第15讲 弯曲切应力、弯曲强度条件
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第15讲教学方案——弯曲切应力、弯曲强度条件
§5-3 弯曲切应力
梁受横弯曲时,虽然横截面上既有正应力
σ,又有剪应力 τ。但一般情况下,剪应力对
梁的强度和变形的影响属于次要因素,因此对由剪力引起的剪应力,不再用变形、物理和静力关系进行推导,而是在承认正应力公式(6-2)仍然适用的基础上,假定剪应力在横截面上的分布规律,然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。
1.矩形截面梁
对于图6-5所示的矩形截面梁,横截面上作用剪力Q 。现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理,横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切,即与剪力Q 的方向一致。由于对称的关系,横线1aa 中点处的剪应力也必与Q 的方向相同。根据这三点剪应力的方向,可以设想1aa 线上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q 。又因截面高度h 大于宽度b ,剪应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化,可以认为是均匀分布的。基于上述分析,可作如下假设:
1)横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力 Q 。 2)剪应力沿截面宽度均匀分布。
基于上述假定得到的解,与精确解相比有足够的精确度。从图6-6a 的横弯梁中截出dx 微段,其左右截面上的内力如图6-6b 所示。梁的横截面尺寸如图6-6c 所示,现欲求距中性轴z 为y 的横线1aa 处的剪应力 τ。过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块(图6-6d )。根据剪应力成对定理,微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'。微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 和2N ,其中
*
1I 1**
z z
A
z
A S I M dA I My dA N ==
=⎰⎰σ (a )
*
1II 2)()(*
*
z z
A
z A S I dM M dA I y dM M dA N +=+=
=⎰⎰σ (b) 式中,*A 为微块的侧面面积,)(II I σσ为面积*A 中距中性
轴为 1y 处的正应力,⎰=
*
1
*A
z dA y S 。
由微块沿x 方向的平衡条件
∑=0x ,得
021='-+-dx b N N τ (c )
将式(a )和式(b )代入式(c ),得
0*
='-bdx S I dM z z
τ 故 z
z
bI S dx dM *
='τ
因
ττ='=,Q dx
dM
,故求得横截面上距中性轴为 y 处横线上各点的剪应力τ为 z
z
bI QS *=τ (6-3) 式(6-3)也适用于其它截面形式的梁。式中,Q 为截面上的剪力; z I 为整个截面对中
性轴z 的惯性矩;b 为横截面在所求应力点处的宽度;*
y S 为面积*A 对中性轴的静矩。
对于矩形截面梁(图6-7),可取1bdy dA =,于是
)4
(222
2111*
y h b dy by dA y S h y
A
z
-===⎰
⎰
这样,式(6-3)可写成
)4
(222
y h I Q z -=τ
上式表明,沿截面高度剪应力 τ按抛物线规律变化(图6-7b )。在截面上、下边缘处, y=±
2
h
,τ=0;在中性轴上,z=0,剪应力值最大,其值为
A
Q
23max =
τ (6-4) 式中A =bh ,即矩形截面梁的最大剪应力是其平均剪应力的2
3倍。
2.圆形截面梁
在圆形截面上(图6-8),任一平行于中性轴的横线aa 1两端处,剪应力的方向必切于圆周,并相交于y 轴上的c 点。因此,横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q ,设为均匀分布,其值为最大。由式(6-3)求得
A
Q
34max =
τ (6-5) 式中24
d A π
=
,即圆截面的最大剪应力为其平均剪应力
的3
4倍。
3.工字形截面梁
工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式(6-3)的计算结果表明,在翼缘上剪应力很小,在腹板上剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化,如图6-9所示。最大剪应力在中性轴上,其值为
Z
z dI S Q max
max
)(*=
τ 式中(S *z )max 为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢,式中的max
*
)(z z
S I 可以从型
钢表中查得。
计算结果表明,腹板承担的剪力约为(0.95~0.97)Q ,因此也可用下式计算τmax 的近似
值
d
h Q 1max ≈
τ 式中h 1为腹板的高度,d 为腹板的宽度。
§5-4 弯曲强度计算
根据前节的分析,对细长梁进行强度计算时,主要考虑弯矩的影响,因截面上的最大正应力作用点处,弯曲剪应力为零,故该点为单向应力状态。为保证梁的安全,梁的最大正应力点应满足强度条件
][max
max max σσ≤=
z
I y M (6-6) 式中][σ为材料的许用应力。对于等截面直梁,若材料的拉、压强度相等,则最大弯矩的所在面称为危险面,危险面上距中性轴最远的点称为危险点。此时强度条件(6-6)可表达为
][max
max σσ≤=
z
W M (6-7) 式中
z W =
max
y I z
(6-8) 称为抗弯截面系数(或抗弯截面模量),其量纲为[长度]3。国际单位用m 3或mm 3。
对于宽度为 b 、高度为 h 的矩形截面,抗弯截面系数为
6
2122
3
bh h bh W z ==
(6-9) 直径为 d 的圆截面,抗弯截面系数为
32
2
643
4
d d
d W z ππ
== (6-10)
内径为 d ,外径为 D 的空心圆截面,抗弯截面系数为
()
()4
3
4
4
1322
164
απαπ-=-=D D
D W z , D
d
=α (6-11) 轧制型钢(工字钢、槽钢等)的 z W 可从型钢表中查得。
对于由脆性材料制成的梁,由于其抗拉强度和抗压强度相差甚大,所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。
根据式(6-7),可以解决三类强度问题,即强度校核,截面设计和许用载荷计算。