九年级数学圆周角2
北师大版九年级数学下册.2：圆周角和圆心角的关系2课件
解∵AB为直径 ∴∠BCA=90° 在Rt△ABC中， ∠ABC=30°，AB=10cm
∴
B O
C
A
议一议
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径， 请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
D
A
解：∠BAD与∠BCD互补
∵AC为直径
∴∠ABC=90°,∠ABC=90°
O
∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360°
视察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什
么？
A
解：弦BC是直径。
连接OC、OB
∵∠BAC=90° ∴∠BOC=2∠BAC=180°
B
O
C
（圆周角的度数等于它所对弧上的
圆心角的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。在书上画记，背读
3.4 圆周角和圆心角的关系 第二课时
课前复习
1.圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 2.圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.圆周角定理推论: 同弧 (等弧)所对的圆周角相等.
4.在同圆或等圆中,
Dபைடு நூலகம்
B E
●O
相等的圆周角所对的弧相等. 5.在同圆或等圆中,
4.如图，⊙O1 与⊙O2 都经过 A，B 两点，且点 O2 在⊙O1 ︵
上，点 C 是 AO2 B 上的一点（点 C 不与 A，B 重合），AC 的延长线交⊙O2 于点 P，连接 AB，BC，BP。 （1）根据题意将图形补充完整；
︵ （2）当点 C 在 AO2 B 上运动时，图中大小不变的角有哪
圆周角(2) 课件 2024-2025学年苏科版九年级数学上册
学以致用
3.如图， A、B、E、C四点都在⊙O上， AD是△ABC的高，∠CAD=∠EAB, AE是⊙O的直径吗？为什么？
A
A
B
DC B
DC
O
O
E
E
4.如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8， BC=6 AC=10，CD=4. 求AD的长.
D C
A
B
例题教学
例1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相 交 于点E， ∠ ACD=60°,∠ADC=50°, 求∠CEB的度数.
C
C
A
OE B
A
OE B
D
D
例题教学
例2 如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
A B
A B
●O C
●O C
E
例题教学 求证：点F是△ABG 的外心
例2 已知：BC是⊙O的︵直径︵，A是⊙O上一点，
AD⊥BC，垂足为D，AE＝AB，BE分别交AD、
AC于点F、G．
5.如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N 分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是
。
观察与思考
请你观察并思考：
（1）弦AB所对的圆周角是： ；
（2）弦BC所对的圆周角是： ；
弦所对的圆周角和弧所对的圆周角有何区别？ 弦对的两种类型圆周角有何关系？
（1）∠ACB与∠BAD相等吗？为什么？
（2）判断△FAG的形状，并说明理由．
（3）F是线段BG 的中点. A
E
G
（4）AD= 1 BE 2
F
B DO
C
(5)若AF：FD=2：1， BD= 2 3 ，求⊙O的半径.
初三九年级数学：24.1.4圆周角课件2
（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。
探究新知
圆内接多边形:所有顶点都在同一圆上的多边形。 圆内接四边形的对角有何数量关系？
B
A
O·
D C
推论２:圆内接四边形对角互补
例题解析
如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线 上一点，若∠C＝５０°，则∠BAE＝_________ .
课堂小结
圆周角定义的两个特征： (1) 顶点在圆上 ; (2) 两边都与圆相交 .
探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
探究新知
2. 在⊙O上任取一条弧，做出这条弧所对的圆周角 和圆心角，有同样的结论吗？
发现：同弧所对的圆周角都相等,同弧所对的圆周 角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半．
几何语言： 你能证明这个结论吗？
图 23.1.9
想想看，∠ACB会是怎么样的角？
推论１:半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于 90°（直角）。
反过来也是成立的，即：
90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
例题解析
证明：连结AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC，
A
E
B
DC
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
则∠BOC的度数是 (
)
A．１２0° B．１１0° C．1００° D．７0°
２．如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若 ∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
A
O 40° B
C
３．求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一 半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出 以这条边为直径的圆.）
2.4圆周角(第2课时)(同步课件)-九年级数学上册同步精品课堂(苏科版)
，BE分别交AD
(2)若＝
、 AC于点F、G，判断△FAB的形状.
解：(2)△FAB是等腰三角形，理由是：
，
∵ ＝
∴∠ABE＝∠ACB (等弧所对的圆周角相等).
由(1)得∠ACB＝∠BAD，
∴∠ABE＝∠BAD，
∴AF＝BF，
∴△FAB是等腰三角形.
A
E
F
B
┐
D O
G
＝180°－90°－50°
＝40°.
例题讲解
例2
如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E.
(1) 已知∠ADC＝50°，求∠CAB的度数.
解法2：连结BD.
C
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°(直径所对的圆周角是直角).
A
O E
B
∵∠ADC＝50°，
∴∠CDB＝∠ADB－∠ ADC＝90°－50°＝40°.
则∠ =（ B ）
A．°
B．°
C．°
D．°
当堂检测
基础过关
3.（2024·安徽宿州·三模）如图，⊙ 是△ 的外接圆， ⊥ ．
若 = ，∠ = °，则⊙ 的半径为（
A．4
B．
C．
D．8
A）
当堂检测
基础过关
4.（2024·北京门头沟·一模）如图所示，为了验证某个机械零件的截
面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以
得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是
90°的圆周角所对的弦是直径
___________________________．
当堂检测
基础过关
5．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点（不与点A、
24.3 圆周角 第2课时 课件 沪科版数学九年级下册
回顾 A
C
圆周角 O
B
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角
等于它所对圆心角的一半.
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径.
直径是同特圆殊或的等弦圆，中对，于同一弦般或的等弦弦，所它对所的对圆的周圆角周相角等是吗否？也相等呢？
思考
A和C有什么数量关系呢？
A
四边形一组对角的数量关系. OD
B
C 圆内接四边形一组对角的数量关系.
四个如顶果点一都个在多圆边上形的所有顶点都在同一个圆上，这个多 边形叫做圆的内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆.
四边形ABCD是⊙O的内接四边形；⊙O是四边形ABCD的外接圆.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？
A
E
OD
B
C
F
∠A∠E ∠C∠F ∠A∠C180° ∠E∠F180°
同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；∠A与∠DCE 有什么关系？
A
∠DCE∠DCB180°
OD
∠A ∠DCB180°
B
CE
∠A∠DCE
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
归纳
A
OD
B
CE
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角等 于它的内对角.
圆周角第二课时
DC
或△ACE∽ △ADB E
题后思：1、证明题的思路寻找方法； 2、等积式的证明方法； 3、辅助线的思考方法。
练是习CO:如的图中,点圆,OD中E ,/A/ ABB是, 直径,半径CO AB,D
求证:EC=2EA.
C
ED
A
O
B
1 如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1, ⊙O的弦AD交⊙O1于C,则OC与AD的 位置关系是________。
圆周角定理
驶向胜利 的彼岸
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即 ∠ABC = 1∠AOC.
2
A
A
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
课前测验
1、100º的弧所对的圆心角等于__1_0_0_º__，所对的圆周角等于 ___5_0_º__。
C
同理，∵∠BAC和∠CPB都是B⌒C所对的圆周角， ∴∠BAC=∠CPB=60°。
∴△ABC等边三角形。
例题精解
例2、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆
直径。求证：AB ·AC = AE ·AD
分析：要证AB ·AC = AE ·AD
A
AC AD AE AB
O
△ADC∽ △ABE B
九年级数学(下)第三章 圆
3. 圆周角和圆心角的关系(2)圆周角定理的推论
一、旧知回放:
1、圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角 A 叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
4
一、旧知回放:
人教版九年级数学上册课件：圆周角 (2)
解：连接 OD，AD，BD， ∵ AB 是 ⊙O 的直径， ∴ ∠ACB =∠ADB =90°． 在 Rt△ABC 中， BC =
=8（cm）
例题
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
∵ CD 平分∠ACB， ∴ ∠ACD=∠BCD， ∴ ∠AOD=∠BOD ． ∴ AD=BD．
练习
如图，四边形ABCD 内接于⊙O， 则∠A+∠C =__1_8_0__° ，∠B+∠ADC =__1_8__0_°_； 若∠B=80°，则∠ADC =1_0_0__°．
练习
四边形ABCD 内接于 ⊙O，∠AOC =100°，则∠B =5_0_°____ ，∠D =13__0_°___ .
练习
分析
为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O 任取一个圆周角∠BAC ，将圆对折，使折痕经过圆心O 和∠BAC 的顶点A．由于点A的 位置的取法可能不同，这时折痕可能会出现三种情况：
在圆周角的一边上 在圆周角内
在圆周角外
证明 （1）折痕在圆周角的一边上
∵OA=OC， ∴∠A=∠C． 又∠BOC =∠A+∠C ∴∠BOC =2∠A
圆的性质综合
如图，已知AE 是圆O 的直径，△ABC 内接于圆O，AD⊥BC 于 D 交圆O于F． （1）求证：∠BAE =∠CAF． （2） 若∠ACB =60°，CF =2，求圆O 的半径． （1）提示：连接EC （2）提示：连接OF，OC
总结
这节课我们学会了什么？
半圆（或直径）所对的圆周角是直角 90°的圆周角所对的弦是直径.
多解问题
如图所示，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O上一点，且∠AOC =80°，点D 在⊙O上（不与B、C 重合），则∠BDC 的度数 是50_°_或__1_3__0_°__．
圆周角(2)
你会证明吗？
在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧 相等
A D F B
O
C E
中学数学网（群英 学科）收集提供
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°, 求∠A的大小.
A
B
C
●
O
2.求下列各图中的∠α
100°
O
α
50° 35°
80°
O
α
O
α
（3）
O
α
（ 4）
（1）
（2）
中学数学网（群英 学科）收集提供
4.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
∠2=∠7
A 1
8 7
6
C
2 3
B
∠1=∠4
∠3=∠6
4
5
∠5=∠8
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5.已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
圆心角为60度
O
圆周角为 30 度
或 150 度
B
A
6.一弦分圆为1：4两部分，则这弦所对 的圆周角是 360或 1440 。
小结评学
本节课你有什么收获？ 有关圆的问题常添加直径所对圆周角的 辅助线，将有关问题转化为解直角三角形 的问题。 布置作业：P88T6 P89T15
检测固学
• 书中第90页13、14题
y C Q M P B x
A O D
6、如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，且 ∠ACB的外角平分线交于⊙O 于E，EF⊥BD于F. ⑴探索EO与AB的位置关系，并予以证明.⑵ 当△ABC的形状发生改变时，(BF+CF)：AC的 值是否发生改变？若不变，请求出该值；若 改变，请求出其变化范围. D E F C O A B
湘教版数学九年级下册.2圆周角课件
D
几何语言：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+ ∠ C=180°，∠B+ ∠ D=180°．
O
B
C
探究新知
如果延长BC到E，那么∠A与∠DCE会有怎样的关系呢？
证明猜想：
∵∠DCE+∠BDC=180°，
又∠A+∠BCD=180°，
A
D
O
B
C
E
∴∠A=∠DCE．
我们把∠A叫做∠DCE的内对角．因为∠A是与∠DCE相
B. 112.5°
C. 120°
D. 135°
当堂练习
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,且AB∥DC,AD∥BC,求证：四
边形ABCD是矩形
解 ∵ AB∥DC,AD∥BC
∴ ∠A+∠D = 180°，
∠A+∠B = 180°
∴∠B = ∠D
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠B+∠D = 180°
∴∠B = ∠D=90°
是多少呢？
因为圆周角∠C1，∠C2，∠C3 所
对弧上的圆心角是∠AOB，只要知道
∠AOB的度数，利用圆周角定理，就
可以求出∠C1，∠C2，∠C3的度数.
探究新知
AB 是⊙O 的直径， 那么∠C1，∠C2，∠C3 的度数分别
是多少呢？
因为A，O，B 在一条直线上， 所
以圆心角∠AOB 是一个平角，
即∠AOB = 180°. 故∠C1 ＝∠C2 ＝∠C3
邻的内角∠DCB的对角．
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
知识要点
圆内接四边形定理：
圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角
江苏省太仓市第二中学九年级数学《圆周角(2)》课件 人教新课标版
︵
2.如图,AB、AC为弦,OM⊥AB于 M,ON⊥AC于N,BC=4,求MN的长．
A
M ．
O B
N C
3.⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过 点A作O1O2的平行线,与两圆相交于 点C、D,试猜想CD与O1O2的关系.
C M A O1 B N D
O2
4.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的 弦,MC⊥CD, ND⊥CD,分别交AB于 M、N,AM与BN大小怎样?
A
C A′
C′
O
B
′ O
B′
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等
2.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平 分弦所对的两条弧.
① CD是直径 ② CD⊥AB
O
③AM=BM,
④AC=BC, ⑤AD=BD.
A
M
D
B
推论1：
C O A M
C
A
A
O B B D
②CD⊥AB ⌒ ⌒ ① CD是直径 ④AC=BC, ⌒ ⌒ ③ AM=BM ⑤AD=BD. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且 平分弦所对的两条弧.
OC与BD的位置关系是________。 在上题中,若AC = 2cm,则AD = __cm。
D C A O O 1 B
15.如图,AB为⊙O的直径,AO为⊙O＇的直径,⊙O 的弦AC交⊙O＇于D点,OC和BD相交于E点,AB=4, ∠A=300.求CE、DE的长.
C D E A O＇ O B
16.在⊙O中,⊙O的直径AB为2,弦AC 长为 3 ,AD= 2 .则∠ DAC=___.
A 2 1 B E D O
F
M
C
拓展：如图，AB是半圆的直径， AC是一条弦，D是弧AC的中点， DE⊥AB于E交AC于F，DB交AC于P， 求证：AF=FP
初中数学人教版九年级上册《24142圆周角(2)》教案
人教版数学九年级上24.1.4.2圆周角（2）教学设计一、复习旧知1、还记得圆周角的定义吗？2、请你说出圆周角定理及推论。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.二、探究新知活动1，抢答：1.你能用三角尺画出下面这个圆的圆心吗？2.填空：如图，∠BAC=55°，∠CAD=45°，则∠DBC=_____°，∠BDC=_____°，∠BCD=______°3.如图，BD是⊙O的直径，∠ABC=130°则∠ADC=______°活动2：讨论请看我们做的抢答习题第2、3题，同学们有没有发现什么规律，请大家以小组为单位讨论后发言。
学生小组1回答：这个四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上。
学生小组2回答：这个四边形的对角和是180°。
学生小组3回答：……学生小组4回答：……教师总结：同学们真是火眼金睛，找到的特点很多。
这个四边形有一个特点，四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上，我们把这个四边形叫做圆内接四边形（板书：⊙O叫做四边形ABCD的外接圆）师：出示圆内接三角形图片，并指出：这是一个三角形，这个三角形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个三角形叫做圆内接三角形，把这个圆叫做这个三角形的外接圆.师：出示圆内接五边形图片，并指出：这是五边形，这个五边形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个五边形叫做圆内接五边形，把这个圆叫做这个五边形的外接圆.师：（出示圆内接六边形图片）归纳总结：现在，同学们能总结出“圆内接多边形”的定义了吗？一般地说，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.刚才有同学说习题中的四边形的对角和是180°，我们再来看圆内接四边形有什么性质。
沪科版九年级数学下2圆周角(第1课时圆周角及其推论)课件
圆周角定理推论
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的两个圆周角相等， 相等的圆周角所对的弧也相等
D
B E
●O
A
C
A
B O
B′ C
C′
思考：1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ 90°
2. 90°的圆周角所对的弦是否是直径？
C
AB是直径
A
推论2：
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于
90°(直角).反过来也是成立的,即90°的
不是 有一边和圆不相交。
问题：⊙O是等边△ABC的外接圆，完成下列填空
A
（1）∠BAC= 60
°
新知探究
（2）∵AB= AC = BC
O B
C ∴ AB= AC = BC ∴∠BOC= 120 °
BC对的圆心角是 ∠BOC ，对的圆周角 ∠BAC
猜想：BC对的圆心角是对的圆周角 2 倍
讨论：同弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有几种？
用于找相 等的弧
用于判断某条 线是否过圆心
用于判断某个 圆周角是否是 直角
练一练. 试找出下图中所有相等的圆周角。
D
A1
87
2
3 4
6
5
B
C
∠2=∠7 ∠1=∠4
∠3=∠6 ∠5=∠8
︵︵ 例2、 在⊙O中,AB是直径, CB = CF 弦 CG⊥AB于D,交BF于E,求证:BE=EC
证明： 连结CB ∵AB是直径， CG⊥AB于D ︵︵ ∴CB = BG ︵︵ ∵CB = CF ︵︵ ∴BG = CF ∴∠FBG=∠GCB
BAC
B
1
C BOC
BOC BAC C
2
人教版九年级数学上册《圆周角》教学设计(第二课时)
圆周角（2）教学设计教学目标：掌握圆周角定理的两个推论掌握圆内接四边形的性质能运用圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质进行证明和计算教学重点：圆周角定理的两个推论、圆内接四边形的性质教学难点：圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质进行证明和计算教学过程：一探索圆周角定理的的推论问题1 通过上一堂课的学习，我们已经掌握了圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
在圆周角定理的探索过程中，我们知道：一条弧可以对着不同的圆周角，那么这些圆周角之间有什么关系呢？也就是说，同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系呢？师生活动：学生画出弧BC所对的几个圆周角和圆心角，先观察、猜想，根据定理得到结论：一条弧所对的圆周角相等。
再思考同弧或等弧的情况。
如果学生遇到困难，教师可根据情况提示学生：考虑圆周角与圆心角之间的关系、弧与圆心角之间的关系，通过弧相等得到结论。
设计意图：让学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角定理的推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系问题2 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?师生活动：先让学生动手量一量，然后讨论交流，最后让学生自己归纳发现的结论．方法一：学生从圆周角、圆心角和弧的关系入手考虑；方法二：连接OA，从三角形内角和考虑．设计意图：让学生自己探究并说明理由，加深对圆周角、圆心角和弧的关系的理解．让学生自己归纳，培养学生归纳总结的能力．如图，圆周角∠BAC ＝90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？师生活动：让学生先独立思考，然后小组讨论交流，最后全班展示交流，并让学生自己归纳发现的结论．设计意图：培养学生逆向思维的能力和自主探究的能力．让学生自己归纳，培养学生归纳总结的能力．二应用圆周角定理与推论问题3 如图，⊙O的直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD和BD的长．师生活动：先让学生自主探究（引导学生当看到已知条件中有直径这一条件时，想圆周角定理的推论2；当已知条件中有圆周角之间的关系时，想圆心角之间的关系，进而可转化成弧、弦之间的关系）再组织学生交流．设计意图：应用圆周角定理及其推论解决问题，巩固所学内容。
九年级数学《圆周角(2)》教学设计
24.1．4 圆周角（2）活动五推荐作业，延展新知分类推荐、分层要求，将探究兴趣由课内延伸到课外；及时捕捉学生学习状况，适时进行有效诊断评价、反馈补救、长善救失。
教学程序问题与情境师生互动媒体使用与教学评价活动一创设情境，导入新课一、旧知回放:1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.2、圆心角与所对的弧的关系3、圆周角与所对的弧的关系4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系【教师活动】（1）出示问题并引导学生思考回顾（2）关注并适时评价学生的表现。
（3）对学生的表现补充纠正。
【学生活动】（1）思考回顾旧知。
（2）关注教师的评价【媒体使用】出示问题及各种解答结果。
【赏析】复习已学的知识为本节课探索圆周角定理的推论铺平道路。
活动二诱导尝试，探究新知问题1：半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？半圆（或直径）所对的圆周角是直角（用于判断某个圆周角是否是直角）问题2：90°的圆周角所对的弦是什么?【教师活动】（1）根据学生活动进程依次出示问题1、2以及思考。
（2）组织学生分组讨论、合作学习，完成问题1、2。
（3）提问两三名学生代表发言，并说出探究过程与理由，老师点【媒体使用】依次出示问题1、2及思考，结合学生活动展示圆周角的推论。
【赏析】（1）加深对圆周角定义的理解。
（2）让学生亲自观察、实验、探究、90°的圆周角所对的弦是圆的直径（用于判断某条线是否过圆心）思考：如图:四边形ABCD中, ∠A 与∠C, ∠B与∠D有何关系?如果一个多边形的所有定点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆角做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
评。
对于问题1，教师应重点关注学生是否能由半圆（或直径）所对的圆心角的度数得出圆周角的度数；问题2，教师应重点关注学生是否由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角的度数是180°，从而得出所对的弦是直径。
九年级上数学《24.1.4 圆周角(2)》课件
A
D
O B C
圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。
返回
等腰
例1
已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证：⌒ ⌒ BD=DE 解:BD=CD.理由是: 连结AD. ∵AB是圆的直径，点D在圆上， B ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC，
A E D C
∵AB=AC， ∴BD=CD, AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD， ∴ BD= DE （同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）。 ⌒ ⌒
练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 1 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= AB 2 求证： △ABC 为直角三角形.
人教版九年级上册
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 C 的一半． D A O · B
老师提示: 圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
推论：半圆（或直径）所对的圆周角
是直角，900的圆周角所对的弦是直径。
∵ AB是直径
∴ ∠AC1B=900
A
C1
O
B D
∠BDC=20°,求∠A。
C
解法1：∵∠CBD=300，∠BDC=200
∴∠C=1800-∠CBD-∠BDC=1300
∴∠A=1800-∠C=500（圆内接四边形对角互补）
变式：已知∠OAB等于40度,求∠C的度数. D
O A C
B
2、如图，在⊙O中，AB为直径，CB=CF, 弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E。 F 求证：BE=EC BE=EC A C E
九年级数学上册 24.1.4 圆周角(2)教案 新人教版(2021-2022学年)
一、复习旧知
１、圆周角的定义；
２、圆周角定理及推论。
(教师提出问题，学生思考作答）
二、探究新知
1。
例 4 :如图，⊙O直径AB为10cｍ，弦AＣ为6ｃm,∠ACB的平分线交⊙O于Ｄ,求BC、AD、BD的长.
(教师引导学生独立思考，理清题意，整理思路,教师规范板书)
2.自学课本8７、88页,注意理解蓝体字
回答：什么是圆内接多边形？什么叫多边形的外接圆？圆内接四边形的性质是什么？
(学生带着问题自学课本，同伴交流后,教师提问，师生共同评价)
三、当堂训练
1、完成课本88页,练习3、5
2、如图24－1-２３,在⊙O 的内接四边形ＡBCD
中,∠BＣD=１30°，则∠BOD的度数是＿_________．
３、如图２4—1-２0,已知BD是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC⊥BＤ于点Ｅ，若∠ＡＯD=６0°,则∠DBC 的度数
为:
4、如图 24-１—19 是中国共产主义青年团团旗上的图
案，点Ａ,B,Ｃ,D,E五等分圆,则∠A＋∠B+∠C＋∠D+∠Ｅ＝
５、如图24－１-21，已知四边形ABCD内接于⊙O,∠BOD＝８0°，求∠BAD 和∠BCD 的度数．
四、课堂小结
1、定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角
都等于它的内对角.
2、利用圆周角定理解题应注意哪些问题?
五、课后作业
习题２4．１作业本：第5题、第8题
学案:Ｐ82、P85巩固训练。
ﻬ。
3.5 圆周角第2课时 圆周角(2) 浙教版数学九年级上册课件
圆周角定理的推论：
E
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对 的圆周角相等；相等的圆周角所对 的弧也相等.
巩固 如图，四边形ABCD的四个顶点都在圆O上.找出图中分别与 ∠1，∠2，∠3相等的角.
解：∠1=∠ABD ∠2=∠BAC ∠3=∠CBD
四
D
A
提示：先构造等弧所对的圆周角，再
利用圆周角定理的推论是解题关键.
连接EB，由圆周角定理知，
∠AEB=∠ACB=50°，
因为∠AEB是△SEB的一个外角，
E
所以∠AEB＞∠S，
即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．
F
所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足
的条件是∠ASB＜50°．
五
1.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是 ⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（D ） A．30° B．40° C．50° D．60°
4.已知：如图，四边形ABCD的顶点都在圆O上，BD平分 ∠ABC，且AB∥CD. 求证：BC=CD.
∴AD=CD. ∴BC=CD.
六 这节课我们学习了哪些知识？
一
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对
个 推
的圆周角相等；相等的圆周角所对
论
的弧也相等.
圆周角定理及其推论的应用你都知道了吗？
感谢观看！
2.如图，在世界杯足球比赛中，甲运动员带球向对方球门 PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴乙已经冲到B点，有两 种射门方式，第一种是甲直接射门，第二种是甲将球传给乙， 由 乙 射 门 ， 仅 从 射 门 角 度 考 虑 ， 应 选 择 第 ____二种 射 门 方 式．
3.求证：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
3.5 圆周角
人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角(二) 教案
数学学科课时教学设计
课时
它是学生已经掌握圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题基础上，对圆内接四边形的性质进行探索，在圆的有关说理、作图、计算中有应用，是角度转换的重要方法。
学生已经掌握圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题
展知识应用、拓展迁移：投影展示，学生说出解
决问题方法、思路；拓展迁移：学生板书并讲
解
（教师不代讲、少干预，引导恰当，用短语激励
学生，对学生明显错误的地方可及时纠正）
各小组派代表发
言，组内补充。
其
他小组帮助解决
发言小组提出的
共同疑难，展示时
有补充、有纠错、
有质疑、有挑战。
评展示结束后，教师精讲。
1、强调圆内接四边形性质的几何语言描述。
2、圆内接四边形性质的应用。
全体学生认
真听讲，适时通过
红笔做好笔记，并
和老师一起思考
总结归纳
检
ppt投影出堂测两道题，教师留给学生足够的时
间进行思考，并简单加以点拨。
所有学生必做
堂测设计在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CA=CD，连接DB 并延长交⊙O于点E，连接AE.
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）求证：AE=DE
板书设计
教学反思
检查结果及修改意见：合格不合格
组长（签字）：
检查日期：年月日。
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• 23.1圆的认识——圆周角（2）
学习目标
• 灵活运用圆周角的定义、性 质解决有关圆的问题。
自学指导
•认真阅读P49-51.并思考下列问题： •1.什么叫圆周角？ •2.圆周角有什么性质？
当堂训练
u1.下列结论中，正确的有（ A ） ①.顶点在圆周的角叫圆周角。 ②.圆周角的度数等于圆心角度数的一半。 ③.900的圆周角所对的弦是直径。 ④.圆周角相等，则它们所对的弧也相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ堂训练
• 7.如图：⊙C经过原点，并与两坐标轴 相交与A、D两点. 已知∠OBA=300，点 D的坐标为（0，2）.求点A与圆心C的 坐标。
当堂训练
u8.如图所示，残破的轮片上弓 形的弦AB=50cm,高CD=5cm,求原 来轮片的直径是多少？
当堂训练
9.已知：如图，AB为⊙O的直径，直线MN交 ⊙O于C、D两点，过点A、B分别作AE⊥MN于 E，BF⊥MN于F.则CE与DF的大小关系如何？ 当MN向上平移时，若与AB相交，如果其他 条件不变，试猜想线段CE与DF的大小关系， 并证明你的猜想。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
当堂训练
l2.如图，D是 的中点，与 ABD相等的角有（B ） A、7个 B、3个 C、2个 D、1个
当堂训练
l3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P. 已知CD=8cm，∠B=300.求⊙O的半径.
当堂训练
• 4.如图，是中国共产主义青年团团旗上的 图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 （ ）。
A、1800 B、1500 C、1350 D、1200
当堂训练
5. ⊙O的半径为6，弦AB的长为方 程x2-5x-6=0的一根，求：圆心O 到弦AB的距离及AB所对的圆心角 为多少？
当堂训练
6.如图：我市路桥公司准备新建一座石 拱桥.桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所 对的弦的长）为40m，拱高（弧的中点 到弦的距离）为8m.求桥拱的半径.
外链 代_发 / 外链 代_发
女急速地用自己紫玫瑰色鳄鱼模样的鼻子忽悠出金红色粗野飞舞的柴刀，只见她细长的暗灰色面包模样的二对翅膀中，飘然射出五十组耍舞着『银玉香妖闪电头』的仙翅枕头针状的花盆，随着女 伤兵罗雯依琦妖女的甩动，仙翅枕头针状的花盆像背带一样在双脚上诡异地敲打出隐隐光网……紧接着女伤兵罗雯依琦妖女又使自己亮黑色面具一样的短发晃动出金红色的键盘味，只见她暗黑色 娃娃一样的胸部中，突然弹出五十簇龟壳状的仙翅枕头壶，随着女伤兵罗雯依琦妖女的颤动，龟壳状的仙翅枕头壶像石怪一样，朝着壮扭公主极像波浪一样的肩膀斜转过来！紧跟着女伤兵罗雯依 琦妖女也飞耍着法宝像台灯般的怪影一样朝壮扭公主斜砸过来壮扭公主悠然圆润光滑、无忧无虑的快乐下巴奇特紧缩闪烁起来……时常露出欢快光彩的眼睛喷出浓绿色的飘飘阴气……特像两排闸 门一样的牙齿透出浓黑色的点点神香……接着旋动圆润光滑、无忧无虑的快乐下巴一叫，露出一副惊人的神色，接着抖动圆圆的极像紫金色铜墩般的脖子，像纯蓝色的千舌沙漠虎般的一旋，仙气 的齐整严密特像两排闸门一样的牙齿突然伸长了一百倍，能装下半个太平洋的背包也立刻膨胀了九十倍。紧接着弹射如飞、快似闪电般的舌头立刻弹出凶浪暗流色的桑花鼠哼味……如同明黄色飘 带一样的围巾喷出暗吵月光声和哈呵声……犹如瓜果成熟般的醉人之香朦朦胧胧窜出天憨光影般的飘舞。最后颤起粗壮的好像桥墩一样的大腿一吼，快速从里面跳出一道亮光，她抓住亮光奇妙地 一摆，一样青虚虚、灰叽叽的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这个这件神器儿，一边飘荡，一边发出“咝咝”的美音！。忽然间壮扭公主急速地用自己夯锤一般的金刚大脚秀出烟橙色潇洒 跳跃的马尾，只见她憨直贪玩、有着各种古怪想法的圆脑袋中，变态地跳出五十簇甩舞着¤巨力碎天指→的仙翅枕头鞭状的黑熊，随着壮扭公主的摇动，仙翅枕头鞭状的黑熊像卵石一样在双脚上 诡异地敲打出隐隐光网……紧接着壮扭公主又使自己镶着八颗黑宝石的腰带舞出烟橙色的飞船味，只见她反戴着白绿相间的牛头公主帽中，酷酷地飞出五十道旋舞着¤巨力碎天指→的雨丝状的仙 翅枕头号，随着壮扭公主的扭动，雨丝状的仙翅枕头号像香肠一样，朝着女伤兵罗雯依琦妖女瘦弱的肩膀斜掏过去！紧跟着壮扭公主也飞耍着法宝像台灯般的怪影一样朝女伤兵罗雯依琦妖女斜抓 过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道深黑色的闪光，地面变成了粉红色、景物变成了鹅黄色、天空变成了亮白色、四周发出了和谐的巨响。壮扭公主极像波浪一样的肩膀受到震 颤，但精神感觉很爽！再看女