三垂线定理逆定理证明和应用求二面角

合集下载

用三垂线法求二面角的方法

用三垂线法求二面角的方法三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。

已知：如图, PB 是平面α的斜线, PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α,直线a 垂直;射影AB. 求证： a ⊥PB证明：∵PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α∴直线a ⊥PA 又∵直线a ⊥AB AB ⋂PA A = ∴直线a ⊥平面PAB 而PB ⊂平面PAB ∴a ⊥PB 总结：定理论述了三个垂直关系，①垂线PA 和平面α垂直;②射影AB 和直线a 垂直;③斜线PB 和直线a 垂直.三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。

求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。

运用三垂线法求二面角的一般步骠：①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。

. ②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) 。

③求：二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) 。

1、如右图所示的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且1BC CD ==，AD =①求二面角C ABD --的大小；②求二面角B CD A --的大小；1．解： ①∵AB ⊥面BCD ∴BC AB ⊥ BD AB ⊥∴CBD ∠为二面角C AB D --的平面角 ∵BC CD ⊥且1BC CD ==∴CBD ∠=4π ∴二面角C AB D --的大小为4π ②∵AB ⊥面BCD BC CD ⊥ ∴由三垂线定理得CD AC ⊥∴ACB ∠为二面角B CD A --的平面角 ∵BC CD ⊥∴BD ==∵AB ⊥平面BCD ∴AB BC ⊥ AB BD ⊥∴1AB ==在Rt ABC ∆中，tan 1ABACB BC∠==， ∴二面角B CD A --的大小为4π 方法点拨：本题①的方法是直接运用二面角的定义求解,本题②的关键是找出垂线AB 、斜线AC 及其射影BC,。

(完整版)二面角求解方法

二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。

下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。

斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。

尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。

分析：由于这两个三角形是全等的三角形，故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。

例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。

[思维]二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。

解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。

二面角8种求法

二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。

笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。

一、平面角定义法此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。

以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，如图二面角α-l-β中，在棱l上取一点O，分别在α、β两个平面内作AO⊥l，BO⊥l，∠AOB即是所求二面角的平面角。

例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。

例题2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。

二、利用三垂线定理法此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。

如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ，过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足，由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ，连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线， BO 是AO 在平面β中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ，即∠AOB 是α-l-β的平面角。

例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。

例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。

三、线面垂直法此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。

三垂线定理

证明：∵H是∆ABC的垂心，连结AH延长交 BC于D，连结BH延长交AC于E，∴AD⊥BC， BE⊥AC，∵AP⊥平面PBC，∴BC⊥PD， AD∩PD=D，∴BC⊥平面ADP，∴BC⊥PH，又AP⊥面PBC，∴AP⊥PB，由已知BP⊥PC， ∴PB⊥面APC，又BE⊥AC，∴PE⊥AC， ∴AC⊥面PBE，∴PH⊥AC，AC∩BC=C， ∴PH⊥面ABC，∴H是P点在平面ABC的射影。
1.直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AM
(3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
P
D1
C1
A
D
O
A
B
C
(1)
∴ ∠AFC= ∠MDF ， ∴ ∠DMF+∠AFC=∠DMF+∠MDF= 90°，
∴ DM ⊥AF，又ABC-DEF为直三棱柱，∴ CF⊥EF，又EF⊥DF，∴ EF⊥平面AF，由三垂线定理知AE⊥DM
能力拓展：
2、过Rt ∆BPC的直角顶点P作线段PA ⊥平面BPC，求证： ∆ABC的垂心H是P点在平面ABC内的射影。
3. 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，
PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF
求证：∠BAO=∠CAO
P
分析：要证 ∠BAO=∠CAO
只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC
?
?
?
A

三垂线定理及其逆定理三垂线定理的应用三垂线法求二面角

三垂线定理及其逆定理•正射影的概念：自一点向平面引垂线，垂足叫做这一点在平面内的正射影（简称为射影）；平面的斜线的概念：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。

•三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

•三垂线定理与其逆定理的关系：即：•三垂线定定理的主要应用：证明线线、线面垂直，求点到线的距离、二面角大小。

应用两个定理解题的一般思路：平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

证明：1）用线面垂直证明已知：如图，PO在α上的射影OA垂直于a三垂线定理的证明三垂线定理的证明求证：OP⊥a证明：过P做PA垂直于α∵PA⊥α且a⊆α∴a⊥PA又a⊥OAOA∩PA=A∴a⊥平面POA∴a⊥OP（2）用向量证明三垂线定理1.已知：PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，向量b包含于α，且向量b垂直于OA，求证：向量b垂直于PA证明：∵PO垂直于α，∴PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA）∴向量PA·向量b=（向量PO+向量OA）·向量b=（向量PO·向量b）+（向量OA·向量b ）=0，∴PA⊥向量b。

2.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60度，求交线OA与平面OBC所成的角。

解：∵向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又∵AB=BC=CA，∴OA与平面OBC所成的角是30°。

用途在做图中，做二面角的平面角在证明中，证明线线垂直在计算中，用归纳法归拢已知条件，便于计算口诀线射垂，线斜垂；线斜垂，线射垂。

高中数学立体几何三垂线法求二面角应用技巧讲解

三垂线法求二面角1.直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角。

2.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直3.三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

如图1，在二面角α—l一β中，过平面α内一点A作AO⊥平面β，垂足为O，过点O作OB⊥l于B(过A点作AB⊥于B)，连结AB(或OB)，由三垂线定理(或逆定理)知AB⊥l(或OB⊥l)，则∠ABO为二面角α—l—β的平面角．4.三垂线法三部曲（两垂一连）（1）作面的垂线（任一个半平面的垂线）（2）作棱的垂线（3）连线例1 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC 的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°．(1)求证：BC⊥平面AA1CC1；(2)求二面角B一AA1—C的正切值．例2 如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA1⊥面ABCD，SA=AB=BC＝1，AD＝2(1)求四棱锥S—ABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．例3.如图, 在△ABC中, AB⊥BC, SA⊥平面ABC, DE垂直平分SC, 且分别交AC,SC于D,E, 又SA=AB, SB=BC, 求二面角E-BD-C的大小.例4.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的大小．5．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC 斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= √2，求二面角P-AB-C的正切值。

6. 已知M 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 的中点，求二面角A 1－MC －A 的大小．7.在如图所示的空间几何体中,平面ACD ⊥平面ABC, AB=BC=CA=DA =DC=BE=2,BE 和平面ABC 所成的角为60度,且点E 在平面ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上(1).求证:DE//平面ABC ； (2).求二面角E －BC －A 的余弦值 O A B PC B CDE A 2 2 2 2 22。

高中数学中如何应用“垂面、三垂线定理”求“二面角”

高中数学中如何应用“垂面、三垂线定理”求“二面角”三垂线定理及其逆定理是立体几何中最重要的知识点。

三垂线定理及其逆定理，概括起来，可叙述为：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线或此斜线的射影，若垂直其中之一，则必垂直于另一。

欲使用上述定理解题，关键注意以下几点：①要善于观察平面不是水平位置的情况，即选好“平面”。

②要注意四条线：平面内的一条直线、斜线、垂线、射影，找出（作出）垂线是至关重要的；③三垂线定理及其逆定理的本质是线线垂直和线面垂直的转化。

若利用三垂线定理作二面角的平面角（这里以二面角为锐角加以说明，以下若不作说明，都是以锐角为例，当然若遇到钝角能够转化为求锐角的大小）。

我们知道关键是由一个半平面内一点，作另一个半平面的垂线，此垂线恰是三垂线定理所需的、至关重要的垂线，而这条垂线往往由两个平面垂直的性质定理来提供！因为两个平面垂直的性质定理的结论正是线面垂直。

即：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，就垂直于另一个平面（简记为：面面垂直找交线，垂直交线垂直面。

）。

这样在解题过程中，三垂线定理及两面垂直的性质定理两者有机地结合起来，达到严密推理，快速解题之目的。

综上所述，我们在作二面角的平面角时，可先找与二面角两个半平面其中之一垂直的第三个平面（怎样尽快找到第三个平面呢？可从结论出发，使用逆向思维）。

若存有（已知图形中不存有，能够作）第三个平面，就在此平面内作交线的垂线，就等于作出了那个半平面的垂线，这时要注意在第三个平面内，过哪一点向交线作垂线呢？回答是这个点必在另一个半平面内（此点常常选在三角形的不落在棱上的一个顶点，有时看结论所求二面角的形式，就知道这个“点”。

），这样才可利用三垂线定理作出二面角的平面角，此平面角含在封闭的直角三角形中，到此完成了由二面角向平面角转化的过程。

例1 直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，AC=1，。

连结、，求二面角的大小。

分析从结论“求二面角的大小”出发，一方面考虑从点A向平面引垂线，关键是看这条垂线是否落在垂直于平面的某一“垂面”内？换句话说在图中有没有垂直于平面的某个平面？如图1找一下，没有。

三垂线定理逆定理证明和应用求二面角

∵BC = 1，CD = 2，∴ GF ? 1 ?BC ?CD ? 12? ? 1
2 BD 25
5
而EF = 1，在△EFG中
ta n ? E G F
?
EF GF
?
5
∴所求二面角大小为 arctan 5
小结： ①定基面平面BCD ②定垂线过E作EF⊥CD于F 垂线在哪儿?---垂面内
③找斜线or射影作FG⊥BD于G ④射影or斜线自现连结EG
OA是PA在内? 的射影?? ? a ? PA
a ? ? 且a ? OA ??
三垂线定理及逆定理包含四线一面以后称这个平面为基面
2．什么是二面角的平面角？以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直
于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
3．作二面角的平面角主要有哪几种方法？
的平面角，而用三垂线定理求作二面角的平面角是最
常用和最有效的方法之一，要求切实掌握。让我们再来回味用三垂线定理作二面角的平面角的步骤：
（1）一定基面，二定垂线，三找斜线或射影，射影或斜线自现，L随便；
（2）垂线在垂面内．
四、课后作业
1．如图，直角三角形ABC的斜边AB在平面 ? 内，AC、BC 与平面? 所成角分别为30o和 45o，求△ABC所在平面与?
射影
∴BD1⊥AC
D
C
而A1B是BD1在平面 ∴BD1⊥AB1
ABB1A1内的射影A
B
∴BD1⊥平面AB1C
例2.已知：在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
射影定位（三棱锥定位）

用三垂线定理求二面角

3．已知C是以AB为直径的圆周上一点， ∠ABC=30°，
PA⊥平面ABC，∠PBA=45°，求二面角A－PB－C的平
面角的正弦值。
C 1题图
P 2题图
P 3题图
A
A
B
B
A
B
C
C
谢谢各位老师和同学！
再见！
祝各位老师：工作开心，万事如意！
请各位老师：多多指导，共创教育辉煌！
祝同学们：努力学习，前程万里！
用三垂线定理作
二面角的平面角
复习导入
1．什么是二面角的平面角？以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直
于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
2．作二面角的平面角主要有哪几种方法？
直角△AMN中，AM = 0.5，AN= 1，MN = 5 ．
AH AM AN 1
MN
5
tan A1HA
A1 A AH
5
2
∴二面角A1－CM－A的大小为 arctan 5
课堂练习②
2．已知△ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面ABC 外一点, 且PA= PB = PC = AC = 8, 求二面角P—AC—B的平面角的正切值.
2．方法与步骤
①确定基面
②在另一平面内选取适合的点A向
A
基面作垂线AH。
特别注意垂足 B
H
H的正确位置。
l
③向棱作垂线HB，连结AB。
∠ABH就是二面角 l 的平面角。
这其中确定、A、H三元素
是学习难点，希望努力掌握。
实例分析①
1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，

二面角求解方法

教师: 学生: 年级: 科目：课次：时间: 年月日内容：二面角求解方法总结二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。

下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。

斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。

分析：由于这两个三角形是全等的三角形，故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角PCBAE在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。

例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。

解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=argtan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PEPC AEF MEPCBAF图1由三垂线定理知AM ⊥PC∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ PCBAEEPCBA D图3图4[点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。

立体几何-二面角求解五法

立体几何-二面角求解五法一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。

解证（I ）略（II ）：利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。

则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ， ∴211423=+=BG FGFG366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为6，求二面角E —AF —C 的余弦值. 分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，进而计算二面角的余弦值。

求二面角的方法

解题宝典空间角主要包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.求二面角的大小是一类常见的问题.本文重点介绍求二面角大小的四种方法:定义法、向量法、面积投影法、三垂线定理法.一、定义法过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.一般地，要求得二面角的大小只需要求出二面角的平面角的大小即可.在求二面角的大小时，我们可以根据二面角的平面角的定义来求解.首先在二面角的棱上选取一点，在两个面内作棱的垂线，则两条垂线的夹角，即为二面角的平面角，求得平面角的大小即可得到二面角的大小.例题：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B-EC-C1正弦值．图1图2解：（1）略；（2）由（1）知∠BEB1=90°．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=45°，故AE=AB，AA1=2AB．如图2所示，在平面BCE内过B点作BM⊥CE于点M，取棱CC1的中点N，连结MN,EN.因为EC1=EC，所以EN⊥CC1，所以ΔCEN为直角三角形.因为BC⊥BE，所以ΔCEB为直角三角形.令AB=1，则BC=NC=1,BE=EN=2,CE=3，所以RtΔBEC≌RtΔNEC，所以MN⊥EC，则∠BMN即为二面角B-EC-C1的平面角.在RtΔBEC中，sin∠BCE=BE CE=BM BC，所以BM=，MN.在ΔBMN中，cos∠BMN=BM2+MN2-BN22BM∙MN=-12，则sin∠BMN=，故二面角B-EC-C1正弦值.利用定义法求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角.在作图的过程中要充分利用题目条件中隐含的垂直关系，如等腰三角形三线合一的性质、菱形或正方形的对角线相互垂直、直角三角形中勾股定理及其逆定理等.另外在构造二面角的平面角时，常用的方法还有垂面法，即经过两个面的垂线的平面与两个平面的交线所夹的角即为二面角的平面角.二、三垂线法三垂线法是指利用三垂线定理求作二面角的平面角，求得二面角大小的方法.在求作二面角的平面角时，需过其中一个面内的一点作另一个面的垂线，再经过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上的垂足，进而构造出与二面角的平面角相关的角，再结合图形中的垂直关系求得二面角的大小.以上述例题为例.解：如图3，连接BD,AC，交点为O，过点O作CE的垂线，垂足为P，连接BP.由三垂线定理可知BP垂直于CE，所以∠BPO即为所求二面角平面角的补角.设AB=1，由（1）可知AE=1，所以BE=2，CE=3.因为BC⊥BE，所以ΔBCE为直角三角形，所以RtΔBCP∽RtΔBCE.陈秀林图342解题宝典所以BP.在Rt△BOP 中，sin ∠BPO =BC BP=，即所求二面角正弦值为.此法与定义法的不同之处是将所求二面角的相关角置于直角三角形中，从而使解题的过程更加简洁.三、向量法向量法是通过空间向量的坐标运算，将所求的二面角转化为两个平面的法向量的夹角的方法.解题的思路是通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量的数量积公式求出夹角，再利用法向量的夹角与二面角的关系来确定二面角的大小.值得说明的是，二面角的平面角与法向量的夹角的关系是相等或互补.以上述例题为例.解：（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt△ABE ≌Rt△A 1B 1E ，所以∠AEB =45°，故AE =AB ，AA 1=2AB ．以D 为坐标原点，建立如图4所示的空间直角坐标系D -xyz ，则C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),E (1,0,1)，所以 CB =(1,0,0)，CE =(1,-1,1)，CC 1=(0,0,2)．设平面BCE 的法向量为n =(x ,y ,z )，则ìíî CB ∙n =0,CE ∙n =0,即{x =0,x -y +z =0,令y =-1,得n =(0,-1,-1).设平面ECC 1的法向量为m =(x ,y ,z )，则ìíî CC 1∙m =0,CE ∙m =0,即{2z =0,x -y +z =0,令x =1得m=(1,1,0)．于是cos m,n =m ∙n |m |∙|n |=-12.所以二面角B -EC-C 1平面角正弦值为．向量的引入降低了立体几何问题的难度，但对同学们的运算能力提出了更高的要求.求法向量的原则是先找后求，即如果存在一条已知的直线与二面角的某一个平面垂直，则该直线的方向向量即可视为此平面的法向量.四、投影法投影法，即为构造出二面角的两个平面中的一个平面在另外一个平面内的投影，从而利用此平面与其投影的夹角θ来判断所求二面角的大小的方法.若该平面与其投影的面积分别为S 1,S 2，则cos θ=S 1S 2.θ与所求二面角的关系有两种，即相等或互补.以上述例题为例.解：如图5，连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC ，所以点B 在面C 1CE 内的投影，三角形EOC 为ECB 的投影.设棱AB =1，由（1）可知AE =1，则AC =BE =2，EC =3，所以三角形OCE 的面积为S 1=12∙OC ∙AE =12，三角形BCE 的面积为S 2=12BC ∙BE =12×1×2.所以S 2S 1=42=12.所以面BCE 与面ECC 1所成锐二面角的余弦值为12，故二面角的正弦值为.在本题中，三角形ECB 与其在面ECC 1上的投影EOC 的夹角即为所求二面角的补角，而两角互补，则其正弦值相等，所以可直接利用投影法来求解.一般地，求二面角的问题主要有两类，即求有棱二面角的大小和无棱二面角的大小，虽然图形有所不同，但解题的方法基本上一致.同学们在解题的过程中要注意仔细审题，择优而用.（作者单位：江苏省大丰高级中学）图5图443。

二面角《解析版》

基本不等式一、知识讲解知识点1：二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。

二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。

而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。

αβ知识点2：二面角求法1、由定义作出二面角的平面角；2、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。

4、空间坐标法求二面角的大小5、平移或延长（展）线（面）法6、射影公式S 射影=S 斜面cos θ7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角二、典型例题题型一：利用定义作出二面角的平面角例题1：如图,已知二面角α -а - β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 解: 设平面PAB ∩α=OA,平面PAB ∩β=OB 。

∵PA ⊥α, а⊂α ∴PA ⊥а 同理PB ⊥а ∴а⊥平面PAB又∵OA ⊂平面PAB ∴а⊥OA同理а⊥OB.∴∠AOB 是二面角α -а -β的平面角. 在四边形PAOB 中, ∠AOB=120°,. ∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60°OABO ABlPOBA同步训练：在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B -PC -D 的大小32;21cos 2,3636,32,,:π所以角度为又因为，所以因为即为二面角所以，因为，连接，交点为垂直于作在平面解-=∠===⋅=====∠∆≅∆BHD a BD a DH a PC BC PB BE a PC PB a PB PA BED PCD PCB DH H PC BH BPC 题型二：三垂线定理（逆定理）法例题2：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.解：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，由三垂线定理可得： ∴ CD =2 CE=1, DE=5同步训练：例在四棱锥P- ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P- BC -A 的大小。

三垂线法作二面角的平面角的技巧

三垂线法作二面角的平面角的技巧求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解题受阻．我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：如图1，在二面角α—l 一β中，过平面α内一点A 作AO ⊥平面β，垂足为O ，过点O 作OB ⊥l 于B (过A 点作AB ⊥于B )，连结AB (或OB )，由三垂线定理(或逆定理)知AB ⊥l (或OB ⊥l )，则∠ABO 为二面角。

α—l —β的平面角．作图过程中，作出了两条垂线AO 与OB (或AB )，后连结AB 两点(或OB 两点)，这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO 为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：1．善于利用图中已有的“第一垂线”例1 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BCA =90°，AC =BC ，A 1在底面ABC 的射影恰为AC 的中点M ，又知AA 1与底面ABC 所成的角为60°．(1)求证：BC ⊥平面AA 1CC 1；(2)求二面角B 一AA 1—C 的大小．剖析：注意该题的第(1)问，事实上本题已经暗示了BC 就是我们要寻求的“第一垂线”．略解2 A 1A 与底面AB 成的角为60°，所以∠A 1AC ＝60°，又M 是AC 中点，所以△AA 1C 是正三角形，作CN ⊥AA 1于N ，点N 为A 1A 的中点，连结BN ，由BC ⊥平面AA 1CC 1，BN ⊥AA 1，则∠BNC 为二面角B 一AA 1一C 的平面角．设AC ＝BC ＝a ，正△AA 1C 的边长为a ，所以a CN 23=，在Rt △BNC 中，tan ∠BNC =33223==a a NC BC ，即∠BNC 332arctan =. 例2 如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA =AB =BC ＝1，AD ＝21 (1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．剖析：由SA ⊥面ABCD 及∠ABC =90°，不难发现，BC 即为“第一垂线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．略解2 延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱，因为AD ∥BC ，BC =2AD ，所以EA =AB =SA ，所以SE ⊥SB ，因为SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，所以BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，所以CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角，因为222=+=AB SA SB ，BC =1，BC ⊥SB ，因为tan ∠BSC =22==SB BC ，即所求二面角的正切值为22．2．借助第三个平面，作“第一垂线”例3 如图4，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为a 22，若经过对角线AB 1且与对角线BC 1平行的平面交上底面一边A 1C 1于点D ．(1)确定点D 的位置，并证明你的结论；(2)求二面角A 1—AB 1—D 的大小．剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D 是A 1C 1中点．二面角A 1—AB 1一D 的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面A 1B 1C 1过点D 且与平面A 1AB 1垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面．过D 作DF ⊥A 1B 1，由面面垂直的性质知，DF ⊥面A 1AB 1，即DF 为我们要作的“第一垂线”．略解2 在平面A 1B 1C 1内，作CF ⊥A 1B 1于F ，连DC ，由三垂线定理可证AB 1⊥DG ，∠DGF 就是二面角A 1—AB 1一D 的平面角，在正△A 1B 1C 1中，因为D 是A 1C 1中点，A 1B 1＝a ，所以a F B 431=，a DF 43=，在Rt △DFG ，可求得∠DCF =45°．3．利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”例4 已知：Rt △ABC 的斜边BC 在平面α内，AB 、AC 分别与平面。

求二面角

aPA POA PA POA a a OA a PO ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊃⊥平面平面ααOAa POA OA POA a POA PA PA a a O po A PA a ⊥⇒⎭⎬⎫⊃⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊃⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥=⋂⊃平面平面平面P ααα二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．1.二面角的平面角：过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA 、OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角；范围是[0,180] .注：二面角的平面角的特点：（1）角的顶点在棱上（2）角的两边分别在两个面内（3）角的边都要垂直于二面角的棱。

2. 三垂线定理及其逆定理（1）三垂线定理：平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么它也和平面的这条斜线垂直。

（2）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射影垂直。

3.二面角的求法:（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；（4）射影法：利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角；定义法：即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的垂线即得二面角的平面角。

定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！。

1.在600的二面角的两个面内，分别有A 和B 两点．已知A 和B 到棱的距离分别为2和4，且线段，试求：（1）直线与棱所构成的角的正弦值；（2）直线与平面所构成的角的正弦值．2.如图，四棱锥S −A B C D 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P 为侧棱SD 上的点，且S D ⊥P C ，求二面角P −A C −D 的大小。

三垂线法求二面角

0
S E A
D C
B
2 a ，得 A C ＝ 3a = a 3a = 3 3
0
SA AC
0
则 SC A = 30 ，则 C D E= 90 － SC A ＝60
小结
1. 二面角是立体几何的重点、热点、难点，求二面角的大小方法多，技巧性强．但一般先想定义法，再想三垂线法，要抓住题目中的垂直关系． 2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因此，“化归”思想很重要.
二面角的求法二面角的求法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的垂线，得到平面角.
二面角
基础练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P 直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A 2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？ 60º
C
B
β
B
p
αOι源自A(2)三垂线法——利用三垂线定理或逆定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小.
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角.
(4)射影面积法——若多边形的面积是S，它在
一个平面上的射影图形面积是S’，则二面角的大小为COS ＝ S’÷ S
A
C1
D1 E B1
A1
C
D P
F
B
A
例3、(高考题)⊿ABC中，AB⊥BC， SA ⊥平面ABC，DE垂直平分SC，又SA＝AB＝ａ，SB＝BC, （1）求证：SC ⊥平面BDE, （2）求二面角E－BD－C的大小?

二面角的公式

平面角做法作二面角的平面角的常用方法有以下几种：1、定义法：在棱上取一点A，然后在两个平面内分别作过棱上A点的垂线。

有时也可以在两个平面内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线。

2、垂面法：作与棱垂直的平面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角3、面积射影定理：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值。

即公式cosθ=S'/S（S'为射影面积，S为斜面面积）。

运用这一方法的关键是从中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。

4、三垂线定理及其逆定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连接两个垂足即得二面角的平面角。

5、向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。

二面角就是该夹角或其补角。

6、转化法：在二面角α-l-β其中一个半平面α上找一点P，求出P到β的距离h和P到l的距离d，那么arcsin(h/d)（二面角为锐角）或π-arcsin(h/d)（二面角为钝角）就是二面角的大小。

7、异面直线的距离法：设二面角为C-AB-D，其中AC和BD互为异面直线且AC⊥AB，BD⊥AB（即AB是异面直线AC和BD的公垂线）。

设AB=d，CD=l，AC=m，BD=n，根据来求异面直线所成角θ。

利用该方法求θ必须先由图像判断二面角是锐角还是钝角。

如果是锐角，那么取正号；钝角，那么取负号。

待求出θ以后，如果二面角是锐角，那么二面角的大小就是θ；钝角，那么二面角的大小就是π-θ。

其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角。

二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。

过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。

有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。