判定三角形形状的十种方法

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判断三角形形状

判断三角形形状三角形是几何学中的基本形状之一，由三条线段构成。

根据三条边的长度或者三个角的大小，我们可以判断一个三角形的形状。

本文将介绍三种常见的三角形形状，分别是等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

一、等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

换句话说，等边三角形的三个角都是60度。

以国际象棋中的象齿为例，就是一个典型的等边三角形。

二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角（底边两侧的角）相等，而顶角（底边对面的角）则不一定相等。

可以通过测量三角形的边长来判断是否为等腰三角形。

三、一般三角形一般三角形是指三条边的长度都不相等的三角形。

在一般三角形中，三个角的大小也不相等。

只要满足不同边长的几何约束，可以构成无数种形状的一般三角形。

判断一个三角形的形状需要测量角度或边长。

这可以通过以下方法进行：1. 根据边长判断形状：- 三条边长度相等，则为等边三角形；- 两条边长度相等，则为等腰三角形；- 三条边长度都不相等，则为一般三角形。

2. 根据角度判断形状：- 三个角度都为60度，则为等边三角形；- 两个角度相等，则为等腰三角形；- 三个角度都不相等，则为一般三角形。

在实际测量中，我们可以使用量角器来测量角度，使用尺子或直尺来测量边长。

这些工具可以帮助我们准确判断三角形的形状。

除了以上的方法外，还有一些特殊的三角形需要特别注意。

例如直角三角形，其中一个角为90度；锐角三角形，三个角都小于90度；钝角三角形，一个角大于90度。

总结：通过测量角度或边长，我们可以判断三角形的形状。

等边三角形的边长和角度都相等；等腰三角形的两条边长相等或两个角度相等；一般三角形的边长和角度都不相等。

使用合适的工具和准确的测量方法，我们可以迅速判断三角形的形状，提高对几何图形的理解和分析能力。

三角形是几何学中的重要概念，理解三角形的形状有助于我们解决实际问题和推导几何证明。

无论是数学学习还是工程实践，对三角形的形状判断都具有重要的意义。

判定三角形形状的十种常用方法

判定三角形形状的十种常用方法三角形是数学和几何学中非常基础且重要的概念。

根据三角形的边长和角度，我们可以将其划分为不同的形状。

本文将介绍十种常用的判定三角形形状的方法。

边长比较法：对于任意三角形ABC，若a² + b² = c²（其中a、b、c分别代表三边长度），则三角形ABC为直角三角形，c为斜边。

角度测量法：如果一个三角形中有一个角是90度，那么这个三角形就是直角三角形。

此外，如果三个角都是60度，那么它是等边三角形；如果两个角是45度，那么它是等腰直角三角形。

边长比例法：对于三角形ABC，如果三边长度满足a:b:c = 1:√3:2，那么它是一个30-60-90度的特殊三角形。

中线长度法：在任意三角形ABC中，如果一条中线（连接一个顶点和对边中点的线段）等于该三角形的一半，则这个三角形是直角三角形。

角平分线法：如果一个三角形的角平分线、中线和高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

余弦定理法：利用余弦定理，可以通过三角形的三边长度来计算其角度，从而判断其形状。

正弦定理法：正弦定理可以用来计算三角形的边长，通过边长关系可以进一步判断三角形的形状。

面积法：对于直角三角形，其面积等于两直角边乘积的一半；对于等边三角形，其面积等于边长的平方乘以√3再除以4。

向量法：在向量表示中，如果两个向量的点积为零，则这两个向量垂直。

因此，如果三角形两边的向量点积为零，则这个三角形是直角三角形。

代数法：通过代数运算，如求解二次方程等，可以判断三角形的形状。

例如，在三角形ABC 中，如果a² + b² - c² = 0，则三角形ABC是直角三角形。

这十种方法各有其特点和应用场景，可以灵活选择和使用。

在解决实际问题时，可以根据已知条件和需求选择合适的方法来判断三角形的形状。

三角形的特点是什么特征

三角形的特点是什么特征三角形的特点是什么特征三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

下面是店铺给大家整理的三角形的特点，希望能帮到大家!三角形的特点①三角形有三个边、三个角;②三角形任意两边之和大于第三边(等价：任意两边之差小于第三边);③三角形内角和为189°;④三角形一个角的外角等于与其不相邻的两个内角之和;⑤三角形具有结构稳定性;三角形的分类按角分判定法一：1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。

2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。

3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。

判定法二：1、锐角三角形：三角形的三个内角中最大角小于90度。

2、直角三角形：三角形的三个内角中最大角等于90度。

3、钝角三角形：三角形的三个内角中最大角大于90度，小于180度。

其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。

判断方法由余弦定理延伸而来若一个三角形的三边a，b，c ( ) 满足：1、，则这个三角形是锐角三角形;2、，则这个三角形是直角三角形;3、，则这个三角形是钝角三角形。

按边分1、不等边三角形;不等边三角形，数学定义，指的是三条边都不相等的三角形叫不等边三角形。

2、等腰三角形;等腰三角形(isosceles triangle)，指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。

等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。

等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的`高重合(简写成“等腰三角形的三线合一性质”)。

等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。

等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

几种特殊三角形的判定方法

几种特殊三角形的判定方法
图形
判定方法等腰三角形Fra bibliotek1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形。
等边三角形
1、三条边都相等的三角形是等边三角形。
2、三个角都相等的三角形是等边三角形。
3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形
1、有一个角是直角（即90°）的三角形是直角三角形。
2、有两个角互余的三角形是直角三角形。
3、如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

三角形的分类与判断方法

三角形的分类与判断方法三角形，是由三条线段所组成的封闭图形，是几何学中的基础概念之一。

根据三角形的边长和角度的不同，我们可以对三角形进行分类和判断。

本文将介绍常见的三角形分类以及判断方法。

一、根据边长分类根据三角形的边长，可以将其分为以下三类：1. 等边三角形：三条边的边长相等。

等边三角形的三个内角也相等，都为60度。

等边三角形具有对称性和稳定性，如一些传统建筑中常见的屋顶形状。

2. 等腰三角形：两条边的边长相等。

等腰三角形的两个底角（底边对应的角）也相等。

等腰三角形常见于几何学和建筑中，如金字塔的底面。

3. 普通三角形：三条边的边长都不相等。

普通三角形的三个内角也不相等。

普通三角形是最常见的三角形形状，如我们常见的地图上的三角形标志。

二、根据角度分类根据三角形的角度，可以将其分为以下三类：1. 锐角三角形：三个内角都小于90度。

锐角三角形是最常见的三角形形状之一，如我们常见的纸片折成的三角形。

2. 直角三角形：有一个内角为90度。

直角三角形的两条直角边满足勾股定理，是数学中一个重要的三角形形状。

3. 钝角三角形：有一个内角大于90度。

钝角三角形较少见，形状上更接近于梯形或矩形。

三、判断方法当给定一个形状不规则的三角形时，我们可以通过以下几种方法来判断其类型：1. 角度测量法：使用角度测量工具，如量角器或直角尺，在三个内角上进行测量。

根据测量结果，可以快速判断三角形的类型。

2. 边长测量法：使用直尺或卷尺测量三边的长度。

如果三边相等，则为等边三角形；如果两边相等，则为等腰三角形；如果三边都不相等，则为普通三角形。

3. 直角判断法：使用直角尺或直角检测工具，将工具对准三角形的一个内角，如果工具的另一条边能够与三角形的另外一边重合，则说明该内角为90度，即为直角三角形。

综上所述，三角形的分类与判断方法主要包括根据边长和角度进行分类，并通过角度测量、边长测量和直角判断等方法来判断三角形的类型。

在数学和几何学中，对于三角形的分类和判断有着重要的应用价值，也为我们认识和理解三角形提供了基础知识。

三角形（科学）—搜狗百科

三角形（科学）—搜狗百科按角分类判定法一：锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。

直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。

钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。

判定法二：锐角三角形：三角形的三个内角中最大角小于90度。

直角三角形：三角形的三个内角中最大角等于90度。

钝角三角形：三角形的三个内角中最大角大于90度，小于180度。

其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。

判断方法由余弦定理延伸而来若一个三角形的三边a，b，c （a≥b≥c>0）满足：1.b²+c²>a²，则这个三角形是锐角三角形；2.b²+c²=a²，则这个三角形是直角三角形；3.b²+c²三角函数给出了直角三角形中边和角的关系，可以用来解三角形。

按边分类不等边三角形：不等边三角形是指三条边都不相等的三角形。

等腰三角形：等腰三角形（isosceles triangle）指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。

等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。

等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。

等腰三角形的腰与它的高的关系，直接的关系是：腰大于高。

三角形的辨认与性质

三角形的辨认与性质三角形是几何学中最基本的图形之一，具有丰富的性质和变化。

本文将讨论如何辨认三角形，并介绍三角形的常见性质。

一、辨认三角形三角形是由三条线段连接而成的图形，其中每两条线段之间的夹角不超过180度。

辨认三角形有以下几种方法：1. 根据线段连接：通过观察图形中的线段连接关系，可以确定是否构成一个三角形。

如果有任意三条线段连接且不共线，则可以肯定为三角形。

2. 根据角度关系：在一个图形中，如果存在三个非共线的点，且这三个点两两之间线段之间的夹角均小于180度，则可以判断为三角形。

3. 根据边长关系：如果给定了三个线段的边长，可以通过判断这三个边长是否满足三角不等式来确定是否为三角形。

三角不等式指出，对于三角形的三条边长a、b和c，有a + b > c，a + c > b和b + c > a。

二、三角形的性质1. 内角和性质：三角形的内角和等于180度。

即三个内角的度数之和为180度。

2. 外角性质：一个三角形的外角等于它的两个不相邻内角的和。

即，对于三角形ABC，如果A、B、C是按顺时针方向排列的顶点，那么∠DAB = ∠ABC + ∠ACB。

3. 等边三角形：三条边的边长相等的三角形称为等边三角形。

在等边三角形中，三个内角均为60度。

4. 等腰三角形：两条边的边长相等的三角形称为等腰三角形。

在等腰三角形中，两个底角（底边上的两个角）相等。

5. 直角三角形：一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在直角三角形中，一条边为直角边，其它两边为直角边的两条直角边。

6. 锐角三角形：三个内角均小于90度的三角形称为锐角三角形。

7. 钝角三角形：三个内角中至少有一个内角大于90度的三角形称为钝角三角形。

三、常见三角形的性质1. 等边三角形：等边三角形的三个边长相等，三个内角均为60度。

2. 等腰三角形：等腰三角形的两个底角相等。

3. 直角三角形：直角三角形的一个内角为90度。

4. 斜边：斜边指直角三角形的斜边，即直角三角形中最长的一条边。

判定三角形形状的十种方法

判定三角形形状的十种方法数学考试和数学竞赛中，常有判断三角形形状的题目，这类题目涉及的知识面广，综合性强，它沟通了代数、几何、三角等方面的知识联系。

解题思路不外是从边与边、边与角之间的关系考虑，从而达到解题的目的。

1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0,则△ABC为等腰三角形。

2、若有(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则△ABC为等边三角形。

3、若有a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；若有a2+b2＝c2，则△ABC为直角三角形；若有a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形。

4、若有（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，则△ABC为等腰三角形或直角三角形。

5、若有a=b且a2+b2=c2，则△ABC为等腰直角三角形。

以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。

6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB,则△ABC为直角三角形或等腰三角形。

7、若有cosA＞0，或tanA＞0,(其中∠A为△ABC中的最大角) 则△ABC为锐角三角形。

8、若有cosA＜0，或tanA＜0,(其中∠A为△ABC中的最大角), 则△ABC为钝角三角形。

9、若有两个（或三个）同名三角函数值相等（如tanA=tanB）,则△ABC为等腰三角形（或等边三角形）。

10、若有特殊的三角函数值，则按特殊角来判断，如cosA=，b=c,则△ABC为等边三角形。

以下就一些具体实例进行分析解答：一、利用方程根的性质：例1：若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根，且a、b、c为一个三角形的三条边，则此三角形为（）（A）锐角三角形；（B）钝角三角形；（C）以c为斜边的直角三角形；（D）以a为斜边的直角三角形；(“缙云杯”初中数学邀请赛)解：将两个方程相减，得：2ax-2cx+2b2=0,显然a≠c，否则b=0，与题设矛盾，故x= ,将两个方程相加，得2ax+2cx+2b2=0，∵x≠0,否则b=0，与题设矛盾，∴x=-（a+c），∵两个方程有一个相同的根，∴ =-（a+c），即b2+c2=a2，故△ABC是以a为斜边的直角三角形，故应选（D）二、利用根的判别式例2：已知a、b、c是△ABC的三边，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0没有实数根，试判断△ABC 的形状。

判定三角形形状的常用方法

专题17 判定三角形形状的十种常用方法【专题综述】三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三角形的形状．这也是考试中的常考题型，本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考.【方法解读】一、利用因式分解例1 在△A BC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状。

解：∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．【解读】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=c，即可确定出三角形形状，此题考查了三角形边的牲与因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键。

【举一反三】（2017秋•分宜县校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，判断三角形的形状．【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．二、利用配方法例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．解：将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．故三角形为等边三角形，【解读】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.【举一反三】（2015春•六合区期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请你根据此条件判断这个三角形的形状，并说明理由．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【举一反三】（2016春•雁塔区校级期末）已知△ABC的三条边a、b、c满足关系|a2﹣b2﹣c2|+=0，那么△ABC的形状为．【分析】根据非负数的性质可得a2﹣b2﹣c2=0，b﹣c=0，进而可得a2﹣b2=c2，b=c，从而可得三角形的形状．8.（2016秋•简阳市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．9.（2017春•惠民县校级月考）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2=0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）=0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）=0得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．学#科*网。

小学数学知识归纳三角形的相似判定及性质

小学数学知识归纳三角形的相似判定及性质三角形是初中数学中重要的几何形状之一，它具有丰富的性质与判定方法。

相似性是三角形研究中一项重要的内容，通过相似判定及相似性质可以帮助我们更深入地理解三角形的特性。

本文将归纳总结小学阶段数学中关于三角形相似判定及性质的知识，帮助小学生更好地掌握和运用。

一、相似判定方法1. AAA相似判定法当两个三角形对应的三个角分别相等时，可以判定它们相似。

例如，当三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F 时，可以得出三角形ABC ∽三角形DEF。

2. AA相似判定法当两个三角形中一对对应角相等，并且另一对对应角相等时，可以判定它们相似。

例如，当三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，∠B = ∠E或∠A = ∠E，∠B = ∠D时，可以得出三角形ABC ∽三角形DEF。

3. SAS相似判定法当两个三角形中一对对应边成比例，并且夹角也相等时，可以判定它们相似。

例如，当三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF，并且∠B = ∠E时，可以得出三角形ABC ∽三角形DEF。

4. SSS相似判定法当两个三角形对应的三条边成比例时，可以判定它们相似。

例如，当三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF = BC/EF时，可以得出三角形ABC ∽三角形DEF。

二、相似性质1. 对应角相等性质如果两个三角形相似，它们对应的角相等。

例如，在∆ABC ∽∆DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

2. 对应边成比例性质如果两个三角形相似，它们对应的边成比例。

例如，在∆ABC ∽∆DEF中，AB/DE = AC/DF = BC/EF。

3. 相似三角形的周长比性质如果两个三角形相似，它们的对应边长之比等于它们的周长之比。

例如，在∆ABC ∽ ∆DEF中，AB/DE = BC/EF = AC/DF = 周长(∆ABC)/周长(∆DEF)。

三角形的所有判定定理

三角形的所有判定定理三角形是平面几何中最简单的图形之一，不仅常常出现在我们的生活中，而且在几何学的研究中也扮演着重要的角色。

在几何学中，我们有许多方法来判定一个三角形的性质和特点。

本文将介绍一些常见的三角形判定定理。

首先，我们来讨论三角形的基本属性。

一个三角形是由三条线段组成的，这三条线段被称为三角形的三边。

三个角是三角形的另外三个基本属性，它们位于线段的两个端点之间。

三角形也可以用边长来描述，我们将三角形的三边长度依次表示为a、b、c，三个角的度数依次用A、B、C表示。

1. 角的和为180度定理：在任何三角形中，三个角的度数之和等于180度。

这个定理可以通过直线与平行线判定定理来证明。

我们可以画一条线段与直线相交，形成两个相对的内角，它们的度数之和等于180度。

因此，对于任何三角形ABC，我们有∠A + ∠B + ∠C = 180度。

2. 角度对边长的判定定理：在一个三角形中，两个角的度数相等，则对应的两边长度相等。

这个定理也被称为对应边角相等定理。

例如，在一个等边三角形中，三个边的长度是相等的，因为三个角的度数都是60度。

由此可见，对于一个三角形ABC，如果∠A = ∠B，则 AB = AC。

3. 边长对角的判定定理：在一个三角形中，两个边的长度相等，则对应的两个角度度数相等。

这个定理也被称为对应角边相等定理。

例如，如果一个三角形的两个边的长度相等，则其对应的两个角的度数也相等。

对于一个三角形ABC，如果 AB = AC，则∠B = ∠C。

4. 外角定理：一个三角形的外角等于其余两个内角之和。

这个定理可以通过将外角延长形成两个相对的内角来证明。

例如，在一个三角形ABC中，外角∠CDE等于内角∠A和∠B的度数之和。

因此，∠CDE = ∠A + ∠B。

5. 直角三角形定理：在一个直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理也被称为勾股定理。

例如，在一个直角三角形ABC中，如果AC为斜边，AB和BC为直角边，我们有 AB² + BC² = AC²。

中考数学复习指导：判定三角形形状的十种常用方法

判定三角形形状的十种常用方法三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三角形的形状．本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考．一、利用因式分解例1 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状，解∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．二、利用配方法例2 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．解将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．故三角形为等边三角形，三、利用根的判别式例3 已知a，b，c是△ABC的三边，且方程(a2＋b2＋c2)x2－(a＋b＋c)x＋＝0有实根，试判定△ABC的形状．解据题意，有△＝[－(a＋b＋c)]2－4（a2＋b2＋c2）×＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac－3a2－3b2－3c2＝－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0．又∵（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0．∴a＝b，b＝c，a＝c，从而a＝b＝c，故△ABC是等边三角形．四、利用构造方程例4 已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac＝k4－1，试判定以a，b，c为边的三角形形状，解由a＋c＝2k2，ac＝k4－1，可知a，c是方程x2－2k2x＋k4－1＝0的两个根．解得x1＝k2＋1，x2＝k2－1，∴a＝k2＋1，c＝k2－1，或a＝k2－1，c＝k2＋1．∵（k2－1)2＋(2k)2＝(k2＋1)2，∴b2＋c2＝a2，或a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．五、利用公共根例5 设a，b，c是△ABC的三边长，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个相同的根，求证：△ABC是直角三角形证明设两个方程的相同根（公共根）为a，则a2＋2aα＋b2＝0①，α2＋2cα－b2＝0②．①－②，得2(a－c) α＝－2b2，即(c－a) α＝b2．当a＝c时，b＝0不合题意，舍去；当a≠c时，α＝．将其代入①、②，得＋b2＝0．化简，得b2＋c2＝a2，所以△ABC是以∠A为直角的直角三角形．六、利用韦达定理例6 如果方程x2－xb cos A＋a cos B＝0的两根之积等于两根之和，a，b，c为三角形的三边，试判定△ABC的形状．解在△ABC中，作C D⊥AB于D，在△A D C中，A D＝b cos A，在△C D B中，B D＝a cos B，由韦达定理，得x1＋x2＝b cos A，x1·x2＝a cos B．∴b cos A＝a cos B，即A D＝B D．又∵C D⊥AB，∴△ABC为等腰三角形，七、利用三角形面积公式例7 已知△ABC中，若h a＋h b＋h c＝9r，其中h A.h B.h c为三边上的高，r为三角形内切圆的半径，试判定△ABC的形状．解　设△ABC面积为S，由三角形面积公式可得八、利用解方程组例8 已知△ABC的三条边是a，b，c，三个角是A,B,C．若b是a，c的比例中项，且a－b＝b－c，试判定这个三角形的形状．九、利用二次函数性质a，b，c是△ABC的三边长，试判定△ABC的形状．解因为a>0，b>0，c>0，∴a＋b>0．据题设，有故△ABC是等边三角形，十、综合运用判定方法例10 已知a，b，c为△ABC中角A，B，C的对边，当m>0时，关于x的方程b（x2＋m）＋c（x2－m）－2ax＝0有两个相等的实数根，且sin C·cos A－cos C sin A＝0，试判定△ABC的形状．解将原方程整理成∴sin A＝cos C，cos A＝sin C．又sin C cos A－cos C sin A＝0，∴sin2C＝sin2A，∴C＝A，∴a＝c，故△ABC为等腰直角三角形．综上所述，如果要判定的某个三角形是锐角三角形或是钝角三角形或是直角三角形，可通过余弦函数直接去判定角的范围，例如从cos A>0，cos A<0，cos A＝0既可得A< 90°，90°<A<180°，A＝90；如果要判定某个三角形是特殊三角形（例如直角三角形、等边三角形或等腰三角形等），则可以从边的关系人手或从角的关系人手，同时在解题过程中，还要注意综合运用三角形面积公式、韦达定理、根的判别式、二次函数的等等知识．。

如何正确判断三角形的形状

如何正确判断三角形的形状正(余)弦定理是三角函数知识的重要组成部分,它揭示了三角形的边、角关系,是高考的热点之一。

利用正、余弦定理判断三角形的形状,是正、余弦定理应用的重要方面。

1 利用正弦定理判断三角形的形状1.1 在△ABC中,若a2tanB=b2tanA,判断△ABC的形状。

分析:正确使用正弦定理,将已知条件中的边化角后判断△ABC的形状。

解:在△ABC中,有正弦定理:===2Ra=2RsinA,b=2RsinB,∵a2tanB=b2tanA∴(2RsinA)2· =(2RsinB)2· 2sinA2cosA=2sinBcosBsin2A=sin2B,因为A、B为三角形的内角,∴2A=2B或2A=π-2BA=B或A+B=,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形。

点评:本题利用正弦定理将已知条件转化成角的关系,利用诱导公式对条件进行化简、整理判断三角形的形状,同时注意角的关系有两种情况。

1.2 已知△ABC中,设=,=,=,则·=·=·判断△ABC的形状。

分析:要判断△ABC的形状,只需确定△ABC的三边或三角即可,此题解题的关键是建立向量的数量积与△ABC的边角关系。

解:如图所示:·=·得∵| |·||·cos(π-C)=| |·| |·cos(π-A), ∴| |·cosC=| |·cosA由正弦定理:a:c=sinA:sinC得sinAcosC=sinCcosA∴sin(A-C)=0,又∵-π<A-C<π ∴A-C=0即A=C,同理由·=·可得B=C,∴A=B=C即△ABC为正三角形。

点评:由===2Ra:b:c=sinA:sinB:sinC可以看出在题目中出现边的齐次式之比时,可以利用正弦定理将相应的边化为角。

2 利用余弦定理判断三角形的形状2.1 在△ABC中,若cos2=,试判断△ABC的形状。

判定三角形形状的十种常用方法

判定三角形形状的十种常用方法三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三s角形的形状．本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考．一、利用因式分解例1 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状，解∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．二、利用配方法例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．解将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．故三角形为等边三角形，三、利用根的判别式例3 已知a、b、c是△ABC的三边，且方程(a2＋b2＋c2)x2－(a＋b＋c)x＋34＝0有实根，试判定△ABC的形状．解据题意，有△＝[－(a＋b＋c)]2－4（a2＋b2＋c2）×3 4＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac－3a2－3b2－3c2＝－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0．又∵（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0．∴a＝b，b＝c，a＝c，从而a＝b＝c，故△ABC是等边三角形．四、利用构造方程例4 已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac＝k4－1，试判定以a、b、c为边的三角形形状，解由a＋c＝2k2，ac＝k4－1，可知a、c是方程x2－2k2x＋k4－1＝0的两个根．解得x1＝k2＋1，x2＝k2－1，∴a＝k2＋1，c＝k2－1，或a＝k2－1，c＝k2＋1．∵（k2－1)2＋(2k)2＝(k2＋1)2，∴b2＋c2＝a2，或a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．五、利用公共根例5 设a、b、c是△ABC的三边长，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个相同的根，求证：△ABC是直角三角形证明设两个方程的相同根（公共根）为a，则a2＋2aα＋b2＝0①，α2＋2cα－b2＝0②．①－②，得2(a－c) α＝－2b2，即(c－a) α＝b2．当a＝c时，b＝0不合题意，舍去；当a ≠c 时，α＝2bc a ．将其代入①、②，得2222b ba c a c a ＋b 2＝0．化简，得b 2＋c 2＝a 2，所以△ABC 是以∠A 为直角的直角三角形．六、利用韦达定理例6 如果方程x 2－xbcos A ＋acosB ＝0的两根之积等于两根之和，a 、b 、c 为三角形的三边，试判定△ABC 的形状．解在△ABC 中，作CD ⊥AB 于D ，在△ADC 中，AD ＝bcos A ，在△CDB 中，BD ＝acosB ，由韦达定理，得x 1＋x 2＝bcos A ，x 1·x 2＝acos B ．∴bcos A ＝acosB ，即AD ＝BD ．又∵CD ⊥AB ，∴△ABC 为等腰三角形，七、利用三角形面积公式例7 已知△ABC 中，若h a ＋h b ＋h c ＝9r ，其中h a 、h b 、h c 为三边上的高，r 为三角形内切圆的半径，试判定△ABC 的形状．解设△ABC 面积为Ｓ，由三角形面积公式可得。

三角形的判定方法

三角形的判定方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相近；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边，分别对应成比例，如果三组对应边较之都相同，则三角形相近。

方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所
截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的
三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应成正比的三角形相近，俗语来说先找出这两个三角形的对应边，间
接找到三角形三组对应角有俩组与成正比则相近；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。

两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。

夹
角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；
方法四:三边对应成比例，俗语来说:如上均先找出对应边对应角，将其一一对应。

三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
认定五:只适用于于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相近，俗语
来说俗语来说:某种程度上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另
外一个直角边也对应成比例。

三角形判定的五种方法

三角形判定的五种方法
1.三角形任意两边之和大于第三边。

这是最基本的方法，也是最容易理解的方法。

简单来说，如果一个三角形的任意两边之和小于第三边，那么这个三角形就不成立。

反之，如果任意两边之和大于第三边，那么这个三角形就成立。

2.海伦公式。

海伦公式是一个求面积的公式，可以通过它来确定一个三角形是否存在。

公式如下：
其中，a、b、c分别为三角形的三条边长，s为半周长。

如果利用这个公式求得的面积为0，则意味着这个三角形不存在。

3.正弦定理。

正弦定理是描述三角形内部角度和边长之间的关系的定理，可以通过它来确定一个三角形是否存在。

公式如下：
其中，a、b、c分别为三角形的三条边长，A、B、C分别为对应的内角度数。

如果方程的左侧大于右侧，那么这个三角形就存在。

4.余弦定理。

余弦定理是描述三角形内部边长和角度之间的关系的定理，可以通过它来确定一个三角形是否存在。

公式如下：
其中，a、b、c分别为三角形的三条边长，A、B、C分别为对应的内角度数。

如果方程的左侧小于等于右侧，那么这个三角形就存在。

5.角度判定法。

根据三角形的内角和定理，三角形的三个角度的和为180度，因此如果一个三角形的三个角度之和不为180度，那么这个三角形就不存在。

反之，如果三个角度之和为180度，那么这个三角形就可存在，但还需要进一步判断是否满足其他条件。

中考数学复习：专题4-17 判定三角形形状的十种常用方法

【举一反三】（2017秋•分宜县校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，判断三角形的形状．二、利用配方法例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．【举一反三】（2015春•六合区期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请你根据此条件判断这个三角形的形状，并说明理由．三、利用根的判别式例3 已知a、b、c是△ABC的三边，且方程(a2＋b2＋c2)x2－(a＋b＋c)x＋34＝0有实根，试判定△ABC的形状．【举一反三】已知a、b、c为△ABC的三边，且方程（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）=0有两个相等的实根，试判断△ABC的形状．四、利用构造方程例4 已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac＝k4－1，试判定以a、b、c为边的三角形形状.【举一反三】（2016春•雁塔区校级期末）已知△ABC的三条边a、b、c满足关系|a2﹣b2﹣c2|+=0，那么△ABC的形状为．五、利用公共根例5 设a、b、c是△ABC的三边长，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个相同的根，求证：△ABC是直角三角形.【举一反三】已知△ABC的∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且关于x的方程a（x2﹣1）﹣2bx+c（x2+1）=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状并说明理由．六、利用韦达定理例6 如果方程x2－xbcos A＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，a、b、c为三角形的三边，试判定△ABC 的形状．【举一反三】（2017秋•余干县校级月考）已知关于x的方程（a+c）x2+2bx﹣（c﹣a）=0的两根之和为﹣1，两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．七、利用三角形面积公式例7 已知△ABC中，若h a＋h b＋h c＝9r，其中h a、h b、h c为三边上的高，r为三角形内切圆的半径，试判定△ABC的形状．【举一反三】（2015•潍坊）如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）若△BEC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状．八、利用解方程组例8 已知△ABC的三条边是a、b、c，三个角是A、B、C．若b是a、c的比例中项，且a－b＝b－c，试判定这个三角形的形状【举一反三】（2015春•相城区期末）（1）若a、b、c为一个三角形的三边，且满足（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0．探索这个三角形的形状，并说明理由；（2）若x、y、z为一个三角形的三个内角的度数，且满足36x2+9y2+4z2﹣18xy﹣6yz﹣12zx=0．探索这个三角形的形状，并说明理由．九、利用二次函数性质例9 设二次函数y＝(a＋b)x2＋2cx－（a－b），当x＝－12时，其最小值为－12b．若a、b、c是△ABC的三边长，试判定△A BC的形状．【举一反三】（2016•西湖区一模）设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数（其中2a≠b），（1）当b=2a+8c时，求二次函数的对称轴；（2）当x=1时，二次函数最小值为b，试判断△ABC的形状，并说明理由．十、综合运用判定方法例10 已知：如图，D为△ABC的边AC上一点，F为AB延长线上一点，DF交BC于E．若E是DF的中点，CD=BF，试判定△ABC的形状．【举一反三】（2014秋•长清区期中）如图，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，试判定△ABC的形状（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．以上都不对【强化训练】1.（2013秋•吴起县校级期中）△ABC中，三边长a、b、c满足，且关于x的方程有两个相等的实数根．（1）试判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积．2.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边依次为a、b、c，且a2：b2：c2=1：2：3，判定△ABC的形状，并求出∠A、∠B、∠C的度数．3.（2015秋•自贡校级月考）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a（x2﹣1）﹣2bx+c（x2+1）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．4.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2b x﹣a+c=0有两个相等的实数根，试求以a、b、c为边能否构成三角形？若能，请判断三角形的形状．5.已知a，b，c是△ABC的三条边长，且方程（a2+b2）x2﹣2cx+1=0有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状．6.（2015秋•金乡县期末）已知a，b，c是△A BC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc﹣2b2，试判断△ABC 的形状．7.已知a、b、c是△ABC的三边，且关于x的一元二次方程x2+2（b﹣c）x=（b﹣c）（a﹣b）有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．8.（2016秋•简阳市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．9.（2017春•惠民县校级月考）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判定△ABC的形状．10.（2016秋•荣成市期中）设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数在x=1时取最小值，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形。

中考数学复习指导：判定三角形形状的十种常用方法

三角形判定的五种方法

三角形判定的五种方法三角形是几何学中最基本的形状之一，形成于三条线段的连接。

在解决数学问题或应用到实际生活中的情景中，我们经常需要对三角形进行判定。

本文将介绍五种常用的方法来判断一个三角形的特征，以便读者能够更加准确地辨别三角形的属性。

方法一：三边关系判断一个三角形的最基本方法就是根据三条边的长度关系。

根据三角形的定义，三条边满足两边之和大于第三边的条件。

因此，对于给定的三边长度a、b和c，如果a + b > c、a + c > b和b + c > a都成立，那么这三条边所构成的就是一个三角形。

方法二：角度关系另外一个常用的判定三角形的方法是根据三个角的关系。

三角形的内角和等于180度，即A + B + C = 180度。

因此，对于给定的三个角A、B和C，如果A + B + C = 180度，那么这三个角对应的就是一个三角形。

方法三：勾股定理勾股定理是一个十分重要且广泛应用的定理，它可以判断一个三角形是否为直角三角形。

根据勾股定理，一个三角形是直角三角形的充分必要条件是a² + b² = c²，其中a、b和c分别为三角形的三条边的长度。

方法四：海伦公式海伦公式是一种通过三边长度来计算三角形面积的方法，它可以用于判定一个三角形是否存在。

根据海伦公式，一个三角形存在的充分必要条件是s(s-a)(s-b)(s-c) > 0，其中s为半周长，即s = (a + b + c) / 2。

方法五：面积判定最后一个方法是利用三角形的面积来判定三角形的存在性。

根据三角形的面积公式，如果一个三角形的面积大于0，那么它一定存在。

三角形的面积可以通过海伦公式，即面积= √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，或通过高度和底边长度的乘积的一半计算。

综上所述，为了准确判定一个三角形的属性，我们可以使用以上五种常用的方法。

通过三边关系、角度关系、勾股定理、海伦公式和面积判定，我们可以更加全面地了解一个三角形的特征。

三角形的分类与判断方法

三角形的分类与判断方法三角形是我们数学中最基本的几何图形之一，它由三条边组成。

根据边长和角度的不同关系，我们可以将三角形进行分类。

本文将介绍三种常见的分类方式，并详细说明判断方法。

一、按照边长分类1. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

我们可以通过测量三条边的长度来判断一个三角形是否为等边三角形。

若三条边的长度都相等，则可以判定为等边三角形。

2. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

我们同样可以通过测量三条边的长度来判断一个三角形是否为等腰三角形。

若两条边的长度相等，则可以判定为等腰三角形。

3. 普通三角形普通三角形是指三条边的长度都不相等的三角形。

若三条边的长度都不相等，则可以判定为普通三角形。

二、按照角度分类1. 直角三角形直角三角形是指其中一个角为直角（90度）的三角形。

我们可以通过测量三个角的度数来判断一个三角形是否为直角三角形。

若其中一个角为直角，则可以判定为直角三角形。

2. 钝角三角形钝角三角形是指其中一个角为钝角（大于90度）的三角形。

同样，我们可以通过测量三个角的度数来判断一个三角形是否为钝角三角形。

若其中一个角为钝角，则可以判定为钝角三角形。

3. 锐角三角形锐角三角形是指三个角都为锐角（小于90度）的三角形。

若三个角都为锐角，则可以判定为锐角三角形。

三、按照边长和角度综合分类在实际应用中，我们常常根据三角形的边长和角度综合判断其分类。

以下是一些常见的三角形分类：1. 等边直角三角形若一个三角形既是等边三角形又是直角三角形，我们可以判定它为等边直角三角形。

2. 等腰锐角三角形若一个三角形既是等腰三角形又是锐角三角形，我们可以判定它为等腰锐角三角形。

3. 普通钝角三角形若一个三角形既不是等边三角形又不是等腰三角形，且其中一个角为钝角，我们可以判定它为普通钝角三角形。

综上所述，根据边长和角度的不同，我们可以准确地判断三角形的分类。

通过测量边长和角度的大小，运用判断方法，我们能够轻松地对三角形进行分类。