第一章 集合与常用逻辑用语单元质量测评(新教材教师用书)

第一章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在2018年俄罗斯世界杯足球比赛中，下列能构成集合的是()A．所有著名运动员B．所有志愿者C．比较受欢迎的球队D．参加比赛的所有高个子队员答案B解析A，C，D中都没有一个确定的标准，不满足集合的确定性，因而都不能构成集合；B中，所有的志愿者能构成一个集合．故选B.2．集合A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为()A．3 B．4C．7 D．8答案C解析∵集合A＝{x∈N|0<x<4}＝{1,2,3}，∴真子集的个数是23－1＝7.故选C.3．若M，N是两个集合，则下列命题中真命题是()A．如果M⊆N，那么M∩N＝MB．如果M∩N＝N，那么M⊆NC．如果M⊆N，那么M∪N＝MD．如果M∪N＝N，那么N⊆M答案A解析根据集合间的关系及集合的运算性质，易知A正确．4．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥0答案C解析“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|＋x2<0”．故选C.5．设集合M＝{m∈Z|m≤－3或m≥2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则(∁Z M)∩N等于() A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}答案B解析由已知，得∁Z M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，所以(∁Z M)∩N＝{－1,0,1}．故选B.6．已知全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则[A∩(∁U B)]∪[B∩(∁U A)]等于() A．∅B．{x|x≤0}C．{x|x>－1} D．{x|x>0或x≤－1}答案D解析∵∁U A＝{x|x≤0}，∁U B＝{x|x>－1}，∴A∩(∁U B)＝{x|x>0}，B∩(∁U A)＝{x|x≤－1}，∴[A∩(∁U B)]∪[B∩(∁U A)]＝{x|x>0或x≤－1}．故选D.7．“a2＋(b－1)2＝0”是“a(b－1)＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析a2＋(b－1)2＝0⇔a＝0且b＝1，而a(b－1)＝0⇔a＝0或b＝1，故“a2＋(b－1)2＝0”是“a(b－1)＝0”的充分不必要条件．故选A.8．设x，y∈R，则“x2＋y2≥9”是“x>3且y≥3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当x＝－4，y＝0时，满足x2＋y2≥9，但不满足x>3且y≥3；当x>3且y≥3时，一定有x2＋y2≥9，所以“x2＋y2≥9”是“x>3且y≥3”的必要不充分条件．故选B.9．50个学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语也不会讲日语的有8人，则既会讲英语又会讲日语的人数为()A．20 B．14C．12 D．10答案B解析用维恩图表示如图：共有50人，设既会讲英语又会讲日语的有x人，则36－x＋x＋20－x＋8＝50.解得x＝14.故选B.10．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为()A．a>3 B．a≥3C．a≥7 D．a>7答案A解析因为全集U＝R，集合A＝{x|x<3或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x<7}，又(∁U A)∩B≠∅，所以a>3.故选A.11．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由维恩图可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．故选C.12．已知△ABC 的边长为a ，b ，c ，定义它的等腰判别式为D ＝max{a －b ，b －c ，c －a }＋min{a －b ，b －c ，c －a }，则“D ＝0”是“△ABC 为等腰三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ①充分性：若△ABC 不为等腰三角形，不妨设a <b <c ，则max{a －b ，b －c ，c －a }＝c －a ，min{a －b ，b －c ，c －a }＝a －b 或b －c ，所以D ＝c －b 或b －a ，故D ≠0.所以若D ＝0，则△ABC 为等腰三角形．②必要性：若△ABC 为等腰三角形，不妨设a ＝b ，D ＝max{0，b －c ，c －b }＋min{0，b－c ，c －b }＝⎩⎨⎧b －c ＋c －b ＝0(b >c )，c －b ＋b －c ＝0(b <c ).所以“D ＝0”是“△ABC 为等腰三角形”的充要条件．故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，可作为命题的是________________．答案红豆生南国解析“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．14．若集合A＝{1,2,4,6,7}，B＝{3,4,5,7}，则A∩B＝________.答案{4,7}解析根据A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，集合A与集合B中的公共元素为4,7，所以A∩B ＝{4,7}．15．已知集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为________．答案1解析当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；综上可知，A中只有一个孤立元素5.16．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.答案1解析因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m≠0”是真命题，等价于方程x2＋2x＋m＝0无实根，所以Δ＝4－4m<0，解得m>1，又因为m的取值范围是(a，＋∞)，所以实数a＝1.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知全集U为R，集合A＝{x|0<x≤2}，B＝{x|x<－3或x>1}．求：(1)A∩B；(2)(∁U A)∩(∁U B)；(3)∁U(A∪B)．解(1)在数轴上画出集合A和B，可知A∩B＝{x|1<x≤2}．(2)∁U A＝{x|x≤0或x>2}，∁U B＝{x|－3≤x≤1}．在数轴上画出集合∁U A和∁U B，可知(∁U A)∩(∁U B)＝{x|－3≤x≤0}．(3)由(1)中数轴可知，A∪B＝{x|x<－3或x>0}．所以∁U(A∪B)＝{x|－3≤x≤0}．18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－1≤x≤a，a>－1且a∈R}，B＝{y|y＝2x－1，x ∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}．是否存在a，使C⊆B？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解假设存在这样的a值．∵y＝2x－1且x∈A，即－1≤x≤a，∴－3≤y≤2a－1.又∵z＝x2且x∈A.∴当－1<a≤0时，a2≤z≤1；当0<a <1时，0≤z ≤1；当a ≥1时，0≤z ≤a 2.若－1<a ≤0，要使C ⊆B ，则2a －1≥1，即a ≥1，矛盾．同理当0<a <1时，也不存在a 的值．而a ≥1时，要使C ⊆B ，则有a 2≤2a －1，即(a －1)2≤0，∴a ＝1.故存在a ＝1，使得C ⊆B .19．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x ≤m －1或x ≥m ＋1}．(1)当m ＝0时，求A ∩B ；(2)若p ：－1<x <3，q ：x ≤m －1或x ≥m ＋1，且q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 (1)当m ＝0时，B ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，又A ＝{x |－1<x <3}，所以A ∩B ＝{x |1≤x <3}．(2)因为p ：x ∈(－1,3)，q ：x ∈(－∞，m －1]∪[m ＋1，＋∞)．q 是p 的必要不充分条件，所以m －1≥3或m ＋1≤－1，所以m ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)．20．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，－5，2，求A ∩B .解 由题意，知A ，B 中都至少有一个元素．若A 中只有一个元素，则a 2－4×2×2＝0，a ＝4或a ＝－4，此时A ＝{1}或A ＝{－1}，不符合题意；若B 中只有一个元素，则9－8a ＝0，a ＝98，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－32，不符合题意．故A ，B 中均有两个元素． 不妨设A ＝{x 1，x 2}，B ＝{x 3，x 4}，则x 1x 2＝1，且x 1，x 2∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，－5，2， 所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2； 又因为x 3＋x 4＝－3，且x 3，x 4∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，－5，2， 所以B ＝{－5,2}，所以A ∩B ＝{2}．21．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.证明 必要性：∵方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根ξ，∴⎩⎨⎧ξ2＋2aξ＋b 2＝0，ξ2＋2cξ－b 2＝0⇒ξ＝－b 2a －c ＝b 2c －a .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c －a 2＋2c ·b 2c －a －b 2＝0⇒a 2＝b 2＋c 2， ∴∠A ＝90°.充分性：若∠A ＝90°，则a 2＝b 2＋c 2，易得x 0＝b 2c －a是方程的公共根． 综上可知，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.22．(本小题满分12分)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，其中m ∈Z ，求这两个方程的根均为整数的充要条件．解 ∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都有实根，∴⎩⎨⎧ Δ1＝16－16m ≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. ∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z ，∴m 为4的约数．又m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1，m ≠0，m ∈Z ， ∴m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数；∵当m ＝1时，两方程的根均为整数．∴这两个方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.。