第23章旋转章节复习

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人教版数学九年级上册第二十三章《旋转复习课》课件

B. －1
C. 1
B ）
D. －7
13. 如图，正方形 OABC 的边长为2，将正方形 OABC 绕原点 O 逆时针旋转45°，则点
B 的对应点 B1的坐标为（
D ）
A. （0，2）
B. （－2，0）
C. （0， 2 ）
D. （－2 2 ，0）
14. [2023·濮阳统考二模]如图，点 A 的坐标为（－4，4），点 C 的坐标为（－2，
（－1，－1） .
⁠
第6题图
类型之四
旋转的性质与中心对称的性质应用
7. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ B ＝32°，∠ C ＝90°，将其绕点 A 按顺时针方向旋转到
△ AB1 C1的位置，使得 C ， A ， B1在同一条直线上，那么旋转角的度数为（
A. 32°
B. 90°
第7题图
C. 122°
度的正方形）.
（1）若△ ABC 和△ A1 B1 C1关于原点 O 成中心对称，画出△ A1 B1 C1；
（2）将△ ABC 绕着点 A 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△ AB2 C2；
解：（1）（2）如答图所示，△ A1 B1 C1和△ AB2 C2即为所作.
答图
（3）在 x 轴上存在一点 P ，满足点 P 到点 B1与点 C1距离之和最小，请直接写出 PB1＋
（2）将△ ADE 绕点 A 逆时针旋α，如图2所示，直线 BD ， CE 相交于点 F ，连接 AF .
求证：∠ BFC ＝∠ AFB ＝∠ AFE ；
（2）证明：如答图1，分别过点 A 作 AN ⊥ BD 于点 N ，
AM ⊥ EC 于点 M . ∵△ ABC 和△ ADE 是两个等边三角形，

九年级数学上册第二十三章旋转知识点归纳总结(精华版)(带答案)

九年级数学上册第二十三章旋转知识点归纳总结(精华版)单选题1、如图，将△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，点C的对应点恰好落在AB的延长线上，连接AD，下列结论不一定成立的是（）A．AB=DB B．∠CBD=80°C．∠ABD=∠E D．△ABC≌△DBE答案：C分析：利用旋转的性质得△ABC≌△DBE，BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=50°，∠C=∠E，再由A、B、E三点共线，由平角定义求出∠CBD=80°，由三角形外角性质判断出∠ABD＞∠E．解：∵△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，∴AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=50°，△ABC≌△DBE，故选项A、D一定成立；∵点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，∴∠ABD+∠CBE+∠CBD =180°，.∴∠CBD=180°-50°-50°=80°，故选项B一定成立；又∵∠ABD=∠E+∠BDE，∴∠ABD＞∠E，故选项C错误，故选C．小提示：本题主要考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．2、将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°)，得到矩形AEFG．当GC=GB时，下列针对α值的说法正确的是（）A．60°或300°B．60°或330°C．30°D．60°答案：A分析：当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC=GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM=BH=1AD，2∴GM垂直平分AD，∴GD=GA=DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG =60°，∴旋转角α=60°；②当点G 在AD 左侧时，同理可得△ADG 是等边三角形，∴∠DAG =60°，∴旋转角α=360°-60°=300°，故选：A ．小提示：本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．3、已知⊙O 的直径CD ＝100cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝96cm ，则AC 的长为（）A ．36cm 或64cmB ．60cm 或80cmC ．80cmD ．60cm答案：B分析：分两种情况讨论，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM 的长，连接OA ，由勾股定理求出OM 的长，进而可得出结论．解：连接AC ，AO ，∵⊙O 的直径CD ＝100cm ，AB ⊥CD ，AB ＝96cm ，∴AM ＝12AB ＝12×96＝48（cm ），OD ＝OC ＝50（cm ），如图1，∵OA ＝50cm ，AM ＝48cm ，CD ⊥AB ，∴OM ＝√OA 2−AM 2＝√502−482＝14（cm ），∴CM ＝OC +OM ＝50+14＝64（cm ），∴AC＝√AM2+CM2＝√642+482＝80（cm）；如图2，同理可得，OM＝14cm，∵OC＝50cm，∴MC＝50−14＝36（cm），在Rt△AMC中，AC＝√AM2+CM2＝60（cm）；综上所述，AC的长为80cm或60cm，故选：B．小提示：本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据题意画出图形、利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．4、已知点A(−2,3)与点B关于原点对称，则点B的坐标（）A．(−3,2)B．(2,−3)C．(3,2)D．(−2,−3)答案：B分析：根据关于原点对称点的坐标变化特征直接判断即可．解：点A(−2,3)与点B关于原点对称，则点B的坐标为(2,−3)，故选：B．小提示：本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是明确关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数．5、已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（）A．√14B．4C．√23D．5答案：DAB=5，然后在分析：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，先利用垂径定理求得AC=BC=12RtΔAOC中求得OC=2√6，再在RtΔPOC中，利用勾股定理即可求解．解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，则AC=BC=1AB，OA=7，2∵PA＝4，PB＝6，∴AB=PA+PB=4+6=10，∴AC=BC=1AB=5，2∴PC=AC−PA=5−4=1，在RtΔAOC中，OC=√OA2−AC2=√72−52=2√6，在RtΔPOC中，OP=√OC2+PC2=√(2√6)2+12=5，故选：D小提示：本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．6、如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接BA′，连接AA′交CD于点E，若AB=14cm，BA′=4cm，则CE的长为（）A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm答案：B分析：由折叠性质得AA′⊥CD，AD=A′D，根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD=AD=BD=A′D，可证得A、C、A′、B共圆且AB为直径，利用垂径定理的推论和三角形的中位线性质证得DE=1A′B，进而可求解CE的长．2解：由折叠性质得AA′⊥CD，AD=A′D，∵∠ACB=90∘，点D是AB的中点，∴CD=AD=BD=A′D=1AB，2∴A、C、A′、B共圆且AB为直径，又A A′⊥CD，∴AE=A′E，又AD=BD，∴DE是△AB A′的中位线，∴DE=1A′B，2∵AB=14cm，BA′=4cm，∴CD=7cm，DE=2cm，∴CE=CD-DE=7-2=5cm，故选B．小提示：本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．7、围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGoi进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．答案：A分析：根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形．逐一进行判断即可．解：A、是中心对称图形，符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意；故选A．小提示：本题考查中心对称．熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．8、如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据旋转的定义进行分析即可解答解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，分析选项，可得正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是C．故选：C．小提示：本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键.9、将△AOB绕点O旋转180∘得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．答案：D分析：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.解：观察选项中的图形，只有D选项为△ABO绕O点旋转了180°.小提示：本题考察了旋转的定义.10、下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．梯形B．等边三角形C．平行四边形D．矩形答案：B分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可．A、梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项说法错误；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项说法正确；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项说法错误；D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法错误．故选：B．小提示：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质是解题的关键．填空题11、如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= °答案：55分析：根据旋转的性质可得∠ACA ′=35°，∠A =∠A ′，再由直角三角形两锐角互余，即可求解．解：∵把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转35°，得到△A ′B ′C∴∠ACA ′=35°，∠A =∠A ′，∵∠A ′DC =90°，∴∠A ′=55°∴∠A =55°．所以答案是：55小提示：本题主要考查了图形的旋转，直角三角形两锐角的关系，熟练掌握旋转的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键．12、在平面直角坐标系xOy 中，直线y =−√33x +2分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点．将射线AM 绕着点A 顺时针旋转45°，得到射线AN ．点D 为AM 上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部．（1）△BCD 周长的最小值是____________________；（2）当△BCD 的周长取得最小值，且BD =53√2时，△BCD 的面积为__________．答案： 4√2 43分析：（1）可作点C 关于射线AM 的对称点C 1，点C 关于射线AN 的对称点C 2．连接C 1C 2．利用两点之间线段最短，可得到当B 、D 两点与C 1、C 2在同一条直线上时，△BCD 的周长最小，最小值为线段C 1C 2的长．（2）根据（1）的作图可知四边形AC 1CC 2的对角互补，结合轴对称可得∠BCD ＝90°．利用勾股定理得到CB 2+CD 2＝BD 2＝（5√23）2，因为CB +CD ＝4√2﹣5√23，可推出CB •CD 的值，进而求出三角形的面积．（1）∵直线y ＝−√33x +2与x 轴、y 轴分别交于C 、A 两点，把y =0代入，解得x =2√3，把x =0代入，解得y =2，∴点C 的坐标为（2√3，0），点A 的坐标为（0，2）．∴AC ＝√22+(2√3)2=4．作点C 关于射线AM 的对称点C 1，点C 关于射线AN 的对称点C 2．由轴对称的性质，可知CD ＝C 1D ，CB ＝C 2B ． ∴CB +BD +CD ＝C 2B +BD +C 1D ＝C 1C 2连接AC 1、AC 2，可得∠C 1AD ＝∠CAD ，∠C 2AB ＝∠CAB ，AC 1＝AC 2＝AC ＝4．∵∠DAB ＝45°，∴∠C 1AC 2＝90°．连接C 1C 2．C 1C 2=√42+42=4√2，∵两点之间线段最短，∴当B 、D 两点与C 1、C 2在同一条直线上时，△BCD 的周长最小，最小值为线段C 1C 2的长． ∴△BCD 的周长的最小值为4√2．所以答案是：4√2．（2）根据（1）的作图可知四边形AECF 的对角互补，其中∠DAB ＝45°，因此，∠C 2CC 1＝135°．即∠BCC 2+∠DCC 1+∠BCD ＝135°，∴2∠BCC 2+2∠DCC 1+2∠BCD ＝270°①，∵∠BC 2C ＝∠BCC 2，∠DCC 1＝∠DC 1C ，∠BC 2C +∠DC 1C +∠BCC 2+∠DCC 1+∠BCD ＝180°， ∴2∠BCC 2+2∠DCC 1+∠BCD ＝180°②，①-②得，∠BCD ＝90°．∴CB 2+CD 2＝BD 2＝（5√23）2=509，∵CB +CD ＝4√2﹣5√23=7√23，（CB +CD ）2＝CB 2+CD 2+2CB •CD ，∴2CB •CD ＝（CB +CD ）2-（CB 2+CD 2）= (7√23)2−509=163∴S=12⋅CB⋅CD=43．所以答案是：43小提示：本题考查了最短路径和勾股定理及一次函数的性质，解题关键利用轴对称确定最短路径，结合勾股定理来解决问题．13、若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝___．答案：2分析：根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，∴a-1+5=0，5+1-b=0，∴a=-4，b=6，∴a+b=2．所以答案是：2小提示：本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键．14、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边作正方形BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝_____．答案：7√2；分析：连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，判定△AOC≌△FOB（ASA），即可得出AO=FO，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．解：连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，∵O是正方形DBCE的对称中心，∴BO=CO，∠BOC=90°，∵FO⊥AO，∴∠AOF=90°，∴∠BOC=∠AOF，即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA，∴∠AOC=∠FBO，∵∠BAC=90°，∴在四边形ABOC中，∠ACO+∠ABO=180°，∵∠FBO+∠ABO=180°，∴∠ACO=∠FBO，在△AOC和△FOB中，{∠AOC=∠FOBAO=FO∠ACO=∠FBO，∴△AOC≌△FOB（ASA），∴AO=FO，FB=FC=6，∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，∴AO=AF×cos45°=14×√22=7√2．故答案为7√2．小提示：本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．15、如图，在正方形网格中，格点ΔABC绕某点顺时针旋转角α(0<α<180°)得到格点ΔA1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α=_____度．答案：90°分析：先连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可得到答案.如图，连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E，∵CC1，AA1的垂直平分线交于点E，∴点E是旋转中心，∵∠AEA1=90°，∴旋转角α=90°.故答案为90°.小提示：本题考查旋转，解题的关键是掌握旋转的性质.解答题16、如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．(1)画出将△OAB绕原点顺时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1、B1的坐标；(2)画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2，并写出点A2、B2的坐标．答案：(1)图见解析，A1（0，﹣4），B1（2，﹣4）(2)图见解析，A2（﹣4，0），B2（﹣4，﹣2）分析：（1）根据旋转先找到找到A1，B1点，再进行连线即可；（2）根据关于原点对称的点特征，找到A2，B2点，再进行连线即可；（1）如图所示，△OA1B1即为所求，由图知，A1（0，﹣4），B1（2，﹣4）；（2）如图所示，△OA2B2即为所求，A2（﹣4，0），B2（﹣4，﹣2）．小提示：本题考查坐标系下图形的旋转，对称作图，根据找点，描点，连线的方法进行作图即可．17、已知：BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．(1)如图1，求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)如图2，若△ABC为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．答案：(1)证明见解析(2)等边△ABC，等边△BEF，等边△CDE，等腰△BDE，等腰梯形ABED，等腰梯形ACEF分析：（1）由角平分线可知∠ABD=∠CBD，由平行可知∠BDE=∠ABD，可得∠CBD=∠BDE，DE=BE= AF，进而结论得证；（2）由题意可得四边形ADEF是菱形，D,E,F是等边三角形的中点，然后根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线∴∠ABD=∠CBD∵DE∥AB∴∠BDE=∠ABD∴∠CBD=∠BDE∴DE=BE=AF∵DE∥AF，DE=AF∴四边形ADEF是平行四边形．（2）解：由（1）知四边形ADEF是平行四边形∴EF∥AC∵△ABC是等边三角形∴∠EFB=∠C=∠B=60°∴BE=EF=DE∴四边形ADEF是菱形∴AF=BF,BE=CE,CD=AD∴D,E,F是等边三角形的中点∴BG⊥EF,BD⊥EF∴由轴对称图形与中心对称图形的定义可知，是轴对称图形但不是中心对称图形的有：等边△ABC，等边△BEF，等边△CDE，等腰△BDE，等腰梯形ABED，等腰梯形ACEF．小提示：本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称图形，中心对称图形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．18、如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．(1)旋转至如图②位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的度数．(2)旋转至如图③位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．答案：(1)16°(2)DL＝EN+GM，见解析分析：（1）根据题意易求出∠BDC=53°．在图②中连接BD．根据旋转结合正方形性质即得出BD=DE= DG，∠DCB=90°．根据等腰三角形三线合一的性质即可得出∠BDC=∠CDG=53°，从而可求出∠CDE的大小，进而即可求出∠BDE的大小，即旋转角．（2）在图③中，过点G作GK//BM，交DE于K，由正方形的性质可得出∠DEF＝∠GDE，DE＝DG．又易证GK⊥DN，即得出∠NDG+∠EDN=90°，∠NDG+∠DGK=90°，从而得出∠EDN＝∠DGK，由此可证明△DKG≌△END(ASA)，得出EN＝DK．由GK//ML，KL//GM，可判定四边形KLMG是平行四边形，得出结论GM＝KL，从而即可证明DL=EN+GM．（1）由图①知，∠BDC=90°−∠CDG=90°−37°=53°，如图②，连接BD，根据旋转和正方形性质可知BD=DE=DG，∠DCB=90°．∴∠BDC=∠CDG=53°，∴∠CDE=90°−∠CDG=90°−53°=37°，∴∠BDE=∠BDC−∠CDE=53°−37°=16°，∴旋转角为16°；（2）DL＝EN+GM，理由如下：如图③，过点G作GK//BM，交DE于K，∵四边形EFGD是正方形，∴∠DEF＝∠GDE，DE＝DG．∵GK//BM，DN⊥BM，∴GK⊥DN，∴∠NDG+∠EDN=90°，∠NDG+∠DGK=90°，∴∠EDN＝∠DGK，∴△DKG≌△END(ASA)，∴EN＝DK，∵GK//ML，KL//GM，∴四边形KLMG是平行四边形，∴GM＝KL，∴DL=DK+KL=EN+GM．小提示：本题考查正方形的性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，综合性较强．正确的做出辅助线以及利用数形结合的思想是解题关键．。

(完整版)第二十三章旋转知识点

第二十三章旋转23.1 图形的旋转1.旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。

2.旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．3.旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．23.2 中心对称图形1.中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．2.中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．3.关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．4.坐标与图形变化--旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（-x，-y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．23.3课题学习图案设计1.利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．2.利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．3.作图--旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．4.利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．5.几何变换的类型（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．。

优选教育人教版九年级上册第23章-旋转(复习课件)-(共36张PPT)

90o与P’重合，则P’的坐标为 ______
2．如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有几个?
可以作为旋转中心的点有3个，即 D、O、C.
3.有甲、乙两棵“小树”，你能对甲“树” 进行适当的操作，将它与乙“树”重合吗？写出你的操作过程.
（1）图中哪些三角形可以
通过旋转互相得到？
（2）∠BFD等于多少度？
E
（3）PQ∥BD吗？若是， A F
说明理由？
PQ
B
C
D
图23－4
第23章复习 ┃ 考点攻略解：解法不唯一，如图23－5：
图23－5
例3.
如图,ΔDEF
是由△ABC
D
绕某一中心
旋转一定的
角度得到,请
E
你找出这旋
转中心.
F
C
A
B
.O
旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。
确定旋转中心
A 连结对应点，作其中垂线，中垂线的交点就是旋转中心
探究: 等边三角形绕它的中心至少需要旋转多少度才能和自身重合? 正方形呢？正六边形呢？
∵∠EDF=45°， ∴∠FDM=45°． ∴△DEF与△DMF关于DF成轴对称， ∴EF=FM． △BEF的周长=BE+EF+BF
=BE+（FC+CM）+BF=BE+FC+AE+BF
=（BE+AE）+（FC+BF）=BA+BC=2，
所以△BEF的周长为2．
例7．如图，水渠旁有一大块L形耕地，要画一条直线为分界线，把耕地平均分成两块，分别承包给两个

第二十三章、旋转章节复习辅导讲义教材

第二十三章、复习辅导讲义一、知识框架二、旋转的概念1.定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转（rotation）.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.2.旋转的三个要素：（1）旋转中心：图形旋转的固定点（2）旋转方向：（顺时针旋转或逆时针旋转）（3）旋转角度：（图形中任一边开始的位置（始边）与旋转后位置（终变）之间的夹角）3.旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等.4.旋转作图步骤：在画旋转图形时，要把握旋转中心与旋转角这两个元素.确定旋转中心的关键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，不动的点则是旋转中心；确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的夹角即为旋转角.作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点（一般是各个顶点）与旋转中心；(2)把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点（一般用虚线）。

二、中心对称（是旋转的一种特殊请况）与中心对称图形（一）中心对称1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．2.性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．（二）中心对称图形1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（三）中心对称与中心对称图形的区别与联系1.联系：与轴对称与轴对称图形一样，中心对称图形可以看成是特殊的中心对称。

人教版九年级数学第23章旋转章末复习(含答案)

人教版九年级数学第23章旋转章末复习一、选择题1. 如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变换得到？下列结论：△1次旋转；△1次旋转和1次轴对称；△2次旋转；△2次轴对称．其中所有正确结论的序号是()A．△△ B．△△ C．△△ D．△△2. 由图中的三角形仅经过一次平移、旋转或轴对称变换，不能得到的图形是图中的()3. 如图，将线段AB先向右平移5个单位长度，再将所得线段绕原点顺时针旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是()A．(－4，1) B．(－1，2)C．(4，－1) D．(1，－2)4. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，3)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为()A．(3，1) B．(3，－1)C．(2，1) D．(0，2)5. 如图示，在Rt△ABC中，△ACB＝90°.P是半圆AC的中点，连接BP交AC于点D.若半圆所在圆的圆心为O，点D，E关于圆心O对称，则图两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是()A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1＝S2D．不确定6. 2018·潍坊在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取一定点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP 的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP 的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P(3，60°)或P(3，－300°)或P(3，420°)等，则与点P关于点O对称的点Q的极坐标表示不正确的是()A．Q(3，240°) B．Q(3，－120°)C．Q(3，600°) D．Q(3，－500°)7. 2020·河北模拟如图所示，A1(1，3)，A2(32，32)，A3(2，3)，A4(3，0)．作折线OA1A2A3A4关于点A4中心对称的图形，得折线A8A7A6A5A4，再作折线A8A7A6A5A4关于点A8中心对称的图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．当t＝2020时，点P的坐标为()A．(1010，3) B．(2020，3 2)C．(2016，0) D．(1010，3 2)8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠A＝30°，则线段PM 的最大值是()A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题9. 如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC＝2.若以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，则BB′＝________．10. 如图，△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2 2.将△BDE绕点B逆时针旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，CE′＝________．11. 一副三角尺如图放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为________．12. 如图，将等边三角形AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点B在第一象限，将△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是________．13. 如图，两块完全相同的含30°角的三角尺ABC和A′B′C′重合在一起，将三角尺A′B′C′绕其顶点C′逆时针旋转角α(0°<α≤90°)，有以下三个结论：△当α＝30°时，A′C与AB的交点恰好为AB的中点；△当α＝60°时，A′B′恰好经过点B；△在旋转过程中，始终存在AA′△BB′.其中正确结论的序号是__________．14. 如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段PQ的中点．如图3，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(0，0)，点P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A 对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是(1，1)，则点P2020的坐标为________．三、解答题15. 如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称．已知A，D1，D 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．(1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．16. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED.(1)试判断△BEC是不是等腰三角形，并说明理由；(2)在原图中画△FCE，使它与△BEC关于CE的中点O中心对称，此时四边形BCFE是什么特殊平行四边形？请说明理由．17. (1)如图(a)，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.①求证：BE＋CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．(2)如图(b)，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．人教版初中数学第23章旋转章末复习-答案一、选择题1. 【答案】D[解析] 先将△ABC绕着B′C的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着B′C′的中点旋转180°，即可得到△A′B′C′；先将△ABC沿着B′C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B′C′的垂直平分线翻折，即可得到△A′B′C′.故选D.2. 【答案】B[解析] A可以通过平移得到，B无法通过三种变换中的任何一种得到，C可以通过轴对称得到，D可以通过旋转得到．3. 【答案】D4. 【答案】A[解析] 如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，∴∠AEO＝∠A′FO＝90°.∵点A的坐标为(1，3)，∴AE＝1，OE＝3，∴OA＝2，∠AOE＝30°，由旋转可知∠AOA′＝30°，OA′＝OA＝2，∴∠A′OF＝90°－30°－30°＝30°，∴A′F＝12OA′＝1，OF＝3，∴A′(3，1)．故选A.5. 【答案】C[解析] ∵P是半圆AC的中点，∴半圆关于直线OP对称，且点D，E 关于圆心O 对称，因而S 1，S 2在直径AC 上面的部分面积相等．∵OD ＝OE ，∴CD ＝AE .∵△CDB 的底边CD 与△AEB 的底边AE 相等，高相同，∴它们的面积相等，∴S 1＝S 2.6. 【答案】D[解析] ∵P (3，60°)或P (3，－300°)或P (3，420°)，由点Q 与点P 关于点O 中心对称可得，点Q 的极坐标为(3，240°)或(3，－120°)或(3，600°)等．7. 【答案】A8. 【答案】B[解析] 连接PC.在Rt△ABC 中，∵∠A ＝30°，BC ＝2， ∴AB ＝4.根据旋转的性质可知，∠A′CB′＝90°，A′B′＝AB ＝4. ∵P 是A′B′的中点，∴PC ＝12A′B′＝2. ∵M 是BC 的中点，∴CM ＝12BC ＝1.又∵PM≤PC ＋CM ，即PM≤3，∴PM 的最大值为3(此时点P ，C ，M 共线)．故选B.二、填空题9. 【答案】2 5 [解析] ∵△ABC 绕AC 的中点O 旋转了180°， ∴OB ＝OB′，∴BB′＝2OB. 又∵OC ＝OA ＝12AC ＝1，BC ＝2，∴在Rt△OBC 中，OB ＝OC 2＋BC 2＝12＋22＝5， ∴BB′＝2OB ＝2 5.10. 【答案】2＋6 [解析] 如图，连接CE′，∵△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2 2，∴AB＝BC＝2 2，BD＝BE＝2.∵将△BDE绕点B逆时针旋转后得△BD′E′，∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，∠D′BD＝∠ABE′，∴∠ABD′＝∠CBE′，∴△ABD′≌△CBE′(SAS)，∴∠D′＝∠CE′B＝45°.过点B作BH⊥CE′于点H，在Rt△BHE′中，BH＝E′H＝22BE′＝2，在Rt△BCH中，CH＝BC2－BH2＝6，∴CE′＝2＋ 6.故答案为2＋ 6.11. 【答案】15°或60°[解析] 分情况讨论：①若DE⊥BC，设此时直线AD与BC交于点F，则∠BFA＝90°－45°＝45°，∴∠BAD＝180°－60°－45°＝75°，∴α＝90°－∠BAD＝15°；②若AD⊥BC，则∠BAD＝30°，∴α＝90°－∠BAD＝60°.故答案为15°或60°.12. 【答案】(－2 3，－2)[解析] 过点B作BH⊥y轴于点H，如图．∵△OAB 为等边三角形，A(0，4)，∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，∴BH＝3OH＝2 3，∴点B的坐标为(2 3，2)．∵将△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，∴点B′的坐标是(－2 3，－2)．13. 【答案】①②③14. 【答案】(1，－3)[解析] 由题意可得点P2(1，－1)，P3(－1，3)，P4(1，－3)，P5(1，3)，P6(－1，－1)，P7(1，1)，可知6个点一个循环，2020÷6＝336……4，故点P2020的坐标与点P4的坐标相同，为(1，－3)．三、解答题15. 【答案】解：(1)∵点D和点D1是对称点，∴对称中心是线段DD1的中点，∴对称中心的坐标是(0，5 2)．(2)B(－2，4)，C(－2，2)，B1(2，1)，C1(2，3)．16. 【答案】解：(1)△BEC是等腰三角形．理由：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE.∵EC平分∠BED，∴∠DEC＝∠BEC，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∴△BEC是等腰三角形．(2)连接BO并延长至点F，使OF＝OB，连接FE，FC，△FCE即为所求．四边形BCFE是菱形．理由：∵OB＝OF，OE＝OC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵BC＝BE，∴▱BCFE是菱形．17. 【答案】解：(1)①证明：如图(a)，将△DBE绕点D旋转180°得到△DCG，连接FG，则△DCG≌△DBE.∴DG ＝DE ，CG ＝BE. 又∵DE ⊥DF ，∴DF 垂直平分线段EG ，∴FG ＝EF. ∵在△CFG 中，CG ＋CF ＞FG ， ∴BE ＋CF ＞EF. ②BE 2＋CF 2＝EF 2.证明：∵∠A ＝90°，∴∠B ＋∠ACD ＝90°.由①得，∠FCG ＝∠FCD ＋∠DCG ＝∠FCD ＋∠B ＝90°，∴在Rt△CFG 中，由勾股定理，得CG 2＋CF 2＝FG 2，∴BE 2＋CF 2＝EF 2.(2)EF ＝BE ＋CF.证明：如图(b)．∵CD ＝BD ，∠BDC ＝120°， ∴将△CDF 绕点D 逆时针旋转120°得到△BDM ， ∴△BDM ≌△CDF ，∴DM ＝DF ，BM ＝CF ，∠BDM ＝∠CDF ，∠DBM ＝∠C. ∵∠ABD ＋∠C ＝180°， ∴∠ABD ＋∠DBM ＝180°， ∴点A ，B ，M 共线，∴∠EDM ＝∠EDB ＋∠BDM ＝∠EDB ＋∠CDF ＝∠BDC －∠EDF ＝120°－60°＝60°＝∠EDF.在△DEM 和△DEF 中，⎩⎨⎧DE ＝DE ，∠EDM ＝∠EDF ，DM ＝DF ，∴△DEM ≌△DEF ，∴EF ＝EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋CF.。

第23章旋转单元整理与复习

第二十三章旋转单元整理与复习教学目标1、知识与技能：了解本单元的知识点及其之间的关系；掌握旋转的概念及性质；掌握中心对称定义及性质，了解利用三种变换进行图案设计.2、过程与方法：复习中心对称图形和对称中心的有关概念，然后提出问题，让学生观察、思考，老师归纳得出中心对称图形和对称中心的有关概念，最后用一些例题、练习来巩固这个内容．3、情感态度价值观：认识数学学习对发展思维能力的重要性，感受到数学美与自我创造的成就感，激发创造性的应用数学知识的热情.教学重难点1、重点：掌握本单元知识体系的连贯性，理解各知识点之间的关联，会利用旋转的性质解决实际问题.本节课要对本单元的知识结构进行梳理，使学生了解本单元的知识体系，以及本单元知识与其他单元知识的联系.2、难点：旋转概念的理解与性质的灵活应用，基本几何图形的旋转及识图、作图能力，在应用中进行相关的计算与几何证明、旋转与平移，轴对称知识相结合的综合应用.教学步骤一、情境引入教师引导学生思考：在本单元的学习了哪些知识？学生自由发言，阐述自己在学习本单元后有什么收获，学习到了哪些知识.二、知识点归纳1、出示学习目标：（1）掌握旋转特征，理解旋转基本性质；（2）理解中心对称、中心对称图形的定义，了解他们的区别和联系。

（3）掌握关于原点对称的点的坐标特点。

2、知识回顾篇：（1）出示自学指导：快速浏览P59---P68页内容，请你带着下面的问题复习一下全章的内容吧。

你能列举出一些平面图形旋转的实例吗？平面图形的旋转有哪些性质？中心对称图形有什么特点？你能列举出一些中心对称图形的例子吗？在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么关系？给学生3－5分钟时间对本单元总体回顾，然后与学生一起归纳本单元的知识体系.（2）师生共同构建如下单元知识结构图：（3）出示相关概念及性质并让学生完成填空3、兴趣活动篇（章节知识点运用）（1）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）．A B C D分析：本题考察学生对轴对称图形及中心对称图形概念的理解，让学生注意细节问题。

九年级数学上册第二十三章旋转知识梳理与复习

九年级数学上册(第二十三章)知识梳理与复习知识要点一：图形的旋棱1.如图，可以看到点A旋转到点A'，OA旋转到O A'，∠AOB旋转到∠A'O B'，点B的对应点是点_______;线段OB的对应线段是线段________;线段AB的对应线段是线段______;∠A的对应角是_______;∠B的对应角是_______; 旋转中心是点_______;旋转角是____________.2.如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点______;旋转的度数是________.3.下列物体的运动:①摆动的钟摆;②旋转的风车;③电梯上下迎送顾客①关上门(不是推拉门)，属于旋转的有( )A.1种B.2种C.3种D.4种4.如图所示，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是( )A.点AB.点BC.点CD.点D5.如图所示，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝90º，D为BC边上一点，△ABD经过旋转至△ACE的位置( )(1)旋转中心是哪一点?(2)旋转角是多少度?(3)分别指出点B，点D的对应点;(4)分别指出∠1与∠2的对应角及线段BD，AD的对应边知识要点二:与旋转有关的计算6.如图所示，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合，则∠EAF的度数是( ) A.80° B.90° C.100° D.120°7.如图所示，△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，△EDC 是由△ADB旋转180°所得，则AB边的取值范围是( ) A.1<AB<29 B.4<AB<24C.5<AB<19D.9<AB<198.如图所示，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B＇，则∠BAC的度数是_______.9.如图，在直角坐标系中，已知点A(-3，0)，B(0，4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点坐标为_________.10.如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点顺时针旋转，使得A与CB的延长线上的E点重合，其中点C的对应点为D点.(1)三角尺旋转了多少度?(2)连接CD，试判断△CBD的形状;(3)求∠BDC的度数知识要点三:旋转作图1.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示(1)分别写出图中点A和点C的坐标;(2)画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A'B＇C'知识要点四:中心对称与中心对称图形12.如图所示的4组图形中，左边图形与右边图形中心对称的有( )A.1组B.2组C.3组D.4组13.如图所示，四边形ABCD是平行四边形、O是对称中心，过O的直线分别交AD，BC于点E，F，则图中相等的线段有( )A.3对B.4对C.5对D.6对14.把下列图形的序号填在相应的横线上.①线段;②角;③等边三角形;④等腰三角形(底边和腰不等);⑤平行四边形;⑥矩形;⑦菱形;⑧正方形.(1)轴对称图形:_________ (2)中心对称图形:____________;(3)既是轴对称图形，又是中心对称图形:______________;(4)是轴对称图形、而不是中心对称图形:______________;(5)不是轴对称图形，而是中心对称图形:______________;15.请你画一条直线，把下面的图形分割成面积相等的两部分知识要点五:关于原点对称的点的坐标16.已知点A(2，a)和点B(b，-1)关于原点对称，则a＝________;b=__________.17.如图所示，将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°，得到△A 'OB ＇,若点A的坐标为(a ，b)，则点A '的坐标为__________. 18.若点P(-m ，m-3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则m 满足 ( ) A,m>3 B.0<m≤3 C.m<0 D.m ＜0或m ＞3 19.已知点A 与点B(1，-6)关于y 轴对称、求点A 关于原点的对称点C 的坐标.20.，其中O ，A ，B ，C 的坐标分别为O(0，0)，A(3，a)，B(4，0)，C(b ，-1) (1)的对称中心的坐标; (2)求a+b 的值知识要点六:图案设计21.下列图形均可由基本图案变换得到:(1) 平移但不能旋转的是:________________________; (2)旋转但不能平移的是:________________________; (3)既可以平移，也可以旋转的是:________________; 22.如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作(1)作出关于直线AB 的轴对称图形;(2)将你画出的部分连同原图形绕点O 逆时针旋转90°; (3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽Array23.正方形绿化场地拟种植两种不同顔色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图①、图②补成既是轴对称图形又是中心对称图形，并画出一条对称轴;把图③朴成只是中心对称图形，并在中心标上字母P.(在你所设计的图案中用阴影部分表示两种不同颜色的花卉)24.25.26.参考答案。

人教版数学九年级上册第23章旋转章节复习课件(共22张)

轴对称图形.
另一个是沿一条直线对折.这是易错点，也是辨别它们不同的关键.
解：矩形FABE是中心对称图形，矩形 BCDE也 F 是中心对称图形，所以经过它们中心的直线把
E D
图形分成全等的两部分，面积相等.如图直线l既
A
经过矩形FABE的中心，又经过菱形BCDE的中心，所以它把纸片分成面积相等的两部分.
l
B
C
4.如图，从前一个农民有一块平行四边形的土地，地里有一个圆形池塘.财主立下遗嘱：要把这块土地平分给他的两个儿子，中间池塘也平分.财主的两个儿子不知怎么做，你能想个办法吗？
解析先找到平行四边形对角线的交点A，过点A、B两点作一条直线可以了.
AB
3 中心对称
【例5】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ D ）
A
B
C
D
【【点解析睛】】中图A心.图对B称都图是轴形对和称轴图对形称，图图C形是的中主心要对称区图分形在，于图一D既个是是中绕心一对点称旋图形转也，是
【解析】作∠CAC′＝90°，且AC＝AC′，得到C的对应点C′，由同样的方法得到其余各点的对应点．
解：如图所示：
【点睛】 (1)画旋转后的图形，要善于抓住图形特点，作出特殊点的对应点；(2)旋转作图时要明确三个方面：旋转中心、旋转角度及旋转方向(顺时针或逆时针)．
2 旋转变换
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上， CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接 EF．（1）补充完成图形；
C D
E
A
O
B
【例3】如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为

第二十三章旋转单元复习教案

第二十三章旋转单元复习教案教案标题：第二十三章旋转单元复习教案教案目标：1. 复习第二十三章旋转单元的关键概念和重要知识点；2. 强化学生对旋转单元的理解和应用能力；3. 提供多样化的学习活动，培养学生的合作与创造能力；4. 激发学生对数学学习的兴趣和自信心。

教学准备：1. 教材：包含第二十三章旋转单元的教材；2. 学习资源：计算器、白板、标尺、图形工具等；3. 学生资源：学生教材、练习册、作业本等；4. 教学辅助工具：PPT、视频等。

教学过程：引入活动：1. 利用一张PPT或者一段视频引入旋转单元的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 引导学生回顾前几章的知识，如平移、缩放等，与旋转单元进行对比。

知识点复习和讲解：1. 复习旋转单元的基本概念和术语，如旋转中心、旋转角度等。

2. 讲解旋转单元的性质和特点，如旋转对称、旋转不变等。

3. 通过示例和图形展示，讲解旋转单元的计算方法和公式。

练习活动：1. 分组讨论：将学生分成小组，让他们在小组内共同解决一些旋转单元的实际问题，如旋转图形的面积计算、旋转体的体积计算等。

2. 个人练习：发放练习册或者作业本，让学生进行个人练习，巩固旋转单元的计算方法和应用能力。

3. 案例分析：给学生提供一些旋转单元的实际案例，让他们进行分析和解决，培养学生的问题解决能力和创造力。

总结和评价：1. 学生展示：让学生展示他们在练习活动中的解决方法和答案，进行互相评价和讨论。

2. 总结复习：总结本节课的重点知识和方法，澄清学生的疑惑和困惑。

3. 课后作业：布置相关的课后作业，巩固学生对旋转单元的理解和应用能力。

教学扩展：1. 拓展学习：引导学生进一步了解旋转单元在实际生活中的应用，如建筑设计、机械制造等领域。

2. 探究学习：鼓励学生自主探究旋转单元的性质和特点，提出自己的问题和解决方法。

教学反思：1. 教学方法：根据学生的学习特点和需求，选择合适的教学方法，如合作学习、探究学习等。

人教版九年级数学上册第二十三章旋转复习课件

(3)可能是菱形，当AC绕点O旋转45°时， ∵AC= BC2 AB2=4， ∴OA=OC=2，∴OA=AB,又∠BAC=90°， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∠AOB=45°. 当AC绕点O顺时针旋转45°时， ∠AOE=45°，∴∠BOE=90°， ∴EF垂直平分BD，∴BE=ED. 又由（1）可知四边形BEDF为平行四边形，即此时四边形BEDF是菱形.
人教·九年级上册
第23章旋转章末复习
复习导入
本节课将回顾全章所学内容，梳理知识脉络，击破重难点的知识结构框图. （2）进一步明确旋转、中心对称、等概念的含义及它们的性质和作图等.
旋转、中心对称的概念和性质.
性质的应用及图案的设计.
本章知识结构图
图案设计利用平移、轴对称、旋转进行图案设计
旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角旋转不改变图形的形状和大小
中心对称的性质：对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分关于对称中心对称的两个图形是全等图形
关于原点对称的两点：横、纵坐标分别互为相反数
下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ B ）
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总是保持相等; （3）在旋转过程中四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由，并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
解：(2)连接AF, EC. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AD与CB关于点O中心对称. 又E、F分别在上. ∴AE与CF关于点O中心对称. ∴AE=CF，又AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形. ∴AF=CE.
解：A(-2,2)，B(-1,-2)，C(-3,-3). 描点如图.△A1B1C1是由△ABC先向右平移5个单位，再向上平移1 个单位得到的.

人教版九年级数学上册第二十三章旋转章末复习课件(共53张)

条件 AB=AD, ∠B+∠D=180°, 可将△ABC绕点A逆时
针旋转, 使 AB和AD重合, 得到△ADE, 这样就可以将
求四边形ABCD的面积转化为求△ACE的面积了.
章末复习
解如图23-Z-6, 将△ABC绕点A逆时针旋转, 使AB和AD重合, 得到
△ADE, 则∠B=∠ADE.
∵∠B+∠ADC=180°, ∴∠ADE+∠ADC=180°, ∴C, D, E三点共线, ∴S四边形
不是
不是
选项
章末复习
相关题1
如图23-Z-2, 其中中心对称图形有( B ).
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
章末复习
专题二利用旋转的性质计算
【要点指点】利用旋转的性质进行计算时, 要抓住旋转的三要素, 找准
旋转前、后相等的量：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点
与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等.
中心对称的性质
设计图案
中心对称
中心对称图形
关于原点对称
的点的坐标
常见的中心对称图形：平行四边
形、圆、正多边形( 边数为偶数)
章末复习
归纳整合
专题一中心对称图形与轴对称图形
【要点指点】中心对称图形是绕着一个点旋转180°后能与本来
的图形重合的图形, 而轴对称图形是沿着一条直线翻折后直线两
旁的部分能够完全重合的图形. 一个图形可以既是轴对称图形又
(3)作出△ABC关于原点O 对称的△A3B3C3.
章末复习
解：(1)(2)(3)如图所示．
章末复习
专题五网格中的图案设计
【要点指点】在网格中设计轴对称图形、中心对称图形等是

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如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=30°，将△DCB 绕点 C 顺时针旋转 60°后，点 D 的对应点恰好与点 A 重合，得到△ACE，若 AB=3， BC=4，求 BD的长。
解：连接BE,
∵△DCB 绕点 C 顺时针旋转 60°得到 △ACE,AB=3,BC=4,∠ABC=30°∠BCE=60
° CE=BC，AE=BD ∴△BCE是等边三角形， ∠CBE=60°,BE=BC=4 ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝30°+ 60°=90° ∴AE=5 又∵AE=BD, ∴ BD=5
【例4】如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为
格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点
连结得到所要画的图形.
y
解：(1)如图所示；
A1 B
(2)如图所示，点A2的坐标为(-3，-2), B2的坐标为(-1，-3).
B1 O
A x
A2
B2
1.（江苏扬州）如图，在△ABC 中，，A(-2,3) ,B(-3,1) C(1,2)．（1）将△ABC 向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1 ；（2）画出△ABC 关于X轴对称的△A2B2C2；（3）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；
1 旋转的概念及性质的应用
【例1】例1如图，若△ABC绕点C沿顺时针方向旋转150°后得到△A1B1C ，∠A=60°，∠B1=90°，则∠A1CB=______.
【解析】关键找出旋转角∠BCB1=150 °; ∠A1CB=∠B1CB-∠A1CB1=150°-30°=120°
1.如图，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB’C’，则等于（） A.60° B.105°C.120°D.135°
（2）由旋转的性质得，DC=FC，∠DCF=90°，
∴∠DCE+∠ECF=90°.
∵∠ACB=90°，
F
∴∠DCE+∠BCD=90°，
∴∠ECF=∠BCD，
∵EF∥DC，
∴∠EFC+∠DCF=180°，
∴∠EFC=90°，
∴△BDC≌△EFC（SAS），
∴∠BDC=∠EFC=90°．
例 3．如图，已知△ABC 是等边三角形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在射线 CB 上，且 ED＝EC，将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至△ACF，连接 EF.求证：AB＝AF＋BD.
1.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将三角形 AOB绕点O逆时针旋转90°得到三角形COD，则旋转过程中形成的阴影部分的面积为____94_π___．
2 旋转变换
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上， CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接 EF．（1）补充完成图形；
问题2、中心对称图形有什么特点？你能举出一些中心对称图形的例子吗？中心对称图形有哪些应用价值？
180° 把一个图形绕着某一个点旋转____，如果它能与另一个图形重合，那么
就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应
点叫做关于中心的对称点．
问题3、什么是中心对称？什么是中心对称图形？中心对称：在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过 __对__称__中__心___，并且被对称中心___平__分___．中心对称图形指把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
常见的中心对称图形有平行四边形，菱形，正方形，圆等。
中心对称与中心对称图形的区别
中心对称是指两个图形可完全重合，对称点在两个图形上，；中心对称图形是一个特殊的图形，对称点在一个图形上。
问题4、在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么关系？横坐标、纵坐标的符号都互为相反数，小结：
点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为P′（-a,-b)；点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为P′（a,-b)；点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为P′（-a, b). 简记为：“关于谁，谁不变，关于原点都改变”.
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．
【解析】（1）根据题意，找准旋转中心，旋转方向及旋转角度，补全图形即可；（2）由旋转的性质得∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到△BDC与△EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．
解：（1）补全图形，如图所Байду номын сангаас；
证明：如图，过点 E 作 EG∥BC 交 AC 于点 G，易得△AEG 为等边三角形． ∴AE＝EG＝AG. ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°. ∴AB－AE＝AC－AG，即 BE＝CG. ∵DE＝CE，∴∠CDE＝∠ECD.
∵∠CDE＋∠BED＝∠ABC＝60°， ∠ECD＋∠GCE＝∠ACB＝60°， ∴∠BED＝∠GCE. 又∵BE＝CG，DE＝CE， ∴△BDE≌△GEC(SAS)． ∴BD＝GE＝AE. 又易知 AF＝BE，∴AB＝BE＋AE＝AF＋BD.
人教版数学九年级上册
问题：1、你能举例说明什么是旋转的吗？平面图形的旋转有哪些性质？ 1．旋转过程中，图形上__每__一__点__都__绕__旋__转__中__心____按同一旋转方向旋转同样大小的角度． 2．任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是__旋__转__角__，对应点到旋转中心的距离都__相__等____． 3．旋转前后对应线段、对应角分别相__等__，图形的大小、形状__不__变_____．
A、B的坐标分别是A(3,2) 、B(1,3).
y
(1)将△AOB绕点O逆时针旋转90 °后得到
B
△A1OB1，画出旋转后的图形；（2）画出△AOB关于原点O对称的图形 △A2OB2，并写出点A2,B2的坐标.
A
O
x
【解析】(1)因为旋转角90 °，故用直角三角板及圆规可快速确定对应点的
位置；（2）先根据关于原点对称的点的坐标确定对称顶点的坐标，再依次