9.立体几何体积问题

第82课立体几何体积问题

基本方法：

几何体体积计算问题的关键是底面积与高的计算，当底面积与高容易求得时，可直接计算体积；当不容易计算底面积或高时，可考虑等积转化法，即从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理求原几何体的体积.

一、典型例题

1. 如图，四棱锥P ABCD

-中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，

1

2

AB BC AD

==,

90

BAD ABC

∠=∠=︒，若PCD

∆面积为P ABCD

-的体积.

2. 如图，四面体ABCD中，ABC

∆是正三角形，AD CD

=．已知ACD

∆是直角三角形，AB BD

=．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE EC

⊥，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

二、课堂练习

1. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E为PB的中点. 若PC=2，求三棱锥A-BCE的体积.

2. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD DC CB a

===，60

ABC︒

∠=，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形．若AD AE

=，求四棱锥E-ABCD的体积．

三、课后作业

1. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，AD BC ，122

AD AB BC ===，侧棱PA ⊥平面ABCD . 若PAB ∆为等腰直角三角形，求四棱锥P ABCD -的体积.

2. 如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． 当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．

3．如图，在三棱锥P ABC -

中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点. （1）证明：PO ⊥平面ABC ；

（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离.

M O C

B A

P