(人教版)九年级下册数学《相似三角形的应用举例》课件PPT
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A
E
C B
FD G
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则 DE EF . DC CA
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
∴ 0.5 0.25，
20 CA
A
解得：AC = 10，
故 AB = AC + BC
= 10 + 1.5 = 11.5 (m). 答：旗杆的高度为 11.5 m. C
共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直
的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂
直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知
P
测得QS = 45 m，ST = 90 m，
QR = 60 m，请根据这些数据，
计算河宽 PQ.
Q
Rb
S
Ta
解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P，
B
C
解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E，
∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m，
∵ 在同一时刻物高与影长成正比例，
∴ EA : ED=1 : 1.2，
∴ AE = 8 m，
∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)，
∴ 学校旗杆的高度为 10 m.
导入新课
图片引入
乐山大佛
世界上最高的树 —— 红杉
怎样测量这些非常高 大的物体的高度？
台湾最高的楼 ——台北101大楼
怎样测量河宽？
世界上最宽的河
——亚马逊河
利用相似三角形可以解决一些不能直 接测量的物体的高度及两物之间的距 离问题.
讲授新课
一 利用相似三角形测量高度
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利 用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根 木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量 金字塔的高度.
A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m
3. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在 可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的
C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD
＝15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 20 m.
发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，
已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那
么该古城墙的高度是
( B)
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
二 利用相似三角形测量宽度
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选
定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S
A
B
E
C
பைடு நூலகம்
D
4. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看 到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝ 20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平 面镜的距离 SA 的长度为 12 cm .
5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬 纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调 整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米， EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米， 到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度.
想一想： 还可以有其他测量方法吗？
B E
┐
平面镜
F
A
△ABO∽△AEF
OB EF
=
OA AF
┐
O
OB
=
OA ·EF AF
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以 用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
试一试：
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的
示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出
此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米， 求两岸间的大致距离 AB． A
60m C
B 120m D
50m
E
解：∵ ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ △ABD∽△ECD.
∴ AB BD ，即 AB 120 ，
EC DC
50 60
解得 AB = 100.
A
因此，两岸间的大 致距离为 100 m.
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画 出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K. 视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似 地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区 域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往 前走就根本看不到 C 点了.
B 120m
60m C
D
50m
E
归纳：
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度， 常构造相似三角形求解.
三 利用相似解决有遮挡物问题
例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人 估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树 的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的 树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了?
B
E FD
G
6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面 上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影 长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面 长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗 杆的高度． A
D
∴△PQR∽△PST. ∴ PQ QR ， PS ST
即
PQ PQ QS
QR
，
ST
PQ PQ 45
60 ， 90
PQ×90 = (PQ+45)×60. 解得 PQ = 90. 因此，河宽大约为 90 m.
还有其他构造相似三角 形求河宽的方法吗？
P
60m Q 45m R
b
S 90m T a
例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选 定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C， 使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线 确定 BC 和 AE 的交点 D．
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK. ∴ EH AH ， EK CK
即 EH 8 1.6 6.4 . EH 5 12 1.6 10.4
解得 EH=8. 由此可知，如果观察者继续前进， 当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树 的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
在同一时刻下地面上的影长即
可，则下面能用来求AB长的等
式是
(C)
A．AB EF DE BC
C．AB BC DE EF
B．AB DE EF BC
D．AB AC DE DF
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是___8___米．
FD
3
=134 (m).
因此金字塔的高度为
134 m.
归纳：
测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在
同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
练一练
1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度，
可在地面上竖一根竹竿 DE，
测量出 DE 的长以及 DE 和 AB
第二十七章
九年级数学下（RJ） 教学课件
相似
27.2 相似三角形
27.2.3 相似三角形应用举例
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量 的物体的高度和宽度. (重点)
2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化 为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决 问题的能力. (难点)
A
D E
B
C
课堂小结
利用相似三角形测量高度
相似三角形的应用 利用相似三角形测量宽度 举例
利用相似解决有遮挡物问题
当堂练习
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得
教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高
度应为
( A)
A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米
2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 (A)
例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测 得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又 ∠怎AO样B测=∠出DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.
∴ BOOA的O长A？， EF FD
∴ BO OA EF 201 2
E
C B
FD G
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则 DE EF . DC CA
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
∴ 0.5 0.25，
20 CA
A
解得：AC = 10，
故 AB = AC + BC
= 10 + 1.5 = 11.5 (m). 答：旗杆的高度为 11.5 m. C
共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直
的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂
直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知
P
测得QS = 45 m，ST = 90 m，
QR = 60 m，请根据这些数据，
计算河宽 PQ.
Q
Rb
S
Ta
解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P，
B
C
解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E，
∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m，
∵ 在同一时刻物高与影长成正比例，
∴ EA : ED=1 : 1.2，
∴ AE = 8 m，
∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)，
∴ 学校旗杆的高度为 10 m.
导入新课
图片引入
乐山大佛
世界上最高的树 —— 红杉
怎样测量这些非常高 大的物体的高度？
台湾最高的楼 ——台北101大楼
怎样测量河宽？
世界上最宽的河
——亚马逊河
利用相似三角形可以解决一些不能直 接测量的物体的高度及两物之间的距 离问题.
讲授新课
一 利用相似三角形测量高度
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利 用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根 木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量 金字塔的高度.
A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m
3. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在 可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的
C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD
＝15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 20 m.
发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，
已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那
么该古城墙的高度是
( B)
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
二 利用相似三角形测量宽度
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选
定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S
A
B
E
C
பைடு நூலகம்
D
4. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看 到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝ 20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平 面镜的距离 SA 的长度为 12 cm .
5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬 纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调 整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米， EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米， 到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度.
想一想： 还可以有其他测量方法吗？
B E
┐
平面镜
F
A
△ABO∽△AEF
OB EF
=
OA AF
┐
O
OB
=
OA ·EF AF
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以 用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
试一试：
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的
示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出
此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米， 求两岸间的大致距离 AB． A
60m C
B 120m D
50m
E
解：∵ ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ △ABD∽△ECD.
∴ AB BD ，即 AB 120 ，
EC DC
50 60
解得 AB = 100.
A
因此，两岸间的大 致距离为 100 m.
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画 出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K. 视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似 地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区 域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往 前走就根本看不到 C 点了.
B 120m
60m C
D
50m
E
归纳：
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度， 常构造相似三角形求解.
三 利用相似解决有遮挡物问题
例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人 估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树 的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的 树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了?
B
E FD
G
6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面 上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影 长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面 长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗 杆的高度． A
D
∴△PQR∽△PST. ∴ PQ QR ， PS ST
即
PQ PQ QS
QR
，
ST
PQ PQ 45
60 ， 90
PQ×90 = (PQ+45)×60. 解得 PQ = 90. 因此，河宽大约为 90 m.
还有其他构造相似三角 形求河宽的方法吗？
P
60m Q 45m R
b
S 90m T a
例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选 定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C， 使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线 确定 BC 和 AE 的交点 D．
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK. ∴ EH AH ， EK CK
即 EH 8 1.6 6.4 . EH 5 12 1.6 10.4
解得 EH=8. 由此可知，如果观察者继续前进， 当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树 的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
在同一时刻下地面上的影长即
可，则下面能用来求AB长的等
式是
(C)
A．AB EF DE BC
C．AB BC DE EF
B．AB DE EF BC
D．AB AC DE DF
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是___8___米．
FD
3
=134 (m).
因此金字塔的高度为
134 m.
归纳：
测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在
同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
练一练
1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度，
可在地面上竖一根竹竿 DE，
测量出 DE 的长以及 DE 和 AB
第二十七章
九年级数学下（RJ） 教学课件
相似
27.2 相似三角形
27.2.3 相似三角形应用举例
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量 的物体的高度和宽度. (重点)
2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化 为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决 问题的能力. (难点)
A
D E
B
C
课堂小结
利用相似三角形测量高度
相似三角形的应用 利用相似三角形测量宽度 举例
利用相似解决有遮挡物问题
当堂练习
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得
教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高
度应为
( A)
A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米
2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 (A)
例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测 得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又 ∠怎AO样B测=∠出DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.
∴ BOOA的O长A？， EF FD
∴ BO OA EF 201 2