和差化积积化和差万能公式精编版
和差化积与积化和差公式、万能公式(数学技巧点拨系列)讲义(教师版)
和差化积与积化和差公式、万能公式【知识点讲解】1、积化和差公式cos α·cos β＝12[]cosα＋β＋cosα－β；sin α·sin β＝－12[]cosα＋β－cosα－β；sin α·cos β＝12[]sinα＋β＋sinα－β；cos α·sin β＝12[]sinα＋β－sinα－β．2、和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cosα－β2；sin α－sin β＝2cos α＋β2sinα－β2；cos α＋cos β＝2cos α＋β2cosα－β2；cos α－cos β＝－2sin α＋β2sinα－β2．3、万能公式sin α＝2tanα21＋tan2α2；cos α＝1－tan2α21＋tan2α2；tan α＝2tanα21－tan2α2．4、解题导语使用这类公式时首先要确保公式记忆正确，其实在记忆时记住关键结构再比较各种公式的不同即可有效记忆。
同时，在实际应用中要考虑两角和、两角差是否为一个特殊值再进行使用，不要盲目使用！【例题讲解】【例1】已知cos cos cos 1cos cos αβθαβ-=-.求证：222tan tan cot 222θαβ=.【分析】由21cos 1s a o t c n 2θθθ-+=，结合万能公式化简可得结果.【详解】2cos cos 11cos 1cos cos cos cos 1cos 11cos c n os ta 2αβθαβαβθβθα----+-==-+()()()()221cos 1cos tan cot 1cos 1cos 22αβαβαβ-+==+-. 【跟踪训练1】已知6tan 2αβ+=13tan tan 7αβ=，求()cos αβ-的值．【答案】23【分析】先用万能公式求出()cos αβ+的值，再根据13tan tan 7αβ=得出7sin sin 13cos cos 0αβαβ-=，最后联立可求得答案.【详解】()2222611tan12cos 561tan 12αβαβαβ+--⎝⎭+===-+++⎝⎭，则有1cos cos sin sin 5αβαβ-=-①， 又已知sin sin 13cos cos 7αβαβ⋅=，从而有7sin sin 13cos cos 0αβαβ-=②．联立①②可得cos cos 730αβ=，13sin sin 30αβ=． ∴()2cos cos cos sin sin 3αβαβαβ-=+=．【例2】计算：(1)cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°； (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 【答案】(1)12 (2)14【分析】（1）利用和差化积公式计算；（2）利用积化和差公式计算. 【解析】(1)原式＝cos 20°＋12＋(cos 100°＋cos 140°) ＝cos 20°＋12＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋12－cos 20°＝12. (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°)＝14－12sin 50°＋12cos 40°＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14.【跟踪训练2】利用和差化积公式，求下列各式的值： (1)sin15sin105︒+︒； (2)sin20sin40sin80︒+︒-︒； (3)cos40cos60cos80cos160︒+︒+︒+︒． 【答案】62(2)0； (3)12. 【分析】(1)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算得解. (2)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答. (3)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答. 【解析】(1)1510515105326sin15sin1052sincos 2sin 60cos(45)22222+-︒+︒==-=⨯=(2)sin20sin40sin802sin30cos10cos10cos10cos100︒+︒-︒=-=-=. (3)1cos40cos60cos80cos160(cos40cos80)cos202︒+︒+︒+︒=︒+︒+-︒1112cos60cos20cos20cos20cos20222=︒︒+-︒=︒+-︒=.【对点训练】一、单选题1．已知[0,],,44ππαπβ⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦，且33cos 0,22sin cos 02πααλβββλ⎛⎫--=---= ⎪⎝⎭，若4cos 5α=，则tan β=（ ）A ．12 B ．13C 3D ．3【答案】A【详解】[0α∈，]π，[,]44ππβ∈-，且3cos 0ααλ--=，设3()cos f x x x λ=--，则2()3sin 0f x xα'=+，故函数()f x 在[0，]π上单调递增，且α是()f x 的一个零点．3(2)2sin cos02πβββλ---=，即3(2)cos(2)022ππββλ----=．根据2[02πβ-∈，]π，故22πβ-也是()f x的一个零点，22παβ∴=-，cos cos(22παβ∴=-2222sin cos2tan4)sin2sin cos tan15βββββββ====++，1tan2β∴=，或tan2β=（舍去），2．若tan3α=，则sin2α=（）A．35B．35C．34-D．34【答案】A【详解】222222222sin cos2sin cos2tan233cossin22sin cossin cossin cos tan1315cosααααααααααααααα⨯======++++.3．已知角θ的大小如图所示，则1sin2cos2θθ+=（）A．5-B．5C．15-D．15【答案】A【详解】由图可知，tan54πθ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，()()()22222cos sin1sin2sin cos2sin cos cos sincos2cos sin cos sin cos sin cos sinθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+++++ ===--+-tan tan1tan4tan51tan41tan tan4πθθπθπθθ++⎛⎫===+=-⎪-⎝⎭-；4．cos15° sin 105°=（）A312B312C 3D 31 【答案】A 【详解】1113131cos15sin105sin 15105sin 15105sin120sin 90122222[()()][()]︒︒=︒+︒-︒-︒=︒--︒=⨯= 5．若1cos cos sin sin 2x y x y +=， 2sin 2sin 23x y +=，则()sin +=x y （ ） A ．23 B ．23- C ．13D ．13-【答案】A【详解】因为1cos cos sin sin 2x y x y +=， 所以()1cos 2-=x y ，因为2sin 2sin 23x y +=， 所以()()22sin cos 3+-=x y x y ，所以()122sin 23+⨯=x y ，所以()2sin 3+=x y ， 6．已知锐角,αβ满足22,tan tan 2332πααββ+==()sin βα-=（ ） A ．12 B 3C 62- D 62+【答案】C【详解】由223παβ+=得23απβ+=，所以tantan 2tan 321tan tan 2αβαβαβ+⎛⎫+== ⎪⎝⎭- 又tantan 232αβ=tantan 332αβ+=由tan tan 332tan tan 232αβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得tan 232tan 1αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或tan 12tan 23αβ⎧=⎪⎨⎪=⎩α不是锐角），tan 1β=，β是锐角，4πβ⇒=，2sin cos 2ββ==222tan2(23)12sin 21(23)1tan2ααα-===+-+，则3cos α=所以232162sin()sin cos cossin 2βαβαα--=-== 7．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos αα=，则cos2α的值为（ ）A ．35B ．12-C ．0D ．35【答案】D 【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos αα=，所以cos 0α≠且22sin cos cos ααα=， 解得1tan 2α=，所以2222111tan 34cos 2cos sin 11tan 514ααααα--=-===++. 二、多选题8．下列关系式中，正确的是（ ）A ．sin5sin32sin4cos θθθθ+=B ．cos3cos52sin4sin θθθθ-=-C ．1sin3sin5cos4cos 2θθθθ-=- D ．()()1sin ?sin cos cos 2θαθαθα⎡⎤=--+⎣⎦【答案】AD【详解】由()sin5sin 4sin4cos cos4sin θθθθθθθ=+=+，()sin3sin 4sin4cos cos4sin θθθθθθθ=-=-， ()cos5cos 4cos4cos sin4sin θθθθθθθ=+=-， ()cos3cos 4cos4cos sin4sin θθθθθθθ=-=+，代入前三项，得sin5sin32sin4cos θθθθ+=，A 正确， B 错误，右边应是2sin4sin ;θθ C 错误，右边应是2cos4sin ;θθ-选项D ，等号右边()()1cos cos 2θαθα⎡⎤=-+--⎣⎦()()1cos cos sin sin cos cos sin sin 2θαθαθαθα⎡⎤=---+⎣⎦ ()12sin sin sin sin 2θαθα=--=，故选项D 正确， 三、填空题9．已知α为锐角且tan 23tan 4απα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是________． 【答案】35或-0.6 【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. 因为α为锐角，故tan 2α=.222222cos 2cos sin 1tan 143sin 2cos 221cos sin 1tan 145πααααααααα---⎛⎫+======- ⎪+++⎝⎭10．π3π5πcos cos cos 777++=____．【答案】12或 0.5 【详解】 原式1πππ3ππ5π(2sin cos 2sin cos 2sin cos )π7777772sin 7=++ 12π4π2π6π4π[sin(sin sin )(sin sin )]π777772sin7=+-+- 6πsin7π2sin7=ππsin(π)sin 177ππ22sin 2sin 77-===. 11．若sin 11cos 2αα=+，则sin cos αα+的值为________.【答案】75【详解】解：∴sin 1tan 1cos 22ααα==+， ∴222112tan1tan 2172224sin cos 151tan 1tan 1224αααααα-⨯+-+=+==+++. 12．已知tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ=______.【答案】35-. 【详解】令4παθ=-，则4πθα=+，且tan 3α=，所以()2222232sin cos 2tan 3cos 2cos 2sin 22sin cos tan 1315παααθααααα-⨯--⎛⎫=+=-====- ⎪+++⎝⎭.13．已知()tan π2θ+=，则πsin 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】210【详解】因为()tan π2θ+=，由诱导公式得：()tan πtan 2θθ+== 所以2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++．222222cos sin cos 21tan 1431tan 14os sin 5c θθθθθθθ-==-+++-==-，ππ42322sin 2sin 2cos cos 2sin 444551π220θθθ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．14．已知613tan()tan tan ,27αβαβ+=则cos()αβ-的值为______. 【答案】23【详解】1sin sin 132tan tan 1cos cos 7(cos()cos()]2αβαβαβαβαβ===-++， 所以10cos()cos()3αβαβ-=-+， 222261tan 1(122cos()561tan 1()2αβαβαβ+--+===-+++，所以1012cos()()353αβ-=-⨯-=． 15．利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知1210sin sin 21ωω+=，126cos cos 21ωω+=，则2121cos cos sin sin ωωωω-=-___________.【答案】53- 【详解】1212121212121210sin sin sin sin 2sincos 22222221ωωωωωωωωωωωωωω+-+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12125sin cos 2221ωωωω+-=；121212*********cos cos cos cos 2cos cos 22222221ωωωωωωωωωωωωωω+-+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12123cos cos 2221ωωωω+-=；则1212121212sin cos 522tan 23cos cos 22ωωωωωωωωωω+-+==+-；12121212211212121221cos cos cos cos 2222sin sin sin sin 2222ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω+-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=+-+--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121212122sinsin522tan 232cos sin 22ωωωωωωωωωω+-+==-=-+--.16．2sin 20cos80cos40+= _____． 【答案】14或0.25 【详解】()222111sin 20cos80cos40sin 20cos120cos40sin 20cos40224+=++=+- ()2211sin 202cos 20124=+-- 11124=-- 14=．四、双空题17．已知角θ的终边在直线20x y -=上，则tan θ=___________；3cos 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________. 【答案】 12或0.545或0.8 【详解】由直线20x y -=的斜率为12，则1tan 2θ=，又232tan 4cos 2sin221tan 5πθθθθ⎛⎫+===⎪+⎝⎭. 18．已知sin α＋sin β＝12，cos α＋cos β＝13，则tan(α＋β)＝________，cos(α－β)＝________.【答案】 125-或 2.4- 5972-【详解】sin sin sin sin 2222αβαβαββααβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin sin coscossin22222222αβαβαβαβαββααββα+-+-+-+-=+++1sincossin cos22222αβαβαββα+-+-=+=， 即12sincos222αβαβ+-=①，cos cos cos cos 2222αβαβαββααβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos cos sin sin cos cos sin sin22222222αβαβαβαβαββααββα+-+-+-+-=-+-1coscoscos cos22223αβαβαββα+-+-=+=， 即12coscos223αβαβ+-=②， ①②两式相除得3tan22αβ+=， 则232tan21222tan()951tan 124αβαβαβ+⨯+===-+--； ()2221sin sin sin sin 2sin sin 4αβαβαβ+=++=， ()2221cos cos cos cos 2cos cos 9αβαβαβ+=++=， 两式相加可得()1322cos 36αβ+-=， ()59cos cos cos sin sin 72αβαβαβ-=+=-. 五、解答题19．把下列各式化成积的形式：(1)sin 24sin36+︒︒；(2)()()sin 15sin 15αα︒+-︒-； (3)cos cos3x x +；(4)cos cos22αβαβ+--．【答案】(1)cos6︒62α+(3)2cos2cos x x (4)2sin sin 22αβ-【解析】(1)解：()s s 2in 24364362sinco 2sin 30cos 6cos6224sin 236︒+︒︒-︒︒︒==︒-︒=+︒ (2)解：()()()()()()15151515sin 15sin 152cossin 22αααααα︒++︒-︒+-︒-︒+-︒-=()622cos15sin 2cos 4530sin ααα+=︒=︒-︒=；(3)解：()32cos cos32cos cos 2cos 2cos 2cos 2cos 22x x x x x x x x x x +-+==-=； (4)解：2222cos cos 2sin sin 2222αβαβαβαβαβαβ+-+-+-+--=-2sin sin 22αβ=-.20．利用积化和差公式，求下列各式的值：(1)cos15cos75︒︒；(2)sin20sin40sin80︒︒︒．【答案】(1)143【解析】(1)解：由积化和差公式得：cos15cos75︒︒ ，()()1cos 1575+cos 15752=︒+︒︒-︒⎡⎤⎣⎦ 1cos90+cos602⎡⎤=⎣⎦14=； (2)由积化和差公式得：sin20sin40sin80︒︒︒，()()1cos 2040cos 2040sin802⎡⎤=-︒+--︒︒⎣⎦， 11sin80sin80cos 2042=-︒+， ()111sin80sin100sin 60422=-︒+⨯+， 113sin 80sin 8044=-︒+︒3= 21．计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°. 【答案】14【详解】sin 20cos70sin10sin50⋅+⋅()()()()11sin 2070sin 2070cos 1050cos 105022⎡⎤⎡⎤=++-+--+⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022=-+- 111sin 50cos 40422=-+ 1111sin 50sin 504224=-+=．证明下列各恒等式：22．ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 23．1sin 20cos70sin10sin 504+=；24．1sin15sin 30sin 758=．【解析】(1)ππππ2sin sin 2sin sin 44244παααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ πππ2cos sin sin 2cos 2442αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立. (2)sin 20cos70sin10sin50+()()()()11sin 2070sin 2070cos 1050cos 105022⎡⎤⎡⎤=++-+--+⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022⎡⎤⎡⎤=+-+--⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022=-+- 11111sin 50cos 4022222=-+-⨯ 1111sin 50sin 504224=-+=， 故1sin 20cos70sin10sin 504+=成立.(3)1sin15sin 30sin 75sin15sin 752=()11sin15sin 9015sin15cos1522=-= 111sin 30228=⨯=， 故1sin15sin 30sin 758=.25．把下列各式化为积的形式： (1)sin18cos 27+；(2)sin50cos50-；(3)ππcos cos 33αα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (4)sin cos x x +．【答案】(1)2sin 40.5cos 22.5(2)2cos 45sin5(3)π2cos cos 3α (4)2sin cos()44x ππ- 【解析】 (1)18636318sin18cos 27sin18sin 632sin cos 2sin 40.5cos 22.522+-+=+== (2)500500s 442cos sin 2cos 4c 5sin in 50os50sin 50s 52in 024+-===-- (3)ππππ()πππ3333cos cos 2cos cos 2cos cos 33223ααααααα++-+--⎛⎫⎛⎫++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)()()22sin cos sin sin()2sin cos 2sin cos()22244x x x x x x x x x πππππ+---+=+-==-。
积化和差和差化积
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
对于积化合差公式来说首要的原则是等号左边的若异名等号右边全是sin等号左边同名等号右边全是cos积化Biblioteka 差和差化积积化和差和差化积
积化和差和差化积公式口诀：口口之和仍口口，赛赛之和赛口留，口口之差负赛赛，赛赛之差口赛收。和差化积就是相反的过程。对于积化合差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos。
1、积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
2、和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
和差化积、积化和差、万能公式
正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
三角函数和差化积与积化和差公式
注意：此时差的余弦在和的余弦前面
或写作： 注意：此时公式前有负号
证明
积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明;
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：
其他的3个式子也是相同的证明方法;
结果除以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断;sin和cos的值域都是-1,1,其和差的值域应该是-2,2,而积的值域确是-1,1,因此除以2是必须的;
和差化积和积化和差公式
1、正弦、余弦的和差化积
注意右式前的负号
证明过程sinα+sinβ=2sinα+β/2·cosα-β/2的证明过程
sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ,
sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβ,
将以上两式的左右两边分别相加,得
sinα+β+sinα-β=2sinαcቤተ መጻሕፍቲ ባይዱsβ,
设α+β=θ,α-β=φ
那么 ,
把α,β的值代入,即得
sinθ+sinφ=2sin cos
2、正切和差化积
tanα±tanβ=
cotα±cotβ=
tanα+cotβ=
tanα-cotβ=
证明：左边=tanα±tanβ=
=
= =右边
在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行;若是异名,必须用化为同名；若是高次函数,必须用降为一次
也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如：
cosα-β-cosα+β
=1/2cosα·cosβ+sinα·sinβ-cosα·cosβ-sinα·sinβ
高中数学和差化积、积化和差、万能公式
高中数学和差化积、积化和差、万能公式正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]编辑本段正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立编辑本段注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
和差化积、积化和差与万能公式的应用+课件-2025届高三数学一轮复习
因为 ∈ , ， ∈ (， )， > ，
而 = = − < ，舍去.取 = .
=
=− .
−
二
积化和差公式的应用
[例2] （1）计算sin 20∘ cos 70∘ + sin 10∘ sin 50∘ 的值是(
.
1
，sin2x
2
+ sin2y =
2
，则sin
3
，
因为 + = ，所以
[ + + − ] + [ + − − ] =
所以 + − =
所以 +
×
所以 + =
+
−
可得
= ②.
+
①
可得 +
②
= ，
−
从而
−
+
=
−
−
+
−
+
=
− +
=
− .
−
=____.
和差化积、积化和差
与万能公式的应用
一、三角函数中的积化和差与和差化积公式为：
二、万能公式：
α
sin α =
2tan 2
， cos α =
和差化积与积化和差公式、万能公式(数学技巧点拨系列)讲义 (原卷版)
和差化积与积化和差公式、万能公式【知识点讲解】1、积化和差公式cos α·cos β＝12[]cosα＋β＋cosα－β；sin α·sin β＝－12[]cosα＋β－cosα－β；sin α·cos β＝12[]sinα＋β＋sinα－β；cos α·sin β＝12[]sinα＋β－sinα－β．2、和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cosα－β2；sin α－sin β＝2cos α＋β2sinα－β2；cos α＋cos β＝2cos α＋β2cosα－β2；cos α－cos β＝－2sin α＋β2sinα－β2．3、万能公式sin α＝2tanα21＋tan2α2；cos α＝1－tan2α21＋tan2α2；tan α＝2tanα21－tan2α2．4、解题导语使用这类公式时首先要确保公式记忆正确，其实在记忆时记住关键结构再比较各种公式的不同即可有效记忆。
同时，在实际应用中要考虑两角和、两角差是否为一个特殊值再进行使用，不要盲目使用！【例题讲解】【例1】已知cos cos cos 1cos cos αβθαβ-=-.求证：222tan tan cot 222θαβ=.【跟踪训练1】已知6tan 2αβ+=13tan tan 7αβ=，求()cos αβ-的值．【例2】计算：(1)cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°； (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.【跟踪训练2】利用和差化积公式，求下列各式的值： (1)sin15sin105︒+︒；(2)sin20sin40sin80︒+︒-︒； (3)cos40cos60cos80cos160︒+︒+︒+︒．【对点训练】一、单选题1．已知[0,],,44ππαπβ⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦，且33cos 0,22sin cos 02πααλβββλ⎛⎫--=---= ⎪⎝⎭，若4cos 5α=，则tan β=（ ）A ．12B ．13C 3D ．32．若tan 3α=，则sin 2α=（ ） A ．35B ．35C ．34-D ．343．已知角θ的大小如图所示，则1sin 2cos 2θθ+=（ ）A ．5-B ．5C ．15-D ．154．cos15° sin 105°=（ ）A 312B 312 C3 D 31 5．若1cos cos sin sin 2x y x y +=， 2sin 2sin 23x y +=，则()sin +=x y （ ）A ．23 B ．23- C ．13D ．13-6．已知锐角,αβ满足22,tan tan 2332πααββ+==()sin βα-=（ ） A ．12B 3C 62- D 62+7．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos αα=，则cos2α的值为（ ）A ．35B ．12-C ．0D ．35二、多选题8．下列关系式中，正确的是（ ）A ．sin5sin32sin4cos θθθθ+=B ．cos3cos52sin4sin θθθθ-=-C ．1sin3sin5cos4cos 2θθθθ-=- D ．()()1sin ?sin cos cos 2θαθαθα⎡⎤=--+⎣⎦三、填空题9．已知α为锐角且tan 23tan 4απα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是________． 11．若sin 11cos 2αα=+，则sin cos αα+的值为________.12．已知tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ=______.13．已知()tan π2θ+=，则πsin 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．14．已知613tan()tan tan ,27αβαβ+=则cos()αβ-的值为______. 15．利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知1210sin sin 21ωω+=，126cos cos 21ωω+=，则2121cos cos sin sin ωωωω-=-___________.16．2sin 20cos80cos40+= _____．四、双空题17．已知角θ的终边在直线20x y -=上，则tan θ=___________；3cos 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________. 18．已知sin α＋sin β＝12，cos α＋cos β＝13，则tan(α＋β)＝________，cos(α－β)＝________.五、解答题19．把下列各式化成积的形式：(1)sin 24sin36+︒︒；(2)()()sin 15sin 15αα︒+-︒-； (3)cos cos3x x +；(4)cos cos22αβαβ+--．20．利用积化和差公式，求下列各式的值：(1)cos15cos75︒︒；(2)sin20sin40sin80︒︒︒．21．计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°.证明下列各恒等式：22．ππ2sin sin cos244ααα⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；23．1 sin20cos70sin10sin504+=；24．1sin15sin30sin758=．25．把下列各式化为积的形式：(1)sin18cos27+；(2)sin50cos50-；(3)ππcos cos33αα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(4)sin cosx x+．。
和差化积积化和差万能公式
和差化积积化和差万能公式Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】正、余弦和差化积公式指三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
和差化积、积化和差、万能公式
正、余弦战好化积公式之阳早格格创做指下中数教三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意左式前的背号】以上四组公式不妨由积化战好公式推导得到道明历程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的道明历程果为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上二式的安排二边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代进，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]编写本段正切的战好化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附道明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)道明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=左边∴等式创制编写本段注意事项正在应用战好化积时，必须是一次共名三角函数圆可真止.假如同名，必须用诱导公式化为共名；假如下次函数，必须用落幂公式落为一次心诀正加正，正正在前，余加余，余并肩正减正，余正在前，余减余，背正弦反之亦然死动的心诀：（战好化积）帅+帅=帅哥帅-帅=哥帅咕+咕=咕咕哥-哥=背嫂嫂反之亦然编写本段影象要领战好化积公式的形式比较搀纯，影象中以下几个圆里是易面，底下指出了各自的简朴影象要领.截止乘以2那一面最简朴的影象要领是通过三角函数的值域推断.sin战cos的值域皆是[-1,1]，其积的值域也该当是[-1,1]，而战好的值域却是[-2,2]，果此乘以2是必须的.也不妨通过其道明去影象，果为展启二角战好公式后，已对消的二项相共而制成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]=2sinαsinβ故末尾需要乘以2.惟有共名三角函数能战好化积无论是正弦函数仍旧余弦函数，皆惟有共名三角函数的战好不妨化为乘积.那一面主假如根据道明影象，果为如果不是共名三角函数，二角战好公式展启后乘积项的形式皆分歧，便不会出现相对消战相共的项，也便无法化简下去了.乘积项中的角要除以2正在战好化积公式的道明中，必须先把α战β表示成二角战好的形式，才搞够展启.死知要使二个角的战、好分别等于α战β，那二个角该当是(α+β)/2战(α-β)/2，也便是乘积项中角的形式.注意战好化积战积化战好的公式中皆有一个“除以2”，然而位子分歧；而惟有战好化积公式中有“乘以2”. 使用哪二种三角函数的积那一面较佳的影象要领是拆分成二面，一是是可共名乘积，二是“半好角”(α-β)/2的三角函数名.是可共名乘积，仍旧要根据道明影象.注意二角战好公式中，余弦的展启中含有二对于共名三角函数的乘积，正弦的展启则是二对于同名三角函数的乘积.所以，余弦的战好化做共名三角函数的乘积；正弦的战好化做同名三角函数的乘积.(α-β)/2的三角函数名程序为：战化为积时，以cos(α-β)/2的形式出现；反之，以sin(α-β)/2的形式出现.由函数的奇奇性影象那一面是最便利的.如果要使战化为积，那么α战β变更位子对于截止不效率，也便是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2，截止应当是一般的，进而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2；另一种情况不妨类似道明.余弦-余弦好公式中的程序好同/背号那是一个特殊情况，真足不妨死记下去.天然，也有其余要领不妨助闲那种情况的判决，如(0,π]内余弦函数的单调性.果为那个区间内余弦函数是单调减的，所以当α大于β时，cosα小于cosβ.然而是那时对于应的(α+β)/2战(α-β)/2正在(0,π)的范畴内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过去把cosβ搁到cosα前里，要么便正在式子的最前里加上背号.积化战好公式sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2（注意：此时好的余弦正在战的余弦前里）或者写做：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2（注意：此时公式前有背号）cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2编写本段道明积化战好恒等式不妨通过展启角的战好恒等式的左脚端去道明.即只需要把等式左边用二角战好公式拆启便能道明：sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]其余的3个式子也是相共的道明要领.（拜睹战好化积）编写本段效率积化战好公式不妨将二个三角函数值的积化为另二个三角函数值的战乘以常数的形式，所以使用积化战好公式不妨达到落次的效验.正在履历上，对于数出现之前，积化战好公式被用去将乘除运算化为加减运算，运算需要利用三角函数表.运算历程：将二个数通过乘、除10的圆幂化为0到1之间的数，通过查表供出对于应的反三角函数值，将要本式化为10^k*sinαsinβ的形式，套用积化战好后再次查表供三角函数的值，并末尾利用加减算出截止.对于数出现后，积化战好公式的那个效率由越发便利的对于数与代.编写本段影象要领积化战好公式的形式比较搀纯，影象中以下几个圆里是易面，底下指出了各自的简朴影象要领.截止除以2那一面最简朴的影象要领是通过三角函数的值域推断.sin战cos的值域皆是[-1,1]，其战好的值域该当是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，果此除以2是必须的.也不妨通过其道明去影象，果为展启二角战好公式后，已对消的二项相共而制成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)=2sinαsinβ故末尾需要除以2.使用共名三角函数的战好无论乘积项中的三角函数是可共名，化为战好形式时，皆应是共名三角函数的战好.那一面主假如根据道明影象，果为如果不是共名三角函数，二角战好公式展启后乘积项的形式皆分歧，便不会出现相对消战相共的项，也便无法化简下去了.使用哪种三角函数的战好仍旧要根据道明影象.注意二角战好公式中，余弦的展启中含有二对于共名三角函数的乘积，正弦的展启则是二对于同名三角函数的乘积.所以反过去，共名三角函数的乘积，化做余弦的战好；同名三角函数的乘积，化做正弦的战好.是战仍旧好？那是积化战好公式的使用中最简单堕落的一项.程序为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为战；反之，则乘积化为好.由函数的奇奇性影象那一面是最便利的.如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，截止应当是一般的，也便是含α+β战α-β的二项变更位子对于截止不效率，进而截止的形式应当是战；另一种情况不妨类似道明.正弦-正弦积公式中的程序好同/背号那是一个特殊情况，真足不妨死记下去.天然，也有其余要领不妨助闲那种情况的判决，如[0,π]内余弦函数的单调性.果为那个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β).然而是那时对于应的α战β正在[0,π]的范畴内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过去把cos(α-β)搁到cos(α+β)前里，要么便正在式子的最前里加上背号.万能公式【词汇语】：万能公式【释义】：应用公式sinα=[2tan(α/2)]/{1+[tan(α/2)]^2} cosα=[1-tan(α/2)^2]/{1+[tan(α/2)]^2}tanα=[2tan(α/2)]/{1-[tan(α/2)]^2}将sinα、cosα、tanα代换成tan（α/2）的式子，那种代换称为万能置换.【推导】：（字符版）sinα=2sin(α/2)cos(α/2)=[2sin(α/2)cos(α/2)]/[sin(α/2)^2+cos(α/2)^2]=[2tan(α/2)]/[1+(tanα/2)^2]cosα=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]/[sin(a/2)^2+cos(a/2)^2]=[1-tan(α/2)^2]/[1+(tanα/2)^2]tanα=tan[2*(α/2)]=2tan(α/2)/[1-tan(α/2)^2]=[2tan(α/2)]/[1-(tanα/2)^2]。
和差化积公式积化和差公式记忆口诀
和差化积公式积化和差公式记忆口诀在咱们学习数学的过程中，和差化积公式与积化和差公式那可真是让人又爱又恨。
爱的是，一旦掌握了它们，解题的时候那叫一个顺畅；恨的是，要记住这些公式可真不容易。
今天，我就来跟大家分享一些记忆这些公式的口诀和小窍门。
先来说说和差化积公式，这几个公式是：sinα + sinβ = 2sin[(α + β)/2]cos[(α - β)/2]sinα - sinβ = 2cos[(α + β)/2]sin[(α - β)/2]cosα + cosβ = 2cos[(α + β)/2]cos[(α - β)/2]cosα - cosβ = -2sin[(α + β)/2]sin[(α - β)/2]为了记住这些公式，我给大家编了个小口诀：“正弦加正弦，正余积一半；正弦减正弦，余正积一半；余弦加余弦，余余积一半；余弦减余弦，负正积一半。
” 这口诀读起来是不是还挺顺口的？记得我当年上高中的时候，有一次数学考试，就考到了和差化积公式的运用。
我当时心里那个紧张啊，就怕自己记错了公式。
题目是这样的：已知 sin15°和 sin75°，求 sin15° + sin75°的值。
我心里默念着口诀，先把角度算出来，然后按照公式一步步地计算。
当我算出正确答案的时候，心里那叫一个激动，感觉自己像是打了一场胜仗。
咱们再来说说积化和差公式，它们是：sinαcosβ = [sin(α + β) + sin(α - β)]/2cosαsinβ = [sin(α + β) - sin(α - β)]/2cosαcosβ = [cos(α + β) + cos(α - β)]/2sinαsinβ = -[cos(α + β) - cos(α - β)]/2对于这几个公式，咱们也有口诀：“积化和差要记牢，正余正余正加正，余正余正负减负，余余正正负加负，正正余余负减正。
”我曾经给我的学生们讲过这两个公式，有个学生特别有意思。
及差化积、积化及差、万能公式
正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·si n[(α-β)/2]【注意右式前的负号】以上四组公式能够由积化和差公式推导获得证明过程sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程由于sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2,β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin+φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]θsin正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左侧=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cos α·cosβ)=右侧∴等式建立注意事项在应用和差化积时，一定是一次同名三角函数方可推行。
假如异名，一定用引诱公式化为同名；假如高次函数，一定用降幂公式降为一次口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然1生动的口诀：（和差化积）+帅=帅哥-帅=哥帅咕+咕=咕咕哥-哥=负嫂嫂反之亦然记忆方法和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下边指出了各自的简单记忆方法。
积化和差和差化积公式
积化和差和差化积公式一、积化和差公式积化和差公式是将两个数的乘积转化为和或差的公式。
对于任意实数a和b，积化和差公式可表示为：a*b=(a+b)/2+(a-b)/2这个公式的推导可以通过以下步骤进行：设x=(a+b)/2，y=(a-b)/2，那么可以得到：a=x+yb=x-y将a和b代入乘积的表达式中得到：a*b=(x+y)*(x-y)=x²-y²通过这个公式，我们可以将两个数的乘积表达为两个数的平方之差。
应用举例：1.计算(7+3)*(7-3)：根据公式，a=7，b=3，代入公式得：7*3=(7+3)*(7-3)=10*4=402.计算(12+8)*(12-8)：根据公式，a=12，b=8，代入公式得：12*8=(12+8)*(12-8)=20*4=80差化积公式是将两个数的差转化为乘积的公式。
对于任意实数a和b，差化积公式可表示为：a-b=(a+b)*(a-b)/(a+b)该公式的推导可以通过以下步骤进行：设x=a+b，y=a-b，那么可以得到：a=(x+y)/2b=(x-y)/2将a和b代入差的表达式中得到：a-b=((x+y)/2-(x-y)/2)=y通过这个公式，我们可以将两个数的差表达为两个数的乘积除以和。
应用举例：1.计算7-3：根据公式，a=7，b=3，代入公式得：7-3=(7+3)*(7-3)/(7+3)=10*4/10=42.计算12-8：根据公式，a=12，b=8，代入公式得：12-8=(12+8)*(12-8)/(12+8)=20*4/20=4综上所述，积化和差和差化积公式是数学中非常重要的公式，通过这两个公式，我们可以将乘法运算转化为加法或减法运算，从而简化计算过程，提高计算效率。
同时，这两个公式也是解决复杂问题的有效工具之一，能够帮助我们更好地理解和应用数学知识。
2020年和差化积、积化和差、万能公式
作者：旧在几作品编号：2254487796631145587263GF24000022时间：2020.12.13正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]编辑本段正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立编辑本段注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
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……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………正、余弦和差化积公式恒等式指高中数学三角函数部分的一组-+)/2] /2]·cos[(αβ=2sin[(αββ) sin α+sin-(+)/2] α=2cos[(αββ)/2]·sin[ sin α-sin β-(+)/2]ααβ)/2]·cos[β=2cos[( cos α+cos β-+【注意右式前的)/2] αββ)/2]·sin[(α cos α-cos β=-2sin[( 负号】公式推导得到以上四组公式可以由积化和差证明过程)/2]的证明过程)/2]·cos[(α-βαsin α+sin β=2sin[(+β因为+β，β+cos α sin(αsin β)=sin αcos--β，cos αα cos β )=sin αβsin sin( 将以上两式的左右两边分别相加，得，+-β)=2sin ααβ )+sin(αcos βsin(==-+βαφβ，θα设那么/2）=（-=(+)/2, φφαθθβ的值代入，即得α，β把/2）)/2-+=2(+]]cos[( sin θsin φφsin[θθφ正切的和差化积编辑本段 )（附证明）)/(cosα·cosβtan α±tanβ=sin(α±β) ·sinβα)/(sinαcot α±cotβ=sin(β±) β)/(cosα·sin+cotβ=cos(α-βtanα)βα·sin=-cos(α+ β)/(cosβtanα-cot /cosβ/cosα±sinβα证明：左边 =tanα±tanβ=sin) β)/(cosβα·cos=(sinα·cosβ±cosα·sin 右边β)= βα±)/(cosα·cos=sin(∴等式成立编辑本段注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
若是异名，必降为一次诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式须用口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然1……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………生动的口诀：（和差化积）帅哥+ 帅=帅哥帅帅= 帅- 咕咕咕= 咕+负嫂嫂哥=哥 -反之亦然记忆方法编辑本段和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。
2结果乘以的值和cos 这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin，因，而和差的值域却是[-2,2]域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1] 2是必须的。
此乘以也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相2，如：同而造成有系数)β)-cos(α+β cos(α-)] βαsin)-(cosβαcosβ-sin=[(cos αcosβ+sinαsin βαsin =2sin 2。
故最后需要乘以只有同名三角函数能和差化积都只有同名三角函数的和差能够化为乘无论是正弦函数还是余弦函数，积。
这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
2乘积项中的角要除以表示成两角和差的形式，β在和差化积公式的证明中，必须先把α和，这两个角应该是βα和才能够展开。
熟知要使两个角的和、差分别等于，也就是乘积项中角的形式。
)/2α-β(+(αβ)/2和2”，但位置不同；注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”。
而只有和差化积公式中有“乘以使用哪两种三角函数的积这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差的三角函数名。
βα角”(-)/2 2 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。
注意两角和差公式中，余弦的展正弦的展开则是两对异名三角函数的乘开中含有两对同名三角函数的乘积，积。
所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积。
的形β)/2cos(α- (α-β)/2的三角函数名规律为：和化为积时，以 )/2的形式出现。
(α-β式出现；反之，以sinα由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。
如果要使和化为积，那么，)/2(β-αβ调换位置对结果没有影响，也就是若把(α-β)/2替换为和；另一种情况可)/2cos(α-β结果应当是一样的，从而(α-β)/2的形式是以类似说明。
负号-余弦差公式中的顺序相反/余弦这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
内余弦函数的]当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如(0,παcos大于β时，单调性。
因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以当α的范围内，(0,π)(α-β)/2在+小于cosβ。
但是这时对应的(αβ)/2和前面，要么就放到cos α其正弦的乘积应大于0，所以要么反过来把cosβ在式子的最前面加上负号。
积化和差公式和的在)]/2β（注意：此时差的余弦-β)-cos(sin sinαβ=[cos(αα+ 余弦前面）（注意：此时公式)]/2-βα[cos(+或写作：sinαsin ββ)-cos(α=-前有负号）)]/2 =[cos(cosβα+β-β)+cos(αcos α)]/2 =[sin(sin αcosβαβ)+sin(α-+β)]/2-ββ+)-sin(α=[sin(cos αsinβα证明编辑本段积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：]αβα sin sin=-1/2[-2sinsinβ)] sin+sincosα)-(cossin-sin cosα=-1/2[(cosβαββαβ)]β+ )-cos(βα-α=-1/2[cos( 其他的 3个式子也是相同的证明方法。
（参见和差化积）作用编辑本段积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。
3 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运对数在历史上，算，运算需要利用三角函数表。
之间的数，通过10到运算过程：将两个数通过乘、除10的方幂化为的形式，套βαsin查表求出对应的反三角函数值，即将原式化为10^k*sin用积化和差后再次查表求三角函数的值，并最后利用加减算出结果。
对数出现后，积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。
记忆方法编辑本段积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。
2结果除以的值和cos 这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin，因此，而积的值域确是[-1,1]域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2] 2是必须的。
除以也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相2，如：同而造成有系数)β+β)-cos(α cos(α-) βαsinββ)-(cosαcos-sinβ =(cosαcos+sin αsin βαsin =2sin 2故最后需要除以。
使用同名三角函数的和差无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。
这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
使用哪种三角函数的和差仍然要根据证明记忆。
注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同所以反过来，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。
名三角函数的乘积，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。
是和还是差？以β规律为：“小角”这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。
差。
β的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为cos，那ββ的形式是cos 由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。
如果的两项βαβαβ替换为么若把β-，结果应当是一样的，也就是含+和- 4……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。
/负号正弦-正弦积公式中的顺序相反这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
内余弦函] 当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π不大)cos(α+β数的单调性。
因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以的范围内，其正弦的乘]在[0,π-αβ)。
但是这时对应的α和β于cos(前面，要+β)-β)放到cos(αα积应大于等于0，所以要么反过来把cos( 么就在式子的最前面加上负号。
万能公式：万能公式【词语】：应用公式【释义】sinα=[2tan(α/2)]/{1+[tan(α/2)]^2}[1-tan(α/2)^2]/{1+[tan(α/2)]^2} cosα= -[tan(α/2)]^2} tanα=[2tan(α/2)]/{1 α/2）的式子，这种代换称为万能置换。
tan、cosα、tanα代换成（将sinα（字符版）【推导】：sinα=2sin(α/2)cos(α/2)=[2sin(α/2)cos(α/2)]/[sin(α/2)^2+cos(α/2)^2]=[2tan(α/2)]/[1+(tanα/ 2)^2]tan(α/2)sin(α/2)^2]/[sin(a/2)^2+cos(a/2)^2]=[1--cosα=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]=[cos(α/2)^2^2]/[1+(tanα/2)^2](tanα/2)^2] --tanα=tan[2*(α/2)]=2tan(α/2)/[1tan(α/2)^2]=[2tan(α/2)]/[15……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………“华樽杯”第十届中国酒业品牌价值200强暨全球首届酒类产品品牌价值200强测评工作品牌状况统计表请提供：1.公司简介，不超过2000字；2.能够表明在行业中地位的有关行业数据资料；3.企业品牌管理结构（模式）图表；4.2017年度内开展的酒业教育推广工作情况；5.表2、表3是重点。
请于一周之内完成主要数据的填报，以保证年度研究顺利进行。