第六章 信号与系统的时域和频域特性

t j t
1 x(t ) 2
1 X ( j )e e d 2
3.单位冲激信号
0

1 e σ α e dt α s 0 α s
α s t

L t t e std t 1
0
全s域平面收敛
L t t0 t t0 e std t e st0



1 st t de s 0
n! 所以 L t n1 s
n


9.6 常用拉氏变换对,注意收敛域 Some Laplace Transform Pairs
第பைடு நூலகம்
4
页
u(t )
e u(t )
at
1 S
1 sa
t u(t )
n
n! s n 1
1
(t )
对上式两边做拉氏变换：
1 1 1 (n) X ( s) x(0 ) 2 x(0 ) n 1 x (0 ) s s s
x
n 0

(n)
(0 )

1 s n 1
lim sX ( s) x(0 )
s
第
如果 x(t )是因果信号，且在 t 0 不包含奇异
第
10. 初值与终值定理: （The Initial- and Final- Value Theorems) 如果 x(t ) 是因果信号，且在 t 0不包含奇异
18
页
函数，则 x(0 ) lim sX ( s) ——初值定理
s
Proof:
t 0 时 x(t ) 0 ，且在 t 0 不包含奇异函数。
fs (t)=f(t) T (t) (t)=f(nT) (t-nT)
n=0
L[ Fs (s)] f(nT) (t-nT)e sT dt f(nT)e nsT
0 n=0 n=0



9. 3 拉普拉斯反变换
The Inverse Laplace Transform
第
9
例. x(t ) et u t ,
1 X ( s) , s 1
1
页
x(t ) e 2t e 3t u t 1 X ( s 2) s3
显然
ROC : 3
第
4. 时域尺度变换（Time Scaling）: 若 则
x(t ) X (s),
函数， X ( s ) 除了在 s 0 可以有单阶极点外，其
20
页
余极点均在S平面的左半边，则
lim x(t ) lim sX ( s )
t s 0
——终值定理
证: x(t )是因果信号，且在 t 0 无奇异函数,
dx (t ) st st e dt e 0 dt 0 dx(t )
x (t )e
st 0
s e st x (t )dt
0

第
X ( s ) 除了在 s 0可以有一阶极点外，其它
极点均在S平面的左半平面（即保证 x(t )
st x ( t ) e s 的实部 可以大于零，因此
21
页
有终
值）。故 sX (s) 的ROC中必包含 j 轴。表明：
t s 0
周期信号拉氏变换
第
22
页
• 在时间t=0接入周期信号f(t), 周期为T,令第一个 周期的信号为 f1 (t ) 其拉氏变换为 F1 ( s) 则
1 F ( s ) F1 ( s ) 1 e sT
Re[s] 0
第
抽样信号的拉氏变换
23
页
• 连续信号f(t), 以间隔T抽样，则抽样信号 fs (t)
dX ( s ) , 则 tx(t ) ds
ROC : R ROC : R
16
页
1 例. X ( s ) ( s a)2
ROC : a 求 x(t )
1 d 1 ( ) 2 (s a) ds s a
x(t ) te u(t )
at
9. 时域积分:（Integration in the Time Domain ）
1
ROC :
1 2
可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的 ROC在S平面上作相反的尺度变换。 特例 x(t ) X (s),
ROC : R
第
5. 共轭对称（Conjugation）性： 若 x(t ) X ( s),

12
页
ROC : R 则
x (t ) X (s ), ROC : R
ROC : R
ROC : aR
10
页
1 s x(at ) X( ) a a
s s 当 R 时 X ( s ) 收敛， Re[ ] R 时 X ( ) 收敛 a a
Re[ s] a R
t
1 , 例. x(t ) e u t X ( s ) s 1
1
t t 求 x( ) e 2 u t 的拉氏变换及ROC 2
1 t , 例. x(t ) e u t X (s ) s 1
1
第
11
页
t t 求 x( ) e 2 u t 的拉氏变换及ROC 2
2 X ( s) , 1 2s 1 s 2
7
页
若 x(t ) X ( s),
ROC : R
则 x(t t0 ) X (s)e st0 ,
若 x(t ) X (s),
ROC不变
3. S域平移（Shifting in the s-Domain）:
ROC : R 则
x(t )es0t X ( s s0 ), ROC : R Re[s0 ]
若 x(t ) X ( s), 则
t
第
17
页
ROC : R
1 x( )d s X ( s)
ROC : 包括 R (Re[ s] 0)
x( )d x(t ) u(t )

t
1 x ( )d X ( s ) s
t
ROC : 包括
R (Re[s] 0)
x(t ) x(t )u(t )
x ( t ) 将 在 t 0 展开为Taylor级数有：
第
2 n t t (n) x(t ) x(0 ) x(0 )t x(0 ) x (0 ) u(t ) 2 n!
19
页
0
x(0 )
dx(t ) st e dt x (0 ) sX ( s ) 0 dt 当s 0时， dx (t ) st e dt dx ( t ) lim x ( t ) x (0 ) 0 dt 0 t

lim x(t ) lim sX ( s)
抵消的现象。当被抵消的极点恰好在ROC的边
界上时，就会使收敛域扩大。 7. 时域微分:（Differentiation in theTime Domain）
若 x(t ) X ( s),
ROC : R
dx(t ) 则 sX ( s ), ROC包括 R ,有可能扩大。 dt
第
8. S域微分:（Differentiation in the s-Domain） 若 x(t ) X (s),
4．tnu(t)
L t t e dt
n n st 0
第
3
页


t n st n n1 st e t e dt s 0 s 0
1 st st te e d t 0 s 0
n n1 st t e dt s 0 n n 1 n 所以 L t L t s n1
第
6. 卷积性质:（Convolution Property）
若 x1 (t ) X1 (s),
ROC : R1
14
页
x2 (t ) X 2 (s),
ROC : R2 则
ROC : 包括 R1 R2
x1 (t ) x2 (t ) X1 (s) X 2 (s)
1 , 例. X 1 ( s ) s 1
表明 X (s s0 ) 的ROC是将 X ( s )的ROC平移了
一个Re[ s0 ] 。
时移特性例题
【例1】
已知 f t tut 1, 求F s
F s Ltut 1 Lt 1ut 1 ut 1
第
8
页
1 1 s 2 e ; Re( s) 0 s s π 【例2】 已知 f ( t )＝ 2 cos t ut , 求F ( s)。 4 π π f t 2 cos t cos 2 sin t sin cos t sin t 4 4 s 1 s 1 F s 2 2 1 s 1 s 1 s2
第 9章
The
拉普拉斯变换
Laplace Transform
II
9.6 常用拉氏变换对
1.阶跃函数
Lu( t )
0
第
2
页
1 st 1 e , Re( s ) 0 1 e d t 0 s s
st
2.指数函数
Le

α t
u (t ) e
0


α t st
第
当 x(t ) 为实信号时，有：x (t ) x(t )

13
页
X ( s) X ( s )
由此可得以下结论： 如果 x(t ) 是实信号，且 X ( s )在s0 有极点（或零
点），则 X ( s )一定在 s 0 也有极点或零点。这表


明：实信号的拉氏变换其复数零、极点必共轭成 对出现。



Lt t e d t
st 0
1 1 st 1 e 2 s s s 0 n2 2 2 1 2 2 L t Lt 2 3 s s s s n3 3 2 3 2 6 3 Lt Lt 3 4 s s s s
则 ax1 (t ) bx2 (t ) aX1 (s) bX 2 ( s) ROC至少是 R1 R2
ROC : R2
第
例. x1 (t ) t et u t
1 s2 X 1 ( s) 1 , s 1 s 1
1 X 2 ( s) , s 1
(t t0 )
e
st0
第
9.5 双边拉氏变换的性质
Properties of the Laplace Transform
拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的
5
页
性质。这里只着重于ROC的讨论。
1. 线性（Linearity ）：
若
x1 (t ) X1 (s),
ROC : R1
x2 (t ) X 2 (s),
ROC : R1 1 ROC : R2 2
s 1 X 2 (s) , s 2 s 3
显然有: R1 R2 1
X1 ( s) X 2 ( s)
s 2 s 3
1
第
,
2, ROC扩大
15
页
原因是 X1 ( s)与X 2 ( s) 相乘时，发生了零极点相
x2 (t ) et u t
ROC : 1
6
页
ROC : 1
而 x1 (t ) x2 (t ) t 1 ROC为整个S平面 • 当R1 与R2 无交集时，表明 X ( s ) 不存在。 • 线性性质注意收敛域扩大问题
第
2. 时移性质（Time Shifting）:
一.定义： 由 X (s) x(t )e st dt 若 s j 在ROC内，则有:

第
24
页
X ( j ) x(t )e e


t jt
dt F[ [ x(t )e
t
]
x(t )e
t
1 2




X ( j )e j t d