椭圆的参数方程(2)
沪教版高二学案——专题2.2(2)椭圆的参数方程
2.2（2）椭圆的参数方程一．填空1.椭圆的标准方程: 22221x y a b +=的一个参数方程为：______________________;2.已知椭圆的参数方程2cos 4sin x t y t =⎧⎨=⎩（ t 为参数），点M 、N 在椭圆上，对应参数分别为3π，6π，则直线MN 的斜率为_________ 3.圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝－3＋4sin θ(0≤θ<2π)，若圆上一点P 对应参数θ＝43π，则P 点的坐标是________．4.在平面直角坐标系xOy 中,若直线l: x t y t a =⎧⎨=-⎩ (t 为参数)过椭圆C: 3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ (φ为参数)的右顶点,则常数a 的值为 5.设22y t =，则将直线x+y -1=0用参数 t 表示的一个参数方程是______________; 6.动点P(x,y)在曲线22y 1169x +=上变化 ，则3x+4y 的最大值为__________ 二.选择7.点P (x ，y )在椭圆x －224＋(y －1)2＝1上，则x ＋y 的最大值为( ) A ． 3＋ 5 B ．5＋ 5 C ．5 D ．68.过点(3，－2)且与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)有相同焦点的椭圆方程是( ) A.x 215＋y 210＝1 B.x 2152＋y 2102＝1 C.x 210＋y 215＝1 D.x 2102＋y 2152＝1一．解答9.已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x (θ为参数)求 （1）6πθ=时对应的点P 的坐标 （2）直线OP 的倾斜角10.已知直线L 的参数方程为1212x t y t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，设直线L 与曲线C 交于两点,A B（1（2）设P 为曲线C 上的一点，当ABP ∆的面积取最大值时，求点P 的坐标．。
椭圆的参数方程2
有一内接矩形ABCD，
y
D
求矩形ABCD的最大面积
B2
A
A1
F1
C
O B1
B
F2
A2 X
x2 y 2 例4 在椭圆 1 上, 到直线 l : 3x 2 y 16 0 4 7
最短距离是
8 13 13
.
x 2 cos ( 是 练习：已知椭圆的参数方程为 y sin
椭圆的参数方程
.
复习
圆的参数方程
1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:
x r cos (为参数） y r sin
2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:
x a r cos (为参数） y b r sin
讲授新课 椭圆的参数方程：
(D)
2b
b 4
2
课堂小结： 椭圆的参数方程
椭圆的标准方程： x 2 y 2 2 1 2 a b 椭圆的参数方程：
x y 2 1 2 b a
2 2
x a cos y b sin
x b cos y a sin
在椭圆的参数方程中，常数a、 b分别是椭圆 的长半轴长和短半 轴长. a>b
x2 例３ 点P在椭圆 y 2 1 上运动，直线x+2y4
2=0交椭圆于点A、B，问P处于何处时，P到直线
的距离最大？
y
A P B O x
例3
已知椭圆 ，点P(x,y)是椭圆 上一点， ⑴求x2＋y2的最大值与最小值； ⑵求3x＋5y的范围；⑶若四边形ABCD内接于 椭圆，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4， 求四边形ABCD的最大面积。 ⑴方法一（参数法） 方法二（消元法）要注意元的范围22 ⑵参数法，化归法（转化为直线与椭圆有交 点，从而消元所得的一元二次方程的Δ≥0 ⑶ 关键：求出B、D到直线AC的最大距离.
双曲线相关公式总结大全
双曲线相关公式总结大全双曲线是一种数学曲线,与椭圆和抛物线类似,双曲线也是由参数方程描述的。
以下是双曲线的一些常见公式和参数方程:1. 椭圆参数方程:a =b * sqrt(5),c = b * sqrt(5), e = c / sqrt(a^2 + b^2)2. 抛物线参数方程:a =b * sqrt(3),c = b * sqrt(3), e = c / sqrt(a^2 + b^2)3. 双曲线的一般参数方程:x = a * sin(t), y = b * cos(t), t = (x^2 + y^2) / (2 * b^2)4. 双曲线的切线公式:y - y1 = y2 - y3,其中y1, y2, y3是双曲线上的点。
5. 双曲线的离心率公式:e = c / a,其中a, b是双曲线的参数。
6. 双曲线的向量参数方程:x = a * cos(t), y = b * sin(t), v = (x^2 + y^2) / (2 * b^2)7. 双曲线的切线向量公式:y - y1 = y2 - y3,其中y1, y2, y3是双曲线上的点。
这些公式只是双曲线的一小部分,实际上还有许多其他的公式和参数方程可以用来描述双曲线。
了解这些公式可以帮助我们更好地理解双曲线的性质和应用。
拓展:1. 双曲线的对称性:双曲线有两个对称轴,即x轴和y轴。
在对称轴的两侧,双曲线具有相同的形状。
2. 双曲线的渐近线:双曲线的渐近线是双曲线上的一条直线,它的斜率等于双曲线的离心率。
3. 双曲线的极值:双曲线有许多可能的极值,包括最大值和最小值。
极值点通常也是双曲线的对称轴的交点。
4. 双曲线的离心率公式的应用:在工程和科学领域,双曲线的离心率公式可以用来计算双曲线的极值、形状、对称性等。
双曲线是一种非常重要的数学曲线,它的参数方程和性质可以用来描述许多物理和工程问题。
了解双曲线的公式和参数方程,可以帮助我们更好地理解和应用双曲线。
椭圆的参数方程(2)
cos sin 1 相比较而得到，所以椭圆的参数方程
探究：P29
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的 金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B它们可以分 别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一 周就画出一个椭圆。 你能说明它的构造原理吗？ 提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程。
y M B A
A，B，M三点固定，设 |AM|=a，|BM|=b， MBx 。
M 0
B A
x
设M(x,y)则x=acos ,y=bsin , 所以M点的轨迹为椭圆。
练习、1、把下列参数方程化为普通方程，普通方程 化为参数方程（口答）
x 3cos , （1） y 5sin .
点P在椭圆上移动，求|PA|的最小值及此时
点P的坐标.
思考：P30
x2 y 2 1 与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数x，y满足 25 16 的前提下，求出z=x-2y的最大值和最小值吗？
由此可以提出哪些类似的问题？
小结
x2 y 2 椭圆 2 2 （a>b>0） 的参数方程为： 1 a b
x y 例4 求椭圆 1的参数方程。 9 4 (1)设x=3cos，为参数； (2)设y=2t，t为参数.
解：（1）把x=3cos代入椭圆方程，得到
9cos 2 y 2 1, 9 4
2
2
所以
y2 4(1 cos2 ) 4sin 2 ,
即
x2 y 2 由参数的任意性，可取 y 2sin 。所以，椭圆 1的参数方程是 9 4 x 3cos (为参数) y 2sin
椭圆公式大全
椭圆公式大全椭圆是一种平面曲线，它的定义是平面上所有满足“从一个固定点（称为焦点）出发的两条线段之和等于一个常数（大于这个焦点的距离）”的点的集合。
以下是椭圆的一些基本公式：1.椭圆的标准方程●当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为：x²/a²+ y²/b²= 1（其中a > b > 0）。
●当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为：y²/a²+ x²/b²= 1（其中a > b > 0）。
2.椭圆的焦点距离公式●焦距c满足关系：c²= a²- b²。
其中a是椭圆的长半轴，b是短半轴，c是焦点到椭圆中心的距离。
3.椭圆的离心率公式●离心率e定义为：e = c/a。
其中c是焦点到椭圆中心的距离，a是椭圆的长半轴。
离心率e的值总是在0和1之间，e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆。
4.椭圆的周长公式●椭圆的周长（或称为椭圆的圆周）没有简单的精确公式，但可以用近似公式来表示，如：C ≈π√(a²+ b²)。
5.椭圆的面积公式●椭圆的面积S可以表示为：S = πab。
其中a是椭圆的长半轴，b是短半轴。
6.椭圆的参数方程●当焦点在x轴上时，参数方程为：x = a·cos(t), y = b·sin(t)，其中t是参数。
●当焦点在y轴上时，参数方程为：x = a·sin(t), y = b·cos(t)，其中t是参数。
以上为椭圆的相关公式，供参考。
高二椭圆知识点总结
高二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。
1.2 椭圆的几何性质椭圆有如下几何性质：（1）椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。
（2）椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。
（3）椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。
1.3 椭圆和圆的关系可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。
这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。
二、椭圆的方程和性质2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
2.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2.3 椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。
椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。
在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。
2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。
三、椭圆的相关计算3.1 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：S = πab其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。
3.2 椭圆的周长椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：L = 4aE(e)其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。
3.3 椭圆方程的化简对于一些复杂的椭圆方程，我们可以通过一些方法对椭圆方程进行化简，使得问题的求解变得更加简单。
椭圆方程参数方程
椭圆方程参数方程1. 引言椭圆是数学中的一种曲线，具有特殊的几何性质和参数方程。
本文将介绍椭圆方程的参数方程以及相关的几何性质和应用。
2. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
称F1和F2为椭圆的焦点，a为椭圆的半长轴。
椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cosθy = b*sinθ其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
3. 椭圆的几何性质椭圆具有许多特殊的几何性质。
首先，椭圆的离心率e满足0 < e < 1，即椭圆是一个凸曲线。
其次，椭圆的焦距等于2a*e，其中e 为离心率。
此外，椭圆的面积可以表示为πab，其中π为圆周率。
椭圆还具有对称性，即关于x轴和y轴对称。
4. 椭圆的参数方程的应用椭圆的参数方程在实际应用中有广泛的应用。
例如，在天文学中，椭圆的参数方程可以用来描述行星绕太阳公转的轨道。
在物理学中，椭圆的参数方程可以用来描述电子在磁场中的运动轨迹。
在工程学中，椭圆的参数方程可以用来设计椭圆形的建筑物或物体。
5. 椭圆的相关公式除了参数方程之外，椭圆还有一些重要的公式。
椭圆的离心率e可以通过以下公式计算：e = √(1 - (b^2/a^2))其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
6. 椭圆的应用举例椭圆的参数方程在实际生活中有许多应用。
例如，在地理学中，椭圆的参数方程可以用来描述地球的形状。
在航天工程中，椭圆的参数方程可以用来计算卫星的轨道。
在电子工程中，椭圆的参数方程可以用来设计天线的形状。
7. 总结通过本文的介绍，我们了解了椭圆方程的参数方程及其几何性质和应用。
椭圆是一种具有特殊几何性质的曲线，可以通过参数方程来描述。
椭圆的参数方程在科学和工程领域中有广泛的应用，可以用来描述天体运动、轨道设计以及物体形状等。
掌握椭圆方程的参数方程，对于深入理解椭圆的性质和应用具有重要意义。
2.3.1椭圆的参数方程 (2)
数方程中参数 的几何意义做铺垫。
第二：探求椭圆的参数方程及椭圆规的构造椭原圆的理参。数学方程.gsp
生借助复习已充分进入教学情景，为自主探究打下了心 理基础: （1） 给出问题 （2） 以圆的参数作为参照，想方设法寻找椭圆的参数： ▲ 让学生动手作图
三、教学模式介绍
本课我采用“生成性教学模式”进行授课。 “生成性教学模式”，其教学策略倾向于建构主义学习 的理论观点，认为学生是认知的主体，是知识意义的主动 建构者，教师对教学意义的生成起帮助者和促进者的作用。 在教学过程中，学生通过与教师、学习材料的交流互 动，实现知识意义的获得及自我主体的建构，并让教师和 学习材料也进入一个新境界。
第五：归纳小结。学生小结，师生共同归纳、整理本课 主要内容：
（1）探究了椭圆的参数方程； （2）应用椭圆的参数方程解决相关的问题。
第六：布置作业。 （1）探究焦点在y轴上的椭圆的参数方程。 （2）完成课本第29页的思考。
六、教学评价
（1）整个设计依据了生成性教学模式，符合学生的认 知规律。 （2）用探究的活动形式突破了难点。 （3）教师以引路人的身份，引导学生去探究问题发生 发展的过程，把主体地位留给学生。 （4）学生积极主动地参与探究问题的情景中。
的几何意义，与 进行区别。
（6）通过探究椭圆规的构造原理，更深入理解椭圆参数 的引入意义。
第三：椭圆参数方程的应用。一例一练，例为课
本例题，稍作变式，再要求学生求最大值，进一步加 强学生解答此类问题的能力。并引导学生回顾“圆锥 曲线”求解这种问题的方法，即几何法，调出大致图 形，一来，让学生比较参数法和几何法的各自优缺点， 体会参数法的优越性；二来也培养学生从多个角度认 识问题的意识和习惯。而练习题的选取，主要考虑到 异中求同，异是用不同题目考察学生对椭圆的参数方 程的应用能力；同就是本练习题与例题具有一定的一 致性， 即有关椭圆的最值问题，如果用椭圆的参数方
椭圆的参数方程和极坐标方程
椭圆的参数方程和极坐标方程
参数方程：
椭圆的参数方程可以表示为：
x = a * cos(t)
y = b * sin(t)
其中，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度，t是参数，范围一般取[0, 2π)。
参数方程描述了椭圆上每个点的坐标，通过不同的参数值t，可以得到椭圆上的所有点。
极坐标方程：
椭圆的极坐标方程可以表示为：
r = (a * b) / sqrt((b * cos(theta))^2 + (a * sin(theta))^2)
其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴长度，r是点到原点的距离，θ是点
的极角。
极坐标方程描述了椭圆上每个点的极坐标，通过不同的极角θ，可以得到椭圆上的所有点。
一般椭圆参数方程
一般椭圆参数方程
椭圆方程的一般式为：ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0。
椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。
椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。
设椭圆的两个焦点分别为f1，f2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到f1，f2的距离和为2a（2a\ue2c）。
椭圆的标准方程共分两种情况：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a\ueb\ue0)；
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程就是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a\ueb\ue0)；
其中a^2-c^2=b^2。
推论：pf1+pf2\uef1f2(p为椭圆上的点 f为焦点)。
参数方程椭圆
参数方程椭圆一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。
定点F1和F2称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度称为椭圆的长轴，长轴中点O称为椭圆的中心，线段AB垂直于长轴且过中心O，长度为2b，则b被称为短轴。
二、参数方程参数方程是用参数表示自变量和因变量之间关系的方程。
对于椭圆而言，其参数方程可以表示为：x=a*cos(t)y=b*sin(t)其中t是参数。
三、如何绘制椭圆可以使用计算机软件或者手工绘制来完成。
手工绘制需要画出长轴和短轴，并且确定焦点位置。
然后按照参数方程依次取不同t值时对应的x,y坐标进行描点，并将这些点依次连接起来即可得到整个椭圆形状。
四、参数方程与直角坐标系下方程之间的转换在直角坐标系下，椭圆可以表示为：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1通过代入cos(t)和sin(t)得到：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=cos^2(t)+sin^2(t)=1因此，参数方程和直角坐标系下的方程是等价的。
五、参数a和b的含义a和b分别代表椭圆长轴和短轴的长度。
在参数方程中，当t取0时，x=a；当t取π/2时，y=b。
因此，a和b可以用来确定椭圆的大小。
六、参数方程椭圆的性质1. 椭圆是对称图形，关于x轴、y轴以及原点对称。
2. 椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于常数2a。
3. 椭圆上任意一点到长轴中心O的距离与到短轴中心O'（O'为长轴与短轴交点）的距离之和等于常数2a，即PF1+PF2=2a=PQ+PQ'。
4. 椭圆面积为πab。
5. 椭圆周长无法用初等函数表示。
七、应用参数方程椭圆在数学以及物理学等领域有广泛应用。
例如，在天文学中，行星运动可以用椭圆来描述；在工程设计中，椭圆形状的物体可以减小空气阻力，提高速度；在艺术领域中，椭圆形状也常被用来表现某些特定的情感或者意境。
椭圆的参数方程
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y 2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
2
B
)
方程为__________ __________ ?
解：方程x 2 y 2 4 x cos 2 y sin 3 cos2 0 可以化为( x 2 cos ) ( y sin ) 1
2 2
所以圆心的参数方程为 {
x 2 cos y sin
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2
y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是 （
3 2
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
a ,0
(
）,(0,
c,0)
b)
（
b ,0
）,(0,
(0,
c)
a)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a,b,c关系 离 心 率
a2=b2+c2
c e a
问题、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
(完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总结
完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总结概述椭圆是一种重要的几何图形，具有许多应用。
在数学中，椭圆可以通过参数方程和极坐标方程进行描述和表示。
本文将详细介绍椭圆的参数方程和极坐标方程，包括定义、推导以及应用等方面。
参数方程定义椭圆的参数方程通常由两个参数表示，分别是水平方向的参数t和垂直方向的参数u。
以坐标点(x,y)表示的椭圆上的任意一点，其参数方程可以用如下形式表示：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
参数方程推导为了推导出椭圆的参数方程，我们可以从椭圆的标准方程出发，即：x - h)^2 / a^2) + ((y - k)^2 / b^2) = 1其中，(h,k)表示椭圆的中心点坐标。
我们可以通过引入参数u，将标准方程中的变量x和y表示为：x = a * cos(u)y = b * sin(u)通过将x和y的表达式代入标准方程中，可以得到：a * cos(u) - h)^2 / a^2) + ((b * sin(u) - k)^2 / b^2) = 1进一步整理可得：cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = 1因为`(cos(u))^2 + (sin(u))^2 = 1`，上式化简为：cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = (cos(u))^2 / a^2 + ((sin(u))^2 /b^2) * (a^2 / b^2) = 1比较原式与化简式，可得：a^2 = 1b^2 = a^2 / b^2由此，我们得到了椭圆的参数方程。
极坐标方程定义椭圆的极坐标方程由一个参数θ表示，以坐标点(r,θ)表示的椭圆上的任意一点，其极坐标方程可以用如下形式表示：r(θ) = a * b / sqrt((b * cos(θ))^2 + (a * sin(θ))^2)其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
椭圆的参数方程(2)
[小问题· 大思维] y2 x2 1．中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆a2＋b2＝1 的参数方程是什 么？
sin φ＋1 则 MB1 的方程：y＋1＝ 2cos φ · x， MB 2cos φ 令 y＝0，则 x＝ ， 2cos φ x， 2
2cos φ ∴|OQ|＝1－sin φ. 2cos φ 2cos φ ∴|OP|· |OQ|＝1＋sin φ×1－sin φ＝4.
[精讲详析]
本题考查椭圆的参数方程的求法及应用． 解答本
题需要先确定 B1、B2 两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出 M 点的坐标，然后用参数表示出|OP|· |OQ|即可． 设 M(2cos φ，sin φ)，φ 为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)．
2cos φ 即|OP|＝1＋sin φ.
C1 的 参 数 方 程 是
(φ 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 ρ＝2.正方形 ABCD 的 顶点都在 C1 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极 π 坐标为(2， 3 )．
(1)求点 A，B，C，D 的直角坐标； (2)设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2 的取 值范围．
[通一类] x2 y2 1．已知实数 x，y 满足25＋16＝1，求目标函数 z＝x－2y 的最大 值与最小值．
x＝5cos φ， x2 y2 解：椭圆25＋16＝1 的参数方程为 (φ 为参数)． y＝4sin φ
椭圆的参数方程 (2)
椭圆的参数方程介绍椭圆是数学中一种重要的曲线，具有许多有趣和实际应用。
在本文档中，我们将讨论椭圆的参数方程，并探讨如何使用这些参数方程来描述和绘制椭圆。
参数方程的定义椭圆的参数方程是指将椭圆上的每一个点的坐标都用一个参数表示出来的方程。
当然，我们也可以使用直角坐标系下的方程来描述椭圆，但是参数方程更加灵活和方便。
椭圆的参数方程通常由以下两个参数表示：•a：椭圆的长轴长度的一半；•b：椭圆的短轴长度的一半。
参数方程的公式椭圆的参数方程的基本形式如下：x = a * cos(t)y = b * sin(t)在这里，参数t表示椭圆上的一个点的位置，取值范围一般是[0, 2π]或[-π, π]。
通过改变参数t的取值，我们可以得到椭圆上的所有点的坐标。
示例为了更好地理解椭圆的参数方程，我们通过一个具体的示例来展示如何求得椭圆上的点坐标。
假设我们有一个椭圆，长轴长度为6，短轴长度为4。
我们可以代入参数方程中的公式，得到椭圆上的点坐标。
让我们令a = 6，b = 4。
首先，我们取一些不同的t值，例如0，π/4，π/2，3π/4，π，并代入公式计算对应的点坐标：t = 0: (x, y) = (6 * cos(0), 4 * sin(0)) = (6, 0)t = π/4: (x, y) = (6 * cos(π/4), 4 * sin(π/4)) = (4.243, 2.829)t = π/2: (x, y) = (6 * cos(π/2), 4 * sin(π/2)) = (0, 4)t = 3π/4: (x, y) = (6 * cos(3π/4), 4 * sin(3π/4)) = (-4.243, 2.829)t = π: (x, y) = (6 * cos(π), 4 * sin(π)) = (-6, 0)通过以上计算，我们得到了椭圆上的五个点的坐标。
绘制椭圆使用参数方程可以方便地绘制椭圆。
我们可以在绘图软件或编程语言中使用这些参数方程来绘制椭圆。
圆和椭圆的参数方程
圆和椭圆的参数方程圆和椭圆是数学中常见的几何图形，它们可以用参数方程来表示。
在本文中，我将详细介绍圆和椭圆的参数方程，并且按照分层次的优美排版方式进行分段分标题输出。
一、圆的参数方程1. 圆的定义圆是平面上所有到一个固定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆的参数方程假设圆心坐标为（h，k），半径为r，则可以使用以下参数方程来表示一个圆：x = h + r * cos(θ)y = k + r * sin(θ)其中，θ是从0到2π范围内变化的角度。
3. 参数方程解释- x = h + r * cos(θ) 表示x坐标值随着角度θ变化而变化，通过cos函数来确定具体位置。
- y = k + r * sin(θ) 表示y坐标值随着角度θ变化而变化，通过sin 函数来确定具体位置。
- h 和 k 是圆心的坐标，r 是半径。
二、椭圆的参数方程1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和等于常数（长轴）的点的集合。
2. 椭圆的参数方程假设焦点坐标分别为（h，k±c），长轴为2a，短轴为2b，则可以使用以下参数方程来表示一个椭圆：x = h + a * cos(θ)y = k + b * sin(θ)其中，θ是从0到2π范围内变化的角度。
3. 参数方程解释- x = h + a * cos(θ) 表示x坐标值随着角度θ变化而变化，通过cos函数来确定具体位置。
- y = k + b * sin(θ) 表示y坐标值随着角度θ变化而变化，通过sin 函数来确定具体位置。
- h 和 k 是椭圆中心的坐标，a 是长半轴长度的一半，b 是短半轴长度的一半。
三、圆和椭圆参数方程的应用1. 绘制图形使用参数方程可以方便地绘制出圆和椭圆的图形。
通过给定不同的参数值，可以绘制出不同大小、位置和形状的圆和椭圆。
2. 计算点坐标通过给定角度θ，可以计算出对应于该角度的点在圆或椭圆上的坐标。
这在进行数学计算和几何分析时非常有用。
做椭圆运动的表达式
做椭圆运动的表达式
椭圆的运动可以通过参数方程来表达。
一个简单的椭圆的参数方程如下：
x = a * cos(t)
y = b * sin(t)
其中，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度，t是参数，它的取值范围通常是0到2Π。
通过改变参数t的值，可以得
到椭圆上的所有点的坐标。
对于一个做椭圆运动的物体，可以使用类似的参数方程来描述其运动轨迹，其中物体的位置可以通过替换x和y的变量来表示，如下所示：
x(t) = a * cos(t)
y(t) = b * sin(t)
这个参数方程可以用来描述一个物体在椭圆轨道上的位置，其中x(t)和y(t)分别是物体在x和y轴上的坐标，t是表示时间的
参数。
这种参数方程的好处是可以通过改变参数t的值来模拟物体在
椭圆轨道上的运动，例如改变椭圆的长短轴长度可以改变物体的轨道形状，改变t的值可以改变物体在轨道上的位置。
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x a cos (为参数) y b sin
（acos ,bsin）
θ
说明：
⑴ 这里参数 叫做椭圆的离心角. 椭圆上点M的离心角与直线OM的倾斜角θ 不同：
b tan tan ; a
x2 y2 ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 2 2 1 与三角恒等式 a b 2 2
y 2sin 。
椭圆参数方程
以原点为圆心，分 别以a，b为半径作圆。 过o的射线交大、小圆 于A、B，又过A、B 分别作y、x轴的平行线 相交于M(x，y) ，根据 三角函数的定义 a b
y A
B
o
•
M x
x a cos (为参数) y b sin
思考：P27，28
则此曲线是(
)
A 椭圆 C 线段
B 椭圆的一部分 D 直线
的离心率、准线方程
x cos , 4、(1)求出曲线 1 y 2 sin .
（2）若曲线上有一点P（x,y）则求出3x+4y的 取值范围. 注意焦点位置
5、已知点A（1，0），椭圆
x 2 y 1 4
2
x y 例4 求椭圆 1的参数方程。 9 4 (1)设x=3cos，为参数； (2)设y=2t，t为参数.
解：（1）把x=3cos代入椭圆方程，得到
9cos 2 y 2 1, 9 4
2
2
所以
y2 4(1 cos2 ) 4sin 2 ,
即
x2 y 2 由参数的任意性，可取 y 2sin 。所以，椭圆 1的参数方程是 9 4 x 3cos (为参数) y 2sin
类比圆的参数方程中参数的意义， 椭圆的参数方程中参数的意义是什么？ 与圆的参数方程的参数类似吗？
这是中心在原点O，焦点 圆： 为点M的旋转角； 在x轴上的椭圆的参数方程。 椭圆： 为点M的离心角。
x2 y 2 椭圆 2 2 （a>b>0） 的参数方程为： 1 a b
通常规定 [o, 2 )
x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离。
Y
2
2
y
B2
A1
F1
O B1
F2
A2 X X
分别用两种方法做： 1、直接用普通方程求解； 2、用参数方程求解，体会参数方程的作用。
练习
x cos 2 , ( 为参数 ), 3. 线的参数方程 曲 2 y sin .
y M B A
A，B，M三点固定，设 |AM|=a，|BM|=b， MBx 。
M 0
B A
x
设M(x,y)则x=acos ,y=bsin , 所以M点的轨迹为椭圆。
练习、1、把下列参数方程化为普通方程，普通方程 化为参数方程（口答）
x 3cos , （1） y 5sin .
点P在椭圆上移动，求|PA|的最小值及此时
点P的坐标.
思考：P30
x2 y 2 1 与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数x，y满足 25 16 的前提下，求出z=x-2y的最大值和最小值吗？
由此可以提出哪些类似的问题？
小结
x2 y 2 椭圆 2 2 （a>b>0） 的参数方程为： 1 a b
的实质是三角代换.
cos sin 1 相比较而得到，所以椭圆的参数方程
探究：P29
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的 金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B它们可以分 别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一 周就画出一个椭圆。 你能说明它的构造原理吗？ 提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程。
x a cos (为参数) y b sin
θ
（acos ,bsin）
说明：
⑴ 这里参数 叫做椭圆的离心角. b tan tan ; 椭圆上点M的离心角与直线OM的倾斜角θ 不同： a
x2 y2 ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 2 2 1 与三角恒等式 a b 2 2
x 8cos , （2） y 6sin .
2
x y （3） 1 4 9
2
（4） x
y
2
16
1
x 2 3 cos , 2.曲线 (为参数)的焦距是 y 3 2 sin .
。
x y 例1、在椭圆 1 上求一点M，使M到直线 9 4
cos sin 1 相比较而得到，所以椭圆的参数方程
的实质是三角代换.