塑性分析-1

第三章 塑性设计3.1b 试用简单塑性分析法，求出图3.1b 所示超静定梁的极限荷载。

当0< ξ <1时，试求最大极限荷载的作用位置和大小。

答：由刚塑形的基本假设可得如下基本计算过程：该梁为一次超静定，只有当跨中和固端支座处都出现塑性铰之后才达到极限状态（如图 3.2），这时固端和跨中位置均已达到M u 根据虚功原理可得外力虚功等于内力虚功，可得下面的式子图3.12极限状态（自绘）3.2d 钢框架结构塑性分析需要考虑哪些初始缺陷？设计中可选用哪些等效方法和修正分析结果的方法？答：1.初始缺陷钢框架结构塑性分析需要考虑的初始缺陷主要有两类，构件的初始缺陷和框架的初始缺陷。

（1）构件初始缺陷构件的初始几何缺陷包括整体缺陷和局部（截面）缺陷。

其中，整体缺陷包括初弯曲、ξllPAClξ图3.11初倾斜以及初始扭转角。

对于无侧移框架，在前两种缺陷中，初弯曲的影响占主要部分；对于侧移框架，在两种缺陷中初倾斜的影响占主要部分。

初始几何缺陷对构件极限承载力的影响将随着构件轴力的增大而增大。

(2) 框架初始缺陷框架的初始缺陷主要是指框架结构的初始偏移，其初始偏移角 的计算公式如下：ϕ=k c k sϕ0 ；ϕ0=1/200k c=(0.5+1n c)0.5k c≤1k s=(0.2+1n s)0.5k s≤1其中：n c为每层柱子数；n s为每层柱子数2. 设计中的等效方法和修正分析结果的方法（1）等效水平力法（修正框架的初始缺陷）设计中可采用等效水平力的方法考虑初始偏移影响，如图3.4所示，此时框架的初始偏移用作用在楼面的等效水平力代替（楼面包括基础层）。

图3.21框架初始缺陷-初偏角ϕ（自绘）（2）对初始缺陷的分析方法A 、采用和处理残余应力一样的处理方法；B 、在建立单元平衡微分方程时，单元的初始位形就是带有初始几何弯曲的梁单元，假设此初始几何弯曲沿单元长度为一个正弦半波分布，从而在单元的刚度矩阵中考虑初始几何缺陷的影响；C 、精确缺陷建模法；D 、等效名义荷载法；E 、切线模量再度折减法。

补充思考：钢框架的不同分析方法中对初始缺陷的考虑F 1F 1ΦF 1ΦF 2图3. 22框架结构初始偏差的等效水平力法（自绘）图3.23 构件初始弯曲的等效水平力法示意图（自绘）le (8N ed e 0,d) /L 2(4N ed e 0,d) /L 2ed e 0,d) /L 2N crN cr N crcr现在对钢框架的分析方法主要有一阶弹性分析、二阶弹性分析、刚-塑性整体分析及理想弹塑性整体分析。

根据框架支撑及侧移类型选择合适的方法进行设计，对于有侧移的结构要采用二阶分析。

1、二阶弹塑性分析（1）先进分析设计法多层多跨框架在重力和水平荷载作用下多处出现塑性铰和塑性区，导致其刚度逐渐退化而最终失去稳定。

有些杆件还因残余应力的存在而全程都有一些塑性发展。

精确确定框架的承载能力极限状态，不仅需要具体考虑残余应力和几何缺陷的效应，还要计及荷载对变形的二阶效应。

全面考虑上述效应来分析框架的荷载-变形路径直至框架丧失稳定，称为先进分析设计法。

这种方法要求把每根杆件划分为多个单元，杆件截面还要划分成众多小单元，加上材料和几何的双重非线性，计算工作量十分庞大，不适合于日常设计工作。

（2）改善的塑性铰法先进分析设计法实用化的一种方法叫做改善的塑性铰法，这种方法以每根杆件作为一个单元，其截面无需划分为小单元，从而使计算工作量大为减少。

不过此方法仍然属于二阶弹塑性，并且要引进柱子的初始弯曲和初始倾斜。

对失稳时无侧移的有撑框架，柱的初始弯曲度取L/1000，也可以代之以位于柱高度中央的假想水平荷载0.004N；对有侧移框架，几何缺陷取为初始倾斜率1/500，也可以用假想水平荷载0.002N作用于柱顶。

为了简化计算，也可把几何缺陷的效应和切线模量综合起来，降低切线模量，就无需考虑初始弯曲度或者假想荷载。

2、刚-塑性整体分析法刚-塑性整体分析则是把节点在塑性铰处考虑为结点，发生塑性变化，而结点以外梁柱其他地方仍然认为是刚性。

3、二阶弹性分析法结构的二阶弹性分析以考虑了结构整体初始几何缺陷、构件局部初始缺陷含构件残余应力）和合理的节点连接刚度的结构模型为分析对象，计算结构在各种设计荷载（作用）组合下的内力和位移。

A 、 结构整体初始几何缺陷模式可通过第一阶弹性屈曲模态确定。

框架结构整体初始几何缺陷代表值可由式∆i =ℎi 250√0.2+1n s √f yk235∆i ——所计算楼层的初始几何缺陷代表值； n s ——框架总层数，且23≤√0.2+1n s≤1.0；ℎi ——所计算楼层的高度。

确定且不小于 ℎi /1000（ 如图3.6所示），框架结构整体初始几何缺陷代表值也可通过在每层柱顶施加由式H ni =Q i 250√0.2+1n s √f yk235Q i ——第楼层的总重力荷载设计值；n s ——框架总层数；当√0.2+1n s≤1.0，取取此根号值为1.0；计算的假想水平力等效考虑，假想水平力的施加方向应考虑荷载的最不利组合，如图3.7所示。

图3.24框架整体几何初始缺陷代表值（自绘） 图3.25框架结构等效水平力（自绘）B 、可采用考虑二阶效应的结构理论分析方法。

H H n2H H对无支撑的纯框架结构，多杆件杆端的弯矩M Ⅱ也可采用下列近似公式进行计算：M Ⅱ=M q +αi ⅡM HαiⅡ=11−θiM q ——结构在竖向荷载作用下的一阶弹性弯矩； M H ——结构在水平荷载作用下的一阶弹性弯矩； θi ——二阶效应系数αi Ⅱ——考虑二阶效应第层杆件的侧移弯矩增大系数；当αi Ⅱ>1.33时，宜增大结构的抗侧刚度。

其中∑H ni 为产生层间位移∆u i 的所计算楼层及以上各层的水平荷载之和，不包括支座位移和温度的作用。

4、直接分析设计法直接分析设计法，同时考虑结构的几何非线性、材料非线性以及节点刚度和构件残余应力等缺陷对结构和构件内力产生的影响，建立带缺陷的整体结构模型并采用带缺陷的构件单元，进行二阶弹塑性分析法全过程分析。

构件（含支撑构件）的初始缺陷代表值可由式(1)计算确定，如图3.8所示；也可采用假想均布荷载进行等效简化计算，假想均布荷载由式（2）确定，如图3.9所示。

图3.26 构件的初始缺陷（自绘） 图3.27初始缺陷的等效处理方式（自绘）δ0=e 0sinπx l(1)δ0—— 离构件端部处的初始变形值；e 0—— 构件中点处的初始变形值，取e 0=l/750; x —— 离构件端部的距离； l —— 构件的总长度。

N kk(4N k e 0)/l(4N k e 0)/lq=(8N k e 0)/l2q 0=8N k e 0l 2(2)q 0—— 等效分布荷载；N k ——该构件承受的轴力，取标准值计算。

框架结构和构件的缺陷（包括残余应力）可以用假想水平力进行等效计算，假想水平力的施加方向应考虑荷载的最不利组合，见图3.10所示。

图3.28 直接分析设计法的计算模型结构和构件采用直接分析设计法进行分析和设计时，计算结果可直接作为结构或构件在承载能力极限状态和正常使用极限状态下的设计依据。

此时，结构的极限受力状态（荷载水平）应限制在结构第一个塑性铰形成时（构件截面为A 、B 级）或构件截面最大应力达到设计强度（构件截面为C 级），采用D 类截面构件组成的结构不宜采用直接分析设计法。

构件控制截面承载能力应满足下式的要求：N A +M XⅡW X +M Y ⅡW Y≤f 式中：M X Ⅱ、M Y Ⅱ—— 分别为绕轴、 轴的二阶弯矩设计值，可由结构分析直接得到； A —— 毛截面面积；W X 、W Y —— 绕 轴、轴的毛截面模量。

3 门式刚架、钢框架结构考虑塑性的极限承载力分析有哪几类方法？各有何特点？N答： 塑性极限设计是建立在充分利用钢材的塑性变形与保持一定的承载力的基础上。

给超静定结构施加荷载，直到某一截面出现塑性铰，结构出现内力重分布。

荷载继续增大，结构上形成更多的塑性铰，当塑性铰的数量使得结构形成机构时，结构破坏，达到塑性设计的极限承载力状态。

在结构的弹性分析中，由于荷载的内力恒成正比，故能应用叠加法求解各种荷载不同组合时的内力。

在塑性分析中，荷载和内力不再成线性关系，荷载效应的叠加原理不再应用。

结构工程中实用的塑性分析方法大致可分成刚塑性分析方法和弹塑性分析方法两大类。

1、刚塑性分析方法此方法应满足的三个条件为平衡条件、形成机构条件、全塑性弯矩条件。

（1）平衡条件：作用在整个结构或任意部分的自由体上的力和力矩的总和为零。

（2）形成机构条件：形成足够数目的塑性铰，用以破坏结构的连续性使结构整体或其一部分形成机构。

（3）全塑性弯矩条件：以截面的全塑性弯矩作为极限弯矩，任何截面都无法超越此极限。

塑性分析中的三个基本定理为：下限定理，上限定理，唯一性定理。

（1）下限定理在满足平衡条件和全塑性弯矩条件的弯矩分布基础上，所求得的结构荷载必小于或等于塑性极限荷载，即增加结构材料不会降低结构的塑性极限荷载值。

（2）上限定理假定机构基础上所算得的结构荷载，大于或等于塑性极限荷载，在假定机构基础上计算结构荷载，一般自然满足平衡条件。

由此所算的荷载，是结构塑性极限荷载的上限。

从上限定理中可得出两个推论：将结构任一部分的材料减少，不可能增加结构的塑性极限荷载；对一个结构可能形成的所有机构，求得各自相应的荷载，则其中的最小值就是结构的塑性极限荷载。

相应的机构就是结构塑性破坏的真正机构。

（3）唯一性定理在比例荷载的条件下，所有荷载值均随一个统一参数值变化。

显然，结构塑性极限荷载相应的荷载参数值是唯一的。

同时满足平衡、形成机构和全塑性弯矩等三个条件的荷载，就是结构的塑性极限荷载。

从而可以得出：初始应力，初始变形和支座沉陷，均不影响结构的塑性破坏荷载值。

依据上述理论，建立三类门式刚架、钢框架结构极限承载力刚塑性分析方法：静力法、机构法、弯矩平衡法。

（1）静力法：静力法建立在下限定理的基础上，寻求一个既满足平衡条件、又符合全塑性弯矩条件（p M M ）的弯矩图。

相应于这个弯矩图的荷载，仅为结构塑性破坏荷载的下限。

仅当弯矩达到p M 值（即形成塑性铰）的截面数目足以使结构变成机构时，得到真正的塑性破坏荷载。

静力法适用于超静定次数较低的梁和刚架。

先将结构的超静定约束除去，使结构转变为静定的基本体系。

然后根据平衡条件，分别作出外荷载和超静定约束作用在基本体系上的弯矩图，超静定约束所产生的弯矩用未知的超静定约束值的函数来表示。

截面的总弯矩等于两种弯矩的代数和。

对于r 次超静定结构，需要形成（1+r ）个塑性铰才能使结构转变为机构。

用尝试法置（1+r ）个截面的弯矩等于p M ，得（1+r ）个方程，联立解此方程组，即可算出p M 和r 个超静定约束值。