判定三角形形状的十种方法

判定三角形形状的十种方法

数学考试和数学竞赛中，常有判断三角形形状的题目，这类题目涉及的知识面广，综合性强，它沟通了代数、几何、三角等方面的知识联系。解题思路不外是从边与边、边与角之间的关系考虑，从而达到解题的目的。

1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0,

则△ABC为等腰三角形。

2、若有(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,

则△ABC为等边三角形。

3、若有a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；

若有a2+b2＝c2，则△ABC为直角三角形；

若有a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形。

4、若有（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，

则△ABC为等腰三角形或直角三角形。

5、若有a=b且a2+b2=c2，

则△ABC为等腰直角三角形。

以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。

6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB,

则△ABC为直角三角形或等腰三角形。

7、若有cosA＞0，或tanA＞0,(其中∠A为△ABC中的最大角) 则△ABC为锐角三角形。

8、若有cosA＜0，或tanA＜0,(其中∠A为△ABC中

的最大角), 则△ABC为钝角三角形。

9、若有两个（或三个）同名三角函数值相等（如

tanA=tanB）,则△ABC为等腰三角形（或等边三角形）。

10、若有特殊的三角函数值，则按特殊角来判断，如

cosA=，b=c,则△ABC为等边三角形。

以下就一些具体实例进行分析解答：

一、利用方程根的性质：

例1：若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一

个相同的根，且a、b、c为一个三角形的三条边，则此三

角形为（）

（A）锐角三角形；（B）钝角三角形；

（C）以c为斜边的直角三角形；（D）以a为斜边的直角

三角形；

(“缙云杯”初中数学邀请赛)

解：将两个方程相减，得：2ax-2cx+2b2=0,显然a≠c，否则b=0，与题设矛盾，故x= ,将两个方程相加，

得2ax+2cx+2b2=0，∵x≠0,否则b=0，与题设矛盾，

∴x=-（a+c），∵两个方程有一个相同的根，

∴ =-（a+c），即b2+c2=a2，故△ABC是以a为斜边

的直角三角形，故应选（D）

二、利用根的判别式

例2：已知a、b、c是△ABC的三边，且方程

b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0没有实数根，试判断△ABC 的形状。

解：整理原方程，得：（c+b）x2-2ax+(c-b)=0,由已知，得：△=4a2-4(c+b)(c-b)=4(a2+b2-c2)＜0 ，∴a2+b2-c2＜0,即a2+b2＜c2,故△ABC是钝角三角形。

三、利用根与系数的关系

例3、在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、

∠C的对边，已知方程x2+axcosB-bcosA=0的两根之和等于两根之积，试判断△ABC的形状。

解：根据一元二次方程的根与系数的关系，得：acosB=bcosA，如图：作CD⊥AB于D，则AD=bcosA，BD=acosB，AD=BD，又CD⊥AB，∴△ABC为等腰三角形。

四、利用非负数的性质

例4：已知a、b、c是△ABC的三边，且

a3+b3+c3=3abc，求证：△ABC是等边三角形。

证明：∵a3+b3+c3=3abc，

∴（a+b）3+c3-3a2b-3ab2-3abc=0，

即（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=0，∵

a+b+c≠0，

∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，∴

2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0

即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，∴a-b=b-c=c-a=0，故a=b=c，∴△ABC是等边三角形。

五、利用三角形的面积

例5：设△ABC的三条高线之和等于此三角形三个角平分线的交点到一边的距离的9倍，则△ABC是等边三角形。证明：设△ABC的面积为S，三个内角平分线交点为0，到一边的距离为h，三边上的高分别为h a、h b、h c，由三角形面积公式，得：h a=，h b=，h c=，h=，由已知，

h a+h b+h c=9h，

∴，即，

∴c（a-b）2+a（b-c）2+b（c-a）2=0，

又a、b、c均为正数，

∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，

∴a=b=c，故△ABC是等边三角形。

例6、设P、Q为线段BC上的两定点，且BP=CQ，A为BC外的一个动点，当A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC是什么三角形？试证明你的结论。

（全国初中数学邀请赛）

答：△ABC为锐角三角形或钝角三角形。很显然，∵BP=CQ，∠BAP=∠CAQ，∴△ABP与△ACQ的外接

圆是两个等圆，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，∵点P、Q为线段BC上的两定点，∴P、Q两点不可能与点D 重合，否则两点均与点D重合，与题设矛盾。∴△ABP与△ACQ的外接圆01与02必相交，故△ABC不可能为直角三角形，∴△ABC为锐角三角形或钝角三角形。

六、利用几何知识

例7：△ABC的三条外角平分线相交成一个

△PQR，则△PQR（）

（A）一定是直角三角形；（B）一定是锐角三角形；（C）一定是钝角三角形；（D）以上结论都不对。

解：可以证明△PQR的任意一个内角小于90O，如可证明∠R＜90O，只需证明∠α+∠β＞90O，

因为2∠α=∠2+∠3，2∠β=∠1+∠2，

2∠α+2∠β=∠1+2∠2+∠3＞1800，

所以∠α+∠β＞900，故∠R＜900，也就是说，∠R、∠P、∠Q均为锐角，所以△PQR为锐角三角形。应选（C）七、利用三角函数

例8：在△ABC中，已知：sinA×tanB＜0，那么这个三角形是（）

（A）直角三角形；（B）锐角三角形；（C）钝角三角形；（D）以上结论都不对。

解：因为sinA×tanB＜0，所以sinA和tanB异号,