(山东专用)高考数学一轮复习专题17任意角的三角函数(含解析)
2023年高考数学一轮复习考点微专题新高考地区专用考向17任意角、弧度制及任意角的三角函数(解析版)
考向17 任意角、弧度制及任意角的三角函数【2022·全国·高考真题（理）】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（ ）A 1133-B 1143-C 933-D 943-【答案】B【解析】解：如图，连接OC ， 因为C 是AB 的中点， 所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线， 即2OD OA OB ===， 又60AOB ∠=︒， 所以2AB OA OB ===， 则3OC =23CD = 所以(2223114322CD s AB OA -=+=+=故选：B ．【2021·北京·高考真题】若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】(cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π． 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）．（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数()k k Z ∈赋值来求得所需的角． （2）确定()*,k k N kαα∈的终边位置的方法 先写出k α或k α的范围，然后根据k 的可能取值确定k α或kα的终边所在位置． （3）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．（4）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．v三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号sin α R ＋ ＋ － －cos αR ＋ － － ＋tan α,2k k Z πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣＋ － ＋ －1．角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（4）象限角的集合表示方法：2．弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒，rad 1801π=︒，π︒=180rad 1．（3）扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3．任意角的三角函数（1）定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα 三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号 第四象限符号 αsin R ＋ ＋ － － αcosR＋－ － ＋ αtan}2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4．三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A （1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T ．三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是710π，“弓”所在圆的半径为1.05米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）（）A．1.819米B．1.485米C．1.649米D．1.945米【答案】A【解析】根据题意作图如下，由题意知：ADB的长为710π，D为ADB的中点，7201.053AOCππ∴∠==，322 1.05sin2.1 1.81932AB AC π∴==⨯=⨯≈，即所求距离约为1.819米. 故选：A.2．（2022·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点()0,2A ，点B 在第一象限内，AO AB =，120OAB ∠=︒，将△AOB 绕点O 逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转后，点B 的坐标为（ ）A ．()3,3 B ．)3,3C ．()23,0D ．()23,0-【答案】B【解析】如图所示，过点B 作BH y ⊥轴与点H ，在直角ABH 中，90,18012060,2AHB BAH AB OA ∠=∠=-===， 所以cos 601,33AH AB BH AH ====因为30BOH ∠=，所以223OB BH ==(3,3)B ，由题意1234567(3,3),(23,0),(3,3),(3,3),(23,0),(3,3),(3,3)B B B B B B B ------，所以点的坐标6次一个循环，即周期为6， 又因为20223376=⨯，所以2022(3,3)B . 故选：B.3．（2022·北京·人大附中三模）半径为3的圆的边沿有一点A ，半径为4的圆的边沿有一点B ，A 、B 两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，A 、B 两点再次重合小圆滚动的圈数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】设A 、B 两点再次重合小圆滚动的圈数为n ，则236248n n k k ππππ⨯⨯==⨯⨯=，其中k 、N n *∈， 所以，43kn =，则当3k =时，4n =. 故A 、B 两点再次重合小圆滚动的圈数为4. 故选：D.4．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知角α的终边在直线3y x =-上，则310sin cos αα+的值为（ ）A ．610-B ．610C ．0D ．310-【答案】C【解析】由题知：cos 0α≠设角α的终边上一点(),3a a -()0a ≠，则22910r a a =+=.当0a >时，10r a =，310sin 10a ==α10cos 10a =α310sin 3103100cos αα+=-=. 当0a <时，10r a =，310sin 10a =-α10cos 10aα==- 310sin 3103100cos αα+=. 故选：C1．（2022·全国·模拟预测）已知()1,7P 是角α的终边上一点，则()sin 2πα-=（ ） A ．725-B ．2425-C ．725D ．2425【答案】C【解析】()1,7P 是角α的终边上一点，由三角函数定义可得 22sin 5217α==+，22cos 5217α=+ 所以()7sin 2sin 22sin cos 2255252παααα-====. 故选：C.2．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角θ的终边过点()1,1A -，则sin()6πθ-=（ ）A 26+B 26-+C 26-D 26--【答案】D【解析】因为角θ的终边过点()1,1A -，由任意三角形的定义知：22sin θθ== 26sin()sin cos cos sin 666πππθθθ---=-=故选：D.3．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）若圆锥的侧面展开图是半径为4，中心角为5π3的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ） A 511B ．4C ．8D 2011【答案】C【解析】设圆锥的底面圆半径为r ，圆锥的高为h 则5π2π43r =⨯， 解得：103r =， 设截面在圆锥底面的轨迹2003AB a a ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则截面等腰三角形的高22241644a ah =-=-， 所以截面面积22211616168224442a a a a S ah ⎛⎫==-=-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当221644a a=-，即42a =等号成立，故选：C4．（2022·全国·高三专题练习（理））济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，AC 和BC 所在圆的圆心都在线段AB 上，若rad ACB θ∠=，AC b =，则AC 的长度为（ ）A ．2sin2bθθB ．2cos2bθθC ．sin 2bθθ D ．2cos2bθθ【答案】A【解析】过C 作CD AB ⊥，设圆弧AC 的圆心为O ，半径为R ，则AO CO R ==， 在ACD △中，2ACD θ∠=，所以sinsin22AD AC b θθ=⋅=，coscos22CD AC b θθ=⋅=，所以在直角三角形CDO 中，222CD DO CO +=，所以222cos sin 22b R b R θθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2sin 2b R θ=，而cos2sin =2sin cos =sin 222sin2b CDCOD b COθθθθθ∠==，所以COD θ∠=，所以2sin2b AC R θθθ==.故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习（文））电影《流浪地球》中描述了使用发动机推动地球运动的场景．某科学兴趣小组提出了一套新装置：使用一条强度很大的长金属绳索绕地球赤道一周，一端连接强力发动机P 绷紧绳索，为地球提供动力．若绳索比地球赤道长2 cm ，则发动机距地面的高度约为（取地球半径为6 400 km ；当θ很小时，2111cos 2θθ-≈，31tan 3θθθ-≈．）（ ）A ．9 cmB ．11 cmC ．9 mD ．11 m【答案】C【解析】如右图．记地球半径为R ，绳索比地球赤道长2x=0.02，则tan 0.01,.cos R R x RR h θθθ-==⎧⎪⎨-=⎪⎩ 由题述近似可得321,31,2R x R h θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2339720m 9m 8h x R ==≈．故选：C6．（2022·全国·高三专题练习（理））若α为第一象限角，则sin 2α，cos2α，sin2α，cos2α中必定为正值的有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】解：因为α为第一象限角，所以2α为第一或二象限角， 可得：sin20α>，而cos2α符号不确定， 又2α为第一或三象限角， sin 2α∴，cos 2α可以是正数，也可以是负数，它们的符号均不确定综上所述，必定为正值的只有sin 2α一个 故选：B ．7．（2022·全国·高三专题练习）若角α是第一象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四象限角【答案】C【解析】因为α是第三象限角，所以36036090,k k k Z α⋅<<⋅+∈， 所以18018045,2k k k Z α︒⋅<<⋅+∈，当k 为偶数时，2α是第一象限角， 当k 为奇数时，2α是第三象限角.故选：C ．8．（2022·全国·高三专题练习）设θcos2θ=-，则2θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【解析】因为()180360270360Z k k k θ+⋅<<+⋅∈， 所以，()90180135180Z 2k k k θ+⋅<<+⋅∈，若k 为奇数，可设()21Z k n n =+∈，则()270360315360Z 2n n k θ+⋅<<+⋅∈，此时2θ为第四象限角；若k 为偶数，可设()2Z k n n =∈，则()90360135360Z 2n n k θ+⋅<<+⋅∈，此时2θ为第二象限角.cos2θ-，则cos02θ≤，故2θ为第二象限角. 故选：B.9．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）角α的终边过点()3,4P -，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425- B ．725- C ．725D ．2425【答案】B【解析】解：2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，由题得3cos 5α==-，所以237sin 22()12525πα⎛⎫+=⨯--=- ⎪⎝⎭. 故选：B10．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）己知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()1,2P -，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．CD 【答案】B【解析】角α的终边的经过()1,2P -，所以sinα=cos α== 所以4sin 22sin cos 5ααα==-，23cos 22cos 15αα=-=-，所以πππsin 2sin 2cos cos 2sin 666ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭故选：B ．11．（2022·全国·高三阶段练习）已知α，β，γ是三个互不相同的锐角，则在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】因为α，β，γ是三个互不相同的锐角， 所以sin cos sin cos sin cos αββγγα+++++πππ444αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+，若令π3α=，π4β=，π6γ=，则sin cos αβ+=+>sin cos βγ+=>sin cos 1γα+=<2个. 故选：C12．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边上一点()sin3,cos3P ，若02απ≤≤，则α=（ ）A ．3B ．32π- C ．532π- D ．32π-【答案】C【解析】解：因为角α的终边上一点()sin3,cos3P ， 所以cos31tan 0sin 3tan 3α==<， 又cos30,sin30<>， 所以α为第四象限角， 所以23,Z 2k k παπ=+-∈，又因02απ≤≤， 所以532πα=-. 故选：C.13．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）“角α，β的终边关于y x =轴对称”是“22sin sin 1αβ+=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若角α，β的终边关于y x =轴对称，则sin α＝cos β，则2222sin sin cos sin =1αβββ+=+； 若22sin sin 1αβ+=，则22sin =cos αβ，则sin α＝±cos β，则角α，β的终边关于y x =或y ＝－x 轴对称； 综上，“角α，β的终边关于y x =轴对称”是“22sin sin 1αβ+=”的充分不必要条件. 故选：A.14．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π【解析】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =.由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长2222290060C r l rl ππ=+≥=，当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立， 所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =， 所以()1152BD BD cm π+=，所以()3152BD cm π=，故()10BD cm π=. 故答案为：10π15．（2022·浙江绍兴·模拟预测）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是_______．【答案】π32- 【解析】由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为π3和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，即221π1ππ33121sin 23232-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=．故答案为：π32-．16．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称.若1sin 3α=，则sin()αβ-=___________. 【答案】79-【解析】因在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称， 则有2,Z 2k k παβπ+=+∈，即2,Z 2k k πβπα=+-∈，而1sin 3α=， 所以，Z k ∈，27sin()sin(22)cos 212sin 29k παβαπαα-=--=-=-+=-. 故答案为：79-17．（2022·上海青浦·二模）已知角α的终边过点()1,2P -，则tan α的值为_________． 【答案】2-【解析】解：因为角α的终边过点()1,2P -， 所以2tan 21y x α===--. 故答案为：-2.18．（2022·全国·模拟预测）已知α为第三象限角，且tan 2α=，则22sin 4cos sin πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-______． 10【解析】因为α为第三象限角，且tan 2α=，所以5cos α=，25sin α=，所以()()()()222sin sin cos 21042cos sin cos sin cos sin 2cos sin 2πααααααααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭===--+-． 故答案为：102. 19．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【答案】2sin1; 211sin 1tan1-. 【解析】由题意可知：111,,sin1sin1tan1tan1======AC BC BC AC AO OC ， 所以弧AB 长122sin1sin1=⨯=，弧田的面积22111111222sin12tan1sin 1tan1⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭扇形AOB AOB S S ， 故答案为：2sin1；211sin 1tan1-.1．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（ ）A ．11332- B ．11432- C ．9332- D ．9432- 【答案】B【解析】解：如图，连接OC ， 因为C 是AB 的中点， 所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线， 即2OD OA OB ===， 又60AOB ∠=︒， 所以2AB OA OB ===， 则3OC =，故23CD =-， 所以()22231143222CD s AB OA --=+=+=．故选：B ．2．（2020·山东·高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D ．3．（2020·全国·高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ） A ．cos 2α>0 B ．cos 2α<0 C ．sin 2α>0 D ．sin 2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D ．方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D ．4．（2019·北京·高考真题（文））如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β．图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cosβB ．4β+4sinβC ．2β+2cosβD ．2β+2sinβ【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β， 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅．故选B ．5．（2015·山东·高考真题）终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ）A ．π2π,2x x k k Z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．ππ2x x k ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭C ．π2π,2x x k k Z ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭D ．ππ,2x x k k Z ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】终边在y 轴正半轴上的角的集合是π2π,2x k k Z ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭故选：A6．（2011·全国·高考真题（理））已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ） A ．45-B ．35 C ．35D ．45【答案】B【解析】由已知条件可知，点()cos ,sin θθ在直线2y x =上，则sin 2cos θθ=，tan 2θ∴=， 所以，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--=-===-++．7．（2018·北京·高考真题（文））在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH【答案】C 【解析】 【详解】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论．详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．A 选项：当点P 在AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan yxα=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=，sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误．综上，故选C ．8．（2014·全国·高考真题（文））已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=A ．45B ．35C ．35-D ．45- 【答案】D【解析】【详解】试题分析：由题意可知x =-4，y =3，r =5，所以4cos 5x r α==-．故选D ． 考点：三角函数的概念．9．（2021·北京·高考真题）若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___． 【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 【解析】(cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称， 即,6πθθ+关于y 轴对称， 2,6k k Z πθθππ++=+∈， 则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π． 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）． 10．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：2cm ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．【答案】1【解析】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==．故答案为：111．（2017·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________． 【答案】79- 【解析】【详解】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-． 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式12．（2012·山东·高考真题（文））如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为______________．【答案】()2sin 2,1cos2--【解析】【详解】如图，连结AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知BP 的长为2．∵圆的半径为1，∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－2π． ∴DP ＝AP ·sin 22π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos 2， ∴PC ＝1－cos 2， DA ＝APcos 22π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 2． ∴OC ＝2－sin 2． 故OP ＝（2－sin 2，1－cos 2）．。
高考数学一轮复习考点任意角和蝗制及任意角的三角函数必刷题理含解析
考点16 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当,可以得到,反过来若，则或，所以为充分不必要条件，故选A.2．如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则以为圆心角且半径为1的扇形的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】∵为的中点，∴.又∵三点共线，∴，得.∴扇形的面积为.故选A.3．如图，已知四边形为正方形，扇形的弧与相切，点为的中点，在正方形中随机取一点，则该点落在扇形内部的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设正方形的边长为，则扇形的半径为，，在直角三角形中，，所以，所以，，又由，所以，，所以，扇形的面积为该点落在扇形内部的概率为所以,答案选A．4．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米.（其中，）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】B【解析】因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，因此两者之差为，选B.5．已知圆O 与直线l 相切于A ，点,P Q 同时从点A 出发，P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP （如图），则阴影部分面积1S ，2S 的大小关系是（ ）A ．12S S =B ．12S S ≤C ．12S S ≥D ．先12S S <，再12S S =，最后12S S >【答案】A 【解析】如图所示，因为直线l 与圆O 相切，所以OA AP ⊥， 所以扇形的面积为1122AOQ S AQ r AQ OA =⋅⋅=⋅⋅扇形，12AOP S OA AP ∆=⋅⋅, 因为AQ AP =，所以扇形AOQ 的面积AOP AOQ S S ∆=扇形, 即AOP AOQ AOB AOB S S S S ∆-=-扇形扇形扇形， 所以12S S =，6．已知点()3,a 和()2,4a 分别在角β和角45β-︒的终边上，则实数a 的值是（ ） A ．-1 B ．6 C ．6或-1D ．6或1【答案】B 【解析】由题得01tan 143tan ,tan(45)31tan 213a a a aββββ--=-===++，所以2560,6a a a --=∴=或-1.当a=-1时，两个点分别在第四象限和第二象限，不符合题意，所以舍去. 故选:B.7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，M 为其终边上一点，则cos2α=( )A ．23-B ．23C ．13-D ．13【答案】D 【解析】∵M 为角α终边上一点，∴cos α===，∴221cos 22cos 1213αα=-=⨯-=． 故选D ．8．设函数54,(0)()2,(0)x x x f x x +<⎧=⎨≥⎩，若角α的终边经过(4,3)P -，则[(sin )]f f α的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】因为角α的终边经过()4,3P -，所以3sin 5y r α-==，所以33(sin )()5()4155f f α=-=⨯-+=，则1[(sin )](1)22f f f α===，故选C ．9．若复数cos isin z θθ=+,当4π3θ=时,则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 由题，当4π3θ=时,1sin 22θθ=-=-所以复数12z =-在复平面所对应的点为1(,2-在第三象限 故选C ．10．已知α∈（22ππ-，），tan α＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sin α＝（ ）AB． CD． 【答案】A 【解析】解：由tan α＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin （76°﹣46°）＝sin30°12=， 且α∈（22ππ-，），∴α∈（0，2π）， 联立22121sin cos sin cos αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sinα5=． 故选：A ．11．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由三角函数定义得tan ，即,得3cos解得或（舍去） 故选：A ．12．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：∵角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，∴，∴．则.故选：D．13．已知角的顶点都为坐标原点，始边都与轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，终边上分别有点，，且，则的最小值为（）A．1 B．C．D．2【答案】C【解析】由已知得，，，因为，所以，所以，，所以，当且仅当，时，取等号.14．在等差数列中，角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】解：角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，可得，则．故选：B．15．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为____________。
2021届山东高考数学一轮创新课件：第3章 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
3.已知角 α 的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角 α 用集合可表示为____{α__2_k_π_＋__π4_<_α_<_2_k_π_＋__5_6π_，__k_∈__Z_____．
解析 在[0,2π)内，终边落在阴影部分的角的集合为4π，56π，所以所求
角的集合为{α2kπ＋π4<α<2kπ＋56π，k∈Z.
解析 因为直线 y＝－ 3x 的倾斜角是23π，所以终边落在直线 y＝－ 3x
上的角的取值集合为{αα＝kπ－π3，k∈Z，故选 D.
解析 答案
2．若角 α 是第二象限角，则α2是第_一__或___三__象限角． 解析 因为角 α 是第二象限角， 所以 2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z， 所以 kπ＋π4<α2<kπ＋π2，k∈Z. 所以α2是第一或第三象限角．
解析
3．设角 α1＝－350°，α2＝860°，β1＝35π，β2＝－73π. (1)将 α1，α2 用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； (2)将 β1，β2 用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相 同终边的所有角． 解 (1)α1＝－350°＝－350×1π80＝－3158π＝－2π＋1π8， α2＝860°＝860×1π80＝493π＝4π＋79π， 所以 α1 是第一象限角，α2 是第二象限角．
答案
2．小题热身
(1)下列与94π的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋94π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋54π(k∈Z)
解析 角度制与弧度制不能混用，排除 A，B；因为94π＝2π＋π4，所以
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以1 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(1)求经过1 s 后，∠BOA的弧度；(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．【答案】（1）＋2.（2）s【解析】解：(1)经过1 s 后，∠BOA的弧度为＋2.(2)设经过t s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋1)＋＝2π，所以t＝，即经过s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇．3.设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．【答案】四【解析】由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋ (k∈Z)，kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角．4.点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．(－，)B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)【解析】设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cosα，y＝sinα，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为(－，)．5.已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．【答案】sinα＝－，tanα＝【解析】解：∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.6. [2014·潍坊质检]已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－，则m等于()A．－B．C．－4D．4【答案】C【解析】cosα＝＝－ (m<0)，解之得m＝－4，选C项．7.角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为角终边上有一点，所以因此即角的终边上的点在第三象限，所以选C.【考点】三角函数定义8.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.9.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.10.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.11.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.12.若角θ的终边在射线y=-2x(x<0)上,则cosθ=.【答案】-【解析】由已知得角的终边落在第二象限,故可设角终边上一点P(-1,2),则r2=(-1)2+22=5,∴r=,此时cosθ==-.13.已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．【答案】【解析】由题意可知，点P在第四象限，且点P落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，故θ＝.14.已知则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数求值.15.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值16.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值17.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系18.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.19.求值：________.【答案】【解析】.【考点】三角函数的计算及诱导公式.20.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式21.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】扇形弧长公式.22.在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则sin5α＝．【答案】【解析】根据题意，由于平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则可知，那么可知sin5α=sin,故答案为【考点】三角函数定义点评：解决的关键是利用三角函数的定义来求解三角函数值，属于基础题。
理科数学一轮复习跟踪练习17(任意角、弧度制及任意角的三角函数)
A.135°B.45°C.225°D.-225°2.已知角α的终边与单位圆交于点-,则tan α= ()A.-B.-C.-D.-3.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°} C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}B.{α|120°≤α≤315°} D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}4.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1相交于点P,则sin=()A.1B.C.-D.-5.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是 ()A. B. C.- D.-6.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是()A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]7.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cos α-sin α=.8.函数f(α)=-的定义域为.9.已知角α终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,则sinα+sinβ=.10.若角α与角终边相同,则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是.11.已知扇形的周长为20 cm,当,它的圆心角的弧度数是多少时，它的面积最大最大值是多少？A.135°B.45°C.225°D.-225°答案.C因为-495°=-2×360°+225°,所以与-495°角终边相同的是225°角.2.已知角α的终边与单位圆交于点-,则tan α= ()A.-B.-C.-D.-=-,故选D.答案.D根据三角函数的定义,tan α==-3.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°} C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}B.{α|120°≤α≤315°} D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}答案.C4.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1相交于点P,则sin=()A.1B.C.-D.-答案.B∵点P在单位圆上,∴y=±,∴α=+2kπ k∈Z或α=-+2kπ k∈Z.∴sin=cos α=cos=cos=.故选B.5.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是 ()A. B. C.- D.-答案.A将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,故选项C,D不正确.又拨慢10分钟,所以转过的角度应为圆周的=,即为×2π=.6.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是()A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]答案.A由cos α≤0 sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有-解得-2<a≤3.7.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cos α-sin α=. 答案.因为角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,不妨令x=-3,则y=-4,∴r=5,∴cos α==-,sin α==-,则cos α-sin α=-+=.8.函数f(α)=-的定义域为.答案.-(k∈Z)∵2cos α-1≥0 ∴cos α≥.由三角函数线画出角α满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示).故α∈-(k∈Z).9.已知角α终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,则sinα+sinβ=.答案.0∵角α终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,∴P(1,2).∵角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,∴Q(1,-2).由三角函数的定义可知sin α=,sin β=-,∴sin α+sin β=-=0.10.若角α与角终边相同,则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是.答案.,,,由题意,得α=+2kπ(k∈Z),=+(k∈Z).又∈[0 2π]所以k=0,1,2,3,相应地有=,,,.11.已知扇形的周长为20 cm,当,它的圆心角的弧度数是多少时，它的面积最大最大值是多少？解答∵扇形的周长为20 cm,∴l+2r=20,即l=20-2r,∴扇形的面积S=lr=(20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25,∴当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时α==2(rad).。
2020年高考山东版高考理科数学 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数A 组 基础题组1.若角α的终边经过点P(1,),则cos α+tan α的值为( ) 3A. B.1+232-1+32C. D.1+32-1+232答案 A 角α的终边经过点P(1,),则x=1,y=,r=|OP|=2,所以cos α==,tan α==,则33x r 12y x 3cos α+tan α=,故选A.1+2322.若角α与β的终边关于x 轴对称,则有( )A.α+β=90°B.α+β=90°+k ·360°,k ∈ZC.α+β=2k ·180°,k ∈ZD.α+β=180°+k ·360°,k ∈Z答案 C 因为α与β的终边关于x 轴对称,所以β=2k ·180°-α,k ∈Z .所以α+β=2k ·180°,k ∈Z .3.下列选项中正确的是( )A.sin 300°>0B.cos(-305°)<0C.tan >0D.sin 10<0(-22π3)答案 D 300°=360°-60°,则300°是第四象限角;-305°=-360°+55°,则-305°是第一象限角;因为-=-8π+,所以-是第二象限角;因为3π<10<,所以10是第三象限角.22π32π322π37π2故sin 300°<0,cos(-305°)>0,tan <0,sin 10<0.故D 正确.(-22π3)4.已知点P(sin x-cos x,-3)在第三象限,则x 所在的区间可能是( )A. B.(π2,π)(-π4,3π4)C. D.(-π2,π2)(-3π4,π4)答案 D 由已知,点P(sin x-cos x,-3)在第三象限,可得sin x-cos x<0,即sin x<cos x,所以-+2kπ<x<+2kπ,k ∈Z ,所以x 所在的区间可能为.3π4π4(-3π4,π4)5.已知角α=2kπ-(k ∈Z ),若角θ与角α的终边相同,则y=++的值为( )π5sin θ|sin θ|cos θ|cos θ|tan θ|tan θ|A.1B.-1 C.3D.-3答案 B 由α=2kπ-(k ∈Z )知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同,所以角θπ5是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.所以y=-1+1-1=-1.6.若α=1 560°,角θ与α的终边相同,且-360°<θ<360°,则θ= .答案 120°或-240°解析 因为α=1 560°=4×360°+120°,所以与α终边相同的角为360°×k+120°,k ∈Z ,令k=-1或k=0可得θ=-240°或θ=120°.7.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为 .答案 3解析 设圆的半径为r,则其内接正三角形的边长为r,所以r=αr,所以α=.3338.一扇形的圆心角为120°,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为 . 答案 (7+4)∶93解析 设扇形的半径为R,其内切圆的半径为r.则(R-r)sin 60°=r,即R=r.(1+233)又S 扇=|α|R 2=××R 2=R 2=πr 2,12122π3π37+439∴=,S 扇πr27+439即扇形面积与其内切圆的面积之比为(7+4)∶9.39.已知=-,且lg(cos α)有意义.1|sin α|1sin α(1)试判断角α所在的象限;(2)若角α的终边上有一点M ,且|OM|=1(O 为坐标原点),求m 的值及sin α的值.(35,m )解析 (1)由=-,得sin α<0,1|sin α|1sin α由lg(cos α)有意义,可知cos α>0,所以α是第四象限角.(2)因为|OM|=1,所以+m 2=1,解得m=±.(35)245又α为第四象限角,故m<0,从而m=-,45sin α====-.y r m |OM |-4514510.已知sin α<0,tan α>0.(1)求角α的集合;(2)求角的终边所在的象限;α2(3)试判断tan sin cos 与0的大小关系.α2α2α2解析 (1)由sin α<0知角α的终边在第三、四象限或y 轴的负半轴上;由tan α>0知角α的终边在第一、三象限,故角α的终边在第三象限,其集合为.{α|2kπ+π<α<2kπ+3π2,k ∈Z }(2)由2kπ+π<α<2kπ+(k ∈Z ),得3π2kπ+<<kπ+(k ∈Z ),π2α23π4故角的终边在第二、四象限.α2(3)tan sin cos >0.理由如下:α2α2α2当角的终边在第二象限时,α2tan <0,sin >0,cos <0,α2α2α2所以tan sin cos >0;α2α2α2当角的终边在第四象限时,α2tan <0,sin <0,cos >0,α2α2α2所以tan sin cos >0.α2α2α2综上,tan sin cos >0.α2α2α2B 组 提升题组1.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( )A.若α,β是第一象限的角,则cos α>cos βB.若α,β是第二象限的角,则tan α>tan βC.若α,β是第三象限的角,则cos α>cos βD.若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β答案 D 由三角函数线可知选D.2.如图,在Rt △PBO 中,∠PBO=,以O 为圆心、OB 长为半径作圆弧交OP 于A 点.若圆弧π2AB 等分△POB 的面积,且∠AOB=α弧度,则= . αtan α答案 12解析 设扇形的半径为r,则扇形的面积为αr 2,在Rt △POB,PB=rtan α,则△POB 的面积为r ·1212rtan α,由题意得r ·rtan α=2×αr 2,∴tan α=2α,∴=.1212αtan α123.已知圆O 与直线l 相切于点A,点P,Q 同时从A 点出发,P 沿着直线l 向右运动,Q 沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动,当Q 运动到点A 时,点P 也停止运动,连接OQ,OP(如图),则阴影部分的面积S 1,S 2的大小关系是 .答案 S 1=S 2解析 设运动速度为m,运动时间为t,圆O 的半径为r,则=AP=tm,根据切线的性质知⏜AQOA ⊥AP,∴S 1=tm ·r-S 扇形AOB ,12S 2=tm ·r-S 扇形AOB ,12∴S 1=S 2恒成立.4.如图,在平面直角坐标系xOy 中,角α的始边与x 轴的非负半轴重合,且与单位圆相交于A 点,它的终边与单位圆相交于x 轴上方的一点B,始边不动,终边在运动.(1)若点B 的横坐标为-,求tan α的值;45(2)若△AOB 为等边三角形,写出与角α终边相同的角β的集合;(3)若α∈,请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式.(0,23π]解析 (1)由题意可得B ,(-45,35)所以tan α==-.y x 34(2)若△AOB 为等边三角形,则α=∠AOB=.π3故与角α终边相同的角β的集合为.{β|β=π3+2kπ,k ∈Z }(3)若α∈,(0,23π]则S 扇形=αr 2=α,1212而S △AOB =×1×1×sin α=sin α,1212故弓形的面积S=S 扇形-S △AOB =α-sin α,α∈.1212(0,23π]。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A．(，)B．(π，)C．(，)D．(，)∪(π，)【答案】D【解析】由已知得，解得α∈(，)∪(π，)．4.已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值．【答案】cosα＝－1，tanα＝0.【解析】r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝＝＝y，∴y＝±或y＝0.当y＝即α是第二象限角时，cosα＝＝－，tanα＝－；当y＝－即α是第三象限角时，cosα＝＝－，tanα＝；当y＝0时，P(－，0)，cosα＝－1，tanα＝0.5.设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．【答案】【解析】由－π＜＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.7. tan(－1 410°)的值为()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan 30°＝8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1) ()；(2)少．【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 2分扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=. 10分平方米 12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.【考点】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．9.在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，根据任意角的三角函数的定义得，，所以.【考点】任意角三角函数的定义.10.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值11.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则 .【答案】【解析】由任意角的三角函数的定义得：.【考点】任意角的三角函数的定义.12.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.13.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.14.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．【答案】．【解析】由题意及图所示，易知A点的横坐标为，所以．【考点】三角函数的定义．16.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因的值域[-2,1]含最小值不含最大值,根据图象可知定义域小于一个周期,故选D.【考点】三角函数的定义域和值域.17.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.18.若，则角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角【答案】D【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D19.点位于直角坐标面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，位于直角坐标面的第四象限,选D20.已知圆与轴的正半轴相交于点,两点在圆上,在第一象限,在第二象限,的横坐标分别为，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设与轴正半轴的夹角分别为则，21.已知动点在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A（，则0≤t≤12时，动点A的横坐标x关于t（单位：秒）的函数单调递减区间是（）A．[0, 4]B．[4,10]C．[10,12]D．[0,4]和[10,12]【答案】D【解析】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时α=π/ 3 ，每秒钟旋转π /6 ，在t∈[0，1]上α∈[π/ 3 ，π/ 2 ]，在[7，12]上α∈[3π/ 2 ，7π /3 ]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．22.曲线与坐标轴所围的面积是【答案】３【解析】据余弦函数的图象，23.已知，且在第二象限，那么在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】解：∵sinθ="3" /4 ，且θ在第二象限，∴cosθ=-/4,所以sin2θ=2sinθcosθ=-3/16Cos2θ=1-2sin2θ=-1/8故2θ在第三象限。
高考一轮复习专题三角函数(全)详解
高考一轮复习专题——三角函数第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数基础梳理1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝yr ，cos α＝x r，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝k π，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,2ππββ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k ,2πββ.两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式是( )．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．A．－55B.255C．－255D．－125．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二 三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.45考向三 弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四 三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【训练4】求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )． 解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.重点突破——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P (不与原点重合)的坐标为(x ，y )，它到原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)，则sin α＝yr、cos α＝x r 、tan α＝y x分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x ，y 的符号由α终边所在象限确定，r 的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x ，y ，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．【试一试】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式基础梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin )2(απ-＝cos α，cos )2(απ-＝sin α.公式六：sin )2(απ+＝cos α，cos )2(απ+＝－sin α.诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12 C.32 D ．±322．(2012·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．A.43B.34 C ．±43 D ．±344．cos )417(π-－sin )417(π-的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.225．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.考向一 利用诱导公式化简、求值【例1】►已知)tan()2sin()2cos()sin()(απαπαπαπα++--=f ，求【训练1】已知角α终边上一点P (－4,3)，则的值为________．考向二 同角三角函数关系的应用)3(πf )29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+【例2】►(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.【训练2】已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5.则sin 2α－sin αcos α＝________.考向三 三角形中的诱导公式【例3】►在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【训练3】若将例3的已知条件“sin A ＋cos A ＝2”改为“sin(2π－A )＝－2sin(π－B )”其余条件不变，求△ABC 的三个内角．重点突破——忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.,【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件 【示例】►若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根， θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．【试一试】已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.第3讲 三角函数的图象与性质基础梳理1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质 函数 性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：错误!无对称轴对称中心：)0,2(πk(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππkk(k∈Z)；单调减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22kk(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间)2,2(ππππ+-kk(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝cos )3(π+x ，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数y ＝tan )4(x -π的定义域为( )． A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,4ππB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,42ππC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,4ππD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ3．(2011·全国新课标)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)（20πϕω＜，＞）的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在)2,0(π单调递减B ．f (x )在)43,4(ππ单调递减C ．f (x )在)2,0(π单调递增D ．f (x )在)43,4(ππ单调递增4．y ＝sin )4(π-x 的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B.)0,43(π-C.)0,23(π D.)0,2(π5．(2011·合肥三模)函数f (x )＝cos )62(π+x 的最小正周期为________．考向一 三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x （4π≤x ）的最大值与最小值．【训练1】(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域． (2)已知函数f (x )＝cos )32(π-x ＋2sin )4(π-x ·sin )4(π+x ，求函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的最大值与最小值．考向二 三角函数的奇偶性与周期性【例2】►(2011·大同模拟)函数y ＝2cos 2)4(π-x －1是( )． A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 【训练2】已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．考向三 三角函数的单调性【例3】►已知f (x )＝sin x ＋sin )2(x -π，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．【训练3】函数f (x )＝sin )32(π+-x 的单调减区间为______．考向四 三角函数的对称性【例4】►(1)函数y ＝cos )32(π+x 图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【训练4】(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)（2πϕ＜）的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.重点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析． 一、根据三角函数的单调性求解参数【示例】►(2011·镇江三校模拟)已知函数f (x )＝sin )3(πω+x (ω＞0)的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k (k ∈Z )，单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k (k ∈Z )，则ω的值为________．二、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】► (2011·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )． A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3▲根据三角函数的周期性求解参数【示例】► (2011·合肥模拟)若函数y ＝sin ωx ·sin )2(πω+x (ω＞0)的最小正周期为π7，则ω＝________.▲根据三角函数的最值求参数【示例】► (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝a sin x－b cos x在x＝π3处有最小值－2，则常数a、b的值是( )．A．a＝－1，b＝ 3 B．a＝1，b＝－ 3C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝1第4讲正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用基础梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x 0－φωπ2－φω错误!错误!错误!ωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤3．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin )42(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)（2πϕ＜）的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )． A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin )3(πω+x ＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．35．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)（02-0＜＜，＞ϕπω）的最小正周期为π，且)4(πf ＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【训练1】已知函数f (x )＝3sin )421(π-x ，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【训练2】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示． (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M )2,32(-π. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππ时，求f (x )的值域．【训练3】(2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π. (1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．重点突破——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】(1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角 Φ（2222sin ,cos b a b b a a +=+=φφ），将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin )6(π+x －1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由．第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝)2(βα+－)2(βα+.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2 π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15° 2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．6 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．A ．－53 B ．－19 C.19 D.534．(2011·辽宁)设sin )4(θπ+＝13，则sin 2θ＝( )．A ．－79B ．－19 C.19 D.795．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.【训练1】化简：ααααα2sin )1cos )(sin 1cos (sin +--+.考向二 三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos )2(βα-＝－19，sin )2(βα-＝23，求cos(α＋β)的值．【训练2】已知α，β∈)2,0(π，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.【训练3】已知α，β∈)2,2(ππ-，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f )3(π的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．【训练4】已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,6ππ上的最大值和最小值．重点突破——三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan )4(π+x ＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈)2,0(π.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．第6讲正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．余弦定理可以变形为：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin Ab sin A＜a＜ba≥b a＞b a≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．A．5 2 B．10 2C.1063D．5 62．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为( )．A．30° B．45° C．60° D．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )． A．30° B．45° C．60° D．75°4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为( )．A．3 3 B．2 3 C．4 3 D. 35．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.【训练1】(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形考向四 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【训练4】(2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b，c，且cos B＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．重点突破——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a ；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.第7讲正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A 在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC ＝75°，则B，C间的距离是________海里．考向一测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【训练1】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．考向二测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【训练3】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．重点突破——如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】1.解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题————求解——检验作答；2.三角形应用题常见的类型：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.【示例】►(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？【试一试】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ.。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第4章 §4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
因为－2 023°＝－360°×6＋137°， 所以与－2 023°终边相同的最小正角是137°.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.(2023·合肥模拟)在平面直角坐标系中，若角
θ
的终边经过点
P－sin
延伸探究
若α是第一象限角，则
α 2
是第几象限角？
因为α是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z，
所以 k·180°<α2<k·180°＋45°，k∈Z， 当 k 为偶数时，α2是第一象限角， 当 k 为奇数时，α2是第三象限角.
(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为____－__6_7_5_°_和__－__3_1_5. °
a2＋2a2a2＝
2a
2 ＝
5
5，a>0，
5|a| －255，a<0，
所以 2sin α－cos α＝－35355，5，a>a0<，0.
(2)sin 2cos 3tan 4的值
√A.小于0
C.等于0
B.大于0 D.不存在
∵π2<2<3<π<4<32π，∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0. ∴sin 2cos 3tan 4<0.
(3)若 A(1，a)是角 θ 终边上的一点，且 sin θ＝ 633，则实数 a 的值为 ___1_1__.
根据三角函数的终边上点的定义可得，r＝ 1＋a2， 所以 sin θ＝ a2a＋1＝ 633>0， 即 a>0 且 a2＝11，所以 a＝ 11.
高考一轮复习专题三角函数(全)
高考一轮复习专题——三角函数第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数基础梳理1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零， |α|＝l r，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝yr ，cos α＝x r，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝kπ，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,2ππββ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k ,2πββ. 两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式是( )．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．A．－55B.255C．－255D．－125．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二 三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.45考向三 弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四 三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【训练4】求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )． 解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.重点突破——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P (不与原点重合)的坐标为(x ，y )，它到原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)，则sin α＝yr、cosα＝x r 、tan α＝yx 分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x ，y 的符号由α终边所在象限确定，r 的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x ，y ，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．【试一试】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式基础梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. 公式五：sin )2(απ-＝cos α，cos )2(απ-＝sin α.公式六：sin )2(απ+＝cos α，cos )2(απ+＝－sin α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝…. 三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12 C.32 D ．±322．(2012·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．A.43B.34 C ．±43 D ．±344．cos )417(π-－sin )417(π-的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.225．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.考向一 利用诱导公式化简、求值【例1】►已知)tan()2sin()2cos()sin()(απαπαπαπα++--=f ，求【训练1】已知角α终边上一点P (－4,3)，则的值为________．考向二 同角三角函数关系的应用)3(πf )29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+【例2】►(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.【训练2】已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5.则sin 2α－sin αcos α＝________.考向三 三角形中的诱导公式【例3】►在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【训练3】若将例3的已知条件“sin A ＋cos A ＝2”改为“sin(2π－A )＝－2sin(π－B )”其余条件不变，求△ABC 的三个内角．重点突破——忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.,【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件 【示例】►若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．【试一试】已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.第3讲 三角函数的图象与性质基础梳理1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质定义域R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：错误!无对称轴对称中心：)0,2(πk(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππkk(k∈Z)；单调减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22kk(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间)2,2(ππππ+-kk(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝cos )3(π+x ，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数2．函数y ＝tan )4(x -π的定义域为( )．A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,4ππB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,42ππC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,4ππD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ3．(2011·全国新课标)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)（20πϕω＜，＞）的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在)2,0(π单调递减B ．f (x )在)43,4(ππ单调递减C ．f (x )在)2,0(π单调递增D ．f (x )在)43,4(ππ单调递增4．y ＝sin )4(π-x 的图象的一个对称中心是( )．A ．(－π，0) B.)0,43(π-C.)0,23(π D.)0,2(π5．(2011·合肥三模)函数f (x )＝cos )62(π+x 的最小正周期为________．考向一 三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x （4π≤x ）的最大值与最小值．【训练1】(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域．(2)已知函数f (x )＝cos )32(π-x ＋2sin )4(π-x ·sin )4(π+x ，求函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的最大值与最小值．考向二 三角函数的奇偶性与周期性【例2】►(2011·大同模拟)函数y ＝2cos 2)4(π-x －1是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 【训练2】已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．考向三 三角函数的单调性【例3】►已知f (x )＝sin x ＋sin )2(x -π，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．【训练3】函数f (x )＝sin )32(π+-x 的单调减区间为______．考向四 三角函数的对称性【例4】►(1)函数y ＝cos )32(π+x 图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【训练4】(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)（2πϕ＜）的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.重点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析． 一、根据三角函数的单调性求解参数【示例】►(2011·镇江三校模拟)已知函数f (x )＝sin )3(πω+x (ω＞0)的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k (k ∈Z )，单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k (k ∈Z )，则ω的值为________．二、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】► (2011·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )． A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3▲根据三角函数的周期性求解参数【示例】► (2011·合肥模拟)若函数y ＝sin ωx ·sin )2(πω+x (ω＞0)的最小正周期为π7，则ω＝________.▲根据三角函数的最值求参数【示例】► (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝a sin x－b cos x在x＝π3处有最小值－2，则常数a、b的值是( )．A．a＝－1，b＝ 3 B．a＝1，b＝－ 3C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝1第4讲正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用基础梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤3．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin )42(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)（2πϕ＜）的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )． A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin )3(πω+x ＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．35．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)（02-0＜＜，＞ϕπω）的最小正周期为π，且)4(πf ＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【训练1】已知函数f (x )＝3sin )421(π-x ，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【训练2】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示． (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M )2,32(-π. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππ时，求f (x )的值域．【训练3】(2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．重点突破——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】(1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角Φ（2222sin ,cos b a b b a a +=+=φφ），将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin )6(π+x －1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由．第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin )4(πα±.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝)2(βα+－)2(βα+.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2 π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15° 2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．6 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．A ．－53 B ．－19 C.19 D.534．(2011·辽宁)设sin )4(θπ+＝13，则sin 2θ＝( )．A ．－79B ．－19 C.19 D.795．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.【训练1】化简：ααααα2sin )1cos )(sin 1cos (sin +--+.考向二 三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos )2(βα-＝－19，sin )2(βα-＝23，求cos(α＋β)的值．【训练2】已知α，β∈)2,0(π，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.【训练3】已知α，β∈)2,2(ππ-，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f )3(π的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．【训练4】已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,6ππ上的最大值和最小值．重点突破——三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan )4(π+x ＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈)2,0(π.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．第6讲正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．余弦定理可以变形为：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin Ab sin A＜a＜ba≥b a＞b a≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．A．5 2 B．10 2C.1063D．5 62．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为( )．A．30° B．45° C．60° D．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )． A．30° B．45° C．60° D．75°4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为( )．A．3 3 B．2 3 C．4 3 D. 35．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.【训练1】(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形考向四 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【训练4】(2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b，c，且cos B＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．重点突破——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a ；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.第7讲正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A 在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC ＝75°，则B，C间的距离是________海里．考向一测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【训练1】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．考向二测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【训练3】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．重点突破——如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】1.解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模准确地画出图形——求解——检验作答；2.三角形应用题常见的类型：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.【示例】►(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？【试一试】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ.。
山东省济宁市高考数学专题复习 第17讲 任意角、弧度制
第三章 三角函数第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数[考情展望] 1.利用三角函数的定义求三角函数值.2.考查三角函数值符号的确定．一、角的有关概念1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． 2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α(k ∈Z)． 二、弧度与角度的互化 1．1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 2．角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.3．角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.4．弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝rα，扇形的面积为S ＝12lr ＝12r 2α.角度制与弧度制不可混用角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．三、任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 ①中－3π4是第三象限角，故①错误．②中，4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．【答案】 C2．已知角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( ) A.55B.255C ．－55D ．－255【解析】 由三角函数的定义可知，sin α＝2－12＋22＝255. 【答案】 B3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】 由sin α＜0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α＞0，∴α在第三象限．【答案】 C4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________． 【解析】 ∵l ＝3π，α＝135°＝3π4，∴r ＝l α＝4，S ＝12lr ＝12×3π×4＝6π.【答案】 4 6π5．(2012·江西高考)下列函数中，与函数y ＝13x 定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x【解析】 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中，x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.【答案】 D6．(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 【解析】 由三角函数的定义，sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255＜0，∴y ＜0且y16＋y2＝－255，解之得y ＝－8. 【答案】 －8考向一 [047] 角的集合表示及象限角的判定(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合； (2)已知α是第三象限角，求α2所在的象限．【思路点拨】 (1)角的终边是射线，应分两种情况求解． (2)把α写成集合的形式，从而α2的集合形式也确定．【尝试解答】 (1)当角的终边在第一象限时，角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π3，k ∈Z，当角的终边在第三象限时，角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝2k π＋43π，k ∈Z ，故所求角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π3，k ∈Z∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋43π，k ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π3，k ∈Z. (2)∵2k π＋π＜α＜2k π＋32π(k ∈Z)，∴k π＋π2＜α2＜k π＋34π(k ∈Z)．当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π2＜α2＜2n π＋34π，α2是第二象限角， 当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋3π2＜α2＜2n π＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角． 规律方法1 1.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2k π＋α0≤α＜2πk ∈Z 的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.2.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角.对点训练 若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z)，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限【解析】 当k ＝2n (n ∈Z)时，α＝n ·360°＋45°， 所以α在第一象限．当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，α＝n ·360°＋225°， 所以α在第三象限．综上可知，α在第一或第三象限． 【答案】 A考向二 [048] 扇形的弧长及面积公式已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．【思路点拨】 (1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α；(3)利用S 弓＝S 扇－S △，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积． 【尝试解答】 (1)l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得：l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2 rad.(3)设弓形面积为S 弓． 由题知l ＝2π3cm ，S 弓＝S 扇－S △＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－3(cm 2)． 规律方法2 1.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. 2.本题把求扇形面积最大值的问题，转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，这是解决此类问题的常用方法.3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要注意合理地利用圆心角所在的三角形. 对点训练 已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10， (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【解】 (1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10， ∴△AOB 为等边三角形． 因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝103π， S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3. 又S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.考向三 [049] 三角函数的定义(1)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114 B.114C ．－4D ．4(2)已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 【思路点拨】 (1)求出点P 到原点O 的距离，根据三角函数的定义求解． (2)在直线上设一点P (4t ，－3t )，求出点P 到原点O 的距离，根据三角函数的定义求解，由于点P 可在不同的象限内，所以需分类讨论．【尝试解答】 (1)点P 到原点O 距离|OP |＝m 2＋9， ∴cos α＝m m 2＋9＝－45， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16m ＜0，∴m ＝－4.【答案】 C(2)在直线3x ＋4y ＝0上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ， ∴r ＝|PO |＝x 2＋y 2＝4t2＋－3t2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ， sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，当t ＞0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.当t ＜0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.规律方法3 定义法求三角函数值的两种情况1已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解.2已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值.对点训练 设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求4sin α－3tan α的值．【解】 ∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5， 从而24x ＝xx 2＋5， 解得x ＝0或x ＝± 3. ∵90°＜α＜180°，∴x ＜0，因此x ＝－ 3.则r ＝22，∴sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.故4sin α－3tan α＝10＋15.易错易误之六 |a |≠a ——三角函数定义求值中引发的分类讨论 ———— [1个示范例] ———— [1个防错练] ————(2014·临沂模拟)已知角θ的终边上一点p (3a,4a )(a ≠0)，则sin θ＝________.【解析】 ∵x ＝3a ，y ＝4a ， ∴r ＝3a2＋4a2＝5|a |.此处在求解时，常犯r ＝5a 的错误，出错的原因在于去绝对值时，没有对a 进行讨论.(1)当a ＞0时，r ＝5a ，∴sin θ＝y 5＝45.(2)当a ＜0时，r ＝－5a ，∴sin θ＝y 5＝－45∴sin θ＝±45.【防范措施】 1.对于a 2＝|a |，在去掉绝对值号后，应分a ≥0和a ＜0两种情况讨论.2.已知角α终边上任意一点p x ，y ，求三角函数值时，应用sin α＝yx 2＋y 2，cos α＝xx 2＋y2，tan α＝yx求解. 已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，则sin α＋cos α＝________. 【解析】 在角α的终边上任取一点P (t,2t )(t ≠0)，则r ＝|OP |＝t 2＋4t 2＝5|t |(1)若t ＞0，则sin α＝2t 5t ＝255， cos α＝t5t＝55，si n α＋cos α＝355. (2)若t ＜0，则sin α＝－2t5t＝－255，cos α＝－t5t＝－55，sin α＋cos α＝－355. 综上所述，sin α＋cos α＝±355.【答案】 ±355。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．【答案】【解析】由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.【答案】－＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标【解析】因为A点纵坐标yAx＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.A4.已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．【答案】sinα＝－，tanα＝【解析】解：∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.5.如果点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限；【答案】第二象限角【解析】因为点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθ·cosθ<0，2cosθ<0，即所以θ为第二象限角．6.若θ是第二象限角，试判断sin(cosθ)的符号．【答案】负号【解析】∵2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴－1<cosθ<0，∴sin(cosθ)<0.∴sin(cosθ)的符号是负号．7.已知2rad的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长．【答案】【解析】如图，∠AOB＝2rad，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交于D.∠AOD＝∠BOD＝1rad，且AC ＝AB＝1.在Rt△AOC中，AO＝，从而弧AB的长为l＝|α|·r＝8.已知角α(0≤α≤2π)的终边过点P，则α＝__________．【答案】【解析】将点P的坐标化简得，它是第四象限的点，r＝|OP|＝1，cosα＝＝.又0≤α≤2π，所以α＝.9.若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα＜0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________．【答案】2【解析】依题意知解得m＝1，n＝3或m＝－1，n＝－3.又sinα＜0，∴α的终边在第三象限，∴n＜0，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.10.等于()A．sin2-cos2B．cos2-sin2C．±(sin2-cos2)D．sin2+cos2【答案】A【解析】原式===|sin2-cos2|,∵sin2>0,cos2<0,∴原式=sin2-cos2.11.已知点P(sinπ,cosπ)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为()A．B．C．D．【答案】D【解析】点P(sinπ,cosπ),即为P(,-),它在第四象限的角平分线上,且θ∈[0,2π),故选D.12.在单位圆中,一条弦AB的长度为,则弦AB所对的圆心角α是rad.【答案】π【解析】由已知R=1,∴sin==,∴=,∴α=π.13.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值14.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】角600°的终边与角-120°的终边相同，且角-120°的终边在第三象限，，所以.故选B.或解：因为角角600°的终边在第三象限，第三象限角终边上的点任一点，，由选项可知，只有B满足.故选B.【考点】1.终边相同的角的运用；2.三角函数的定义的运用.15.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式16.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为，三等分单位圆时，有相应正确关系为，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为 .【答案】【解析】用两点等分单位圆时，关系为，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差为：，用三点等分单位圆时，关系为，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有，依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角为，第三个角，第四个角为，即其关系为.【考点】三角函数的定义与三角恒等式.17.（1）设扇形的周长是定值为，中心角．求证：当时该扇形面积最大；（2）设．求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由扇形周长为定值可得半径与弧长关系(定值)，而扇形面积，一般地求二元函数最值可消元化为一元函数(见下面详解)，也可考虑利用基本不等式，求出最值，并判断等号成立条件，从而得解；（2）这是一个双变元(和)的函数求最值问题，由于这两个变元没有制约关系，所以可先将其中一个看成主元，另一个看成参数求出最值(含有另一变元)，再求解这一变元下的最值，用配方法或二次函数图象法. 试题解析：（1）证明：设弧长为，半径为，则， 2分所以，当时， 5分此时，而所以当时该扇形面积最大 7分（2）证明：9分∵，∴， 11分∴当时， 14分又，所以，当时取等号，即． 16分法二：9分∵，, 11分∴当时，， 14分又∵，∴当时取等号即． 16分【考点】扇形的周长和面积、三角函数、二次函数.18.若，则A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以==，=，故选A.【考点】本题主要考查特殊角的三角函数值，诱导公式、和差倍半公式的应用。
2021高考数学一轮复习课时作业17任意角和蝗制及任意角的三角函数理(含答案及解析)
高考数学一轮复习：课时作业17 任意角和弧度制及任意角的三角函数[基础达标]一、选择题1．[2020·昆明检测]若角α的终边经过点(1，－3)，则sin α＝( ) A ．－12 B ．－32C.12D.32解析：因为点(1，－3)在角α的终边上，且点(1，－3)到原点的距离r ＝12＋－32＝2，所以sin α＝y r ＝－32.故选B. 答案：B2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，所以α的终边在第二象限，故选B.答案：B3．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解析：设点P 与原点间的距离为r ， ∵P (－4a,3a )，a <0， ∴r ＝－4a2＋3a2＝|5a |＝－5a .∴sin α＝3a r ＝－35.答案：B4．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．答案：B5．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6C ．－π3D ．－π6解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故转过的角的大小应为圆周的16.故所求角的弧度数为－16×2π＝－π3.答案：C6．[2020·江西朔州模拟]若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：由条件得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以由三角函数的定义知sin α＝－32，故选A.答案：A7．[2020·湖北稳派教育检测]若一个扇形的面积是2π，半径是23，则这个扇形的圆心角为( )A.π6B.π4 C.π2 D.π3解析：设扇形的半径为r ，圆心角为θ，则扇形的面积S ＝12θr 2，所以θ＝2S r 2＝4π232＝π3，故选D. 答案：D8．[2020·湖北武汉部分重点中学第一次联考]已知角θ与角φ的终边关于直线y ＝x对称，且θ＝－π3，则sin φ＝( )A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：因为角θ与角φ的终边关于直线y ＝x 对称，所以θ＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，又θ＝－π3，所以φ＝2k π＋5π6(k ∈Z )．于是sin φ＝sin(2k π＋5π6)＝sin 5π6＝sinπ6＝12.故选D. 答案：D9．[2020·安徽芜湖一中月考]设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2≤0，∴2k π＋π2<α2<2k π＋3π4(k ∈Z )，∴α2是第二象限角，故选B.答案：B10．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的角概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同， 所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y ＝－1＋1－1＝－1. 答案：B二、填空题11．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，则180°－(180°＋k ·360°)<180°－α<180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z )，则－k ·360°<180°－α<90°－k ·360°(k ∈Z )，所以180°－α是第一象限的角．答案：一12．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°13．[2020·江苏淮海阶段测试]在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为________．解析：设点P的坐标为(x ，y )，由三角函数定义得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos 2π3，y ＝|OP |sin 2π3，∴⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3，∴点P 的坐标为(－1，3)． 答案：(－1，3)14．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．解析：∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围 (如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) [能力挑战]15．[2020·湖南师大附中月考]如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α(0<α<π2)和角β(－π2<β<0)的终边分别交单位圆于A ，B 两点，若点B 的纵坐标为－513，且满足S △OAB ＝34，则sin(α＋π6)的值为( )A.1213 B.513C ．－1213D ．－513解析：由图知∠xOA ＝α，∠xOB ＝β，且sin β＝－513.由S △OAB ＝34知∠AOB ＝π3，即α－β＝π3，即α＝β＋π3，故sin(α＋π6)＝sin(β＋π2)＝cos β＝1－sin 2β＝1213.故选A.答案：A16．[2019·河南新乡二中期中]已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是( )A.(π2，3π4)∪(5π4，3π2)B.(π4，π2)∪(π，5π4)C.(π2，3π4）∪(π，5π4)D.（π4，π2）∪（3π4，π）解析：∵点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α>0，tan α>1或⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，0<tan α<1，又0≤α<2π，∴π4<α<π2或π<α<5π4，∴α的取值范围是（π4，π2）∪（π，5π4），故选B.答案：B17．[2019·江苏常州期中]在平面直角坐标系中，劣弧AB ，CD ，EF ，GH是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是________．解析：∵tan α<cos α，∴P 所在的圆弧不是GH ，∵tan α<sin α，∴P 所在的圆弧不是CD ，又cos α<sin α，∴P 所在的圆弧不是AB ，∴P 所在的圆弧是EF .答案：EF。
高考数学一轮复习 第四章 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数教案 文(含解析)
【第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数】之小船创作1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cosαyx叫做α的正切，记作tan α一＋＋＋各象限符号二＋－－三－－＋四－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线1．(2019·海门一中月考)若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在第________象限．答案：一、三2．(2018·南京调研)已知角α的终边过点P(－5,12)，则cos α＝________.答案：－5 133．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1.21．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.[小题纠偏]1．(2019·如皋模拟)－10π3为第________象限角．答案：二2．若角α终边上有一点P(x,5)，且cos α＝x13(x≠0)，则sin α＝________.答案：5 13考点一角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·海安模拟)若α是第二象限角，则α2是第______象限角．解析：∵α是第二象限角，∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．故α2是第一或三象限角．答案：一或三2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°＜0°，得－765°≤k×360°＜－45°，解得－765360≤k＜－45360， 从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°3．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________．解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－5π3，－2π3，π3，4π3. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－5π3，－2π3，π3，4π3 4．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．解析：由角α是第三象限角，知2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z)，则k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z)，故α2是第二或第四象限角．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，知sinα2＜0，所以α2只能是第四象限角．答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．考点二 扇形的弧长及面积基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·盐城模拟)在半径为1的圆中，3弧度的圆心角所对的弧长为________．解析：在半径为1的圆中，3弧度的圆心角所对的弧长l ＝|α|r ＝3×1＝3.答案：32．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.答案：1或43．如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．解析：设圆的半径为r ，弧长为l ，则其弧度数为lr.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l12r＝3·lr，即弧度数变为原来的3倍．答案：3[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．考点三三角函数的定义题点多变型考点——多角探明[锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．常见的命题角度有：(1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定； (3)三角函数线的应用．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．(2019·淮安调研)已知角α的终边经过点(4，a )，若sin α＝35，则实数a 的值为________．解析：∵角α的终边经过点(4，a )，∴sin α＝35＝a16＋a2，解得a ＝3. 答案：32．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.解析：因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，所以cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，所以P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－52，－6， 所以sin α＝－1213，所以tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.答案：－23角度二：三角函数值的符号判定3．若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则点(cos α，－sin α)在第________象限．解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号， 则α为第二或第三象限角．由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角． 故α为第三象限角，所以cos α＜0，－sin α＞0.故点(cos α，－sin α)在第二象限． 答案：二角度三：三角函数线的应用4．(2018·汇龙中学测试)设MP和OM分别是角17π18的正弦线和余弦线，给出以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM.其中正确的是________(填序号)．解析：因为sin 17π18＝MP＞0，cos17π18＝OM＜0，所以OM＜0＜MP.答案：②[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．(2019·无锡调研)如图，已知点A 为单位圆上一点，∠xOA ＝π4，将点A 沿逆时针方向旋转角α到点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫35，45，则sin 2α＝________.解析：由题意可得，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π4， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α－1 ＝2×925－1＝－725，即－sin 2α＝－725，∴sin 2α＝725. 答案：7252．(2018·扬州调研)在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，点A 的坐标为(3，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到点B ，则点B 的坐标为________．解析：设B (x ，y )，由题意知OA ＝OB ＝2，∠BOx ＝60°，且点B 在第一象限，所以x ＝2cos 60°＝1，y ＝2sin 60°＝3，所以点B 的坐标为(1，3)．答案：(1，3)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·如东模拟)与－600°终边相同的最小正角的弧度数是________．解析：－600°＝－720°＋120°，与－600°终边相同的最小正角是120°，120°＝2π3.答案：2π32．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为________．解析：设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，所以α＝ 3.答案：33．(2019·苏州期中)已知扇形的圆心角为θ，其弧长是其半径的2倍，则sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋|tan θ|tan θ＝________.解析：圆心角θ＝l r ＝2，∵π2＜2＜π，∴sin θ＞0，cos θ＜0，tan θ＜0，∴sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋|tan θ|tan θ＝1－1－1＝－1.答案：－14．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.解析：因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.答案：－85．已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，则m＝________.解析：由题设知点P的横坐标x＝－3，纵坐标y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，即r＝3＋m2.所以sin α＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，即3＋m2＝8，解得m＝± 5.答案：±56．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝k ·π2，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝k π±π2，k ∈Z ，则M ，N 之间的关系为 ________.解析：k π±π2＝(2k ±1)·π2是π2的奇数倍，所以N ⊆M .答案：N ⊆M二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·常州调研)若扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，则该扇形圆心角的弧度数为________．解析：设该扇形圆心角的弧度数是α，半径为r ， 根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝4，12α·r 2＝1，解得α＝2，r ＝1.故该扇形圆心角的弧度数为2. 答案：22．(2018·黄桥中学检测)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan 2α＝________.解析：由三角函数的定义可得cos α＝x x 2＋42.因为cosα＝15x ，所以x x 2＋42＝15x ，又α是第二象限角，所以x ＜0，解得x ＝－3，所以cos α＝－35，sin α＝1－cos 2α＝45，所以 tan α＝sin αcos α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.答案：2473．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α＝________.解析：因为r ＝2sin 22＋－2cos 22＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr＝－cos 2.答案：－cos 24．已知角2α的终边落在x 轴上方，那么α是第________象限角．解析：由题知2k π＜2α＜π＋2k π，k ∈Z ，所以k π＜α＜π2＋k π，k ∈Z.当k 为偶数时，α是第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角，所以α为第一或第三象限角．答案：一或三5．与2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．解析：因为2 017°＝217°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°.答案：217°6．(2019·淮安调研)已知α为第一象限角，sin α＝35，则cos α＝________.解析：∵α为第一象限角，sin α＝35，∴cos α＝1－sin2α＝1－925＝4 5.答案：4 57．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6. 所以扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518.答案：5188．在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为_____________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，5π4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，5π4 9．(2019·镇江中学高三学情调研)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按顺时针方向运动π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．解析：由题意可得点Q 的横坐标为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π3＝12，Q 的纵坐标为sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π3＝－sin π3 ＝－32，故点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，－32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－32 10．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋－32＝10|k |.当k ＞0时，r ＝10k ，所以sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10 kk ＝10，所以10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k ＜0时，r ＝－10k ，所以sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10kk ＝－10，所以10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.11．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，所以α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)法一：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫822＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝l r＝2时，扇形面积取得最大值4.所以弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP―→的坐标为________．解析：如图，作C Q ∥x 轴，P Q ⊥C Q ，Q 为垂足．根据题意得劣弧D P ＝2，故∠DCP ＝2弧度，则在△PC Q 中，∠PC Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－π2弧度，C Q ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－π2＝sin 2，P Q ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－π2＝－cos 2，所以P 点的横坐标为2－C Q ＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋P Q ＝1－cos2，所以P 点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，此即为向量OP―→的坐标．答案：(2－sin 2,1－cos 2)2．已知sin α＜0，tan α＞0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号． 解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧ α⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ， 故α2终边在第二、四象限．(3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。
山东省济宁市高考数学一轮复习17任意角、弧度制及任意角的三角函数限时检测新人教A版
课时限时检测(十七) 任意角、弧度制及任意角的三角函数(时间：60分钟满分：80分)命题报告图3－1－11．如图3－1－1，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( )A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ)C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ)【解析】设P(x，y)，由三角函数定义知sin θ＝y，cos θ＝x，故点P的坐标为(cos θ，sin θ)．【答案】 A2．(2014·潍坊模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A．2 B．sin 2C.2sin 1D．2sin 1【解析】由题设，圆弧的半径r＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l＝2r＝2sin 1.【答案】 C3．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )A．重合B．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【解析】 由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x 轴对称，故选C.【答案】 C4．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限， ∴tan α＜0，且cos α＜0，由tan α＜0，知α的终边在第二或第四象限，由cos α＜0，知α的终边在第二或第三象限，或x 轴的非正半轴上，因此角α的终边在第二象限．【答案】 B5．(2014·济南一中等四校联考)已知角x 的终边上一点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A.5π6 B.11π6 C.5π3D.2π3【解析】 ∵sin 5π6＞0，cos 5π6＜0.∴角x 的终边落在第四象限， 又tan x ＝cos 5π6sin5π6＝－3212＝－3，∴角x 的最小正值为5π3.【答案】 C6．(2014·大连模拟)已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)( ) A ．大于0 B ．大于等于0 C ．小于0D ．小于等于0【解析】 ∵θ是第四象限角， ∴sin θ∈(－1,0)．又当－1＜α＜0时，sin α＜0.故sin(sin θ)＜0. 【答案】 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．若角120°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________． 【解析】 由题意知－a 4＝tan 120°，∴－a4＝－3，∴a ＝4 3. 【答案】 4 38．已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上，则|sin α|sin α－|cos α|cos α＝________.【解析】 因为角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上， 所以角α是第二象限角，因此sin α＞0，cos α＜0， 故|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝1＋1＝2.【答案】 29．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．【解析】 由题意知点Q 是角2π3的终边与单位圆的交点，设Q (x ，y )，则y ＝sin 2π3＝32，x ＝cos 2π3＝－12， 故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．【解】 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2. 11．(12分)已知扇形AOB 的周长为8. (1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 【解】 设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4.∴r ＝2，∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.12．(13分)角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．【解】 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以，sin α＝－2aa 2＋－2a 2＝－25， cos α＝aa 2＋－2a 2＝15，tan α＝－2aa＝－2， sin β＝a a 2＋a 2＝15，cos β＝2aa2＋a2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β＝－25·15＋15·25＋(－2)×12＝－1.。
山东高考数学一轮总复习学案设计-第三章第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数含答案解析
第三章 三角函数、解三角形第一讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角. (2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角.(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α，k ∈Z . 知识点二 弧度制及弧长、扇形面积公式 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r .(3)角度与弧度的换算 ①1°＝π180rad ；②1rad ＝(180π)°. (4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝|α|r ，扇形的面积为S ＝12lr ＝12|α|·r 2.知识点三 任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.重要结论1．终边相同的角与对称性拓展 (1)β，α终边相同⇔β＝α＋2k π，k ∈Z .(2)β，α终边关于x 轴对称⇔β＝－α＋2k π，k ∈Z . (3)β，α终边关于y 轴对称⇔β＝π－α＋2k π，k ∈Z . (4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2k π，k ∈Z .2．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论不正确的是( ABCD ) A ．小于90°的角是锐角B ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°C ．角a ＝k π＋π3(k ∈Z )是第一象限角D ．若sin α＝sin π7，则α＝π7[解析] 根据任意角的概念知ABCD 均是错误的． 题组二 走进教材2．(必修4P 10AT8改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( C )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )[解析] 由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2k π或k ·360°＋45°(k ∈Z )．3．(必修4P 15T6改编)若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由tan θ>0知，θ是一、三象限角，由sin θ<0知，θ是三、四象限角或终边在y 轴负半轴上，故θ是第三象限角．4．(必修4P 10BT1改编)已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为6π. [解析] 设此扇形的半径为r ，由题意得π3r ＝2π，所以r ＝6，所以此扇形的面积为12×2π×6＝6π.题组三 考题再现5．(2019·浙江，14分)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (－35，－45)．则sin(α＋π)的值为45.[解析] 由角α的终边过点P (－35，－45)得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.6. (2018·北京，5分)在平面直角坐标系中，AB ︵ ，CD ︵ ，EF ︵ ，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( C )A ．AB ︵ B ．CD ︵C ．EF ︵D ．GH ︵[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，利用三角函数的定义可得yx <x <y ，所以x <0，y >0，所以P所在的圆弧是EF ︵，故选C ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 角的基本概念——自主练透例1 (1)已知α1＝－350°，α2＝860°，β＝25π6.将α1用弧度制表示为－35π18，它是第一象限角；将α2用弧度制表示为43π9，它是第二象限角．将β用角度制表示为750°，在－720°～0°之间与它终边相同的角为－330°，－690°.与β终边相同的最小正角是30°.(2)如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( C )A ．{α|－45°≤α<120°}B ．{α|120°<α≤315°}C ．{α|－45°＋k ·360°≤α<120°＋k ·360°，k ∈Z }D ．{α|120°＋k ·360°<α≤315°＋k ·360°，k ∈Z }(3)(多选题)已知角α的终边在第二象限，则α2的终边在第几象限( AC )A ．一B ．二C ．三D ．四[分析] (1)关于角度制与弧度制的互化主要是利用公式1°＝π180rad,1rad ＝(180π)°求解．(2)注意角的旋转方向和实虚线． (3)根据象限角及不等式的性质求解.[解析] (1)α1＝－350°＝－350180π＝－35π18＝－2π＋π18，α2＝860°＝860180π＝439π＝4π＋79π.∴α1在第一象限，α2在第二象限． 又β＝256π＝(256π×180π)°＝750°，∵750°＝720°＋30°，∴与750°终边相同的角为k ·360°＋30°(k ∈Z )． 当k ＝－1时，β1＝－330°， 当k ＝－2时，β2＝－690°，∴在[－720°，0°]内与750°终边相同的角为－330°，－690°.与β终边相同的最小正角为30°. (2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k ·360°≤α<120°＋k ·360°，k ∈Z }，故选C ．(3)由角α的终边在第二象限， 所以π2＋k ·2π<α<π＋k ·2π，k ∈Z ，所以π4＋k 2·2π<α2<π2＋k2·2π，k ∈Z ，当k ＝2m ，m ∈Z 时，π4＋m ·2π<α2<π2＋m ·2π，m ∈Z ，所以α2终边在第一象限；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，5π4＋m ·2π<α2<3π2＋m ·2π，m ∈Z ， 所以α2终边在第三象限，综上，α2的终边在第一或三象限．故选A 、C ．[引申](1)本例题(3)中，若把第二象限改为第三象限，则结果如何？ [答案]α2的终边在第二或第四象限． (2)在本例题(3)中，条件不变，α3的终边所在的位置是在第一、二或四象限.(3)在本例(3)中，条件不变，则π－α是第一象限角，2α终边的位置是第三或第四象限或y 轴负半轴上.名师点拨 ☞1．迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识必备的基本功，若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化成2k π＋α(0≤α<2π)(k ∈Z )的形式，然后再根据α所在的象限予以判断，这里要特别注意是π的偶数倍，而不是π的整数倍．2．终边相同角的表达式的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k (k ∈Z )赋值来求得所需角．3．确定αk (k ∈N *)的终边位置的方法(1)讨论法：①用终边相同角的形式表示出角α的范围． ②写出αk的范围．③根据k 的可能取值讨论确定αk的终边所在位置．(2)等分象限角的方法：已知角α是第m (m ＝1,2,3,4)象限角，求αk 是第几象限角．①等分：将每个象限分成k 等份．②标注：从x 轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x 轴正半轴． ③选答：出现数字m 的区域，即为αk 所在的象限．如α2判断象限问题可采用等分象限法． 考点二 扇形的弧长、面积公式的应用——师生共研例2 (1)(2020·广东珠海模拟)已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( A )A ．2B ．1C ．12D ．3(2)(2020·山东潍坊期中)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径为 6 m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(3≈1.73)( C )A ．16 m 2B ．18 m 2C ．20 m 2D ．25 m 2[解析] (1)设扇形的半径为R ，则弧长l ＝4－2R ，∴扇形面积S ＝12lR ＝R (2－R )＝－R 2＋2R ＝－(R －1)2＋1，当R ＝1时，S 最大，此时l ＝2，扇形圆心角为2弧度．(2)如图，由题意，得∠AOB ＝2π3，OA ＝6.在Rt △AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×6＝3，可得矢＝6－3＝3.由AD ＝AO ·sin π3＝6×32＝33，可得弦AB ＝2AD ＝2×33＝63，所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12(63×3＋32)＝93＋4.5≈20(m 2)，故选C ．名师点拨 ☞弧长和扇形面积的计算方法(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．但要注意圆心角的单位是弧度．(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．(3)记住下列公式：①l ＝αR ；②S ＝12lR ；③S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．〔变式训练1〕(1)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( C ) A ．2 B ．sin 2 C ．2sin 1D ．2sin 1(2)(2020·甘肃会宁一中高三上第二次月考)若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( B )A ．5B ．2C ．3D ．4[解析] (1)∵2R sin 1＝2，∴R ＝1sin 1，∴l ＝|α|R ＝2sin 1.故选C ．(2)设扇形所在圆的半径为R .扇形弧长为l ，因为扇形的周长与面积的数值相等，所以12lR＝2R ＋l ，所以lR ＝4R ＋2l ，所以l ＝4RR －2，因为l >0，所以R >2.故选B ．考点三 三角函数的定义——多维探究角度1 定义的直接应用例3 (1)(2020·北京海淀期中)在平面直角坐标系xOy 中，点A 的纵坐标为2，点C在x 轴的正半轴上．在△AOC 中，若cos ∠AOC ＝－53，则点A 的横坐标为( A ) A ．－ 5 B ． 5 C ．－3D ．3(2)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为－64. [分析] 利用三角函数的定义求解． [解析] (1)设点A 的横坐标为x ，则由题意知x x 2＋4＝－53，解得x ＝5或－5，又x <0，∴x ＝－5，故选A ．(2)由题意知r ＝3＋m 2，所以sin θ＝m 3＋m2＝24m ，因为m ≠0，所以m ＝±5，所以r＝3＋m 2＝22，所以cos θ＝－322＝－64.角度2 三角函数值符号的应用例4 (1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( C )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)(多选题)下列各选项中正确的是( BD ) A ．sin300°>0 B ．cos(－305°)>0 C ．tan(－223π)>0D ．sin10<0[解析] (1)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．故选C ．(2)300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin300°<0，－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0，而－223π＝－8π＋2π3，所以－223π是第二象限角，故tan(－22π3)<0，因为3π<10<7π2，所以10是第三象限角，故sin10<0.故选B 、D ．名师点拨 ☞定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可先求出点P 到原点的距离|OP |＝r ，然后利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离r ，再利用三角函数的定义求解，应注意分情况讨论．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin θ＝( C )A ．255B ．55C ．±255D ．±55(2)(角度1)已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且cos α＝－513，则x ＝－52，1sin α＋1tan α＝－23. (3)(角度2)若cos θ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在象限为( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)当x >0时，在y ＝2x 上任取一点P (1,2)，r ＝5，sin θ＝25＝255，当x <0时，在y ＝2x 上任取一点P (－1，－2)，r ＝5，sin θ＝－25＝－255，故选C ．(2)cos α＝x x 2＋36＝－513，解得x ＝－52，sin α＝－6x 2＋36＝－1213，tan α＝－6x ＝125.∴1sin α＋1tan α＝－23. (3)∵sin2θ＝2sin θcos θ<0且cos θ>0，∴sin θ<0，由sin θ<0知θ为第三、第四象限角或终边在y 轴负半轴上，由cos θ>0知θ为第一、第四象限角或终边在x 轴正半轴上．故θ为第四象限角，故选D ．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升利用三角函数线解三角不等式例5 (1)不等式sin x ≥32的解集为{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }. (2)不等式cos x ≥－12的解集为{x |2k π－2π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }.(3)函数f (x )＝2sin x ＋1＋lg(2cos x －2)的定义域为 {x |2k π－π6≤x <2k π＋π4，k ∈Z }.[分析] (3)依据题意列出不等式组，通过画图作出三角函数线，找到边界角，从而求出各不等式的取值范围，最后求交集即可．[解析] (1)过点(0，32)作平行于x 轴的直线，交单位圆于点P 1(12，32)，P 2(－12，32)，则以OP 1、OP 2为终边的角分别为π3＋2k π、2π3＋2k π(k ∈Z )，其正弦值为32，终边落在阴影部分的角的正弦值不小于32，∴sin x ≥32的解集为{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)过点(－12，0)作垂直于x 轴的直线与单位圆交于点Q 1(－12，32)，Q 2(－12，－32)，则以OQ 1，OQ 2为终边的角的余弦值为－12，其对应的角分别为2k π＋2π3、2k π－2π3(k ∈Z )，终边落在阴影部分的角的余弦值大于－12.∴cos x ≥－12的解集为{x |2k π－2π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(3)由⎩⎨⎧2sin x ＋1≥0，2cos x －2>0，得⎩⎨⎧sin x ≥－12，①cos x >22.②在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域，其公共区域为不等式组的解集， ∴函数f (x )的定义域为{x |2k π－π6≤x <2k π＋π4，k ∈Z }．名师点拨 ☞(1)利用单位圆解三角不等式的步骤为：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．(2)由图可知sin α>cos α的解集{α|2k π＋π4<α<2k π＋5π4，k ∈Z }，sin α<cos α的解集{α|2k π－3π4<α<2k π＋π4，k ∈Z }；|sin α|>|cos α|的解集集{α|k π＋π4<α<k π＋3π4，k ∈Z }，|sin α|<|cos α|的解集{x |k π－π4<α<k π＋π4，k ∈Z }．〔变式训练3〕(1)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为(k π－π3，k π＋π3)(k ∈Z ). (2)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( C ) A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α[解析] (1)∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34.∴－32<sin x <32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈(k π－π3，k π＋π3)(k ∈Z )． (2)如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可得，AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.故选C ．。
(山东专用)高考数学总复习 第三章第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数课时闯关(含解析)
2013年高考数学总复习（山东专用）第三章第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数 课时闯关（含解析）一、选择题1．角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( ) A.55 B.255C ．－55D ．－255 解析：选B.由三角函数的定义得sin α＝2－2＋22＝255. 2．(2012·保定质检)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( ) A ．－114 B.114C ．－4D ．4解析：选C.由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－45，又m ＜0，解得m ＝－4，故选C. 3．在直角坐标平面内，对于始边为x 轴正半轴的角，下列命题中正确的是( )A ．第一象限中的角一定是锐角B ．终边相同的角必相等C ．相等的角终边一定相同D ．不相等的角终边一定不同解析：选C.第一象限角是满足2k π＜α＜2k π＋π2，k ∈Z 的角，当k ≠0时，它都不是锐角，与角α终边相同的角是2k π＋α，k ∈Z ；当k ≠0时，它们都与α不相等，亦即终边相同的角可以不相等，但不相等的角终边可以相同．4．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3C. 3D. 2解析：选C.设圆半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R . ∴圆弧长为3R .∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3R R＝ 3. 5．已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，2α∈[0,2π)，则tan α＝( )A ．－ 3 B. 3 C.33 D ．±33解析：选B.由角2α的终边在第二象限，知tan α＞0，依题设知tan2α＝－3，所以2α＝120°，得α＝60°，tan α＝ 3.二、填空题6．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．解析：由弧长公式l ＝|α|r ，l ＝2π3，r ＝1得点P 按逆时针方向转过的角度为α＝2π3，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 7．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角．解析：∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°，∴－k ·360°－270°＜－α＜－k ·360°－180°，－(k ＋1)·360°＋270°＜180°－α＜－(k ＋1)·360°＋360°，其中k ∈Z ，所以180°－α是第四象限角．答案：四8．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为________． 解析：∵tan α＝cos 23πsin 23π＝－1232＝－33， 且sin 23π＞0，cos 23π＜0， ∴α在第四象限，由tan α＝－33，得α的最小正值为116π. 答案：116π 三、解答题9．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ的值． 解：∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. 10．已知α＝π3. (1)写出所有与α终边相同的角；(2)写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角；(3)若角β与α终边相同，则β2是第几象限的角？ 解：(1)所有与α终边相同的角可表示为{θ|θ＝2k π＋π3，k ∈Z}． (2)由(1)，令－4π<2k π＋π3<2π(k ∈Z)， 则有－2－16<k <1－16. 又∵k ∈Z ，∴取k ＝－2，－1,0.故在(－4π，2π)内与α终边相同的角是－11π3、－5π3、π3. (3)由(1)有β＝2k π＋π3(k ∈Z)， 则β2＝k π＋π6(k ∈Z)．∴β2是第一、三象限的角． 11．已知sin α＜0，tan α＞0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号． 解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为{α|(2k ＋1)π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z}． (2)由(2k ＋1)π＜α＜2k π＋3π2，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ， 故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0，cos α2＜0， 所以tan α2sin α2cos α2取正号； 当α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0，cos α2＞0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号． 因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。
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(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.
2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.
考点三 三角函数的概念
【例 3】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点
值.
2.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养.
【易错注意点】
1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三
类是区间角.
2.相等的角终边相同，但终边相同的角不一定相等.
3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三
角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.三角函数线的应用问题的求解思路
确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.
【思维升华】
1.在利用三角函数定义时，点 P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|＝r 一定是正
（山东专用）高考数学一轮复习专题 17 任意角的三角函数（含解析）
一、【知识精讲】 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋2kπ，k ∈Z}． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
y ＝x(x≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是 原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 α 的正弦线、余弦线和正切线．
二、常用结论汇总——规律多一点 (1)一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
B.第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 (2)在－720°～0°范围内所有与 45°终边相同的角为________．
【答案】 (1)C (2) －675°或－315° 【解析】 (1)∵α 是第二象限角，∴π2 ＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∴π4 ＋kπ＜α2 ＜π2 ＋kπ，k∈Z. 当 k 为偶数时，α2 是第一象限角； 当 k 为奇数时，α2 是第三象限角. (2)所有与 45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)， 得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)， 解得－736650≤k<－34650(k∈Z)， 从而 k＝－2 或 k＝－1， 代入得 β＝－675°或 β＝－315°.
A(1，a)，B(2，b)，且 cos 2α＝23，则|a－b|＝(
)
A.15
B.
5 5
C.2 5 5
D.1
(பைடு நூலகம்) 满足 cos α≤－12的角 α 的集合为________.
【答案】 (1)B (2)α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z 【解析】（1）由题意可知 tan α＝b2－ －a1＝b－a， 又 cos 2α＝cos2α－sin2α＝ccooss22αα－ ＋ssiinn22αα＝11－ ＋ttaann22αα＝11－ ＋（ （bb－ －aa） ）22＝23，
∴5(b－a)2＝1，得(b－a)2＝15，则|b－a|＝
5 5.
答案 B
(2) 作直线 x＝－12交单位圆于 C，D 两点，
连接 OC，OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角 α 终边的范围，故满足条件的角 α 的集合为
α2kπ＋32π≤α≤2kπ＋34π，k∈Z.
【解法小结】 1.三角函数定义的应用
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad.
(2)公式：
角 α 的弧度数公式
|α|＝lr(l 表示弧长)
角度与弧度的换算 弧长公式
①1°＝1π80 rad；②1 rad＝1π80° l＝|α|r
扇形面积公式
S＝12lr＝12|α|r2
有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是 π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数 (1)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin α＝y，cos α＝x，tan α
【解法小结】 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的
集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角. 2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为 2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后 再根据 α 所在的象限予以判断.
考点二 弧度制及其应用 【例 2】已知一扇形的圆心角为 α，半径为 R，弧长为 l.若 α＝π3 ，R＝10 cm，求扇形的面积. 【解析】 由已知得 α＝π3 ，R＝10， ∴S 扇形＝12α·R2＝12×π3 ×102＝503π(cm2). 【解法小结】 1.应用弧度制解决问题的方法：
三、【名校新题】 1.(2019·石家庄模拟)已知角 α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则 α＝
(2)三角函数定义的推广 设点 P(x，y)是角 α 终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)． (3)象限角
(4)轴线角
二、【典例精练】
考点一 角的概念及其集合表示
【例 1】 (1)若角 α 是第二象限角，则α2 是(
)
A.第一象限角