5.2 简谐振动的旋转矢量表示法

0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4 π x A cos(t ) 0.0707 cos( 6.0t )
因为 v 0
v0 tan＇ 1 x0 π 3π ＇ 或 4 4
x
2 0
v
2 0 2
0.0707m
o
π 4
x
A＇
4
第5章 机械振动
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法
例 一质量为 0.01kg的物体作简谐振动，其振 幅为 0.08 m ，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04 m 处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.试求 （1 ） t
1.0s
时，物体所处的位置和所受的力；
v
0.08 0.04
o
x/m
0.04 0.08

A
o
v A sin t
A 2
x
0.26m s
1
（负号表示速度沿 Ox 轴负方向）
第5章 机械振动
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法
（3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零， 1 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s ，求其运动方程 . 解 A＇
第5章 机械振动
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法
k 0.72N m 解 （ 1） m 0.02kg
1
6.0s 1
v A x x0 0.05m v0 tan 0 x0 0 或 π
2 0
2 0 2
o
A
x
0 x A cos(t ) 0.05 cos 6.0t m

A O v0 x0 a)
3
4 x0v0 3
A （2）根据题意，x0 2 ，且 v0 >0，可得旋转矢
x
A
O
x

b)
第5章 机械振动
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法
例 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧 1 的劲度系数 k 0.72N m ，物体的质量 m 20g .
由旋转矢量图可知
第5章 机械振动
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法 A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度；
解
x A cos(t ) A cos(t )
A
x 1 cos( t ) A 2 π 5π t 或 3 3 π 由旋转矢量图可知 t 3
2
x 0.069 m
F kx m x 1.70 103 N
第5章 机械振动
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法 （2）由起始位置运动到 x 0.04 m 处所需要
的最短时间.
v
0.08 0.04
o
x/m
0.04 0.08
解法一 设由起始位置运动到 x 0.04 m 处 所需要的最短时间为 t
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05 m 处停 下后再释放，求简谐振动方程； A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度； （3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零， 1 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s ，求其运动方程 .
x/m
o
0.05
A
π 3

0.08 0.04
0.04 π x 0.08 cos( t 2
o
x/m
0.08 π ) 3
第5章 机械振动
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法
m 0.01kg
0.08 0.04
v
o
0.04 0.08
x/m
π π x 0.08 cos( t ) 2 3
t 1.0s 代入上式得
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
2 1
为其它
(t 2 ) (t 1 )
0 同步
π 反相
超前 落后
x
x
x
o
t
o
t
o
t
第5章 机械振动
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法
例 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅 ， 2 A 1.0 10 m ，周期 T 1 s。当 t 0 时，试分别 振幅 写出以下两种初始条件下简谐振动的运动学方程。（ 1） 3 x0 5.0 10 m x轴负方向运动；（2） 质点位于 处，向 3 x0 5.0 10 m x轴正方向运动。 质点位于 处，向 ，且v0 ＜0，可得旋转矢量的初始位置如 图（a）所示。由图（a）可得简 谐振动的初相位 。由此 3 及 2 / T 2 rad / s，A 1.0 102 m， 可得简谐振动运动学方程为
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法
简谐振动的规律除了用简谐振动的运动学 方程和振动曲线表示外，还可以采用旋转矢量 表示法。 旋转矢量表示法可以更直观地说明简谐振动 运动学方程中各个特征物理量的意义。
第5章 机械振动
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法
2π T
当

t 0时

A M
0
以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x0 A cos
x0
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
第5章 机械振动
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法
2π T
A M
t t
时

M0
以 o为 原点旋转矢
t
量 A的端点
在
o
x
x0
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
第5章 机械振动
x A cos(t )
π π 0.04 0.08 cos( t ) 2 3
t 0.667 s
第5章 机械振动
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法
解法二
t
时刻

π 3
t
o
起始时刻
π 3
0.04 0.08
x/m
0.08 0.04
π t 3
π 1 s 2
t 0.667 s
第5章 机械振动
π v A cos( t ) 2
a A cos(t )
2
第5章 机械振动
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法
用旋转矢量图画简谐振动的

x
A
x
A
*
x A cos(t )
*
T * 3T 2 4
x t
*
* T
图
π 4

O -A
O * T
4
*
-A
*
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法
x A cos(t )
矢量 A的
端点在 轴上的投 影点的运
旋转
x
来自百度文库
动为简谐
运动.
第5章 机械振动
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法
y vm
t
0
an
π t 2
A
vm A
v a

x
an A
2
x A cos(t )
x0 解 （1）t 0 时， A 2

A O v0 x0 a)
3
x0v0
4 3
x
A
O
x

b)
x 1.0 102 cos(2 t ) m 3
第5章 机械振动

5.2 简谐振动的旋转矢量表示法
量的初始位置如图（b）所示。由图（b）可得振动 4 2 初相位 或 。因此，简谐振动运动学方程 3 3 为 2 2 x 1.0 10 cos(2 t )m 3
x
A
A2
x A cos(t1 ) x A cos(t2 )
t t 2 t1

a
b
π 3
Ab

o
A
v
t
A
0 A


x
π 3 1 t T T 2π 6
2
Aa A
第5章 机械振动
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法
2）对于两个同频率的简谐振动，相位差表示它 们间步调上的差异.（解决振动合成问题）
解
A 0.08 m
2π π 1 s T 2
第5章 机械振动
t 0, x 0.04m
π v0 0 3
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法 2π π 1 A 0.08 m s T 2
代入 x
0.04 0.08cos
A cos(t ) π 3
*
5T 4
t
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
第5章 机械振动
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法
用旋转矢量图画简谐振动的
x t
图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
第5章 机械振动
5.2 简谐振动的旋转矢量表示法 讨论
相位差：表示两个相位之差 . 1）对同一简谐振动，相位差可以给出两运动状 态间变化所需的时间. (t 2 ) (t1 )