三角函数基本概念和表示

第三章三角函数

第一节三角函数及概念

复习要求：

1．任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；

2．三角函数

（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；

（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。

知识点：

1.任意角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转

到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的

始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。

2.角的分类

为了区别起见，我们规定:

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。

如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。

3.象限角

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

（1）第一象限角的集合：

|22,

2

k k k Z

π

απαπ

⎧⎫

<<+∈

⎨⎬⎩⎭

（2）第二象限的集合：

|22,

2

k k k Z

π

απαππ

⎧⎫

+<<+∈

⎨⎬

⎩⎭。

（3）第三象限角的集合：

3

|22,

2

k k k Z

π

αππαπ

⎧⎫

+<<+∈

⎨⎬

⎩⎭。

（4）第四象限角的集合：

3

|222,

2

k k k Z

π

απαππ

⎧⎫+<<+∈

⎨⎬⎩⎭

4.轴线角

角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。

5.终边相同的角

所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为：

{}

|360,S k k Z ββα==+⋅∈或

{}

|2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差

2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

6.区间角

区间角是指介于两个角之间的所有角，如5|

,6

666π

πππααα⎧⎫⎡⎤

=≤≤

=⎨⎬⎢⎥⎩

⎭⎣⎦。

7，角度制与弧度制

角度制：规定周角的1

360为1度的角，记作0

1，它不会因圆的大小改变而改变，

与r 无关

弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

8.角的度量

（1）角的度量制有：角度制，弧度制

（2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=。

3602π=，180rad π=，

10.01745()180rad rad π=

≈，180

1()57.30rad π=≈

（30 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360

9.弧度数计算公式

在半径为r 的圆中，弧长l 所对的圆心角的弧度数为||α= l

r 。

10.

11.三角函数定义

在直角坐标系中，设α是一个任意角，在α的终边上任取一点(,)P x y ,它与原点的距离r ，则||0r OP ==>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段

OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y .把：

比值

y r 叫做正弦，即sin MP y OP r α==； 比值x r 叫做余弦，即cos OM x

OP r

α==；

比值y x 叫做正切，即tan MP y

OM x

α==。

利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角

,它的终边与单位圆交于

点(,)P x y ,则：（1）y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin

y α=；

（2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=；

（3）y

x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠。 12．三角函数在各象限的符号：是根据三角函数的定义和各象限内坐标的符号推出的

口决：一全正，二正三切四余

++--y x o cos αy x o +

-+-sin α

++--y x o tan α

13．三角函数线

以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。设单位圆与角α的终边的交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，过单位圆与x 轴的非负半轴交点A 作单位圆的切线与角α的终边（或延长线）交于

点T 。根据三角函数的定义：sin MP y α==，cos OM x α==，tan AT α=。

我们把有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。

三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。

补充： 特殊角的三角函数值：

α 0

6π 4π 3π 2

π π 23π sin α

1

2

22 32

1 0 -1

cos α

1

32 22

12 0 -1 0

αtan

0 33 1

3

不存在 0 不存在

αcot

不存在 3

1

33

0 不存在 0

经典例题

例1 写出终边在 x 轴上的角的集合 解： 终边在 x 轴上的角的集合是

{}{}

00|3600360180,|180,o

o o k k k Z k k Z ααααα=+=+∈==∈或

例2 已知α是第三象限角，则3α

是第几象限角？