专升本高数真题及问题详解

2005年省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号。

不选、错选或多选者，该题无分.1.函数x x y --=5)1ln(的定义域为为 （ ）A.1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 （ ）A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D.222x x y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ） A. x B.2x C.x 2 D. 22x解： ⇒-x e x ~12~12x e x -,应选B.4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （ ） A. e B.2e C.3e D.4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B.-1 C.21 D.21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C.6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim 0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ）A. 1B.21-C.41D.41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为（ ）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f nC. 1)]()[1(++n x f nD. 1)]([)!1(++n x f n解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='', ⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x fC.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(,)(x f 单调 ( )A.增加,曲线)(x f y =为凹的B.减少,曲线)(x f y =为凹的C.增加,曲线)(x f y =为凸的D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.11.曲线xe y 1-=（ ）A. 只有垂直渐近线B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线 解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C.12.设参数方程为⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,则二阶导数=22dxyd （ ）A.t a b 2sin B.t a b32sin - C.t a b 2cos D.t t a b 22cos sin - 解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22ta bt a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx e x f xx 11)(，则=)(x f （ ）A. x 1-B.21x -C.x 1D.21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x-=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （ ） A.C x F +)(sin B.C x F +-)(sin C.C x F +)(cos D.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是 （ ）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x 。

2arcsin 1110102π==-⎰x dx x 。

∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln 。

10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x（ ）A.0B.32C.34D.32-解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A.17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aadx x f )( （ ）A.0B.⎰a dx x f 0)(2 C.⎰--a adx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （ ）A.C x x +-2sin 2121B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21解:x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 （ ）A.⎰b adx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数C.⎰axdt t f )(是)(x f -的一个原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积解:⎰b adx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 （ ） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行解：n s n s⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数xz ∂∂和y z∂∂存在是它在该点处可微的 （ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件 解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln = ，则=)2,1(dz （ ）A.dx x y 2B.dy dx 2121-C.dy dx 21-D.dy dx 21+ 解：dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C.23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 （ ） A.)1,1(- B.)1,1(- C.)1,1(-- D.)1,1(解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.二次积分⎰⎰22),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 （ ）A.⎰⎰402),(y dx y x f dy B.⎰⎰400),(ydx y x f dy C.⎰⎰4022),(xdx y x f dy D.⎰⎰402),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A.25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (a rdr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f dC.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d解：积分区域在极坐标下可表示为：}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，=+⎰Ldy x xydx 22（） A. -1 B.1 C. 2 D. -1解：L ：,2⎩⎨⎧==x y xx x 从0变到1 , 1422210410310332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是（ ）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n n nC ．∑∞=-121)1(n n n D ．∑∞=+-1)1()1(n n n n解：∑∞=+-11)1(n nn n发散, ∑∞=-121)1(n nn 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n n n是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n n n条件收敛，应选B. 28.下列命题正确的是（ ）A ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛B ． 若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数)(212n n nv u +∑∞=收敛 C ． 若正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛D ． 若级数∑∞=1n n n v u 收敛，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛解：正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛⇒∑∞=12n nu 与∑∞=12n n v 收敛，而)(2)(222nnn n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛 ，应选C 。