判定三角形形状的十种方法

判定三角形形状的十种方法
数学考试和数学竞赛中，常有判断三角形形状的题目，这类题目涉及的知识面广，综合性强，它沟通了代数、几何、三角等方面的知识联系。

解题思路不外是从边与边、边与角之间的关系考虑，从而达到解题的目的。

1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0,
则△ABC为等腰三角形。

2、若有(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,
则△ABC为等边三角形。

3、若有a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；
若有a2+b2＝c2，则△ABC为直角三角形；
若有a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形。

4、若有（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形。

5、若有a=b且a2+b2=c2，
则△ABC为等腰直角三角形。

以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。

6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB,
则△ABC为直角三角形或等腰三角形。

7、若有cosA＞0，或tanA＞0,(其中∠A为△ABC中的最大角) 则△ABC为锐角三角形。

8、若有cosA＜0，或tanA＜0,(其中∠A为△ABC中
的最大角), 则△ABC为钝角三角形。

9、若有两个（或三个）同名三角函数值相等（如
tanA=tanB）,则△ABC为等腰三角形（或等边三角形）。

10、若有特殊的三角函数值，则按特殊角来判断，如
cosA=，b=c,则△ABC为等边三角形。

以下就一些具体实例进行分析解答：
一、利用方程根的性质：
例1：若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一
个相同的根，且a、b、c为一个三角形的三条边，则此三
角形为（）
（A）锐角三角形；（B）钝角三角形；
（C）以c为斜边的直角三角形；（D）以a为斜边的直角
三角形；
(“缙云杯”初中数学邀请赛)
解：将两个方程相减，得：2ax-2cx+2b2=0,显然a≠c，否则b=0，与题设矛盾，故x= ,将两个方程相加，
得2ax+2cx+2b2=0，∵x≠0,否则b=0，与题设矛盾，
∴x=-（a+c），∵两个方程有一个相同的根，
∴ =-（a+c），即b2+c2=a2，故△ABC是以a为斜边
的直角三角形，故应选（D）
二、利用根的判别式
例2：已知a、b、c是△ABC的三边，且方程
b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0没有实数根，试判断△ABC 的形状。

解：整理原方程，得：（c+b）x2-2ax+(c-b)=0,由已知，得：△=4a2-4(c+b)(c-b)=4(a2+b2-c2)＜0 ，∴a2+b2-c2＜0,即a2+b2＜c2,故△ABC是钝角三角形。

三、利用根与系数的关系
例3、在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、
∠C的对边，已知方程x2+axcosB-bcosA=0的两根之和等于两根之积，试判断△ABC的形状。

解：根据一元二次方程的根与系数的关系，得：acosB=bcosA，如图：作CD⊥AB于D，则AD=bcosA，BD=acosB，AD=BD，又CD⊥AB，∴△ABC为等腰三角形。

四、利用非负数的性质
例4：已知a、b、c是△ABC的三边，且
a3+b3+c3=3abc，求证：△ABC是等边三角形。

证明：∵a3+b3+c3=3abc，
∴（a+b）3+c3-3a2b-3ab2-3abc=0，
即（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=0，∵
a+b+c≠0，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，∴
2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，∴a-b=b-c=c-a=0，故a=b=c，∴△ABC是等边三角形。

五、利用三角形的面积
例5：设△ABC的三条高线之和等于此三角形三个角平分线的交点到一边的距离的9倍，则△ABC是等边三角形。

证明：设△ABC的面积为S，三个内角平分线交点为0，到一边的距离为h，三边上的高分别为h a、h b、h c，由三角形面积公式，得：h a=，h b=，h c=，h=，由已知，
h a+h b+h c=9h，
∴，即，
∴c（a-b）2+a（b-c）2+b（c-a）2=0，
又a、b、c均为正数，
∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，
∴a=b=c，故△ABC是等边三角形。

例6、设P、Q为线段BC上的两定点，且BP=CQ，A为BC外的一个动点，当A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC是什么三角形？试证明你的结论。

（全国初中数学邀请赛）
答：△ABC为锐角三角形或钝角三角形。

很显然，∵BP=CQ，∠BAP=∠CAQ，∴△ABP与△ACQ的外接
圆是两个等圆，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，∵点P、Q为线段BC上的两定点，∴P、Q两点不可能与点D 重合，否则两点均与点D重合，与题设矛盾。

∴△ABP与△ACQ的外接圆01与02必相交，故△ABC不可能为直角三角形，∴△ABC为锐角三角形或钝角三角形。

六、利用几何知识
例7：△ABC的三条外角平分线相交成一个
△PQR，则△PQR（）
（A）一定是直角三角形；（B）一定是锐角三角形；（C）一定是钝角三角形；（D）以上结论都不对。

解：可以证明△PQR的任意一个内角小于90O，如可证明∠R＜90O，只需证明∠α+∠β＞90O，
因为2∠α=∠2+∠3，2∠β=∠1+∠2，
2∠α+2∠β=∠1+2∠2+∠3＞1800，
所以∠α+∠β＞900，故∠R＜900，也就是说，∠R、∠P、∠Q均为锐角，所以△PQR为锐角三角形。

应选（C）七、利用三角函数
例8：在△ABC中，已知：sinA×tanB＜0，那么这个三角形是（）
（A）直角三角形；（B）锐角三角形；（C）钝角三角形；（D）以上结论都不对。

解：因为sinA×tanB＜0，所以sinA和tanB异号,
又00＜A＜1800，00＜B＜1800,所以sinA＞0，tanB ＜0，
所以∠B为钝角，故△ABC为钝角三角形。

应选（C）
八、利用余弦定理
例9：已知一个三角形的三边为4、5、6，试判断此三角形的形状。

解：设最长边6所对的角为∠A，由余弦定理，得：cosA=，所以∠A＜900，由于∠A为最大角，故此三角形为锐角三角形。

九、利用正弦、余弦定理
例10：△ABC中，，试判断该三角形的形状。

解：由已知，得：sinAcosA=sinBcosB（1）,
由正弦、余弦定理，得：sinA=，sinB=，（这里，r为△ABC的外接圆半径）， cosB=，分别代入（1），得：
a2b2+a2c2-a4=a2b2+b2c2-b4即（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，
所以a2=b2，或c2=a2+b2所以a=b或a2+b2=c2
故△ABC为等腰三角形或直角三角形。

十、利用二次函数性质
例11：设二次函数y=（a+b）x2+2cx-（a-b），当时，函数有最小值时，若a、b、c为△ABC的三边的长，试判断△ABC的形状。

解：因为a、b、c为△ABC的三边的长，所以a＞0，b＞0，c＞0，a+b＞0，由题意知：，
即2c=a+b, ,因为2c=a+b,a=b,故a=b=c,所以△ABC是等边三角形。

例12:已知a、b、c是锐角△ABC的三条边，
且 LgsinA-LgsinC=Lg,求证:△ABC是等边三角形。

证明:由 ,得由LgsinA-LgsinC=Lg ,得由正弦定理,得所以所以b=c;因为所以c2=ab,可得因为∠C为锐角,所以∠C=600,由余弦定理，得
c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,故(a-b)2=0,所以
a=b,故△ABC为等边三角形。

例13：设∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，∠C 是锐角，若关于x的方程x2-(2sin∠C)x+sin A sin
B=0有两个相等的实根，且4sin2∠C+4cos∠C-5=0，求证:△ABC为等边三角形。

证明：因为方程x2-(2sin∠C)x+sin A sin B=0有两个相等的实根，所以△=（2sinC）2-4sinAsinB=0，根据正弦定理，得：c2-ab=0,所以c2=ab,由
4sin2C+4cosC-5=0,
得：4(1-cos2C)+4cosC-5=0, 即：
4cos2C-4cosC+1=0,
所以：(2cosC-1)2=0,所以：cosC=又因为∠C为锐角，
所以：∠C=600再根据余弦定理，得：
c2=a2+b2-2abcos600,
即c2=a2+b2-ab,所以a2+b2-ab=ab,故(a2-b)2=0,所以a=b,
所以△ABC为等边三角形。

综上所述，判定三角形的形状时，必须熟练掌握三角形边与边、边与角之间的关系，在具体解题时要分析清楚题目所给的条件与课本所学过的知识点之间的联系，从而正确使用所学知识，以达到解决问题的目的。