随机信号分析第3版习题及答案word资料18页

1. 有四批零件，第一批有2019个零件，其中5%是次品。

第二批有500个零件，其中40%
是次品。

第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。

我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。

（1） 问所选零件为次品的概率是多少？
（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。

（2）发现次品后，它来自第二批的概率为， 2. 设随机试验X
求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。

解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+- 3. 设随机变量X 的概率密度函数为()x
f x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。

解：（1）由()1f x dx ∞
-∞
=⎰
所以1
2
a =
（2）()1()2
x
x
t
F x f t dt e dt --∞
-∞=
=⎰
⎰
所以X 的分布函数为
4.
求：（1）X 与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。

（北P181,T3） 解：（1）
（2） X 的分布律为 Y 的分布律为
（3）Z XY =的分布律为 （4）因为 则
X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。

5. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，U X Y
V X Y =+⎧⎨=-⎩。

（1） 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV f u v ；
（2） 随机变量U 与V 是否相互独立？ 解：（1）随机变量(),X Y 的联合概率密度为
由反函数 22u v x u v
y +⎧
=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，11
12
2
1122
2
J =
=--， （2）由于
, 2
22
2
4
4414u
v u v e π
+---⎛⎫⎛⎫=⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎭
所以随机变量U 与V 相互独立。

6. 已知对随机变量X 与Y ，有1EX =，3EY =，()4D X =，()16D Y =，0.5XY ρ=，
又设3U X Y =+，2V X Y =-，试求EU ，EV ，()D U ，()D V 和(,)Cov U V 。

解：首先，
又因为()(,)7E XY Cov X Y EX EY EX EY ρ=+⨯=⨯=。

于是 7. 已知随机变量X 服从[0,]a 上的均匀分布。

随机变量Y 服从[,]X a 上的均匀分布，试
求
解：（1）对[0,]x a ∈有，()2
a X
E Y X += （2）/23
(())2
24a X
a a EY E E Y X E a ++⎛⎫===
=
⎪⎝⎭
8. 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目N 服从泊松分布。

进舱后每个粒子造
成损坏的概率为p ，彼此独立。

求：造成损坏的粒子平均数目。

（北P101,T10） 解：每个粒子是否造成损坏用i X 表示 造成损坏的粒子数1
N
i
i Y X
==
∑，于是
可合理地认为N 和i X 是独立的，于是
9. 随机变量123,,X X X 彼此独立；且特征函数分别为123(),(),()x x x φφφ，求下列随机变量的
特征函数：
（1）12X X X =+； （2）123X X X X =++； （3）12323X X X X =++；
（4）1232410X X X X =+++；
解：（1）12()()()jvX
X v E e v v φφφ⎡⎤==⎣⎦
（2）同（1），123()()()()X v v v v φφφφ= （3）()
12323123()()(2)(3)jv X X X X v E e
v v v φφφφ++⎡⎤==⎣
⎦
（4）()
123241010123()(2)()(4)jv X X X jv X v E e
e v v v φφφφ+++⎡⎤==⎣
⎦
10. 随机变量X 具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。

（1）2424()0.20.30.20.20.1j v
j v j v j v v e
e e e φ--=++++；
（2）()0.30.7jv
jv
v e e
φ-=+；
（3）()4/(4)v jv φ=-； （4）()(sin5)/(5)v v v φ=；
解：（1）()()()()()()0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++
（2）()()()0.310.71f x x x δδ=-++
（3）利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布， （4）sin 512sin 5()510v v
v v v
φ=
=⨯
，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布， 11. 利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。

解：由于()f x 是宽度为b a -，高度为1b a -，中心在2
a b
+处的矩形函数。

其傅立叶变换为
12. 设有高斯随机变量2
~(,)X N μσ，试利用随机变量的矩发生特性证明：
解：特征函数为22
()exp(2)X v j v v φμσ=-，由矩发生性质，
2.1 掷一枚硬币定义一个随机过程：
设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。

试求：
（1）()X t 的一维分布函数(,12)X F x ，(,1)X F x ； （2）()X t 的二维分布函数12(,;12,1)X F x x ； （3）画出上述分布函数的图形。

2.3 解： （1）
一维分布为: 0,0(,0.5)0.5,011,1X x F
x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
二维分布函数为1111210,0011(,;0.5,1)0.5,
2121,1,2
x x x F x x x <⎧⎪≤<>⎛⎫⎛⎫⎪
=⎨ ⎪ ⎪>-≤<⎝⎭⎝⎭⎪⎪≥≥⎩
2222或x <-1
或x x x
2.2 假定二进制数据序列{B(n), n=1, 2, 3,….}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。

试问，
（1）连续4位构成的串为{1011}的概率是多少？ （2）连续4位构成的串的平均串是什么？
（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？
（4）该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？ 2.4解：
解：（1）由题已知B(n,s)是贝努里随机序列，即B(n,s)为独立的二进制随机数据序列，
利用其独立性可知所求概率为其分别概率之积，与数据是否连续并无关系，所以有：
（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1, 2, 3,…. 其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。

所以有：
串（4bit 数据）为：∑=+=
3
)(2
)(k k
k n B n X ，其矩特性为：
因为随机变量)(n B 的矩为： 均值：8.08.012.00)]([=⨯+⨯=n B E
方差：[]()(){}
2
2
222()00.210.80.8Var B n B n B n ⎡⎤=E -E =⨯+⨯-⎡⎤⎣⎦⎣⎦
所以随机变量)(n X 的矩为：
均值：128.02)]([2
)]([3
3
0=⨯=+=
∑∑==k k k k
k n B E n X E
方差：6.1316.04)]([)2
()]([3
3
2
=⨯=+=
∑∑==k k k k k n B D n X D
如果将4bit 串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：
串平均：()()()(){}
{},1,2,30.8,0.8,0.8,0.8B n B n B n B n ⎡⎤E +++=⎣⎦ 串方差：
（3）因为有P[B(n) = 0] = 0.2 ，P[B(n) = 1] = 0.8 ，P[B(n) = 1] > P[B(n) =
0]
可知出现概率最大的二进制数据为B(n) = 1 ，又由独立性可得， 概率达到最大的串为{}1,1,1,1
（4）因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列
没有任何关系。

所以如果见到1010后，下一位仍为0或1 ，而且仍然有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。

2.3 设质点运动的位置如直线过程0()X t Vt X =+，其中(1,1)V
N 与
(0,2)X N ，并彼此独立。

试问：
（1） t 时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？ （2） 它是可预测的随机信号吗？ 2.7 解：
（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布
所以它的一维概率密度函数为
:2
2()()}2(2)X x t f x t -=-+
(2) 此信号是可预测随机信号
2.4 假定（-1,+1）的伯努利序列{},1,2,...n I n =的取值具有等概特性。

试问： （1） 它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？
（2） 它是可预测的随机信号吗？ 2.8 解：
(1) ()0.5(1)0.5(1)X f x x x δδ=++- (2) 该随机信号不可预测
2.5 给定随机过程()X t 和常数a ，试以()X t 的自相关函数来表示差信号
()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。

2.10 解： 由题意可得：
2.6 两个随机信号X(t)=Asin(ωt+Θ)与Y(t)=Bcos(ωt+Θ)，其中A 与B 为未知随机变量，Θ为0～2π均匀分布随机变量，A 、B 与Θ两两统计独立，ω为常数，试问，
（1）两个随机信号的互相关函数),(21t t R XY ；
（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）与统计独立性；
题2.11 解：（1）()()()()()121212,sin sin XY R t t X t Y t A t B t ωω=E =E +Θ⨯+Θ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
[][]()()()()12121cos cos 22
A B t t t t ωω⎡⎤=E ⨯E ⨯E --++Θ⎣⎦[][]()()()(){}
12121
cos cos 22
A B t t t t ωω⎡⎤⎡⎤=E E --E ++Θ⎣⎦⎣⎦ 因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以()()1
2cos 20t
t ω⎡⎤E ++Θ=⎣⎦，
上式()[][]()()12121
,cos 2
XY R t t A B t t ω⎡⎤=
E E -⎣⎦； （2）①如果E[A]或E[B]为0，则
()12,0XY R t t =，随机信号X(t)与Y(t)正交 ； ②因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以有
如果E[A]或E[B]为0，则()()1212,,0XY XY R t t C t t ==，X(t)与Y(t)互不相
关；
如果E[A]与E[B]均不为0，则()()1212,,0XY XY R t t C t t =≠，X(t)与Y(t)相关；
综上，X(t)与Y(t)的正交性与互不相关性等价；
③因为随机信号X(t)与Y(t)中都有随机变量Θ，所以X(t)与Y(t)一般不会相互独立。

2.7 假定正弦电压信号()()cos X t A t ω=+Θ，其中，A 服从均匀分布(1,1)U -+，Θ服从均匀分布(,)U ππ-+，它们彼此独立。

如果信号施加到RC 并联电路上，求总的电流信号及其均方值。

题2.13
解：由电路原理的相关知识可知：
总电流I 为cos()sin()A
I wt ACw wt R
=
+Θ-+Θ，则 2.8 零均值高斯信号()X t 的自相关函数为12
()0.5e t t X R τ--=，求()X t 的一维和二维
概率密度。

题2.15
解：(1) 因为()0X m t =，()(0)(0)0.5X X X D t C R ===，所以一维概率密度函数为：
(2) 高斯信号X(t)的二维概率密度函数为：
12()()X t X t ⎛⎫= ⎪⎝⎭X ，t 12t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，00⎛⎫
= ⎪⎝⎭
μ，
(,)i j C t t 为协方差，则
2.9 某高斯的均值()2X m t =，协方差1212(,)8cos()X C t t t t =-，写出当10t =、
20.5t =和31t =时的三维概率密度。

题2.18
解：由定义得： 又因为 设
123()()()X t X t X t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ，t 123t t t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，222⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭μ，88cos(1/2)8cos18cos(1/2)88cos(1/2)8cos18cos(1/2)8⎛
⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
C
则
2.10 设随机变量()(),~,X Y N μC ，其中22⎛⎫= ⎪⎝⎭μ，2335⎛⎫= ⎪⎝⎭
C ，求(),X Y 的概率
密度和特征函数(),XY u v φ。

题2.19
解：因为()2E X =与()2E Y =，2,5X Y D D ==
，而ρ===。

于是，((,)~X Y N 。

则 (X ，Y)的概率密度函数为
其特征函数为
3.1 随机电压信号()U t 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：
（1）密度函数();f u t 、()1212,;,f u u t t 和()1212,,...,;,,...,k k f u u u t t t ，k 为任意整数； （2）()U t 的平稳性。

3.1解：
(1)2
(;)}4x f u t =
- (2)由于任意k 阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。

3.2 已知随机信号()X t 和()Y t 相互独立且各自平稳，证明新的随机信号
()()()Z t X t Y t =也是平稳的。

3.4解：
()X t 与()Y t 各自平稳，设X m =[()]E X t ，Y m =[()]E Y t ，()[X()X()]X R E t t ττ=+，
()[Y()Y()]Y R E t t ττ=+
Z ()[Z()][()Y()][()][()]X Y m t E t E X t t E X t E Y t m m ===⨯=，为常数 ∴()Z R τ仅与τ有关，故Z()t =()Y()X t t 也是平稳过程。

3.3 随机信号()()010sin X t t ω=+Θ，0ω为确定常数，Θ在[],ππ-上均匀分布的随机变量。

若()X t 通过平方律器件，得到2
()()Y t X t =，试求： （1）()Y t 的均值；
（2）()Y t 的相关函数；
（3）()Y t 的广义平稳性。

3.5解：(1)22
00[Y()][X ()][100sin ()]50[1cos(22)]50E t E t E t E t ωθωθ==+=-+=
∴()Z R τ仅与τ有关，且均值为常数，故Y()t 是平稳过程。

3.4 给定随机过程()()()00cos sin X t A t B t ωω=+，其中0ω是常数，A 和B 是两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为2
σ。

证明()X t 是广义平稳而不是严格
平稳的。

3.6证明：
X 00()[X()][cos()sin()]0m t E t E A t B t ωω==+=
由于均值是常数，且相关函数只与τ有关，故X()t 是广义平稳过程。

3.5 ()Y t 是广义周期平稳的实随机信号，平稳周期为100，有均值(10)20m =和相关函数(5,1)10R =，试求：
（1）[5(110)]E Y ，[10(310)50]E Y +；
（2）[(105)(101)]E Y Y ，[30(205)(201)200]E Y Y +； （3）[10(305)(301)6(210)80]E Y Y Y ++。

3.7解：
3.6 两个统计独立的平稳随机过程()X t 和()Y t ，其均值都为0，自相关函数分别为
()e X R τ
τ-=，()cos 2Y R τπτ=，试求：
（1）()()()Z t X t Y t =+的自相关函数； （2）()()()W t X t Y t =-的自相关函数；
（3）互相关函数()ZW R τ。

3.9解：
3.7 广义平稳随机过程()Y t 的自相关函数矩阵如下，试确定矩阵中带下划线的空白处元素的值。

3.12解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到：
C=2 1.30.40.91.32 1.20.80.4 1.22 1.10.90.8 1.12⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
3.8 对于两个零均值广义平稳随机过程()X t 和()Y t ，已知25X σ=，2
10Y σ=，问下
述函数可否作为自相关函数，为什么？ （1）()()()5exp 3X
R u τττ=-； （2）()()5sin 5X R ττ=；
（3）()(
)
1
2912Y R ττ
-=+； （4）()()()cos 6exp Y
R τττ=--；
（5）()()2
sin 353X R τττ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （6）()()sin 106410Y
R τττ⎡⎤
=+⎢⎥⎣⎦。

（6）()5exp()X
R ττ=-； （7）()264exp(3)Y R ττ=+-。

解：根据平稳随机信号相关函数的性质，
(1)否，非偶函数 (2)否，非偶函数 (3) 否，2(0)9Y Y
R σ=≠
(4) 否，(0)1Y R =-在原点不是非负
(5)是 (6) 是 (7) 是 (8) 是
3.9 已知随机过程()X t 和()Y t 独立且各自平稳，自相关函数为
0()2cos X R e τ
τωτ-=与2()9exp(3)Y R ττ=+-。

令随机过程()()()Z t AX t Y t =，其中A 是均值为2，方差为9的随机变量，且与()X t 和()Y t 相互独立。

求过程()Z t 的均值、方差
和自相关函数。

解：
3.10 平稳信号X(t)的功率谱密度为
（1）2
42
()32
X S ωωωω=++ （2）10
8()20(1/10),
()10
0,S ωδωωωω≤⎧+-=⎨
>⎩
求它们的自相关函数和均方值。

解：(1)
(2) 根据傅立叶变换的对称性，有:
3.11 下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式？为什么？
（1）2
sin ωω⎛⎫ ⎪
⎝⎭
（2）
2
62
33
ωωω++
（3）
2
4()1
ω
δωω-- （4）
4
62
1
j ωωω++
（5）
42
21
ω
ωω++ （6） 2
(1)e
ω--
3.21 判断的原则：实平稳信号功率谱是实的，非负的偶函数。

(1)是。

(2)是。

(3)不是，0ω=时值为负数。

(4)不是，功率谱为复数，与判断原则相悖。

(5)是。

(6)不是，因为它不是偶函数。

3.12 ()X t 是平稳随机过程，证明过程()()()Y t X t T X t =++的功率谱是 3.22
{}{}()()[()()()()]
[()()()()()()()()]
Y Y t R E X t T X t X t T X t E X t T X t T X t X t X t X t T X t T X t τττττττ=++⋅++++=+⋅+++⋅++⋅++++⋅+的相关函数：
3.13 设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为 求互谱密度()XY S ω与()YX S ω。

3.24
3.14 设随机过程1
()()n
i
i
i X t a X t ==
∑,式中i
a 是一组实常数。

而随机过程)(t X
i
为平稳
的和彼此正交的。

试证明：2
1
()()i n
X i
X i S a
S ωω==∑
3.25
3.31假定周期为T 高为A 的锯齿波脉冲串具有随机相位，如题图3.31所示，它在0t =时刻以后出现的第一个零值时刻是[0,)T 均匀分布的随机变量。

试说明()X t 的一阶密度函数为
题图3.31
3.31
4.1 随机信号()1Y t 与()2Y t 的实测样本函数如下题图4.1(a)与(b)所示，试说明它们是否均值各态历经。

（a ）
（b ）
题图4.1
解：由均值各态历经信号的物理意义：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信号的各个状态，结合题图可见：（a ）不可能是均值各态历经信号；（b ）很可能是均值各态
历经信号
4.2 随机二元传输信号如例3.16所述，试分析它的均值各态历经性。

解：由例3.16，随机二元传输信号的协方差函数为，
又根据充分条件为：()lim 0C ττ→∞
=，且 ()04C pq =<∞，因此，它是均值各态历经信号。

4.3 随机信号()X t 与()Y t 是联合广义各态历经的，试分析信号()()()Z t aX t bY t =+的各态历经性，其中a 与b 是常数。

解：由题意，均方意义下有， 因此，()Z t 是均值各态历经信号
4.4 随机过程()sin cos X t A t B t =+，式中，A 和B 为零均值随机变量。

求证()X t 是均值各态历经的，而均方值无各态历经性。

解：由题意，首先，
而2
2
2
2
2
2
2
2
2
()sin cos 2sin cos sin cos sin 2X t A t B t AB t t A t B t AB t =++=++ 显然，()[()]EX t A X t =，但2
2
()[()]EX t A X t ≠。

5.1
求题图5.1中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）。

题图5.1
解根据电路分析、信号与系统的知识，
第一个图中系统的传输函数 1/1
()1/1j C H j R j C j RC
ωωωω=
=++
第二个图中系统地传输函数 ()
21
1
1221
1/1()/11/1/j C j RC H j R j C j R C C j C R j C ωωωωωωω+=
=++++
第三个图中系统地传输函数 5.2
若平稳随机信号)(t X 的自相关函数|
|2
)(ττ-+=Be
A R X ，其中，A 和
B 都是正常
数。

又若某系统冲击响应为()()wt
h t u t te -=。

当)(t X 输入时，求该系统输出的均值。

解： 因为[]()2
2X E
X R A =∞=
所以[]E X A A =±=±。

5.3 若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于正文图5.2所示RC 电路，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且0X 与Φ彼此独立。

求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。

解：首先我们求系统的频率响应()H j ω。

根据电路分析、信号与系统的知识， 然后，计算)(t X 的均值与自相关函数，
可见)(t X 是广义平稳的。

考虑系统稳态时的解，可利用推论得出 于是，
5.4 设某积分电路输入输出之间满足以下关系
式中，T 为积分时间。

并设输入输出都是平稳过程。

求证输出功率谱密度为
（提示：()()()Y t X t h t =*，而()()()h t u t u t T =--，是矩形方波。

） 解：因为 ()()t
t T
Y t X d ττ-=⎰
所以 ()()()Y t X t h t =* ()()()h t u t u t T =--
而 ()()()
/22sin /2j t j T H j h t e dt e ωωωωω
∞
---∞
=
=
⎰
所以 ()
22
2
4sin 2T
H j ωωω
⎛⎫
⎪⎝⎭=
所以()2
()()Y X S S H j ωωω==
22
4()
sin 2
X S T ωωω⎛⎫
⎪⎝⎭
5.5 若线性时不变系统的输入信号()X t 是均值为零的平稳高斯随机信号，且自相关函数为()()X R τδτ=，输出信号为()Y t 。

试问系统()h t 要具备什么条件，才能使随机变量1()X t 与
1()Y t 互相独立。

解： 由于输入信号()X t 是均值为零的平稳高斯随机信号，所以通过线性时不变系统后()Y t 仍然是均值为零的平稳高斯随机信号，且()X t 和()Y t 是高斯联合平稳过程。

如果()1X t 与
()1Y t 相互独立，则()()11[X t Y t ](0)0XY E R ==。

而
因此，()h t 要满足()00h =。

5.6
若功率谱为5W/Hz 的平稳白噪声作用到冲击响应为
()e ()at
h t u t -=的系统上，求系统的均方值与功率谱密度。

解：由题知：()1H j j a ωω=
+，所以()()222
5
5Y S H j a ωωω==+
而输出过程的自相关函数()()1
522a j Y
Y R S e d e a
τ
ωττωωπ
∞
--∞
=
=
⎰。

于是，()()2
502Y E Y t R a
⎡⎤==
⎣⎦ 5.7
功率谱为02N 的白噪声作用到|(0)|2H =的低通网络上，网络的等效噪声带宽
为2MHz 。

若噪声输出平均功率是0.1瓦，求0N 的值。

解： 由()2
000.1N N B H =得，()
8
02
60.10.1 1.25102104
0N N B H -=
=
=⨯⨯⨯（瓦/Hz ）
5.8 已知平稳随机信号的相关函数为
（1） 2
1(1||),()10,X X R σαττα
ττα⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>
⎪⎩
（2）2||
()X X R e
αττσ-=
求它们的矩形等效带宽。

解：（1）因为()X R τ是三角函数，所以，由几何图形易知，2
eq B α
=
（2）()()222
2j X X X S R e
d ωτ
σα
ωττωα
∞
--∞
=
=+⎰
所以()()()()220
001
22044
X X X eq X X X S R B d S S ωασα
ωπ
ωσ∞
=
===⎰
6.1 复随机过程0()()j t Z t e
ω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。

求：（1）[()()]E Z t Z t τ*
+和[()()]E Z t Z t τ+；（2）信号的功率谱。

解：
(1) (2) 6.2 6.3
6.4 已知()a t 的频谱为实函数()A ω，假定ωω>∆时，()0A ω=，且满足0
ωω∆，试
比较：
（1） 0()cos a t t ω和0(12)()exp()a t j t ω的傅立叶变换。

（2） 0()sin a t t ω和0(2)()exp()j a t j t ω-的傅立叶变换。

（3） 0()cos a t t ω和0()sin a t t ω的傅立叶变换。

解：
由傅立叶变换的定义可以得到： （1）
01
()2
j t a t e ω的傅立叶变换是0()cos a t t ω的傅立叶变换的正频率部分。

（2）
0()2
j t j
a t e ω-的傅立叶变换是0()sin a t t ω的傅立叶变换的正频率部分。

（3）
0()cos a t t ω和0()sin a t t ω的傅立叶变换是希尔伯特变换对。

6.6
6.7 若零均值平稳窄高斯随机信号()X t 的功率谱密度如题图6.7
（1） 试写出此随机信号的一维概率密度函数； （2） 写出()X t 的两个正交分量的联合概率密度函数。

题图6.7
解：
(1) 零均值平稳窄带高斯信号()X t 的正交表达式为 基于功率谱计算功率得
()X t 为0均值的高斯随机信号,所以 2()
(0,)X t N σ
所以一维概率密度
(2) 又因为()X t 的功率谱关于中心频率0ω偶对称 由（6.37）得 ()0qi S ω= 即 12()[()()]0qi R E i t q t τ==
所以(),()i t q t 彼此正交，做为零均值的高斯信号也彼此独立，所以
6.8 对于窄带平稳随机过程00()()cos ()sin x t i t t q t t ωω=-，若其均值为零，功率谱密度为 式中0,P ωωω∆>>∆及都是正实常数。

试求
（1） x(t)的平均功率；
（2） i(t)的功率谱密度；
（3） 互相关函数()iq R τ或互谱密度()iq S ω； （4） i(t)与q(t)是否正交或不相关？ 解：
（1）()x t 的平均功率：
（2）()N t 是零均值平稳窄带随机信号，所以有： （3）互相关函数()iq R τ或互谱密度()iq S ω
因为()N t 是零均值平稳窄带随机信号，并且()N S ω是关于0ω偶对称，有9.3的性
质，定理可知，互谱密度()iq S ω为0，互相关函数()iq R τ也为0
（4）由()0iq R τ=，所以()i t 与()q t 任意时刻正交。

因为()i t 与()q t 是零均值的，所以()
i t 与()q t 是不相关的。

6.9 6.10
6.11 已知零均值窄带平稳噪声00()()cos ()sin X t A t t B t t ωω=-的功率谱密度如题图
6.11所示。

画出下列情况下随机过程 ()A t ，()B t 各自的功率谱密度： （1） 01ωω=
（2）02ωω=
（3） 012()/2ωωω=+
判断上述各种情况下，过程()A t ，()B t 是否互不相关。

题图6.11
解：
因为()X t 是零均值平稳窄带随机信号,所以有： 功率谱图形如下： （1）
（2） （3）
由于()X t 的功率谱不以中心频率0ω偶对称，所以互功率谱密度()BA S ω在三种情
况下都不为0, 所以 A(t),B(t)相关.
6.12
6.13 同步检波器如下题图6.13所示，输入()X t 为窄带平稳噪声，它的自相关函数为
若另一输入0()sin()Y t A t ωθ=+，其中A 为常数，θ服从(0,2)π上的均匀分布，且与()X t 独立。

求检波器输出()Z t 的平均功率。

题图6.13
解：
由题意知
所以()]Y t 也是平稳的.
设 ()()()M t X t Y t = 由于(),()X t Y t 独立, 不难得:
所以经过低通滤波器LPF 后，由于 其中高频成分：
2201cos 24
X A e βτ
σωτ- 被滤掉，所以 所以()Z t 的平均功率 7.1
[]A A ,
-的双极性二进制传输信号{}(),0U t t ≥的码元符号概率为[],q p 。

将)
(t U 送入码元幅度取样累加器，累加器输出为{}(),1,2Y n n =，简记为n Y 。

试求：
（1）画出()Y n 的状态图；
（2）)(n Y 的状态概率)(n k π和[]0≥n Y P ，假定初始分布为等概的； （3）)(n Y 状态转移概率),(n m p ij 和[]
4,3,13108115====Y Y Y Y P 。

解
（1）
将U(t)送入码元幅度取样累加器，则相当于
（2） （3） 7.2
设{}()1X n n ≥，是相互独立随机变量序列，令：∑==
n
i p
i X
n Y 1
)()(，p 是任意的整
数，试证明：随机序列)(n Y 是马氏链。

解
令'
()()p
X i X i =则与7.1一样，所以()Y n 是马氏链
7.3 微小粒子在相距d 2的反射板之间做随机游动。

粒子的初始位置在中线0位置上，每隔T 时间粒子游动一步，每步跨距为d 。

随机游动在第n 步后的质点位置记为
{}(),0,1,...X n n =，状态为(,0,)d d -+，设)(n X 的状态转移概率矩阵为：
试求：（1）随机游动的状态图；（2）最可能的样本波形（设(0)0X =）；（3）求)(n X 的极限分布和平稳分布。

解
（1） 自己画 （2）
最可能的波形，即是说按转移概率最大的状态进行转移。

设(0)0X =，则 （3）
2,1,0.4332,0.3641,0.2028)
n
i i=1P p =∑计算得每个元素大于0，所以该马尔可夫链遍历，平稳分布与极限分布相等利用VP=V,与解出V=(
7.4
在差分编码系统中，将输入的二进制(0,1)数据序列{}(),1,2,...a n n =进行差分编码，
输出为序列{}(),0,1,...X n n =，讨论输出)(n X 的状态分类。

其中编码规则为
)1()()(-⊕=n X n a n X 与(0)0X =。

解
()0,()1,000,011,110,a n p a n q ==⊕=⊕=⊕=设的概率为的概率为则不难画出状
态转移图
7.5 若明日是否降雨仅与今日是否有雨有关，而与以往的天气无关，并设今有雨而明日有雨的概率为0.7；今日无雨明日有雨的概率为0.2，设)0(X 表示今日的天气状态，)(n X 表示第n 日的天气状态。

“1)(=n X ”表示第n 日有雨；“0)(=n X ” 表示第n 日无雨。

)(n X 是一个齐次马氏链。

（1） 写出()X n 的状态转移概率矩阵
（2） 求今日有雨而后第2日仍有雨的概率 （3） 求有雨的平稳概率
解 （1） （2） （3） 7.6
独立增量随机信号()Y t 的增量信号为)(t X ，对于时刻编序
............0210<<<<<=k t t t t ，0)(),()()(01=-=-t Y t Y t Y t X k k k ，若增量信号的一阶
特征函数为);(k X t v φ。

试求：（1）1(;)Y v t φ与3(;)Y v t φ；（2）),;,(2121t t v v Y φ与
),,;,,(321321t t t v v v Y φ。

解 （1）
(2) 求),;,(2121t t v v Y φ与),,;,,(321321t t t v v v Y φ。

7.7
某电话交换台在],0[t 时间（单位：min ）内转接的电话呼叫次数为)(t N ，其平均
呼叫次数为3
1
=
λ次/min ，试求： （4） 15分钟内电话呼叫次数为k 次的概率，k 分别为3和5； （5） 概率]20)10([],10)5([==N P N P ；
（6） 20=t 时的平均呼叫次数与呼叫次数的方差。

解：（1） 7.8
某二极管发射电子到阳极的平均发射率为10λ=，到达阳极的电子数为)(t N ，试求： （1） 转移概率2,3(0.1,0.8)p 与20,25(3,5)p 。

解: (1) 7.9
某器件中载流子到达集电极的数目服从泊松统计规律，其平均变化率为6
10=λ，载
流子在t 时刻到达集电极形成的电流冲击响应为：
试求：
（1） 集电极电流（散弹噪声）表达式)(t i （2） [()]E i t 与2
[()]E i t 。

解：（1）集电极电流为：。