九年级数学下册第三章圆3垂径定理作业课件新版北师大版
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北师大版九年级下册垂径定理课件(共25张)
O
C AEB D
变式2:求如证图:,AA⌒CB=、B⌒CDD. 是⊙O的弦,且AB∥CD.
O
F
A
E
B
C
D
G
自学指点2:(4+2分钟)
(一)如图,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分 AB的直径CD,交AB于点M. 1.你能发现图中有哪些相等的量?并说明理由.
AB⊥CD
⌒⌒
AC=BC
C
A
M
B
⌒⌒
垂直于弦的 直径 平分这条 弦 ,并且平分 弦所对的 弧 .
几何语言:
∵∵在在⊙⊙OO中中,,C直D径是C直D径⊥,弦CDA⊥B 弦AB
C
∴ A⌒M=B⌒M
AC=BC
A
M
B
⌒⌒
O
AD=BD
D
应用: 方法:环绕已知弦构造直角三角形.
1.(202X•温州)如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点
C,AB=4,OC=1,则OB的长是
.
C
A
M
B
O
D
2.如图,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,且CD⊥AB,
已知CD=20,CM=4,则AB的长为
.
解:连接OA ∵ CD=20 ∴ AO=CO=10
∴ OM=OC–CM =10–4=6
在⊙O中,直径CD⊥弦AB
∴ AB=2AM
在Rt△OMA中,AO=10,OM=6
根据勾股定理，
AM AO2 OM 2 102 62 8
E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则⊙O的半径
是
.
4.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的
弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长
C AEB D
变式2:求如证图:,AA⌒CB=、B⌒CDD. 是⊙O的弦,且AB∥CD.
O
F
A
E
B
C
D
G
自学指点2:(4+2分钟)
(一)如图,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分 AB的直径CD,交AB于点M. 1.你能发现图中有哪些相等的量?并说明理由.
AB⊥CD
⌒⌒
AC=BC
C
A
M
B
⌒⌒
垂直于弦的 直径 平分这条 弦 ,并且平分 弦所对的 弧 .
几何语言:
∵∵在在⊙⊙OO中中,,C直D径是C直D径⊥,弦CDA⊥B 弦AB
C
∴ A⌒M=B⌒M
AC=BC
A
M
B
⌒⌒
O
AD=BD
D
应用: 方法:环绕已知弦构造直角三角形.
1.(202X•温州)如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点
C,AB=4,OC=1,则OB的长是
.
C
A
M
B
O
D
2.如图,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,且CD⊥AB,
已知CD=20,CM=4,则AB的长为
.
解:连接OA ∵ CD=20 ∴ AO=CO=10
∴ OM=OC–CM =10–4=6
在⊙O中,直径CD⊥弦AB
∴ AB=2AM
在Rt△OMA中,AO=10,OM=6
根据勾股定理，
AM AO2 OM 2 102 62 8
E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则⊙O的半径
是
.
4.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的
弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长
北师大版九年级下册数学《垂径定理》圆PPT课件
则DC的长为（ D）
A．5cm B．2.5cm C．2cm D．1cm
O
D
A
B
C
3.9 弧长及扇形的面积
复习旧知
1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？
C=2πR
S=π
2.什么叫圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角
情境导入
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm. （1）转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
20πcm
A
（2）转动轮转1°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
cm
新知讲解
（3）转动轮转n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米? A
归纳总结
O n°
2πR
πR
1°的圆心角所对的弧长是_3_6__0___,即_1_8__0__．
弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l=
nπR 180
新知讲解
注意：(1)用弧长公式l= 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆 心角的倍数，它是不带单位的. (2)区分弧、弧的度数、弧长三个概念．度数相等的弧，弧长不一定相等， 弧长相等的弧也不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．
①CD是直径 ②CD⊥AB
可推得
③AM=BM, ④AC=BC, ⑤AD=BD,
新知探究
理 由： 连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
新知探究
2 . 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过 点M.并且AM=BM.
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.3《垂径定理》课件
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
挑战自我找一找
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 :
. 图中相等的劣弧有:
.
挑战自我算一算
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
⌒ AB
的中点，OC交AB
于D
例题解析
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8
㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的
半径。
A
E
B
O
练习1:在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB， 计算：⑴点O与AB的距离；
⑵∠AOB的度数。
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
O
D
A
B
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另
一条弧.
（√ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
C
A M└ B 你可以写出相应的命题吗?
●O
相信自己是最棒的!
D
C
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤
新北师大版九年级数学下册《三章 圆 .3 垂径定理》课件_6
C
A
B
M└
●O
D
符号语言： ∵ CD是直径 , CD⊥AB ∴ AM=BM
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D
想一想
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
O
C
DC
A
×
O E DC
√
OD
A ×
注意：定理中的两个条件缺一不可—— 直径（半径）,垂直于弦
二、垂径定理推论的探究
如图:AB是圆O 的弦（不是直径）, 作一条平分AB的直 径CD, 交AB于点M. （1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路 的半径。
C E
F
O
D
随堂练习
1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是 圆弧形,它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米,拱 高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米,求桥拱所 在圆的半径,（结果精确到0.1米）.
课堂小结
谈谈本节课有哪些收获和体会？
第三章 圆
3.3 垂径定理
学习目标
1、探索并证明垂径定理.（重点） 2、探索垂径定理的推论.（重点） 3、能够用垂径定理及其推论进行简单计 算.（难点）
一、垂径定理的探究
如图:AB是圆O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. （1）该图是轴对称图形吗？如果是,其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
C
A
B
M
条件
.O ① CD是直径 可推得
② CD⊥AB
D
结论
③AM=BM, ④A⌒C=⌒BC, ⑤A⌒D=B⌒D.
九年级数学下册33 垂径定理课件 新版北师大版
（C ）
2. 如图X3-3-7，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=
12，BE=2，则⊙O的直径为
（D）
A． 8
B． 10
C． 16
D． 20
新知 2 垂径定理的推论
推论1 平分弦(不是直径)的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
推理形式： 如图X3-3-8所示，
∵ CD过圆心，CD平分AB， ∴ CD⊥AB，
推论2 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两 条弧.
推论3 平分弦所对的一条弧的直径，垂直于弦并且平分 弦所对的另一条弧.
【例2】如图X3-3-9，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3， 则⊙O的直径CD的长为.
解析 首先连接OA，由于M是AB的中点，⊙O的直径是CD， 根据垂径定理，可得CD⊥AM，AM= AB= ×8=4，然后由
2. 已知：如图X3-3-12，在⊙O中M，N分别为弦AB，CD的中 点，AB=CD，AB不平行于CD.
求证：∠AMN=∠CNM.
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证明：连接OM，ON，AO，OC，如答图X3-3-1所示. ∵M，N分别为AB，CD的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥CD. 又AB=CD，∴AM=CN. 在Rt△AOM和Rt△CON中，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL）. ∴OM=ON. ∴∠OMN=∠ONM. ∴∠AMO+∠OMN=∠CNO+∠ONM， 即∠AMN=∠CNM.
【例1】（2014广东）如图X3-3-5，在⊙O中，已知半径为5， 弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为.
解析 作OC⊥AB于点C，连接OA，如图X3-3-6，由垂径定
理得
∵OC⊥AB，
3.3+垂径定理++课件++2023—2024学年北师大版数学九年级下册
弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
3.3 垂径定理 北师大版数学九年级下册导学课件
感悟新知
2. 示例：如图3-3-1，CD ⊥ AB 于点E，CD是⊙ O 的直径， 那么可用几何语言表述为
感悟新知
例 1 如图3-3-2，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H， 且CD=2 2，BD= 3，则AB 的长为( B ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
感悟新知
解题秘方：构造垂径定理的基本图形解题. 把 半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在 一个直角三角形里是解题的关键. 解：连接OD，如图3-3-2. ∵ CD ⊥ AB，CD=2 2， ∴ CH=DH= 2 .
感悟新知
︵ 例 5 如图3-3-7，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，
︵ 点O 是这段弧所在圆的圆心，点C 是AB的中点，半 径OC 与AB相交于点D，AB=120 m，CD=20 m，求 这段弯路所在圆的半径. 解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用 “平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分 弦”，结合勾股定理求出半径的长.
感悟新知
在Rt △ BHD 中，由勾股定理，得BH=1.
设⊙O的半径为r，
在Rt △ OHD 中，OH2+HD2=OD2，
即(r－1)2+( 2)2=r2，
解得r=
3 2
∴ AB=3.
.
利用勾股定理列方程
感悟新知
1-1.［中考·泸州］ 如图，AB 是⊙ O 的直径，OD垂直于
弦AC于点D，DO 的延长线交⊙ O 于点E. 若AC=4 2，
感悟新知
证明：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，如图3-3-3. ∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM. ∵ AC=BD，∴ CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD， ∴ OC=OD. ∴△ OCD 为等腰三角
九年数学下册第三章圆3垂径定理第1课时垂径定理课件北师大版
所以，这段弯路的半径为 545 m.
随堂演练
1.如图，A论不一定成立的是（ D ）
A. CM = DM
B. CB BD C. ∠ACD =∠ADC
D. OM = MD
2.如图，AB 是 ⊙O 的弦，
OC⊥AB 于 C .若 AB = 2 3 ，OC
※3 垂径定理 第1课时 垂径定理（1）
新课导入
1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如 图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长 ）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓 形高）为7.2m，求桥拱的半径（精确到0.1m）.
思考探究
如图，AB是⊙O的一条弦，作 直径CD，使CD⊥AB， 垂足为M．
C
A
B
D
O
解：如图，设半径为 R，
C
AB = 37.4，CD
AD1AB137.418.7, A
22
OD = OC – DC = R – 7.2 .
R
B D R–
在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得
OA2 = AD2 + OD2 ，
O
即 R22 +（R）2
解得 R ≈ 27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
1
= 1，则半径 OB 的长为______.
3 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分 弦所对的弧. BC1AB12 3 3.
22
勾股定理 OB
2
3 12 2.
再逛赵州石拱桥
3.赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
∠BOD = 180°－∠BOC， ∴∠AOD = ∠BOD.
北师大版九年级下册第三章《圆》-垂径定理 课件
C（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
A
●
B
●MO
D
由 ① CD过圆心 可推得 ② AM=BM
③CD⊥AB, ④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径
垂直于弦,并且平分弦所对的两条 弧.(知二推三）
已知⊙O的半径为5cm，弦AB=8 cm,点C是AB的中点，求OC的长。
D
证明结论
已知：在⊙O中，CD是 直径，AB是弦，且 CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE＝BE，A⌒C＝
B⌒C，A⌒D＝B⌒D。
A
C
.O
E
B
D
证明：连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM.
C A M└ B
有三种情况：1、圆心在平行弦外； 2、圆心在其中一条弦上； 3、圆心在平行弦内。
M
C
D
A
B
A
.
B
.O
O
N
1、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其 逆定理.
2、在利用垂径定理解题时，常通过作弦心 距或连半径来构造Rt△，再利用勾股定理求 圆的半径或弦的长度。
作业布置：
随堂练习 2 知识技能 1、2、3
E
B
.
O
解：连结OA,过O作OE⊥AB， ∵ OE过圆心， OE⊥AB
∴ OE平分AB， ∴ AE＝BE ＝4cm
在Rt△AOE中， ∵OE=3cm,AE=4cm
∴ OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5cm。
1、在⊙O中，直径为10cm，圆心O到弦AB
的距离为3cm， 求弦AB的长。
新北师大版九年级数学下册第三章《3.3垂径定理》公开课课件(12张)
2022/5/52022/5/5 • 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/52022/5/52022/5/55/5/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
You made my day!
我们，还在路上……
例题2
例2 已知：如图，在以
O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C，
D两点。
A
O.
E┐
C
D
B
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
例题3 C A 例3 已知：⊙O中弦 AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
M
A
重 合合，，A⌒CA、点A和⌒DB分点别重和合B⌒，C、AE和BE重 B⌒D重合。因此
⌒ ⌒⌒ ⌒
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
C
.O
E
B
D
总结
垂径定理
3、图形语言
A
1、文字语言
垂直于圆的直径平分圆，并且平分 圆所对的两条弧。
O
C
E
B
2、符号语言
因为 AB CD于E， AB为 O的直 径
CE=DE,
D
AC = AB ,
BC = BD.
1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
C
c
C
A
D
B
O
A
E
B
O
O
A
E
B
D
是
不是
是
2、请画图说明垂径定理的条件和结论。
You made my day!
我们，还在路上……
例题2
例2 已知：如图，在以
O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C，
D两点。
A
O.
E┐
C
D
B
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
例题3 C A 例3 已知：⊙O中弦 AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
M
A
重 合合，，A⌒CA、点A和⌒DB分点别重和合B⌒，C、AE和BE重 B⌒D重合。因此
⌒ ⌒⌒ ⌒
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
C
.O
E
B
D
总结
垂径定理
3、图形语言
A
1、文字语言
垂直于圆的直径平分圆，并且平分 圆所对的两条弧。
O
C
E
B
2、符号语言
因为 AB CD于E， AB为 O的直 径
CE=DE,
D
AC = AB ,
BC = BD.
1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
C
c
C
A
D
B
O
A
E
B
O
O
A
E
B
D
是
不是
是
2、请画图说明垂径定理的条件和结论。
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11．(2018·临安区)如图，⊙O 的半径 OA＝6，以 A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙O 于 B， C 点，则 BC＝( A )
A．6 3 B．6 2 C．3 3 D．3 2
12．(2018·孝感)已知⊙O的半径为10 cm,AB,CD是⊙O的两条弦,AB∥CD,AB＝16 cm,CD＝12 cm,则弦AB和CD之间的距离是_________2_或__1c4m.
︵ 13．如图，M 是AB的中点，过点 M 的弦 MN 交 AB 于点 C，设⊙O 的半径为 4 cm， MN＝4 3 cm. (1)求圆心 O 到弦 MN 的距离； (2)求∠ACM 的度数．
解：(1)连接 OM，过点 O 作 OD⊥MN 于点 D，
由垂径定理，得 MD＝1MN＝2 3 (cm)． 2
2 又∵M，N 恰好分别为△PQS 的边 PQ 和 PS 的中点，∴MN 为其中位线， ∴MN＝1QS＝ 3(定值)，∴MN 的长度是定值．
2
解：如图，分别延长 PM，PN 交⊙O 于点 Q，S， ∵PM⊥AO，PN⊥BO，∴PM＝QM，PN＝NS. ∵OP＝OQ＝OS，∴∠POA＝∠QOA，∠PON＝∠SON.∵∠AOB＝120°, ∴∠QOA＋∠POA＋∠PON＋∠SON＝2(∠POA＋∠PON)＝2∠AOB＝240°， ∴∠QOS＝120°.过点 O 作 OK⊥QS 于点 K，连接 MN，∴∠QOK＝60°，QK＝SK， ∴QK＝ 3OQ＝ 3，∴QS＝2 3.
在 Rt△ODM 中，OM＝4 cm，MD＝2 3 cm，
∴OD＝ OM2－MD2＝2 cm.
(2)∵点
M
︵ 是AB的中点，∴OM⊥AB.
∵cos∠OMD＝MD＝ 3，∴∠OMD＝30°， OM 2
∴∠ACM＝60°.
14．如图,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2 m,拱桥高出水面2.4 m,现有一 艘宽3 m,船舱顶部为矩形并高出水面2 m的货船要经过这里,问:此货船能顺利通过这座拱桥
＝2 m，∴CH＝2.4－2＝0.4 (m)，OH＝r－CH＝3.5 (m)．
在 Rt△OHN 中，HN＝ ON2－OH2＝ 2.96(m)，MN＝2HN＝2 2.96>3， ∴此货船能顺利通过拱桥．
15．如图，已知扇形 OAB 是半径为 2 的⊙O 的一部分，点 P(不与点 A，B 重合)是弧 AB 上一动点，且 PM⊥AO，PN⊥BO，垂足分别为 M，N，且∠AOB＝120°.当点 P 在A︵B 上运动时，试判断线段 MN 的长度是否为定值．
9．如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为点 E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD 的长 为( C ) A．2 2 B．4 C．4 2 D．8
10．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°， 则 CD 的长为( C )
A. 15 B．2 5 C．2 15 D．8
知识点二:垂径定理的推论
4．如图,CD是⊙O的直径,AB是弦,AB与CD相交于点M,若要得到CD⊥AB,则还需添加的条件是
( )D
A．OC＝AB
B．OC＝AM
C．OM＝CM
D．AM＝BM
5．如图,已知AB是⊙O的直径,且经过弦CD的中点H.若BH∶DH＝3∶4,BD＝5,则△OCH的面积 为____பைடு நூலகம்___ 3
知识点一:垂径定理
1．(2018·张家界)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC＝5 cm,CD＝8 cm,则AE＝( )
A．8 cm A B．5 cm
C．3 cm
D．2 cm
2．如图,已知⊙O的半径为13,弦AB长为24,则O到AB的距离是( )
A．6
B．5
B
C．4
D．3
3．(2018·黑龙江)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD＝6,EB＝1,则⊙O的半径为 ______5.
吗？
解：设圆心为 O，作 OC⊥MN，交 MN 于点 H，交 AB 于点 D，交圆于点 C， 连接 ON，OB.∵OC⊥AB，∴BD＝1AB＝3.6 (m)．
2 ∵CD＝2.4 m，设 OB＝OC＝ON＝r ， 则 OD＝(r－2.4)m.在 Rt△BOD 中，r2＝(r －2.4)2＋3.62，r＝3.9.∵CD＝2.4 m，ME＝NF
第三章 圆
3 垂径定理
1．垂径定理:垂直于弦的___直__径___平分__这__条__弦__,并且平分弦所对的__弧__． 练习1:如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,CD＝6 cm,则DE＝____c3m.
2．_平__分__弦__(不是直径)的直径垂直于___弦_,并且平分_________弦__所__对__的__弧__． 练习2:如图,⊙O的弦AB＝8,M是AB的中点,且OM＝3,则⊙O的半径是____5.
知识点三:垂径定理的应用 6．在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图,若油面的宽AB＝160 cm,则
油的最大深度为______4_0_c．m
7．赵州桥是我国建筑史上的一大创举,它距今约1 400年,历经无数次洪水冲击和8次地震却 安然无恙,如图,若桥跨度AB约为40米,主拱高CD约10米,则桥拱AB所在圆的半径 R＝____ 25 米．
8．如图是某风景区的一个圆拱形门,路面AB宽为2米,净高5米,求圆拱形门所在圆的半径．
解：连接 OA，∵CD⊥AB，且 CD 过圆心，∴AD＝1AB＝1(米)， 2
∠CDA＝90°.在 Rt△OAD 中，设⊙O 半径为 R，则 OA＝OC＝R，OD＝5－R， ∵OA2＝AD2＋OD2，∴R 2＝(5－R)2＋1，解得 R＝2.6， ∴圆拱形门所在圆的半径是 2.6 米．