的值为8或-3．6(2022秋•昌平区期末)已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．(1)若C(-2,0)．①点P1(0,0)，P2(-1,1)，P3(2,2)中是关于MN的“折弦点”的是 P1，P2 ；②若直线y=kx+3(k≠0)．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；(2)点C在线段AB上，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．【解答】解：(1)①连接OP，∵P点是弦MN的中点，∴OP⊥MN，∴∠CPO=90°，∴P点在以CO为直径的圆上，∵C(-2,0)，∴P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，∵点P1(0,0)，P2(-1,1)在该圆上，∴点P1(0,0)，P2(-1,1)是关于MN的“折弦点”，故答案为：P1，P2；②由①可知，P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，设圆心D(-1,0)，∵直线y=kx+3(k≠0)上只存在一个关于MN的“折弦点”，∴直线y=kx+3(k≠0)与圆D相切，过点D作DF垂直直线y=kx+3交于点F，∵直线y=kx+3与x轴交于点E-3k，0，与y轴交于点G(0,3)，∴DE=-1+3k，OF=3k，OG=3，∵∠DFE=∠EOG=90°，∴ΔEGO∽ΔEFD，∴DF GO =ED EG，∴13=3k-13+3k2，解得k=3 3；(2)由(1)可知，P点在以OC为直径的圆上，∵直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，∴直线y=x+b与圆D相交或相切，过D点作DF垂直直线y=x+b交于点F，∵直线y=x+b与x轴交于点(-b,0)，与y轴交于点(0,b)，当C点与A点重合时，b有最大值，此时D(-2,0)，∴(-2+b)2=8，解得b=22+2或b=22+2(舍)；当C点与B点重合时，b有最小值，此时D(2,0)，∴(-b-2)2=8，解得b=22-2(舍)或b=-22-2；∴-22-2≤b≤22+2时，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”．7(2022秋•东城区校级月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°<∠MPN<180°，则称P为⊙T的环绕点．(1)当⊙O半径为1时，①在P1(2，2)，P2(2,0)，P3(2,1)中，⊙O的环绕点是 P1 ；②直线y=3x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；(2)⊙T的半径为2，圆心为(0,t)，以-m，33m(m>0)为圆心，33m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．【解答】解：(1)①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN，当∠MPN=60°时，∵PT平分∠MPN，∴∠TPN=∠MPT=30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠TNP=∠PMT=90°，∴TP =2TM =2，以T 为圆心，TP 为半径作⊙T ．观察图象可知：当60°<∠MPN <180°时，⊙T 的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点)，故答案为：P 1；②如图中，设小圆交y 轴的正半轴于F ，当直线y =3x +b 经过点F 时，b =1，当直线y =3x +b 与大圆相切于K (在第二象限)时，连接OK ，由题意B (0,b )，A -b 3，0，所以OB =b ，OA =b 3，AB =103b ，∵OK =2，12×AB ×OK =12×OA ×OB ，∴b =210，观察图象可知，当1<b <210时，线段AB 上存在⊙的环绕点，根据对称怀可知：当-210<b <-1时，线段AB 上存在⊙的环绕点，综上所述，满足条件的b 的值为1<b <210或-210<b <-1；(2)如图中，不妨设E -m ，33m (m >0)，则点E 直线y =-33x 上，∵m >0，∴点E 在射线OE 上运动，作EM ⊥x 轴；∵E -m ，33m (m >0)，∴OM =m ，EM =33m ，以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的⊙E 与x 轴相切，作⊙E 的切线ON ，观察图象可知：以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，图形H 即为∠MON 的内部，包括射线OM ，ON 上，当⊙T 的圆心在y 轴的正半轴上时，假设以T 为圆心，4为半径的圆与射线ON 相切于D ，连接TD ，∵tan ∠EOM =EM OM=33，∴∠EOM =30°，∵OM ，ON 是⊙E 的切线，∴∠EON =∠EOM =30°．∴∠TOD =30°，∴OT =2DT =8，∴T (0,8)，当⊙T 的圆心在y 轴的负半轴上时，且经过点O (0.0)时，T (0,-4)，观察图象可知，当-4<t <8时，在图象上存在⊙T 的环绕点．8(2022秋•海淀区校级月考)对于平面直角坐标系中的线段AB 和点P (点P 不在线段AB 上)，给出如下定义：当PA =PB 时，过点A (或点B )向直线PB (或PA )作垂线段，则称此垂线段为点P 关于线段AB 的“测度线段”，垂足称为点P 关于线段AB 的“测度点”．如图所示，线段AD 和BC 为点P 关于线段AB 的“测度线段”，点C 与点D为点P关于线段AB的“测度点”．(1)如图，点M(0,4)、N(2,0)，①点P的坐标为(5,4)，直接写出点P关于线段MN的“测度线段”的长度4；②点H为平面直角坐标系中的一点，且HM=HN，则下列四个点：Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，是点H 关于线段MN的“测度点”的是；(2)直线y=-34x+6与x轴、y轴分别交于点A与点B，①点G为平面直角坐标系中一点，且GA=GB，若一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，直接写出k的取值范围为；②⊙O的半径为r，点C与点D均在⊙O上，且线段CD=65r．点K与点O位于线段CD的异侧，且KC=KD，若在线段AB上存在点K关于线段CD的“测度点”，直接写出r的取值范围为．【解答】解：(1)①∵M(0,4)、P(5,4)，∴MP⎳x轴，∴点P关于线段MN的“测度线段”的长度为4，故答案为：4；②∵过点N作NF⊥MH交于F点，过点M作MG⊥NH交于点G，∵∠MFN=∠MGN=90°，∴F、G点在以MN为直径的圆上，设MN的中点为E，∵点M(0,4)、N(2,0)，∴E(1,2)，MN=25，∴点H关于线段MN的“测度点”在以E为圆心，5为半径的圆上，且不与M、N重合，∵Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，Q1E=5，Q2E=5，Q3E=2，Q4E=5，∴Q1，Q2是点H关于线段MN的“测度点”，故答案为：Q1，Q2；(2)①当x=0时，y=6，∴B(0,6)，当y=0时，x=8，∴A(8,0)，∴AB的中点F(4,3)，AB=10，由(1)可知，点G关于线段AB的“测度点”在以F为圆心，5为半径的圆上，且不与A、B点重合，∵一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，∴直线y=kx-14k+3与圆F相切或相交，过点F作FK垂直直线y=kx-14k+3交于点K，直线与y轴的交点为T，过点F作FL⎳KT交于交y轴于点L，过点L作SL⊥KT交于点S，∴LS =FK =5，∴LF 的直线解析式为y =kx -4k +3，∴L (0,-4k +3)，T (0,-14k +3)，∴TL =-10k ，∵sin ∠LTS =5-10k =11+k 2，∴k =±33，∴-33≤k ≤33时，一次函数y =kx -14k +3上存在点G 关于线段AB 的“测度点”，故答案为：-33≤k ≤33；②由(1)可知，K 点关于线段CD 的“测度点”在以CD 为直角的半圆上，且不与C 、D 重合，当CD ⎳AB ，且AB 与圆P 相切时，r 有最小值，由①可得，45=35r 6-r ，解得r =247，当CD 在AB 上时，r 有最大值，r =6，∴247≤r <6时，线段AB 上存在点K 关于线段CD 的“测度点”，故答案为：247≤r <6．9(2022•盐城一模)对于平面内的两点K 、L ，作出如下定义：若点Q 是点L 绕点K 旋转所得到的点，则称点Q 是点L 关于点K 的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．如图1，点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．(1)已知点A (4,0)，在点Q 1(0,4)，Q 2(2,23)，Q 3(-2,23)，Q 4(22，-22)中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是 Q 2，Q 4 ．(2)已知点B (5,0)，点C 在直线y =2x +b 上，若点C 是点B 关于点O 的锐角旋转点，求实数b 的取值范围．(3)点D 是x 轴上的动点，D (t ,0)，E (t -3,0)，点F (m ,n )是以D 为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n ≥0．若直线y =2x +6上存在点F 关于点E 的锐角旋转点，请直接写出t 的取值范围．【解答】解：(1)如图，∵A (4,0)，Q 1(0,4)，∴OA =OQ 1=4，∠AOQ 1=90°，∴点Q 1不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 2(2,23)，作Q 2F ⊥x 轴于点F ，∴OQ 2=OF 2+Q 2F 2=22+(23)2=4=OA ，∵tan ∠Q 2OF =232=3，∴∠Q 2OF =60°，∴点Q 2是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 3(-2,23)，作Q 3G ⊥x 轴于点G ，则tan ∠Q 3OG =Q 3G OG=232=3，∴∠Q3OG =60°，∴OQ 3=OG cos ∠Q 3OG =2cos60°=4=OA ，∵∠AOQ 3=180°-60°=120°，∴Q 3不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 4(22，-22)，作Q 4H ⊥x 轴于点H ，则tan ∠Q 4OH =Q 4H OH =2222=1，∴∠Q 4OH =45°，∵OQ 4=OH cos ∠Q 4OH =22cos45°=4=OA ，∴Q 4是点A 关于点O 的锐角旋转点；综上所述，在点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是Q 2，Q 4，故答案为：Q 2，Q 4．(2)在y 轴上取点P (0,5)，当直线y =2x +b 经过点P 时，可得b =5，当直线y =2x +b 经过点B 时，则2×5+b =0，解得：b =-10，∴当-10<b <5时，OB 绕点O 逆时针旋转锐角时，点C 一定可以落在某条直线y =2x +b 上，过点O 作OG ⊥直线y =2x +b ，垂足G 在第四象限时，如图，则OT =-b ，OS =-12b ，∴ST =OS 2+OT 2=-12b 2+(-b )2=-52b ，当OG =5时，b 取得最小值，∵5×-52b =-b ×-12b ，∴b =-55，∴-55≤b <5．(3)根据题意，点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上，设点P 在半圆S 上，点Q 在半圆T 上(将半圆D 绕点E 旋转)，如图3(1)，半圆扫过的区域为图3(1)中阴影部分，如图3(2)中，阴影部分与直线y =2x +6相切于点G ，tan ∠EMG =2，SG =3，过点G 作GI ⊥x 轴于点I ，过点S 作SJ ⊥GI 于点J ，∴∠SGJ =∠EMG ，∴tan ∠SGJ =tan ∠EMG =2，∴GJ =355，SJ =655，∴GI =GJ +JI =3+355，∴MI =12GI =32+3510，∴OE =IE +MI -OM =352-32，即x E =t -3=352-32，解得t =352+32，如图3(3)中，阴影部分与HK 相切于点G ，tan ∠OMK =tan ∠EMH =2，EH =6，则MH =3，EM =35，∴x E =t -3=-3-35，解得t =-35，观察图象可知，-35≤t <3+352+32．10(2022秋•姜堰区期中)如图1，在平面内，过⊙T 外一点P 画它的两条切线，切点分别为M 、N ，若∠MPN ≥90°，则称点P 为⊙T 的“限角点”．(1)在平面直角坐标系xOy 中，当⊙O 半径为1时，在①P 1(1,0)，②P 2-1,12，③P 3(-1,-1)，④P 4(2,-1)中，⊙O 的“限角点”是②④；(填写序号)(2)如图2，⊙A 的半径为2，圆心为(0,2)，直线l :y =-34x +b 交坐标轴于点B 、C ，若直线l 上有且只有一个⊙A 的“限角点”，求b 的值．(3)如图3，E (2,3)、F (1,2)、G (3,2)，⊙D 的半径为2，圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l :y =x 向上运动，若ΔEFG 三边上存在⊙D 的“限角点”，请直接写出运动的时间t (s )的取值范围．【解答】解：(1)∵⊙O 半径为1，∴当P 为圆O 的“限角点”时，1<OP ≤2，∵OP 1=1，OP 2=52，OP 3=2，OP 4=5，∴⊙O 的“限角点”是P 2，P 3，故答案为：②③；(2)∵⊙A 的半径为2，∴当P 为圆A 的“限角点”时，2<AP ≤2，设直线l 上有且只有一个⊙O 的“限角点”P m ,-34m +b ，∴PA =2，此时AP ⊥BC ，令x =0，则y =b ，∴C (0,b )，令y =0，则x =43b ，∴B 43b ，0 ，∴tan ∠OCB =OB OC =43=AP CP ，∴CP =32，∴AC =52，∴|b -2|=52，∴b =92或b =-12；(3)∵圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l 移动，∴圆沿x 轴正方向移动t 个单位，沿y 轴正方向移动t 个单位，∴移动后D 点坐标为(t ,t )，设ΔEFG 边上的点P 是圆D 的“限角点”，则2<PD ≤2，在圆D 移动的过程中，当DF =2时，(t -1)2+(t -2)2=4，解得t =3-72或t =3+72，当t =3-72时，ΔEFG 边上开始出现⊙D 的“限角点”，当圆D 移动到E 点在圆上时，DE =2，(t -2)2+(t -3)2=2，解得t =5+32或t =5-32，∴3-72≤t <5-32时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，当圆D 再次移动到点F 在圆上时，DF =2，(t -2)2+(t -1)2=2，解得t =3+32或t 3-32，当t =3+32时，ΔEFG 三边上开始又要出现⊙D 的“限角点”；设直线EG 的解析式为y =kx +b ，直线y =x 与直线EG 的交点设为点H ，∴2k +b =33k +b=2 ，解得k =-1b =5 ，解得y =-x +5，联立方程组y =-x +5y =x，解得x =52y =52，∴H 52，52，当DH =2时，2t -52 2=4，解得t =2+52或t =-2+52，∴当t =2+52，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，∴3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”；综上所述：3-72≤t <5-32或3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”．11(2022秋•西城区校级期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)，N．对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转90°，得到点P ，点P 关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图1，若点M在坐标原点，点N(1,1)，①点P(-2,0)的“对应点”Q的坐标为 (2,0) ；②若点P的“对应点”Q的坐标为(-1,3)，则点P的坐标为；(2)如图2，已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N(0,2)，若P(m，0)(m>1)为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．①当点M(a,b)在第一象限时，求点Q的坐标(用含a，b，m的式子表示)；②当点M在⊙O 上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为.(用含m的式子表示)【解答】解：(1)①∵P(-2,0)，∴P点绕点M逆时针旋转90°得到点P (0,-2)，∵点P 关于点N的对称点为Q，∴Q(2,0)；故答案为：(2,0)；②∵Q的坐标为(-1,3)，∴Q点关于N(1,1)的对称点为P (3,-1)，将P 绕M点顺时针旋转90°得到点P，过P 作P F⊥x轴于点F，过点P作PE⊥x轴于点E，∵∠P OP=90°，∴∠POE+∠FOP =90°，∵∠EPO+∠EOP=90°，∴∠FOP =∠EPO，∵OP=OP ，∴ΔPOE≅△OP F(AAS)，∴EO=P F=1，PE=OF=3，∴P(-1．-3)，故答案为：(-1,-3)；(2)①过点M作EF⊥x轴于点F，过点P 作P E⊥EF交于点E，由(1)可得ΔMPF≅△P ME(AAS)，∴MF=EP ，FP=ME，∵M(a,b)，P(m,0)，∴EF=b+m-a，EP =b，∴P (a+b,b+m-a)，∵点N(0,2)，∴Q(-a-b,4-b-m+a)；②P点绕O点逆时针旋转90°后得到点G，∴G(0,m)，∵P (a+b,b+m-a)，∴GP =2(a 2+b 2)，∵M (a ,b )在圆O 上，∴a 2+b 2=1，∴GP =2，∴P 在以G 为圆心，2为半径的圆上，设G 点关于N 点的对称点为H ，则H (0,4-m )，∴QH =2(a 2+b 2)=2，∴Q 点在以H 为圆心2为半径的圆上，∴PQ 的最大值为PH +2，PQ 的最小值为PH -2，∴PQ 长的最大值与最小值的积为(PH +2)(PH -2)=2m 2-8m +14，故答案为：2m 2-8m +14．12(2022•秦淮区二模)【概念认识】与矩形一边相切(切点不是顶点)且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切(切点都不是顶点)且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．【初步理解】(1)如图①~③，四边形ABCD 是矩形，⊙O 1和⊙O 2都与边AD 相切，⊙O 2与边AB 相切，⊙O 1和⊙O 3都经过点B ，⊙O 3经过点D ，3个圆都经过点C ．在这3个圆中，是矩形ABCD 的第Ⅰ类圆的是①，是矩形ABCD 的第Ⅱ类圆的是．【计算求解】(2)已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．【深入研究】(3)如图④，已知矩形ABCD ，用直尺和圆规作图．(保留作图痕迹，并写出必要的文字说明)①作它的1个第Ⅰ类圆；②作它的1个第Ⅱ类圆．【解答】解：(1)由定义可得，①的矩形有一条边AD 与⊙O 1相切，点B 、C 在圆上，∴①是第Ⅰ类圆；②的矩形有两条边AD 、AB 与⊙O 2相切，点C 在圆上，∴②是第Ⅱ类圆；故答案为：①，②；(2)如图1，设AD =6，AB =4，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =4-r ，由垂径定理可得，BF =CF =3，在Rt ΔBOF 中，r 2=(4-r )2+32，解得r =258；如图2，设AD =4，BC =6，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =6-r ，由垂径定理可得，BF =CF =2，在Rt ΔBOF 中，r 2=(6-r )2+22，解得r =103；综上所述：第Ⅰ类圆的半径是258或103；如图3，AD =6，AB =4，过点O 作MN ⊥AD 交于点M ，交BC 于点N ，连接OC ，设AB 边与⊙O 的切点为G ，连接OG ，∴GO ⊥AB ，设OM =r ，则OC =r ，则ON =4-r ，∵OG =r ，∴BN =r ，∴NC =6-r ，在Rt ΔOCN 中，r 2=(4-r )2+(6-r )2，解得r =10-43，∴第Ⅱ类圆的半径是10-43；(3)①如图4，第一步，作线段AD 的垂直平分线交AD 于点E ，第二步，连接EC ，第三步，作EC 的垂直平分线交EF 于点O ，第四步，以O 为圆心，EO 为半径作圆，∴⊙O 即为所求第Ⅰ类圆；②如图5，第一步：作∠BAD 的平分线；第二步：在角平分线上任取点E ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点F ；第三步：以点E 为圆心，EF 为半径作圆E ，交AC 于点G ，连接FG ；第四步：过点C 作CH ⎳FG ，CH 交AD 于点H ；第五步：过点H 作AD 的垂线，交∠BAD 的平分线于点O ；第六步：以点O 为圆心，OH 为半径的圆，⊙O 即为所求第Ⅱ类圆．13(2021秋•海淀区校级期末)新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若几何图形G 与⊙A 有公共点，则称几何图形G 的叫⊙A 的关联图形，特别地，若⊙A 的关联图形G 为直线，则称该直线为⊙A 的关联直线．如图，∠M 为⊙A 的关联图形，直线l 为⊙A 的关联直线．(1)已知⊙O 是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y =2x +2；②直线y =-x +3；③双曲线y =2x，是⊙O 的关联图形的是①③(请直接写出正确的序号)．(2)如图1，⊙T 的圆心为T (1,0)，半径为1，直线l :y =-x +b 与x 轴交于点N ，若直线l 是⊙T 的关联直线，求点N 的横坐标的取值范围．(3)如图2，已知点B (0,2)，C (2,0)，D (0,-2)，⊙I 经过点C ，⊙I 的关联直线HB 经过点B ，与⊙I 的一个交点为P ；⊙I 的关联直线HD 经过点D ，与⊙I 的一个交点为Q ；直线HB ，HD 交于点H ，若线段PQ 在直线x =6上且恰为⊙I 的直径，请直接写出点H 横坐标h 的取值范围．【解答】解：(1)由题意①③是⊙O的关联图形，故答案为①③．(2)如图1中，∵直线l1y=-x+b是⊙T的关联直线，∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，当临界状态为l1时，连接TM(M为切点)，∴TM=1，TM⊥MB，且∠MNO=45°，∴ΔTMN是等腰直角三角形，∴TN=2，OT=1，∴N(1+2，0)，把N(1+2，0)代入y=-x+b中，得到b=1+2，同法可得当直线l2是临界状态时，b=-2+1，∴点N的横坐标的取值范围为-2+1≤N x≤2+1．(3)如图3-1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H(2,0)，得到h的最大值为2，如图3-2中，当点P在点Q是上方时，直线PB，QD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H(-6,0)得到h的最小值为-6，综上所述，-6≤h<0，0<h≤2．14(2022春•海淀区校级月考)定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知O(0,0)，A(1,1)，B(m,n)，C(m,n+2)是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m=2，n=1时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1．②当m=2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1，则n的取值范围是．(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当n≥1时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为1，线段BC的中点为M．求点M随线段BC运动所走过的路径长．【解答】解：(1)①当m=2，n=1时，B(2,1)，C(2,3)．线段BC与线段OA的冰雪距离为AB=1．故答案为：1．②当m=2时，点A到直线BC的距离为1．若线段BC与线段OA的冰雪距离是1，则点A到BC的垂线的垂足在线段BC上，∴n≤1≤n+2，即-1≤n≤1．故答案为：-1≤n ≤1．(2)如图，B 2(0,1)为圆A 与y 轴的切点，B 11-22，1+22满足∠B 1AO =90°．当B 在B 1右侧时，冰雪距离d ≥B 1A =22．当B 在弧B 1B 2上时，冰雪距离d 为点B 到OA 的距离，结合图象可知，当且仅当B 处在点B 2时，d 取最小值22．(3)如图，当点B 位于图中弧DI 、线段IH 、弧HG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当点C 位于图中弧DE 、线段EF 、弧FG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当线段BC 由图中B 1D 向上平移到DC 3时，或由B 2G 向上平移到GC 4时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．对应中点M 所走过的路线长为：2π+4+22．15(2022•东城区校级开学)对于⊙C 和⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线AP 与⊙C 交于点Q (点Q 可以与点P 重合)，且1≤PAQA ≤2，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A (-1,0)．(1)若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标 (2,0)(答案不唯一)；(2)若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足∠BAO =30°，求点B 的纵坐标t 的取值范围；(3)直线y =3x +b 与x 轴交于点M ，且与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是．【解答】解：(1)根据“生长点”定义，点P 的坐标可以是(2,0)，故答案为：(2,0)(答案不唯一)；(2)如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，使得∠OAM =30°，并在射线AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ，则由题意，线段MN 和M N 上的点是满足条件的点B ．作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°．∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°．∴∠OAM =∠HMC =30°．∴tan30°=MH AH=HC MH =33，设MH=y，则AH=3y，CH=33y，∴AC=AH+CH=433y=2，解得y=32，即点M的纵坐标为32．又由AN=2AM，A为(-1,0)，可得点N的纵坐标为3，故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：32≤t≤3，由对称性，在线段M N 上，点B的纵坐标t满足：?3≤t≤?3 2，∴点B的纵坐标t的取值范围是：32≤t≤3或?3≤t≤?32．(3)如图，Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA=2AQ，∵Q的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，∴点P的运动轨迹是以K(1,0)为圆心，2为半径的圆，当直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，在RtΔKMR中，∠KRM=90°，∵直线y=3x+b与x轴夹角为60°，∴∠KMR=60°，KR=2，∴KM=2÷sin60°=433，∴OM=1+433，∴ON=3OM=4+3，∴b=-4-3，当直线MN经过G(0,-1)时，满足条件，此时b=-1，观察图象可知：当-4-3≤b≤-1时，线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，根据对称性，同法可得当1≤b≤4-3时，也满足条件．故答案为：-4-3≤b≤-1或1≤b≤4-3．16(2022•东城区校级开学)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M,N)．特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M,N)=0，如图，点A(-23，0)，B(0,2)．(1)如果⊙O的半径为2，那么d(A,⊙O)= 23-2 ，d(B,⊙O)=；(2)如果⊙O的半径为r，且d(⊙O,AB)>0，求r的取值范围；(3)如果C(0,m)是y轴上的动点，⊙C的半径为1，使d(⊙C,AB)<1，直接写出m的取值范围为．【解答】解：(1)∵⊙O的半径为2，A(-23，0)，B(0,2)，∴OB=2，OA=23>2，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴d(A,⊙O)=23-2，d(B,⊙O)=0，故答案为：23-2；0；(2)如图1，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，在Rt ΔAOB 中，∵tan ∠BAO =OB OA =223=33，∴∠BAO =30°．在Rt ΔADO 中，sin ∠BAO =DO OA =12=DO23，∴DO =3，∵d (⊙O ,AB )=0，∴r 的取值范围是0<r <3或r >23；(3)如图2，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由(2)知，∠BAO =30°．∵C (m ,0)，当点C 在点B 的上边时，m >2，此时，d (⊙C ,AB )=BC ，∴BC ≤1，即m -2≤1，解得m ≤3；当点C 与点B 重合时，m =2，此时d (⊙C ,AB )=0，当点C 在点B 的下边时，m <2，∴BC =2-m ，∴CN =BC ⋅sin ∠OBA =32(2-m )．∵d (⊙C ,AB )<1，⊙C 的半径为1，∴0<32(2-m )<1．∴2-233<m <2．综上所述：2-233<m ≤3．故答案为：2-233<m ≤3．17(2021秋•润州区校级月考)在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ′，满足CP +CP ′=2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图．(1)当⊙O 的半径为1时，①分别判断点M (3,1)，N 32，0，T (-1,3)关于⊙O 的反称点是否存在？若存在，直接求其坐标；②将⊙O 沿x 轴水平向右平移1个单位为⊙O ′，点P 在直线y =-x +1上，若点P 关于⊙O ′的反称点P ′存在，且点P ′不在坐标轴上，则点P 的横坐标的取值范围 1-2≤x ≤1+2且x ≠2-2 ；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =-x +12与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，点E 与点D 分别在点A 与点B 的右侧2个单位，线段AE 、线段BD 都是水平的，若四边形ABDE 四边上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．。
专题八 新定义问题__2023届中考数学热点题型突破(含答案)
专题八新定义问题——2023届中考数学热点题型突破1.对任意两个实数a，b定义两种运算：并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于( )A. B.3 C.6 D.2.我们知道, 如果直角三角形的三边的长都是正整数, 这样的三个正整数就叫做一组勾股数. 定义: 如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和, 即, 那么称m 为广义勾股数. 下面的结论:① 7 不是广义勾股数;②13 是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数;⑤若，，, 其中x,y,z,m,n 均为正整数, 则x,y,z 为一组勾股数;⑥一个正奇数 (除 1 外) 与两个和等于此正奇数的平方的连续正整数是一组勾股数.正确的是( )A.①②⑤⑥B.①③④⑤C.②④⑥D.②④⑤⑥3.对x,y定义一种新运算T,规定:（其中a,b均为非零常数）,这里等式右边是通常的四则运算,例如:,若,,则结论正确的个数为( )（1）,;（2）若,则;（3）若,m,n均取整数,则或或;（4）若,当n取s,t时,m对应的值为c,d,当时,;（5）若对任意有理数x,y都成立(这里和T均有意义),则A.2个B.3个C.4个D.5个4.阅读材料:定义:如果一个数的平方等于,记为,这个数i叫做虚数单位,把形如为实数)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似:例如计算:;;;.根据以上信息,完成下面的计算:__________.5.定义:在平面直角坐标系xOy中,如果将点绕点旋转得到点Q,那么称线段PQ为“拓展带”,点Q为点P的“拓展带”.（1）当时,点的“拓展带”坐标为__________.（2）如果,当点的“拓展带”N在函数的图象上时,t的值为__________.6.新定义:在平面直角坐标系中,对于点和点,若满足时,;时,,则称点是点的限变点.例如:点的限变点是,则点的限变点是____________.若点在二次函数的图象上,则当时,其限变点的纵坐标的取值范围是____________.7.阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化.对数的定义：一般地，若(且)，那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：(，，，)，理由如下：设，，则，，，由对数的定义得又，.请解决以下问题：(1)将指数式转化为对数式__________；(2)求证：(，，，)；(3)拓展运用：计算__________.8.定义如果一个正整数等于两个连续偶数的平方差, 那么称这个正整数为 “奇巧数”.发现数28,32,36 中, 是 “奇巧数” 的是探究已知正奇数的 4 倍一定是 “奇巧数”, 设一个正奇数为 (n为正整数), 请你论证这个结论.9.已知一个三位自然数N, 若满足十位数字与个位数字之和减去百位数字为 0 , 则称这个数为“雪花数”, 并把其十位数字与个位数字的乘积记为. 定义为 “雪花数”, m,n为常数),已知，. 例如: 945，，945是 “雪花数”, ，634，，634不是 “雪花数”.(1)请填空: 817 _______“雪花数”, 527______ “雪花数” (填“是”或“不是”);(2)求出常数m,n的值;(3)已知s 是个位数字不为 1 的 “雪花数”, 其十位数字为, 个位数字为b, 将s的个位数字移到十位上,十位数字移到百位上, 百位数字移到个位上, 得到一个新数, 若s 与的差能被17整除, 求出所有满足条件的s及由这些s两两组合形成的P 的值.答案以及解析1.答案：A解析：，故选A.2.答案：A解析：7 不能表示为两个正整数的平方和, 7不是广义勾股数,故结论①正确., 13是广义勾股数,故结论②正确. 两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数, 如 5 和 10 是广义勾股数, 但是它们的和 15 不是广义勾股数, 故结论③错误 . 两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数, 如 2 和 2 是广义勾股数, 但，4 不是广义勾股数, 故结论④错误. , 即. 又x,y,z均为正整数, 故结论⑤正确. 设正奇数为 (k为正整数), 2 个连续正整数为p,, 由题意得,,,. 又,p,都是正整数, 结论⑥正确. 综上, 正确结论有①②⑤⑥.故选 A.3.答案：C解析:由题意可知,,,即,解得,故（1）正确;,;,,则;故（2）正确m,n均取整数,,的取值为,,,1,2,4;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;故（3）不正确,,,,当时,;故（4）正确;,,,,,,对任意有理数x,y都成立(这里和均有意义),则故（5）正确故选C4.答案：解析：.5.答案：①.②.2解析:（1）根据“拓展带”的定义,互为“拓展带”的两点关于点成中心对称,互为“拓展带”的两点的横坐标互为相反数,纵坐标的平均数等于t,点的“拓展带”坐标为.（2）根据“拓展带”的定义,点M和点N关于点成中心对称,设N点坐标为,则,,解得,,在函数的图象上,,解得.6.答案：①.②.解析:,,,点的限变点是,点在二次函数的图象上,当时,,,当时,,当时,,综上,当时,其限变点的纵坐标n'的取值范围是,故答案为:,.7.答案：(1)(2)证明见解析(3)2解析：(1)解：根据指数与对数关系得：.故答案为：；(2)解：设，，则，，，..(3)解：.故答案为：2.8.答案：见解析解析：发现 28,36，，32不是两个连续偶数的平方差,28,36 是“奇巧数”.探究正奇数的 4 倍为.总能表示为两个连续偶数的平方差,正奇数的 4 倍一定是“奇巧数”.9.答案： (1) 是，不是(2)(3)见解析解析：817，, 817 是“雪花数”;527，,527不是 “雪花数”.(2)，，，①，，，，②联立①②得解得(3) 由 “雪花数” 的定义可知, 由题意可知, s与的差能被 17 整除，能被 17 整除,为 17 的倍数.s为“雪花数”, 且个位数字不为 1 ,，且,，34,51,68 或 85 .若, 则不符合题意;若, 则符合题意;若, 则符合题意;若, 则此时, 不符合题意;若, 则此时, 不符合题意.综上可得或 615 .。
中考数学复习考点题型专题讲解24 新定义与数字类规律探究问题
中考数学复习考点题型专题讲解中考数学复习考点题型专题讲解）专题24 新定义与数字类规律探究问题（重难点培优重难点培优）小题））解答题（（共24小题一．解答题1．（2023秋•北京期中）对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3．（1）﹣3和5关于1的“相对关系值”为8；（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．【分析】（1）根据“相对关系值”的定义直接列式计算即可；（2）根据“相对关系值”的定义列出关于a的方程，解方程即可．【解析】（1）由题意得，|﹣3﹣1|+|5﹣1|＝8．故答案为8；（2）由题意得，|a﹣1|+|2﹣1|＝4，解得，a＝4或﹣2．2．（2023春•梁溪区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空①（3，81）＝4，（﹣2，﹣32）＝5；②若（x，ଵ଼）＝﹣3，则x＝2．（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，探究a，b，c之间的数量关系并说明理由．【分析】（1）①根据有理数的乘方及新定义计算；②根据新定义和负整数指数幂计算；（2）根据题意得4a＝5，4b＝6，4c＝30，根据5×6＝30列出等式即可得出答案．【解析】（1）①∵34＝81，∴（3，81）＝4，∵（﹣2）5＝﹣32，∴（﹣2，﹣32）＝5，故答案为4，5；（2）根据题意得x﹣3=18，∴ଵ௫య=ଵ଼，∴x＝2，故答案为2；（3）a+b＝c，理由如下根据题意得4a＝5，4b＝6，4c＝30，∵5×6＝30，∴4a•4b＝4c，∴4a+b＝4c，∴a+b＝c．3．（2023春•洪泽区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空（3，9）＝2，（4，1）＝0，（2，ଵ଼）＝ ﹣3．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．请你用这种方法证明下面这个等式（3，4）+（3，5）＝（3，20）．【分析】（1）根据定义直接可得（3，9）＝2，（4，1）＝0，（2，ଵ଼）＝﹣3；（2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y，则3x＝4，3y＝5，所以3x+y＝3x•3y，＝20，从而求解．【解答】（1）解因为32＝9，所以（3，9）＝2；因为40＝1，所以（4，1）＝0；因为2﹣3=18，所以（2，ଵ଼）＝﹣3．故答案为2，0，﹣3；（2）证明设（3，4）＝x，（3，5）＝y，则3x＝4，3y＝5，所以3x+y＝3x•3y＝4×5＝20，所以（3，20）＝x+y，所以（3，4）+（3，5）＝（3，20）．4．（2023春•东台市期中）对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，例如（1，3）⊗（2，4）＝1×4﹣2×3+2＝0．（1）求（﹣2，1）⊗（3，5）的值；（2）求（2a+1，a﹣2）⊗（3a+2，a﹣3）的值，其中a2+a+5＝0．【分析】（1）根据（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，可以求得所求式子的值；（2）根据（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，先将所求式子化简，然后再根据a2+a+5＝0，可以得到a2+a＝﹣5，再代入化简后的式子计算即可．【解析】（1）∵（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，∴（﹣2，1）⊗（3，5）＝（﹣2）×5﹣1×3+2＝（﹣10）﹣3+2＝﹣11；（2）∵（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，∴（2a+1，a﹣2）⊗（3a+2，a﹣3）＝（2a+1）（a﹣3）﹣（a﹣2）（3a+2）+2＝2a2﹣5a﹣3﹣3a2+4a+4+2＝﹣a2﹣a+3，∵a2+a+5＝0，∴a2+a＝﹣5，∴原式＝﹣（a2+a）+3＝﹣（﹣5）+3＝5+3＝8．5．（2023春•罗山县期中）观察下列两个等式2−13=2×13+1，5−23=5×23+1，给出定义如下我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）．如数对(2，13)，(5，23)都是“共生有理数对”．（1）判断数对（﹣2，1），(3，12)中，(3，12)是“共生有理数对”；（2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值；（3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） 是 （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”，说明你的理由．【分析】（1）先判断，然后根据题目中的新定义，可以判断（﹣2，1），(3，12)是否为“共生有理数对“；（2）根据新定义可得关于a的一元一次方程，再解方程即可；（3）根据共生有理数对的定义对（﹣n，﹣m）变形即可判断．【解析】（1）（﹣2，1）不是“共生有理数对“，（3，ଵଶ）是“共生有理数对“，理由∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣2+1＝﹣1，∴（﹣2，1）不是“共生有理数对“，∵3−12=52，3×12+1=52，∴（3，ଵଶ）是“共生有理数对”；故答案为(3，12)；（2）由题意，得a﹣3＝3a+1，解得a＝﹣2；（3）是，理由∵m﹣n＝mn+1，∴﹣n﹣（﹣m）＝﹣n+m＝mn+1＝（﹣n）（﹣m）+1，∴（﹣n，﹣m）是共生有理数对．故答案为是．6．（2023秋•成武县期中）【概念学习】现规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把ܽ÷ܽ÷ܽ⋯÷ܽ个（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．︸【初步探究】（1）直接写出计算结果2③＝ଵଶ，（−12）④＝4；（2）下列关于除方说法中，错误的是C．A任何非零数的圈2次方都等于1B对于任何正整数n，1ⓝ＝1C 3④＝4③D负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）试一试 仿照上面的算3，（ଵହ）⑥＝54．（4）想一想 请把有理数﹣2． ．（5）算一算 12ଶൊሺെ13ሻ【分析】（1）根据规定运算（2）根据圈n 次方的意义（3）根据题例的规定，直接（4）根据圈n 次方的规定和（5）先把圈n 次方转化成幂【解析】（1）2③＝2÷2（−12）④＝（െ12）÷（故答案为 ଵଶ，4；（2）∵3④＝3÷3÷3÷3∴3④≠4③． 故选 C ．（3）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷×（−13）＝（െ13）3，（ଵହ）⑥＝（ଵହ）÷（ଵହ）÷面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式 （﹣理数a （a ≠0）的圈n （n ≥3）次方写成幂的形式为)④×(−2ሻ⑥െሺെ13ሻ⑥ൊ3ଷൌ ﹣2．定运算，直接计算即可；意义，计算判断得结论； 直接写成幂的形式即可；规定和（3）的结果，综合可得结论；化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即÷2＝1÷2ൌ12，െ12）÷（െ12）÷（െ12）＝1×2×2＝4； ൌ19，4③＝4÷4÷4ൌ14， ÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（÷（ଵହ）÷（ଵହ）÷（ଵହ）÷（ଵହ）＝1×5×5×53）⑤＝ （െ13）式为a ⓝ＝ （ଵ）n求值即可． （−13）×（െ13）×5＝54；故答案为 （െ13）3，54；（4）（4）a ÷a ÷a ÷…÷a ＝a ×1ܽ×1ܽ×⋯×1ܽ=（ଵ）n ﹣2．故答案为 （ଵ）n ﹣2．（5）原式＝＝122÷32×（ଵଶ）4﹣34÷33＝24×32÷32×（ଵଶ）4﹣3 ＝1﹣3 ＝﹣2． 故答案为 ﹣2．7．（2018秋•长葛市期中）材料一般地，n 个相同的因数a 相乘 ܽ⋅ܽ⋯ܽ︸个记为ܽ．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28＝3）．一般地，若a n＝b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b ＝n ）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381＝4）．问题（1）计算以下各对数的值 log 24＝2，log 216＝4，log 264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为4×16＝64log 24、log 216、log 264之间又满足怎样的关系式 log 24+log 216＝log 264（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M +log a N ＝MN （a ＞o 且a ≠1，M ＞0，N ＞0）．【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律 4×16＝64，log 24+log 216＝log 264； （3）由特殊到一般，得出结论 log a M +log a N ＝log a MN ． 【解析】（1）log 24＝2，log 216＝4，log 264＝6，故答案为2、4、6；（2）4×16＝64，log24+log216＝log264，故答案为4×16＝64，log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a MN，故答案为MN．8．（2023春•邗江区校级月考）概念学习规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a……÷a（n个a，a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．（1）直接写出计算结果2③＝ଵଶ，(−12)⑤=﹣8；（2）将下列运算结果直接写成幂的形式5⑥＝ଵହర；(−12)⑩=28；（3）想一想将一个非零有理数a的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为ଵషమ；（4）算一算42×(−13)④．【分析】根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算．【解析】（1）2③＝2÷2÷2=12；(−12)③=（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）＝﹣8；（2）5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5=154；(−12)⑩=28；（3）aⓝ＝a÷a÷a……÷a=1ܽ݊−2；（4）原式＝16×9＝144．9．（2023秋•滕州市期末）如果x n＝y，那么我们记为（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．（1）根据上述规定，填空（2，8）＝3，（2，ଵସ）＝ ﹣2；（2）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．【分析】（1）这个定义括号内第一个数为底数，第二个数为幂，结果为指数，根据有理数的乘方及负整数指数幂的计算即可；（2）根据定义先求出a，b的值，再求（b，a）的值．【解析】（1）因为23＝8，所以（2，8）＝3；因为2﹣2=14，所以（2，ଵସ）＝﹣2．故答案为3，﹣2；（2）根据题意得a＝42＝16，b3＝8，所以b＝2，所以（b，a）＝（2，16），因为24＝16，所以（2，16）＝4．答（b，a）的值为4．10．（2023秋•六合区期中）类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．（1）直接写出计算结果2③＝ଵଶ，（−12）④＝4；（2）除方也可以转化为幂的形式，如2④＝2÷2÷2÷2＝2×12×12×12=（ଵଶ）2．试将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝ （ଵଷ）2；（ଵଶ）⑩＝28；a ⓝ＝ （ଵ）n ﹣2；（3）计算 22×（−13）④÷（﹣2）③﹣（﹣3）②．【分析】（1）根据除方的定义计算即可； （2）把除法转化为乘法即可得出答案； （3）根据除方的定义计算即可． 【解析】（1）2÷2÷2=12，（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）＝1×（﹣2）×（﹣2）＝4， 故答案为 ଵଶ，4；（2）（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（−13）×（−13）＝（ଵଷ）2，ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ=1×2×2×2×2×2×2×2×2＝28，ܽ÷ܽ÷ܽ÷⋯÷ܽ︸个=1×1ܽ⋅1ܽ⋅⋯⋅1ܽ︸(ିଶ)个1ܽ=（ଵ）n ﹣2，故答案为 (13)ଶ，28，(1ܽ)ିଶ；（3）原式=2ଶ×(−3)ଶ÷(−12)−[(−3)÷(−3)] ＝4×9×（﹣2）﹣1 ＝﹣72﹣1 ＝﹣73．11．（2023秋•海安市月考）已知M （1）＝﹣2，M （2）＝（﹣2）×（﹣2），M （3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，ܯ()=(−2)×(−2)×⋯×(−2)︸个(ିଶ)相乘（n 为正整数）．（1）求2M （2018）+M （2019）的值．（2）猜想2M （n ）与M （n +1）的关系并说明理由． 【分析】（1）根据已知算式即可进行计算；（2）结合（1）将算式变形即可说明2M （n ）与M （n +1）互为相反数． 【解析】（1）2M （2018）+M （2019） ＝2×（﹣2）2018+（﹣2）2019＝2×22018+（﹣2）2019＝22019+（﹣2）2019＝0；（2）2M （n ）与M （n +1）互为相反数，理由如下因为2M （n ）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n +1，M （n +1）＝（﹣2）n +1，所以2M （n ）＝﹣M （n +1），所以2M （n ）与M （n +1）互为相反数．12．（2019秋•崇川区校级期中）如果2b＝n ，那么称b 为n 的布谷数，记为b ＝g （n ），如g（8）＝g （23）＝3．（1）根据布谷数的定义填空 g （2）＝1，g （32）＝5． （2）布谷数有如下运算性质若m ，n 为正数，则g （mn ）＝g （m ）+g （n ），g （）＝g （m ）﹣g （n ）．根据运算性质填空(ర)()=4，（a 为正数）．若g （7）＝2.807，则g （14）＝3.807，g （ସ）＝0.807．（3）下表中与数x 对应的布谷数g （x ）有且仅有两个是错误的，请指出错误的布谷数，要求说明你这样找的理由，并求出正确的答案（用含a ，b 的代数式表示）x316 233 6 9 27g （x ） 1﹣4a +2b 1﹣2a +b2a ﹣b 3a ﹣2b4a ﹣2b 6a ﹣3b【分析】（1）g （32）＝g （25）＝5；g （32）＝g （25）＝5； （2）(ర)()=(⋅⋅⋅)()=ସ()()=4，g （14）＝g （2×7）＝g （2）+g （7），g （ସ）＝g （7）﹣g （4）； （3）g （ଷଵ）＝g （3）﹣4，g （ଶଷ）＝1﹣g （3），g （6）＝g （2）+g （3）＝1+g （3），g（9）＝2g （3），g （27）＝3g （3），当g （3）正确时，有且仅有两个是错误； 【解析】（1）g （2）＝g （21）＝1， g （32）＝g （25）＝5；故答案为1，5； （2）(ర)()=(⋅⋅⋅)()=ସ()()=4，g （14）＝g （2×7）＝g （2）+g （7），∵g （7）＝2.807，g （2）＝1， ∴g （14）＝3.807； g （ସ）＝g （7）﹣g （4）， g （4）＝g （22）＝2，∴g （ସ）＝g （7）﹣g （4）＝2.807﹣2＝0.807； 故答案为4，3.807，0.807； （3）g （ଷଵ）＝g （3）﹣4，g （ଶଷ）＝1﹣g （3），g （6）＝g （2）+g （3）＝1+g （3）， g （9）＝2g （3）， g （27）＝3g （3），从表中可以得到g（3）＝2a﹣b，∴g（ଷଵ）和g（6）错误，∴g（ଷଵ）＝2a﹣b﹣4，g（6）＝1+2a﹣b；13．（2023秋•凌河区校级期中）阅读计算阅读下列各式（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…回答下列三个问题（1）验证（4×0.25）100＝1；4100×0.25100＝1．（2）通过上述验证，归纳得出（ab）n＝a n b n；（abc）n＝a n b n c n．（3）请应用上述性质计算（﹣0.125）2015×22014×42014．【分析】①先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法．②根据有理数乘方的定义求出即可；③根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案．【解析】①（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1，故答案为1，1．②（a•b）n＝a n b n，（abc）n＝a n b n c n，故答案为a n b n，（abc）n＝a n b n c n．③原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125．14．（2017秋•高邮市校级月考）回答下列问题（1）填空①（2×3）2＝36；22×32＝36②（−12×8）2＝16；（−12）2×82＝16③（−12×2）3＝ ﹣1；（−12）3×23＝ ﹣1（2）想一想（1）中每组中的两个算式的结果是否相等？ 是 （填“是”或“不是”）．（3）猜一猜当n为正整数时，（ab）n＝a n b n．（4）试一试（1ଵଶ）2017×（−23）2017＝ ﹣1．【分析】根据已知条件进行计算，然后归纳结论即可．【解析】（1）①（2×3）2＝62＝36；22×32＝4×9＝36．故答案为36，36；②（−12×8）2＝（﹣4）2＝16，（−12）2×82=14×64＝16．故答案为16，16；③（−12×2）3＝（﹣1）3＝﹣1，（−12）3×23=−18×8＝﹣1．故答案为﹣1，﹣1；（2）答案为是．（3）答案为a n b n；（4）（1ଵଶ）2017×（−23）2017＝[ଷଶ×（−23）]2017＝（﹣1）2017＝﹣1．故答案为﹣1．15．（2017秋•兴化市月考）定义 如果10b＝n ，那么称b 为n 的劳格数，记为b ＝d （n ）． （1）根据劳格数的定义，可知 d （10）＝1，d （102）＝2 那么 d （103）＝3．（2）劳格数有如下运算性质若m ，n 为正数，则d （mn ）＝d （m ）+d （n ）； d （）＝d （m ）﹣d （n ）．根据运算性质，填空ௗ(ଶఱ)ௗ(ଶ)=5，若d （3）＝0.48，则d （9）＝0.96，d （0.3）＝ ﹣0.52． 【分析】（1）根据劳格数的定义，可知d （10b）＝b ，即可得解；（2）根据劳格数的运算性质，d （mn ）＝d （m ）+d （n ），计算d （25）＝d （2）+d （2）+d （2）+d （2）+d （2），再求约分即可；根据劳格数的运算性质，d （9）＝d （3×3）＝d （3）+d （3），再将d （3）的值代入即可；根据劳格数的运算性质，d （0.3）＝d （ଷଵ）＝d （3）﹣d （10），再代入d （3）和d （10）的值即可． 【解析】（1）根据劳格数的定义，可知d （103）＝3， 故答案为 3；（2）根据题意，得 d （25）＝d （2）+d （2）+d （2）+d （2）+d （2）， ∴ௗ(ଶఱ)ௗ(ଶ)=ହ×ௗ(ଶ)ௗ(ଶ)=5，d （9）＝d （3×3）＝d （3）+d （3）＝0.48+0.48＝0.96； d （0.3）＝d （ଷଵ）＝d （3）﹣d （10）＝0.48﹣1＝﹣0.52．故答案为 5；0.96；﹣0.52．16．（2023春•阜宁县校级月考）规定 M （1）＝﹣2，M （2）＝（﹣2）×（﹣2），M （3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M （n ）=(−2)×(−2)×(−2)×⋯(−2)︸(ିଶ)．（1）计算M（5）+M（6）；（2）求2×M（2023）+M（2023）的值；（3）试说明2×M（n）与M（n+1）互为相反数．【分析】（1）根据新定义的法则及有理数乘法的法则进行计算即可；（2）根据新定义的法则进行计算，即可得出结果；（3）根据新定义的法则分别计算2×M（n）与M（n+1），即可得出结果．【解析】（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；（2）2M（2023）+M（2023）＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2023＝2×（﹣22023）+22023＝﹣22023+22023＝0；（3）2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，∵﹣（﹣2）n+1与（﹣2）n+1互为相反数，∴2M（n）与M（n+1）互为相反数．17．（2023秋•高邮市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．（1）直接写出计算结果，f （4，ଵଶ）＝4，f （5，3）＝ଵଶ；（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是②．（填序号） ①f （6，3）＝f （3，6）； ②f （2，a ）＝1（a ≠0）；③对于任何正整数n ，都有f （n ，﹣1）＝1； ④对于任何正整数n ，都有f （2n ，a ）＜0（a ＜0）．（3）小明深入思考后发现 “除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a ，n 的式子表示）（4）请利用（3）问的推导公式计算 f （5，3）×f （4，ଵଷ）×f （5，﹣2）×f （6，ଵଶ）． 【分析】（1）根据题意计算即可；（2）①分别计算f （6，3）和f （3，6）的结果进行比较即可； ②根据题意计算即可判断；③分为n 为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断； ④2n 为偶数，偶数个a 相除，结果应为正；（3）推导f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），按照题目中的做法推到即可； （4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算． 【解析】（1）f （4，ଵଶ）=12÷12÷12÷12=4， f （5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=127；故答案为 4；ଵଶ．（2）①f （6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f （3，6）＝6÷6÷6=16， ∴f （6，3）≠f （3，6），故错误； ②f （2，a ）＝a ÷a ＝1（a ≠0），故正确；③对于任何正整数n ，当n 为奇数时，f （n ，﹣1）＝﹣1；当n 为偶数时，f （n ，﹣1）＝1．故错误；④对于任何正整数n ，2n 为偶数，所以都有f （2n ，a ）＞0，而不是f （2n ，a ）＜0（a ＜0），故错误； 故答案为 ②．（3）公式f （n ，a ）＝a ÷a ÷a ÷a ÷…÷a ÷a ＝1÷（a n ﹣2）＝（ଵ）n ﹣2（n 为正整数，a≠0，n ≥2）．（4）f （5，3）×f （4，ଵଷ）×f （5，﹣2）×f （6，ଵଶ） =127×9×（−18）×16=−23．18．（2023秋•诸暨市期中）阅读下列材料 |x |=൞ݔ，ݔ＞00，ݔ=0−ݔ，ݔ＜0，即当x ＜0时，௫|௫|=௫ି௫=−1．用这个结论可以解决下面问题（1）已知a ，b 是有理数，当ab ≠0时，求||+||的值；（2）已知a ，b ，c 是有理数，当abc ≠0时，求||+||+||的值；（3）已知a ，b ，c 是有理数，a +b +c ＝0，abc ＜0，求ା||+ା||+ା||的值．【分析】（1）对a 、b 进行讨论，即a 、b 同正，a 、b 同负，a 、b 异号，根据绝对值的意义计算||+||得到结果；（2）对a 、b 、c 进行讨论，即a 、b 、c 同正、同负、两正一负、两负一正，然后计算||+||+||得结果；（3）根据a ，b ，c 是有理数，a +b +c ＝0，把求ା||+ା||+ା||转化为求ି||+ି||+ି||的值，根据abc＜0得结果．【解析】（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，①a＜0，b＜0，||+||=−1﹣1＝﹣2；②a＞0，b＞0，||+||=1+1＝2；③a，b异号，||+||=0．故||+||的值为±2或0．（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，①a＜0，b＜0，c＜0，||+||+||=−1﹣1﹣1＝﹣3；②a＞0，b＞0，c＞0，||+||+||=1+1+1＝3；③a，b，c两负一正，||+||+||=−1﹣1+1＝﹣1；④a，b，c两正一负，||+||+||=−1+1+1＝1．故||+||+||的值为±1，或±3．（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0．所以b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a，b，c两正一负，所以ା||+ା||+ା||=−ܽ|ܽ|+−ܾ|ܾ|+−ܿ|ܿ|＝﹣[||+||+||]＝﹣1．19．（2023秋•泗洪县校级月考）用符号M表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下M （1）＝﹣2，M （2）＝﹣1，M （3）＝0，M （4）＝1… M （ଵଶ）=−14，M （ଵଷ）=−19，M （ଵସ）=−116，… 利用以上规律计算（1）M （28）×M （ଵହ）；（2）﹣1÷M （39）÷[﹣M （ଵ）]．【分析】（1）根据M （1）＝﹣2，M （2）＝﹣1，M （3）＝0，M （4）＝1…，可得M （n ）＝n ﹣3，根据M （ଵଶ）=−14，M （ଵଷ）=−19，M （ଵସ）=−116，…，可得M （ଵ）＝﹣（ଵ）2，再根据有理数的乘法，可得答案；（2）根据M （1）＝﹣2，M （2）＝﹣1，M （3）＝0，M （4）＝1…，可得M （n ）＝n ﹣3，根据M （ଵଶ）=−14，M （ଵଷ）=−19，M （ଵସ）=−116，…，可得M （ଵ）＝﹣（ଵ）2，再根据有理数的除法，可得答案．【解析】（1）原式＝（28﹣3）×[﹣（ଵହ）2]＝25×（−125）＝﹣1；（2）原式＝﹣1÷（39﹣3）÷{﹣[﹣（ଵ）2]} ＝﹣1×136×36 ＝﹣1．20．（2019秋•曲靖期末）阅读理解 李华是一个勤奋好学的学生，他常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是他从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是 “头尾一拉，中间相加，满十进一”例如 ①24×11＝264．计算过程 24两数拉开，中间相加，即2+4＝6，最后结果264；②68×11＝748．计算过程 68两数分开，中间相加，即6+8＝14，满十进一，最后结果748．（1）计算 ①32×11＝352，②78×11＝858；（2）若某个两位数十位数字是a，个位数字是b（a+b＜10），将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是a，十位数字是a+b，个位数字是b；（用含a、b的代数式表示）（3）请你结合（2）利用所学的知识解释其中原理．【分析】（1）根据口诀“头尾一拉，中间相加，满十进一”即可求解；（2）由（1）两位数十位数字是a，个位数字是b，将这个两位数乘11，得到一个三位数即可得结果；（3）结合（2）可得11（10a+b）＝10（10a+b）+（10a+b）＝100a+10b+10a+b＝100a+10（a+b）+b．【解析】（1）①∵3+2＝5∴32×11＝352②∵7+8＝15∴78×11＝858故答案为352，858．（2）两位数十位数字是a，个位数字是b，这个两位数乘11，∴三位数百位数字是a，十位数字是a+b，个位数字是b．故答案为a，a+b，b．（3）两位数乘以11可以看成这个两位数乘以10再加上这个两位数，若两位数十位数为a，个位数为b，则11（10a+b）＝10（10a+b）+（10a+b）＝100a+10b+10a+b＝100a+10（a+b）+b根据上述代数式，可以总结出规律口诀为“头尾一拉，中间相加，满十进一”．21．（2023秋•魏都区校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示知道|2|＝|2﹣0|，它在数轴上|5﹣2|可理解为5与2两数在表示5与﹣2两数在数轴上（1）数轴上表示3和﹣（2）探索①若|x ﹣4|＝3，则x ＝1②若使x 所表示的点到表示2、1、0、﹣1．（3）进一步探究 |x +1|+|（4）能力提升 当|x +1+|【分析】（1）根据材料可得（2）①根据材料判断式子的②根据距离可直接得到（3）通过材料及前两问的解（4）通过材料及前几问的解式子有最小值时，x ＝4【解析】（1）根据材料可得|；故答案为 |3﹣（﹣1）|（2）①根据材料可知|x ∴x ＝1或7； 故答案为 1或7；②由题意可知x所表示的整揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合数轴上的意义是表示数2的点与原点（即表示0的点两数在数轴上所对应的两点之间的距离 |5+2|可以看作数轴上所对应的两点之间的距离．1的两点之间的距离的式子是|3﹣（﹣1）|． 或7．到表示4和﹣1的点的距离之和为5．所有符合条件的1|+|x ﹣6|的最小值为7．x ﹣4+|x ﹣9|的值最小时，x 的值为4．料可得结果；式子的意义，然后得出x 的值； x 的取值；问的解答可知|x +1|+|x ﹣6|的最小值就是|﹣1﹣6|；问的解答可知|x +1+|x ﹣4+|x ﹣9|中x 表示到﹣1、4．料可得 数轴上表示3和﹣1的两点之间的距离的式子；﹣4|＝3中x 表示到﹣4的距离等于3的点对应的数示的整数为4、3、2、1、0、﹣1；结合”的基础，我们的点）之间的距离，以看作|5﹣（﹣2）|，条件的整数为4、3、、9的距离之和，的式子是|3﹣（﹣1）应的数，故答案为4、3、2、1、0、﹣1；（3）根据材料可知|x+1|+|x﹣6|中x表示到﹣1和6的距离之和，∴|x+1|+|x﹣6|的最小值为7；故答案为7；（4）根据材料可知|x+1+|x﹣4+|x﹣9|中x表示到﹣1、4、9的距离之和，∴当x＝4时，式子有最小值；故答案为4．22．（2018秋•雄县期中）已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．（1）对照数轴填写下表a 4 ﹣6 ﹣6 ﹣10 ﹣1.5b 6 0 ﹣4 2 ﹣1.5A、B两点的距离 2 6 2 12 0（2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b（a≤b）有何数量关系；（3）写出数轴上到﹣1和1的距离之和为2的所有整数；（4）若x表示一个有理数，求|x﹣1|+|x+3|的最小值．【分析】（1）由AB＝|a﹣b|即可求解；（2）由d＝|a﹣b|，又知b＞a，化简可得d＝b﹣a；（3）设数轴上一点为x，由﹣1与1的距离为2，可确定﹣1≤x≤1，求出符合条件的整数x即可；（4）由1与﹣3的距离为4，即可求|x﹣1|+|x+3|的最小值为4．【解析】（1）a＝﹣6，b＝0，则AB＝|﹣6﹣0|＝6，a＝﹣6，b＝﹣4，则AB＝|﹣6﹣（﹣4）|＝2，a＝﹣10，b＝2，则AB＝|﹣10﹣2|＝12，故答案为6，2，12；（2）∵a≤b，∴d＝|a﹣b|＝b﹣a；（3）设数轴上一点为x，∵数轴上点x到﹣1和1的距离之和为2，∴|x+1|+|x﹣1|＝2，∵﹣1与1的距离为2，∴﹣1≤x≤1，∵x是整数，∴x＝﹣1，0，1，∴数轴上到﹣1和1的距离之和为2的整数有﹣1，0，1；（4）|x﹣1|+|x+3|表示数轴上点x到1和﹣3的距离和最小，∵1与﹣3的距离为4，∴|x﹣1|+|x+3|的最小值为4．23．（2023秋•攀枝花期中）我们知道|4﹣（﹣1）|表示4与﹣1的差的绝对值，实际上也可以理解为4与﹣1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可以理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，|5+3|＝|5﹣（﹣3）|表示5、﹣3之间的距离．一般地，A，B两点在数轴上表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可以表示为|a﹣b|．试探索．（1）若|x﹣3|＝7，则x＝ ﹣4或10；（2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣2，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示﹣4的点与表示6的点重合；（3）计算|x﹣4|+|x+1|＝7．【分析】（1）根据题意给出的定义即可求出答案．（2）设表示﹣4的点与表示x的点重合，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到所求；（3）分类讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出x的值．【解析】（1）∵|x﹣3|＝7，∴x﹣3＝7或x﹣3＝﹣7，解得x＝10或x＝﹣4；故答案为﹣4或10；（2）设表示﹣4的点与表示x的点重合，根据题意得ିଶାସଶ=1，∴ିସା௫ଶ=1，解得x＝6；故答案为6；（3）①当x＜﹣1时；（﹣x+4）+（﹣x﹣1）＝7，则x＝﹣2；②当﹣1≤x≤4时；（x﹣4）+（﹣x﹣1）＝7，则﹣5＝7，无解；③当x≥4时；（x﹣4）+（x+1）＝7，则x＝5，综上，x＝﹣2或5．24．（2023秋•玄武区校级月考）已知数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，请回答问题（1）①若a＝3，b＝2，则A、B两点之间的距离是1；②若a＝﹣3，b＝﹣2，则A、B两点之间的距离是1；③若a＝﹣3，b＝2，则A、B两点之间的距离是5；（2）若数轴上A、B两点之间的距离为d，则d与a、b满足的关系式是d＝|a﹣b|；（3）若|3﹣2|的几何意义是数轴上表示数3的点与表示数2的点之间的距离，则|2+5|的几何意义数轴上表示数2的点与表示数﹣5的点之间的距离；（4）若|a|＜b，化简|a﹣b|+|a+b|＝2b．【分析】（1）计算出两数差的绝对值即可；（2）两点间的距离等于两数差的绝对值；（3）根据|2+5|＝|2﹣（﹣5）|，即可判断；（4）先化简每一个绝对值，然后再进行计算．【解析】（1）①|3﹣2|＝1，②|﹣3﹣（﹣2）|＝1，③|﹣3﹣2|＝5；（2）d＝|a﹣b|；（3）∵|2+5|＝|2﹣（﹣5）|，∴|2+5|的几何意义数轴上表示数2的点与表示数﹣5的点之间的距离；（4）∵|a|＜b，∴a﹣b＜0，a+b＞0，∴|a﹣b|+|a+b|＝b﹣a+a+b＝2b；故答案为（1）①1，②1，③5；（2）d＝|a﹣b|；（3）数轴上表示数2的点与表示数﹣5的点之间的距离；（4）2b．。
2024中考数学新定义及探究题专题 《圆与新定义》 (含解析)
2024中考数学新定义及探究题专题《圆与新定义》（学生版）通用的解题思路：①对于圆中角度之间的等量关系，主要是两个方面：一是同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，二是圆内接四边形中外角等于内角的对角。
②对于求圆中的线段长度，主要从两个方向着手，首先看是否可以用垂径定理构建直角三角形，用勾股定理来求线段的长度；如果勾股定理行不通，则尝试着去找相似三角形，用相似三角形的对应线段成比例来求线段的长度。
1．（长沙中考）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB≠CD ，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①S =1S 2S +；②S 3S 4S +“十字形”ABCD 的周长为10．2．（一中）定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若2AD BD CD=⋅，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.（1）如图2，△ABC的顶点是43⨯网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.（2）△ABC中，BC=9，4tan3B=，2tan3C=，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长.（3）如图3，△ABC是O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交O于点D．①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”.②若O的半径为9，∠ABD=90°，OH=6，请直接写出CHDH的值.3．（青竹湖）我们不妨定义：有两边之比为1“勤业三角形”．(1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号）①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30︒角的直角三角形；④含120︒角的等腰三角形．(2)如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AC为直径，D为AB上一点，且2BD AD=，作DE OA⊥，交线段OA于点F，交⊙O于点E，连接BE交AC于点G．试判断△AED和△ABE是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出EDBE的值；如果不是，请说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求BED∠的余弦值．4．（华益）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在ABC 中，AD 为边BC 上的中线，ABD △与ABC 相似，那么称ABC 为关于边BC 的“华益美三角”．(1)如图2，在ABC 中，BC =，求证：ABC 为关于边BC 的“华益美三角”；(2)如图3，已知ABC 为关于边BC 的“华益美三角”，点D 是ABC 边BC 的中点，以BD 为直径的⊙O 恰好经过点A ．①求证：直线CA 与O 相切；②若O 的直径为，求线段AB 的长；(3)已知ABC 为关于边BC 的“华益美三角”，4BC =，30B ∠=︒，求ABC 的面积．5．（华益）约定：三角形的一条中线将三角形分成两个小三角形，如果其中的一个小三角形与原三角形相似，那么称原三角形为“华益三角”，这条中线叫做原三角形的“华益中线”，这条中线所在的边叫做“华益边”，原三角形与小三角形的相似比叫做“华益比”．(1)如图1，已知CD 是ABC 边AB 上的中线，若ABC ACD ∽，那么ABC 就是“华益三角”，中线CD 是ABC 的“华益中线”，边AB 就是ABC 的“华益边”．爱思考的你们一定能发现：“华益三角”的“华益比”总是一个定值，以图1为例，求出“华益比”；(2)如图2，已知在ABC 中，45,1AB A AC ∠=︒+，求证：ABC 是“华益三角”；(3)如图3，已知ABC 是“华益三角”，边AB 是ABC 的“华益边”，ABC 的外接圆O 的半径是2．①若A ∠是一个锐角，求sin BC A的值；②记2,AB x BC ==，若1x =，求y 的值．6．（北雅）如图1，⊙O 的半径为r （0r >），若点P '在射线OP 上，满足2OP OP r '⋅=，则称点P '是点P 关于⊙O 的“反演点”．(1)若点A 关于⊙O 的“反演点”是本身，那么点A 与⊙O 的位置关系为（）A ．点A 在⊙O 内B ．点A 在⊙O 上C ．点A 在⊙O 外(2)如图1，若⊙O 的半径为4，点P '是点P 关于⊙O 的“反演点”，且6PP '=，过点P 的直线与⊙O 相切于点Q ，求PQ 长．(3)如图2，若⊙O 的半径为4，点Q 在⊙O 上，点A 在⊙O 内，且2OA =，点Q '、A '分别是点Q 、A 关于⊙O 的“反演点”，过点A '作A B A O '⊥'且A B A O '='，连接BQ '，Q A ''，求12BQ Q A ''+'的最小值．7．（青竹湖）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”．如图1，在△ABC 和DEF 中，若90A E B D ∠+∠=∠+∠=︒，且AB DE =，则△ABC 和DEF 是“青竹三角形”．45BAC ACD ∴∠=∠=︒（1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．（2）如图2，△ABC ，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），设AD 、BD 、CD 的长分别为a 、b 、c ，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a 、b 的式子来表示2c ；（3）如图3，⊙O 的半径为4，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且△ABC 和△ADC 是“青竹三角形”．①求22AD BC +的值；②若BAC ACD ∠=∠，75ABC ∠=︒，求△ABC 和△ADC 的周长之差．8．（中雅）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“雅近值”，记为d（M，N），特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）＝0．(1)如图1，⊙O的半径为2，①点A（1，0），B（3，4），则d（A，⊙O）＝______，d（B，⊙O）＝______．②已知直线l：y＝43x+4与⊙O，求直线l与⊙O的雅近值d（l，⊙O）．(2)如图2，C为x轴正半轴上的一点，⊙C的半径为1，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交于点D，与y轴交于点E．①若a，b，线段DE与⊙C的“雅近值”d（DE，⊙O）＜12，请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围；②若b＝C的横坐标m DE与⊙C的“雅近值”d（DE，⊙C）＝0，求a的取值范围．9．（广益）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号）①矩形；②菱形；③正方形（2）如图1，Rt ABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，3sin5C ，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长．（3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．10．（雅礼）圆内各几何要素之间存在一定的数量关系和位置关系，这也是国内外数学家感兴趣的研究对象，其中就有对角线互相垂直的圆内接四边形．我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“雅系四边形”．(1)若平行四边形ABCD 是“雅系四边形”，则四边形ABCD 是______（填序号）；①矩形；②菱形；③正方形(2)如图，四边形ABCD 内接于圆，P 为圆内一点，90APD BPC ∠=∠=︒，且ADP PBC ∠=∠，求证：四边形ABCD 为“雅系四边形”；(3)在（2）的条件下，3BD =，且AB =．①当DC =时，求AC 的长度；②当DC 的长度最小时，请直接写出tan ADP ∠的值．11．（青竹湖）定义：有一组对角互补且一组邻边相等的四边形叫做“完美四边形”．(1)如图1，四边形ABCD 是O 的内接四边形，且对角线BD 平分ABC ∠，四边形ABCD _______（填“是”或者“不是”）“完美四边形”，若90ABC ∠=︒，且2AD =，则O 的直径为；(2)如图2，四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥于E ，AD BE AE +=．求证：四边形ABCD 为“完美四边形”；(3)如图3，在“完美四边形”ABCD 中，AB AD =，8AC =，60BAD ∠=︒，对角线AC 与BD 相交于点P ，设BC x =，CP y =，求y 与x 的函数关系式，并求y 的最大值．12．（师大附中）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60︒，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．(1)①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有；②若矩形ABCD 是“美丽四边形”，且3AB =，则BC =；(2)如图1，“美丽四边形”ABCD 内接于⊙O ，AC 与BD 相交于点P ，且对角线AC 为直径，15AP PC ==，，求另一条对角线BD 的长；(3)如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD 的四个顶点()()3020A C -，、，，B在第三象限，D 在第一象限，AC 与BD 交于点O ，且四边形ABCD 的面积为函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）的图象同时经过这四个顶点，求a 的值．2024中考数学新定义及探究题专题《圆与新定义》（解析版）通用的解题思路：①对于圆中角度之间的等量关系，主要是两个方面：一是同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，二是圆内接四边形中外角等于内角的对角。
专题72 三角形中的新定义问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-新定义问题
例题精讲【例1】．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝1；（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是0＜sadA＜2；（3）如图，已知cos A＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°＝＝1．故答案为：1．（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为0＜sadA＜2．（3）如图，过B作BD⊥AC于D．在Rt△ABD中，cos A＝＝．设AD＝4k，AB＝5k，则BD＝3k，∴DC＝5k﹣4k＝k．在Rt△BDC中，BC＝＝k，∴sadA＝＝．变式训练【变1-1】．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，则△ABC的面积为4或2．解：∵△ABC是“倍角三角形”，∴分四种情况：当∠A＝2∠B＝90°时，∴∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵BC＝4，∴AB＝AC＝＝＝2，∴△ABC的面积＝AB•AC＝×2×2＝4；当∠A＝2∠C＝90°时，同理可得：△ABC的面积为4；当∠B＝2∠C时，∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵∠B＝2∠C，∴∠C＝30°，∠B＝60°，∵BC＝4，∴AB＝BC＝2，AC＝AB＝2，∴△ABC的面积＝AB•AC＝×2×2＝2；当∠C＝2∠B时，∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵∠C＝2∠B，∴∠B＝30°，∠C＝60°，∵BC＝4，∴AC＝BC＝2，AB＝AC＝2，∴△ABC的面积＝AB•AC＝×2×2＝2；综上所述：△ABC的面积为4或2，故答案为：4或2．【变1-2】．定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“奇妙三角形”（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD．在△ABC中，∵∠ACB＝80°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，即∠A+2∠ABD＝100°，∴△ABD为“奇妙三角形”．（2）证明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，∵△ABC为“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，∴∠B＝10°或∠A＝10°，当∠B＝10°时，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．当∠A＝10°时，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．由此证得，△ABC是直角三角形．（3）解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵△ABD为“奇妙三角形”，∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，①当∠A+2∠ABD＝100°时，∠ABD＝（100°﹣40°）÷2＝30°，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，∴∠C＝80°；②当2∠A+∠ABD＝100°时，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，∴∠C＝100°；综上得出：∠C的度数为80°或100°．【例2】．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．【理解概念】（1）顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”．（填“是”或“不是”）【巩固新知】（2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数．【解决问题】（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长．解：（1）∵等腰三角形的顶角为120°，∴等腰三角形的两个底角度数分别为30°，30°，∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”；（2）∵△ABC是“准等边三角形”，∠A＝35°，∠C＞90°，∴分两种情况：当∠C﹣∠A＝60°时，∴∠C＝∠A+60°＝95°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°；当∠C﹣∠B＝60°时，∵∠A＝35°，∴∠C+∠B＝180°﹣∠A＝145°，∴2∠B＝85°，∴∠B＝42.5°；综上所述：∠B的度数为50°或42.5°；（3）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，AB＝2BC＝2+2，∵△BCD是“准等边三角形”，∴分两种情况：当∠C﹣∠CBD＝60°时，∴∠CBD＝∠C﹣60°＝30°，∴BD＝2CD，∵CD2+BC2＝BD2，∴CD2+（1+）2＝（2CD）2，解得：CD＝或CD＝﹣（舍去），∴BD＝2CD＝；当∠BDC﹣∠CBD＝60°时，过点D作DE⊥AB，垂足为E，∵∠C＝90°，∴∠BDC+∠CBD＝90°，∴2∠BDC＝150°，∴∠BDC＝75°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BE＝DE，BD＝DE，设DE＝BE＝x，在Rt△ADE中，∠A＝30°，∴AE＝DE＝x，∵BE+AE＝AB，∴x+x＝2+2，解得：x＝2，∴BE＝DE＝2，∴BD＝DE＝2；综上所述：BD的长为或2．变式训练【变2-1】．新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示，△ABC中AF、BE是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE＝30°，AB＝6，那么此时AC的长为3．解：如图，∵AF⊥BE，∴∠APB＝∠APE＝90°，在Rt△ABP中，∵∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝3，BP＝AP＝3，∵AF、BE是中线，∴AE＝CE，点P为△ABC的重心，∴PE＝BP＝，在Rt△APE中，AE＝＝，∴AC＝2AE＝3．故答案为3．【变2-2】．【了解概念】定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形为半线三角形，这条中线叫这条边的半线．【理解运用】（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，试判断△ABC是否为半线三角形，并说明理由；【拓展提升】（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，M为△ABC外一点，连接MB，MC，若△ABC和△MBC均为半线三角形，且AD和MD分别为这两个三角形BC边的半线，求∠AMC的度数；（3）在（2）的条件下，若MD＝，AM＝1，直接写出BM的长．解：（1）△ABC是半线三角形，理由如下：取BC得中点D，连接AD，∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴AD＝AB，∴△ABC是半线三角形．（2）过点A作AN⊥AM交MC于点N，如图，∵MD为△MBC的BC边的半线，∴MD＝BC＝BD＝CD，∴∠DBM＝∠DMB，∠DMC＝∠DCM，∴∠BMC＝90°，同理∠BAC＝90°，又∵∠MOB＝∠AOC，∴∠MBA＝∠MCA，∵∠MAN＝∠BAC＝90°，∴∠MAB＝∠NAC．∵AB＝AC，∴△MAB≌△NAC（ASA），∴AM＝AN，又∵∠MAN＝90°，∴∠AMC＝∠ANM＝45°．（3）由题意可知，BC＝2MD＝3，由（2）知△MAB≌△NAC（ASA），∴MB＝NC，AM＝AN＝1，∴MN＝，在Rt△MBC中，由勾股定理可得，MB2+MC2＝BC2，∴MB2+（+MB）2＝32，解得，MB＝2﹣（负值舍去）．故MB的值为2﹣．1．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为42°或84°或92°．解：①42°角是α，则友好角度数为42°；②42°角是β，则α＝2β＝84°，∴友好角α＝84°；③42°角既不是α也不是β，则α+β+42°＝180°，所以，α+α+42°＝180°，解得α＝92°，综上所述，友好角度数为42°或84°或92°．故答案为：42°或84°或92°．2．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中α称为“奇妙角”．如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60°，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为30°，90°或40°，80°．解：由题意得：①当60°的角为“奇妙角”时，有另一个角为30°，∴第三个内角为180°﹣60°﹣30°＝90°；②当60°的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为∠1，∠2，且∠1＝2∠2，有∠1+∠2+60°＝180°，即2∠2+∠2＝120°，解得：∠2＝40°，故∠1＝80°．综上所述：这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为30°，90°或40°，80°．故答案为：30°，90°或40°，80°．3．新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，如果准外心P在BC边上，那么PC的长为4或．解：在Rt△ABC中，∵C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，若PB＝PA，连接PA，设PC＝x，则PA＝PB＝8﹣x，在Rt△PAC中，∵PA2＝CP2+AC2，∴（8﹣x）2＝x2+62，∴x＝，即PC＝，若PB＝PC，则PC＝4，若PA＝PC，由图知，在Rt△PAC中，不可能，故PC的长为：4或．故答案是：4或．4．定义：锐角三角形三条高的垂足形成的三角形称为垂足三角形．在锐角三角形ABC的每条边上各取一点D，E，F，△DEF称为△ABC的内接三角形．垂足三角形的性质：在锐角三角形ABC的所有内接三角形中，周长最短的三角形是它的垂足三角形．已知，在△ABC中，点D，E，F分别为AB，BC，AC上的动点，AB＝AC＝5，BC＝6，则△DEF周长的最小值为．解：∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BE＝CE＝3，∴AE＝＝4，∵CD⊥AB，BF⊥AC∴DE＝EF＝BC＝3，＝AC•BF＝BC•AE，∵S△ABC∴BF＝，∴CF＝＝，∴AF＝，∵△ADF∽△ABC，∴＝，∴DF＝，∴△DEF的周长的最小值＝3+3+＝．故答案为：．5．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①在△ABC中，AB ＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝1．（2）sad90°＝．（3）如图②，已知sin A＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．解：（1）sad60°＝1；（2）sad90°＝；（3）设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝4a，在AB上取AD＝AC＝4a，作DE⊥AC于点E，如图所示：则DE＝AD•sin A＝4a•＝，AE＝AD•cos A＝4a•＝，CE＝4a﹣＝，a，∴sadA＝．6．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）如图①，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，判断△DAB与△EBC是否相似：是（填“是”或“否”）；（2）如图②，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，则△ABC的三分线的长为和．解：（1）是，故答案为：是；（2）如图3所示，CD、AE就是所求的三分线．设∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y＝2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2：x＝（x+y）：2，所以联立得方程组，解得，即三分线长分别是和．故答案为：和．7．概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用：（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．动手操作：（3）在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的∠ACB 的度数．解：（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；（2）在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°∵CD为角平分线，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，∴CD＝DA，在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，∴∠BDC＝∠ACB，∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，∴CD为△ABC的等角分割线；（3）当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠BDC＝50°+50°＝100°，当△ACD是等腰三角形，如图3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝65°，∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝50°+65°＝115°，当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝＝，∴∠ACB＝，当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，设∠BDC＝∠BCD＝x，则∠B＝180°﹣2x，则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，由题意得，180°﹣2x+50°＝x，解得，x＝，∴∠ACD＝180°﹣2x＝，∴∠ACB＝，综上所述：∠ACB的度数为100°或115°或或．8．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac+a2＝b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：（1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假（填“真”或“假”）命题．（2）如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数．（3）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A，求证：△ABC为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在AB上找一点D使得AD＝CD，再作CE⊥BD，请你帮助志明完成证明过程.（1）解：在类勾股△ABC中，ab+a2＝c2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：b2+a2＝c2，∴ab+a2＝b2+a2，∴a＝b，∴当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形，∴命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题，故答案为：假；（2）解：∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c，∵△ABC是类勾股三角形，∴ac+a2＝b2，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°；（3）证明：∵AD＝CD，∴∠ACD+∠A，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，∵∠B＝2∠A，∴∠CDB＝∠B，∴CD＝CB＝a，∵∠ACD＝∠A，∴AD＝CD＝a，∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，∵CE⊥AB，∴DE＝BE＝（c﹣a），∴AE＝AD+DE＝a+（c﹣a）＝（a+c），在Rt△ACE中，CE2＝AC2﹣AE2＝b2﹣[（c+a）]2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2﹣BE2＝a2﹣[（c﹣a）]2，∴b2﹣[（a+c）]2＝a2﹣[（c﹣a）]2，∴b2＝ac+a2，∴△ABC是“类勾股三角形”．9．我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC中，AB＝AC，的值为△ABC的正度．已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC边上的动点（D与A，B，C不重合）．（1）若∠A＝90°，则△ABC的正度为；（2）在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD，保留作图痕迹；若△ACD的正度是，求∠A的度数．（3）若∠A是钝角，如图2，△ABC的正度为，△ABC的周长为22，是否存在点D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，说明理由．解：（1）若∠A＝90°，，则△ABC的正度为，故答案为：；（2）用尺规作出等腰△ACD，如图1，作AC的中垂线交AB于点D，交AC于点E．∴AD＝CD，DE⊥AC，AC＝2AE．∵△ACD的正度是，∴，∴，∴．在Rt△ADE中，设AD＝x，AE＝x，∴．∴DE＝AE．∴△ADE是等腰直角三角形．∴∠A＝45°．（3）存在点D，使△ACD具有正度．∵△ABC的正度为，△ABC的周长为22，∴．设AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x．∵△ABC的周长为22，∴3x+5x+3x＝22．∴x＝2．∴AB＝6，AC＝6，BC＝10，作AH⊥BC于H，则BH＝CH＝5，∴AH＝．①当AD＝DC时，如图2所示，设AD＝DC＝y，则HD＝5﹣y，由AH2+HD2＝AD2，得11+（5﹣y）2＝y2．解得y＝，即AD＝．∴△ACD的正度为．②当AC＝DC＝6时，如图3所示，DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1，∴DA＝．∴△ACD的正度为．综上所述，△ACD的正度为或．10．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有②③（只填写序号）．①顶角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一个角是30°的直角三角形．（2）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE．①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”；②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数．（1）解：若顶角是30°的等腰三角形，∴两个底角分别为75°，75°，∴顶角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，若等腰直角三角形，∴三个角分别为45°，45°，90°，∵90°＝2×45°，∴等腰直角三角形是“倍角三角形”，若有一个是30°的直角三角形，∴另两个角分别为60°，90°，∵60°＝2×30°，∴有一个30°的直角三角形是“倍角三角形”，故答案为：②③；（2）①证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD，∴∠BAE＝2∠ADB，∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴∠E＝∠ADB，∴∠BAE＝2∠E，∴△ABE是“倍角三角形”；②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°，如图，若△ABP是等腰三角形，则△BPE是“倍角三角形”，∴△ABP是等边三角形，∴∠APB＝60°，∴∠BPE＝120°，∵△BPE是“倍角三角形”，∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP，∴∠BEP＝20°或40°；若△BPE是等腰三角形，则△ABP是“倍角三角形”，∴∠ABP＝∠BAP＝30°或∠APB＝∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠ABP，∴∠APB＝90°或30°或40°或80°，∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°，∵△BPE是等腰三角形，∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°，综上所述：∠BPE的度数为45°或15°或20°或40°．11．定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．探究：（1）如图甲，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为S N．①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜S n＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）②当n＞1时，请写出一个反映S n﹣1，S n，S n+1之间关系的等式．（不必证明）解：（1）如图：割线CD就是所求的线段．理由：∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90°，∴△BCD∽△ACB．（2）①△DEF经N阶分割所得的小三角形的个数为，∴S n＝．当n＝5时，S5＝≈9.77，当n＝6时，S6＝≈2.44，当n＝7时，S7＝≈0.61，∴当n＝6时，2＜S6＜3．②S n2＝S n﹣1×S n+1．12．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB边上的所有“好点”点D；（2）△ABC中，BC＝7，，tan C＝1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD 的长；（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连结CH并延长交⊙O于点D．若点H是△BCD中CD边上的“好点”．①求证：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r＝3OH，求的值．解：（1）如图1，斜边AB的中点D与斜边AB上的高CD'的垂足D'均为AB边长的“好点”．（2）如图2，作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，tan B＝，∴设AE＝3a，BE＝4a，tan C＝，∴CE＝AE＝3a，∴3a+4a＝7，∴a＝1，∴AE＝CE＝3，BE＝4，∴AB＝5，设BD＝x，∴DE＝|4﹣x|，在Rt△ADE中，由勾股定理得，AD2＝DE2+AE2＝（4﹣x）2+32，∵点D是BC边上的“好点”，∴AD2＝BD•CD＝x•（7﹣x），∴x•（7﹣x）＝（4﹣x）2+32，∴x1＝5，x2＝，即BD＝5或．（3）如图3，①证明：∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，∴BH2＝CH•HD，∵∠CAB＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，∴△ACH∽△DBH，∴，∴CH•HD＝AH•BH，∴BH2＝AH•BH，∴AH＝BH，∴OH⊥AB；②连接AD，设OH＝a，则OA＝3a，由①知，OH⊥AB，又∵OH∥BD，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∴OA＝OD＝3a，在Rt△AOH中，由勾股定理得，AH＝，∵AH＝BH＝，OA＝OD，∴BD＝2a，在Rt△BDH中，由勾股定理得，DH＝＝，由BH2＝CH•DH得：，∴CH＝，∴．13．定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足∠1＝∠2，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；定义2：如图2，在△ABC中，△PQR的三个顶点P、Q、R分别在BC，AC、AB上，若RP和QP关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，则称△PQR为△ABC的光线三角形．阅读以上定义，并探究问题：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，△DEF三个顶点D、E、F分别在BC、AC，AB上．（1）如图3，若FE∥BC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求∠EDC的度数；（2）如图4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D．①证明：△DEF为△ABC的光线三角形；②证明：△ABC的光线三角形是唯一的．（1）解：如图3中，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠B＝∠C＝75°，∵EF∥CB，∴∠AEF＝75°，∵DE和FE关于AC满足“光学性质”，∴∠AEF＝∠DEC＝75°，∴∠EDC＝180°﹣∠DEC﹣∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°；（2）①证明：如图4中，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠B＝∠ACB＝75°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝DE，∵CF⊥AB，∴∠CFB＝90°，∵DB＝DC，∴DF＝DB＝DC，∴DF＝DB＝DE＝DC，∴∠B＝∠DFB＝75°，∠DCE＝∠DEC＝75°，∴∠FDB＝∠EDC＝30°，∴DF，DE关于BC满足光学性质，∵∠DEF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE＝30°，∴∠DEF＝∠EDC，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠ACB＝75°，∠AFE＝∠B＝75°，∴∠AFE＝∠DFB＝75°，∠AEF＝∠DEC＝75°，∴FE，DE关于AC满足光学性质，EF，DF关于AB满足光学性质，∴△DEF是为△ABC的光线三角形；②证明：由①可知，DE＝DF＝DB＝DC，∠EDF＝120°，∴△DFE是顶角为120°，腰长为BC的一半的等腰三角形，∴△DEF是唯一确定的，∴△ABC的光线三角形是唯一的．14．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．（1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明．（2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E 均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．（3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由．（1）解：∠BAD+∠BAC＝∠BAE，理由如下：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC＝∠BAE；（2）证明：如图②，过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∵AG⊥DM，AH⊥EM，∴AG＝AH，∵AG⊥DM，AH⊥EM，∴AM平分∠BME．（3）∠B+∠C＝180°，理由如下：如图③，延长DC至点P，使DP＝AD，∵∠ADP＝60°，∴△ADP为等边三角形，∴AD＝AP，∠DAP＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAP，在△BAD和△CAP中，，∴△BAD≌△CAP（SAS），∴∠B＝∠ACP，∵∠ACD+∠ACP＝180°，∴∠B+∠ACD＝180°．15．我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形是2倍角三角形．（1）定义应用如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为45°或72°；（2）性质探索小思同学通过从“特殊到一般”的过程，对2倍角三角形进行研究，得出结论：如图1，在△ABC中，如果∠A＝2∠B，那么BC2＝AC（AB+AC）．下面是小思同学对其中一种特殊情形的证明方法．已知：如图2，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°．求证：BC2＝AC（AB+AC）．证明：如图2，延长CA到D，使得AD＝AB，连接BD．∴∠D＝∠ABD，AB+AC＝AD+AC＝CD∵∠CAB＝∠D+∠ABD＝2∠D，∠CAB＝90°∴∠D＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C∴△ABC∽△BCD∴∴BC2＝AC•CD∴BC2＝AC（AB+AC）根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明：已知：如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B．求证：BC2＝AC（AB+AC）．（3）性质应用已知：如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，AB＝12，BC＝10，则AC＝8；（4）拓展应用已知：如图4，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，求AB的长．（1）解：当等腰三角形的内角分别为x，x，2x时，4x＝180°，解得x＝45°，当等腰三角形的内角分别为x，2x，2x时，5x＝180°，解得x＝36°，2x＝72°，∴底角的度数为45°或72°，故答案为45°或72°；（2）如图1，作AD平分∠BAC，交BC于D，∴∠BAC＝2∠DAC＝2∠BAD，∵∠BAC＝2∠B，∴∠ABC＝∠DAC＝∠BAD，∴BD＝AD，∵∠ABC＝∠DAC，∠ACD＝∠ACB，∴△ACD∽△BCA，∴，∴AC2＝BC•CD，AC•AB＝BC•AD＝BC•BD，∴AC2+AC•AB＝BC•CD+BC•BD＝BC•（BD+CD），∴BC2＝AC（AC+AB）．（3）由性质探索可知：AB2＝AC（BC+AC），∴AC2+10AC﹣144＝0，解得AC＝8或﹣18（舍弃）．故答案为8；（4）如图3，作∠CBD＝∠A，交AC于点D，则∠ABD＝2∠A，∴△ABD是2倍角三角形．∴AD2＝BD（BD+AB），∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3∠A，∴∠BDC＝∠ABC＝3∠A，又∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴，∴CD＝，，∴AD＝AC﹣CD＝，设BD＝2x，则AB＝3x，∴（）2＝2x（2x+3x），∴x＝或x＝﹣（不合题意舍去），∴AB＝3x＝．16．在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．（1）已知A（2，0），B（0，4），C（1，2），D（4，1），这个点中，能与点O组成“和谐三角形”的点是A、B，“和谐距离”是2；（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点，△EMN是以MN为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标t的取值范围；（3）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O上的一动点，直线y＝−x+b与x轴、y轴分别交于点H、G，点Q是线段HG上一点，若存在△OPQ是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，直接写出b的取值范围．解：（1）根据题意得，当A（2，0），B（0，4）与原点O构成三角形时，AB边上的中线等于AB边的一半，即点A、B能与点O组成“和谐三角形”，∵AB＝＝2，∴“和谐距离”是，故答案为：A、B，；（2）根据题意作图如下：以BD为直径，线段BD的中点为圆心，过圆心作x轴的平行线交圆于点E和点E'，点E和E'在图中位置时为t的临界值，∵BD＝＝5，A（2，0），∴点E的横坐标为2﹣＝﹣，点E'的横坐标为+2＝，∴﹣；（3）当PQ为和谐边时，∠POQ＝90°，∵“和谐距离”是2，设PQ的中点为F，∴OF＝2，PQ＝4，∴OQ＝＝2，∴点Q在以O为圆心，2为半径的圆上，∵直线y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于点H、G，∴当直线GH与点Q所在的圆相切于点Q时，b取最值，∴GH＝2OQ＝4，∴OG＝OH＝4×sin45°＝2，当点Q在y轴上时，即点G处时，|b|＝2，∴b的取值范围是：2≤b≤2或﹣2≤b≤﹣2；当OQ为和谐边时，∠OPQ＝90°，∵“和谐距离”是2，设PQ的中点为F'，则点Q在以O为圆心，4为半径的圆上，即OQ＝4，当直线GH与该圆相切时，GH＝8，∴OG＝8×sin45°＝4，当点Q在y轴上时，即点G处时，|b|＝4，∴b的取值范围是：4≤b≤4或﹣4≤b≤﹣4；当OQ为和谐边时，∠OQP＝90°，∵OP＝2，∴OP边上的中线不可能是2，即“和谐距离”不为2，不符合题意；综上，b的取值范围为：2≤b≤2或﹣2≤b≤﹣2或4≤b≤4或﹣4≤b≤﹣4．17．定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．（1）如图1，在智慧三角形ABC中，AD⊥BC，AD为该三角形的智慧线，CD＝1，AC ＝，则BD长为2，∠B的度数为45°．（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F是斜边BC延长线上一点，连结AF，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE（点A，F，E按顺时针排列），∠EAF ＝90°，AE交BC于点D，连结EC，EB．当∠BDE＝2∠BCE时，求证：ED是△EBC 的智慧线．（3）如图3，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝．若△BCD是智慧三角形，且AC为智慧线，求△BCD的面积．（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵CD＝1，AC＝，∴AD＝＝＝2，∵△ABC是智慧三角形，∴△ADB是等腰直角三角形，∴BD＝AD＝2，∠B＝45°，故答案为：2，45°（2）证明：如图2中，∵∠BAC＝∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴∠ABE＝∠ACF，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABE＝∠ACF＝135°，∴∠EBD＝90°，∵∠BDE＝∠DCE+∠DEC，∠BDE＝2∠DCE，∴∠DCE＝∠DEC，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形，∵△EDB是直角三角形，∴△BEC是智慧三角形；（3）解：如图3中，过点A作AH⊥BC于点H．有两种情形：当CD⊥BD时，或当CD′⊥AC时，△BCD，△BCD′是智慧三角形．∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，∴BH＝CH＝2，∴AH＝＝＝，＝•BC•AH＝•AB•CD，∵S△ABC∴CD＝＝4，∴AD＝＝＝3，＝•BD•CD＝×8×4＝16，∴S△BCD∵∠ACD′＝90°，∠ADC＝∠CDD′＝90°，∴∠ACD+∠DCD′＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠DCD′，∴△ADC∽△CDD′，∴＝，∴＝，∴DD′＝，∴BD′＝BD+DD′＝8+＝，∴S＝××4＝，△CBD′解法二：设CD′＝x，DD′＝y，则有，解得，＝××4＝，可得S△CBD′综上所述，满足条件的△BCD的面积为16或．18．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三＝S△BCD．角形”，并且S△ACD应用：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE ＝BF，AF与BE交于点O．（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．探究：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的，求出△ABC的面积．应用：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE＝BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE＝OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，＝S△DOE，AE＝ED＝AD＝3，∴S△AOE∵△AOB与△AOE是友好三角形，＝S△AOE，∴S△AOB∵△AOE≌△FOB，＝S△FOB，∴S△AOE＝S△ABF，∴S△AOD＝S矩形ABCD﹣2S△ABF＝4×6﹣2××4×3＝12．∴S四边形CDOF探究：解：分为两种情况：①如图1，＝S△BCD．∵S△ACD∴AD＝BD＝AB＝4，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD＝A′D＝AB＝×8＝4，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，＝S△ABC＝S△BDC＝S△ADC＝S△A′DC，∴S△DOC∴DO＝OB，A′O＝CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC＝A′D＝4，过B作BM⊥AC于M，∵AB＝8，∠BAC＝30°，∴BM＝AB＝4＝BC，即C和M重合，∴∠ACB＝90°，由勾股定理得：AC＝＝4，∴△ABC的面积是×BC×AC＝×4×4＝8；②如图2，＝S△BCD．∵S△ACD∴AD＝BD＝AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD＝A′D＝AB＝×8＝4，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，＝S△ABC＝S△BDC＝S△ADC＝S△A′DC，∴S△DOC∴DO＝OA′，BO＝CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C＝BD＝4，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C＝4，∠DA′C＝∠BAC＝30°，∴CQ＝A′C＝2，＝2S△ADC＝2S△A′DC＝2××A′D×CQ＝2××4×2＝8；∴S△ABC即△ABC的面积是8或8．19．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝20°；（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分线，①求证：△BDC是“近直角三角形”；②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连结AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求AD的长．解：（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，故答案为20；（2）①如图1，设∠ABD＝∠DBC＝β，∠C＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②存在，理由：在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE是“近直角三角形”，AB＝3，AC＝4，则BC＝5，则∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，即，即，解得：AE＝，则CE＝4﹣＝；（3）①如图2所示，连接DE，当∠ACB+2∠DBC＝90°时，又∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠DBC＝β，∴AD＝DE，∵BD是直径，∴∠BAD＝∠BED＝90°，∴∠ADB＝∠BDE，∴AB＝BE，∴BD垂直平分AE，∴BF＝＝＝4，∵∠DAE＝∠DBE＝∠ABD，∠AFD＝∠AFB＝90°，∴△ADF∽△BAF，∴＝，∴＝，∴AD＝；②如图3所示，当2∠C+∠DBC＝90°时，又∵∠DBC+∠C+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C＝β，过点A作AH⊥BE交BE于点H，交BD于点G，则点G是圆的圆心（BE的中垂线与直径的交点），∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，∴AE＝AB＝5，∴EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，∵DE⊥BC，AH⊥BC，∴ED∥AH，则AF：EF＝AG：DE＝3：2，则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝DE＝k，在△BGH中，BH＝＝＝2k，∵AG＝3k，GH＝k，∴AH＝4k，∵∠C+∠ABC＝90°，∠ABC+∠BAH＝90°，∴∠C＝∠BAH，∴tan C＝tan∠BAH＝tan∠ABD＝＝，∴，∴AD＝，综上所述：AD的长为或．20．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN 是ABC的中线，AM⊥BN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．【特例探究】（1）如图1，当∠PAB＝45°，c＝时，a＝4，b＝4；如图2，当∠PAB＝30°，c＝2时，a2+b2＝20；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF 的长．解：（1）在Rt△APB中，∠PAB＝45°，c＝，则PA＝PB＝c＝4，∵M、N分别为CB、CA的中点，∴MN＝AB＝2，MN∥AB，∴△APB∽△MPN，∴＝＝＝，∴PM＝PN＝2，∴BM＝＝2，∴a＝2BM＝4，同理：b＝2AN＝4，如图2，连接MN，在Rt△APB中，∠PAB＝30°，c＝2，∴PB＝c＝1，∴PA＝＝，∴PN＝，PM＝，∴BM＝＝，AN＝＝，∴a＝，b＝，∴a2+b2＝20，故答案为：4；4；20；（2）a2+b2＝5c2，理由如下：如图3，连接MN，设PN＝x，PM＝y，则PB＝2PN＝2x，PA＝2PM＝2y，∴BM＝＝，AN＝＝，∴a＝2，b＝2，∴a2+b2＝20（x2+y2），∵c2＝PA2+PB2＝4（x2+y2），∴a2+b2＝5c2；（3）取AB的中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AHP∽△BHF，∴＝＝1，∴AP＝BF，∵AD＝3AE，BC＝3BF，AD＝3，∴AE＝BF＝，∴PE＝FC，∴四边形PFCE为平行四边形，∵BE⊥CE，∴BG⊥FH，∵AE∥BF，AE＝BF，∴AG＝GF，∴△ABF为“中垂三角形”，∴AB2+AF2＝5BF2，即32+AF2＝5×（）2，解得：AF＝4．21．定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”．（1）若Rt△ABC为半角三角形，∠A＝90°，则其余两个角的度数为45°，45°或30°，60°．（2）如图1，在▱ABCD中，∠C＝72°，点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点E恰好落在AD边上的点F，若BF⊥AD，求证：△EDF为半角三角形；（3）如图2，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M，与边BC交于N，已知△ABC的面积是△CMN面积的4倍．①求证：∠C＝60°．②若△ABC是半角三角形，直接写出∠B的度数．解：（1）∵Rt△ABC为半角三角形，∠A＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，或∠B＝60°，∠C＝30°或∠B＝30°，∠C＝60°，∴其余两个角的度数为45°，45°或30°，60°，故答案为45°，45°或30°，60°．（2）如图1中，∵平行四边形ABCD中，∠C＝72°，∴∠D＝108°，由翻折可知：∠EFB＝72°，∵BF⊥AD，∴∠EFD＝18°，∴∠DEF＝54°，∴∠DEF＝∠D，即△DEF是半角三角形．（2）①如图2中，连接AN．∵AB是直径，∴∠ANB＝90°，∵∠C＝∠C，∠CMN＝∠B，∴△CMN∽△CBA，∴（）2＝，即＝，在Rt△ACN中，sin∠CAN＝＝，∴∠CAN＝30°，∴∠C＝60°．②∵△ABC是半角三角形，∠C＝60°，∴∠B＝30°或40°或80°或90°．22．定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形．例如：如图1，△ABC中，AD＝AD，AB＝AC，∠B＝∠C，则△ABD与△ACD是邻等三角形．（1）如图2，⊙O中，点D是的中点，那么请判断△ABD与△ACD是否为邻等三角形，并说明理由．（2）如图3，以点A（2，2）为圆心，OA为半径的⊙A交x轴于点B（4，0），△OBC 是⊙A的内接三角形，∠COB＝30°．①求∠C的度数和OC的长；②点P在⊙A上，若△OCP与△OBC是邻等三角形时，请直接写出点P的坐标．解：（1）△ABD与△ACD是邻等三角形，理由如下：∵点D是的中点，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△ABD与△ACD是邻等三角形．（2）①如图2，作AH⊥OB，连接AO，AB，∵OA＝OB，∴OH＝BH，∵点A的坐标是（2，2），∴AH＝OH＝BH＝2，∴∠OAB＝90°，∴∠C＝∠OAB＝45°，作BK⊥OC，在Rt△BOK中，OB＝4，∠BOK＝30°，∴BK＝2，OK＝2，在Rt△BKC中，∠C＝45°，。
中考数学复习考点知识与题型专题讲解88---解析“新定义”问题
中考数学复习考点知识与题型专题讲解解析“新定义”问题“新定义”问题可以考查学生的阅读能力、适应能力、探索能力、解决问题的能力以及类比、分类讨论等数学思想，它与所考查的知识点有机融合，既能发挥试题的区分功能，也能兼顾基础知识的整体考察，因此近年来在各地中考中频频亮相．现就中考试题进行分类解析，以展示“新定义”问题的独特之处．一、定义新“运算”例1 对于任意非零实数a、b，定义运算“○*”，使下列式子成立：1○*2＝－32，2○*1＝32，（－2）○*5＝2110，5○*（－2）＝－2110，…则a○*b＝_______．分析由新运算数字等式得出变化规律，即可得解．点评本题通过定义新运算，从一个新的视角考查了找规律试题，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键．二、定义新“数”例2若正整数n使得在计算n＋(n＋1)＋（n＋2）的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n为“本位数“．例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”，现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为________．分析满足题意的“本位数”有：1、2、10、11、12、20、21、22、30、31、32，根据概率公式计算可得解．点评本题定义新数，构思新颖，同时考查了概率公式．三、定义新“函数”例3设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为(a，b)．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m ≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．(1)反比例函数y ＝2013x 是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；(2)若一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）是闭区间[m ，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；(3)若二次函数y ＝2147555x x --是闭区间[a ，b]上的“闭函数”，求实数a ，b 的值.分析 (1)根据反比例函数y ＝2013x的单调区间进行判断； (2)由一次函数的性质，分两种情况讨论：①k >0②k<0，列出关于系数k 、b 的方程组，即可求解；(3)抛物线顶点为（2，－115），所以分三种情况讨论①b ≤2②a<2<b ③a ≥2，同(2)，列出关于系数a 、b 的方程组，即可求解．点评 本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数、反比例函数图象的性质解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义，解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．四、定义新“点”例4 对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB＝60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（12，12）E(0，－2) ，F(23，0)．(1)当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是_______；②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO ＝30°，若直线l上的点P(m，n)是⊙O的关联点，求m的取值范围；(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．分析“新定义”问题最关键的是能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过题意，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于2倍半径的点．点评本题是北京市中考压轴题，考查的知识点有一次函数、圆、特殊直角三角形等．五、定义新“线”及新“四边形”例5若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．(1)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝120°，∠C＝75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；(2)如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A、B、C均在格点上．请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；(3)四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC 是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．分析由新定义，易得(1)(2)．(3)由AC是四边形ABCD的和谐线，可得出△ACD是等腰三角形．从图3得AC＝AD，图4得AD＝CD，图5得AC＝CD，三种情况运用等边三角形、正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．点评本题通过定义和谐线、和谐四边形，考查了等边三角形、正方形、30°的直角三角形的性质的运用，以及圆弧的概念，解答时容易忽略图5这种情况，因此，合理运用分类讨论思想是关键．六、定义新“角”例6 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°?，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．分析由特征角定义，即可得解，点评此题由新定义考查了三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．七、定义新“相似”例7 对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图6，△ABC∽△A'B'C’且沿周界ABCA与A'B'C'A'环绕的方向相同，因此△ABC与△A'B'C'互为顺相似；如图7，△ABC∽△A'B'C'，且沿周界ABCA与A'B'C'A'环绕的方向相反，因此△ABC与△A'B'C'互为逆相似．(1)根据图8、图9和图10满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP 与△NMQ．其中，互为顺相似的是_______；互为逆相似的是_______（填写所有符合要求的序号）(2)在锐角△ABC中，∠A<∠B<∠C．点P在△ABC的边上（不与点A、B、C重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．分析(1)略．(2)根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况：①如图11，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2．②如图12，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作∠CBM＝∠A，BM交AC于点M．当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q；当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，③如图13，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作∠BCD＝∠A，∠ACE＝∠B，CD、CE分别交AC于点D、E．当点P在AD（不含点D）上时，过点P只能画出1条截线P1Q；当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2；当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q'．点评本题从课本习题出发，通过新定义以及恰当的图形变化，发现图形间的内在联系，本题是创新型中考压轴题，主要考查了相似三角形的知识、分类讨论的数学思想．。
中考数学新定义题型解析专题
新定义型专题（一）专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力（二）解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．（三）考点精讲考点一：规律题型中的新定义 例1.定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，－1的差倒数是111(1)2=--．已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝ ．考点二：运算题型中的新定义例2.对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，*0a ba b a b a b+=+（＞）﹣，如：323*2532+==﹣，那么6*（5*4）= ．例3.我们定义ab ad bc cd=-，例如错误！未指定书签。
2345=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x ，y 均为整数，且满足1＜错误！未指定书签。
14xy ＜3，则x+y 的值是 ．考点三：探索题型中的新定义例4.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（）考点四：阅读材料题型中的新定义阅读材料我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识；请解决以下问题：如图，我们把满足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”；（1）写出筝形的两个性质（定义除外）；（2）写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明．真题演练1.定义运算a⊗b=a（1﹣b），下列给出了关于这种运算的几点结论：①2⊗（﹣2）=6；②a⊗b=b⊗a；③若a+b=0，则（a⊗b）+（b⊗a）=2ab；④若a⊗b=0，则a=0．其中正确结论序号是．（把在横线上填上你认为所有正确结论的序号）2.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有；（2）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S ＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不梯形ABCD写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．3. 如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线FK 1K 2K 3K 4K 5K 6K 7……叫做“正六边形的渐开线”，其中1FK ，12K K ，23K K ，34K K ，45K K ，56K K ，……的圆心依次按点A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，其弧长分别记为l 1，l 2，l 3，l 4，l 5，l 6，…….当AB ＝1时，l 2 011等于（ ）A.20112π B.20113π C.20114π D.20116π一、选择题1、定义一种运算☆，其规则为a ☆b =1a ＋1b 错误！未找到引用源。
中考数学新定义题型解析专题.doc
新定义型专题(-)专题诠释所谓“新定义"型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、 新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、 迁移的一种题型.“新定义''型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应 用新的知识解决问题的能力(-)解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是常握问题原型的特点及其问题解决的思想方法; 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.(三)考点精讲考点一：规律题型中的新定义例1 •定义：。
是不为1的有理数，我们把丄称为a 的差倒数.女口： 2的差倒数是丄 =-1, \-a 1-2—1的差倒数是一J —二丄.已知© = —1, ©是血的差倒数，是G2的差倒数，血 1-(-1) 2 3是Q3的差倒数，…，依此类推，6/2009 = ____ •考点二：运算题型中的新定义 ] [I —例2.对于两个不相等的实数a 、b,定义一种新的运算如下，d*b 二逅亘(d +方>0),如: Q - b3*2 =《+ 2 =逅,那么 6* (5*4)=・3-2误!未指定书签。
1% <3,贝h+y 的值是 _____________)4考点三：探索题型中的新定义例4.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点.如图1, PH=PJ, PI=PG,则点P 就是四边形ABCD 的准内点.例3.我们定义此=ad — be cd23 =2x5 - 3x4=10 - 12=・ 2, 45若;G y 均为整数，且满足IV 错（1）如图2, ZAFD与ZDEC的角平分线FP, EP相交于点P.求证：点P是四边形ABCD的准内点.（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点.（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真或假①任意凸四边形一定存在准内点.（______ ）②任意凸四边形一定只有一个准内点.（______ ）③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD. （_____ ）考点四：阅读材料题型中的新定义 阅读材料 我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法, 然后通过解决简单的问题巩固所学知识； 请解决以下问题：如图，我们把满足AB=AD. CB=CD R AB^BC 的四边形ABCQ 叫做“筝形”；（1） 写出筝形的两个性质（定义除外）；（2） 写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明.D备呕1 ［超mu 方法三〉备用图1方法可）真题演练1.定义运算a®b=a (1 "下列给出了关于这种运算的儿点结论：①2® ( - 2) =6；②a®b=b®a；③若d+b=O,则(a® b) + (/?® «) =2ab；④若a® Z?=0, 则a=0.其中正确结论序号是.(把在横线上填上你认为所有正确结论的序号)2.如杲一条直线把一个平面图形的而积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平而图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线.(1)三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有—；(2)如图，梯形ABCD中，AB〃DC，女口果延长DC至I」E,使CE=AB,连接AE,那么有S 梯形ABCD=S/、ADE・请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的而积等分线(不写作法，保留作图痕迹)；(3)如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S AADC>S AABC，过点A能否作出四边形ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由.@23. 如图，六边形/应对是正六边形，曲FK^KMKM ……叫做“正六边形的渐开线”,其中瞅,蝕K 「诫2K3，虬虬負，虬K （「 .................... 的圆心依次按点儿1、定义一种运算☆，其规则为£+｛，根据这个规则，计算2^3的值是（）a bA.丄B. -C. 5D. 665 2•在快速计算法屮，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国 的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了.如计 算8X9时，左手伸岀3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7, 未伸出手指数的积为2,则8X9二10X7+2二72・那么在计算6X7时，左、右手伸 出的手指数应该分别为（ ）A 、1, 2B 、1, 3C 、4, 2D 、4, 33. （2016浙江杭州，10, 3分）定义［a, /?, c ］为函数y 二^干+加+仑的特征数,下面给出特征数为［2m, 1 - m, - 1 - m ］的函数的一些结论： ① 当-3时，函数图彖的顶点坐标是（3 3② 当ni>0时，函数图象截兀轴所得的线段长度大于？ 2③ 当mVO 时，函数在兀〉丄吋，y 随兀的增大而减小；4 ・④ 当niHO 时，函数图象经过同一个点. 其中止确的结论有（）B, C, D, E, 厂循环, 其弧长分别记为厶，厶•当时,B. C.201U2011兀201 U2二、填空题4•通过学习三角函数，我们知道在直角三角形屮，一个锐角的大小与两条边长的 比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。
中考数学专题复习新定义问题【含解析】
新定义问题【专题点拨】新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模；3.解决数模，回顾检查．“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能 .【解题策略】具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决【典例解析】类型一：规律题型中的新定义例题1：（2015•永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（）A．[x]=x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]（n为整数）【解析】：根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算【解答】：解：A、∵[x]为不超过x的最大整数，∴当x是整数时，[x]=x，成立；B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型．变式训练1：（2015•山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )A．(—2012,2) B．（一2012，一2）C. (—2013,—2)D. (—2013,2)类型二：运算题型中的新定义例题2：（2016·四川宜宾）规定：log a b（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．现有如下的运算法则：log n a n=n．log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）．例如：log223=3，log25=，则log1001000= ．【解析】实数的运算．先根据log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）将所求式子化成以10为底的对数形式，再利用公式进行计算．【解答】解：log1001000===．故答案为：．变式训练2：(2016四川省乐山市第16题)在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y′），给出如下定义：若(0)(0)y x y y x ≥⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数3y x =+图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为 ；（2）若点P 在函数216y x =-+（5x a -≤≤）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是1616y '-≤≤，则实数a 的取值范围是 ．类型三： 探索题型中的新定义例题3：(2016山西省第10题)宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH【解析】考点：黄金分割的识别【解答】：由作图方法可知DF=5CF ，所以CG=CF )15(-，且GH=CD=2CF ，从而得出黄金矩形CG=CF )15(-，GH=2CF ∴2152)15(-=-=CF CF GH CG ∴矩形DCGH 是黄金矩形。
中考数学专题复习——47新定义型常考试题及解析
中考数学专题复习——47新定义型常考试题及解析一、选择题1、（2019·岳阳）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（）A ．c ＜－3B ．c ＜－2C ．14c <D ．c ＜1 【答案】B【解析】 当y =x 时，x =x 2+2x +c ，即为x 2+x +c =0，由题意可知：x 1，x 2是该方程的两个实数根，所以12121x x x x c +=-⎧⎨⋅=⎩∵x 1＜1＜x 2，∴（x 1－1）（x 2－1）＜0， 即x 1x 2－(x 1＋x 2) ＋1＜0， ∴c －(－1)＋1＜0， ∴c ＜－2、又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0， 即12－4c ＞0， 解得：c ＜14、∴c 的取值范围为c ＜－2 、2、（2019·济宁）−是a 3的差倒数，…，依此类推，那么a 1＋a 2＋…＋a 100的值是（） A ．－7、5 B ．7、5 C ．5、5 D ．－5、5 【答案】A【解析】二、填空题18．（2019·娄底）已知点P()00,x y 到直线y kx b =+的距离可表示为d =例如：点（0，1）到直线y ＝2x+6的距离d ==据此进一步可得两平行直线y x=与4y x =-之间的距离为___________． 【答案】．【解析】在直线y x =上任取点，不妨取（0，0），根据两条平行线之间距离的定义可知，（0，0）到直线4y x =-的距离就是两平行直线y x =与4y x =-之间的距离．d ===． 16．（2019·常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P 是二次函数y ＝x 2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线y ＝－1于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①④【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平行四边形虽然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中的四边形PMNQ 满足MN ∥PQ ，设P (m ，0)（m ＞0），14∵PM＋1，PQ ＝－(－1)＝＋1，∴PM ＝PQ ，故四边形PMNQ 是广义菱形．综上所述正确的是①④．17．（2019·陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝ ．【答案】85或14．【解析】当∠A 是顶角时，底角是50°，则k=808505=；当∠A 是底角时，则底角是20°，k=201804=，故答案为：85或14．三、解答题1、（2019·重庆A 卷）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．定义：对于自然数n ，在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位． （1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大于100的“纯数”的个数．解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位，∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”．（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下：①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；214m 214m 214m②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个； ③当这个数为100时，易知100是“纯数”．综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13．2、（2019·重庆B 卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等、 现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”、定义：对于自然数n ，在通过列竖式进行()()21++++n n n 的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n 为“纯数”、例如：32是“纯数”，因为343332++在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为252423++在列竖式计算时个位产生了进位、⑴请直接写出1949到2019之间的“纯数”； ⑵求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由、解：（1）1949到2019之间的“纯数”为2000、2001、2002、2010、2011、2012 、 （2）由题意：不大于100的“纯数”包含：一位数、两位数和三位数100若n 为一位数，则有n +（n +1）+（n +2）＜10，解得：n ＜3，所以：小于10的“纯数数”有0、1、2，共3个．两位数须满足：十位数可以是1、2、3，个位数可以是0、1、2，列举共有9个分别是10、11、12、20、21、22、30、31、32；三位数为100，共1个所以：不大于100的“纯数”共有13个、3、（2019·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满是x =3a c+，y =3b d +，那么称点T 是点A ，B 的融合点。
中考数学新定义及探究题专题-《二次函数及新定义》-(含解析)
中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》（学生版）【类型1 二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣13．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P （m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC 为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．(1)求抛物线的雅礼弦长；(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ；(2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；(3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数互为“旋转函数”10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：定义：我们把自变量为的二次函数与（，）称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．任务：（1）写出二次函数的“亲密函数”：______；（2）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为______，猜想二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是______；（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，请利用（2）中的结论直接写出二次函数的图像与轴交点的横坐标．【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是．2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数与函数，定义“和函数”．(1)若，则“和函数”；(2)若“和函数”为，则，；(3)若该“和函数”的顶点在直线上，求．4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．(1)①已知点，则______．②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标．(2)函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】(1)若一个函数的“特征数”是【1，，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______；(2)将“特征数”是【0，，】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______；(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、、、四点为顶点的四边形的面积；(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，，】的函数图像有交点，求满足条件的实数的取值范围．6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为(1)已知点A（-2，1）在一次函数的相关函数的图象上时，求a的值．(2)已知二次函数．当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形与图形有且只有两个公共点，则称图形与图形互为“双联图形”，即图形是图形的“双联图形”，图形是图形的“双联图形”．(1)若直线与抛物线互为“双联图形”，且直线不是双曲线的“双联图形”，求实数的取值范围；(2)如图2，已知，，三点．若二次函数的图象与互为“双联图形”，直接写出的取值范围．8．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G 上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 ；②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为 ；（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m＝ ；（用含c的式子表示）②求b的值．9．（2023春·北京·九年级人大附中校考期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．(1)直接写出有界函数的边界值；(2)已知函数是有界函数，且边界值为3，直接写出的最大值；(3)将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，直接写出的取值范围，使得．10．（2023春·湖南长沙·九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为（1，2）．(1)①判断：函数__________ “明德函数”（填“是”或“不是”）；②函数的图像上的明德点是___________；(2)若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围；(3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值．【类型3 二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】1．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（）A．4，-1B．，-1C．4，0D．，-1 2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标；（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接BC、、、．①当四边形为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．3．（2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，．（1）点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______；（2）设点在直线上运动：①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式．②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围．4．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）定义：如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A．B两点不重合)，如果△ABP中PA 与PB两条边的三边满足其中一边是另一边倍，则称点P为抛物线的“好”点．（1）命题：P(0，3)是抛物线的“好”点．该命题是_____（真或假）命题．（2）如图2，已知抛物线C:与轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△AB P的Q点(异于点P)的坐标．5．（2023·安徽安庆·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=-与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______．（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点M的坐标．6．（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点．已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．（1）直接写出点A、C的坐标；（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝时点A'的坐标．7．（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．8．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）初步尝试如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．（2）理解运用如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．（3）综合探究如图3，二次函数y=x2–x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2023春·江西赣州·九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么①a= ，b= ．②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．（3）如果抛物线的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为，请直接写出点B的坐标．10．（2023春·江西赣州·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝a+bx+c （a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝a+bx+c沿直线y＝m 翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝．（1）图①是抛物线y＝﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标 ，点B 坐标 ，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形 ，|D|为 ．（2）如果抛物线y＝m﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．（3）如果抛物线y＝﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》（解析版）【类型1 二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，将代入得，将代入得，设，，如图，联立与，得方程，即抛物线与直线有两个交点，，解得，当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，把代入，得，把代入得，，解得，．故选D．【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣1【答案】B【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可；【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为，∴，解得：，∴此函数的二次项系数为；故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P （m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n′≤2；当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0时，得到-2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3．【详解】解：由题意可知，当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．【答案】(1)×；√；×(2)(3)【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可；（2）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解；（3）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可．【详解】（1）解：①令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；②令，解得：，，∴函数图像上存在“青竹点”和，故答案为：√；③令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；（2）解：由题意得，整理，得，∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，∴，解得；（3）解：由题意得整理，得∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”，∴整理，得∴当时，a的最小值为，∵当时，a的最小值为c，∴∴，【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)当时，；当时，；当时，【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数即可；（2）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，判断函数图像开口方向，利用函数的对称轴和自变量范围进行最大值讨论；（3）先根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，再把两点代入，作差后比较大小，为含参数的二次不等式，求解的范围即可．【详解】（1）设友好同轴二次函数为，由函数可知，对称轴为直线，与轴交点为，，，对称轴为直线，，友好同轴二次函数为；（2）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为；①当时，时，，解得：；②当时，时，，解得：；综上所述，；（3）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为，把分别代入可得，，，则，，，①当时，，即，，解得：；②当时，，即，，解得：；③当时，，即，，解得：；综上所述，当时，；当时，；当时，．【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题，掌握二次函数的基本性质以及研究手段，准确根据题意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．【答案】(1)是定弦抛物线，理由见解析(2)或(3)b＝﹣4或【分析】（1）令y＝0，求出与x轴的交点坐标，可判断；（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交点坐标，代入可得答案；（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可．【详解】（1）解：当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，则|x1 -x2|＝4，即该抛物线是定弦抛物线；（2）：当该抛物线开口向下时，如图所示．∵该定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，设则解得：∴C（﹣1，0），D（3，0），∵△CED为直角三角形∴由题意可得∠CED＝90°，∵EO⊥CD，∴△CEO∽△EDO，∴OE2＝OC·OD＝3，∴E（0，）设该定弦抛物线表达式为，把E（0，）代入求得∴该定弦抛物线表达式为，当该抛物线开口向上时，同理可得该定弦抛物线表达式为，∴综上所述，该定弦抛物线表达式为或；（3）解：若≤ 2，则在2≤x ≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝2时该定弦抛物线取最小值．∴l6+4b+c-(4+2b+c)＝+2，解得：b＝﹣4，∵≤ 2，∴b≥﹣4，即b＝﹣4，若≤ 3，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴16+4b+c﹣＝+2，解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，∵2≤≤3，∴﹣6≤b≤﹣4，∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），若≤ 4，则在2≤x ≤4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c﹣＝+2，解得：b＝﹣5，∵≤4，∴﹣8≤b＜﹣6，∴b＝﹣5不合题意，舍去，若＞4，则在2≤x≤ 4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝4时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c-(16+4b+c)＝+2，解得：b＝-，∵＞4，∴b＜﹣8，∴b＝﹣，∴综上所述b＝﹣4或．【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，包括与x轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC 为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．【答案】(1)(2)，，、是一对共轭抛物线【分析】（1）将化作顶点式，可求出，和的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出，和的值，进而求出的解析式；（2）根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可表示点，，，，的坐标，分别求出和的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解．【详解】（1）解：，∴，，，∵抛物线与是一对共轭抛物线，∴，且，．（2）解：如图，由题意得，，则，，，，，∵点为的中点，∴，∴，，，，，∴可设抛物线，与抛物线，∴，，解得：，，∴抛物线，抛物线，∴，，，，，，∵，，∴满足且，∴、是一对共轭抛物线．【点睛】本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式，一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴。
2024中考数学新定义及探究题专题 《三角函数及新定义(一)》 (含解析)
2024中考数学新定义及探究题专题《三角函数及新定义（一）》（学生版）【知识储备】模型1、新定义模型此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。
若无特殊说明，一般认为△ABC 的3个角∠A 、∠B 、∠C ，分别对应边a 、b 、c ；1）正弦定理：如图1，R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径）。
图1图22）余弦定理：如图2，2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B=+-2222cos c a b ab C =+-．3）正弦面积公式：如图2，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===∆.4）同角三角函数的基本关系式:221sin cos θθ+=，sin tan cos θθθ=。
5）和（差）、二倍角角公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±;22sin sin cos ααα=.()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=;222222112cos cos sin cos sin ααααα=-=-=-.()1tan tan tan tan tan αβαβαβ±±=2221tan tan tan ααα=-.广东九年级课时练习）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描九年级校考开学考试）设一个三角形的三边长分别为a，b，c，例7．（2022·山东济南·统考模拟预测）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）．如果ABC 中，AB AC =，那么顶角A 的正对记作sad A ，这时sad A =BC AB=底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果A ∠的正弦函数值为35，那么sad A 的值为___________．如图1：2211sin sin A B ∠∠+=，如图2：2222sin sin A B ∠∠+=，如图2233sin sin A B =∠∠+①观察上述等式，猜想：如图4，在Rt ABC △中，=90C ∠︒，都有2sin A ∠②如图4，在Rt ABC △中，=90C ∠︒，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别是a ，(1)若90180α︒<<︒，则角α的三角函数值sin α、cos α、tan α，其中取正值的是(2)若角α的终边与直线2y x =重合，则sin cos αα+的值；(3)若角α是钝角，其终边上一点(,2)P x ，且1cos =3x α，求tan α的值；(4)若090α︒<≤︒，则sin cos αα+的取值范围是．专项训练（一）2．（2022·广东东莞·校考一模）关于三角函数有如下的公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-，由该公式可求得sin15︒的值是（）A ．4B ．4C ．4D ．12-(1)sad90︒=________．(2)对于0180A <<︒︒，(3)如图②，已知3sin 5A =，其中A ∠为锐角，试求（1）试仿照例题，求出cos 75的准确值；（2）我们知道：sin tan cos αα=，试求出tan75的准确值；15．（2023.广东九年级期中）阅读：△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，△ABC 的边角有如下性质：①正弦定理：＝＝②余弦定理：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ．③S △ABC ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ac sin B请你根据上述结论求解下列问题：在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且2a sin B ＝b ．（1）求角A 的大小；（2）若a ＝6，b +c ＝8，求△ABC 的面积．2024中考数学新定义及探究题专题《三角函数及新定义（一）》（解析版）【类型1二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，将代入得，将代入得，设，，如图，联立与，得方程，即抛物线与直线有两个交点，，解得，当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，把代入，得，把代入得，，解得，．故选D．【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣1【答案】B【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可；【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为，∴，解得：，∴此函数的二次项系数为；故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n′≤2；当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0时，得到-2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3．【详解】解：由题意可知，当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．【答案】(1)×；√；×(2)(3)【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可；（2）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解；（3）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可．【详解】（1）解：①令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；②令，解得：，，∴函数图像上存在“青竹点”和，故答案为：√；③令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；（2）解：由题意得，整理，得，∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，∴，解得；（3）解：由题意得整理，得∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”，∴整理，得∴当时，a的最小值为，∵当时，a的最小值为c，∴∴，【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)当时，；当时，；当时，【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数即可；（2）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，判断函数图像开口方向，利用函数的对称轴和自变量范围进行最大值讨论；（3）先根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，再把两点代入，作差后比较大小，为含参数的二次不等式，求解的范围即可．【详解】（1）设友好同轴二次函数为，由函数可知，对称轴为直线，与轴交点为，，，对称轴为直线，，友好同轴二次函数为；（2）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为；①当时，时，，解得：；②当时，时，，解得：；综上所述，；（3）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为，把分别代入可得，，，则，，，①当时，，即，，解得：；②当时，，即，，解得：；③当时，，即，，解得：；综上所述，当时，；当时，；当时，．【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题，掌握二次函数的基本性质以及研究手段，准确根据题意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．【答案】(1)是定弦抛物线，理由见解析(2)或(3)b＝﹣4或【分析】（1）令y＝0，求出与x轴的交点坐标，可判断；（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交点坐标，代入可得答案；（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可．【详解】（1）解：当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，则|x1-x2|＝4，即该抛物线是定弦抛物线；（2）：当该抛物线开口向下时，如图所示．∵该定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，设则解得：∴C（﹣1，0），D（3，0），∵△CED为直角三角形∴由题意可得∠CED＝90°，∵EO⊥CD，∴△CEO∽△EDO，∴OE2＝OC·OD＝3，∴E（0，）设该定弦抛物线表达式为，把E（0，）代入求得∴该定弦抛物线表达式为，当该抛物线开口向上时，同理可得该定弦抛物线表达式为，∴综上所述，该定弦抛物线表达式为或；（3）解：若≤2，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝2时该定弦抛物线取最小值．∴l6+4b+c-(4+2b+c)＝+2，解得：b＝﹣4，∵≤2，∴b≥﹣4，即b＝﹣4，若≤3，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴16+4b+c﹣＝+2，解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，∵2≤≤3，∴﹣6≤b≤﹣4，∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），若≤4，则在2≤x≤4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c﹣＝+2，解得：b＝﹣5，∵≤4，∴﹣8≤b＜﹣6，∴b＝﹣5不合题意，舍去，若＞4，则在2≤x≤4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝4时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c-(16+4b+c)＝+2，解得：b＝-，∵＞4，∴b＜﹣8，∴b＝﹣，∴综上所述b＝﹣4或．【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，包括与x轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．【答案】(1)(2)，，、是一对共轭抛物线【分析】（1）将化作顶点式，可求出，和的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出，和的值，进而求出的解析式；（2）根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可表示点，，，，的坐标，分别求出和的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解．【详解】（1）解：，∴，，，∵抛物线与是一对共轭抛物线，∴，且，．（2）解：如图，由题意得，，则，，，，，∵点为的中点，∴，∴，，，，，∴可设抛物线，与抛物线，∴，，解得：，，∴抛物线，抛物线，∴，，，，，，∵，，∴满足且，∴、是一对共轭抛物线．【点睛】本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式，一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．(1)求抛物线的雅礼弦长；(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．【答案】(1)4(2)(3)，或，【分析】（1）根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解；（2）根据（1）的方法求得，根据的范围，即可求解．（3）根据题意，分别求得，根据，求得出与之间的函数关系式，根据恒成立，可得，根据，为正整数，且，即可求解．【详解】（1）解：，，，，雅礼弦长；（2），，，，，，，当时，最小值为，当时，最大值小于，；（3）由题意，令，，，则，同理，，，要不论为何值，恒成立，即：恒成立，由题意得：，，解得：，，为正整数，且，则，或，．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键．9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数”；(2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；(3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数互为“旋转函数”【答案】(1)y＝-x2-3x＋2；(2)1(3)见解析【分析】（1）根据y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，可得旋转函数；（2）根据y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，根据负数奇数次幂是负数，可得答案；（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得A1，B1，C1，根据待定系数法，可得函数解析式；根据y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，可得旋转函数．【详解】（1）解：由y=x2-3x-2函数可知a1＝1，b1＝-3，c1＝−2．由a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，得a2＝-1，b2＝-3，c2＝2．函数y＝x2＋3x−2的“旋转函数”为y＝-x2-3x＋2；（2）由与y＝x2−2nx＋n互为“旋转函数“，得−2n＝，−2＋n＝0．解得n＝2，m＝−3．当m＝2，n＝−3时，(m+n)2020＝（2−3）2020＝（−1）2020＝1；（3）∵当y＝0时，，解得x＝−1，x＝4，∴A（−1，0），B（4，0）．当x＝0时，y＝×（−4）＝-2，即C（0，-2）．由点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，得A1（1，0），B1（−4，0），C1（0，2）．设过点A1，B1，C1的二次函数y＝a，将C1（0，2）代入，解得，∴过点A1，B1，C1的二次函数而∴a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，∴经过点A1、B1、C1的二次函数与函数互为“旋转函数”．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力．10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：定义：我们把自变量为的二次函数与（，）称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．任务：（1）写出二次函数的“亲密函数”：______；（2）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为______，猜想二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是______；（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，请利用（2）中的结论直接写出二次函数的图像与轴交点的横坐标．【答案】（1）；（2）4和-1；互为相反数；（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为和【分析】（1）根据二次函数的“亲密函数”定义把一次项系数变为相反数即可；（2）利用“亲密函数”建立y=0时方程，解方程，得出“亲密函数”与x轴交点横坐标，与原函数与x轴交点横坐标比较，得出规律即可；（3）先将函数变形，发现与“亲密函数”类似，根据原函数与x轴交点横坐标得出“亲密函数”与x轴交点横坐标，利用2x等于交点横坐标，求出x得出所求函数与x轴的交点横坐标即可．【详解】解：（1）二次函数的“亲密函数”为，故答案为：；（2），解得，它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为4和-1，∴二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是互为相反数；故答案为4和-1；互为相反数；（3），∵二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，∴二次函数的图像与轴交点的横坐标为-1和，∴图像与轴交点的横坐标为-1和，∴2x=-1,2x=2021，∴，，∴二次函数的图像与轴交点的横坐标为和．【点睛】本题考查新定义函数，仔细阅读题目，抓住实质，抛物线与x轴交点横坐标和一元二次方程的根，利用“亲密函数”变形得出新函数图像与x轴的交点横坐标是解题关键．【类型2二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是．【答案】【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数．【详解】解：由题意得解得∴函数的本源函数是．故答案为：．【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可；（2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可．【详解】（1）解：依题意把点代入解析式，得，化简得：，解得：；（2）解：设点是函数的一个不动点，则有，化简得，，关于的方程有实数解，，解得：．【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题．3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数与函数，定义“和函数”．(1)若，则“和函数”；(2)若“和函数”为，则，；(3)若该“和函数”的顶点在直线上，求．【答案】(1)．(2)，．(3)或．【分析】（1）将代入函数中得出函数，再利用即可得出结论；（2）的解析式为，又，利用两者相等即可得出结论；（3）先得出和函数，进而根据顶点在直线上得出，即可得出结论．【详解】（1）解：当时，，∵函数，此时和函数，∴，故答案为：．（2）解：∵函数与函数，和函数，∴和函数的解析式为，∵和函数的解析式为，∴，，∴，，故答案为：，．（3）解：由题意得和函数为，，∴和函数的顶点为，∵和函数的顶点在上，∴，整理得，解得，．故答案为：或．【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．(1)①已知点，则______．②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标．(2)函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．【答案】(1)①，②(2)，【分析】（1）①根据公式直接计算即可；②根据函数的图象上的点的横纵坐标均非负，可得，，，再根据，可得，即有，进而可得，解方程即可求解；（2）函数化为顶点式为：，即可得，，根据点是图象上一点，可得，，，则有，即可得，问题随之得解．【详解】（1）①∵，，∴，故答案为：；②∵点B是函数的图象点，∵函数的图象上的点的横纵坐标均非负，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴B点坐标为：，（2）函数化为顶点式为：，∴，∵，点是图象上一点，∴，，，∴，∴，∴，∴当时，有最小值，最小值为，∴，∴D点坐标为：，即最小值为3，D点坐标为．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，充分理解定义的两点间距离：，是解答本题的关键．5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】(1)若一个函数的“特征数”是【1，，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______；(2)将“特征数”是【0，，】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______；(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、、、四点为顶点的四边形的面积；(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，，】的函数图像有交点，求满足条件的实数的取值范围．【答案】(1)【1，0，】(2)(3)图见解析；面积为(4)【分析】（1）由已知可知，平移后的函数为，则可求“特征数”；（2）由已知可知函数为，平移后函数为；（3）令，求出，令，求出，，则，又由，可判断四边形是菱形；然后结合图形求面积即可；（4）由已知可得，则函数与AD边无交点，只能与BC 边有交点，将代入函数，将代入函数求解即可得出结果．【详解】（1）解：∵函数的特征数是【1，，1】，∴函数为，将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，∴函数的“特征数”是【1，0，】．故答案为：【1，0，】．（2）∵函数的“特征数”是【0，，】，∴，∵函数图象向上平移2个单位，∴平移后函数为．故答案为：．（3）解：令，则，∴，令，则，，∴，，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形．；（4）∵函数的“特征数”是【1，，】，∴，∴由函数图象得：函数与AD边无交点，∴函数与BC边有交点，将代入函数得：，将代入函数得：，∴．【点睛】本题考查二次函数的综合、新定义，函数的平移，理解定义，能将定义与所学函数知识结合是解题的关键．6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为(1)已知点A（-2，1）在一次函数的相关函数的图象上时，求a的值．(2)已知二次函数．当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．【答案】(1)a=-1；(2)m=2-或m=3或m=1．【分析】（1）函数y=ax-3的相关函数为y=，将点A（-2，1）代入y=-ax+3即可求解；（2）当m＜0时，将B（m，）代入y=x2-4x+得m2-4m+=，可求得m的值；当m≥0时，将B（m，）代入y=-x2+4x-得：-m2+4m-=，可求得m的值．(1)解：函数y=ax-3的相关函数为y=，将点A（-2，1）代入y=-ax+3得：2a+3=1，解得：a=-1；(2)解：二次函数y=-x2+4x-的相关函数为y=，①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2-4x+得m2-4m+=，解得：m=2+（舍去）或m=2-；②当m≥0时，将B（m，）代入y=-x2+4x-得：-m2+4m-=，解得：m=3或m=1．综上所述：m=2-或m=3或m=1．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，理解互为相关函数的概念是解题的关键．7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形与图形有且只有两个公共点，则称图形与图形互为“双联图形”，即图形是图形的“双联图形”，图形是图形的“双联图形”．(1)若直线与抛物线互为“双联图形”，且直线不是双曲线的“双联图形”，求实数的取值范围；(2)如图2，已知，，三点．若二次函数的图象与互为“双联图形”，直接写出的取值范围．【答案】(1)的取值范围是(2)或【分析】（1）已知直线与抛物线有且只有两个公共点，∴将代入抛物线中，得，配方得，∵方程有实数解，∴即又直线不是双曲线的“双联图形”，∴直线与双曲线最多有一个公共点，即当时，代入得，，即，∴实数的取值范围是；（2）∵是二次函数，∴∵二次函数的顶点坐标为（-1，3），且对称轴为直线x=-1，∴当时，二次函数的图象与的图象没有交点，∴不成立；当时，二次函数的图象开口向下，为使它与互为双联图形，即有且只有两个公共点，∴①当抛物线与AC和AB相交时，设直线BC的解析式为y=mx+n，把C(1，4)，B(4，0)代入，得，∴，∴y=-x+4，∵抛物线与BC不想交，∴，即ax2+(2a+1)x+a-1=0无实数根，∴(2a+1)2-4a(a-1)<0，解得a<，又当时，要满足，相当于，所以；∴；②当抛物线与AC和BC相交时，当x=4时，要满足，相当于，所以，，∴；综上，a的取值范围为：或8．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为；（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m＝；（用含c的式子表示）②求b的值．【答案】（1）①2；②5；（2）①m＝－c；②或．【分析】（1）①由题中所给“坐标差”的定义即可得到点A（1，3）的坐标差.②由坐标差的定义可得：二次函数y＝－x2＋3x＋4图象上点的坐标差为：y－x＝－x2＋3x ＋4－x＝－x2＋2x＋4，将此关系式配方即可求得y－x的最大值，从而得到抛物线y＝－x2＋3x＋4的“特征值”.（2）①由题意可得：0－m＝c－0，由此可得：m＝－c.②由m＝－c可得点B的坐标为（－c，0），把点B的坐标代入y＝x2＋bx＋c（c≠0）中可得c(c－b＋1)＝0，由c≠0可得c－b＋1＝0，即b＝c＋1，再由y-x＝－x2＋（b－1）x＋c.（c≠0）的特征值为1可得：=1，两者即可解得b和c的值．【详解】解：（1）①根据图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，点A（1，3）的“坐标差”为3－1＝2，故答案为2；②抛物线y＝﹣x2＋3x＋4的“特征值”为－x2＋3x＋4－x－x2＋3x＋4－x＝－x2＋2x＋4＝－(x2－2x＋1－1)＋4＝－(x－1)2＋5，所以抛物线y＝﹣x2＋3x＋4的“特征值”为5.故答案为5；（2）①∵点C是此二次函数的图象与y轴的交点，∴C（0，c）,∵B（m，0），点B与点C的“坐标差”相等．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
新定义型专题第一部分 讲解部分（一）专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力（二）解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．（三）考点精讲考点一：规律题型中的新定义例1.（2009山东枣庄，18，4分）定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，－1的差倒数是111(1)2=--．已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝ ．【分析】：理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可．【解】：解：根据差倒数定义可得：2111311413a a ===-+， 321143114a a ===-- 431111143a a ===---． 显然每三个循环一次，又2009÷3＝669余2，故a 2009和a 2的值相等．【评注】：此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律．考点二：运算题型中的新定义例2.（2011毕节地区，18，3分）对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，*0a ba b a b a b+=+（＞）﹣，如：323*2532+==﹣， 那么6*（5*4）= ．【分析】：本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果． 【解】：∵*0a ba b a b a b+=+（＞）﹣，∴5*4=5454+﹣=3，∴6*（5*4）=6*3，=63 63+﹣，=1．故答案为：1．【评注】：本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．例3.（2010重庆江津区，15，4分）我们定义abad bccd=-，例如错误！未指定书签。
2345=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1＜错误！未指定书签。
14xy＜3，则x+y的值是．【分析】：先根据题意列出不等式，根据x的取值范围及x为整数求出x的值，再把x的值代入求出y的值即可．【解】：由题意得，1＜1×4﹣xy＜3，即1＜4﹣xy＜3，∴31 xyxy<⎧⎨>⎩，∵x、y均为整数，∴xy为整数，∴xy=2，∴x=±1时，y=±2；x=±2时，y=±1；∴x+y=2+1=3或x+y=﹣2﹣1=﹣3．【评注】：此题比较简单，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据x，y均为整数求出x、y的值即可．考点三：探索题型中的新定义例4.(2009 台州，23，分）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（）【分析】：（1）过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD，由角平分线的性质可知PJ=PH，PG=PI；（2）平行四边形对角线的交点，即为平行四边形的准内点；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点，即为梯形的准内点；（3）①当凸四边形为平行四边形时，易知其对角线交点即为其准内点；②当凸四边形不为平行四边形时，可以将四边形的两边延长，构造三角形，其对角线交点即为准内点．【解】：（1）如图2，过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD∵EP平分∠DEC∴PJ=PH．（3分）同理PG=PI．（1分）∴P是四边形ABCD的准内点．（1分）（2）（4分）平行四边形对角线AC，BD的交点P1就是准内点，如图3（1）．或者取平行四边形两对边中点连线的交点P1就是准内点，如图3（2）；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是准内点．如图4．（3）真；真；假．【评注】：此题是一道新定义探索性题目，考查了对新信息的理解与应用能力，同时考查了三角形及四边形的性质．考点四：开放题型中的新定义例5.（2011浙江台州，15，5分）如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为和谐点．请写出一个和谐点的坐标：．【分析】：由题意点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，解答x+y=xy，即可得出答案．【解】：∵点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，∴x，y符号相同，代入数字进行验证，符合条件的点的坐标有（0，0），（2，2）等．故答案为：（0，0）【评注】：本题考查了和谐点的性质及等式求解，比较简单．考点五：阅读材料题型中的新定义（2010广东佛山，25，8分）阅读材料我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识；请解决以下问题：如图，我们把满足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”；（1）写出筝形的两个性质（定义除外）；（2）写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明．【分析】：（1）根据题意及图示即可得出筝形的性质；（2）根据筝形的性质即可写出判断方法，然后根据题意及图示即可进行证明．【解】：（1）性质1：只有一组对角相等，性质2：只有一条对角线平分对角；（2）判定方法1：只有一条对角线平分对角的四边形是筝形，判定方法2：两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是筝形，证明方法1：∵∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴AB=AD，CB=CD，①易知AC⊥BD，又∵∠ABD≠∠CBD，∴∠BAC≠∠CBA，AB≠BC，②由①②知四边形ABCD是筝形．【评注】：本题主要考查了根据题意及图示判断筝形的定义及性质，然后根据题目要求依次进行解答，难度适中．（四）真题演练1.（2011安徽，14，4分）定义运算a⊗b=a（1﹣b），下列给出了关于这种运算的几点结论：①2⊗（﹣2）=6；②a⊗b=b⊗a；③若a+b=0，则（a⊗b）+（b⊗a）=2ab；④若a⊗b=0，则a=0．其中正确结论序号是 ．（把在横线上填上你认为所有正确结论的序号）2.（2010江苏连云港，27，10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有 ；（2）如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，如果延长DC 到E ，使CE ＝AB ，连接AE ，那么有S 梯形ABCD＝S △ADE ．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，S △ADC ＞S △ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．3.2011山东烟台，12，4分） 如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线FK 1K 2K 3K 4K 5K 6K 7……叫做“正六边形的渐开线”，其中 1FK ， 12K K ， 23K K ， 34K K ， 45K K ， 56K K ，……的圆心依次按点A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，其弧长分别记为l 1，l 2，l 3，l 4，l 5，l 6，…….当AB ＝1时，l 2 011等于（ ）A.20112π B.20113π C.20114π D.20116π第二部分 练习部分一、选择题1、（2011山东菏泽，6，4分）定义一种运算☆，其规则为a ☆b =1a ＋1b 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，根据这个规则，计算2☆3的值是（ ） A.56 B. 15C.5D.6 2.（2011滨州，10，3分）在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=72．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ）（第12题图）A B CD EF K 1 K 2K 3K 4K 5K 6K 7A、1，2B、1，3C、4，2D、4，33.（2010浙江杭州，10，3分）定义[a，b，c]为函数y＝a x2+bx c+的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32错误！未找到引用源。
；③当m＜0时，函数在x＞14错误！未找到引用源。
时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（）A、①②③④B、①②④C、①③④D、②④错误！未指定书签。
二、填空题4.（2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。
我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadABCAB==底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°= .（2）对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是.（3）如图②，已知sinA35=，其中∠A为锐角，试求sadA的值.5、（2011贵港，18，2分）若记y=f（x）=221xx+，其中f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=22111+=12；f（12）表示当x=12时y的值，即f（12）=22111212512f==+（）（）（）；…；则f（1）AAB C CB图①图②+f （2）+f （22111212512f ==+（）（）（））+f （3）+f （13）+…+f （2011）+f （12011）=． 三、解答题7.（2011浙江绍兴，21，10分）在平面直角坐标系中．过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P 分別作x 轴，y 轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是和谐点． （1）判断点M （l ，2），N （4，4）是否为和谐点，并说明理由；（2）若和谐点P （a ，3）在直线y=﹣x+b （b 为常数）上，求a ，b 的值．8.（2009山东济宁，23，8分）阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数111(0)y k x b k =+≠的图象为直线1l ，一次函数222(0)y k x b k =+≠的图象为直线2l ，若12k k =，且12b b ≠，我们就称直线1l 与直线2l 互相平行.解答下面的问题：（1）求过点(1,4)P 且与已知直线21y x =--平行的直线l 的函数表达式,并画出直线l 的图象；（2）设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：(0)y kx t t =+>与直线l平行且交x 轴于点C ，求出△ABC 的面积S 关于t 的函数表达式.（10分）yxO 24 6 246 －2－2（第23题）3.解：l 1=601180π⨯错误！未找到引用源。