第15讲 弯曲切应力、弯曲强度条件

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第15讲教学方案——弯曲切应力、弯曲强度条件

§5-3 弯曲切应力

梁受横弯曲时,虽然横截面上既有正应力

σ,又有剪应力 τ。但一般情况下,剪应力对

梁的强度和变形的影响属于次要因素,因此对由剪力引起的剪应力,不再用变形、物理和静力关系进行推导,而是在承认正应力公式(6-2)仍然适用的基础上,假定剪应力在横截面上的分布规律,然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。

1.矩形截面梁

对于图6-5所示的矩形截面梁,横截面上作用剪力Q 。现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理,横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切,即与剪力Q 的方向一致。由于对称的关系,横线1aa 中点处的剪应力也必与Q 的方向相同。根据这三点剪应力的方向,可以设想1aa 线上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q 。又因截面高度h 大于宽度b ,剪应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化,可以认为是均匀分布的。基于上述分析,可作如下假设:

1)横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力 Q 。 2)剪应力沿截面宽度均匀分布。

基于上述假定得到的解,与精确解相比有足够的精确度。从图6-6a 的横弯梁中截出dx 微段,其左右截面上的内力如图6-6b 所示。梁的横截面尺寸如图6-6c 所示,现欲求距中性轴z 为y 的横线1aa 处的剪应力 τ。过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块(图6-6d )。根据剪应力成对定理,微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'。微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 和2N ,其中

*

1I 1**

z z

A

z

A S I M dA I My dA N ==

=⎰⎰σ (a )

*

1II 2)()(*

*

z z

A

z A S I dM M dA I y dM M dA N +=+=

=⎰⎰σ (b) 式中,*A 为微块的侧面面积,)(II I σσ为面积*A 中距中性

轴为 1y 处的正应力,⎰=

*

1

*A

z dA y S 。

由微块沿x 方向的平衡条件

∑=0x ,得

021='-+-dx b N N τ (c )

将式(a )和式(b )代入式(c ),得

0*

='-bdx S I dM z z

τ 故 z

z

bI S dx dM *

='τ

ττ='=,Q dx

dM

,故求得横截面上距中性轴为 y 处横线上各点的剪应力τ为 z

z

bI QS *=τ (6-3) 式(6-3)也适用于其它截面形式的梁。式中,Q 为截面上的剪力; z I 为整个截面对中

性轴z 的惯性矩;b 为横截面在所求应力点处的宽度;*

y S 为面积*A 对中性轴的静矩。

对于矩形截面梁(图6-7),可取1bdy dA =,于是

)4

(222

2111*

y h b dy by dA y S h y

A

z

-===⎰

这样,式(6-3)可写成

)4

(222

y h I Q z -=τ

上式表明,沿截面高度剪应力 τ按抛物线规律变化(图6-7b )。在截面上、下边缘处, y=±

2

h

,τ=0;在中性轴上,z=0,剪应力值最大,其值为

A

Q

23max =

τ (6-4) 式中A =bh ,即矩形截面梁的最大剪应力是其平均剪应力的2

3倍。

2.圆形截面梁

在圆形截面上(图6-8),任一平行于中性轴的横线aa 1两端处,剪应力的方向必切于圆周,并相交于y 轴上的c 点。因此,横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q ,设为均匀分布,其值为最大。由式(6-3)求得

A

Q

34max =

τ (6-5) 式中24

d A π

=

,即圆截面的最大剪应力为其平均剪应力

的3

4倍。

3.工字形截面梁

工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式(6-3)的计算结果表明,在翼缘上剪应力很小,在腹板上剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化,如图6-9所示。最大剪应力在中性轴上,其值为

Z

z dI S Q max

max

)(*=

τ 式中(S *z )max 为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢,式中的max

*

)(z z

S I 可以从型

钢表中查得。

计算结果表明,腹板承担的剪力约为(0.95~0.97)Q ,因此也可用下式计算τmax 的近似

d

h Q 1max ≈

τ 式中h 1为腹板的高度,d 为腹板的宽度。

§5-4 弯曲强度计算

根据前节的分析,对细长梁进行强度计算时,主要考虑弯矩的影响,因截面上的最大正应力作用点处,弯曲剪应力为零,故该点为单向应力状态。为保证梁的安全,梁的最大正应力点应满足强度条件

][max

max max σσ≤=

z

I y M (6-6) 式中][σ为材料的许用应力。对于等截面直梁,若材料的拉、压强度相等,则最大弯矩的所在面称为危险面,危险面上距中性轴最远的点称为危险点。此时强度条件(6-6)可表达为

][max

max σσ≤=

z

W M (6-7) 式中

z W =

max

y I z

(6-8) 称为抗弯截面系数(或抗弯截面模量),其量纲为[长度]3。国际单位用m 3或mm 3。

对于宽度为 b 、高度为 h 的矩形截面,抗弯截面系数为

6

2122

3

bh h bh W z ==

(6-9) 直径为 d 的圆截面,抗弯截面系数为

32

2

643

4

d d

d W z ππ

== (6-10)

内径为 d ,外径为 D 的空心圆截面,抗弯截面系数为

()

()4

3

4

4

1322

164

απαπ-=-=D D

D W z , D

d

=α (6-11) 轧制型钢(工字钢、槽钢等)的 z W 可从型钢表中查得。

对于由脆性材料制成的梁,由于其抗拉强度和抗压强度相差甚大,所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。

根据式(6-7),可以解决三类强度问题,即强度校核,截面设计和许用载荷计算。

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