高三综合测试数学试卷

浙江省余杭高级中学高三上学期第二次阶段性检测

数学（理）试题

考生须知:

1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.

2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.

3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.

4. 考试结束, 只需上交答题卷.

选择题部分

一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．

1．已知i z i -=⋅+)1(，那么复数z 对应的点位于复平面内的（ ▲ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2．设集合{}

{}

1log ,0122<=>-=x x B x x A ，则B A 等于（▲ ） A ．{|1}x x <-

B ．{}

20<<-或

3．如果对于任意实数，＜＞表示不小于的最小整数，例如＜1.1＞2=，＜ 1.1-＞1=-，那么“||1x y -<”是“x y <>=<>”的 ( ▲ )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．设数列的前n 项和，则的值为（ ▲ ）

A ．15

B ． 16

C ．49

D ． 64

5．8月在北京召开了国际数学家大会, 会标如图示, 它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形, 若直角三角形中较小的锐角为θ, 大正方形面积是1, 小正

方形面积是

251

, 则θθ22cos sin -的值是（ ▲ ） A ．2524- B ．257- C ．2524 D ．25

7

6．已知非零向量a ，b 满足|a + b | =|a –b |=

23

|a |，则a + b 与a –b 的夹角为（ ▲ ） A ． 30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒

7．设函数2

)()(x x g x f +=，曲线)(x g y =在点))1(,1(g 处的切线方程为12+=x y ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线的斜率为（ ▲ ）

{}n a 2

n S n =8a

A ． 4

B ． 41-

C ． 2

D ． 2

1- 8．已知函数)0,0,0)(cos()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则)1(f 的

值为 ( ▲ )

A ．2

3

-

B ．2

6

-

C ．3

D ． 3- 9．定义一种运算⎩⎨⎧>≤=⊗b

a b b a a b a ,,，令45)sin (cos )(2⊗+=x x x f ，且]2,0[π

∈x ，则函数

)2

(π

-

x f 的最大值是 （ ▲ ）

A ．

4

5 B ． 4

5

-

C ． 1

D ． 1- 10．已知2*

11()2,()(),()(())(2,)n n f x x x c f x f x f x f f x n n N -=-+==≥∈，若函数

()n y f x x =-不存在零点，则c 的取值范围是（ ▲ ） A ．14c < B ．34c ≥ C ．94c > D ．9

4

c ≤

非选择题部分

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．已知向量，，，若∥，则= ▲ ． 12．若函数x x f x

2log 12)(-+=，则)4(f = ▲ . 13．设)cos 1(22cos )(x x x f +-=的最小值为 ▲ ．

14．已知数列满足：则=2012a ▲ ．

15．已知1tan()42π

α+=，且02π

α-<<，则

22sin sin 2cos()4

ααπα+=- ▲ ．

16．当一个非空数集F 满足条件“如果F b a ∈,，则F b a b a b a ∈⋅-+,,，并且当0≠b 时，F b

a ∈”时，我们就称F 为一个数域。以下四个关于数域命题：①0是任何数域的元素；②若数域F 中有非零元素，则F ∈2011；③集合{}

Z k k x x p ∈==,3是一个数域；④有理数是一个数域。其中正确命题的序号为 ▲ ．

17．给定两个长度为1的平面向量OA 和，它们的夹角为 120．

(3,1)a =(1,3)b =(,7)c k =()a c -b k {}n a 434121,0,,N ,n n n n a a a a n *

--===∈OB

如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是 ▲ ．

AB ,OC xOA yOB =+,x y R ∈x y +

三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 18. （本小题满分14分）

在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，已知4

102sin =C 。 （1）求C cos 的值； （2）若ABC ∆的面积为

4153，且C B A 2

22sin 16

13sin sin =+，求c b a ,,的值。

19．（本小题满分14分）

设首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前项和为n S ，已知30,257=-=S a 。 （1）求1a 及d ； （2）若数列{}n b 满足)(32321*∈++++=N n n

nb b b b a n

n ，求数列{}n b 的通项公式。

20．（本小题满分14分）

已知函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，当01≤<-x 时， x

e

x f -=)(；当10≤

144)(2+-=x x x f 。

（1）求函数)(x f 的单调区间；

（2）若)0()()(>-=k kx x f x g ，求函数)(x g 在]5,0[∈x 时的零点个数。