1集合论与实分析基础(数理经济学讲义-西安交大寿纪麟)

x n2
xm2
0
，
.......
如此继续下去，可得到
n1 m1 n2 m2 ... nk mk ...
使
| xnk xmk | 0 ,
k=1,2,...
因为{xn}单调增，所以
|xmk -
x
|
nk
=
xmk -
xnk
0
xmk > xnk 0 xmk-1 0 xnk-1 2 0 ...... xn1 k 0
命题1.1 有理数集是稠密的。 即 对 x、y Q，x y, x<y，必 z Q , 使 z （x、y）。 命题1.2 有理数集对四则运算法则是封闭的。 但是有理数对极限运算不是封闭的，换句话说有理 数集是不完备的。
1.3 实数集(R)的完备性 定义 若满足下列条件：
(1) a1,b1 a2, b2 ... an, bn ...
-
an ) 0 ,
lim
n
an＝lnim
b
n＝
因为 {xnk
}为 {xn }的子列，故
lim
k
x nk＝
。
定义
设
xn
n=1
为一个数列，若当m，n
时,
有 xn - xm 0, 即 0 ， N , 当 m，n N 时,有 | xn - xm |
则称该数列为基本数列或Cauchy数列。
定理 1.3 （完备性定理）
定理 1.4 （单调收敛定理）单调有界数列必收敛。
证 不妨设xn为单调增上有界数列，
反证法 若xn不收敛，则必存在0，使对任意得正整数N，
必有m，n > N，使 | xn xm | 0，所以 当 N＝1时，必有m1 n1 1 时, 使 | xn1 xm1 | 0 ，
当 N＝m+1时，必有m2 n2 m1 1，使
以此类推，再将每个单位区间2n 等分，在以2n为分母
的有理数中取最小的上界为rn，显然，
r0 r1 ...... rn ......
{rn }为单调降的有界数列，由定理1.4，数列{x n }收敛，
设
lim
n
x
n
M,
现来验证M即为A的上确界。
(1) M显然是A的一个上界.(因为 rn都是A的上界）；
含有xn中无穷多个点，且 a2,b2 a1,b1；
以此类推，可得到一个闭区间列an,bn ，n=1，2，...
其中每一个an ,bn 都包含了无穷多个xn ,且
... an ,bn an-1,bn-1 ... a2,b2 a1,b1
由此构造可知 an,bn 为一个闭区间套。
由定理1.1，必存在
其中都是开区间，指标集I可以是有限的，也可以是无限集。
若a，b中每一点x，必含于开区间族的某一区间
中，则称区间 a，b 被所覆盖，或覆盖了区间a，b 。 定理1.6 （Heine－Borel有限覆盖定理）
若闭区间a，b被一个开区间族＝ | I覆盖，则必能
从中选出有限个开区间族：
B＝ i | i＝1，2，...,n，i
m
i=1
ani
,bni
c
a,b
m
而有限个（-
,
a
）的并：
ni
（-,
i=1
ani）＝（-,
a
）
ni0
m
有限个（bni ,+）的并：
（b
i=1
ni
,+）＝（b
ni0
,+）
而（-, ani0）（bni0 ,+）是不可能覆盖 a,b 的。
因为（ani0 ,bni0 ） a,b ,（ani0 ,bni0 ）中的点是不能所覆盖的
例1.5 求证（A B） C＝（A C）（B C）。
证 x （A B） C，则 x A B 且 x C，
从而， x A 或 x B，且 x C，
这就是说，x A ，且 x C， 或 x B，且 x C，
即
x （A C）（B C），
所以 （A B） C （A C）（B C）。
另一方面， x （A C）（B C），
A
C
。
De－Morgen原理的证明。
(1) x ( A)C x A ，x A
，x A x
A ,
(
A)
A
C
C
C
C
另一方面， x
A
C
，x
A
C
，x
A
x A x ( A)C ,
A
C
(
A )C
(
A )C＝
A
C
（2）由（1）可以证（2）。
因为
所以
(
A
C
)C＝
(A
C
)C＝
例1.7 (0，1]能被开区间：
( 1 ，3 ),( 1 ，3 ),( 1 ，3 )，...,( 1 ，3 ),... 所覆盖，
22 44 88
2n 2n
但却不能从中选出有限个来覆盖(0，1]。
例1.8 [0,2]可以被区间族：
[0,1 ),[ 1 ，2 ),[ 2，3 ),...,[ n 1， n )及[1,2]所覆盖，
A,
A
C＝(
A )C。
例1.8 [0,2]可以被区间族：
证 A\（A\B）＝A （A \ B）C＝A （A ＢC）C ＝A （AC B）＝（A AC）（A B）
＝ （A B）＝A B
实分析基础
有理数集(Q) 有理数是指一切形如 p/q 的数，其中 p,q 0 均为整数，
Q =x|x=p/q , p,q为整数，q 0
则
x A C， 或 x B C 。
从而, x C 且 x A 或 x B，即 x （A B） C，
（A C）（B C）（A B） C 。
因此 （A C）（B C）＝（A B） C。
转换律: A\B＝A BC;
对偶原理；（De－Morgen原理）
(1) (
A )C＝
A
C
,
(2) (
A )C＝
若 设 A＝ [a,b), 则 M = supA = b A 。
定理1.5 （确界存在定理） 上有界的数集必有上确界； 下有界的数集必有下确界。
证 设A为有上界的数集，取最小的整数上界为r0 将每个单位区间二等分，在以2为分母的有理数中取 最小的上界为r1 ；再将每个单位区间22等分，在以22为分母 的有理数中取最小的上界为r2，在以22为分母的有理数中 取最小的上界为r2；......
故
lim
k
x
mk
,
这与{x n }为有界数列得假设矛盾，定理1.4得证。
定义:设A为一个数集，若M为A的一个上界，且对
任意 0, 必存在A中的x，使 x > M- ,则称M为A的上确界，
记为
M＝supA
同理，若m为A的一个下界，若对任意 0，必存在A中
Baidu Nhomakorabea
的x，使x m , 则称m为A的下确界，记为 m＝infA 。
一个
n＝1
an ,bn
，即
n＝1
an ,bn
。
反证法
若
n＝1
an
,bn
＝，不妨设所有的an
,bn
＝
由对偶原理,
n＝1
an ,bn
的余集为
n＝1
an ,bn
c
＝
n=1
an ,bn
c ＝R a,b
其中 an ,bn c＝（-, an）（bn,+）是两个开区间之并
由有限覆盖定理，必存在有限个 ani ,bni c ,使
余：Ac＝ {x | x A} 集合的运算规则： 交换律： A B＝B A，A B＝B A;
结合律：（A B） C＝A （B C）, （A B） C＝A （B C）;
分配律： (A B） C＝（A C）（B C）, （A B） C＝（A C）（B C）;
吸收律； 若A B，则A B＝B；A B＝A, A , A \ B＝，A ＝A;
使 B 覆盖a，b,称B为的对a，b有限子覆盖。
证令
A＝x* | x*a,b, 且a，x *能被中有限个开区间覆盖
则 a A， A 。
另一方面A是一个有界集，由定理1.5，A有上确界，
令 c = sup A，显然c b，从而c a，b，
设中取一个开区间含有c，令此开区间为（，） ，
则
c <
，使
n=1
an
,
bn
最后我们要证明，是唯一的。
若有两个1，2，使1，2
n=1
an
,
bn
，不妨设
1 2，
则
an 1 2 bn ,
（n=1，2，......)
由已知条件知
lim
n
an＝ lnim
b
n
1 2
思考题：有限覆盖定理中，a,b 为闭区间，若把它改为
开区间 a,b ,定理1是否必成立?
xn k k a
现在来证明
lim
n
x
＝a
n
事实上， > 0, K, 当 k>K 时，有 xnk a / 2 。
由设xn为Cauchy数列，故 N1,当 k N1时，
因而 nk k N1 时，故有 |xk xnk | / 2
当 N maxK, N1时，则当 k>N 时，
|xk a | xk xnk xnk a / 2 / 2
数列x
n
n=1
收敛的充要条件是它为基本数列。
证（
）设
x
n
n=1
为收敛数列。令x
n
a，则
>0，N，当m，n N时，有
xn a / 2, xm a / 2
xn xm xn a a xm | xn－a|+|xm a |
即xn 为Cauchy数列。
（ ）设xn为Cauchy列，首先我们来证xn为有界数列。
例1.3 (y) = {(x1, x2） R＋ 2 | y Ax1x12－ } 例1.4 C[a, b] {f(x) | f(x)为[a, b]上的连续函数}
1.2 集合及其运算
并：A B＝{x | x A,或x B} 交：A B＝{x | x A,且x B} 差：A \ B ＝{x | x A,但x B}
(2) 闭区间an ,bn 的长度数列，bn－an n 0
则称这个闭区间列为一个闭区间套。
定理1.1 Contor闭区间套定理。（当作公理承认）
设an,bn 为任意一个闭区间套，则必存在唯一的实数，
使 an,bn ，n=1，2，..., m,...，即
n1
an ,bn
，且
lim an = lim bn
于是由上确界的定义知， x* A, 使 < x* c < 。
从而
cA 。
最后要证明 c＝b 。
反证法，若c < b，则在（, ）中还必存在A中的 x* A，
这与c是A的上确界相矛盾。故 c＝b。
利用Heine－Borel定理可以证明定理1.1。
定理1.1 （Contor闭区间套定理）
证 设 an,bn 为任一闭区间套，要证明至少存在
(2) 0，必存在x A，使 x > M- 。
反证法，若不然，在（M , M）中不存在A中的数，
但由有理数的稠密性，必存在以22为分母的有理数rn’，
使rn’（M－，M），且也是A的上界，
rn rn’ M
这与rn M 的关系相矛盾，定理得证。
定义 设a，b为闭区间，＝ | I为一个开区间族，
第1章 集合论与实分析基础
1.1 集合的定义
集合已被广泛应用在现代数学的各个方面，尤其是应用在 经济学,简单的讲,集合是具有某种确定性的事物的全体。
例1.1 {(x,y)|x2＋y2＝1}表示以原点为中心，半径为 1 的
圆周上点的全体。
例1.2 {x|u(x）=}表示消费者的效用值为的商品组合 的全体,即为一条效用值为的无差别曲线。
且
lim
n
an＝lnim
b
n＝
由于每一个an ,bn 中含有无穷多个xi，所以先取
xn1 a1,b1 ，再取xn2 a2,b2 ，且n2 n1,
如此继续下去，可取出使xnk ak ,bk ，且nk1 nk ,
所以
ak xnk bk ,
k=1,2,3,......
lim
n
(bn
通俗的说，数集A的上确界是A的最小上界；
数集A的下确界是A的最大下界。
x
A M－ ()
M
M=supA
x m+ A
( )
m
m=infA
思考题：若A的上确界M，问M是否一定属于A?
注意：设M＝supA，则M可能属于A；也可能不属于A 。 例如 设 A = [a,b], 则 M = supA = b A；
事实上，取 ＝1， N1，当m，n N1时，| xn xm | 1，
取m＝N1＋1, 当n>N1时, | xn xm | 1
令
A=max x1 ,x2 ,...,xN1+1 ,
因此，A 1为xn的上界，-（A＋1）为xn的下界。
即
xn A+1,
n
由定理1.2 在xn中必存在子列{xnk } {xn}，使
定理1.2 （Bolzano Weierstrass 定理)
任何有界数列必有收敛子列。
证 设xn 为有界数列，则存在上下界a, b, 即a < xn< b。 两等分a,b，其中至少有一个分区间，记为a1,b1 ,
含有xn中无穷多个点。 a
a1
a2
b2
b1
b
两等分a1,b1，其中至少有一个分区间,记为a2,b2 ,
2 23 34
n n1
也不能从中选出有限个来覆盖[0,2]。
1.4 实直线上的点集与连续函数
开集、闭集及其性质
定义 设E为R上任意点集，a为直线上一点，若a ,，
则称,为a的一个邻域；若a E，存在a的一个邻域