第23章 旋转章节复习

1 旋转的概念及性质的应用
【例1】例1如图，若△ABC绕点C沿顺时针方向旋转150°后得到△A1B1C ，∠A=60°，∠B1=90°，则∠A1CB=______.
【解析】关键找出旋转角∠BCB1=150 °; ∠A1CB=∠B1CB-∠A1CB1=150°-30°=120°
1.如图，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向 旋转60°后得到△AB’C’，则等于（ ） A.60° B.105°C.120°D.135°
连结得到所要画的图形.
y
解：(1)如图所示；
A1 B
(2)如图所示，点A2的坐标为(-3，-2), B2的坐标为(-1，-3).
B1 O
A x
A2
B2
1.（江苏扬州）如图，在△ABC 中， ，A(-2,3) ,B(-3,1) C(1,2)． （1）将△ABC 向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1 ； （2）画出△ABC 关于X轴对称的△A2B2C2； （3）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；
常见的中心对称图形有平行四边形，菱形，正方形，圆等。
中心对称与中心对称图形的区别
中心对称是指两个图形可完全重合，对 称点在两个图形上，；中心对称图形是一个 特殊的图形，对称点在一个图形上。
问题4、在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么关系？ 横坐标、纵坐标的符号都互为相反数， 小结：
点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为P′（-a,-b)； 点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为P′（a,-b)； 点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为P′（-a, b). 简记为：“关于谁，谁不变，关于原点都改变”.
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问题：1、你能举例说明什么是旋转的吗？平面图形的旋转有哪些性质？ 1．旋转过程中，图形上__每__一__点__都__绕__旋__转__中__心____按 同一旋转方向 旋 转 同样大小的角度 ． 2．任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是__旋__转__角__，对应点到 旋转中心的距离都__相__等____． 3．旋转前后对应线段、对应角分别相__等__，图形的大小、形状__不__变_____．
（2）由旋转的性质得，DC=FC，∠DCF=90°，
∴∠DCE+∠ECF=90°.
∵∠ACB=90°，
F
∴∠DCE+∠BCD=90°，
∴∠ECF=∠BCD，
∵EF∥DC，
∴∠EFC+∠DCF=180°，
∴∠EFC=90°，
∴△BDC≌△EFC（SAS），
∴∠BDC=∠EFC=90°．
例 3．如图，已知△ABC 是等边三角形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在射线 CB 上，且 ED＝EC，将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至△ACF，连接 EF.求证：AB＝AF＋BD.
° CE=BC，AE=BD ∴△BCE是等边三角形， ∠CBE=60°,BE=BC=4 ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝30°+ 60°=90° ∴AE=5 又∵AE=BD, ∴ BD=5
【例4】 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为
格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点
1.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将三角形 AOB绕点O逆时针旋转90°得到三角形COD，则旋转过程中形成的阴影部分 的面积为____94_π___．
2 旋转变换
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上， CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接 EF． （1）补充完成图形；
如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=30°，将△DCB 绕点 C 顺时针旋 转 60°后，点 D 的对应点恰好与点 A 重合，得到△ACE， 若 AB=3， BC=4，求 BD的长。
解：连接BE,
∵△DCB 绕点 C 顺时针旋转 60°得到 △ACE,AB=3,BC=4,∠ABC=30°∠BCE=60
A、B的坐标分别是A(3,2) 、B(1,3).
y
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(1)将△AOB绕点O逆时针旋转90 °后得到
B
△A1OB1，画出旋转后的图形； （2）画出△AOB关于原点O对称的图形 △A2OB2，并写出点A2,B2的坐标.
A
O
x
【解析】(1)因为旋转角90 °，故用直角三角板及圆规可快速确定对应点的
位置；（2）先根据关于原点对称的点的坐标确定对称顶点的坐标，再依次
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．
【解析】（1）根据题意，找准旋转中心，旋转方向及旋转角度，补全 图形即可； （2）由旋转的性质得∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直 角，利用SAS得到△BDC与△EFC全等，利用全等三角形对应角相等即 可得证．
解：（1）补全图形，如图所示；
问题2、中心对称图形有什么特点？你能举出一些中心对称图形的例子 吗？中心对称图形有哪些应用价值？
180° 把一个图形绕着某一个点旋转____，如果它能与另一个图形重合，那么
就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应
点叫做关于中心的对称点．
问题3、什么是中心对称？什么是中心对称图形？ 中心对称：在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过 __对__称__中__心___，并且被对称中心___平__分___． 中心对称图形 指把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能 与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称 中心．
证明：如图，过点 E 作 EG∥BC 交 AC 于点 G，易得△AEG 为 等边三角形． ∴AE＝EG＝AG. ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°. ∴AB－AE＝AC－AG，即 BE＝CG. ∵DE＝CE，∴∠CDE＝∠ECD.
∵∠CDE＋∠BED＝∠ABC＝60°， ∠ECD＋∠GCE＝∠ACB＝60°， ∴∠BED＝∠GCE. 又∵BE＝CG，DE＝CE， ∴△BDE≌△GEC(SAS)． ∴BD＝GE＝AE. 又易知 AF＝BE，∴AB＝BE＋AE＝AF＋BD.