最新人教版中考数学专题复习一元二次方程根的判别式及根与系数的关系讲义与习题练习(含答案)
人教版数学中考复习《一元二次方程根的判别式》精品教学课件ppt优秀课件
将a=1,b=2代入方程得x2+2kx+2k-3=0. 又∵Δ′=4k2-4(2k-3)=4(k-1)2+8＞0∴方程有两个不等的实根.
Ø 典型例题解析
【例3】 (2003年·黑龙江)关于x的方程 kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围；k＞-1/2，且k≠0. (2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
不存在，理由略。
【例4】 已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D.只有一个实数根
3.(2004年·长沙)下列一元一次方程中，有实数根的是 (C )
A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0
Ø 课时训练
4.(2003年·湖北黄冈)关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
Ø 课时训练
1.(2004年·大连)一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况
是
(D )
一元二次方程跟的判别式与根与系数的关系复习
（1）请判断这是一个什么方程？ （2）不解方程，你能判断它的根的情况吗？
例1：关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0,有 两个不相等实数根，求实数m的取值范围.
总结归纳： ___△_>_0____ 一元二次方程有两个不相等的实数根 ___△__=_0____一元二次方程有两个相等的实数根 ___△__≥__0___一元二次方程有两个实数根 ____△_<_0____ 一元二–x2+(m-2)x+3(m+1)的图象如图所示． （1）当m≠-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两 个交点； （2）求m的取值范围；
（3）在（2）的情况下，若 0A 0B 6 ,求C点坐标；
（4）求A、B两点间的距离； （5）求△ ABC的面积S．
变式训练1 ：已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0 (1)求证：无论K取任何实数值，方程总有实数根 (2)若等腰三角形ABC的一边长a=1,另两边长b,c恰 好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.
变式训练2：如图，已知抛物线y＝x 2－3x经
过B（4，4），将直线OB向下平移m个单位
长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共
变式训练1: 关于一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0的两个实 数根为x1 、 x2。且x1+x2>0,x1x2>0.求m的取值 范围
变式训练2:已知菱形的边长为5，两条对角线交 与O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程 x2+(2m-1)x+m2+3=0的根，则m=（ ）
A.-3 B.5 C.5或-3 D.-5或3
点D，求m的值及点D的坐标
人教版数学九年级上学期课时练习-《一元二次方程》全章复习与巩固(知识讲解)(人教版)
专题21.29 《一元二次方程》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识要点】1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.特别说明：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．特别说明：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 −−−→降次法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.特别说明：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题； )0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =21二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.特别说明：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.类型一、一元二次方程的有关概念1、已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m -+++=．若方程有一个根的平方等于9，求m 的值．【答案】1或-5【分析】根据题意，该方程的根可能是3或3-，分类讨论，把x 的值代入原方程求出m 的值．解：∵方程有一个根的平方等于9，∵这个根可能是3或3-，当3x =，则()93320m m -+++=，解得1m =，当3x =-，则()93320m m ++++=，解得5m =-，综上：m 的值是1或-5．【点拨】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义． 举一反三：【变式1】如果方程2ax 10x ++=与方程2x a 0x --=有且只有一个公共根，求a 的值．【答案】-2【分析】有且只有一个公共根，建立方程便可求解了．解：∵有且只有一个公共根∴22ax 1x a x x ++=--∴ax 10x a +++=∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，∵()11a x a -+=+∴1x =-当1x =-时，代入第一个方程可得1-a+1=0解得：2a =【点拨】本题考查根与系数的关系，关键在于有一个公共根的理解，从而建立方程，求得根．【变式2】 已知x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx －40＝0的一个根，且a ≠b ，求2222a b a b --的值.【答案】20【分析】先根据一元二次方程的解得到a+b=40，然后把原式进行化简得到=12（a+b ），再利用整体代入的方法计算；解：把x=1代入方程得a+b -40=0，即a+b=40，所以原式=()()()10222a b a b a b a b +-=+=-（） 类型二、一元二次方程的解法2、用适当的方法解下列方程：(1)x 2－x －1＝0；(2)3x (x －2)＝x －2；(3)x 2－＋1＝0；(4)(x ＋8)(x ＋1)＝－12．【答案】(1)112x +=，212x -= (2)x 1＝13，x 2＝2 (3)x11，x 21 (4)x 1＝－4，x 2＝－5【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解；（3）利用配方法解答，即可求解；（4）利用因式分解法解答，即可求解．(1)解：a＝1，b＝－1，c＝－1∵b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5∵x即原方程的根为x1，x2(2)解：移项，得3x（x－2）－（x－2）＝0，即（3x－1）（x－2）＝0，∵x1＝13，x2＝2．(3)解：配方，得（x）2＝1，∵x＝±1．∵x11，x2－1．(4)解：原方程可化为x2＋9x＋20＝0，即（x＋4）（x＋5）＝0，∵x1＝－4，x2＝－5．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．举一反三：【变式1】用指定方法解下列方程：(1)2x2-5x+1＝0(公式法)；(2)x2-8x+1＝0(配方法)．【答案】(1)x1，x2(2)x1＝x2＝4【分析】（1）根据公式法，可得方程的解；（2）根据配方法，可得方程的解．(1)解：∵a＝2，b＝-5，c＝1，∵Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17，∵x =∵x 1，x 2 (2)解：移项得281x x -=-，并配方，得2816116x x -+=-+，即(x -4)2＝15，两边开平方，得x ＝∵x 1＝x 2＝4【点拨】本题考查了解一元二次方程，配方法解一元二次方程的关键是配方，利用公式法解方程要利用根的判别式．【变式2】用适当的方法解方程：∵2(23)250x +-= ∵2670x x ++=（用配方法解）∵2314x x +=． ∵222(3)9x x -=-．【答案】∵ 14x =-，21x =； ∵13x =-23x =- ∵113x =，21x =； ∵13x =，29x =． 【分析】∵利用因式分解法解方程；∵利用配方法得到2(3)2x +=，然后利用直接开平方法解方程；∵先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；∵先移项得到()()22(3)330x x x --+-=，然后利用因式分解法解方程．解：∵()()2352350x x +++-=，2350x ++=或2350x +-=，所以14x =-，21x =；∵2692x x ++=，2(3)2x +=，3x +=所以13=-x 23x =-∵23410x x -+=，()()3110x x --=，310x -=或10x -=， 所以113x =，21x =； ∵()()22(3)330x x x --+-=，()()32630x x x ----=，30x -=或2630x x ---=，所以13x =，29x =．【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3、已知：关于x 的方程x 2﹣（k ＋2）x ＋2k ＝0（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长a ＝1，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求∵ABC 的周长．【答案】（1）见分析；（2）5【分析】（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出∵≥0，可得方程总有实数根；（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b 、c 的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出∵ABC 的周长．（1）解：由题意知：Δ＝（k +2）2﹣4•2k ＝（k ﹣2）2，∵（k ﹣2）2≥0，即∵≥0，∵无论取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，∵∵ABC的周长＝2+2+1＝5；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去，∵∵ABC的周长为5．【点拨】本题考查了根的判别式∵＝b2－4ac：∵当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；∵当∵＝0时，方程有两个相等的实数根；∵当∵＜0时，方程没有实数根．也考查了等腰三角形的性质以及三角形三边的关系．举一反三：【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+x＝k．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；（2）当k＝6时，求方程的实数根．【答案】（1）k＞﹣14；（2）x1＝﹣3，x2＝2．【分析】（1）根据判别式的意义得△=12-4×1（-k）=1+4k＞0，然后解不等式即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∵∵＝12﹣4×1（﹣k）＝1+4k＞0，解得：k＞﹣14；（2）把k＝6代入原方程得：x2+x＝6，整理得：x2+x﹣6＝0，分解因式得：（x+3）（x﹣2）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝2．【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程．【变式2】已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0，（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．【答案】（1）见分析；（2）16或22【分析】（1）先计算判别式，将结果写成完全平方形式，再根据判别式的意义得出结论．（2）运用求根公式得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，将两个根代入计算，分情况讨论求出等腰三角形的周长．解：（1）证明：∆=[-(3k+1)]2-4×1×(2k2+2k)=k2-2k+1=( k-1)2，∵无论k取什么实数值，(k-1)2≥0，∵∆≥0，所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）x2-(3k+1)x+2k2+2k=0，因式分解得：(x-2k)( x-k-1)=0，解得：x1=2k，x2=k+1，b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k，c=k+1，分三种情况讨论：第一种情况：∵若c为等腰三角形的底边，a、b为腰，则a=b=2k=6，∵k=3，c=k+1，∵c=4，检验：a+b＞c，，a+c＞b，b+c＞a，a-b＜c，a-c＜b，b-c＜a，∵a=b=6，c=4，可以构成等腰三角形，此时等腰三角形的周长为：6+6+4=16；第二种情况：∵若b为等腰三角形的底边，a、c为腰，则a=c=k+1=6，∵k=5，b=2k，∵b=10，检验：a+b ＞c ，，a+c ＞b ，b+c ＞a ，b -a ＜c ，a -c ＜b ，b -c ＜a ，∵a=c=6，b=10，可以构成等腰三角形，此时等腰三角形的周长为：6+6+10=22；第三种情况：∵若a 为等腰三角形的底边，b 、c 为腰，则b=c ，∵即：2k=k+1，解得k=1，∵a=6，b=2，c=2，检验：b+c ＜a ，∵a=6，b=2，c=2，不能构成等腰三角形；综上，等腰三角形的周长为16或22．【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式，本题第二问，根据一元二次方程根的情况求参数，分类讨论是解题关键．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4、关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得22121216x x x x +=+成立？如果存在，求出m 的值：如果不存在，请说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）m =-1【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，那么∵＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系即可得出x 1+x 2=-2（m -1），x 1•x 2=m 2-1，由条件可得出关于m 的方程，解之即可得出m 的值．解：（1）∵方程x2+2（m -1）x +m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．∵∵=4（m -1）2-4（m 2-1）=-8m +8＞0，∵m<1；（2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2，∵x 1+x 2=-2（m -1），x 1•x 2=m 2-1．∵x 12+x 22=16+x 1x 2∵(x1+x2)2＝16+3x1x2，∵4（m-1）2=16+3（m2-1），解得：m1=-1，m2=9，∵m＜1，∵m2=9舍去，即m=-1．【点拨】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出根与系数的关系；（2）根据根与系数的关系得出m的值，注意不能忽视判别式应满足的条件．举一反三：【变式1】关于x的一元二次方程x2－（k－3）x－2k＋2＝0(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分别为x1，x2，且x1＋x2＋x1x2＝2，求k的值．【答案】(1)见分析(2)-3【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k+1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，再将它们代入x1+x2+x1x2=2，即可求出k的值．(1)证明：∵Δ=b2-4ac=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，∵方程总有两个实数根；(2)解：由根与系数关系得x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，∵x1+x2+x1x2=2，∵k-3+（-2k+2）=2，解得k=-3．【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2=-ba，x1•x2=ca．【变式2】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根．(1)若这个方程有一个根为-1，求m的值；(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围；(3)已知Rt∵ABC的一边长为7，x1，x2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值．【答案】(1)m的值为1或-2(2)-2＜m＜1(3)m m＝49 24【分析】（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；（2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围；（3）首先用m表示出方程的两根，分直角∵ABC的斜边长为7或2m+3,根据勾股定理求出m的值.(1)解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，∵将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．解得m＝1或m＝-2．∵m的值为1或-2．(2)解：∵x2-4mx+4m2＝9，∵(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．∵x1＝2m+3，x2＝2m-3．∵2m+3＞2m-3，∵231 231 mm+-⎧⎨--⎩＞＜解得-2＜m＜1．∵m的取值范围是-2＜m＜1．(3)解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3．若Rt∵ABC的斜边长为7，则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．解得m＝∵边长必须是正数，∵m若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72．解得m＝49 24．综上所述，m m＝49 24．【点拨】本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.类型五、一元二次方程的实际应用5、水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20kg．(1)若以每千克能盈利17元的单价出售，求每天的总毛利润为多少元；(2)现市场要保证每天总毛利润为7500元，同时又要使顾客得到实惠，求每千克应涨价多少元；(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出1.5元，水电房租费每日300元．若每天剩下的总纯利润要达到6000元，求每千克应涨价多少元．【答案】(1)每天的总毛利润为7820元；(2)每千克应涨价5元；(3)每千克应涨价15元或203元【分析】（1）设每千克盈利x元，可售y千克，由此求得关于y与x的函数解析式，进一步代入求得答案即可；（2）利用每千克的盈利×销售的千克数＝总利润，列出方程解答即可；（3）利用每天总毛利润﹣税费﹣人工费﹣水电房租费＝每天总纯利润，列出方程解答即可．(1)解：设每千克盈利x元，可售y千克，设y=kx+b，则当x＝10时，y＝600，当x＝11时，y＝600﹣20＝580，由题意得，10600 11580k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得20800kb=-⎧⎨=⎩．所以销量y与盈利x元之间的关系为y＝﹣20x+800，当x＝17时，y＝460，则每天的毛利润为17×460＝7820元；(2)解：设每千克盈利x元，由（1）可得销量为（﹣20x+800）千克，由题意得x（﹣20x+800）＝7500，解得：x1＝25，x2＝15，∵要使得顾客得到实惠，应选x＝15，∵每千克应涨价15﹣10＝5元；(3)解：设每千克盈利x元，由题意得x（﹣20x+800）﹣10%x（﹣20x+800）﹣1.5（﹣20x+800）﹣300＝6000，解得：x1＝25，x2503 =，则每千克应涨价25﹣10＝15元或503-10203=元．【点拨】此题主要一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，理解销售问题中的基本关系是解决问题的关键．举一反三：【变式1】如图所示，有一面积为150m2的的长方形养鸡场，鸡场边靠墙(墙长18米)，另三边用竹篱笆围成．如果竹篱笆的长为35m，求鸡场长和宽各是多少?【答案】鸡场的长与宽各为15m，10m．【分析】设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x）m，列出一元二次方程计算即可；解：设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x）m，由题意得，x（35﹣2x）＝150，解这个方程：x1＝7.5，x2＝10，当养鸡场的宽为x1＝7.5 时，养鸡场的长为20m不符合题意，应舍去，当养鸡场的宽为x 2＝10m 时，养鸡场的长为15m ，答：鸡场的长与宽各为15m ，10m ．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．【变式2】2020年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式．某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当地某种农产品．已知该农产品成本为每千克10元．调查发现，每天销售量()kg y 与销售单价x (元)满足如图所示的函数关系(其中1040x <≤)．()1写出y 与x 之间的函数关系式．()2当销售单价x 为多少元时，每天的销售利润可达到6000元？【答案】（1）15750=-+y x ；（2）当销售单价为30元时，每天的销售利润可达到6000元．【分析】（1）设函数解析式为y kx b =+，根据题意：销售单价为10元时，销售量为600kg ，销售单价为40元时，销售量为150kg ，代入熟知求得k 、b 的值即可求得解析式；（2）每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以销售量列式求解．解：（1）根据题意：销售单价为10元时，销售量为600kg ，销售单价为40元时，销售量为150kg ，设y 与x 之间的函数关系式为：y kx b =+，则可得：6001015040k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：15750k b =-⎧⎨=⎩，∵y 与x 之间的函数关系式为：15750=-+y x ；（2）根据题意可知每天的销售利润为：0()1015750600)(x x --+=2609000,x x ∴-+=解得：1230x x ==；答：当销售单价为30元时，每天的销售利润可达到6000元．【点拨】本题主要考查一次函数的实际应用，以及二次函数的实际应用，结合属性结合的思想求出一次函数解析式，以及明确每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以销售量是解题的关键．类型六、一元二次方程的几何应用6、已知：如图所示，在ABC 中，90B ∠=︒，5AB cm =，7BC cm =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动．当P 、Q 两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PBQ △的面积等于24cm（2）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于？ （3）PQB △的面积能否等于27cm 请说明理由．【答案】（1）1秒；（2）3秒；（3）不能，理由见分析【分析】（1）设P 、Q 分别从A 、B 两点出发，x 秒后，AP=xcm ，PB=（5-x ）cm ，BQ=2xcm ，则∵PBQ 的面积等于12×2x （5-x ），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解；（2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）看∵PBQ 的面积能否等于7cm 2，只需令12×2t （5-t ）=7，化简该方程后，判断该方程的24b ac -与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．解：（1）设经过x 秒以后，PBQ △面积为24(0 3.5)cm x <≤，此时=AP xcm ，()5BP x cm =-，2=BQ xcm ， 由142BP BQ ⋅=，得()15242x x -⨯=， 整理得：2540x x -+=，解得：1x =或4(x =舍)，答：1秒后PBQ △的面积等于24cm ；（2）设经过t 秒后，PQ 的长度等于由222PQ BP BQ =+，即2240(5)(2)t t =-+，解得：t=3或-1(舍)，∵3秒后，PQ 的长度为；（3）假设经过t 秒后，PBQ △的面积等于27cm ， 即72BQ BP ⨯=，()2572t t -⨯=， 整理得：2570t t -+=，由于24252830b ac -=-=-<，则原方程没有实数根，∵PQB △的面积不能等于27cm ．【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．举一反三：【变式1】 已知：如图A ，B ，C ，D 为矩形的四个顶点，AB=16cm ，AD=6cm ，动点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点P 以3cm/S 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止，点Q 以2cm/S 的速度向点D 移动（1）P ，Q 两点从出发点出发几秒时，四边形PBCQ 面积为33cm²（2）P ，Q 两点从出发点出发几秒时，P ，Q 间的距离是为10cm ．【答案】（1）5秒；（2）P，Q两点出发85秒或245秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】当运动时间为t秒时，PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．（1）利用梯形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）过点Q作QM∵AB于点M，则PM=|16-5t|cm，QM=6cm，利用勾股定理结合PQ=10cm，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．解：当运动时间为t秒时，PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．（1）依题意，得：12×（16-3t+2t）×6=33，解得：t=5．答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．（2）过点Q作QM∵AB于点M，如图所示．∵PM=PB-CQ=|16-5t|cm，QM=6cm，∵PQ2=PM2+QM2，即102=（16-5t）2+62，解得：t1=85，t2=245．答：P，Q两点出发85秒或245秒时，点P和点Q的距离是10cm．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据梯形的面积公式，找出关于t的一元一次方程；（2）利用勾股定理，找出关于t的一元二次方程．【变式2】在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s 的速度移动；同时点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，设运动时间为t s．问：(1)几秒后∵PBQ的面积等于8 cm2?(2)是否存在t，使∵PDQ的面积等于26 cm2?【答案】(1)2秒或4秒后△PBQ的面积等于8 cm2；(2)不存在t，使∵PDQ的面积等于26 cm2.【分析】（1）设x秒后∵PBQ的面积等于8cm2，用含x的代数式分别表示出PB，QB的长，再利用∵PBQ的面积等于8列式求值即可；（2）假设存在t使得∵PDQ面积为26cm2，根据∵PDQ的面积等于26cm2列式计算即可．解：(1)设x秒后∵PBQ的面积等于8 cm2.∵AP＝x，QB＝2x.∵PB＝6－x.∵(6－x)·2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，故2秒或4秒后∵PBQ的面积等于8 cm2.(2)假设存在t使得∵PDQ的面积为26 cm2，则72－6t－t(6－t)－3(12－2t)＝26，整理得，t2－6t＋10＝0，∵Δ＝36－4×1×10＝－4＜0，∵原方程无解，∵不存在t，使∵PDQ的面积等于26 cm2.【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，表示出△PBQ的的两条直角边长是解决本题的突破点;用到的知识点为:直角三角形的面积=两直角边积的一半.本题也考查了矩形的性质和割补法求图形的面积.类型七、一元二次方程的拓展应用6、关于x 的一元二次方程260x x k -+=的一个根是2，另一个根2x ．（1）若直线AB 经过点()2,0A ，()20,B x ，求直线AB 的解析式；（2）在平面直角坐标系中画出直线AB 的图象，P 是x 轴上一动点，是否存在点P ，使ABP ∆是直角三角形，若存在，直接写出点P 坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）24y x =-+；（2）存在，点P 的坐标为()8,0-或()0,0．【分析】（1）将x=2代入方程求出k=8，根据根与系数的关系求出2x =4，设直线AB 的解析式为y=kx+b （0k ≠），利用待定系数法求出解析式；（2）分情况求解：第一种：AB 是斜边，∵APB ＝90°，得到点P 与原点O 重合；第二种：设AB 是直角边，点B 为直角顶点，即∵ABP ＝90°，设P 的坐标为（x ，0），根据222AP BP AB =+， 22222424(2)x x +++=-， 解得x=-8，求出点P 的坐标；第三种：设AB 是直角边，点A 为直角顶点，即∵BAP ＝90°，由点P 是x 轴上的动点，得到∵BAP ＞90°，情况不存在.解：（1）当x=2时，方程为22120k -+=，解得k=8，∵2+2x =6，∵一元二次方程为2680x x -+=的另一个根2x =4.设直线AB 的解析式为y=kx+b （0k ≠），∵直线AB 经过点A （2，0），B （0，4），∵204k b b +=⎧⎨=⎩， 解得k=-2，b=4，直线AB 的解析式：y=-2x+4；（2）第一种：AB 是斜边，∵APB ＝90°，∵∵AOB ＝90°，∵当点P 与原点O 重合时，∵APB ＝90°，∵当点P 的坐标为（0，0），∵ABP 是直角三角形.第二种：设AB 是直角边，点B 为直角顶点，即∵ABP ＝90°，∵线段AB在第一象限，∵这时点P在x轴负半轴.设P的坐标为（x，0），∵A（2，0），B（0，4），∵OA＝2，OB＝4，OP＝-x，∵222224=+=+，BP OP OB x22222=+=+，AB OA OB24222=+=-.AP OA OP x()(2)∵222=+，AP BP AB∵22222x x+++=-，424(2)解得x=-8，∵当点P的坐标为（―8，0），∵ABP是直角三角形.第三种：设AB是直角边，点A为直角顶点，即∵BAP＝90°.∵点A在x轴上，点P是x轴上的动点，∵∵BAP＞90°，∵∵BAP＝90°的情况不存在．∵当点P的坐标为（―8，0）或（0，0）时，∵ABP是直角三角形.【点拨】此题考查待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论问题的解题方法是解题的关键.举一反三：【变式1】阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，）例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋10(101)2-×2＝120．用上面的知识解决下列问题．（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．【答案】（1）1180；（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．【分析】（1）根据题意，由公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和，即可得到答案；（2）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案．解：（1）由题意，得6d=，20n=，2a=，∵(1)2n nS na d-=+⨯，∵20(201)22062S-=⨯+⨯401140=1180=+；（2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得1200x+(1)2x x-×400＝25200，整理得：（x﹣9）（x+14）＝0，∵x＝9或x＝﹣14（负值舍去）．∵2009+9-1=2017；答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题．【变式2】阅读下列材料，回答问题.关于x 的方程121x x +=的解是1x =；222x x +=的解是2x =；323x x +=的解是3x =；222x x --=(即222x x -+=-)的解是2x =-. (1)请观察上述方程与其解的特征，x 的方程2(0)m x m x m+=≠与上述方程有什么关系？猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证.(2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可得到以下结论：如果方程的左边是一个未知数倒数的a 倍与这个未知数的1a 的和等于2，那么这个方程的解是x=a.请用这个结论解关于x 的方程：2212(1)x a a x a+=+--. 【答案】(1)普遍形式，x m =．(2)x =【分析】 ∵观察一系列方程的解得出一般性规律，即可得到所求方程的解；∵方程变形后，利用得出的规律即可求出解．解：（1）由已知中，121x x +=的解是1x =， 222x x +=的解是2x =， 33x x +的解是3x =， 222x x --=的解是2x =-． ⋯ 归纳可得方程2m x x m+=的解是x m =， 将x m =代入得： 左边112m m m m=+=+=， 故m 是方程2m x x m +=的解， （2）2212x a x a +=+-可化为：2212x a x a-+=-， 由（1）中结论可得21x a -=，即21x a =+，∴=x【点拨】此题考查了分式方程的解，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．。
一元二次方程判别式及根与系数的关系讲义
的值.
分析：已知方程，求兩根組成代數式的值。這裡主要說明解題格式，學生完成過程. （2）已知關於x的方程3x2-mx-2=0的兩根為x1 ，x2，且
1 x1 1 x2 3 ，求 ①m的值；②求x1 +x2 的值.
2 2
分析：第（1）題是已知方程，求兩根組成代數式的值，而第（2）題的第一問就反來了，也就是已 知代數式的值求方程。第②問，再進一步，已知代數式的值，求另一個代數式的值.但是，無論是哪 一個問題，所要用到的都是根與係數的關係. 小結 ： 1.求方程兩根所組成的代數式的值 ， 關鍵在於把所求代數式變形為兩根的和與兩根的積的形式.
(4)有兩個實根. 解：△=（4m+1）2-4×2×（2m2-1）=8m+9
9 8 9 8 9 8
（1）當△=8m+9=0，即m= （2）當△=8m+9＞0，即m＞-
時，方程有兩個相等的實根； 時，方程有兩個不等的實根；
（3）當△=8m+9＜0，即m＜ - 時，方程沒有實根. 三、典型問題二：不解方程，求方程兩根所組成的某些代數式的值 例2、 （1）已知關於x的方程3x2+6x-2=0的兩根為x1 ，x2，求
若存在，求出 m 的值；若不存在，請說明理由． 解：設方程的兩實根為 x1，x2 ， 則： x1 x2 2( m 2) ， x1 x2 m 2 ． 令 x1 x2 56 得： ( x1 x2 ) 2 x1 x2 4( m 2) 2 m 56 ．
2 2 2 2 2
即 m 2 8m 20 0 ．
m 10 或 m 2 ．
2 2 2 當 m 10 時， [2(10 2)] 4 10 16 400 0 ，
4一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(讲+练)
21.2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.题型1：利用判别式判断一元二次方程根的情况1.下列方程有两个相等的实数根的是（ ）A ．x 2﹣2x+1＝0B ．x 2﹣3x+2＝0C ．x 2﹣2x+3＝0D ．x 2﹣9＝0)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆2.已知：关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0，求证：方程有两个不相等的实数根．题型3：求一元二次方程两根的和与积3.若x1，x2是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，则x1+x2，x1x2的值分别是（）A．1和6B．5和-6C．-5和6D．5和6； ．题型4：已知一根求另一根或字母的值4.关于x 的方程x²＋mx ＋6＝0的一个根为－2，则另一个根是（ ）A ．－3B ．－6C ．3D ．6的一个根，求方程的另一个根及. 22x x +121(x x x =+2212x x x +1(x =22|x 2(|x x =题型5：利用根与系数的关系构造方程5.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A．x2+3x+4=0B．x2+4x−3=0C．x2−4x+3=0D．x2+3x−4=0题型6：求涉根代数式的值6.若一元二次方程x2−2x=1的两个实数根分别为x1，x2，求(x1−1)(x2−1)的值.题型7：根与系数的关系与三角形综合7.一个三角形的两边为方程2x2−kx+8=0的两根，第三边长为4，则k的范围是（）题型8：根与系数中的新定义问题8.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c一、单选题1．已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（）A．1B．﹣1C．32D．−32 2．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则（）A．b＝1，c＝﹣6B．b＝﹣1，c＝﹣6C．b＝5，c＝﹣6D．b＝﹣1，c＝63．一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x1、x2，则x1＋x2等于() A．5B．6C．－5D．－64．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α，β满足1α+1β=1，则m的值为（）A．﹣3B．1 C．﹣3 或1D．2 5．已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则b a+a b＝（）A．﹣6B．2C．16D．16或2 6．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两个实根，则x1+x2等于（）A．﹣3B．3C．﹣2D．2二、填空题7．二次项系数为2的一元二次方程的两个根分别是1 −√3和1 +√3，那么这个方程是．8．已知一元二次方程x2 －5x－1=0的两根为x1，x2，则x1+x2= ．9．已知方程x2+2x-1=0 的两根分别为x1，x2，则x1+x2=.10．已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为a、b，则1a+1b的值是．11．方程x2+2x−3=0的两根为x1、x2则x1⋅x2的值为.三、解答题12．已知方程关于x的一元二次方程3x2+5x-4k=0的一个根是-2，求k和方程另一个根a的值．13．已知方程2x2+3x-4=0的两实数根为x1、x2，不解方程求：（1）x12+x22的值；（2）(x1-2)(x2-2) 的值四、综合题14．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2+x1+x2=15，求m的值．15．已知关于x的一元二次方程x2−2x+k−1=0．（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；（2）已知x=3是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值．。
九年级上第03讲 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系讲义+练习
第3讲一元二次方程根的判别式及根与系数的关系概述适用学科初中数学适用年级初三适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、一元二次方程的根的判别式2、根与系数的关系教学目标1、使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．2、使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．3、通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性．来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．4、使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会其运用．教学重点1、一元二次方程根的判别式的内容及应用．2、韦达定理的推导和灵活运用．3、已知方程求关于根的代数式的值 .教学难点1、用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式．2、一元二次方程根的判别式的推导．3、利用根的判别式进行有关证明【知识导图】用公式法求出下列方程的解：(1)3x 2＋x －10＝0；(2)x 2－8x ＋16＝0；(3)2x 2－6x ＋5＝0． 引入新课通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题．先讨论上述三个小题中b 2－4ac 的情况与其根的联系．再做如下推导：对任意一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，可将其变形为一元二次方程根的判别与及根于系数的关系根的判别有实数根无实数根韦达定理两根和两根积教学过程考点1 一元二次方程根的判别式 二、知识讲解一、导入(x+)2=∵a ≠0，∴4a 2＞0．由此可知b 2－4ac 的值直接影响着方程的根的情况． (1)当b 2－4ac ＞0时，方程右边是一个正数．12x x ==因此b 2-4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根 (2)当b 2－4ac ＝0时，方程右边是122bx x a==-,所以，一元二次方程有两个相等的实数根 (3) 当b 2-4ac<0时，方程右边是一个负数,而方程左边的(x+)2不可能是一个负数,因此方程没有实根.通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况可由b 2－4ac 来判定．故称b 2－4ac 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式，通常用“△”来表示． ● 综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根．反过来也成立．● 提问1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式应如何表述？ 2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？ ● 新知讲解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为：考点2 根于系数之间的关系12x x ==12b x x a +=- 12cx x a=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”) 如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么12b x x a +=-12cx x a= 我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的根与系数的关系． 如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)变形为20b cx x a a++=，我们就可以将之写成20x px q ++=的形式，其中,b cp q a a== ● 得出结论：如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q ． 由 x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q 可知p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， ∴方程x 2＋px ＋q ＝0， 即 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．这就是说，以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． ● 一元二次方程的根与系数的关系如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a .这个关系通常称为韦达定理．(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件： ①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0；②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a≠0.(2)如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，这时韦达定理应是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q.如果实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．考点3 利用根与系数的关系确定一元二次方程(1)利用这一性质比较容易检验一元二次方程的解是否正确．(2)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 已知两根求一元二次方程，其一般步骤是： ①先根据两根分别求出两根之和与两根之积；②把两根之和、两根之积代入一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0，求出所要求的方程．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两根为x 1，x 2，则求含有x 1，x 2的代数式的值时，其方法是把含x 1，x 2的代数式通过转化，变为用x 1＋x 2，x 1x 2的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值．解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形： ①＋＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；②1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2； ③(x 1＋a)(x 2＋a)＝x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2； ④|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.类型一 一元二次方程根的判别式一元二次方程的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根 【答案】D若关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥1 B ．k ＞1 C ．k ＜1 D ．k≤121x 22x 2x2x 20三 、例题精析例题2例题1考点4 一元二次方程根与系数的关系的应用【答案】D已知：关于x 的一元二次方程x 2+2x +k =0有两个不相等的实数根。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【基础练习】 一、选择题1.一元二次方程x 2﹣4x +4=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是（ ）A ．240b ac -=B ．240b ac ->C ．240b ac -<D ．240b ac -≥ 3．若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．0 C.1 D.2 4．关于方程2230x x ++=的两根12,x x 的说法正确的是（ ）A. 122x x +=B.123x x +=-C. 122x x +=-D.无实数根 5．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，则k 的取值范围是（ ） A.k≥4 B.k≤4 C.k ＞4 D.k=46．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为（ ）．A ．3B ．6C ．18D ．24 二、填空题7．关于x 的方程kx 2﹣4x ﹣=0有实数根，则k 的取值范围是 ． 8．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则+= ．9．若方程的两根是x 1、x 2，则代数式的值是 。
10．设一元二次方程2320x x --=的两根分别为1x 、2x ，以21x 、22x 为根的一元二次方程是________．11．已知一元二次方程x 2-6x+5-k=0•的根的判别式△=4，则这个方程的根为___ ． 12．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为__ _． 三、解答题13．当k 为何值时，关于x 的方程x 2-(2k-1)x ＝-k 2+2k+3， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根?14. 已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且方程(a 2+b 2)x 2-2cx+1＝0有两个相等的实数根．请你判断△ABC 的形状．15．已知实数a ，b 是方程x 2﹣x ﹣1=0的两根，求+的值．【提高练习】 一、选择题1. 关于x 的方程2210mx x ++=无实数根，则m 的取值范围为( )． A ．m ≠0 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞-12．等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n ﹣1=0的两根，则n 的值为（ ）.A ．9B ．10C ．9或10D ．8或103．若1x 、2x 是一元二次方程2210x x +-=的两根，则1211x x +的值为（ ）．A ．-1B ．0C ． 1D ．24．设a ，b 是方程220130x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）． A ．2010 B ．2011 C ．2012 D ．20135．若ab ≠1，且有25201290a a ++=，及29201250b b ++=，则ab的值是（ ）． A ．95 B ．59 C ．20125- D ．20129- 6．超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元， 如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题7．已知关于x 的方程221(3)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是________．8．关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m -+++-=无实数根，则m 的取值范围是__ ___．9．一元二次方程x 2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c= ．（只需填一个）．10．在Rt △ABC 中，∠C=900，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程的两根，那么AB 边上的中线长是 .11．设x 1、x 2是方程x 2﹣4x +m=0的两个根，且x 1+x 2﹣x 1x 2=1，则x 1+x 2= ，m= ．12．已知：关于x 的方程①的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程②有实数根且k 为正整数，则代数式的值为 . 三、解答题13. 已知关于x 的方程22210x mx m --+=的两根的平方和等于294，求m 的值．14．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（2m +1）=0有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．15．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx+k 2+2=2（1﹣x ）有两个实数根x 1、x 2． （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两实数根x 1、x 2满足|x 1+x 2|=x 1x 2﹣1，求k 的值．【基础答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B.【解析】在方程x 2﹣4x +4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根． 2.【答案】B ；【解析】20ax bx c ++=(a ≠0)有两个不相等实数根240b ac ⇔->． 3.【答案】B ；【解析】∵关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣8（a ﹣1）=12﹣8a ≥0且a ﹣1≠0，∴a ≤且a ≠1，∴整数a 的最大值为0．故选：B ．4.【答案】D ；【解析】求得Δ=b 2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D . 5.【答案】B ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，∴b 2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0， 解得：k≤4，故选B ．6.【答案】A ；【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：3αβ+=，32αβ=，因此22()()4963αβαβαβ-=+-=-=．二、填空题 7．【答案】k≥﹣6； 【解析】当k=0时，﹣4x ﹣=0，解得x=﹣，当k≠0时，方程kx 2﹣4x ﹣=0是一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0， 综上k≥﹣6．8.【答案】-2.【解析】∵一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根为x 1、x 2，x 1+x 2=2，x 1•x 2=﹣1， ∴+==﹣2．故答案是：﹣2．9．【答案】6；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：12122,3x x x x +=•=-，222121212121222()22()4646x x x x x x x x x x +--=+--+=+-=．10．【答案】21340y y -+=；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：123x x +=，122x x =-，从而2222121212()232(2)13x x x x x x +=+-=-⨯-=，22221212()(2)4x x x x ==-=g ，于是，所求方程为21340y y -+=．11．【答案】 x 1=4，x 2=2.【解析】∵△=4，∴b 2-4ac=4，即x=，∴x 1=4，x 2=2． 12．【答案】 25或36；【解析】设十位数字为x,则个位数字为（x+3）.依题意得（x+3）2=10x+(x+3), 解得x 1=2，x 2=3．当x=2时，两位数是25；当x=3时，两位数是36.三、解答题13.【答案与解析】 解：22(21)23x k x k k --=-++化为一般形式为：22(21)230x k x k k --+--=，∴ 1a =，(21)b k =--，223c k k =--． ∴222224[(21)]41(23)4414812413b ac k k k k k k k k =-=---⨯⨯--=-+-++=+△．(1)若方程有两个不相等的实数根，则△＞0，即4130k +>．∴134k >-． (2)若方程有两个相等的实数根，则△＝0，即4130k +=，∴ 134k =-．(3)若方程没有实数根，则△＜0，即4130k +<，∴ 134k <-．答：当134k >-时，方程有两个不相等的实数根；当k ＝134-时，方程有两个相等的实数根；当134k <-，方程没有实数根．14.【答案与解析】解： 令22A a b =+，2B c =-，1C =，22244()c a b =-+△，∵ 方程有两等根，∴ △＝0，∴ 222c a b =+， ∴ △ABC 为直角三角形．15.【答案与解析】解：∵实数a ，b 是方程x 2﹣x ﹣1=0的两根，∴a+b=1，ab=﹣1，∴+=== ﹣3．【提高答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B ；【解析】当m ＝0时，原方程的解是12x =-；当m ≠0时，由题意知△＝22-4·m ×1＜0，所以m ＞1．2．【答案】B ；【解析】∵三角形是等腰直角三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b 两种情况， ①当a=2，或b=2时，∵a，b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n ﹣1=0的两根， ∴x=2，把x=2代入x 2﹣6x+n ﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0， 解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形， 故n=9不合题意，②当a=b 时，方程x 2﹣6x+n ﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣6）2﹣4（n ﹣1）=0 解得：n=10， 故选B ．3．【答案】C ；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：1212x x +=-，1212x x =-，从而121212111x x x x x x ++==．4.【答案】C ；【解析】依题意有22013a a +=，1a b +=-，∴222()()201312012a a b a a a b ++=+++=-=．5．【答案】A ；【解析】因为25201290a a ++=及29201250b b ++=，于是有25201290a a ++=及2115()201290bb+•+=， 又因为1ab ≠，所以1a b ≠，故a 和1b可看成方程25201290x x ++=的两根，再运用根与系数的关系得195a b •=，即95a b =． 6．【答案】D ；【解析】一月份的营业额为200万元；二月份的营业额为200（1+x ）万元；三月份的营业额为200（1+x ）2万元；一季度的总营业额共1000万元，所以200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000，故选 D.二、填空题 7．【答案】1； 【解析】由题意知△＝221[(3)]404m m ---⨯⨯>，所以32m <，因此m 的最大整数值是1． 8．【答案】54m <-； 【解析】因为关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m -+++-=无实数根，所以22(21)4(1)(1)0m m +-⨯--<，解得54m <-．9．【答案】4；【解析】∵一元二次方程x 2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣5）2﹣4c ＞0，解得c ＜，∵x 1+x 2=5，x 1x 2=c ＞0，c 是整数，∴c=4．故答案为：4．10．【答案】；【解析】因直角三角形两直角边a 、b 是方程的二根，∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c 2=a 2+b 2③，联立①②③组成方程组求得c=5，∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为.11【答案】4；3．【解析】∵x 1、x 2是方程x 2﹣4x +m=0的两个根，∴x 1+x 2=﹣=4，x 1x 2==m ．∵x 1+x 2﹣x 1x 2=4﹣m=1，∴m=3．12.【答案】0.【解析】先根据根与系数的关系求得a 值，a=-1,再将a=-1代入到第二个方程.因第二个方程一定有实根，由△≥0得178k ≤，因为k 为正整数，=12k 或，当=2k 时，分母为0，故舍去，所以k=1, 当k=1时.0=k-1k-2.三、解答题13. 【答案与解析】解：设方程的两根为x 1、x 2，则由根与系数关系，得122m x x +=，12122mx x -=．由题意，得 2212294x x +=，即2121229()24x x x x +-=，∴ 212292224m m -⎛⎫-=⎪⎝⎭g ， 整理，得28330m m +-=．解得13m =，211m =-．当m ＝3时，△＝28(21)490m m +-=>；当m ＝-11时，△＝28(21)630m m +-=-<，方程无实数根． ∴ m ＝-11不合题意，应舍去． ∴ m 的值为3．14. 【答案与解析】 解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m +1）≥0， 解得m ≤4；（2）根据题意得x 1+x 2=6，x 1x 2=2m +1， 而2x 1x 2+x 1+x 2≥20，所以2（2m +1）+6≥20，解得m ≥3， 而m ≤4，所以m 的范围为3≤m ≤4．15. 【答案与解析】解：（1）方程整理为x 2﹣2（k ﹣1）x+k 2=0，根据题意得△=4（k ﹣1）2﹣4k 2≥0，解得k ≤；（2）根据题意得x 1+x 2=2（k ﹣1），x 1•x 2=k 2， ∵|x 1+x 2|=x 1x 2﹣1， ∴|2（k ﹣1）|=k 2﹣1， ∵k ≤，∴﹣2（k ﹣1）=k 2﹣1，整理得k 2+2k ﹣3=0，解得k 1=﹣3，k 2=1（舍去）， ∴k=﹣3．。
中考专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【重点、难点、考点】重点：①判定一元二次方程根的情况，会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。
②掌握根与系数的关系及应用难点：由判别式，根与系数的关系求字母的取值范围，或与根有关的代数式的值。
考点：中考命题的重点和热点，既可单独成题，又可与二次函数综合运用，是初中代数的重要内容之一。
【经典范例引路】例1 若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A.m<43B.m ≤43C.m>43且m ≠2D.m ≥43且m ≠2（20XX 年山西省中考试题）【解题技巧点拨】 解 C①解答此题时，学生虽然能运用判别式定理，但往往忽略“方程ax 2＋bx ＋c ＝0 作为一元二次方程时 a ≠0”的情形解题原理：对方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0）方程有两实根Δ方程有两相等实根Δ方程有两不等实根Δ⇔≥⎭⎬⎫⇔=⇔>000Δ<0⇔方程没有实根注意：学生在运用时，可能会由“方程有两实根”得出“Δ>0” 题型：①判定方程根的情况或判断简单的二元二次方程组是否有解，②证明一元二次方程有无实根，③求待定系数的值或取值范围，④根与系数的关系综合运用。
例2 先阅读下列第（1）题的解答过程（1）已知αβ是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。
求α2＋3β2＋4β的值。
解法1 ∵α、β是方程x2＋2x－7＝0的两实数根∴α2＋2α－7＝0 β2＋2β－7＝0 且α＋β＝－2∴α2＝7－2αβ2＝7－2β∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3（7－2β）＋4β＝28－2（α＋β）＝28－2×（－2）＝32解法2 由求根公式得α＝－1＋22β＝－1－22∴α2＋3β2＋4β＝（－1＋22）2＋3(－1－22)2＋4(－1－22)＝9－42＋3(9＋42－4－82)＝32解法3 由已知得：α＋β＝－2 αβ＝－7∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18 令α2＋3β2＋4β＝A β2＋3α2＋4α＝B∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4×18＋4×（－2）＝64 ①A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α) (β－α)＋4(β－α)＝0 ②①＋②得：2A＝64 ∴A＝32请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题（2）已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。
第02讲根的判别式、根与系数关系(核心考点讲与练)-【暑假预习】2024年暑假新九年级数学核心考点讲
第02讲根的判别式、根与系数关系（核心考点讲与练）【基础知识】一．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．二．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【考点剖析】一．根的判别式（共4小题）1．（2022•东坡区校级模拟）一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定2．（2022•兴化市模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当a+b+c＝0时，方程有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．b＝c≠a B．a＝b≠c C．a＝c≠b D．a＝b＝c3．（2022•南京一模）若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是．4．（2022•邗江区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．二．根与系数的关系（共6小题）5．（2021秋•泰兴市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．56．（2022•工业园区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一个根为2，则另一个根是．7．（2021秋•鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1+x2，x1•x2．8．（2021秋•东台市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及方程的另一根．9．（2021秋•南关区校级期末）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．10．（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0；（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．三．一元二次方程的整数根与有理根（共3小题）11．小明到商场购买某个牌子的铅笔x支，用了y元（y为整数）．后来他又去商场时，发现这种牌子的铅笔降价20%，于是他比上一次多买了10支铅笔，用了4元钱，那么小明两次共买了铅笔支．12．若关于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7＝0的根是正整数，则整数r的值可以是．13．（2020•仪征市一模）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）为该“全整方程”的“全整数”．（1）判断方程x2x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．（2019秋•苏州期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2ax﹣b＝0有一个实数根x＝1，则下面关于该方程根的判别式△的说法正确的是（）A．Δ＞0 B．Δ＝0 C．Δ＜0 D．无法确定2．（2021秋•仪征市期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等实数根，则整数a最大是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣13．（2021秋•宝应县期末）方程x2﹣x＝﹣2的根的情况为（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根4．（2021秋•仪征市期末）已知方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜c，则下列式子中一定正确的是（）A．m＜b＜n＜c B．b＜m＜n＜c C．m＜n＜b＜c D．m＜b＜c＜n5．（2020•南通模拟）已知数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（）A．11 B．12C．m有无数个解D．13二．填空题（共10小题）6．（2019•京口区校级开学）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣4和﹣1，则p＝，q＝．7．（2022•秦淮区一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，则x+y﹣2xy的值是．8．（2022•鼓楼区一模）已知关于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，则m+n＝．9．（2021秋•东西湖区期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x1+x2的值为．10．（2021•栖霞区开学）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝．11．（2020秋•姜堰区期中）若关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，则正整数a ＝．12．（2022春•崇川区校级月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝．13．（2022•海安市模拟）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两实根是x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值是．14．（2021•栖霞区二模）已知关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整数；若k为整数，则k的值为．15．（2020春•崇川区校级月考）使得关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整数的整数m值是．三．解答题（共9小题）16．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．17．（2021秋•沭阳县期末）关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于2，求k的取值范围．18．（2021秋•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝2，求m的值．19．（2021秋•海州区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根．20．（2021秋•梁溪区校级期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根；（2）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．21．（2021秋•阜宁县期末）定义新运算：对于任意实数m，n都有m★n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3★2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：（1）若（x+1）★3＝15，求x的值．（2）若2★a的值小于0，请判断关于x的方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．22．（2021秋•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0．（1）当k＝2时，求方程的根；（2）求证：这个方程总有两个不相等的实数根．23．（2021春•东台市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有实数根．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若x1+x2﹣3x1x2＝2，求k的值．24．（2021秋•东海县期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：（1）若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝；（2）若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．。
中考数学大一轮数学复习专题ppt课件：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
夯实基本 知已知彼
基础知识回顾
1. 一元二次方程根的判别式
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为________．
(1)b2－4ac>0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个________实数
根，即x1，2＝________． (2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有____________相等
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
热点看台 快速提升
易错题跟踪 1. (2014·湖北襄阳)若正数a是一个一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a 是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是____5____． 2. (2014·湖北鄂州)一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0. (1)若方程有两实数根，求m的取值范围． (2)设方程两实根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m.
课后总结
1
学生：同伴之间相互交流学习心得。
2 师生：共同归纳本课学习知识。
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
作业
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教科书本课课后习题。
2
课时达标册本课练习习题。
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
下课啦！
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
谢谢 指导
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中考大一轮复习讲义◆ 数学 20
D. m≤12
1
5. (2013·山东滨州)对于任意实数 k，关于 x 的方程 x2－2(k＋1)x－k2＋2k
－1＝0 的根的情况为( C )
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根
专题1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系(3个考点八大题型)(原卷版)
专题1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（3个考点八大题型）【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】1．（2023春•南岗区校级期中）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有一个实数根D．有两个不等的实数根2．（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根3．（2023•柘城县二模）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根4．（2023•桂林二模）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）A．无实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．（2023•东城区一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情况是（ ）A．无实根B．有实根C．有两个不相等实根D．有两个相等实根6．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x 2﹣mx ﹣1＝0的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定7．（2023•三门峡一模）一元二次方程（x ﹣1）2＝x +3的根的情况（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．只有一个实数根8．（2023春•瑞安市期中）关于x 的一元二次方程x 2+kx +k ﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（ ）A ．有两个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．无实数根【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】9．（2023•洛阳二模）已知关于x 的一元二次方程x 2+4x +k ＝0有两个实数根，则k 的值为（ ）A ．k ＝4B ．k ＝﹣4C ．k ≤4D ．k ＜410．（2023•济源一模）若关于x 的一元二次方程x 2+4x +m +5＝0有实数根，则m 的取值范围是 （ ）A ．m ≤1B ．m ≤﹣1C ．m ＜﹣1D ．m ≥﹣1且m ≠011．（2023•东莞市校级一模）已知方程kx 2+2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值（ ）A ．k ＞﹣1B ．k ＞1C ．k ＞1且k ≠0D ．k ＞﹣1且k ≠12．（2023春•洞头区期中）关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）A ．﹣36B ．﹣9C ．9D ．3613．（2023•阿克苏市一模）若关于x 的一元二次方程（k ﹣2）x 2+2x +3＝0有两个实数根，则k 的取值范围（ ）A ．B ．C ．k ＜且k ≠2D ． 且k ≠214．（2023•贵阳模拟）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣k ＝0没有实数根，则k 的值可以是（ ）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．2【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】15．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k ﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．16．（2023春•庐阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若a和b是这个一元二次方程的两个根，且a2+b2＝9，求m的值．17．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．18．（2023•金溪县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根分别是等腰△ABC两边AB、AC的长，其中BC＝10，求k 值．19．（2023•长安区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．20．（2022秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】21．（2023•红桥区模拟）若一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值等于（ ）A．﹣4B．4C．﹣12D．12 22．（2023•五华县校级开学）设一元二次方程x2﹣12x+3＝0的两个实根为x1和x2，则x1x2＝（ ）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 23．（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（ ）A．﹣2B．﹣1C．1D．2 24．（2023•长丰县模拟）若m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（ ）A．5B．﹣5C．1D．﹣1【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】25．（2023•南山区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，则的值是（ ）A．B．C．D．26．（2023•潍城区二模）若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则的值为（ ）A．19B．9C．1D．﹣1 27．（2023•汉阳区校级模拟）若实数m，n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则的值是（ ）A．2B．﹣4C．﹣6D．2或﹣6 28．（2023•兴庆区校级二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（ ）A．﹣10B．10C．3D．029．（2022秋•南安市期末）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别是x1、x2，则x2+x1的值是（ ）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 30．（2023•临沭县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（ ）A．2023B．2022C．2020D．2019【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】31．（2023•河东区一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式的值是（ ）A．4047B．4045C．2023D．132．（2022秋•嘉陵区校级期末）如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的两个根，那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于（ ）A．2018B．2012C．﹣2012D．﹣2018【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】33．（2023•安丘市模拟）已知方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+β+2024α的值为（ ）A．0B．﹣2018C．﹣2023D．﹣2024 34．（2023•肥城市一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值为（ ）A．2020B．2021C．2022D．2023 35．（2023•鼓楼区校级模拟）已知a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是（ ）A．2020B．2021C．2022D．2023 36．（2023•东港区校级一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值等于（ ）A．2020B．2021C．2022D．2023 37．（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（ ）A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣6040 38．（2022秋•莲池区校级期末）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（ ）A．4B．5C．6D．12【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】39．（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）A．﹣1B．0C．1D．2 40．（2020秋•甘井子区期末）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）A．﹣2B．2C．﹣5D．5 41．（2020春•宣城期末）关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（ ）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣142．（2023•诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（ ）A．0B．﹣1C．2D．﹣2 43．（2023•洛阳一模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣2，则另一个根是（ ）A．1B．﹣1C．2D．﹣2。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
2021年中考专题复习一元二次方程根的判别式和根与系数的关系回忆与思考1．一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的情况可由△=b2－4ac来判定：(1)当b2–4ac>0时，方程有实数根，即x1=，x2=．当b2–4ac=0时，方程有实数根，即x1=x2=．当b2–4ac<0时，方程实数根．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的判别式．(2)一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程，判别根的情况，特别是判别含有字母系数的一元二次方程根的情况，可通过配方法把b2–4ac变形为±(m±h)2＋k的形式，由此得出结论，无论m为何值，b2–4ac≥0或b2–4ac<0，从而判定一元二次方程根的情况．一般步骤是：先计算△，再用配方法将△恒等变形，然后判断△的符号，最后得出结论．②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围；③进展有关的证明．(3)关于根的判别式的应用：①对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况；②对于字母系数的一元二次方程，假设知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围；③运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题.(4)应用根的判别式须注意以下几点：①要用△，要特别注意二次项系数a≠0这一条件．②认真审题，严格区分条件和结论，譬如是△＞0，△≥0还是要证明△＜0．③要证明△≥0或△＜0，需用配方法将△恒等变形为±(m±h)2＋k的形式，从而得到判断．2．一元二次方程的根与系数的关系(1)如果方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=．特别低，如果方程x2＋px＋q = 0的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=．(2)一元二次方程根与系数关系的应用．①验根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：一要先把一元二次方程化成标准型，二不要漏除二次项系数a≠0；三还要注意–ba中的符号．②方程一根，求另一根．③不解方程，求与根有关的代数式的值．一般步骤：先求出x1+x2，x1x2的值，再将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示，然后将x1+x2，x1x2的值代入求值．④两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程：以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－(x1+x2)x+x1x2=0．(3)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式b2–4ac≥0；②二次项系数a≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.(4)求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式.(5) 常见的形式：3．二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．其中x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根．【例1】不解方程，判定关于x的方程根的情况(1)2x2–9x+8=0 (2)9x2+6x+1=0 (3) 16x2+8x=–3 (4)x2=7x+18(5)2x2–(4k+1)x+2k2–1＝0 (6)x2＋(2t＋1)x＋(t–2)2＝0【例2】(1)关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．(2)假设关于x的一元二次方程(a–2)x2–2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集〔用含a 的式子表示〕．【例3】(1)关于x的方程x2–mx+m–2=0，求证：方程有两个不相等的实数根(2)求证：方程(m2＋1)x2–2mx＋(m2＋4)＝0没有实数根．【例4】(1)方程x2–5x–6=0的根是x1和x2，求以下式子的值：①(x1–3)(x2–3) ②x12+x22+x1x2③x1x2+x2x1(2)利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，①使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的3倍；②使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的负倒数。
【新课标】中考专题强化复习教案：《一元二次方程根的判别式及根与系数的关系》
第一轮复习教案：《一元二次方程根的判别式及根与系数的关系》（第11课时）【课标要求】1、根的判别式及应用(△=b 2-4ac)： (1)判定一元二次方程根的情况。
(2)确定字母的值或取值范围。
2、根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理:如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=—b a，x 1·x 2=c a。
(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(x 1，x 2是方程两根)。
3、应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1，即以x 1、x 2为根的一元二次方程为x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0;求字母系数的值时，需使二次项系数a≠0，同时满足△≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和x 1+x 2，•两根之积x 1x 2的代数式的形式，整体代入。
【知识要点】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)a x b x c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .3．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系. 【典型例题】【例1】当k 为何值时，方程2610x x k -+-=， （1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.【例2】（08武汉）下列命题：① 若0a b c ++=，则240b a c -≥；② 若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③ 若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④ 若240b a c ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④．例3 （06泉州）菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的周长为 .【课堂检测】1．（07巴中）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根2. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 . 3．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ .4．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数；当m ＝ 时，两根互为相反数.5．若x 1 =23-是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2 = . 【课后作业】1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_____，1211x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______.2．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）3. 已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0，且12x =是方程的根，则a b +的值为 ．4. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是．5．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ）Ａ．3或1- Ｂ．3Ｃ．1 Ｄ．3-或16．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ）Ａ．3Ｂ．3-Ｃ．13Ｄ．13-7．（07泸州）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m<lB ．m>－1C ．m>lD ．m<－1 8．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4171221=+x x x x 求k 的值.9．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+。
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一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
◆【课前热身】
1.方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为______，其中a=____，b=____，c=____．
2.关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．
3.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是______．
4.关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（）
A．1 B D
5.若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（） A．1 B．2 C．1或2 D．0
【参考答案】
1. 5x2－x－3=0 5 －1 －3
2.－3
3.（x－1）（x+2）
5.D
6.B
◆【考点聚焦】
知识点：
一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理
大纲要求:
1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；
2.掌握韦达定理及其简单的应用；
3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；
4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题.
◆【备考兵法】
〖考查重点与常见题型〗
1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关
于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）
（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）没有实数根 （D ）不能确定
2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：
设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22
的值是（ ）
（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3
3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力. 在一元二次方程的应用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．
易错知识辨析： （1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不
为零这个限制条件.
（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：
① 根的判别式042
≥-ac b ；
② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.
◆【考点链接】
1.一元二次方程根的判别式
关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 . （1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x .
（2）ac b 42
-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .
（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 2．一元二次方程根与系数的关系
若关于x 的一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x . ◆【典例精析】
例1（四川绵阳）已知关于x 的一元二次方程x 2 + 2（k －1）x + k 2
－1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k 的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
【分析】这是一道确定待定系数m 的一元二次方程，•又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力．
【答案】（1）△= [ 2（k —1）] 2－4（k 2－1）
= 4k 2－8k + 4－4k 2 + 4 =－8k + 8．
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ －8k + 8＞0，解得 k ＜1，即实数k 的取值范围是 k ＜1．
（2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k －1）· 0 + k 2－1 = 0，
解得 k =－1 或 k = 1（舍去）．
即当 k =－1时，0就为原方程的一个根．
此时，原方程变为 x 2－4x = 0，解得 x 1 = 0，x 2 = 4，所以它的另一个根是4． 例2（北京）已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：
x 2－1=0 （1）
x 2+x －2=0 （2）
x 2+2x －3=0 （3）
……
x 2+（n －1）x －n=0 （n ）
（1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n ）；
（2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
【分析】由具体到一般进行探究．
【答案】（1）<1>（x+1）（x －1）=0，所以x 1=－1，x 2=1．
<2>（x+2）（x －1）=0，所以x 1=－2，x 2=1．
<3>（x+3）（x －1）=0，所以x 1=－3，x 2=1．。