最新人教版中考数学专题复习一元二次方程根的判别式及根与系数的关系讲义与习题练习(含答案)

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

◆【课前热身】

1.方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为______，其中a=____，b=____，c=____．

2.关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．

3.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是______．

4.关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（）

A．1 B D

5.若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（） A．1 B．2 C．1或2 D．0

【参考答案】

1. 5x2－x－3=0 5 －1 －3

2.－3

3.（x－1）（x+2）

5.D

6.B

◆【考点聚焦】

知识点：

一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理

大纲要求:

1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；

2.掌握韦达定理及其简单的应用；

3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；

4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题.

◆【备考兵法】

〖考查重点与常见题型〗

1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关

于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）

（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根

（C ）没有实数根 （D ）不能确定

2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：

设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22

的值是（ ）

（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3

3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力. 在一元二次方程的应用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．

易错知识辨析： （1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不

为零这个限制条件.

（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：

① 根的判别式042

≥-ac b ；

② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.

◆【考点链接】

1.一元二次方程根的判别式

关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 . （1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x .

（2）ac b 42

-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .

（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 2．一元二次方程根与系数的关系

若关于x 的一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x . ◆【典例精析】

例1（四川绵阳）已知关于x 的一元二次方程x 2 + 2（k －1）x + k 2

－1 = 0有两个不相等的实数根．

（1）求实数k 的取值范围；

（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．

【分析】这是一道确定待定系数m 的一元二次方程，•又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力．

【答案】（1）△= [ 2（k —1）] 2－4（k 2－1）

= 4k 2－8k + 4－4k 2 + 4 =－8k + 8．

∵ 原方程有两个不相等的实数根，

∴ －8k + 8＞0，解得 k ＜1，即实数k 的取值范围是 k ＜1．

（2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k －1）· 0 + k 2－1 = 0，

解得 k =－1 或 k = 1（舍去）．

即当 k =－1时，0就为原方程的一个根．

此时，原方程变为 x 2－4x = 0，解得 x 1 = 0，x 2 = 4，所以它的另一个根是4． 例2（北京）已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：

x 2－1=0 （1）

x 2+x －2=0 （2）

x 2+2x －3=0 （3）

……

x 2+（n －1）x －n=0 （n ）

（1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n ）；

（2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．

【分析】由具体到一般进行探究．

【答案】（1）<1>（x+1）（x －1）=0，所以x 1=－1，x 2=1．

<2>（x+2）（x －1）=0，所以x 1=－2，x 2=1．

<3>（x+3）（x －1）=0，所以x 1=－3，x 2=1．