14春季-固体物理-第四章习题解答参考

4.1
（ 1）
电子波函数 k ( x) sin
a
x
根据布洛赫定理，一维周期势场中的电子波函数，
k ( x a) eikx k ( x)
得到，
x x k ( x a) sin ( x a) sin x sin cos cos sin a a a a x sin k ( x) a E k eika 1 ka 2n 1 , n 0,1,2,
l



令 l ' l 1，得到，
k ( x a)
l '
f ( x l ' a) f ( x l ' a) ( x)
l ' k

2n a k , 在第一布里渊区， a a eika 1，ka 2n，k
由共有化运动电子波函数的周期性边界条件，
kn r kn r Ni ai
得到，
u (r )e
n k
ik r
u (r Ni ai )e
n k
ik r Ni ai
i 1, 2, 3
eik Ni ai 1
k Ni ai 2 hi
k1 2 h1 N1a (h1 0, 1, 2, (h2 0, 1, 2, (h3 0, 1, 2, ) ) )
2n 1 k ,
a
n 0,1,2,
k 在第一布里渊区内， , ，得到， a a
0 a a

k
k

a
3 x （2） 电子波函数 k ( x) i cos a 3 3 k ( x a ) i cos ( x a ) i cos x 3 a a 3x 3x i cos cos3 i sin sin 3 a a 3x i cos k ( x) a
简约布里渊区表示法
En k
En k
n3
n2
n 1
3 2 2 3 0 a a a a a a
k
a
a
k
扩展布里渊区将不同的能带描绘在波矢空间中的不同的布里渊区内；
简约布里渊区依据波矢具有以倒格矢为周期的平移对称性 En k Gh En k ，
b1
波矢空间原胞体积，
b3 1 (2 )3 (2 )3 b1 b2 k N1 N 2 N 3 N V
波矢密度，
V k (2 )3
4.4 用能带图说明导体、绝缘体、半导体的导电性质 基本原理：
满带中的电子不能导电
没有电子的空带不能导电（因为没有电子） 不满的能带中的电子参与导电
2 dE 1 由于 sin ka sin 2 ka dk ma 4
L
Lma g E 1 2 sin ka sin 2 ka 4
Nma 2 1 2 sin ka sin 2 ka 4
2 1 dE 2 1 1 sin(ka) sin(2ka) [sin(ka) sin(ka) cos(ka) dk m 4 2 m 2 1 sin(ka)[1 cos(ka)] m 2
（3）能带底部和顶部的电子有效质量
m
k 0
2 2 2m d E (k ) dk 2 k 0
称为禁带。
3、一般情况下，每个允带中包含等于晶体原胞数N、间隔非常小的能级 （准连续）。每个能级是共有化电子波矢 k 的函数，在波矢空间中，这种函数
关系以倒格矢为周期。
4、允带每个能级容纳自旋相反的两个电子，一个能带可容纳2N个电子。
4.2 （3）简约布里渊区表示的能带图和扩展布里渊表示的能带图有什么区别？ 扩展布里渊区表示法
eika 1
ka 2n 1 , n 0,1,2,
在第一布里渊区内， k a a
，得到， ,
k

a
（ 3） k ( x )
l
f ( x la)
l

k ( x a)
f ( x a la) f ( x (l 1)a)
k 0
(n 0,1,2,......)
4.2 （1）能带论的基本假设及其物理意义
答：能带论的基本假设 ① 绝热近似——假设相对于共有化运动电子的运动速度，离子实近似固定在
格点上不动，电子系统和离子实系统没有能量交换。
② 平均场近似（单电子势近似）——假设每个电子所处的周期势相同，与其 它电子、离子实的库仑相互作用只与该电子位置有关。
和能量最低的空带（价带）之间的禁带宽度较小。
禁带
Eg
激发
激发 价带
0
半导体
T1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱT2
温度
4.5
2 E (k ) m a2
1 7 cos( ka ) cos( 2 ka ) 8 8
（1） 由极值条件找到极值点，
dE 2 dk m a2
a a sin( ka ) sin( 2 ka ) 0 4
2 h2 k2 N2a k3 2 h3 N3a
, ，得到， 若第一布里渊区为 a a


a
ki

a
Ni Ni hi 2 2
一组
k
取值个数 N
N1 N2 N3
(k1 , k2 , k3 )
代表一个电子状态点，波矢点均匀分布。
b3
b2
导体 1、原子含奇数个价电子的导体具有不满带、外场下导电良好
Ec
禁带
E
典型：Na、Cu、K、Li、Ag、Au
2、原子含偶数个价电子的导体，价电子填满一个或几个能
带，但满带与空带重叠，外场下具有较好的导电性。
Ec
禁带
E
典型：Be、Mg、Zn
半金属
原子含偶数个价电子，满带与空 带少量重叠，一个能带几乎填满，
1 1 sin(ka) sin(2ka) sin(ka) 2 sin(ka) cos(ka) 4 4 1 sin(ka) 1 cos(ka) 0 sin(ka) 0 ka n 2 (n 0,1,2,......) 在第一布里渊区内， k , ，得到， a a



将波矢 k 的取值限制在第一布里渊区内；
4.3 试证明三维布拉菲晶格的电子波矢分布密度为
V
2
3
证明
设三维布拉菲晶格的原胞基矢为
ai
i 1, 2, 3
Ni 为ai 方向原胞数， ai a
对应的倒格子基矢为 b1 b2 b3 ，则电子波矢，
k k1b 1 k2b 2 k3b 3
Ec
另一个能带有很少电子，导电性比
导体差。 禁带 典型：Bi、As、Sb
E
绝缘体
原子含偶数个价电子，能量最高的满
Ec
禁带
带和能量最低的空带之间的禁带宽度很
E
Eg
大。在一般的温度下，满带电子不能激 发到空带中，导电性很差。
半导体
Ec E
原子含偶数个价电子，能量最高的满带（导带） 绝对零度下，满带电子不能激发到导带，导电性 为零。当温度高于绝对零度时，随温度提高，价 带空穴和导带电子大量增加，导电性急剧提高。 电阻率 导带
③ 周期势场近似——单电子势具有晶格平移周期性
（2）能带论的要点
构成晶体的原子的价电子不再束缚于其原子，而是在晶体中共有化运动。
在单电子近似下，求解共有化电子所满足的薛定谔方程，得到： 1、共有化运动电子的本征波函数是调幅平面波（布洛赫波），本征波函数 的振幅具有与晶格相同的周期性，电子在晶体不同原胞中的对应点上出现的几 率相等。 2、共有化运动电子允许存在的本征能量态（电子量子态）不再是原子能级， 而是一系列允许的能带（允带）。允带之间是共有化电子不可具有的能量状态，
2 2 m 2 m 3 d E (k ) dk 2 k
a
（4）若此一维晶格长度为 Na ，N 为原胞数，求电子能态密度 一维晶格波矢密度，
L k 2
考虑电子自旋后，一维晶格第n个能带电子能态密度，
1 gn E dEn k / dk
k 0，k a
当 k 0, 电子能量取到极小值，
Emin Ek 0 0
当 k , 电子能量取到极大值，

a
2 2 Emax E k a m a2
得到能带宽度，
2 2 E m a2
（2）电子在波矢量 k 状态下的速度