第15讲 弯曲切应力、弯曲强度条件

第15讲教学方案——弯曲切应力、弯曲强度条件
§5-3 弯曲切应力
梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力
σ，又有剪应力 τ。

但一般情况下，剪应力对
梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的剪应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。

1．矩形截面梁
对于图6-5所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力Q 。

现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况。

根据剪应力成对定理，横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力Q 的方向一致。

由于对称的关系，横线1aa 中点处的剪应力也必与Q 的方向相同。

根据这三点剪应力的方向，可以设想1aa 线上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q 。

又因截面高度h 大于宽度b ，剪应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。

基于上述分析，可作如下假设：
1）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力 Q 。

2）剪应力沿截面宽度均匀分布。

基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。

从图6-6a 的横弯梁中截出dx 微段，其左右截面上的内力如图6-6b 所示。

梁的横截面尺寸如图6-6c 所示，现欲求距中性轴z 为y 的横线1aa 处的剪应力 τ。

过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块（图6-6d ）。

根据剪应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'。

微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 和2N ，其中
*
1I 1**
z z
A
z
A S I M dA I My dA N ==
=⎰⎰σ （a ）
*
1II 2)()(*
*
z z
A
z A S I dM M dA I y dM M dA N +=+=
=⎰⎰σ (b) 式中，*A 为微块的侧面面积，)(II I σσ为面积*A 中距中性
轴为 1y 处的正应力，⎰=
*
1
*A
z dA y S 。

由微块沿x 方向的平衡条件
∑=0x ，得
021='-+-dx b N N τ （c ）
将式（a ）和式（b ）代入式（c ），得
0*
='-bdx S I dM z z
τ 故 z
z
bI S dx dM *
='τ
因
ττ='=,Q dx
dM
，故求得横截面上距中性轴为 y 处横线上各点的剪应力τ为 z
z
bI QS *=τ （6-3） 式（6-3）也适用于其它截面形式的梁。

式中，Q 为截面上的剪力； z I 为整个截面对中
性轴z 的惯性矩；b 为横截面在所求应力点处的宽度；*
y S 为面积*A 对中性轴的静矩。

对于矩形截面梁（图6-7），可取1bdy dA =，于是
)4
(222
2111*
y h b dy by dA y S h y
A
z
-===⎰
⎰
这样，式（6-3）可写成
)4
(222
y h I Q z -=τ
上式表明，沿截面高度剪应力 τ按抛物线规律变化（图6-7b ）。

在截面上、下边缘处， y=±
2
h
,τ=0；在中性轴上，z=0，剪应力值最大，其值为
A
Q
23max =
τ （6-4） 式中A =bh ,即矩形截面梁的最大剪应力是其平均剪应力的2
3倍。

2．圆形截面梁
在圆形截面上（图6-8），任一平行于中性轴的横线aa 1两端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y 轴上的c 点。

因此，横线上各点剪应力方向是变化的。

但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q ，设为均匀分布，其值为最大。

由式（6-3）求得
A
Q
34max =
τ （6-5） 式中24
d A π
=
，即圆截面的最大剪应力为其平均剪应力
的3
4倍。

3．工字形截面梁
工字形截面梁由腹板和翼缘组成。

式（6-3）的计算结果表明，在翼缘上剪应力很小，在腹板上剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图6-9所示。

最大剪应力在中性轴上，其值为
Z
z dI S Q max
max
)(*=
τ 式中（S *z ）max 为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。

对于轧制的工字钢，式中的max
*
)(z z
S I 可以从型
钢表中查得。

计算结果表明，腹板承担的剪力约为（0.95~0.97）Q ，因此也可用下式计算τmax 的近似
值
d
h Q 1max ≈
τ 式中h 1为腹板的高度，d 为腹板的宽度。

§5-4 弯曲强度计算
根据前节的分析，对细长梁进行强度计算时,主要考虑弯矩的影响，因截面上的最大正应力作用点处，弯曲剪应力为零，故该点为单向应力状态。

为保证梁的安全，梁的最大正应力点应满足强度条件
][max
max max σσ≤=
z
I y M （6-6） 式中][σ为材料的许用应力。

对于等截面直梁，若材料的拉、压强度相等，则最大弯矩的所在面称为危险面，危险面上距中性轴最远的点称为危险点。

此时强度条件（6-6）可表达为
][max
max σσ≤=
z
W M （6-7） 式中
z W =
max
y I z
（6-8） 称为抗弯截面系数（或抗弯截面模量），其量纲为[长度]3。

国际单位用m 3或mm 3。

对于宽度为 b 、高度为 h 的矩形截面，抗弯截面系数为
6
2122
3
bh h bh W z ==
（6-9） 直径为 d 的圆截面，抗弯截面系数为
32
2
643
4
d d
d W z ππ
== （6-10）
内径为 d ，外径为 D 的空心圆截面，抗弯截面系数为
()
()4
3
4
4
1322
164
απαπ-=-=D D
D W z ， D
d
=α （6-11） 轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 z W 可从型钢表中查得。

对于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉强度和抗压强度相差甚大，所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。

根据式（6-7），可以解决三类强度问题，即强度校核，截面设计和许用载荷计算。

需要指出的是，对于某些特殊情形，如梁的跨度较小或载荷靠近支座时，焊接或铆接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向，胶合梁的胶合层）等，还需进行弯曲剪应力强度校核。

等截面直梁的max τ一般发生在 max Q 截面的中性轴上，此处弯曲正应力0=σ，微元体处于纯剪应力状态，其强度条件为
()
][max
max max
ττ≥=
*
z
z bI S Q （6-12）
式中][τ为材料的许用剪应力。

此时，一般先按正应力的强度条件选择截面的尺寸和形状，然后按剪应力强度条件校核。