关于辅助角公式的一个定理及其应用--(2019高考)数学考点分类解析

关于辅助角公式的一个定理及其应用定理1 设函数)0(cos sin )(22≠++=b a x b x a x f ，则(1)当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222cos sin b a b x b a a x 时，22max )(b a x f +=；(2)当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=2222cos sin b a b x b a a x 时，22min )(b a x f +-=．证法1 因为1222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b b a a，所以可设ϕϕsin ,cos 2222=+=+ba b ba a ，得)(sin cos sin cos sin )(22222222ϕ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+=x b a x b a bx b a a b a x b x a x f (1) (1)当且仅当∈+=+k k x (22ππϕZ )即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+==2222sin cos cos sin b a b x b a a x ϕϕ时，22max )(b a x f +=．(2)当且仅当∈-=+k k x (22ππϕZ )即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=+-=-=2222sin cos cos sin b a b x b a a x ϕϕ时，22min )(b a x f +-=．证法2 因为函数)0(cos sin )(22≠++=b a x b x a x f 可化成)(sin )(22ϕ++=x b a x f 的形式，所以0x 是)(x f 的最值点0x ⇔是)(x f 的极值点000cos sin 0)(x a x b x f =⇔='⇔又因为⇒+±=⇒-==⇒=22002202202200sin )sin 1(cos sin cos sin ba a x x a x a xb x a x b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+±=+±=220220cos sin b a b x b a a x (同时选“+”或同时选“-”) (2) 显然，(2)00cos sin x a x b =⇒．所以，0x 是)(x f 的最值点⇔(2)．由此可得欲证． 注 由恒等式(1)及1cos sin 22=+αα容易记忆定理． 推论1 设函数)0(cos sin )(22≠++=b a x b x a x f ，则 (1)当且仅当x a x b cos sin =时，)(x f 取到最值； (2)当且仅当ααcos sin a b =时，曲线)(x f y =关于直线α=x 对称．推论2 若函数)0,0(cos sin )(>>+=b a x b x a x f (定义域是D )，则(1)当⎪⎭⎫ ⎝⎛=2,0πD 时，22max )(b a x f +=； (2)当⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,ππD 时，22min )(b a x f +-=． 推论3 若函数)0,0(cos sin )(<>+=b a x b x a x f (定义域是D )，则(1)当⎪⎭⎫⎝⎛=ππ,2D 时，22max )(b a x f +=； (2)当⎪⎭⎫⎝⎛-=0,2πD 时，22min )(b a x f +-=． 题1 (2013年高考全国卷新课标I 理科第15题)设当θ=x 时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则=θcos ．答案 552-解 由定理1(1)得55252cos -=-=θ．题2 (2008年高考浙江卷理科第8题)若5sin 2cos -=+αα，则=αtan ( ) A.21 B.2 C.21- D.-2 答案 B解 设x x x f cos sin 2)(+=，由题意得，当α=x 时)(x f 取最小值，所以由定理1(2)得51cos ,52sin -=-=αα，得2tan =α． 题3(2006年高考湖南卷理科第14题)若)0(4sin 4sin )(≠⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab x b x a x f ππ是偶函数，则有序实数对),(b a 可以是____．(写出你认为正确的一组数即可)答案 )0)(,(≠-a a a解 得)0(cos 2sin 2)(≠-++=ab x ba xb a x f ，)(x f 是偶函数即曲线)(x f y =关于直线0=x 对称，所以由推论1(2)，得0cos 20sin 2ba b a +=-即0≠-=a b ，所以)0)(,(≠-a a a 是所求的所有答案．题4 若函数x a x x f 2cos 2sin )(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则=a ( )A.2B.2-C.1D.1-答案 D解 题设即函数x a x x g cos sin )(+=的图像关于直线4π-=x 对称，所以由推论1(2)，得1,4cos 14sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ππ． 题5 已知函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈+=ππ3,6cos 4sin 2)(x x x x f ． (1)求函数)(x f 的值域； (2)求函数)(x f 的最值点．解 (1)因为函数)(x f 的定义域包含了一个周期⎪⎭⎫⎢⎣⎡+--πππ26,6，所以该函数的值域是[]52,52-．(2)由定理1(1)知，当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ππ3652cos 51sin x x x 即55arcsin 2,55arcsin+=πx 时函数)(x f 取到最大值． 由定理1(2)知，当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=ππ3652cos 51sin x x x 即55arcsin 2,55arcsin--=πx 时(因为可证55arcsin 6-≤-π)函数)(x f 取到最小值．所以函数)(x f 的最大值点是55arcsin 2,55arcsin+=πx ，最小值点是55arcsin 2,55arcsin--=πx ． 题6 (1)求函数)),0[(cos 4sin 2)(π∈+=x x x x f 的值域及最值点；(2)求函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈+=32,2cos 4sin 2)(ππx x x x g 的值域及最值点． 解 (1)由定理1知当且仅当)0(52cos 51sin π<≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x 即51arcsin =x 时函数)(x f 取到最大值52；当且仅当)0(52cos 51sin π<≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=x x x (但此时∈x Ø)时函数)(x f 取到最小值52-．所以函数)(x g 没有极小值点且有唯一的极大值点，又因为4)(lim ,4)0(-==→x f f x π，所以函数)(x g 的值域是]52,4(-，最大值点是51arcsin=x ，无最小值点． (2)由定理1知当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==32252cos 51sin ππx x x (但此时∈x Ø)时函数)(x g 取到最大值52；当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=32252cos 51sin ππx x x (但此时∈x Ø)时函数)(x g 取到最小值52-．所以函数)(x g 没有极值点，即)(x g 是单调函数，进而可得)(x g 是减函数，所以其值域是]2,23(-，最大值点是2π=x ，无最小值点．题7 求函数t t z -++=642的值域及最值点．解 设y t x t =-=+6,42，得)0,0(16222≥≥=+y x y x ，所以可设⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤==20sin 22,cos 4παααy x ，得⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+=+=20sin 22cos 4παααy x z ． 设函数⎪⎭⎫⎝⎛≤≤+=20cos 4sin 22)(πααααf ． 由定理1知当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2032cos 31sin πααα即31arcsin =x 时函数)(αf 取到最大值62；由定理1知当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2032cos 31sin πααα(但此时∈αØ)函数)(αf 取到最小值62-．所以函数)(αf 的最小值是2222),0(min =⎪⎭⎫⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛ππf f f ，进而可得函数z 的值域是]62,22[，最大值点是310=t ，最小值点是2-=t ． 题8 (同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷第9题)试利用三角函数求函数求函数22124)(x x x x f -+-=的最大值与最小值．解 可设⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-=22sin πθπθx ，得32cos 2sin 21)(++=θθx f ．由定理1知当且仅当)2(522cos 512sin πθπθθ≤≤-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==即51arcsin 21=θ时函数)(x f 取到最大值253+；由定理1知当且仅当)2(522cos 512sin πθπθθ≤≤-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=即251arcsin21πθ-=时函数)(x f 取到最小值253-． 题9 (2014年高考山东卷理科第9题即文科第10题)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0， 当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2答案 B解 由题设，得)0,0(522>>=+b a b a .可设)0(222>=+t t b a ，所以还可设⎪⎭⎫⎝⎛<<==20sin ,cos παααt b t a . 由522=+b a ，可得ααcos 2sin 52+=t .求22b a +的最小值即求t 的最小值，即求正数⎪⎭⎫⎝⎛<<+20cos 2sin πααα的最大值． 由定理1(1)知，当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛=52,51)cos ,(sin αα时，∈+ααα(cos 2sin R )取最大值5.所以当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛=52,51)cos ,(sin αα时，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<+20cos 2sin πααα取最大值5，即t 的最小值是2．所以当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛=52,54),(b a 时，a 2＋b 2取最小值4． 注 用柯西不等式求解题9最快．题10 (1)(2014年高考辽宁卷理科第16题) 对于0c >，当非零实数,a b 满足224240a ab b c -+-=，且使2a b +最大时，345a b c-+的最小值为 ． (2)(2014年高考辽宁卷文科第16题) 对于0c >，当非零实数,a b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 ．答案 (1)2- (2)1-解 (1)可得222(0)2b a c c ⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭⎝⎭，所以可设22b a αα⎧-=⎪⎪=即2cos a b ααα⎧⎫=+⎪⎪⎪⎭⎨⎪=⎪⎩，得2cos a b αα+=+. 由定理1得，当且仅当sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(两者的正负号一致，下同)即20a b ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时2a b +最大，进而可求得答案．(2)同上可求．题11 (2014年高考山东卷理科第15题)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．答案 (210，＋∞) 解 可得题意即x x b 342-->恒成立．因为22≤≤-x ，所以可设)0(cos 2παα≤≤=x ，得)0)(cos 3(sin 2πααα≤≤->b 恒成立．由推论3(1)知，当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==103cos 101sin x α时，10)cos 3(sin max =-αα．所以所求b 的取值范围是(210，＋∞)．用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解.设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意.当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3所以当a <1且1a →时满足题设(此时满足题设的唯一整数x 0=0).由此可排除选项C. 所以选D.注 小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题1 解方程：(1)2121+=+x x ；(2)c c x x 11-=-；(3)c c x x 11+=+. 解 (1)容易观察出212，=x 均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解212，=x ，所以这两个解就是原方程的所有解. (2)同理，可得原方程的所有解是cc x 1-=，. (3)容易观察出cc x 1，=均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解cc x 1，=(因为对于任意的非零实数c ，c 和c 1都是原方程的解，所以应当把c 和c1理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程的所有解.题2 解方程22=+++x x x .解 设函数2)(+++=x x x x f ，易知它是增函数，所以方程2)(=x f 至多有一个根(当2在函数)(x f 的值域中时有一个根，否则没有根)，……所以原方程的根是2=x .题3 已知1tan ,51cos sin ->=+ααα，求αtan . 解 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin αα 该方程组即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1sin 51sin sin 51cos 22αααα 因为关于αsin 的一元二次方程1sin 51sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-+αα最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，......所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解， (4)3tan -=α. 题4]1[ (2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列}{k a 的前k 项和为k S ，且∈=+k a a S k k k (211N*)，其中11=a ，求数列}{k a 的通项公式.解 由题设得kk k k k a a a a a S a )(22211+++==+ ，所以当k a a a ,,,21 确定时，1+k a 也唯一确定.所以由11=a 知，数列}{k a 是唯一确定的.可以观察出k a k =满足题设的所有条件，所以数列{}k 是满足题设的唯一数列，得k a k =.另解 (2),2)()((211111k k k kk k k k k k k k S S S S S k S S S S a a S +-=≥--==-++-+因为)2)(01≥≠=--k a S S k k k ①由题设得3,121==S S ，再由①知{}k S 是唯一确定的数列⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥-==-2,1,11k S S k S a k k k .再同上得k a k =.题5]1[ (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且∈+=+--+n B An S n S n n n ()25()85(1N*)，其中B A ,为常数.(1)求A 与B 的值；(2)证明数列}{n a 为等差数列；解 (1)8,20-=-=B A . (2) ∈-+--+=+n n n S n n S n n (8582085251N*)，11=S ②所以{}n S 是唯一确定的数列，}{n a 也是唯一确定的数列.又由11,6,1321===a a a 知，若}{n a 为等差数列，则45-=n a n ，于是)35(21-=n n S n . 容易验证)35(21-=n n S n 满足②，所以题中的45),35(21-=-=n a n n S n n ，}{n a 为等差数.题6]2[ 已知数列}{n a 满足nn a a a n n ++==+2111,21，求n a ； 解 首先，由首项211=a 及递推关系nn a a n n ++=+211知，满足题意的数列}{n a 是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+=-+n k n k n n n n a a n n 111111121，即nk a n 1-=（k 是常数）满足递推关系n n a a n n ++=+211，再由211=a ，得n a n 123-=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 123-=.题7]2[ 已知数列}{n a 满足n n a n na a 1,3211+==+，求n a .解 易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得k nk n kn n a a n n (111+=+=+是非零常数），即n k a n =满足递推关系n n a n na 11+=+，再由321=a ，得n a n 32=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 32=.注 因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题Ω，若能证明它最多有n n (是确定的正整数)个解，又找出了它的n 个解n ωωω,,,21 ，则这n 个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：题8 (2010·安徽·理·20)设数列 ,,,,21n a a a 中的每一项都不为0.证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何∈n N*，都有1113221111++=+++n n n a a na a a a a a .证明 先证必要性.若数列{}n a 是公差为d 的等差数列： 当0=d 时，易得欲证成立.当0≠d 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=++++++1132232112132211111n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a 111111111322111111111111+++++=-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n a a na a a a d a a d a a a a a a d再证充分性.只需对)3(≥n n 用数学归纳法证明加强的结论：若),,3,2(1111113221n i a a ia a a a a a i i i ==+++++恒成立，则n a a a ,,,21 成等差数列，且na a n 1≠. 当3=n 时成立：当2=i 时，得2313132212,211a a a a a a a a a =+=+，所以321,,a a a 成等差数列，还可证313a a ≠(因为由313a a =可得023131313334=-=--+=+=a a a a a d a a ，而由3=i 时成立立知)04≠a .假设kn ,,4,3 =时成立：即ka a a ,,,21 成等差数列，且kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠. 由k i ,,3,2 =时均成立及kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠知，当21,a a 确定时，数列121,,,+n a a a 也是确定的，而由必要性的证明知，由21,a a 确定的等差数列121,,,+n a a a 满足题设，所以由题设及21,a a 确定的数列就是这个等差数列，即121,,,+n a a a 成等差数列，同上还可证111+≠+k a a k ，即1+=k n 时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊，2008(3)：462 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解.设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．。