排列PPT

列数 Anm ，可以分如下两步：① 先求从 n 个不同元素中
取出
m
个元素的组合数
C
m n
；②
求每一个组合中 m 个元
素全排列数
Amm
，根据分步计数原理得：Anm
＝
C
m n
Ammห้องสมุดไป่ตู้
．
（3）组合数的公式：
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
或
C
m n
n! m!(n
m)!
(n, m
有 种不同的选法 新疆 王新敞 奎屯
课堂练习
圆上有 10 个点： （1）过每 2 个点画一条弦，一共 可画 条弦； （2）过每 3 个点画一个圆内接三 角形，一共可画 个圆内接三角 形
课堂练习
一个口袋内装有大小不同的 7 个白球和 1 个黑球， （1）从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？ （2）从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，……，做第n步有mn 种不同
的方法，那么完成这件事有
N m1 m2 mn
种不同的方法
4 32 24
• 从 a,b,c,d这四个字母中，每次取出3个按顺 序排成一列，共有多少种不同的排法？
问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学 参加某一天的一项活动，其中一名同学参加 上午的活动，一名同学参加下午的活动，有 多少种不同的方法？
• 6种不同的排法： 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙
排列的概念
从 n个不同元素中，任取 m（ m≤n）个元素 （这里的被取元素各不相同）按照一定的顺 序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m个 元素的一个排列 说明：（1）排列的定义包括两个方面： ①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件： ①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
abd abd, bad, dab, adb, bda, dba
acd acd, cad, dac, adc, cda, dca
bcd bcd, cbd, dbc, bdc, cdb, dcb
A43
＝
C
3 4
A 33
C43
A43 A33
推广：一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排
40 中选法新疆 王新敞 奎屯
依据分类计数原理，共有 100 种选法 新疆 王新敞 奎屯
4 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三 人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3 男，2 男 1
女，1
男
2
女，分别有
C
3 4
，
C
2 4
C
1 6
，
C
1 4
素的所有组合的个数，叫做从 n 个不
同元素中取出 m 个元素的组．合．数．．用
符号
C
m n
表示．
3．组合数公式的推导：
（1）从 4 个不同元素 a,b,c, d 中取出
3
个元素的组合数
C
3 4
是多少呢？
启发：由于排．列．是．先．组．合．再．排．列．，
故我们可以考察一下
C
3 4
和
A43
的关系
abc abc, bac, cab, acb, bca, cba
2 4
C
2 2
90
（2）从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议， 要求至少有 2 名男生和 1 名女生参加，有多少种选法？
解：问题可以分成 2 类： C52C41C61 240
第一类 2 名男生和 2 名女生参加，有 C52C42 60 中选法；
第二类
3 名男生和 1 名女生参加，有 C53C41
分步计数原理又称乘法原理
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做
第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，……，做第n步有mn 种不同
的方法，那么完成这件事有
N m1 m2 mn
种不同的方法
排列的概念
从 n个不同元素中，任取 m（ m≤n）个元素 （这里的被取元素各不相同）按照一定的顺 序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m个 元素的一个排列 说明：（1）排列的定义包括两个方面： ①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件： ①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
N ,且m
n)
例
1．计算：（1）
C
4 7
；
（2） C170
（1）解：
C74
7654 4!
＝35；
（2）解法
1：
C170
1098 7 65 4 7!
＝120．
解法
2： C170
10! 7!3!
10 9 8 3!
＝120．
例
2
．求证：
C
m n
m 1 nm
C
m1 n
．
证明：∵
C
m n
n! m!(n
Anm的意义？
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
Ann n(n 1)(n 2) 2 1 n!
例1
计算：（1） A136 ；（2） A66 ；（3） A64 ．
解：（1） A136 ＝161514 ＝3360 ；
（2） A66 ＝ 6!＝720 ；
（3） A64 ＝ 65 43＝360 新疆 王新敞 奎屯
21 n!
组合
1 组合的概念：一般地，从 n 个不同元 新疆 王新敞 奎屯
素中取出 m m n 个元素并成一组，叫做
从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一
个组合 新疆 王新敞 奎屯
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”— —无序性；⑶相同组合：元素相同
新疆 王新敞
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2．组合数的概念：
从 n 个不同元素中取出 m m n 个元
m)!
m 1 C nm
m1
n
m 1
n!
n m (m 1)!(n m 1)!
＝ m 1
n!
(m 1)! (n m)(n m 1)!
＝
n!
m!(n m)!
∴
C
m n
m 1 nm
C
m1 n
（1）6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学， 每人各得 2 本，有多少种不同的分法？
解：
C
2 6
C
排列与组合
分类计数原理 又称加法原理
分类计数原理：
做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m1种 不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，……，在第n类办 法中有mn 种不同的方法 那么完 成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法
分布计数原理又称乘法原理
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做
C
2 6
，
所以，一共有
C
3 4
+
C
2 4
C
1 6
+
C
1 4
C
2 6
＝100
种方法．
C C 100 解法二：（间接法） 3
3
10
6
新疆 王新敞
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课堂练习
1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题： （1）从 4 个风景点中选出 2 个安排游览，有多少种不同的方法？ （2）从 4 个风景点中选出 2 个，并确定这 2 个风景点的游览顺序， 有多少种不同的方法？
解：（1）C83
56
,（2）C72
21
；（3）C
3 7
35
．
排列数
• 从n 个不同元素中，任取 m（ m≤n）个元素 的所有排列的个数叫做从 n个元素中取出 m 个元素的排列数，用符号Anm 表示
Anm
• 思考
排列和排列数有什 么区别和联系
Anm表示排列数，而
不表示具体的排列
An2 的意义？
An2 n(n 1)
An3 的意义
An3 n(n 1)(n 2)
排列数
• 从n 个不同元素中，任取 m（ m≤n）个元素 的所有排列的个数叫做从 n个元素中取出 m 个元素的排列数，用符号Anm 表示
Anm
An2 n(n 1)
An3 n(n 1)(n 2)
Anm n(n 1)(n 2)
Anm
(n
n! m)!
Ann n(n 1)(n 2)
(n m 1)
课堂练习
如果把两条异面直线看作“一对”，则在五
棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ）
A ． 15 对 C ． 30 对
B ． 25 对 D ． 20 对
课堂练习
1、从 6 位候选人中选出 2 人分别担任班
长和团支部书记，有 种不同的选法 新疆 王新敞 奎屯
2 从 6 位同学中选出 2 人去参加座谈会，
少个？ A52 5 4 20
• （2）5人站成一排照相，共有多少种不同 的站法？
A55 5 4 3 2 1 120
课堂练习
Anm
n! m!
排列与组合
分类计数原理 又称加法原理
分类计数原理：
做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m1种 不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，……，在第n类办 法中有mn 种不同的方法 那么完 成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法
例2
（ 1 ） 若 Anm 17 16 15 5 4 ， 则 n
，
m ．
（2）若 n N, 则 (55 n)(56 n) (68 n)(69 n) 用排列
数符号表示 ．
解：（1）n=17 ，n=14 ．
（2）
A15 69 n
• 例3．（1）从 1,2,3,4,5，这五个数字中，任 取2个数字组成分数，不同值的分数共有多