(山东专用)高考数学一轮复习专题17任意角的三角函数(含解析)

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.
2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.
考点三 三角函数的概念
【例 3】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点
值.
2.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养.
【易错注意点】
1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三
类是区间角.
2.相等的角终边相同，但终边相同的角不一定相等.
3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三
角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.三角函数线的应用问题的求解思路
确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.
【思维升华】
1.在利用三角函数定义时，点 P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|＝r 一定是正
（山东专用）高考数学一轮复习专题 17 任意角的三角函数（含解析）
一、【知识精讲】 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋2kπ，k ∈Z}． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
y ＝x(x≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是 原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 α 的正弦线、余弦线和正切线．
二、常用结论汇总——规律多一点 (1)一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
B.第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 (2)在－720°～0°范围内所有与 45°终边相同的角为________．
【答案】 (1)C (2) －675°或－315° 【解析】 (1)∵α 是第二象限角，∴π2 ＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∴π4 ＋kπ＜α2 ＜π2 ＋kπ，k∈Z. 当 k 为偶数时，α2 是第一象限角； 当 k 为奇数时，α2 是第三象限角. (2)所有与 45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)， 得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)， 解得－736650≤k<－34650(k∈Z)， 从而 k＝－2 或 k＝－1， 代入得 β＝－675°或 β＝－315°.
A(1，a)，B(2，b)，且 cos 2α＝23，则|a－b|＝(
)
A.15
B.
5 5
C.2 5 5
D.1
(பைடு நூலகம்) 满足 cos α≤－12的角 α 的集合为________.
【答案】 (1)B (2)α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z 【解析】（1）由题意可知 tan α＝b2－ －a1＝b－a， 又 cos 2α＝cos2α－sin2α＝ccooss22αα－ ＋ssiinn22αα＝11－ ＋ttaann22αα＝11－ ＋（ （bb－ －aa） ）22＝23，
∴5(b－a)2＝1，得(b－a)2＝15，则|b－a|＝
5 5.
答案 B
(2) 作直线 x＝－12交单位圆于 C，D 两点，
连接 OC，OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角 α 终边的范围，故满足条件的角 α 的集合为
α2kπ＋32π≤α≤2kπ＋34π，k∈Z.
【解法小结】 1.三角函数定义的应用
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad.
(2)公式：
角 α 的弧度数公式
|α|＝lr(l 表示弧长)
角度与弧度的换算 弧长公式
①1°＝1π80 rad；②1 rad＝1π80° l＝|α|r
扇形面积公式
S＝12lr＝12|α|r2
有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是 π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数 (1)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin α＝y，cos α＝x，tan α
【解法小结】 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的
集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角. 2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为 2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后 再根据 α 所在的象限予以判断.
考点二 弧度制及其应用 【例 2】已知一扇形的圆心角为 α，半径为 R，弧长为 l.若 α＝π3 ，R＝10 cm，求扇形的面积. 【解析】 由已知得 α＝π3 ，R＝10， ∴S 扇形＝12α·R2＝12×π3 ×102＝503π(cm2). 【解法小结】 1.应用弧度制解决问题的方法：
三、【名校新题】 1.(2019·石家庄模拟)已知角 α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则 α＝
(2)三角函数定义的推广 设点 P(x，y)是角 α 终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)． (3)象限角
(4)轴线角
二、【典例精练】
考点一 角的概念及其集合表示
【例 1】 (1)若角 α 是第二象限角，则α2 是(
)
A.第一象限角