17.2一元二次方程的解法--因式分解法
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解方程 ( x 5)( x 2) 18 解： 原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6 由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4. 原方程的解为x1 8或x2 4.
(
)
解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x 1= A解 , x 2 = B解
例 解下列方程 1、x2－3x－10=0
解：原方程可变形为 (x－5)(x+2)=0 x－5=0或x+2=0 ∴ x1=5 ,x2=-2
解题步骤演示
(默5)
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+2x－8 =0 (x－2)(x+4)=0 左边分解成两个 一次因式 的乘积 至少有一个一次因式为零 得到两个一元一次方程 x－2=0或 x+4=0 ∴ x1=2 ,x2=-4 两个一元一次方程的解 就是原方程的解
17.2 因式分解法解一元二次方 程
回顾与复习 1
1.一元二次方程的解. 满足方程，有根就是两个
2、我们已经学过了几种解一元二次 方程的方法? 直接开平方法、配方法、公式法 3、什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
通过比较，你得到了什么规律?请与同伴交 流并完成下表
4.x1 3, x2 6.
3
6.x 12x 27 0;
6.x1 3, x2 9.
选择题训练
1.对于方程(x-a)(x-b)=0,下列结论正确的是( B ) （A） x-a=0 （C） x-b=0 （B）x-a=0或x-b=0 （D）x-a=0且x-b=0 （C）2 （C）-1和0
这样解是否正确呢？
方程的两边同时除以同一个 不等于零的数，所得的结果仍是 等式.
(4) x x
2
解： (1)当x 0时，左边 0 0，右边 0.
2
左边 右边， x 0是原方程的解；
(2)当x 0时, 方程的两边同除以x，得 x 1 原方程的解为x1 0, x2 1.
参考答案：
(4x 2) x(2x 1)
2
2.3x( x 2) 5( x 2);
3.(3x 1) 5 0;
5.(x 1) 3x 1 2 0; 5.x1 0; x2 1.
2
4.2( x 3)
2
2
xx 3;
1 4 1.x1 ; x2 . 2 7 5 2.x1 2; x2 . 3 4 3.x1 2; x2 .
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
简记歌诀： (默4) 右化零 左分解
两因式
各求解
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
2
解：原方程变形为 ( x 3 )( x 2 ) 0
x 3 0或x 2 0,
x1 3 , x2 2 .
练习：用因式分解法解下列方程
(1)5 x 4 x 0
2
解：x(5 x 4) 0, x 0或5 x 4 0, 4 x1 0, x2 . 5
因式分解法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟 练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零.”
因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)将方程左边因式分解，右边等于0; (2)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程. (3)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.
解：原方程变形为
Байду номын сангаас
( x 1)[( a b) x ( a b)] 0
1 ab
1 ( a b)
x 1 0或(a b) x (a b) 0
a b 0, 原方程的根为 a b x1 1, x2 . ab
我最棒 1.
2
,用分解因式法解下列方程
x1 3, x2 4.
( 4)t (t 3) 28
解：整理，得 t 3t 28 0,
2
(t 4)(t 7) 0, t 4 0或t 7 0,
t1 4, t2 7.
解关于x的方程 x 2ax a b 0
2 2 2
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x 1= A解 , x 2 = A解
通过比较，你得到了什么规律?请与同伴交 流并完成下表
一元二次方程 ax2+c=0 适当的解法 开平方法 因式分解法 公式法,配方法
( 2) 2 y 3 y
2
解：2 y 3 y 0
2
y ( 2 y 3) 0 y 0或 2 y 3 0
3 2 y1 0, y2 . 2
(3) x 7 x 12 0
2
解： ( x 3)( x 4) 0, x 3 0或x 4 0,
因式分解法
2 9x －25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0 3X+5=0 或 3x－5=0 5 5 x1 , x 2 . 3 3
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1) x ( x 2) 0
x1 0, x2 2
2 1 (3)(3 x 2)( 2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
2 2
证明：由2 x 11xy 15 y 0，得
2 2
( x 3 y )(2 x 5 y ) 0,
x 3 y 0或2 x 5 y 0,
x 3 y或2 x 5 y.
用因式分解法解关于 x 的方程： 2 (a b) x 2bx a b 0(a b 0）
小
结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的乘 积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个一元 一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方程的解 缺少一次项常用开平方法,缺少常数项常用因式分 解法,当一边为零另一边易因式分解时也常用 因式分解法 ________________.
(4 x 3) ( x 3)
2
2
(默6)
解：移项，得 (4 x 3) ( x 3) 0,
2 2
(4 x 3 x 3)( 4 x 3 x 3) 0 5 x(3 x 6) 0,
5 x 0或3x 6 0, x1 0, x2 2.
2、方程x(x-2)=2(2-x)的根为(C )
（A）-2 （ B） 2 （D）2、2
3、方程(x-1)² =(1-x)的根是(D )
（ A） 0 （ B） 1 （D）1和0
(4) x x
2
2
(默2)
解：移项，得 x x 0, x( x 1) 0
x 0, 或x 1 0, 原方程的解为 : x1 0, x2 1.
注：如果一元二次方程有实数根， 那么一定有两个实数根.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (默3) 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
(2a 3) (a 2)(3a 4) (默7)
2
解：去括号，整理，得 a 2a 1 0
2
(a 1) 0
2
a1 a2 1.
小结
拓展
回味无穷
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的 乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一 元二次方程的方法称为因式分解法.
ax2+bx=0
ax2+bx+c=0
用因式分解法解下列方程：
(1)( x 5)( x 2) 18
解：整理原方程，得 x 3x 28 0
2
( x 7)( x 4) 0 x 7 0, 或x 4 0,
x1 7, x2 4.
( 2) x ( 3 2 ) x 6 0
一元二次方程 ax2+c=0 适当的解法 开平方法 因式分解法 公式法,配方法
ax2+bx=0
ax2+bx+c=0
2 x －4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0 X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
AB=0A=0或Ｂ＝０
5分钟时间自学课本内容，并寻找下面各题答案， 比一比，看谁找得又快又好 。
1、 什么样的一元二次方程可以用因式分解 法来解？ 2、用因式分解法解一元二次方程，其关键 是什么？ 3、用因式分解法解一元二次方程的理论依 据是什么? 4、用因式分解法解一元二方程，必须要先化 成一般形式吗？
(默1) 当一元二次方程的一边是0,而另一边易 于分解成两个一次因式的乘积时,我们就 可以用分解因式的方法求解.这种用分解 因式解一元二次方程的方法称为因式分 解法. 提示: 1.用因式分解法的条件是:左边能分解， 右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于 零,那么至少有一个因式等于零.”
3 x( x 2) 5( x 2) 0
(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为
(3x+1+ 5 )(3x+1－
5)=0
=0 5
3x+1+ 5 =0或3x+1－
１ 5 １ 5 ∴ x1= , x2= 3 3
(4) x x
2
解：方程的两边同时除以x，得 x 1. 原方程的解为x 1.
解： [ x (a b)][ x (a b)] 0
1 1
( a b) ( a b)
x (a b) 0或x (a b) 0
x1 a b, x2 a b.
已知 : 2 x 11xy 15 y 0. 1 3 y 求证 : x 3 y或2 x 5 y. 2 5y
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
例1、解下列方程
(1)3 x( x 2) 5( x 2)
(2)(3x 1) 5 0
2
解：移项，得
3 x( x 2) 5( x 2)
( x 2) (3 x 5) 0
x+2=0或3x－5=0 5 ∴ x1=-2 , x2= 3
(
)
解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x 1= A解 , x 2 = B解
例 解下列方程 1、x2－3x－10=0
解：原方程可变形为 (x－5)(x+2)=0 x－5=0或x+2=0 ∴ x1=5 ,x2=-2
解题步骤演示
(默5)
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+2x－8 =0 (x－2)(x+4)=0 左边分解成两个 一次因式 的乘积 至少有一个一次因式为零 得到两个一元一次方程 x－2=0或 x+4=0 ∴ x1=2 ,x2=-4 两个一元一次方程的解 就是原方程的解
17.2 因式分解法解一元二次方 程
回顾与复习 1
1.一元二次方程的解. 满足方程，有根就是两个
2、我们已经学过了几种解一元二次 方程的方法? 直接开平方法、配方法、公式法 3、什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
通过比较，你得到了什么规律?请与同伴交 流并完成下表
4.x1 3, x2 6.
3
6.x 12x 27 0;
6.x1 3, x2 9.
选择题训练
1.对于方程(x-a)(x-b)=0,下列结论正确的是( B ) （A） x-a=0 （C） x-b=0 （B）x-a=0或x-b=0 （D）x-a=0且x-b=0 （C）2 （C）-1和0
这样解是否正确呢？
方程的两边同时除以同一个 不等于零的数，所得的结果仍是 等式.
(4) x x
2
解： (1)当x 0时，左边 0 0，右边 0.
2
左边 右边， x 0是原方程的解；
(2)当x 0时, 方程的两边同除以x，得 x 1 原方程的解为x1 0, x2 1.
参考答案：
(4x 2) x(2x 1)
2
2.3x( x 2) 5( x 2);
3.(3x 1) 5 0;
5.(x 1) 3x 1 2 0; 5.x1 0; x2 1.
2
4.2( x 3)
2
2
xx 3;
1 4 1.x1 ; x2 . 2 7 5 2.x1 2; x2 . 3 4 3.x1 2; x2 .
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
简记歌诀： (默4) 右化零 左分解
两因式
各求解
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
2
解：原方程变形为 ( x 3 )( x 2 ) 0
x 3 0或x 2 0,
x1 3 , x2 2 .
练习：用因式分解法解下列方程
(1)5 x 4 x 0
2
解：x(5 x 4) 0, x 0或5 x 4 0, 4 x1 0, x2 . 5
因式分解法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟 练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零.”
因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)将方程左边因式分解，右边等于0; (2)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程. (3)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.
解：原方程变形为
Байду номын сангаас
( x 1)[( a b) x ( a b)] 0
1 ab
1 ( a b)
x 1 0或(a b) x (a b) 0
a b 0, 原方程的根为 a b x1 1, x2 . ab
我最棒 1.
2
,用分解因式法解下列方程
x1 3, x2 4.
( 4)t (t 3) 28
解：整理，得 t 3t 28 0,
2
(t 4)(t 7) 0, t 4 0或t 7 0,
t1 4, t2 7.
解关于x的方程 x 2ax a b 0
2 2 2
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x 1= A解 , x 2 = A解
通过比较，你得到了什么规律?请与同伴交 流并完成下表
一元二次方程 ax2+c=0 适当的解法 开平方法 因式分解法 公式法,配方法
( 2) 2 y 3 y
2
解：2 y 3 y 0
2
y ( 2 y 3) 0 y 0或 2 y 3 0
3 2 y1 0, y2 . 2
(3) x 7 x 12 0
2
解： ( x 3)( x 4) 0, x 3 0或x 4 0,
因式分解法
2 9x －25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0 3X+5=0 或 3x－5=0 5 5 x1 , x 2 . 3 3
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1) x ( x 2) 0
x1 0, x2 2
2 1 (3)(3 x 2)( 2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
2 2
证明：由2 x 11xy 15 y 0，得
2 2
( x 3 y )(2 x 5 y ) 0,
x 3 y 0或2 x 5 y 0,
x 3 y或2 x 5 y.
用因式分解法解关于 x 的方程： 2 (a b) x 2bx a b 0(a b 0）
小
结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的乘 积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个一元 一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方程的解 缺少一次项常用开平方法,缺少常数项常用因式分 解法,当一边为零另一边易因式分解时也常用 因式分解法 ________________.
(4 x 3) ( x 3)
2
2
(默6)
解：移项，得 (4 x 3) ( x 3) 0,
2 2
(4 x 3 x 3)( 4 x 3 x 3) 0 5 x(3 x 6) 0,
5 x 0或3x 6 0, x1 0, x2 2.
2、方程x(x-2)=2(2-x)的根为(C )
（A）-2 （ B） 2 （D）2、2
3、方程(x-1)² =(1-x)的根是(D )
（ A） 0 （ B） 1 （D）1和0
(4) x x
2
2
(默2)
解：移项，得 x x 0, x( x 1) 0
x 0, 或x 1 0, 原方程的解为 : x1 0, x2 1.
注：如果一元二次方程有实数根， 那么一定有两个实数根.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (默3) 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
(2a 3) (a 2)(3a 4) (默7)
2
解：去括号，整理，得 a 2a 1 0
2
(a 1) 0
2
a1 a2 1.
小结
拓展
回味无穷
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的 乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一 元二次方程的方法称为因式分解法.
ax2+bx=0
ax2+bx+c=0
用因式分解法解下列方程：
(1)( x 5)( x 2) 18
解：整理原方程，得 x 3x 28 0
2
( x 7)( x 4) 0 x 7 0, 或x 4 0,
x1 7, x2 4.
( 2) x ( 3 2 ) x 6 0
一元二次方程 ax2+c=0 适当的解法 开平方法 因式分解法 公式法,配方法
ax2+bx=0
ax2+bx+c=0
2 x －4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0 X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
AB=0A=0或Ｂ＝０
5分钟时间自学课本内容，并寻找下面各题答案， 比一比，看谁找得又快又好 。
1、 什么样的一元二次方程可以用因式分解 法来解？ 2、用因式分解法解一元二次方程，其关键 是什么？ 3、用因式分解法解一元二次方程的理论依 据是什么? 4、用因式分解法解一元二方程，必须要先化 成一般形式吗？
(默1) 当一元二次方程的一边是0,而另一边易 于分解成两个一次因式的乘积时,我们就 可以用分解因式的方法求解.这种用分解 因式解一元二次方程的方法称为因式分 解法. 提示: 1.用因式分解法的条件是:左边能分解， 右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于 零,那么至少有一个因式等于零.”
3 x( x 2) 5( x 2) 0
(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为
(3x+1+ 5 )(3x+1－
5)=0
=0 5
3x+1+ 5 =0或3x+1－
１ 5 １ 5 ∴ x1= , x2= 3 3
(4) x x
2
解：方程的两边同时除以x，得 x 1. 原方程的解为x 1.
解： [ x (a b)][ x (a b)] 0
1 1
( a b) ( a b)
x (a b) 0或x (a b) 0
x1 a b, x2 a b.
已知 : 2 x 11xy 15 y 0. 1 3 y 求证 : x 3 y或2 x 5 y. 2 5y
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
例1、解下列方程
(1)3 x( x 2) 5( x 2)
(2)(3x 1) 5 0
2
解：移项，得
3 x( x 2) 5( x 2)
( x 2) (3 x 5) 0
x+2=0或3x－5=0 5 ∴ x1=-2 , x2= 3