组合数学6章作业答案
组合数学第五版答案
组合数学第五版答案简介《组合数学第五版答案》是对组合数学第五版的习题答案进行整理和解答的参考资料。
组合数学是一门研究集合之间的组合方式和规律的数学科学。
它广泛应用于计算机科学、统计学、运筹学等领域，在算法设计、图论分析等方面有着重要的应用价值。
本文档包含了《组合数学第五版》中各章节的习题答案，主要内容涵盖了排列组合、图论、生成函数、递推关系、容斥原理等多个重要主题。
通过对这些习题的解答，可以帮助读者更好地理解组合数学的基本概念、方法和应用。
目录•第一章：基本概念和方法•第二章：排列组合•第三章：图论•第四章：生成函数•第五章：递推关系•第六章：容斥原理第一章：基本概念和方法1.习题1：证明排列的总数为n! (阶乘)。
2.习题2：计算组合数C(n, m)的值。
3.习题3：探究组合数的性质并给出证明。
第二章：排列组合1.习题1：计算排列数P(n, m)的值。
2.习题2：解决带有限制条件的排列问题。
第三章：图论1.习题1：证明图论中的握手定理。
2.习题2：解决图的着色问题。
第四章：生成函数1.习题1：利用生成函数求解递推关系。
2.习题2：应用生成函数解决组合数学问题。
第五章：递推关系1.习题1：求解递推关系的通项公式。
2.习题2：应用递推关系解决实际问题。
第六章：容斥原理1.习题1：理解容斥原理的基本思想并给出证明。
2.习题2：应用容斥原理解决计数问题。
结论通过对《组合数学第五版答案》中的习题进行解答，读者可以更好地掌握组合数学的基本概念和方法。
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学等领域具有广泛的应用，通过学习和理解组合数学，读者可以提高解决实际问题的能力，并为进一步深入研究相关领域打下坚实的基础。
注：本文档中的习题答案仅供参考，请读者在独立思考和解答问题时加以思考和验证，以深入理解组合数学的核心概念和方法。
新教材高中数学第六章计数原理6.2.3组合6.2.4组合数课时作业含解析新人教A版选择性必修第三册
课时功课(四) 组合组合数[练根底], 那么n＝()1．假设A3n＝12C n－2nA．4B．6C．7D．82．把三张游园票分给10小我私家中的3人 , 分法有()A．A310种B．C310种C．C310 A310种D．30种3．将2名女西席 , 4名男西席分成2个小组 , 划分摆设到甲、乙两所学校轮岗支教 , 每个小组由1名女西席和2名男西席构成 , 那么差别的摆设计划有()A．24种B．12种C．10种D．9种4．某校开设A类选修课3门, B类选修课5门, 一位同砚从中共选3门．假设要求两类课程中各至少选一门 , 那么差别的选法共有()A．30种B．35种C．45种D．48种5．某教诲局摆设4名主干西席划分到3所农村学校支教, 假设每所学校至少摆设1名西席 , 且每名西席只能去一所学校 , 那么差别摆设计划有()A．6种B．24种C．36种D．72种6．春节时代新型冠状病毒肺炎疫情在湖北发作, 为了打赢疫情防控阻击战, 我省某医院呼吸科要从3名男大夫 , 2名女大夫当选派3人 , 到湖北省的A , B , C三地到场疫情防控事情 , 假设这3人中至少有1名女大夫 , 那么选派计划有()A．9种B．12种C．54种D．72种7．从5个差别的元素a , b , c , d , e中拿出2个 , 写出全部的组合为________．8．某书店有11种杂志 , 个中2元1本的8种 , 1元1本的3种 , 小张用10元钱买杂志(每种至多买一本 , 10元钱恰好用完) , 那么差别买法的种数是________．(用数字作答) 9．由0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9构成没有反复数字的五位奇数有________个．10．7名身高互不相称的门生 , 划分按以下要求分列 , 各有几多种差别的排法？(1)7人站成一排 , 要求最高的站在正中心 , 并向左、右双方看 , 身高逐个递减 ;(2)任选6名门生 , 排成二排三列 , 使每一列的前排门生比后排门生矮．[提本领]11．为做好社区新冠疫情防控事情, 需将四名自愿者分派到甲、乙、丙三个小区发展事情 , 每个小区至少分派一名自愿者 , 那么差别的分派计划共有()种A．36B．48C．60D．1612．现有5种差别颜色要对如以下图的四个局部举行着色, 要求有大众界限的两块不可以用统一种颜色 , 那么差别的着色要领共有()A．120种B．180种C．60种D．48种13．一车间有11名工人, 个中5名是钳工, 4名是车工, 别的2名既能当车工又能当钳工 , 现要在这11名工人里选派4名钳工 , 4名车工补缀一台机床 , 那么共有________种选派要领．14．摆设3名自愿者完成4项事情 , 每人至少完成1项 , 每项事情由1人完成 , 那么差别的摆设方法共有________种．15．从5名男生和3名女生当选5人划分担当5门差别学科的课代表, 划分求切合以下前提的要领种数．(1)女生甲担当语文课代表 ;(2)男生乙必需是课代表 , 但不担当英语课代表 ;(3)3名男生课代表 , 2名女生课代表 , 男生丙不担当英语课代表．[战疑难]16．设荟萃I ＝{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} , 假设I 的非空子集A 、B 知足A ∩B ＝∅ , 就称有序荟萃对(A , B )为I 的〞断绝荟萃对〞 , 那么荟萃I 的〞断绝荟萃对〞的个数为________．(用详细数字作答)课时功课(四)1．剖析 : ∵A 3n ＝12C n －2n ＝12C 2n ,∴n (n －1)(n －2)＝12×n 〔n －1〕2 , 即n －2＝6 , ∴n ＝8 , 应选D.谜底 : D2．剖析 : 三张票没差别 , 从10人当选3人即可 , 即C 310 , 应选B. 谜底 : B3．剖析 : 让甲学校先选 , 那么剩余的先生到乙学校． 第1步 , 选女西席 , 差别的选法为C 12 ＝2(种) ; 第二步 , 选男西席 , 差别的选法为C 24 ＝6(种).由分步乘法计数道理可得 , 差别的摆设计划有2×6＝12(种).应选B. 谜底 : B4．剖析 : 当〞A 选1门 , B 选2门〞时 , 要领数有C 13 ×C 25 ＝30种 , 当〞A 选2门 , B 选1门〞时 , 要领数有C23×C15＝15种 , 故总的要领数有30＋15＝45种．应选C.谜底 : C5．剖析 : 由题意 , 先从4名主干西席中任取2名 , 共有C24种取法 , 如许就将4名主干西席分成了3组 , 再分派到3所学校 , 以是差别摆设计划有 : C24 A33＝6×3×2×1＝36.应选C.谜底 : C6．剖析 : 3人中至少有1名女大夫 , 思量间接法 ,先任选3名大夫共有C35种选法 ,没有女大夫被选上的情形为C33 ,因此3人中至少有1名女大夫的选法为C35－C33种 ,再摆设到湖北省的A , B , C三地共有(C35－C33 )·A33＝9×6＝54种 , 应选C.谜底 : C7．剖析 : 要想列出全部组合 , 做到不重不漏 , 先将元素凭据必然次序排好 , 然后按次序用如图所示的要领将各个组合逐个地标示出来．如以下图．谜底 : ab , ac , ad , ae , bc , bd , be , cd , ce , de8．剖析: 10元钱恰好用完有两种情形: 5种2元1本的; 4种2元1本的和2种1元1本的．分两类完成 :第1类 , 买5种2元1本的 , 有C58种差别买法 ;第2类 , 买4种2元l本的和2种1元l本的 , 有C48 ·C23种差别买法．凭据分类加法计数道理 , 可得差别买法的种数是C58＋C48 ·C23＝266.谜底 : 2669．剖析 : 有0的五位奇数有C15 C13 A38个 , 无0的五位奇数有C15 A48个 , 以是全部的五位奇数有C15 C13 A38＋C15 A48＝13 440个．谜底 : 13 44010．剖析 : (1)第一步 , 将最高的摆设在正中心只有1种排法 ; 第二步 , 从剩下的6人中任选3人摆设在一侧有C 36 种排法 ; 第三步 , 将剩下的3人摆设在另一侧 , 只有1种排法． 以是共有C 36 ＝20种差别的排法．(2)第一步 , 从7人当选6人 , 有C 67 种选法 ;第二步 , 从6人当选2人摆设在第一列 , 有C 26 种排法 ; 第三步 , 从剩下的4人当选2人摆设在第二列 , 有C 24 种排法 ; 末了将剩下的2人摆设在第三列 , 只有1种排法．故共有C 67 ×C 26 ×C 24 ＝630种差别的排法．11．剖析 : 凭据题意可知必有二名自愿者去统一小区发展事情 , 因此有C 24 ＝4×32＝6种方法 ,以是四名自愿者分派到甲、乙、丙三个小区发展事情 , 每个小区至少分派一名自愿者共有C 24 ·A 33 ＝6×3×2×1＝36种方法．应选A.谜底 : A12．剖析 : 先对中心两块涂色 , 那么共有A 25 种涂色计划 , 再对剩余两块涂色 , 那么共有C 13 ×C 13 ＝9种 ;故知足题意的全部涂色计划有A 25 ×C 13 ×C 13 ＝180种．应选B.谜底 : B13．剖析 : 按既能当车工又能当钳工的工人当选派几人去当钳工举行分类 , 0人去当钳工 , 共C 45 C 46 ＝75种选派要领 ;1人去当钳工 , 共C 12 C 35 C 45 ＝100种选派要领 ; 2人去当钳工 , 共C 25 C 44 ＝10种选派要领．以是共有75＋100＋10＝185种选派要领． 谜底 : 18514．剖析 : 由题意可得 , 有1人完成2项事情 , 别的2人每人完成1项事情．先把事情分成3组 , 即2 , 1 , 1 , 分法种数为C 24 C 12 C 11A 22＝6 , 再分派给3小我私家 , 分派要领数为A 33 ＝6 , 故差别的摆设方法共有6×6＝36(种).谜底 : 3615．剖析 : (1)女生甲担当语文课代表 , 再选4人划分担当其余4门学科的课代表 , 故要领种数为A 47 ＝840.(2)除乙外 , 先选出4人 , 有C 47 种要领 , 连同乙在内 , 5人担当5门差别学科的课代表 ,乙不担当英语课代表 , 有C 14 A 44 种要领 ,故要领种数为C 47 C 14 A 44 ＝3 360.(3)分两类 :第一类 , 丙担当课代表 , 先选出除丙外的2名男生和2名女生 , 有C 24 C 23 种要领 , 连同丙在内 , 5人担当5门差别学科的课代表 , 丙不担当英语课代表 , 有C 14 A 44 种要领 , 以是有C 24 C 23 C 14 A 44 种要领 ;第二类 , 丙不担当课代表 , 有C 34 C 23 A 55 种要领 ,凭据分类加法计数道理 , 得要领种数为C 24 C 23 C 14A 44 ＋C 34 C 23 A 55 ＝3 168.16．剖析 : 当A 中含有1个元素时 , 〞断绝荟萃对〞的个数为C 18 (C 17 ＋C 27 ＋C 37 ＋C 47 ＋C 57 ＋C 67 ＋C 77 )＝1 016 ; 当A 中含有2个元素时 , 〞断绝荟萃对〞的个数为C 28 (C 16 ＋C 26 ＋C 36 ＋C 46 ＋C 56 ＋C 66 )＝1 764 ; 当A 中含有3个元素时 , 〞断绝荟萃对〞的个数为C 38 (C 15 ＋C 25 ＋C 35 ＋C 45 ＋C 55 )＝1 736 ; 当A 中含有4个元素时 , 〞断绝荟萃对〞的个数为C 48 (C 14 ＋C 24 ＋C 34 ＋C 44 )＝1 050 ; 当A 中含有5个元素时 , 〞断绝荟萃对〞的个数为C 58 (C 13 ＋C 23＋C 33 )＝392 ; 当A 中含有6个元素时 , 〞断绝荟萃对〞的个数为C 68 (C 12 ＋C 22 )＝84 ; 当A 中含有7个元素时 , 〞断绝荟萃对〞的个数为C78＝8.以是一共有〞断绝荟萃对〞的个数为6 050.谜底 : 6 050。
精品数学 高中数学人教A版选择性必修三第六章 6.2.3-6.2.4 第1课时 组合及组合数的定义
6.2.3组合6.2.4组合数第1课时组合及组合数的定义学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．知识点一组合及组合数的定义1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．知识点二排列与组合的关系相同点两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序关系组合数C m n与排列数A m n间存在的关系A m n＝C m n A m m1．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题．(√) 2．“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合．(×)3．组合数C35＝A35A33.(√)4．两个组合相同，则其对应的元素一定相同．(√)一、组合概念的理解例1判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．反思感悟排列、组合辨析切入点(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．跟踪训练1判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．解(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．(2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．二、组合的个数问题例2在A，B，C，D四位候选人中．(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(3)类比上述两个结果间的等量关系，你能找出排列数A m n与组合数C m n间的等量关系吗？解(1)从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有A24＝12(种)选法，所有可能的选举结果：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，BA ，CA ，DA ，CB ，DB ，DC .(2)从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有C 24＝6(种)选法，所有可能的选举结果：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD .(3)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都对应A 22个排列，即A 24＝C 24A 22.类比可知，从n 个不同元素选出m 个元素的排列数A m n 与组合数C m n 间的等量关系为A m n ＝C m n A m m .反思感悟 组合个数的求解策略(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A 开头的组合，再枚举以字母B 开头的组合，直到全部枚举完毕．(2)公式法：利用排列数A m n 与组合数C m n 之间的关系C m n ＝A m n A m m求解． 跟踪训练2 从5个不同元素a ，b ，c ，d ，e 中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．解 先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示：由此可得所有的组合：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共有10种．三、简单的组合问题例3 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．答案 (1)45 (2)21 (3)90解析 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝A 210A 22＝10×92×1＝45. (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类加法计数原理，共有C 26＋C 24＝A 26A 22＋A 24A 22＝6×52×1＋4×32×1＝15＋6＝21(种)不同的选法． (3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 26×C 24＝A 26A 22×A 24A 22＝6×52×1×4×32×1＝90(种)． 反思感悟 利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．跟踪训练3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝A 38A 33＝8×7×63×2×1＝56. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝A 27A 22＝7×62×1＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝A 37A 33＝7×6×53×2×1＝35.1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是( )A ．a ，b ，c —b ，c ，aB ．a ，b ，c —a ，c ，bC ．a ，c ，d —d ，a ，cD ．a ，b ，c —a ，b ，d答案 ABC2．从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是( )A ．10B ．5C ．4D ．1答案 B解析 组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法．3．在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为( )A．4×13手B．134手C．A1352手D．C1352手答案 D解析本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者可能得到C1352手不同的牌．4．下列问题中，组合问题有________，排列问题有________．(填序号)①从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和；②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数；③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动．答案①②③解析①②为组合问题，③为排列问题．5．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________________________．答案ab，ac，ad，bc，bd，cd解析可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.1．知识清单：(1)组合与组合数的定义．(2)排列与组合的区别与联系．(3)用列举法写组合．2．方法归纳：枚举法．3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”．1．(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有()A．由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数C ．由1,2,3组成两位数的不同方法数D ．由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数答案 AB2．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )A ．A 310种B ．C 310种 C ．C 310A 310种D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人，即C 310. 3．已知平面内A ，B ，C ，D 这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24答案 B解析 由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC ，△ABD ，△ACD ，△BCD .4．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为( )A ．4B ．8C ．28D ．64答案 C解析 由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建C 28＝A 28A 22＝8×72×1＝28(条)公路． 5．某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有( )A ．C 59种B ．A 37种C ．C 37种D ．C 57种答案 C解析 只需再从其他7名队员中选3人，即C 37种选法．6．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有______种不同选法．答案 84解析 只需从9名学生中选出3名即可，从而有C 39＝A 39A 33＝9×8×73×2×1＝84(种)选法． 7．若已知集合P ＝{1,2,3,4}，则集合P 的子集中含有2个元素的子集数为________． 答案 6解析 由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C 24＝A 24A 22＝4×32×1＝6(个)．8．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，则不同方法的种数是________．(用数字作答) 答案 10解析 由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，共有C 35＝A 35A 33＝5×4×33×2×1＝10(种)不同方法． 9．判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？解 (1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为A 210＝90.(2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为C 210＝A 210A 22＝45. (3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为C 210＝A 210A 22＝45. (4)是组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为C 310＝A 310A 33＝120. (5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为A 310＝720.10．平面内有10个点，其中任意3个点不共线．(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？解 (1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合数，共有C 210＝A 210A 22＝10×92×1＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列数，共有A 210＝10×9＝90(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的有向线段共有90条．(3)所求三角形的个数，即为从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C 310＝A 310A 33＝10×9×83×2×1＝120(个)．11．(多选)下列问题是组合问题的有( )A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B ．平面上有2 021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }中含有三个元素的子集有多少个D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法答案 ABC解析 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC.12．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有( )A ．60种B ．36种C ．10种D ．6种答案 D解析 甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有C 24＝A 24A 22＝6(种)不同的选法． 13．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A ．224B ．112C ．56D ．28答案 B解析 由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为C 28C 14＝A 28A 22·A 14A 11＝112. 14．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积，任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.答案 1∶2解析 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.15．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有________个矩形；(2)从A 点走向B 点最短的走法有________种．答案 (1)210 (2)210解析 (1)在7条南北向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形C 27·C 25＝A 27A 22·A 25A 22＝210(个)． (2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C 610·C 44＝A 610A 66·A 44A 44＝210(种)走法．16．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问：全部赛程共需比赛多少场？解 (1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C 26＝2×A 26A 22＝30(场)．(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场)．(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．。
2020_2021学年新教材高中数学第六章计数原理四组合组合数课时素养评价含解析新人教A版选择性必修
四组合组合数(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)下列问题中,是组合问题的是( )A.设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的有多少个B.某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票C.3人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法D.把3本相同的书分给5个学生,每人最多得1本,有几种分配方法【解析】选AD.A.因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题.B.因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题.C.因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种,按一定次序分给3个人去干,故是排列问题.D.因为3本书是相同的,无论把3本书分给哪三人,都不需考虑他们的顺序,故是组合问题. 【加练·固】以下四个命题,属于组合问题的是( )A.从3个不同的小球中,取出2个排成一列B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地【解析】选C.从100位幸运观众中选出2名幸运之星,与顺序无关,是组合问题.【类题·通】判断一个问题是否是组合问题的流程2.集合M={x|x=,n≥0且n∈N},集合Q={1,2,3,4},则下列结论正确的是( )A.M∪Q={0,1,2,3,4}B.Q⊆MC.M⊆QD.M∩Q={1,4}【解析】选D.由知n=0,1,2,3,4,因为=1,=4,==6,==4,=1,所以M={1,4,6}.故M∩Q={1,4}.3.方程=的解集为( )A.{1,3}B.{3,5}C.(1,3)D.{1,3,5,-7}【解析】选A.因为=,所以x2-x=5x-5 ①,或(x2-x)+(5x-5)=16 ②,解①可得x=1或x=5(舍去),解②可得x=3或x=-7(舍),所以该方程的解集是{1,3}.4.若-=,则n等于( )A.12B.13C.14D.15【解析】选C.因为-=,即=+=,所以n+1=7+8,即n=14.二、填空题(每小题5分,共10分)5.平面凸n边形的对角线的条数为________.【解析】从n个顶点中任选2个可形成条线段,其中有n条线段是凸n边形的边,故对角线条数为-n=条.答案:6.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m个不同的积;任取两个不同的数相除,有n个不同的商,则m∶n=________.【解析】因为m=,n=,所以m∶n=1∶2.答案:1∶2三、解答题(每小题10分,共20分)7.解不等式>+2+.【解题指南】由题中的,,想到先用性质化简不等式,再进一步求解.【解析】因为=,所以原不等式可化为>(+)+(+),即>+,也就是>,所以>,即(n-3)(n-4)>20,解得n>8或n<-1.又n∈N*,n≥5.所以n≥9且n∈N*.8.(1)解方程:3=5.(2)求值+.【解题指南】(1)根据排列数与组合数的阶乘公式将原方程转化为关于x的二次方程求解. (2)根据上下标的大小关系得到r的可能取值,代入求得组合数的值.【解析】(1)由排列数和组合数公式,原方程可化为3·=5·,则=,即为(x-3)(x-6)=40.所以x2-9x-22=0,解之可得x=11或x=-2.经检验知x=11是原方程的解,所以方程的解为x=11.(2)由组合数的定义知所以7≤r≤9.又r∈N*,所以r=7,8,9,当r=7时,原式=+=46;当r=8时,原式=+=20;当r=9时,原式=+=46.(15分钟·30分)1.(5分)算式可以表示为( )A. B.C.21D.21【解析】选D.==×21=21.2.(5分)(+)÷的值为( )A.6B.101C.D.【解析】选C.(+)÷=(+)÷=÷=÷==.3.(5分)+++…+=________.【解析】+++…+=+++…+=++…+=++…+=…=+==220.答案:2204.(5分)(2020·某某高二检测)已知=++,则x=________.【解析】因为=++,所以=+,所以-=,所以=,所以x=2x-3,或x+2x-3=9,解得x=3,或x=4.答案:3或4【加练·固】已知x,y满足组合数方程=,则xy的最大值是________.【解析】因为x,y满足组合数方程=,所以2x=y,0≤x≤8或2x+y=17,所以xy=2x2∈[0,128],或2xy≤=,即xy≤.(当且仅当x=y=时,取“=”)综上,当2x=y=16时,xy取最大值128.答案:1285.(10分)求20=4(n+4)+15中n的值.【解析】原方程可化为20×=4(n+4)×+15(n+3)(n+2),即=+15(n+3)(n+2),所以(n+5)(n+4)(n+1)-(n+4)(n+1)n=90,即5(n+4)(n+1)=90,所以n2+5n-14=0,即n=2或n=-7.注意到n≥1且n∈N*,所以n=2.1.若-=(n∈N*),则n等于( )A.11B.12C.13D.14【解析】选B.根据题意,-=变形可得,=+;由组合数的性质可得,+=,即=,则可得到n+1=6+7⇒n=12.2.(2020·某某高二检测)推广组合数公式,定义=,其中x∈R,m∈N*,且规定=1.(1)求的值.(2)设x>0,当x为何值时,函数f(x)=取得最小值?【解析】(1)==3 060.(2)==.因为x>0,所以x+≥2,当且仅当x=时,等号成立,所以当x=时,取得最小值.。
2020_2021学年新教材高中数学第六章计数原理6.2.3组合6.2.4组合数课时作业含解析新人教
课时作业(四) 组合组合数[练基础]，则n＝( )1．若A3n＝12C n－2nA．4B．6C．7D．82．把三X游园票分给10个人中的3人，分法有( )A．A310种B．C310种C．C310A310种D．30种3．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案有( )A．24种B．12种C．10种D．9种4．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A．30种B．35种C．45种D．48种5．某教育局安排4名骨干教师分别到3所农村学校支教，若每所学校至少安排1名教师，且每名教师只能去一所学校，则不同安排方案有( )A．6种B．24种C．36种D．72种6．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在某某爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院呼吸科要从3名男医生，2名女医生中选派3人，到某某省的A，B，C三地参加疫情防控工作，若这3人中至少有1名女医生，则选派方案有( )A．9种B．12种C．54种D．72种7．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有的组合为________．8．某书店有11种杂志，其中2元1本的8种，1元1本的3种，小X用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是________．(用数字作答)9．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位奇数有________个．10．7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？(1)7人站成一排，要求最高的站在正中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；(2)任选6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．[提能力]11．为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有( )种A．36B．48C．60D．1612．现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )A．120种B．180种C．60种D．48种13．一车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则共有________种选派方法．14．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种．15．从5名男生和3名女生中选5人分别担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的方法种数．(1)女生甲担任语文课代表；(2)男生乙必须是课代表，但不担任英语课代表；(3)3名男生课代表，2名女生课代表，男生丙不担任英语课代表．[战疑难]16．设集合I＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，若I的非空子集A、B满足A∩B＝∅，就称有序集合对(A，B)为I的“隔离集合对”，则集合I的“隔离集合对”的个数为________．(用具体数字作答)课时作业(四)1．解析：∵A 3n ＝12C n －2n ＝12C 2n ，∴n (n －1)(n －2)＝12×n （n －1）2，即n －2＝6，∴n ＝8，故选D.答案：D2．解析：三X 票没区别，从10人中选3人即可，即C 310 ，故选B.答案：B3．解析：让甲学校先选，则剩余的老师到乙学校．第1步，选女教师，不同的选法为C 12 ＝2(种)；第二步，选男教师，不同的选法为C 24 ＝6(种).由分步乘法计数原理可得，不同的安排方案有2×6＝12(种).故选B.答案：B4．解析：当“A 选1门，B 选2门”时，方法数有C 13 ×C 25 ＝30种，当“A 选2门，B 选1门”时，方法数有C 23 ×C 15 ＝15种，故总的方法数有30＋15＝45种．故选C.答案：C5．解析：由题意，先从4名骨干教师中任取2名，共有C 24 种取法，这样就将4名骨干教师分成了3组，再分配到3所学校，所以不同安排方案有：C24A33＝6×3×2×1＝36.故选C.答案：C6．解析：3人中至少有1名女医生，考虑间接法，先任选3名医生共有C35种选法，没有女医生被选上的情况为C33，因此3人中至少有1名女医生的选法为C35－C33种，再安排到某某省的A，B，C三地共有(C35－C33)·A33＝9×6＝54种，故选C.答案：C7．解析：要想列出所有组合，做到不重不漏，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来．如图所示．答案：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de8．解析：10元钱刚好用完有两种情况：5种2元1本的；4种2元1本的和2种1元1本的．分两类完成：第1类，买5种2元1本的，有C58种不同买法；第2类，买4种2元l本的和2种1元l本的，有C48·C23种不同买法．根据分类加法计数原理，可得不同买法的种数是C58＋C48·C23＝266.答案：2669．解析：有0的五位奇数有C15C13A38个，无0的五位奇数有C15A48个，所以所有的五位奇数有C15C13A38＋C15A48＝13 440个．答案：13 44010．解析：(1)第一步，将最高的安排在正中间只有1种排法；第二步，从剩下的6人中任选3人安排在一侧有C36种排法；第三步，将剩下的3人安排在另一侧，只有1种排法．所以共有C36＝20种不同的排法．(2)第一步，从7人中选6人，有C67种选法；第二步，从6人中选2人安排在第一列，有C26种排法；第三步，从剩下的4人中选2人安排在第二列，有C24种排法；最后将剩下的2人安排在第三列，只有1种排法．故共有C67×C26×C24＝630种不同的排法．11．解析：根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，因此有C24＝4×32＝6种方式，所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有C 24 ·A 33 ＝6×3×2×1＝36种方式．故选A.答案：A12．解析：先对中间两块涂色，则共有A 25 种涂色方案，再对剩余两块涂色，则共有C 13 ×C 13 ＝9种；故满足题意的所有涂色方案有A 25 ×C 13 ×C 13 ＝180种．故选B.答案：B13．解析：按既能当车工又能当钳工的工人中选派几人去当钳工进行分类，0人去当钳工，共C 45 C 46 ＝75种选派方法；1人去当钳工，共C 12 C 35 C 45 ＝100种选派方法；2人去当钳工，共C 25 C 44 ＝10种选派方法．所以共有75＋100＋10＝185种选派方法．答案：18514．解析：由题意可得，有1人完成2项工作，其余2人每人完成1项工作．先把工作分成3组，即2，1，1，分法种数为C 24 C 12 C 11A 22＝6，再分配给3个人，分配方法数为A 33 ＝6，故不同的安排方式共有6×6＝36(种).答案：3615．解析：(1)女生甲担任语文课代表，再选4人分别担任其他4门学科的课代表，故方法种数为A47＝840.(2)除乙外，先选出4人，有C47种方法，连同乙在内，5人担任5门不同学科的课代表，乙不担任英语课代表，有C14A44种方法，故方法种数为C47C14A44＝3 360.(3)分两类：第一类，丙担任课代表，先选出除丙外的2名男生和2名女生，有C24C23种方法，连同丙在内，5人担任5门不同学科的课代表，丙不担任英语课代表，有C14A44种方法，所以有C24C23C14A44种方法；第二类，丙不担任课代表，有C34C23A55种方法，根据分类加法计数原理，得方法种数为C24C23C14A44＋C34C23A55＝3 168.16．解析：当A中含有1个元素时，“隔离集合对”的个数为C18(C17＋C27＋C37＋C47＋C57＋C67＋C77)＝1 016；当A中含有2个元素时，“隔离集合对”的个数为C28(C16＋C26＋C36＋C46＋C56＋C66)＝1 764；当A中含有3个元素时，“隔离集合对”的个数为C38(C15＋C25＋C35＋C45＋C55)＝1 736；当A中含有4个元素时，“隔离集合对”的个数为C48(C14＋C24＋C34＋C44)＝1 050；当A中含有5个元素时，“隔离集合对”的个数为C58(C13＋C23＋C33)＝392；当A中含有6个元素时，“隔离集合对”的个数为C68(C12＋C22)＝84；当A中含有7个元素时，“隔离集合对”的个数为C78＝8.所以一共有“隔离集合对”的个数为6 050.答案：6 050。
计算机应用数学-(组合数学)-答案哈工大
1，证明，如果从集合{1，2，...，2n}中选择n+1整数，那么总存在两个整数，它们之间相差为1.2，用鸽巢原理证明，有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的。
例如，34 478/99 900=0.345 125 125 125 125 12...3，一间屋内有10个人，他们当中没有人超过60岁（年龄只能以整数给出）但又至少不低于1岁。
证明，总能够找出两组人（两组不含相同人），各组人的年龄和是相同的。
题中的数10能换成更小的数吗？4，一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。
如果我每分钟从袋子里了出1种水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？5，i）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择5个点，存在2个点，其间距离至多为1/2。
ii）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择10个点，存在2个点，其间距离至多为1/3。
iii）确定一个整数m小n，使得如果在边长为1的等边三角形内任意选择的m小n个点，则存在2个点，其间距离至多为1/n.6，下列各数各有多少互异正因子？i）3的4次方X 5的2次方X 7的6次方X 11ii）620iii）10的10次方7，确定下列类型的一手牌（5张牌）的数目。
i）full houses （3张一样大小的牌及2张相同点数的另外大小的牌）。
ii）顺牌（5张点数相连的牌）。
iii）同花（5张一样花色的牌）。
iv）同花顺（5张点数相连的同样花色的牌）。
v）恰好两个对（一对同样大小，另一对另外点数同样大小，再有一张另外大小的5张牌）。
vi）恰好一个对（一对同样大小，另外三张另外大小且互异点数的牌）。
8，从拥有10名男会员和12名女会员的一个俱乐部选出一个5人委员会。
如果至少要包含2位女士，能够有多少种方法形成这个委员会？此外，如果俱乐部还有一位特定的男士和一们特定的女士拒绝进入该委员会一起工作，形成委员会的方式又有多少？9，学校有100名学生和3个宿舍A，B和C，它们分别容纳25，35和40人。
组合数学 第四版 (Richard A[1].Brualdi 著) 机械工业出版社作业答案
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解法 1 因此，
对任意非负整数 n 和 k， (k 1) 即 ， ， (n 1) k k k 1 k 1 k 1 n 1 1 n 1 n 1 n 1 n 1 (1) n 2 1 3 2 4 3 n 1 n
k 1 k 1 k n 1 k 1 n 1 (1) k 0 n
w.
k 0
da
(1) k n 1 1
n 1 k 1
课
后
2n (3 (1)) n
n n nk n nk k 3 ( 1 ) k (1)k k 3 k 0 k 0
a1 , a 2 , , a 37 和 a1 13, a 2 13,, a 37 13 都是严格单调递增序列。因为总的学习时间
co
m
③ 考虑 6 位整数。最高位不能为 0，因此 8 位整数有 7 P(7, 5) 个。 ④ 考虑 5 位整数。最高位不能为 0，因此 8 位整数有 7 P (7, 4) 个。 ⑤ 考虑 4 位整数。若千位数字大于 5，有 3 P(7, 3) 个。若千位数字等于 5，则百位数字 必须大于等于 4，有 4 P(6, 2) 个。
至少已拿出 12 个相同种类的水果。因此，需要 45 分钟。 17. 证明：在一群 n 1 个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没 有人与他/她自己是熟人） 。
w.
证明 因为每个人都不是自己的熟人，所以每个人的熟人的数目是从 0 到 n 1 的整数。若 有两个人的熟人的数目分别是 0 和 n 1 ，则有人谁都不认识，有人认识所有的人，这是不 可能的。因此，这 n 个人的熟人的数目是 n 1 个整数之一，必有两个人有相同数目的熟人。
高中数学(人教A版)选择性必修三课后习题：组合、组合数(课后习题)【含答案及解析】
第六章计数原理6.2 排列与组合6.2.3 组合 6.2.4 组合数课后篇巩固提升必备知识基础练1.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为( )A.4B.8C.28D.64“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建C 82=28(条)公路.2.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有( ) A.140种 B .120种 C .35种 D .34种1男3女有C 41C 33=4(种);若选2男2女有C 42C 32=18(种);若选3男1女有C 43C 31=12(种).所以共有4+18+12=34(种)不同的选法.故选D .3.已知C n+17−C n 7=C n 8,则n 等于( )A.14B.12C.13D.15,得C n+17=C n+18,故7+8=n+1,解得n=14.4.某校有6名志愿者,在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务,任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”“欢乐世园共绘展板”“传递祝福发放彩绳”三项活动,其中1人负责“征集留言”,2人负责“共绘展板”,3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有( ) A.30种 B.60种 C.120种 D.180种6人中选1人负责“征集留言”,从剩下的人中选2人负责“共绘展板”,最后剩下的3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有C 61C 52C 33=60(种).故选B.5.安排A,B,C,D,E,F 共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A 不安排照顾老人甲,义工B 不安排照顾老人乙,则安排方法共有( ) A.30种 B.40种 C.42种 D.48种名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人共有C 62C 42=90(种)安排方法,其中A 照顾老人甲的情况有C 51C 42=30(种), B 照顾老人乙的情况有C 51C 42=30(种),A 照顾老人甲,同时B 照顾老人乙的情况有C 41C 31=12(种).故符合题意的安排方法有90-30-30+12=42(种). 故选C.6.若已知集合P={1,2,3,4,5,6},则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为 .,因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关,是组合问题,共有C 63=20(个)子集.7.不等式C n 2-n<5的解集为 .C n 2-n<5,得n (n -1)2-n<5,∴n 2-3n-10<0.解得-2<n<5.由题设条件知n ≥2,且n ∈N *,∴n=2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.8.若对任意的x ∈A ,则1x ∈A ,就称A 是“具有伙伴关系”的集合.集合M=-1,0,13,12,1,2,3,4的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为 .-1;1;12,2;13,3,共4组.所以集合M 的所有非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组.又因为集合中的元素是无序的,所以所求集合的个数为C 41+C 42+C 43+C 44=15.9.如图,某区有7条南北向街道,5条东西向街道.(1)图中有多少个矩形?(2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种?在7条南北向街道中任选2条,5条南北向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成矩形有C 72·C 52=210(个).(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段,从A 到B 最短的走法包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即走南北方向的),共有C 106=C 104=210(种)走法.关键能力提升练10.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有( ) A.72种B.84种C.120种D.168种3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯形成的10个空中,所以关灯方案共有C103=120(种).11.(2021江苏江宁校级期中)计算组合数C129得到的值为()A.1 320B.66C.220D.240=220.,C129=C123=12×11×103×2×112.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A.33B.34C.35D.36所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C21·A33=12(个);②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C21·A33+A33=18(个);③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C31=3(个).故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33(个).故选A.13.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()A.50种B.60种C.120种D.210种,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7).甲任选一种为C61,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A52种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C61·A52=120(种),故选C.14.(多选)有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N,则下列等式能成为N的算式是()A.C135−C71C64B.C72C63+C73C62+C74C61+C75C.C135−C71C64−C65D.C72C113名医生,其中女医生6人,男医生7人.(方法一直接法)2男3女C72C63;3男2女C73C62;4男1女C74C61;5男C75,所以N=C72C63+C73C62+C74C61+C75.(方法二间接法)13名医生,任取5人,减去4、5名女医生的情况,即N=C135−C71C64−C65.故选BC.15.某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有种.,就所剩余的1本进行分类:第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有C 42=6(种).因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10(种).16.C 88+C 98+C 108+C 118= .88+C 98+C 108+C 118=C 129=C 123=220.17.4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,则恰好有1个空盒子的放法有 种.,必有1个盒子内放入2个小球,从4个小球中取出2个小球,有C 42种取法,此时把它看作1个小球,与另2个小球共3个小球放入4个盒子中,有A 43种放法,所以满足题意的放法有C 42·A 43=144(种).18.(2021湖南模拟)甲、乙、丙、丁4名同学到A ,B ,C 三个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,且同学甲安排在A 小区,则共有 种不同的安排方案.:(1)A 小区安排2人(同学甲及另一名同学),则有C 31A 22=6(种)安排方案.(2)A 小区只安排同学甲1人,则有C 32A 22=6(种)安排方案,根据分类加法计数原理可得共有6+6=12(种)安排方案.19.(1)计算:C 85+C 10098C 77.(2)求证:C m+2n =C m n +2C m n -1+C m n -2.=C 83+C 1002×1=8×7×63×2×1+100×992×1=56+4 950=5 006.C n+1m =C n m +C n m -1可知,右边=(C m n +C m n -1)+(C m n -1+C m n -2)=C m+1n +C m+1n -1=C m+2n =左边.所以原等式成立.学科素养创新练20.有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分法? (1)甲得4本、乙得3本、丙得2本; (2)一人得4本、一人得3本、一人得2本; (3)甲、乙、丙各得3本.分三步完成:第1步,从9本不同的书中,任取4本分给甲,有C 94种方法; 第2步,从余下的5本书中,任取3本给乙,有C 53种方法; 第3步,把剩下的书给丙,有C 22种方法,所以甲得4本、乙得3本、丙得2本,共有C 94C 53C 22=1 260(种)不同的分法.(2)分两步完成:第1步,按4本、3本、2本分成三组有C 94C 53C 22种方法;第2步,将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有A 33种方法,所以一人得4本、一人得3本、一人得2本,共有C 94C 53C 22A 33=7 560(种)不同的分法.(3)用与(1)相同的方法即可求解,可得甲、乙、丙各得3本,共有C 93C 63C 33=1 680(种)不同的分法.21.按照下列要求,分别求有多少种不同的方法? (1)5个不同的小球放入3个不同的盒子;(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球; (3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球; (4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有1个空盒.个不同的小球放入3个不同的盒子,每个小球都有3种可能,利用分步乘法计数原理可得不同的方法有35=243(种).(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,先把5个小球分组,分法有2,2,1和3,1,1两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有C 52C 32C 11A 22+C 53A 33=150(种).(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,类似于在5个小球间的空隙中,放入2个隔板,把小球分为3组,故不同的方法共有C 42=6(种).(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有一个空盒,先把5个小球分2组,分法有3,2,0和4,1,0两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有(C 53C 22+C 54)A 33=90(种).。
人教A版选择性必修第三册第六章6.2.3组合6.2.4组合数学案
组合组合数必备知识·自主学习1.组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．(1)组合对元素有何要求？提示：组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的．(2)组合是有放回抽取还是无放回抽取？提示：无放回抽取，即从n个不同的元素中进行m次不放回抽取．2．组合数(1)定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．(2)本质：简捷地表示“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数”这类特殊的计数问题．(3)作用：①建立特殊的计数模型；②推导组合数公式．3．组合数公式及其性质组合数的两个性质在计算组合数时有何作用？，通常不直接计算C m n，而改为计算提示：第一个性质中，若m＞n2，这样可以减少计算量；第二个性质是根据需要将一个组合数C n－mn拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数，在解题中要注意灵活运用．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)从3，5，7，11中任取两个数相除属于组合问题．()(2)由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数．()(3)区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关．()提示：(1)×.由于两个数相除与顺序有关，所以是排列问题．(2)×.C m n是从n个元素中取m个元素的情况的种数，故C m n一定是正整数．(3)√.组合与排列不同之处是组合选出的元素没有顺序而排列有顺序．2．C26＝________，C1718＝________.【解析】C26＝6×5＝15，2C1718＝C118＝18.答案：15183．(教材练习改编)现有1，3，7，13这4个数．(1)从这4个数中任取2个相乘，可以得到________个不相等的积；(2)从这4个数中任取2个相除，可以得到________个不相等的商．＝6个不相等的积；【解析】(1)可以得到C24＝4×32(2)可以得到A24＝4×3＝12个不相等的商．答案：(1)6(2)12关键能力·合作学习类型一组合与组合数的概念(数学抽象)1．下列四个问题中，属于组合问题的是()A．从3个不同小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D.将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人1张【解析】选C.只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星与顺序无关，是组合问题．2．判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？(3)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(4)从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？(5)从10个人中选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？【解析】(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C210＝45.(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C210＝45.(3)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的，排列数为A210＝90.(4)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数为C310＝120.(5)是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的科代表是有顺序区别的，排列数为A310＝720.3．已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．【解析】方法一：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.方法二：画出树状图，如图所示．由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.排列、组合问题的判断方法(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序．(2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．【加练·固】判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？(3)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(4)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？【解析】(1)每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．(2)每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．(3)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．(4)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．类型二组合数公式及其应用(数学运算)【典例】已知1C m5－1C m6＝710C m7，求C m8.四步内容理解题意条件：C m5，C m6，C m7及它们之间的等量关系结论：求C m8思路探求确定m的取值范围⇒用组合数公式⇒化简所得等式⇒解方程求值书写表达依题意,m的取值范围是{m|0≤m≤5,m∈N*}.①原方程可化为-=,②即-=,所以1-=即m2-23m+42=0,解得m=2或21(不符合题意,舍去).③所以==28.注意书写的规范性:①求得取值范围;②正确套用公式;③准确化简并解对方程是解题关键.题后应用组合数公式C m n时，一方面要注意根据题目条件选择恰当的巧用组合数公式解题(1)涉及具体数字的可以直接用C m n ＝A m n A m m＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！进行计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C m n ＝n ！m ！（n －m ）！计算． 1．计算C 5－n n ＋C 9－n n ＋1 的结果为________．【解析】⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5.当n ＝4时，原式＝C 14 ＋C 55 ＝5.当n ＝5时，原式＝C 05 ＋C 46 ＝16.答案：5或162．证明：m C m n ＝n C m －1n －1 . 【证明】因为左边＝m ·n ！m ！（n －m ）！＝n ·（n －1）！（m －1）！（n －m ）！＝n ·（n －1）！（m －1）！（n －m ）！＝n C m －1n －1 ＝右边， 所以m C m n ＝n C m －1n －1 . 类型三 组合数的性质 (数学运算)角度1=的应用【典例】若C 2x －18＝C x ＋38 ，则x 的值为________． 【思路导引】先根据组合数的定义及性质C m n ＝C n －m n化简变形，再解方程求x 的值．【解析】由C 2x －18＝C x ＋38 得2x －1＝x ＋3 或2x －1＋x ＋3＝8，解得x ＝4或x ＝2.答案：2或4【变式探究】将本例条件改为C 3x ＋618 ＝C 4x －218 ，求x 的值．【解析】由题意得3x ＋6＝4x －2，或3x ＋6＝18－(4x －2)，解得x ＝2或x ＝8.而3x ＋6≤18且4x －2≤18，即x ≤4，且x ∈N *，所以x ＝8不合题意，应舍去，所以x ＝2.角度2+=的应用【典例】计算C 22 ＋C 23 ＋C 24 ＋C 25 ＋C 26 ＝________．【思路导引】根据组合数的性质C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1 计算可得．【解析】C 22 ＋C 23 ＋C 24 ＋C 25 ＋C 26＝C 33 ＋C 23 ＋C 24 ＋C 25 ＋C 26 ＝C 34 ＋C 24 ＋C 25 ＋C 26＝C 35 ＋C 25 ＋C 26 ＝C 36 ＋C 26 ＝C 37 ＝7×6×53×2×1＝35.答案：351．性质“C m n ＝C n －m n”的意义及作用 2．要注意性质C m n ＋1 ＝C m n ＋C m －1n的顺用、逆用、变形用．顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”．1．计算C 34 ＋C 35 ＋C 36 ＋…＋C 32 021 的值为()A ．C 32 022B ．C 52 022C ．C 42 022 －1D ．C 52 022 －1【解析】选C.C 34 ＋C 35 ＋C 36 ＋…＋C 32 021 ＝C 44 ＋C 34 ＋C 35 ＋…＋C 32 021－C 44＝C 45 ＋C 35 ＋…＋C 32 021 －1＝…＝C 42 021 ＋C 32 021 －1＝C 42 022 －1.2．计算：(1)C 58 ＋C 98100 ·C 77 ；(2)C 05 ＋C 15 ＋C 25 ＋C 35 ＋C 45 ＋C 55 .【解析】(1)原式＝C 38 ＋C 2100 ×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 05 ＋C 15 ＋C 25 )＝2(C 16 ＋C 25 )＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32.【加练·固】求证：C n m＋2＝C n m＋2C n－1m＋C n－2m.【证明】由组合数的性质C m n＋1＝C m n＋C m－1可知，n右边＝(C n m＋C n－1m)＋(C n－1m＋C n－2m)＝C n m＋1＋C n－1m＋1＝C n m＋2＝左边，右边＝左边，所以原式成立．课堂检测·素养达标1．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有()A．A310种B．C310种C．30种D．60种【解析】选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C310.2．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1，2，3，4}，则下列结论正确的是()A．M∪Q＝{0，1，2，3，4}B．Q⊆MC．M⊆QD．M∩Q＝{1，4}【解析】选D.由C n4知n＝0，1，2，3，4，因为C04＝1，C14＝4，C24＝4×3＝6，C34＝C14＝4，C44＝1，所以M＝{1，4，6}．故M∩Q＝{1，24}．3．计算C410－C37·A33＝________．【解析】原式＝C410－A37－7×6×5＝10×9×8×74×3×2×1＝210－210＝0.答案：04．(教材练习改编)从语文、数学、英语、政治、历史、地理、物理、化学、生物这9门学科的考试成绩中选出3门考试成绩，有________种不同选法．【解析】9门学科的考试成绩中选出3门考试成绩，有C39＝9×8×7＝84种选法．3×2×1答案：845．从1，2，3，4，5五个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，写出这些三位数．【解析】这些三位数是：123，124，125，134，135，145，234，235，245，345，共10个．关闭Word文档返回原板块。
新教材高中数学第6章组合数第1课时组合与组合数公式学生用书新人教A版选择性必修第三册(含答案)
新教材高中数学学生用书新人教A版选择性必修第三册：第1课时组合与组合数公式学习任务1．理解组合的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(数学抽象) 2．掌握组合数公式，并会应用公式求值．(数学运算)高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选考的，如果考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况呢？如果用{思想政治，历史，地理}表示其中一种选考的组合，你能用类似的方法表示出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？知识点1 组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．1．怎样理解组合，它与排列有何区别？知识点2 组合数及组合数公式1．组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．2．组合数公式乘积式：C n m＝_________＝_________________．阶乘式：C n m＝_____________．规定：C n0＝________．2．“组合”与“组合数”是同一概念吗？它们有什么区别？1．(多选)下列选项是组合问题的是( )A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的人口普查，有多少种不同的选法B．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法D．4本相同的书分给4名同学，每人一本，有多少种分配方法2．(1)C62＝________；(2)A42－C32＝________．3．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________．类型1 组合的概念【例1】判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？[尝试解答]判断一个问题是不是组合问题的方法技巧区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题．[跟进训练]1．判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)2023年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？类型2 列举具体问题的组合【例2】(源自湘教版教材)平面上有5个不同的点A，B，C，D，E，以其中两个点为端点的线段共有多少条？[尝试解答]写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序后移法”或“树形图法”逐个将各个组合表示出来．[跟进训练]2．已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．类型3 利用组合数公式化简、求值与证明利用组合数公式化简、求值【例3】计算：(1)C73＋C74；(2)C105C100－C1010；(3)已知1C5n −1C6n＝710C7n，求C8n．[尝试解答]利用组合数公式证明【例4】求证：C n m＝nn−m C n−1 m．[尝试解答](1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别．(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即C n m中的n为正整数，m为自然数，且n≥m．因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．[跟进训练]3．计算：C103·A33－C107．m−1．4．求证：mC n m＝nC n−1类型4 简单的组合问题【例5】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[尝试解答]解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关；其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟进训练]5．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练有多少种方法做这件事情？1．以下四个选项，属于组合问题的是( )A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地2．计算：C42＋C43＝( )A．8 B．10 C．12 D．163．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )A．A103种B．C103种C．C103A103种D．30种4．若A2n4＝120C n2，则n＝________．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能写出本节课学习的公式吗？2．区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？3．写组合时可采取什么方法？把相同物品分给不同对象的分法种数把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，共有多少种不同的分法？由于每个篮球都相同，因此只要指出每人所得篮球的个数即可，比如，甲得2个、乙得3个、丙得3个、丁得0个，就是一种满足条件的分法．可能有人会想到通过列举来求解上述问题，但是，经过简单的尝试之后，你就会发现，这个问题可能比想象中的难．注意到每一种满足条件的分法本质上就是把8个球分为了4堆，为此可借助3块隔板来实现．例如，前述满足条件的分法可以用图1表示，其中第一块隔板前的篮球是分给甲的，第一块和第二块隔板之间的篮球是分给乙的，第二块和第三块隔板之间的篮球是分给丙的，第三块隔板后的篮球是分给丁的．容易知道，任何一种类似图1的排列都对应一种分法，例如，图2对应的分法为：甲得1个，乙得0个，丙得0个，丁得7个．这样一来，问题就转化为8个相同的篮球和3块相同的隔板，可以有多少种不同的排列方法．因为总共有8＋3＝11个位置，而且我们只需要从这11个位置中选出3个放置隔板(其余放置篮球)即可，因此不同的排列方法种数为C113＝11×10×9＝165．3×2×1也就是说，我们有165种不同的分法．有意思的是，如果设甲、乙、丙、丁4人所得篮球个数分别为x1，x2，x3，x4，则不难看出，我们得到了方程x1＋x2＋x3＋x4＝8的非负整数解(x1，x2，x3，x4)个数为165．类似地，可以得到把n个相同的物品分给r个不同对象的方法数(其中r和n均为正整数)，也就是方程x1＋x2＋…＋x r＝n的非负整数解(x1，x2，…，x r)的个数，请自己尝试一下吧！6.2.3 组合6.2.4 组合数第1课时组合与组合数公式[必备知识·情境导学探新知]知识点1 一组思考1 提示：(1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．知识点2 1．所有不同组合 C n m2．A n m A m m n(n−1)(n−2)…(n−m ＋1)m ！(n ，m ∈N *，并且m ≤n ) n ！m ！(n−m)！(n ，m ∈N *，并且m ≤n ) 1 思考2 提示：“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是指“从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素作为一组”，它不是一个数，而是具体的一组对象；组合数是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．课前自主体验1．BD [AC 与顺序有关，是排列问题，BD 与顺序无关，是组合问题．]2．(1)15 (2)9 [(1)C 62＝6×52＝15． (2)A 42－C 32＝4×3－3×22×1＝12－3＝9．]3．ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd [可按a →b →c →d 顺序写出，即所以所有组合为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ．][关键能力·合作探究释疑难]例1 解：(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．跟进训练1．解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．例2解：如图所示，以A 为端点，到其余四点的线段有4条：AB ，AC ，AD ，AE ．A 不是端点，以B 为端点之一，到其余三点的线段有3条：BC ，BD ，BE ； A ，B 都不是端点，C 为端点之一，到其余两点的线段有2条：CD ，CE ；A ，B ，C 都不是端点，剩下两点D ，E 为端点的线段只有1条：DE ．共有4＋3＋2＋1＝10(条)不同的线段．跟进训练2．解：可按AB →AC →AD →BC →BD →CD 顺序写出，即所以所有组合为ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ．例3 解：(1)C 73＋C 74＝7×6×53×2×1＋7×6×5×44×3×2×1＝35＋35＝70． (2)C 105C 100－C 1010＝10×9×8×7×65×4×3×2×1×1－1＝252－1＝251． (3)由1C 5n －1C 6n ＝710C 7n ，得n ！(5−n)！5！－n ！(6−n)！6！＝7×n ！(7−n)！10×7！， ∴1－6−n 6＝(6−n)(7−n)60， 即n 2－23n ＋42＝0，解得n ＝2或n ＝21，又0≤n ≤5，∴n ＝2，∴C 8n ＝C 82＝28．例4 证明：因为右边＝n n−m C n−1m ＝n n−m ·(n−1)！m ！(n−1−m)！＝n ！m ！(n−m)！＝C n m ＝左边，所以原等式成立．跟进训练3．解：C 103·A 33－C 107＝10×9×83×2×1×3×2×1－10×9×8×7×6×5×47×6×5×4×3×2×1＝10×9×8－10×9×83×2×1＝720－120＝600．4．证明：因为m C n m ＝m ·n ！m ！(n−m)！＝n(n−1)！(m−1)！(n−m)！＝n ·(n−1)！(m−1)！(n−m)！＝n C n−1m−1，所以原等式成立．例5 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即C 102＝10×92×1＝45(种)．(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 62种方法；第2类，选出的2名是女教师有C 42种方法．根据分类加法计数原理，共有C 62＋C 42＝15＋6＝21(种)不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 62种，从4名女教师中选2名的选法有C 42种．根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 62×C 42＝15×6＝90(种)．跟进训练5．解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C 1711＝12376．(2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C 1711种选法；第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C 111种选法．所以教练做这件事情的方法种数为C 1711×C 111＝136136．[学习效果·课堂评估夯基础]1．C [从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．]2．B [C 42＋C 43＝4×32×1＋4＝6＋4＝10．]3．B [三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 103．]4．3 [由A 2n 4＝120C n 2， 得2n (2n －1)(2n －2)(2n －3)＝120×n(n−1)2， 即n 2－2n －3＝0，解得n ＝－1或n ＝3，因为n ≥2，所以n ＝3．]课堂小结1．提示：①C n m ＝A n m A m m ＝n ！m ！(n−m)！(n ，m ∈N *，且m ≤n )；②C n 0＝1．③C n m ＝C n n−m ；④C n m ＋C n m−1＝C n ＋1m ． 2．提示：关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题．3．提示：可采用“顺序后移法”或“树形图法”．。
组合数学6章作业答案
第6章 容斥原理及应用6.7 练习题3、求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。
解：∵100001002=,9261213=,10648223=∴从1到10000，共有100个平方数，21个立方数 又∵409646=，1562556=∴从1到10000，共有4个6次方数，也就是共有4个数既是平方数又是立方数 计算：10000-100-21+4=9883∴从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有9883个□4、确定多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34，的12-组合的个数。
解：设T ：{}d c b a S ⋅∞⋅∞⋅∞⋅∞=,,,*的所有12-组合 1A ：a 的个数大于4的12-组合2A ：b 的个数大于3的12-组合 3A ：c 的个数大于4的12-组合4A ：d 的个数大于5的12-组合要求的是：4321A A A A ⋂⋂⋂ = T )(4321A A A A +++-)(434232413121A A A A A A A A A A A A ⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+ )(432431421321A A A A A A A A A A A A ⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂- )(4321A A A A ⋂⋂⋂+T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+121412=4551A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 2A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+8148=165 3A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 4A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+6146=8421A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 31A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 41A A ⋂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+1141=432A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 42A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 43A A ⋂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+1141=4321A A A ⋂⋂=421A A A ⋂⋂=431A A A ⋂⋂=432A A A ⋂⋂=4321A A A A ⋂⋂⋂=0 455-（120+165+120+84）+（20+10+4+20+10+4）=34∴多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34，的12-组合的个数是34 □9、确定方程204321=+++x x x x满足611≤≤x ，702≤≤x ，843≤≤x ，624≤≤x的整数解的个数。
(新教材适用)高中数学第六章计数原理6.2排列与组合6.2.1排列课后习题新人教A版选择性
6.2 排列与组合6.2.1 排列1.已知下列问题:①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学学习小组和物理学习小组;②从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学分别担任学习委员和团委书记;③从a,b,c,d这4个字母中取出2个字母;④从1,2,3,4这4个数字中取出2个数字组成1个两位数.其中是排列问题的有( )A.①④B.①②④C.③D.①③解析:①是排列问题,2名同学参加的学习小组与顺序有关;②是排列问题,2名同学担任的职务与顺序有关;③不是排列问题,取出的2个字母与顺序无关;④是排列问题,取出的2个数字还需要按顺序排列.答案:B2.(多选题)从1,2,3,4四个数中,任选两个数做以下数学运算,并分别计算它们的结果.在这些问题中,相应运算可以看作排列问题的有( )解析:因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数做加法和乘法时,结果与两数位置无关,故不是排列问题,而减法、除法与两数的位置有关,故是排列问题,故选BD.答案:BD3.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为( )解析:此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列,所以由分步乘法计数原理可得共有5×4=20种不同的送书方法,故选C.答案:C4.有5名同学被安排在周一至周五值日,已知同学甲只能在周一值日,那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )解析:这是5个元素的排列问题,周一只能安排甲,周二至周五安排其余4名同学,根据分步乘法计数原理,可知值日顺序的编排方案共有1×4×3×2×1=24种,故选B.答案:B5.若把英语单词“word”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有( )解析:w,o,r,d的排列共有4×3×2×1=24种,其中排列“word”是正确的,其余均错,故错误的有241=23种.答案:B6.三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传球后,球仍回到甲手中,则不同的传球方式共有( )解析:记另外两人为乙、丙,若甲第一次把球传给乙,则不同的传球方式有其中经过5次传球后,球仍回到甲手中的有5种不同的传球方式,同理若甲第一次把球传给丙也有5种不同的传球方式,故共有10种不同的传球方式.答案:B7.现有8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地上,则有种不同的种法.(用数字作答)解析:将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题.故不同的种法共有8×7×6×5=1680种.答案:1 6808.有3名司机,3名售票员要分配到3辆公共汽车上,使每辆公共汽车上有1名司机和1名售票员,则可能的分配方法有种.解析:由题意知,司机、售票员各有3×2×1=6种安排方法,由分步乘法计数原理知共有6×6=36种不同的分配方法.答案:369.写出下列问题的所有排列.(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排;(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长.解:(1)四名同学站成一排,共有24个不同的排列,它们是:甲乙丙丁,甲丙乙丁,甲丁乙丙,甲乙丁丙,甲丙丁乙,甲丁丙乙;乙甲丙丁,乙甲丁丙,乙丙甲丁,乙丙丁甲,乙丁甲丙,乙丁丙甲;丙甲乙丁,丙甲丁乙,丙乙甲丁,丙乙丁甲,丙丁甲乙,丙丁乙甲;丁甲乙丙,丁甲丙乙,丁乙甲丙,丁乙丙甲,丁丙甲乙,丁丙乙甲.(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长,共有5×4=20种选法,形成的排列是:12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.10.某药品研究所研制了5种消炎药a1,a2,a3,a4,a5,4种退热药b1,b2,b3,b4,现从中取2种消炎药和1种退热药同时进行疗效试验,但a1,a2 2种药或同时用或同时不用,a3,b4 2种药不能同时使用,试写出所有不同的试验方法.解:如图,由树形图可写出所有不同试验方法如下:a1a2b1,a1a2b2,a1a2b3,a1a2b4,a3a4b1,a3a4b2,a3a4b3,a3a5b1,a3a5b2,a3a5b3,a4a5b1,a4a5b2,a 4a5b3,a4a5b4,共14种.11.将一枚质地均匀的骰子连掷三次,投掷出的数字顺序排成一个三位数,此时:(1)各位数字互不相同的三位数有多少个?(2)可以排出多少个不同的三位数?解:(1)三位数的每位上的数字均为1,2,3,4,5,6之一.第1步,得首位数字,有6种不同结果;第2步,得十位数字,有5种不同结果;第3步,得个位数字,有4种不同结果;故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4=120个.(2)三位数,每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个,共有这样的三位数6×6×6=216个.。
组合数学_第6章6.4-6.5_
{1,2,…, n}的排列 i1 i2… in对应于棋盘上以方格 (1, i1), (2, i2),…, (n, in)
为坐标的n个车的位置
1 2 3 4 5 设n=5, X1={1, 4}, X2={3},
1X
X
X3=Φ, X4={1, 5}, X5={2, 5},
2
X
则P(X1,X2,…,X5)中的排列
p(X1 , X2 , X3 , X4 ) = 2
（方法2：容斥原理）
带禁止位置的“非攻击型车”
{1,2,…, n}的排列 i1 i2… in对应于棋盘上以方格 (1, i1), (2, i2),…, (n, in)
为坐标的n个车的位置
1 1
2 3 4 5 位置
23 45
24135
带禁止位置的“非攻击型车”
满足第 j 行的车不在 Xj 中的列，i=1,2,…,n，共 有多少种放置方法？
令属性Pj表示 j行上的车放置在Xj所给出的禁止位置中， 且Aj则为具有属性Pj的车的放置方法集合，
(1) |Aj |= |Xj | (n - 1)! (j=1,2,…,n) S |Aj | = (|X1|+|X2|+…+|Xn|) (n - 1)! 令r1 = (|X1|+|X2|+…+|Xn|) 则S |Aj | = r1 (n - 1)!
上，使得每一个男孩都面对到另一个男孩。他们能够
有多少种方法改变座位使得每人面对的男孩都不同？
（所有的座位都是一样）
1
8
2
解：应用容斥原理 假设8个男孩分成了四对： (1,5), (2,6),
7
3
6
4
5
组合数学答案6-8
Let A be the set of xi is nonnegative integer and xi 0 (i 1 ,2 ,3 and 4) ,
then
14 4 1 17
A
14
14
680
.
Let Ai be the set of xi is nonnegative integer and xi 8 (i 1,2,3 or 4) ,
|������| = 3
9 42
1
=
1260
|������1| = 4
7 2
1
= 105
|������2| = 3
6 2
1
= 60
|������3| = 4
8 3
1
= 280
We can also get that
Thus,
|������1 ∩ ������2| = *'aaa' , 'bbbb' , 2∙c, 1∙d+ |������1 ∩ ������3| = *'aaa' , 4∙b, 'cc' , 1∙d+ |������2 ∩ ������3| = *3∙a, 'bbbb' , 'cc' , 1∙d+
������3 = *3∙a, 4∙b, 'cc' , 1∙d+ ������1 is the set that consisting all the permutations of S which three a is consecutively.������2is the set that consisting the all the permutations of S which four b is consecutively. ������3 is the set that consisting all the permutations of S which two c is consecutively.
人教A版高中数学选择性必修第三册课后习题 第6章 计数原理 6.2.3 组合 6.2.4 组合数
第六章6.2.3 组合 6.2.4 组合数A级必备知识基础练1.[探究点一](多选题)下列问题不是组合问题的是( )A.求把5本不同的书分给5个学生,每人一本的分法B.求从7本不同的书中取出5本给某个同学的取法C.某人射击8次,击中4次,且命中的4次均为2次连中,共有多少种不同的结果D.10个人互发一个电子邮件,共发了多少个邮件2.[探究点三]某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,则共需建公路的条数为( )A.4B.8C.28D.643.[探究点三]从2,3,…,8中任意取三个不同的数字,组成无重复数字的三位数,要求个位数最大,百位数最小,则这样的三位数的个数为( ) A.35 B.42C.105D.2104.[探究点三]某施工小组有男工7名,女工3名,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队,不同的选法有( )A.C 103种B.A 103种C.A 72×A 31种D.C 31×C 72种5.[探究点二](多选题)对于m,n ∈N *且m<n,关于下列排列组合数,结论正确的是( )A.C n m =C n n -mB.C n+1m =C n m -1+C n mC.A n m =C n m A m mD.A n+1m+1=(m+1)A n m6.[探究点三]若已知集合P={1,2,3,4,5,6},则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为 .7.[探究点三]计算C 73+C 74+C 85的值为 .8.[探究点二]若对任意的=-1,0,13,12,1,2,3,4的所有非空子集中,“具有伙伴关系”的集合的个数为 .9.[探究点三]现有5名男司机、4名女司机,需选派5人运货到某市.(1)如果派3名男司机、2名女司机,共有多少种不同的选派方法?(2)至少有两名男司机,共有多少种不同的选派方法?B级关键能力提升练10.从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中,任取三条的不同取法有n种,在这些取法中,若以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m,则mn=( )A.110B.15C.310D.2511.已知圆上有9个点,每两点连一线段,所有线段在圆内的交点有( )A.36个B.72个C.63个D.126个12.将标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子里,每个盒内放一个球,恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为( )A.120B.240C.360D.72013.从10名大学毕业生中选3人担任某公司助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( )A.28B.49C.56D.8514.(多选题)有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往某地区参与救援,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N,则N=( )A.C135−C71×C64B.C72×C63+C73×C62+C74×C61+C75C.C135−C71×C64−C65D.C72×C11315.C88+C98+C108+C118= .16.某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有种.17.某城市纵向有6条道路,横向有5条道路,构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路),则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有条.18.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议,甲会议需2人参加,乙、丙两个会议各需1人参加,从10人中选派4人参加这三个会议,不同的安排方法有种.C级学科素养创新练19.[甘肃凉州模拟]n位校验码是一种由n个“0”或“1”构成的数字传输单元,分为奇校验码和偶校验码.若一个校验码中有奇数个1,则称其为奇校验码,如5位校验码“01101”中有3个1,该校验码为奇校验码.那么6位校验码中的奇校验码的个数是( )A.6B.32C.64D.84620.按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子;(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有1个空盒.参考答案6.2.3 组合 6.2.4 组合数1.ACD 对于A,由于书不同,每人每次拿到的也不同,有顺序之分,故它是排列问题;对于B,从7本不同的书中,取出5本给某个同学,在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序,故它是组合问题;对于C,第几次命中,显然有顺序,故它是排列问题;对于D,发邮件与顺序有关,故它是排列问题.=2.C 由于“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建C82=A82A228×7=28条公路.2×13.A 由于取出三个数字后大小次序已确定,只需把最小的数字放在百位,最大的数字放在个位,剩下的数字放在十位,因此满足条件的三位数的个=35.数为C73=7×6×53×2×14.D 每个被选的人员无角色差异,是组合问题.分两步完成:第一步,选女工,有C31种选法;第二步,选男工,有C72种选法.故有C31×C72种不同选法.5.ABC 根据组合数的性质与组合数的计算公式C n m =n !(n -m )!m !,C n n -m=n ![n -(n -m )]!(n -m )!=n !(n -m )!m !,故A 正确; 因为C n+1m=(n+1)!(n+1-m )!m !,C n m -1+C n m=n ![n -(m -1)]!(m -1)!+n !(n -m )!m !=(n+1)!(n+1-m )!m !,所以C n+1m =C n m -1+C n m,故B 正确; 因为A n m =n !(n -m )!,C n m A m m=n !(n -m )!m !·m!=n !(n -m )!,所以A n m =C n m A m m,故C 正确;因为A n+1m+1=(n+1)!(n -m )!,(m+1)A n m =(m+1)·n !(n -m )!≠(n+1)!(n -m )!,故D 不正确.6.20 由于集合中的元素具有无序性,因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关,是组合问题,共有C 63=20个子集. 7.126 C 73+C 74+C 85=C 84+C 85=C 95=9!5!×4!=9×8×7×64×3×2×1=126.8.15 “具有伙伴关系”的元素组有-1;1;12,2;13,3,共4组.所以集合M 的所有非空子集中,“具有伙伴关系”的非空集合中的元素,可以是“具有伙伴关系”的元素组中的任意一组、二组、三组、四组.又因为集合中的元素是无序的,所以所求集合的个数为C 41+C 42+C 43+C 44=15. 9.解(1)从5名男司机中选派3名,有C 53种方法, 从4名女司机中选派2名,有C 42种方法.根据分步乘法计数原理得,所选派的方法种数为C 53×C 42=C 52×C 42=5×42×1×4×32×1=60.(2)从9人中任选5人运货有C 95种方法.其中1名男司机、4名女司机有C51×C44=5种选法.所以至少有两名男司机的选派方法种数为C95-5=121.10.B 任取三条的不同取法有C53=10种,钝角三角形只有2,3,4和2,4,5两种情况,故n=10,m=2,mn =15.11.D 此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线交点个数即为所求,所以交点为C94=126个.12.B 根据题意,先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球,即从10个球中取出3个,有C103=120种,而这3个球的排法有2×1×1=2种,则共有120×2=240种放入方法.13.B 依题意,满足条件的不同选法的种数为C22×C71+C21×C72=49.14.BC 13名医生,其中女医生6人,男医生7人.(方法一直接法)2男3女C72×C63;3男2女C73×C62;4男1女C74×C61;5男C75,所以N=C72×C63+C73×C62+C74×C61+C75.(方法二间接法)13名医生,任取5人,减去4、5名女医生的情况,即N=C135−C71×C64−C65.故选BC.15.220 C88+C98+C108+C118=C129=C123=220.16.10 依题意,就所剩余的1本进行分类:第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有C 42=6种.因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10种.17.126 要使路线最短,只能向右或向上走,途中不能向左或向下走.因此,从A 地到B 地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段,从9个行走时段中任取4个时段走纵线段,其余5个时段走横线段,共有C 94×C 55=126种走法,故从A 地到B 地的最短路线共有126条.18.2 520 从10人中选派4人有C 104种方法,对选出的4人具体安排会议有C 42×C 21种方法,由分步乘法计数原理知,不同的选派方法有C 104×C 42×C 21=2520种.19.B 依题意,6位校验码中的奇校验码的个数是C 61+C 63+C 65=6+20+6=32.故选B.20.解(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个小球都有3种可能,利用分步乘法计数原理,可得不同的方法有35=243种.(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,先把5个小球分组,分法有2,2,1和3,1,1两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有C 52×C 32×C 11A 22+C 53×C 21×C 11A 22×A 33=150种.(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,类似于在5个小球间的空隙中,放入2个隔板,把小球分为3组,故不同的方法共有C42=6种.(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有一个空盒,先把5个小球分2组,分法有3,2,0和4,1,0两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有(C53×C22+C54)×A33=90种.。
人教A版高中同步训练数学选择性必修第三册课后习题 第6章 6.2 第3课时 组合与组合数
第3课时 组合与组合数课后·训练提升 基础巩固1.以下四个问题,属于组合问题的是( ) A.从3个不同的小球中,取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两名同学安排为同桌C.在电视节目中,主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星D.从13名司机中任选出两名开两辆不同的车 答案:C解析:只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星,与顺序无关,是组合问题. 2.A 1013C 1002+C 1003等于( ) A.16B.101C.1107D.6答案:D 解析:原式=A 1013C 1002+C 1003=101×100×99100×992+100×99×986=101×63+98=6.3.若A n 3=6C n 4,则n 的值为( )A.6B.7C.8D.9答案:B解析:由题意知n(n-1)(n-2)=6·n (n -1)(n -2)(n -3)4×3×2×1,化简得n -34=1,即n=7.4.把三张游园票分给10个人中的3人,则分法有( )A.A103种B.C103种C.C103A103种D.30种答案:B解析:三张票没区别,从10人中选3人即可,即C103.5.将2名女教师,4名男教师分成2个小组,分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教,每个小组由1名女教师和2名男教师组成,则不同的安排方案共有( )A.24种B.10种C.12种D.9种答案:C解析:分三步完成:第一步,为甲学校选1名女教师,有C21=2种选法;第二步,为甲学校选2名男教师,有C42=6种选法;第三步,剩下的3名教师到乙学校.根据分步乘法计数原理,不同的安排方案共有2×6×1=12种,故选C.6.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m个不同的积;任取两个不同的数相除,有n个不同的商,则m∶n= .答案:1∶2解析:∵m=C42=6,n=A42=12,∴m∶n=1∶2.7.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖,则可能的决赛结果共有种.答案:60×1=60种.解析:根据题意,所有可能的决赛结果有C61C52C33=6×5×428.不等式C n2-n<5的解集为.答案:{2,3,4}-n<5,解析:由C n2-n<5,得n(n-1)2即n2-3n-10<0,解得-2<n<5.由题意知n≥2,且n∈N*,则n=2,3,4,故原不等式的解集为{2,3,4}.9.《易经》是中国传统文化中的精髓,下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每卦有三根线组成(“”表示一根阳线,“”表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为.答案:514解析:从八卦中任取两卦,共有C82=28种取法,若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线,可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算:当有一卦阳、阴线的根数为3,0时,另一卦阳、阴线的根数为0,3,共有1种取法;当有一卦阳、阴线的根数为2,1时,另一卦阳、阴线的根数为1,2,共有3×3=9种取法;因此两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有1+9=10种.故从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为P=1028=514,故答案为514.10.男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员.解(1)分两步完成:第一步,选3名男运动员,有C63种选法;第二步,选2名女运动员,有C42种选法.根据分步乘法计数原理,共有C63C42=120种选法. (2)方法一(直接法):“至少1名女运动员”包括以下几种情况:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类加法计数原理可得,有C41C64+C42C63+C43C62+C44C61=246种选法. 方法二(间接法):“至少1名女运动员”的对立面为“全是男运动员”.从10人中任选5人,有C105种选法,其中全是男运动员的选法有C65种.因此“至少有1名女运动员”的选法有C105−C65=246种.(3)分情况讨论:只有男队长入选,只有女队长入选,男、女队长都入选,由题意,得“只有男队长”的选法为C84种,“只有女队长”的选法为C84种,“男、女队长都入选”的选法为C83种,共有2C84+C83=196种.(4)分两类:第1类,当有女队长时,其他人选法任意,共有C94种选法;第2类,不选女队长时,必选男队长,共有C84种选法,其中不含女运动员的选法有C54种,因此不选女队长时共有C84−C54种选法.综上所述,根据分类加法计数原理,既有队长又有女运动员的选法共有C94+C84−C54=191种.能力提升1.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型和乙型电视机各1台,则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种答案:C解析:分两类完成:第1类,甲型1台、乙型2台,有C41C52=4×10=40种取法;第2类,甲型2台、乙型1台,有C42C51=6×5=30种取法.根据分类加法计数原理,共有70种不同的取法.2.现有6个白球,4个黑球,任取4个,则至少有两个黑球的取法种数是( )A.115B.90C.210D.385答案:A解析:依题意根据取法可分为三类:第1类,两个黑球,有C 42C 62=90种取法;第2类,三个黑球,有C 43C 61=24种取法;第3类,四个黑球,有C 44=1种取法.根据分类加法计数原理,至少有两个黑球的取法种数是90+24+1=115,故选A.3.(多选题)对于m≤n,m,n∈N,关于下列排列组合数,结论正确的是( )A.C n m =C n n -mB.C n+1m =C n m -1+C n mC.A n+1m+1=(m+1)A n m D.(n+1)C n m =(m+1)C n+1m+1答案:ABD解析:由题意利用组合数的性质,可得AB 正确. ∵A n+1m+1=(n+1)·n·(n -1)…(n -m+1),(m+1)A n m=(m+1)·n·(n -1)…(n -m+1),故C 不对;∵(n+1)C n m =(n+1)·n !m !(n -m )!=(n+1)!m !(n -m )!,(m+1)C n+1m+1=(m+1)·(n+1)!(m+1)!(n -m )!=(n+1)!m !(n -m )!.故D 正确,故选ABD.4.以下三个式子:①C nm=A n m m !;②A n m =n A n -1m -1;③C n m ÷C nm+1=m+1n -m.其中正确的个数是 . 答案:3解析:①式显然成立;②式中A n m =n(n-1)(n-2)…(n -m+1),A n -1m -1=(n-1)(n-2)…(n -m+1), 所以A n m =n A n -1m -1,故②式成立; ③式C nm ÷C nm+1=C n m C nm+1=A n m ·(m+1)!m !·A nm+1=m+1n -m,故③式成立.5.方程3C x -3x -7=5A x -42的解为 .答案:x=11解析:由排列数和组合数公式,原方程可化为3·(x -3)!(x -7)!4!=5·(x -4)!(x -6)!,则3(x -3)4!=5x -6,即为(x-3)(x-6)=40.∴x 2-9x-22=0,解得x=11或x=-2. ∵{x -3≥x -7,x -4≥2,x -3∈N *,x -4∈N *,x -7∈N *,即x>7且x ∈N *,∴x=11,∴方程的解为x=11.6.要从6男4女中选出5人参加一项活动,按下列要求,各有多少种不同的选法?(1)甲当选且乙不当选; (2)至多有3男当选.解(1)甲当选且乙不当选,只需从余下的8人中任选4人,有C 84=70种选法.(2)至多有3男当选时,应分三类:第1类是3男2女,有C 63C 42种选法;第2类是2男3女,有C62C43种选法;第3类是1男4女,有C61C44种选法.依据分类加法计数原理,共有C63C42+C62C43+C61C44=186种选法.7.某届世界杯举办期间,共有32支球队参加比赛,先分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛1场,各组第一、二名晋级16强),这16支球队按确定的程序进行淘汰赛,即八分之一淘汰赛,四分之一淘汰赛,半决赛,决赛,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三、四名,问这届世界杯总共将进行多少场比赛?解可分为五类比赛:(1)小组循环赛,每组有C42=6场,8个小组共有48场;(2)八分之一淘汰赛,8个小组的第一、二名组成16强,根据赛制规则,每2支球队一组,每组比赛1场,可以决出8强,共有8场;(3)四分之一淘汰赛,根据赛制规则,8强中每2支球队一组,每组比赛1场,可以决出4强,共有4场;(4)半决赛,根据赛制规则,4强中每2支球队一组,每组比赛1场,可以决出2强,共有2场;(5)决赛,2强比赛1场确定冠、亚军,4强中的另2支球队比赛1场决出第三、四名,共有2场.综上,根据分类加法计数原理,总共将进行48+8+4+2+2=64场比赛.。
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第6章 容斥原理及应用
6.7 练习题
3、求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。
解：∵100001002=,9261213=,10648223=
∴从1到10000，共有100个平方数，21个立方数 又∵409646=，1562556=
∴从1到10000，共有4个6次方数，也就是共有4个数既是平方数又是立方数 计算：10000-100-21+4=9883
∴从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有9883个
□
4、确定多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34，
的12-组合的个数。
解：设T ：{}d c b a S ⋅∞⋅∞⋅∞⋅∞=,,,*的所有12-组合 1A ：a 的个数大于4的12-组合
2A ：b 的个数大于3的12-组合 3A ：c 的个数大于4的12-组合
4A ：d 的个数大于5的12-组合
要求的是：
4321A A A A ⋂⋂⋂ = T )(4321A A A A +++-
)(434232413121A A A A A A A A A A A A ⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+ )(432431421321A A A A A A A A A A A A ⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂- )(4321A A A A ⋂⋂⋂+
T =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+121412=455
1A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 2A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+8148=165 3A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 4A =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+6146=84
21A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 31A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 41A A ⋂=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+1141=4
32A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 42A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 43A A ⋂=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+1141=4
321A A A ⋂⋂=421A A A ⋂⋂=431A A A ⋂⋂=432A A A ⋂⋂=4321A A A A ⋂⋂⋂=0 455-（120+165+120+84）+（20+10+4+20+10+4）=34
∴多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34，
的12-组合的个数是34 □
9、确定方程
204321=+++x x x x
满足
611≤≤x ，702≤≤x ，843≤≤x ，624≤≤x
的整数解的个数。
解：设 116x y -=， 227x y -=， 338x y -=， 446x y -=
则原方程等价于 确定方程
74321=+++y y y y
满足
501≤≤y ， 702≤≤y ， 403≤≤y ， 404≤≤y
的整数解的个数。
设S ：74321=+++y y y y 的所有非负整数解的集合
1A ：74321=+++y y y y 的所有满足61≥y 的非负整数解的集合 2A ：74321=+++y y y y 的所有满足82≥y 的非负整数解的集合
3A ：74321=+++y y y y 的所有满足53≥y 的非负整数解的集合 4A ：74321=+++y y y y 的所有满足54≥y 的非负整数解的集合 若j i ≠，则∅=⋂j i A A ,那么要求的是：
||||||||||||43214321A A A A S A A A A ----=⋂⋂⋂
1207147||=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=S 4||1=A 0||2=A 102142||||43=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+==A A
120-4-0-10-10=96 ∴方程
204321=+++x x x x
满足
611≤≤x ，702≤≤x ，843≤≤x ，624≤≤x
的整数解的个数是96。
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15、在一次聚会上，7位绅士检查他们的帽子。
有多少种方法使得这些帽子返还是满足 ⅰ) 没有绅士收到他自己的帽子？ ⅱ) 至少一位绅士收到他自己的帽子？ ⅲ）至少两位绅士收到他们自己的帽子？
解：ⅰ)错排为7D
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ⅱ)也就是问不错排，为7!7D -
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ⅲ）677!7D D --
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21、证明n D 是偶数当且仅当n 是奇数。
证明：已知1D =0，2D =1
且根据性质n n n nD D )1(1-+=-，递推下去有
1D 偶，2D 奇，3D 偶，4D 奇，5D 偶，6D 奇，7D 偶，8D 奇，… 并且这种奇偶变化是有规律的，n D 是偶数当且仅当n 是奇数
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24、把六个非攻击型车放到具有如下所述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数是多少？ ⅰ)
ⅱ)
ⅲ）
解：ⅰ)1r =6 2r =3×4=12 3r =2×2×2=8 4r =5r =6r =0 !0!1!2!3!4!5!6654321⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-r r r r r r =720-6×120+12×24-8×6=240 ∴方法数是240
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ⅱ)1r =12 2r =2×3+3×4×4=54 3r =3×2×4×2+4×4×4=112
4r =3×2×2+3×4×4×2=108 5r =3×2×2×4=48 6r =2×2×2=8
!0!1!2!3!4!5!6654321⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-r r r r r r
=720-12×120+54×24-112×6+108×2-48+8=80 ∴方法数是80
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ⅲ）1r =8 2r =6+1+5×3=22 3r =1+5×1+6×3=24 4r =6×1+1×3=9 5r =1 6r =0 !0!1!2!3!4!5!6654321⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-r r r r r r
=720-8×120+22×24-24×6+9×2-1=161 ∴方法数是161
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