初中数学圆的技巧及练习题附解析

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新初中数学圆的技巧及练习题附解析

新初中数学圆的技巧及练习题附解析一、选择题1．已知线段AB 如图，(1)以线段AB 为直径作半圆弧»AB ，点O 为圆心；(2)过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、，交»AB 于点E F 、；(3)连接,OE OF ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )A ．CE DF =B ．»»AE BF =C ．60EOF ∠=︒D ． =2CE CO【答案】D【解析】【分析】根据作图可知AC CO OD DB ===,据此对每个选项逐一判断即可.【详解】根据HL 可判定ECO FDO ≅V V ,得CE DF =，A 正确；∵过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、，连接AE ，CE 为OA 的中垂线，AE OE =在半圆中，OA OE =∴OA OE AE ==,AEO △为等边三角形，60EOF =o ∠AOE=∠FOD=∠, C 正确；∴圆心角相等，所对应的弧长度也相等，»»AE BF=，B 正确 ∵60,90EOC =o o ∠AOE=∠, ∴=3CE CO ，D 错误【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键在于证明60o ∠AOE=.2．如图，ABC ∆是O e 的内接三角形，45A ∠=︒，1BC =，把ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆，点A 的对应点为点D ，则点A ，D 之间的距离是（）A ．1B ．2 C ．3 D ．2【答案】A【解析】【分析】连接AD ，构造△ADB ，由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质，证△ADB 和△DBE 全等，从而得到AD=BE=BC=1.【详解】如图，连接AD ，AO ，DO∵ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆，∴AB=DE ，90AOD ∠=︒，45CAB BDE ∠=∠=︒∴1452ABD AOD ∠=∠=︒（同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半），即45ABD EDB ∠=∠=︒，又∵DB=BD ，∴DAB BED ∠=∠（同弧所对应的圆周角相等），在△ADB 和△DBE 中 ABD EDB AB EDDAB BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADB ≌△EBD （ASA ）,∴AD=EB=BC=1.故答案为A.【点睛】本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用；顶点在圆上，两边都与圆相交的角角圆周角；掌握三角形全等的判定是解题的关键.3．如图，O e 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为( )A ．32π-B ．332π-C ．23π-D ．33π-【答案】A【解析】【分析】【详解】解：∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOB =60°，∴△OAB 是等边三角形，OA =OB =AB =2，设点G 为AB 与⊙O 的切点，连接OG ，则OG ⊥AB ，∴OG =OA •sin 60°=2×32=3， ∴S 阴影=S △OAB ﹣S 扇形OMN =12×2×3﹣260(3)π⨯=32π-．故选A ．4．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，点P 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），C 、D 分别是弦AP ，BP 的中点．若33CD =AOB 的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π【答案】A【解析】【分析】如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．【详解】解：如图作OH⊥AB于H．∵C、D分别是弦AP、BP的中点．∴CD是△APB的中位线，∴AB＝2CD＝63∵OH⊥AB，∴BH＝AH＝33∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠AOH＝∠BOH＝60°，在Rt△AOH中，sin∠AOH＝AH AO，∴AO＝336 sin3AHAOH==∠，∴扇形AOB的面积为：2120612360ππ=g g，故选：A．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．5．已知某圆锥的底面半径为3 cm ，母线长5 cm ，则它的侧面展开图的面积为（） A ．30 cm 2B ．15 cm 2C ．30π cm 2D ．15π cm 2【答案】D【解析】试题解析：根据圆锥的侧面展开图的面积计算公式得：S ＝RL π＝15π故选D.6．如图，有一个边长为2cm 的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（）A 3cmB ．2cmC ．23cmD ．4cm【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB 的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图所示，正六边形的边长为2cm ，OG ⊥BC ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC=360°÷6=60°，∵OB=OC ，OG ⊥BC ，∴∠BOG=∠COG=12∠BOC =30°， ∵OG ⊥BC ，OB=OC ，BC=2cm ， ∴BG=12BC=12×2=1cm ， ∴OB=sin 30BG o=2cm ， ∴2222213OB BG --= 3，故选：A ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．7．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．将ABC V 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC △，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A ．302，B ．602，C ．360，D ．603，【答案】C【解析】试题分析：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot ∠33AB=2BC=4，∵△EDC 是△ABC 旋转而成，∴BC=CD=BD=12AB=2， ∵∠B=60°，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∵BD=12AB=2， ∴DF 是△ABC 的中位线， ∴DF=12BC=12×2=1，CF=12AC=12×23=3， ∴S 阴影=12DF×CF=12×3=3．故选C ．考点：1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．8．如图，7×5的网格中的小正方形的边长都为1，小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点都在格点上，过点C 作△ABC 外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】作△ABC 的外接圆，作出过点C 的切线，两条图象法即可解决问题.【详解】如图⊙O 即为所求，观察图象可知，过点C 作△ABC 外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是3个，选：C ．【点睛】考查三角形的外接圆与外心，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意.9．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，点P 是AB 边上的一个动点，以BP 为直径的圆交CP 于点Q ，若线段AQ 长度的最小值是3，则ABC ∆的面积为（）A．18 B．27 C．36 D．54【答案】B【解析】【分析】如图，取BC的中点T，连接AT，QT．首先证明A，Q，T共线时，△ABC的面积最大，设QT=TB=x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT．∵PB是⊙O的直径，∴∠PQB=∠CQB=90°，∴QT=12BC=定值，AT是定值，∵AQ≥AT-TQ，∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT=TQ=x，在Rt△ABT中，则有（3+x）2=x2+62，解得x=92，∴BC=2x=9，∴S△ABC=12•AB•BC=12×6×9=27，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，则有中考选择题中的压轴题．10．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形面积为（）A ．32πB ．83πC ．6πD ．以上答案都不对【答案】D【解析】【分析】从图中可以看出，线段AB 扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC ，小圆半径是BC ，圆心角是60度，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积．【详解】阴影面积=()603616103603π⨯-=π．故选D ．【点睛】本题的关键是理解出，线段AB 扫过的图形面积为一个环形．11．如图，O e 中，若66OA BC AOB ⊥∠=o 、，则ADC ∠的度数为（）A ．33°B ．56°C ．57°D ．66°【答案】A【解析】【分析】根据垂径定理可得»»ACAB =，根据圆周角定理即可得答案．【详解】∵OA ⊥BC ，∴»»ACAB =， ∵∠AOB=66°，∠AOB 和∠ADC 分别是»AB和»AC 所对的圆心角和圆周角，∴∠ADC=12∠AOB=33°，故选：A ．【点睛】本题考查垂径定理及圆周角定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握相关定理是解题关键．12．下列命题中哪一个是假命题（）A ．8的立方根是2B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大C ．菱形的对角线相等且平分D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x 的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．13．如图，抛物线y ＝ax 2﹣6ax+5a （a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C 点．以C 点为圆心，半径为2画圆，点P 在⊙C 上，连接OP ，若OP 的最小值为3，则C 点坐标是（）A ．5252(,)22-B ．（4，﹣5）C ．（3，﹣5）D ．（3，﹣4）【答案】D【解析】【分析】首先根据二次函数的解析式求出点A 、B 、C 三点的坐标，再由当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，列出关于a 的方程，即可求解．【详解】∵2650y ax ax a a +-=（＞）与x 轴交于A 、B 两点， ∴A （1，0）、B （5，0），∵226534y ax ax a a x a =+=---（）， ∴顶点34C a （，-），当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，∴OC ＝OP+2＝5，∴29165(0)a a +=> ，∴1a = ，∴C （3，﹣4），故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是明确圆外一点到圆上的最短距离即该点与圆心的距离减去半径长．14．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，OC 交⊙O 于点D ，若∠ABD ＝24°，则∠C 的度数是（）A．48°B．42°C．34°D．24°【答案】B【解析】【分析】根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C＝42°求出∠AOC，根据等腰三角形性质求出∠B＝∠BDO，根据三角形外角性质求出即可．【详解】解：∵∠ABD＝24°，∴∠AOC＝48°，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴∠AOC+∠C＝90°，∴∠C＝90°﹣48°＝42°，故选：B．【点睛】考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，解此题的关键是求出∠AOC的度数，题目比较好，难度适中．15．下列命题中正确的个数是（）①过三点可以确定一个圆②直角三角形的两条直角边长分别是5和12，那么它的外接圆半径为6.5③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米④三角形的重心到三角形三边的距离相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】①根据圆的作法即可判断；②先利用勾股定理求出斜边的长度，然后根据外接圆半径等于斜边的一半即可判断；③根据圆与圆的位置关系即可得出答案；④根据重心的概念即可得出答案．【详解】①过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故错误；②∵直角三角形的两条直角边长分别是5和12，= ,13∴它的外接圆半径为.113652⨯=，故正确； ③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米或1厘米，故错误； ④三角形的内心到三角形三边的距离相等，故错误；所以正确的只有1个，故选：A ．【点睛】本题主要考查直角三角形外接圆半径，圆与圆的位置关系，三角形内心，重心的概念，掌握直角三角形外接圆半径的求法，圆与圆的位置关系，三角形内心，重心的概念是解题的关键．16．如图，已知圆O 的半径为10，AB ⊥CD ，垂足为P ，且AB ＝CD ＝16，则OP 的长为( )A ．6B ．6C ．8D ．8【答案】B【解析】【分析】作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ，连接OP ，OB ，OD ，首先利用勾股定理求得OM 的长，然后判定四边形OMPN 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP 的长．【详解】作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ，连接OP ，OB ，OD ，∵AB =CD =16，∴BM =DN =8，∴OM =ON ==6，∵AB ⊥CD ，∴∠DPB =90°，∵OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ，∴∠OMP =∠ONP =90°∴四边形MONP 是矩形，∵OM =ON ，∴四边形MONP 是正方形，∴OP =．故选B ．【点睛】本题考查的是垂径定理，正方形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m 的半圆，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（）A ．3mB ．33mC ．35mD ．4m【答案】C【解析】【分析】【详解】如图，由题意得：AP =3，AB =6，90.BAP ∠=o ∴在圆锥侧面展开图中223635.BP m =+=故小猫经过的最短距离是35.m故选C.18．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧弧AB 上任意一点（与点B 不重合），则∠BPC 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【解析】分析：接OB，OC，根据四边形ABCD是正方形可知∠BOC=90°，再由圆周角定理即可得出结论．详解：连接OB，OC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC=12∠BOC=45°．故选B．点睛：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．【详解】解：连接OD，设⊙O半径OD为R,∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，∴DM=12CD=4cm ，OM=R-2, 在RT △OMD 中， OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得：R=5,∴直径AB 的长为:2×5=10cm ．故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．20．如图，点E 为ABC ∆的内心，过点E 作MN BC P 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若7AB =，5AC =，6BC =，则MN 的长为（）A ．3．5B ．4C ．5D ．5．5【答案】B【解析】【分析】连接EB 、EC ，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME ，同理可得NC=NE ，接着证明△AMN ∽△ABC ，所以767MN BM -=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56MN②，把两式相加得到MN 的方程，然后解方程即可．【详解】连接EB 、EC ，如图，∵点E 为△ABC 的内心，∴EB 平分∠ABC ，EC 平分∠ACB ，∴∠1=∠2，∵MN∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴BM=ME，同理可得NC=NE，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴MN AMBC AB=，即767MN BM-=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56MN②，①+②得MN=12-2MN，∴MN=4．故选：B．【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．。

2024中考备考数学重难点05 圆的综合压轴题(6大题型+满分技巧+限时分层检测

重难点05 圆的综合压轴题中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类：一、圆中弧长和面积的综合题二、圆与全等三角形的综合题三、圆的综合证明问题四、圆与等腰三角形的综合题五、圆的阅读理解与新定义问题六、圆与特殊四边形的综合题圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。

考向一：圆中弧长与面积的综合题1．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.（1）求OC的长．操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．2．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：；（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．①请在图中作出点O；②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．考向二：圆与全等三角形综合题1．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．2．（2023•哈尔滨）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为的中点，连接ON交AC于点H．（1）如图①，求证：BC＝2OH；（2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC；（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点F 作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM ⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的长．3．（2023•长春）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为45度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为．考向三：圆的综合证明问题1．（2023•黄石）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD ⊥DA，AC交BF于点P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC•PC＝BC2；（3）已知BC2＝3FP•DC，求的值．2．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．3．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．4．（2023•广东）综合探究如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．（1）求证：AA'⊥CA'；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：；②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．考向四：圆与等腰三角形的综合1．（2023•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为．2．（2023•上海）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O 为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；（2）如图（2）所示，连接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；（3）连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值．3．（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．知识回顾（1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．①求∠C的度数；②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；逆向思考（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；拓展应用（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD＝CB﹣CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．考向五：圆的阅读理解与新定义问题1．（2023•青海）综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的．为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝120°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图2中计算C 到BD的距离d1．（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝90°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图4中计算C到BD的距离d2（结果保留根号）．（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角∠BAD＝．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），在图6中计算C 到BD的距离d3＝（结果保留根号）．（4）归纳推理：比较d1，d2，d3大小：，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离（填“越大”或“越小”）．（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d＝.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．2．（2023•陕西）（1）如图①，∠AOB＝120°，点P在∠AOB的平分线上，OP＝4．点E，F分别在边OA，OB上，且∠EPF＝60°，连接EF．求线段EF的最小值；（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥的中点，桥下水面的宽度AB＝24m，点P到水面AB的距离PH＝8m．点P1，P2均在上，＝，且P1P2＝10m，在点P1，P2处各装有一个照明灯，图中△P1CD和△P2EF分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P1，P2左右转动，且光束始终照在水面AB上．即∠CP1D，∠EP2F可分别绕点P1，P2按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段CD，EF在AB上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP1D＝∠EP2F＝90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答）3．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．（1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）．①在点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是；②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；（2）已知点M（0，3），N（，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．4．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．考向六：圆与特殊四边形综合1．（2023•威海）已知：射线OP平分∠MON，A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B，C，交射线ON 于点D，E，连接AB，AC，AD．（1）如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；（2）如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG＝AF．2．（2023•益阳）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC＝120°，D为⊙O上一点且的中点为M，连接AD，CD．（1）求∠ACB的度数；（2）四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若AC＝6，求的长．（建议用时：80分钟）1．（2023•宜昌）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3．（1）填空：∠PBA的度数是，PA的长为；（2）求△ABC的面积；（3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求的值．2．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长；（2）如图2，当，时，求的值；（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．3．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AD2＝AB•CN；（3）当AB＝6，sin∠DCA＝时，求AM的长．4．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．（1）求证：AD∥HC；（2）若＝2，求tan∠FAG的值；（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．①若OF＝，求BC的长；②若AH＝，求△ANB的周长；③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．5．（2023•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC ＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC 的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tan D）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．6．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG ＝∠AFC．（1）求∠BGC的度数．（2）①求证：AF＝BC．②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．（建议用时：80分钟）1．（2023•东营区校级一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE 平分∠ACB；④；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有（）个．A．5B．4C．3D．22．（2023•鹿城区校级三模）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，过BC上一点D作DE ⊥BC，交AB于点E，以点D为圆心，DE的长为半径作半圆，交AC，AB于点F，G，交直线BC于点H，I（点I在H左侧）．当点D与点C重合时（如图2），GH＝；当EF＝GH时，CD＝．3．（2023•湖北模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE＝7，下列四个结论：①AC平分∠DAB；②PF2＝PB•PA；③若BC＝OP，则阴影部分的面积为；④若PC＝24，则tan∠PCB＝；其中，所有正确结论的序号是．4．（2024•鄞州区校级一模）如图1，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的弦，垂足为E，连结BC，BD，OC．（1）求证：∠BCO＝∠ABD．（2）如图2，过点A作AF⊥BD，交CD于G，求证：CE＝EG．（3）如图3，在（2）的条件上，连结BG，若BG恰好经过圆心O，若⊙O的半径为5，，求AB的长．5．（2024•常州模拟）对于⊙C和⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q 可以与点P重合，且，则点P称为点A关于⊙C的“阳光点”．已知点O为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A（﹣1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“阳光点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标；（2）若点B是点A关于⊙O的“阳光点”，且，求点B的横坐标t的取值范围；（3）直线与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“阳光点”，请直接写出b的取值范围是或．6．（2024•广东一模）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D在劣弧BC上，CE ⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE～△BCD；（2）若cos∠ABC＝m，求；（用含m的代数式表示）（3）如图2，DE的中点为G，连接GO，若BD＝a，cos∠ABC＝，求OG的长．7．（2024•镇海区校级模拟）在矩形ABCD中，M、N分别在边BC、CD上，且AM⊥MN，以MN为直径作⊙O，连结AN交⊙O于点H，连结CH交MN于点P，AB＝8，AD＝12．（1）求证：∠MAD＝∠MHC；（2）若AM平分∠BAN，求MP的长；（3）若△CMH为等腰三角形，直接写出BM的长．8．（2024•浙江一模）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结BD交CF于点G，连结AC，DC，过点C的切线交AB的延长线于点H．（1）求证：FG＝CG．（2）求证：四边形BDCH是平行四边形．（3）若⊙O的半径为5，OF＝3，求△ACH的周长．9．（2024•五华区校级模拟）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接DE并延长交AB的延长线于点F，点P在AF上，且∠PEF＝∠DCE，连接AE，CE分别交OD，OB于点M，N，连接AC，设⊙O的半径为r．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）当∠DCE＝15°时，求证：AM＝2ME；（3）在点E的移动过程中，判断AN•CM是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．10．（2024•福建模拟）已知：如图，⊙O内两条弦AB、CD，且AB⊥CD于E，OA为⊙O半径，连接AC、BD．（1）求证：∠OAC＝∠BCD；（2）作EN⊥BD于N，延长NE交AC于点H．求证：AH＝CH；（3）在（2）的条件下，作∠EHF＝60°交AB于点F，点P在FE上，连接PC交HN于点L，当EL＝HF＝，CL＝8，BE＝2PF时，求⊙O的半径．11．（2024•鹿城区校级一模）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，点E是AB的中点，连结EO并延长交BC 于D，点F在AC上，连结AD，DF，∠BAD＝∠CDF．（1）求证：DF∥AB．（2）当AB＝9，AF＝FD＝4时，①求tan∠CDF的值；②求BC的长．（3）如图2，延长AD交⊙O于点G，若，求的值．12．（2024•正阳县一模）【材料】自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示，⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PQ，使PQ与⊙O相切于点Q．李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接OP，分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B 分别位于直线OP的上下两侧）；（2）作直线AB，AB交OP于点C；（3）以点C为圆心，CO为半径作⊙C，⊙C交⊙O于点Q（点Q位于直线OP的上侧）；（4）连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求．【问题】（1）请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）结合图形，说明PQ是⊙O切线的理由；（3）若⊙O半径为2，OP＝6．依据作图痕迹求QD的长．13．（2024•泌阳县一模）小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形ABCD，一条线段OP（OP＜AB），再以点A为圆心，OP的长为半径，画⊙A分别交AB于点E．交AD于点G．过点E，G分别作AB，AD的垂线交于点F，易得四边形AEFG也是正方形，连接CF．（1）【探究发现】如图1，BE与DG的大小和位置关系：．（2）【尝试证明】如图2，将正方形AEFG绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？请说明理由．（3）【思维拓展】如图3，若AB＝2OP＝4，则：①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，CF的值为；②在旋转过程中，CF的最大值是．14．（2024•秦都区校级一模）问题提出：（1）如图①，⊙O的半径为4，弦AB＝4，则点O到AB的距离是．问题探究：（2）如图②，⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，AB＝6，求△ABC面积的最大值．问题解决：（3）如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为60m，等边△ABP的边AB是⊙O的弦，顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD．现准备在△PAB和△PCD 区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积．（提示：花卉种植面积尽可能小，即花卉种植面积S△PAB +S△PCD的最小值）15．（2024•碑林区校级一模）问题探究（1）寒假期间，乐乐同学参观爸爸的工厂，看到半径分别为2和3的两个圆形零件⊙A、⊙B按如图1所示的方式放置，点A到直线m的距离AC＝4，点B到直线m的距离BD＝6，CD＝5，M是⊙A上一点，N是⊙B上一点，在直线m上找一点P，使得PM+PN最小．请你在直线m上画出点P的位置，并直接写出PM+PN的最小值．问题解决（2）如图2，乐乐爸爸的工厂欲规划一块花园，如图所示的矩形ABCD，其中米，BC＝30米，点E、F为花园的两个入口，米，DF＝10米．若在△BCD区域内设计一个亭子G（亭子大小忽略不计），满足∠BDG＝∠GBC，从入口到亭子铺设两条景观路．已知铺设小路EG所用的景观石材每米的造价是400元，铺设小路FG所用的景观石材每米的造价是200元，你能否帮乐乐同学分析一下，是否存在点G，使铺设小路EG和FG的总造价最低？若存在，求出最低总造价，并求出此时亭子G到边AB的距离；若不存在，请说明理由．16．（2024•雁塔区校级一模）问题发现（1）在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，则△ABC面积的最大值为；（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝8，求BC+CD的值．问题解决（3）有一个直径为60cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值及此时OA的长；若不存在，请说明理由．17．（2024•东莞市校级一模）如图①，点C，D在线段AB上，点C在点D的左侧，若线段AC，CD，DB 满足AC2+BD2＝CD2，称C，D是线段AB的勾股点．（1）如图②，C，D是线段AB的勾股点，分别以线段AC，CD，DB为边向AB的同侧作正△ACE，正△CDF，正△DBG，已知正△ACE、正△CDF的面积分别是3，5，则正△DBG的面积是；（2）如图①，AB＝12，C，D是线段AB的勾股点，当AC＝AB时，求CD的长；（3）如图③，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．18．（2023•西湖区模拟）如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上，且BD＝BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求线段CD的长度；（2）在（1）的条件下，当DF＝a时，求线段BD的长度；（答案用含a的代数式表示）（3）若AB＝3AE，且CD＝12，求△BCD的面积．19．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．小明决定研究一下圆，如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，延长AB至点D，连接AC、BC、CD，且∠CAB＝∠BCD，过点C 作CE⊥AD于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OB＝BD，求证：点E是OB的中点；（3）在（2）的条件下，若点F是⊙O上一点（不与A、B、C重合），求的值．。

压轴题圆的五种考法(解析版)--九年级数学常考压轴题

压轴题圆的五种考法目录解题知识必备压轴题型讲练类型一、四点共圆类型二、圆中最值问题类型三、定点定长构造辅助圆类型四、定弦定角构造辅助圆类型五、对角互补构造辅助圆压轴能力测评(10题)类型一、四点共圆一．填空题1.(2022秋•大丰区期中)如图，ΔABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°．以AD为弦的圆分别交AB、AC于E、F两点．点G在AC边上，且满足∠EDG=120°．若CD=4+22，则ΔDEG的面积的最小值是．【分析】连接EF，利用四点共圆和同弧所对的圆周角相等证明EF⎳DG，从而得到SΔEDG=S△EDG，当FG最小时，ΔDFG的面积就最小，作ΔDFG的外接圆O，过O点作OH⊥FG交于点H，连接OF、OG，DO+OH=12+22FG，当DO+OH最小时，FG就最小，当D、O、H三点共线时，DO+OH最小，此时DH⊥FG，在RtΔFHO中，(2FH)2=FH2+(2+2-2FH)2，求出FH=2，可得FG的最小值为22，再求SΔDFG =22+2，即ΔDEG的面积的最小值为22+2．【解答】解：连接EF，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，∴∠B=45°，∠DAC=60°，∵∠BAC=105°，∵A、E、F、D四点共圆，∴∠EDF=75°，∵∠EDG=120°，∴∠FDG=45°，∵ED =ED ，∴∠EFD =∠FDG ，∴EF ⎳DG ，∴S ΔEDG =S △EDG ，∵CD =4+22，∠C =30°，∴AC =833+463，AD =433+263，∴AC 边上的高=AD ⋅DC AC=2+2，∴当FG 最小时，ΔDFG 的面积就最小，作ΔDFG 的外接圆O ，过O 点作OH ⊥FG 交于点H ，连接OF 、OG ，∵∠FDG =45°，∴∠FOG =90°，∵OF =GO ，∴ΔFOG 是等腰直角三角形，∵∠FOH =12∠FOG =45°，∴ΔFOH 是等腰直角三角形，∴FH =OH =12FG ，FO =2FH ，∴DO +OH =22FG +12FG =12+22FG ，∴当DO +OH 最小时，FG 就最小，∵DO +OH ≥DH ，∴当D 、O 、H 三点共线时，DO +OH 最小，此时DH ⊥FG ，∴DH =2+2，在Rt ΔFHO 中，(2FH )2=FH 2+(2+2-2FH )2，解得FH =2或FH =4+32，∵OH =2+2=FH +FO ，∴FH =2，∴FG 的最小值为22，∴S ΔDFG =12×22×(2+2)=22+2，∴ΔDEG 的面积的最小值为22+2，故答案为：22+2．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆心角与圆周角的关系，四点共圆的性质，三角形外接圆的性质是解题的关键．二．解答题2.(2022秋•建湖县期中)如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，DB =DC ，∠DAE 是四边形ABCD 的一个外角．(1)若∠DAE =75°，则∠DAC =°；(2)过点D 作DE ⊥AB 于E ，判断AB 、AE 、AC 之间的数量关系并证明；(3)若AB =6、AE =2，求BD 2-AD 2的值．【分析】(1)根据四边形外接圆的性质，同弧所对的圆周角相等，可得∠DCB=∠DBC=∠DAC=75°；(2)过点D作DF⊥AC于点F，可证明ΔBDE≅ΔCDF(AAS)，ΔADE≅ΔADF(AAS)，则AC=AF+FC= AE+BE=AE+AE+AB=2AE+AB；(3)在RtΔBDE中，BD2=64+DE2，在RtΔAED中，AD2=4+ED2，再求解即可．【解答】解：(1)∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∴∠DAE=∠BCD，∵BD=CD，∴∠CBD=∠DCB，∵弧CD所对的圆周角分别为∠CAD、∠CBD，∴∠CBD=∠CAD，∵∠DAE=75°，∴∠DCB=∠DBC=∠DAC=75°，故答案为：75；(2)过点D作DF⊥AC于点F，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∵∠ABD=∠ACD，BD=CD，∠E=∠DFC=90°，∴ΔBDE≅ΔCDF(AAS)，∴DE=DF，AE=CF，∴∠ADE=∠ADF，又∵∠E=∠AFD，AD=AD，∴ΔADE≅ΔADF(AAS)，∴AE=AF，∴AC=AF+FC=AE+BE=AE+AE+AB=2AE+AB，即AC=2AE+AB；(3)在RtΔBDE中，BD2=BE2+DE2，在RtΔAED中，AD2=AE2+ED2，∵AB=6，AE=2，∴BE=8，∴BD2=64+DE2，AD2=4+ED2，∴BD2-AD2=60．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，四点共圆的性质，直角三角形勾股定理，三角形全等的判定及性质是解题的关键．3.(2023秋•鄞州区期中)如图，在△ABC 中，点D ，E 为AB ，AC 上的点，BE =CD ，DC ，BE 交于F ，△BDF 与△CEF 的外接圆相交于点G (异于F )，H 1，H 2分别为△ABC 和△ADE 的垂心．证明：(1)GF 平分∠BFC ；(2)H 1，H 2，G 三点共线．(注：利用坐标系、复数解题者不给分)【分析】(1)通过证明△BGE ≅△DGC 得出DG =BG ，然后由BG =DG 推导出∠BFG +∠DFG =180°，再由邻补角的性质得出∠BFG =∠GFC ，即可证明结论；(2)根据题意构造B 、E 、B ′、E ′四点共⊙P ，以及D 、C 、D ′、C ′四点共⊙Q ，然后由相似三角形推导出点H 1、H 2对于⊙P 和⊙Q 等幂，再由根轴的性质得出H 1H 2是PQ 的垂直平分线，最后根据GP =GQ 得到GM ⊥PQ ，进而证得三点共线．【解答】(1)证明：在△BGE 和△DGC 中，∠GBE =∠GDC ，BE =CD ，∠GEB =∠GCD ，∴△BGE ≅△DGC (ASA )．∴DG =BG ，∴BG =DG ，∵DBG +DG =2πR (R 为△BDF 的外接圆半径)．∴∠BFG +∠DFG =180°．又∵∠GFC +∠DFG =180°，∴∠BFG =∠GFC ，∴GF 平分∠BFC ．(2)证明：连接BH 1、DH 2并延长分别交AC 于B ′、D ′，连接CH 1、EH 2并延长交AB 于C ′、E ′．BE 中点为P ，CD 中点为Q .∵BB ′⊥AC ，EE ′⊥AB ，∴B 、E 、B ′、E ′四点共⊙P ．∵DD ′⊥AC ，CC ′⊥AB ，∴D 、C 、D ′、C ′四点共⊙Q ．∵∠DE ′H 2=∠ED ′H 2，∠DH 2E ′∽△EH 2D ′，∴△DE ′H2∽△ED ′H 2，∴DH 2:EH 2=E ′H 2:D ′H 2，∴DH 2⋅D ′H 2=EH 2⋅E ′H 2．同理得CH 1⋅C ′H 1=BH 1⋅B ′H 1．∴H 1，H 2在⊙P 和⊙Q 的根轴上．∵⊙P 和⊙Q 的根轴是过两圆的交点的直线．∴H 1，H 2在⊙P 和⊙Q 的公共弦JK 上．又∵BE =CD ，即⊙P 和⊙Q 是等圆，∴四边形PJQK 为菱形．∴H 1H 2是PQ 的垂直平分线，M 为PQ 中点．由(1)知△BGE ≅△DGC ，∵GP 、GQ 分别为△BGE 和△DGC 的对应边上的中线，∴GP =GQ ，∴点G 在PQ 的垂直平分线上．∴H 1，H 2，G 三点共线．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆幂定理，菱形的性质，等腰三角形的性质等．本题辅助线繁多，综合性强，通过四点共圆判断出H 1、H 2两点对于⊙P 和⊙Q 等幂是解答本题的关键．4.(2022秋•沙坪坝区校级期中)在ΔABC 中，已知AB =AC ，作AM ⊥BC ，D 是AM 上一点，∠DBC =30°，连接BD 、CD ，在BD 上截取DE =AD ，连接AE ．(1)如图1所示，若∠BAC =90°，AD =3，求ΔABE 的周长；(2)如图2所示，若分别取AE 、AC 的中点N 、H ，连接MN 、MH ，求证：MN =MH ；(3)如图3所示，∠BAC =90°，BC =2，将AC 沿着直线AP 翻折得到AQ ，连接BQ ，直线BQ 交AP 于点P ，N 为AE 中点，当PN 取得最小值时，请直接写出ΔAPN 的面积．【分析】(1)过点D 作DL ⊥AE 于L ，则∠ALD =∠ELD =90°，由∠DBC =30°，可得BD =2DM ，设DM =x ，则BD =2x ，由勾股定理可得BM =3x ，AM =x +3，可得BM =CM =AM =33+32，AB =2BM =2×33+32=36+322，利用勾股定理可得AL =AD 2-DL 2=(3)2-32 2=32，进而可得AE =2AL =2×32=3，即可求得答案；(2)延长AM 至F ，使MF =AM ，在DF 上截取DT =DE ，连接EF ，ET ，设∠ABM =α，则∠BAM =90°-α，可证得ΔDET 是等边三角形，得出：DT =ET =DE =AD ，∠DTE =60°，再证得ΔABD ≅ΔEFT (SAS )，可得AB =EF =AC ，利用三角形中位线定理可得MN =12EF ，再由直角三角形性质可得MH =12AC ，即可证得结论；(3)连接CP ，先证得点P 在ΔABC 的外接圆⊙M 上，当且仅当点P 为半径MP 经过点N 时，PN 取得最小值，连接DN ，过点N 作NG ⊥AM 于G ，利用解直角三角形可得DM =BM ⋅tan30°=33，AD =DE =1-33，AN =EN =32AD =321-33 ，NG =12AN =12×321-33 =3-14，AG =3NG =3-34，GM =AM -AG =1-3-34=1+34，由勾股定理可得MN =GM 2+NG 2=1+34 2+3-14 2=22，PN =MP -MN =1-22，再利用S ΔAPN S ΔAMN =PN MN=2-1，即可求得答案．【解答】(1)解：过点D 作DL ⊥AE 于L ，则∠ALD =∠ELD =90°，∵∠BAC =90°，AB =AC ，AM ⊥BC ，∴AM =BM =CM ，∠BMD =90°，∠ABM =∠BAM =45°，∵∠DBC =30°，∴BD =2DM ，设DM =x ，则BD =2x ，∴BM =BD 2-DM 2=(2x )2-x 2=3x ，AM =x +3，∴3x =x +3，∴x =3+32，∴BM =CM =AM =33+32，∴AB =2BM =2×33+32=36+322，∵DE =AD ，∴∠DAE =∠DEA ，∵∠DAE +∠DEA =∠BDM =90°-30°=60°，∴∠DAE =∠DEA =30°，∴∠BAE =∠BAM -∠DAE =45°-30°=15°，∵∠ABD =∠ABM -∠DBC =45°-30°=15°，∴∠BAE =∠ABD ，∴AE =BE ，在Rt ΔADL 中，DL =12AD =32，∴AL =AD 2-DL 2=(3)2-322=32，∵DE =AD ，DL ⊥AE ，∴AE =2AL =2×32=3，∴ΔABE 的周长=AB +AE +BE =36+322+3+3=36+32+122；(2)证明：延长AM 至F ，使MF =AM ，在DF 上截取DT =DE ，连接EF ，ET ，设∠ABM =α，则∠BAM =90°-α，∵∠DBC =30°，∴∠BDT =60°，∠ABD =α-30°，BD =2DM ，∵DE =AD ，∴∠AED =∠DAE =30°，∴ΔDET 是等边三角形，∴DT =ET =DE =AD ，∠DTE=60°，∵AF =2(AD +DM )=AT +FT ，∴FT =2DM =BD ，∵∠EDT =∠ETD =60°，∴∠ADB =180°-60°=120°=∠ETF ，在ΔABD 和ΔEFT 中，AD =ET∠ADB =∠ETF BD =FT，∴ΔABD ≅ΔEFT (SAS )，∴AB =EF ，∵AB =AC ，∴EF =AC ，∵N 、M 分别是AE 、AF 的中点，∴MN =12EF ，∵点H 是Rt ΔACM 斜边AC 的中点，∴MH =12AC ，∴MN =MH ；(3)解：如图，连接CP ，由翻折得：∠ACP =∠AQP ，AC =AQ ，∵AB =AC ，∠BAC =90°，BC =2，AM ⊥BC ，∴AB =AQ ，AM =BM =CM =1，∴∠ABP =∠AQB ，∵∠AQB +∠AQP =180°，∴∠ABP +∠ACP =180°，∴点P 在ΔABC 的外接圆⊙M 上，当且仅当点P 为半径MP 经过点N 时，PN 取得最小值，如图，连接DN ，过点N 作NG ⊥AM 于G ，∵∠DBC =30°，∴DM =BM ⋅tan30°=33，∴AD =DE =1-33，∴AN =EN =32AD =321-33，∵∠AGN =90°，∠NAG =30°，∴NG =12AN =12×321-33 =3-14，∴AG =3NG =3-34，∴GM =AM -AG =1-3-34=1+34，在Rt ΔMNG 中，MN =GM 2+NG 2=1+342+3-14 2=22，∴PN =MP -MN =1-22，∴SΔAPNSΔAMN=PNMN=1-2222=2-1，∵SΔAMN=12AM⋅NG=12×1×3-14=3-18，∴SΔAPN=(2-1)SΔAMN=(2-1)×3-18=6-3-2+18．【点评】本题是几何综合题，考查了等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的判定，三角形面积等，涉及知识点多，难度大，添加适当的辅助线是解题的关键与难点．5.(2022秋•鼓楼区期中)以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆(图1、2)；Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆(图3)；Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆(图4)．(1)在图1、2中，取AC的中点O，根据得OA=OB=OC=OD，即A，B，C，D共圆；(2)在图3中，画⊙O经过点A，B，D(图5)．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得=180°，所以∠BED=，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．已知：如图6，锐角三角形ABC的高BD，CE相交于点H，射线AH交BC于点F．求证：AF是ΔABC的高．(补全以下证明框图，并在图上作必要标注)(4)如图7，点P是ΔABC外部一点，过P作直线AB，BC，CA的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在ΔABC的外接圆上．【分析】(1)根据直角三角形斜边中线的性质可得结论；(2)由圆周角的性质可得∠BED+∠A=180°，再结合题干条件，得出矛盾，由此可得出结论；(3)如图，连接DE，由点B、C、D、E四点共圆得∠BDE=∠ECB，由点A、D、H、E四点共圆得∠BDE=∠BAF，从而证明∠BAF+∠ABF=90°即可；(4)连接BP和CP，由点A，E，P，F四点共圆可得，∠BEF=∠BPF，由点C，P，D，F四点共圆可得∠CDF =∠CPF，再由外角的性质及角的和差可得∠BAC=∠BPC，由此可得点A，B，C，P四点共圆，即点P在ΔABC的外接圆上．【解答】解：(1)在图1、2中，取AC的中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OA=OB= OC=OD，即A，B，C，D共圆；故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)在图3中，画⊙O经过点A，B，D(图5)．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得∠BED+∠A=180°，∴∠BED=180°-∠A，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．故答案为：∠BED+∠A；180°-∠A；(3)如图6，连接DE，由点B、C、D、E四点共圆得∠BDE=∠ECB，由点A、D、H、E四点共圆得∠BDE=∠BAF，∴∠ECB=∠BAF，∵∠BEC=90°，∴∠ECB+∠ABF=90°，∴∠BAF+∠ABF=90°，∴∠BFA=90°，∴AF为ΔABC的边BC上的高．(4)如图7，连接BP和CP，由点A，E，P，F四点共圆可得∠BEF=∠BPF，由点C，P，D，F四点共圆可得∠CDF=∠CPF，∵∠ADE=∠CDF，∴∠ADE=∠CPF，∵∠BAC=∠BEF+∠ADE，∠BPC=∠BPF+∠CPF，∴∠BAC=∠BPC，∴点A，B，C，P四点共圆，即点P在ΔABC的外接圆上．【点评】本题考查了圆的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，内心的定义．第(3)(4)题解题关键是选取适当的四点证明共圆，再利用圆周角定理证明角相等．类型二、圆中最值问题一．填空题6.(2022秋•长沙期中)如图，⊙O 的半径为1，P A ，PB 为⊙O 的切线，切点为A ，B ，∠APB =60°，点M 为劣弧AB 上一动点，过点M 作⊙O 的切线，分别交P A ，PB 于点E ，F ，EF 的最小值是．【分析】由切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形外心的性质，可以求解．【解答】解：连接OA ，OE ，OM ，OF ，OB ，∵P A ，PB 为⊙O 的切线，EF 切⊙O 于M ，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，OM ⊥EF ，∵四边形PBOA 内角和是360°，∴∠P +∠AOB =360°-∠P AB -∠PBA =180°，∴∠AOB =180°-∠P =120°，∵OE =OE ，OA =OM ，∴Rt ΔOAE ≅Rt ΔOME (HL )，∴∠AOE =∠MOE ，同理：∠MOF =∠BOF ，∴∠EOF =∠EOM +∠FOM =12∠AOB =60°，设ΔOEF 的外心是点C ，作CH ⊥EF 于H ，连接CO ，CE ，CF ，OM ，∵点C 是ΔOEF 的外心，∴OC =EC =FC ，∴∠CEF =∠CFE ，EH =FH ，∵∠ECF =2∠EOF =120°，∴∠CEF =30°，∴CH =12CE =12OC ，∵OC +CH ≥OM ，∴3CH ≥1，∴CH ≥13，∵tan ∠CEH =CH EH，∴EH =3CH ，∴EF =2EH =23CH ，∴EF ≥233，∴EF 的最小值是233，故答案为：233．【点评】本题考查有关圆的最值问题，关键是掌握切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形外心的性二．解答题7.(2022秋•东城区校级期中)对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P给出如下定义；Q为图形G上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，则称点P为图形G 的“k分点”．已知点N(3,0)，A(1,0)，B(0,3)，C(1,-1)．(1)①在点A，B，C中，线段ON的“2分点”是；②点D(a,0)，若点C为线段OD的“二分点”，求a的值；(2)以点O为圆心，r为半径画图，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．【分析】(1)①分别求出点A、B、C到线段ON的最小值和最大值，看是否满足“2分点”定义即可，②对a的取值分情况讨论：0<a≤1，1<a≤2，a>2和a<0，根据“二分点”的定义可求解，(2)设线段AN上存在⊙O的“二分点”为M(m，0)(1≤m≤3)．对r的取值分情况讨论0<r≤1，1<r<3且m<r，1<r<3且m>r，r≥3，根据二分点的定义可求解．【解答】(1)解：①如图，∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，点B到ON的最小值为OB=3，最大值为BN=32+32=32，∴点B是线段ON的“2分点”，点C到ON的最小值为1，最大值为CN=22+12=5∴点C不是线段ON的“2分点”，故答案为：点B；②当0<a≤1时，点C到OD的最小值为CD=(1-a)2+(-1)2=2-2a+a2，点C到OD的最大值为CO=12+(-1)2=2，∴2=22-2a+a2，即2a2-4a+3=0，∵△<0，故无解，舍去；当1<a≤2时，点C到OD的最小值为1，点C到OD的最大值为CO=12+(-1)2=2，最大值不是最小值的2倍，所以舍去，当a>2时，点C到OD的最小值为1，点C到OD的最大值为CD=(a-1)2+(0-1)2=a2-2a+2，∵点C为线段OD的“二分点”，∴a2-2a+2=2×1，a1=1+3,a2=1-3(舍去)，当a<0时，点C到OD的最小值为CO=12+(-1)2=2，点C到OD的最大值为CD=(1-a)2+(-1-0)2=a2-2a+2，∵点C为线段OD的“二分点”，同0<a≤1时，无解，舍去；综上，a=1+3．(2)如图所示，设线段AN上存在⊙O的“二分点”为M(m，0)(1≤m≤3)，当0<r≤1时，最小值为：m-r，最大值为：m+r，m，∴2(m-r)=m+r，即r=13∵1≤m≤3，≤r≤1，∴13当1<r<3且m<r时，最小值为：r-m，最大值为r+m，∴2(r-m)=r+m，即r=3m，∵1≤m≤3，∴3≤r≤9，∵1<r<3，∴r不存在，当1<r<3且m>r时，最小值为：m-r，最大值为：m+r，m，∴2(m-r)=r+m，即r=13≤r≤1，∴13∵1<r<3，∴r 不存在．当r ≥3时，最小值为：r -m ，最大值为：m +r ，∴2(r -m )=r +m ，即r =3m ，∴3≤r ≤9．综上所述，r 的取值范围为13≤r ≤1或3≤r ≤9．【点评】本题考查坐标上的两点距离，勾股定理，点到圆的距离．根据题目所给条件，掌握“k 分点”的定义是解题的关键．8.(2022秋•江阴市期中)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(-3，0)，点B 在y 轴的正半轴上，且∠ABO =30°，以点B 为圆心，1为半径画⊙B ，与y 轴交于点C (点C 在点B 的下方)，点Q 是AB 的中点，点P 是⊙B 上的一个动点，从点C 开始以5度/秒的速度沿圆周逆时针运动一周，设运动时间为t 秒．(1)如图1，连接OQ ，当OQ ⎳BP 时，求t 的值；(2)如图2，点P 在运动过程中，连接AP ，以AP 为边在左侧作等边ΔAPD ，①当t =12秒时，求点D 的坐标；②连接DQ ，当DQ 最大时，求此时t 的值和这个最大值．【分析】(1)如图，过点B 作BP ⎳OQ ，交⊙B 于点P 1，P 2，由平行得出点P 的旋转角，进而可得出时间t ；(2)①将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°到线段AB ′，连接B ′D ，易证△AB ′D ≅ΔABP (SAS )，所以B ′D =BP =1，∠AB ′D =∠ABP =90°；过点B ′作B ′N ⊥x 轴于点N ，过点D 作DM ⊥B ′N 于点M ，所以∠M =∠ANB ′=90°，由互余可知，∠MBD ′=∠B ′AN ，所以∠B ′AB =60°，∠BAO =60°，所以∠B ′AN =60°，AN =3，B ′N =3，则MB ′=12，MD =32，进而可得点D 的坐标；②由旋转可知，点D 在以点B ′为圆心，1长为半径的圆上运动，当DQ 最大时，点D ，B ′，Q 三点共线，设⊙B与y 轴的另一个交点为C ′，则C ′(0,4)，OC ′=4，由点Q 是AB 的中点可知，Q -32，32，B ′(-23，3)，进而可得B ′Q =3，所以DQ =4，易证△AB ′Q ≅ΔABO (SSS )，进而可得ΔADQ ≅△AC ′O (SAS )，所以AD =AC ′，即此时点P 与点C ′重合，所以t =180°5°=36．【解答】解：(1)如图：∵ΔABO 是直角三角形，Q 是AB 中点，∴OQ =QA =QB ，∴∠BOQ =∠ABO =30°，又∵OQ ⎳BP 1，∴∠OBP 1=∠BOQ =30°，∴点P 的轨迹是⊙B 中30°圆心角所对的弧，∴t =30°5°=6，∵当点P 运动到P 1B 延长线与⊙B 的交点P 2时，点P 的轨迹是⊙B 中180°+30°=210°圆心角所对的弧，∴t =210°5°=42．故t 的值为6或42；(2)①如图，∵∠ABO =30°，OA =3，∴OB =3，AB =23，当t =12时，∠CBP =60°，∴∠ABP =90°，将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°到线段AB ′，连接B ′D ，由旋转可知，∠BAB ′=60°，AB =AB ′=23，∵ΔADP 是等边三角形，∴∠DAP =60°，AD =AP ，∴∠B ′AD =∠BAP ，∴△AB ′D ≅ΔABP (SAS )，∴B ′D =BP =1，∠AB ′D =∠ABP =90°，过点B ′作B ′N ⊥x 轴于点N ，过点D 作DM ⊥B ′N 于点M ，∴∠M =∠ANB ′=90°，∴∠AB ′N +∠B ′AN =90°，∠MB ′D +∠AB ′N =90°，∴∠MB ′D =∠B ′AN ，∵∠B ′AB =60°，∠BAO =60°，∴∠B ′AN =60°，AN =3，B ′N =3，∴∠MB ′D =60°，∴MB ′=12，MD =32，∴MN =72．∴D -332，72；②由旋转可知，点D 在以点B ′为圆心，1长为半径的圆上运动，∴当DQ 最大时，点D ，B ′，Q 三点共线，如图所示，设⊙B 与y 轴的另一个交点为C ′，∴C ′(0,4)，∴OC ′=4，∵点Q 为AB 的中点，∴AQ =BQ =3，AB ′=AB =23，由①可知，B (0,3)，∴Q -32，32，B ′(-23，3)，∴DQ =4，∴B ′Q =BO ，AQ =BQ =3，AB ′=AB =23，∴△AB ′Q ≅ΔABO (SSS )，∴∠AQB ′=∠AOB =90°，∵DQ =OC ′，AQ =AO ，∴ΔADQ ≅△AC ′O (SAS )，∴AD =AC ′，即此时点P 与点C ′重合，∴t =180°5°=36．综上，t =36，DQ 最大值是4．【点评】本题属于圆的综合题，涉及考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的相似与判定，含30°的直角三角形的三边关系，根据题意得出点D 的轨迹是解题关键．类型三、定点定长构造辅助圆一．填空题9.(2023秋•常州期中)如图，点A ，B 的坐标分别为A (4,0)，B (0,4)，C 为坐标平面内一点，BC =2，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，OM 的最大值为．【分析】先判断出点C 的运动轨迹是在半径为2的⊙B 上，再取OD =OA =4，连接OD ，则OM 是ΔACD 的中位线，OM =12CD ，进而可得OM 最大值时，CD 取最大值，此时D 、B 、C 三点共线，计算即可求出结果．【解答】解：∵C 为坐标平面内一点，BC =2，∴点C 的运动轨迹是在半径为2的⊙B 上，如图，取OD =OA =4，连接OD ，∵点M 为线段AC 的中点，∴OM 是ΔACD 的中位线，∴OM =12CD ，∴OM 最大值时，CD 取最大值，此时D 、B 、C 三点共线，此时在Rt ΔOBD 中，BD =42+42=42，∴CD =2+42，∴OM 的最大值是1+22．故答案为：1+22．【点评】本题考查了坐标和三角形的中位线，定点定长构造辅助圆等，解题关键是确定点C 的运动轨迹．二．解答题10.(2022秋•秀洲区期中)如图，ΔABC 中，AC =BC =4，∠ACB =90°，过点C 任作一条直线CD ，将线段BC 沿直线CD 翻折得线段CE ，直线AE 交直线CD 于点F ．(1)小智同学通过思考推得当点E 在AB 上方时，∠AEB 的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：∵AC =BC =EC ，∴A 、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上．∴∠AEB =∠ACB =°．(2)若BE =2，求CF 的长．(3)线段AE 最大值为；若取BC 的中点M ，则线段MF 的最小值为．【分析】(1)根据AC =BC =EC ，得A 、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上，根据圆周角定理可知∠AEB 的度数；(2)由ΔEFG 是等腰三角形可求出FG =1，利用勾股定理求出CG 的长，从而得出答案；(3)根据直径是圆中最大的弦知当AE 经过圆心C 时，线段AE 的最大值为2AC =8，取AB 的中点O ，连接OF ，可证∠AFB =90°，则点F 在以AB 为直径的圆O 上，当OF 经过点M 时，MF 最短，此时OF ⊥BC ，从而解决问题．【解答】解：(1)∵AC =BC =EC ，∴A 、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上，∴∠AEB =12∠ACB =45°，故答案为：12，45；(2)由折叠可知，CD 垂直平分BE ，∴BE ⊥CD ，设CD 、BE 交于点G ，则GE =BG =12BE =1，∴∠FGE =90°，∵∠AEB =45°，∴FG =GE =1，在Rt ΔCEG 中，由勾股定理得，CG =CE 2-DE 2=15，∴CF =CG -FG =15-1；当点E 在AB 的下方时，如图，∵AC =BC =EC ，∴A 、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上，∴∠EAB +∠EBA =12∠ACB =45°，即∠BEF =45°，由翻折可知，∠EGF=90°，EG=GB 12BE=1，∴ΔEGF是等腰直角三角形，∴GF=EG=1，在RtΔCEG中，CG=CE2-EG2=42-12=15，∴CF=15+1，综上所述，CF的长为15-1或15+1；(3)∵A，B，E，三点在以C为圆心，以AC为半径的圆上，∴当AE经过圆心C时，线段AE的最大值为2AC=8，在RtΔABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，∴AB=AC2+BC2=42，BM=CM=12BC=2，∠ABC=∠BAC=45°，连接BF，取AB的中点O，连接OF，如图，∵CD垂直平分BE，∠AEB=45°，∴BF=EF，∴∠EBF=∠AEB=45°，∴∠EFB=90°，∴∠AFB=90°，∴OF=12AB=OA=OB=22，∴点F在以点O为圆心，AB为直径的圆上，∵∠ACB=90°，∴点C在⊙O上，∴当OF经过点M时，MF最短，此时OF⊥BC，∴OM=BM⋅tan∠ABC=2×1=2，∴MF=OF-OM=22-2，即线段MF的最小值为22-2，故答案为：8；22-2．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，利用定点定长构造辅助圆是解题的关键．类型四、定弦定角构造辅助圆一．填空题11.(2023春•梁子湖区期中)如图，矩形ABCD的边AB=8，AD=6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP=∠P AB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为．【分析】先找出点P 的运动路线为以AD 为直径的圆，设圆心为O ，作点M 关于直线DC 的对称点M ′，连接OM ′交⊙O 于点P ′，可推出M ′P ′的长即为PN +MN 的最小值，再求出M ′P ′的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =90°，∵∠ADP =∠P AB ，∴∠ADP +∠P AD =∠P AB +∠P AD =∠BAD =90°，∴点P 的运动路线为以AD 为直径的圆，作以AD 为直径的⊙O ，作点M 关于直线DC 的对称点M ′，连接OM ′交⊙O 于点P ′，连接M ′N ，OP ，则OP =OP ′=3，M ′N =MN ，∴PN +MN =PN +M ′N =PN +M ′N +OP -OP ′≥OM ′-OP ′=OM ′-3，∴PN +MN 的最小值为OM ′-3；连接OM ，∵四边形ABCD 是矩形，点O 是AD 的中点，点M 为BC 的中点，∴OD =12AD =12BC =CM =3，OD ⎳CM ，∠ODC =90°，∴四边形OMCD 是矩形，∴OM =DC =AB =8，∵点M 关于直线DC 的对称点M ′，∴M ′M =2MC =6，在Rt △M ′OM 中，由勾股定理，得OM ′=OM 2+M ′M 2=82+62=10，∴PN +MN 的最小值为OM ′-3=10-3=7，故答案为：7．【点评】本题考查轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，能利用一条线段的长表示两线段的和的最小值是解题的关键．二．解答题小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．①已知：如图1，OA =OB =OC ，若∠AOB =50°，求∠ACB 的度数．解：若以点O 为圆心，OA 为半径作辅助圆，∠AOB 是⊙O 的圆心角，而∠ACB 是圆周角，从而可容易得到∠ACB = °．②如图2，点P 为正方形ABCD 内一点，且∠BPC =90°，若AB =4，求AP 的最小值．解：∵BC =4，∠BPC =90°，∴点P 在以BC 为直径的圆上，设圆心为点O ，则O 、P 、A 三点共线时AP 最小，最小值为．(2)【问题解决】①如图3，在平行四边形ABCD 中，已知AB =4，BC =6，∠ABC =60°，点P 是BC 边上一动点(点P 不与B ，C 重合)，连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点Q ，则线段QC 的最小值为．②如图4，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =4，AC =3，D 为AC 上一动点，以AD 为直径的⊙O 交BD 于E ，求线段CE 的最小值．(3)【问题拓展】如图5，在平面直角坐标系中，已知两点A (2,3)，B (6,7)，x 轴上有一动点P ，当∠APB 最大时，直接写出点P 的坐标．【分析】(1)①利用圆周角定理即可求得答案；②由正方形性质可得：∠ABC =90°，BC =AB =4，OB =12BC =2，由勾股定理得：AO =25，推出点P 在以BC 为直径的⊙O 上，则O 、P 、A 三点共线时AP 最小，即可求得答案；(2)①过点A 作AH ⊥BC 于H ，利用解直角三角形得AH =AB ⋅sin ∠ABC =23，BH =AB ⋅cos ∠ABC =2，CH =BC -BH =4，由勾股定理得AC =27，再由AQ =AB =4，可得点Q 在以A 为圆心AB 为半径的⊙A 上，即当C 、Q 、A 三点共线时QC 最小，QC 的最小值=AC -AQ =27-4；②连接AE ，由AD 是⊙O 的直径，可得∠AED =90°，推出∠AEB =90°，即点E 在以AB 为直径的圆上，进而可得当C 、E 、Q 三点共线时，CE 最小，运用勾股定理即可求得答案；(3)当∠APB 最大时，过A 、B 两点的⊙O ′与x 轴相切，利用待定系数法可得直线AB 的解析式为y =x +1，线段AB 的垂直平分线为y =-x +9，设O ′(m ,-m +9)，根据O ′A =O ′B =O ′P ，建立方程求解即可得出答【解答】解：(1)①如图1，以点O为圆心，OA为半径作辅助圆⊙O，∵AB =AB ，∠AOB=50°，∠AOB=25°，∴∠ACB=12故答案为：25．②点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC=90°，若AB=4，求AP的最小值．如图②，以BC为直径作⊙O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，BC=AB=4，BC=2，∴OB=12在Rt△ABO中，AO=AB2+OB2=42+22=25，∵BC=4，∠BPC=90°，∴点P在以BC为直径的⊙O上，则O、P、A三点共线时AP最小，∴AP的最小值=AO-OP=25-2，故答案为：25-2．(2)①如图3，过点A作AH⊥BC于H，∵AB=4，BC=6，∠ABC=60°，则AH=AB⋅sin∠ABC=4sin60°=23，BH=AB⋅cos∠ABC=4cos60°=2，∴CH=BC-BH=6-2=4，在Rt△ACH中，AC=AH2+CH2=(23)2+42=27，∵点B与点Q关于直线AP对称，∴AQ=AB=4，∴点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，∴当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值=AC-AQ=27-4，故答案为：27-4．②如图4，连接AE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∴∠AEB=180°-∠AED=90°，以AB 为直径作⊙Q ，交⊙O 于E ，当C 、E 、Q 三点共线时，CE 最小，∵△ABC 中，∠BAC =90°，AB =4，AC =3，∴QE =AQ =12AB =2，∴CQ =AC 2+AQ 2=32+22=13，∴CE =CQ -QE =13-2，故线段CE 的最小值为13-2．(3)当∠APB 最大时，过A 、B 两点的⊙O ′与x 轴相切，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把A (2,3)，B (6,7)代入，得：2k +b =36k +b =7 ，解得：k =1b =1 ，∴直线AB 的解析式为y =x +1，∵线段AB 的中点坐标为(4,5)，圆心O ′在AB 的垂直平分线上，∴线段AB 的垂直平分线为y =-x +9，设O ′(m ,-m +9)，∵O ′A =O ′B =O ′P ，∴(m -2)2+(-m +9-3)2=(-m +9)2，解得：m =42-1或m =-42-1(舍去)，∴点P 的坐标为(42-1，0)，故答案为：42-1．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．13.(2022秋•泗洪县期中)已知：⊙O 和⊙O 外一点P ．(1)如图甲，P A 和PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 分别为切点，求证：P A =PB ．(2)尺规作图：在图乙中，过P 点画⊙O 的两条切线PE 、PF ，E 、F 为切点(要求：保留作图痕迹，不写作法)．【分析】(1)如图，连接OP、OA、OB．只要证明RtΔP AO≅RtΔPBO(HL)，可得P A=PB．(2)以OP为直径作⊙O′，两圆交于点E、F，直线PE、PF即为所求；【解答】解：(1)如图，连接OP、OA、OB．∵P A、PB是切线，∴P A⊥OA，PB⊥OB，∴∠P AO=∠PBO=90°，在RtΔP AO和RtΔPBO中，OP=OP，OA=OB∴RtΔP AO≅RtΔPBO，∴P A=PB．(2)以OP为直径作⊙O′，两圆交于点E、F，直线PE、PF即为所求；【点评】本题考查切线的性质、全等三角形的判定和性质，直径的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．类型五、对角互补构造辅助圆14.(2021秋•越秀区校级期中)如图1，在ΔABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，且AD⊥BD于点D．(1)判断ΔABD的形状；(2)如图2，在(1)的结论下，若BQ=22，DQ=3，∠BQD=75°，求AQ的长；(3)如图3，在(1)的结论下，若将DB绕着点D顺时针旋转α(0°<α<90°)得到DP，连接BP，作DE⊥BP交AP于点F．试探究AF与DE的数量关系，并说明理由．【分析】(1)由∠ACB+∠ADB=90°+90°=180°，知点A、C、B、D上四点共圆，则∠ACD=∠ABD=45°，即可得出结论；(2)将ΔADQ绕点D顺时针旋转90°得ΔBDE，连接EQ，过点B作EQ的垂线，交EQ的延长线于H，得ΔQDE是等腰直角三角形，从而可解直角三角形BQH，在RtΔBEH中，利用勾股定理得可求出BE的长度，从而解决问题；(3)在AF上截取AM=PF，利用SAS证明ΔADM≅ΔPDF，得∠ADM=∠PDE，DM=DF，可证明ΔMDF、ΔPEF是等腰直角三角形，从而解决问题．【解答】解：(1)∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°，∵∠ACB+∠ADB=90°+90°=180°，∴点A、C、B、D上四点共圆，∴∠ACD=∠ABD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴ΔABD是等腰直角三角形；(2)将ΔADQ绕点D顺时针旋转90°得ΔBDE，连接EQ，过点B作EQ的垂线，交EQ的延长线于H，∴DQ=DE，∠QDE=90°，AQ=BE，∴ΔQDE是等腰直角三角形，∴∠DQE=45°，∴QE=2DQ=32，∵∠BQD=75°，∴∠BQE=∠BQD+∠DQE=120°，∴∠BQH=60°，BQ=2，BH=6，∴QH=12在RtΔBEH中，由勾股定理得BE=BH2+EH2=(42)2+(6)2=38，∴AQ=BE=38；(3)AF=2DE．，理由如下：如图，在AF上截取AM=PF，∵DA=DP，∴∠DAM=∠DPF，∴ΔADM≅ΔPDF(SAS)，∴∠ADM=∠PDE，DM=DF，∵BD=DP，DE⊥BP，∴∠BDE=∠PDE，∴∠ADM=∠BDE，∴ΔMDF是等腰直角三角形，∴∠MFD=45°，MF=2DF，∴∠EFP=45°，∴ΔPEF是等腰直角三角形，∴PF=2EF，∴AF=2DE．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，四点共圆等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．15.(2021秋•西城区校级期中)如图，ΔABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与A，C重合)，连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．(1)求证：BD=CE；(2)延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；(3)若ΔABC的边长为1，直接写出EF的最大值．【分析】(1)利用SAS证明ΔBAD≅ΔCAE，即可得出结论；(2)过点C作CG⎳BP交DF的延长线于点G，利用等角对等边可得CG=CE，由(1)ΔBAD≅ΔCAE，得BD=CE，再利用AAS证明ΔBDF≅ΔCGF，从而解决问题；(3)由(2)知∠AFC=∠AEC=90°，则点A，F，C，E四点在以AC为直径的圆上，故EF的最大值为直径．【解答】(1)证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，∴ΔADE是等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∵ΔABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在ΔBAD和ΔCAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴ΔBAD≅ΔCAE(SAS)，∴BD=CE；(2)证明：如图，过点C作CG⎳BP交DF的延长线于点G，∴∠G=∠BDF，∴∠G =30°，由(1)可知，BD =CE ，∠CEA =∠BDA ，∵AD ⊥BP ，∴∠BDA =90°，∴∠CEA =90°，∵∠AED =60°，∴∠CED =30°=∠G ，∴CE =CG ，∴BD =CG ，在ΔBDF 和ΔCGF 中，∠BDF =∠G∠BFD =∠CFG BD =CG，∴ΔBDF ≅ΔCGF (AAS )，∴BF =FC ，即F 为BC 的中点；(3)解：如图，连接AF ，∵ΔABC 是等边三角形，BF =FC ，∴AF ⊥BC ，∴∠AFC =90°，∴∠AFC =∠AEC =90°，∴点A ，F ，C ，E 四点在以AC 为直径的圆上，∴EF 的最大值为直径，即最大值为1．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．16.(2023秋•东城区校级期中)如图1，在Rt ΔABC 中，∠ABC =90°，BA =BC ，直线MN 是过点A 的直线CD ⊥MN 于点D ，连接BD ．(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC ，AD ，BD 之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ，进而得出：DC +AD =BD ．(2)探究证明将直线MN 绕点A 顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC ，AD ，BD之间的数量关系，并证明(3)拓展延伸在直线MN 绕点A 旋转的过程中，当ΔABD 面积取得最大值时，若CD 长为1，请直接写BD 的长．【分析】(1)由题意：ΔBAE≅ΔBCD，推出AE=CD，BE=BD，推出CD+AD=AD+AE=DE，ΔBDE是等腰直角三角形，推出DE=2BD，可得DC+AD=2BD；(2)结论：AD-DC=2BD．过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O．只要证明ΔCDB≅ΔAEB，即可解决问题；(3)如图3中，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，ΔABD的面积最大．【解答】解：(1)如图1中，由题意：ΔBAE≅ΔBCD，∴AE=CD，BE=BD，∴CD+AD=AD+AE=DE，∵ΔBDE是等腰直角三角形，∴DE=2BD，∴DC+AD=2BD，故答案为2．(2)AD-DC=2BD．证明：如图，过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O．∵∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC，∴∠ABE=∠CBD．∵∠BAE+∠AOB=90°，∠BCD+∠COD=90°，∠AOB=∠COD，∴∠BAE=∠BCD，∴∠ABE=∠DBC．又∵AB=CB，∴ΔCDB≅ΔAEB，∴CD=AE，EB=BD，∴△BD为等腰直角三角形，DE=2BD．∵DE=AD-AE=AD-CD，∴AD-CD=2BD．(3)如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，ΔABD的面积最大．。

中考复习圆的计算技巧

中考复习圆的计算技巧圆是数学中一个重要的几何形状，我们在中考复习中经常会遇到与圆相关的计算题目。

正确掌握圆的计算技巧能够帮助我们更好地解决这类题目。

本文将介绍一些常用的圆的计算技巧，旨在帮助同学们在中考中取得好成绩。

一、圆的周长和面积计算1. 圆的周长圆的周长是指圆的边界一周的长度。

周长的计算公式为：C = 2πr，其中r为圆的半径，π约等于3.14。

根据这个公式，我们可以很方便地计算出圆的周长。

例题1：一个圆的半径为10cm，求其周长。

解：根据公式C = 2πr，将半径r代入公式得到C = 2 × 3.14 × 10 ≈ 62.8cm。

因此，该圆的周长约为62.8cm。

2. 圆的面积圆的面积是指圆所包围的平面区域的大小。

面积的计算公式为：S = πr²，其中r为圆的半径，π约等于3.14。

通过这个公式，我们可以轻松地计算圆的面积。

例题2：一个圆的半径为8cm，求其面积。

解：根据公式S = πr²，将半径r代入公式得到S = 3.14 × 8² ≈ 200.96cm²。

因此，该圆的面积约为200.96cm²。

二、圆的问题转化与利用有时候，我们在解决与圆相关的问题时，可以通过一些转化和利用的方法简化计算过程。

1. 圆的问题转化为正方形或矩形在某些情况下，圆的问题可以转化为正方形或矩形的问题来解决。

例如，一个圆在某一平面上切割得到的扇形，可以转化为一个与之相似的矩形，从而简化计算过程。

例题3：一个半径为6cm的圆被切割成扇形，其圆心角为60°。

求该扇形的面积。

解：将扇形转化为与之相似的矩形，可以发现圆心角60°正好是矩形的1/6，而圆的面积与扇形的面积之间的比例为1:6。

因此，扇形的面积等于圆的面积除以6。

根据例题2的计算结果，该圆的面积为200.96cm²，将其除以6得到扇形的面积约为33.49cm²。

(易错题精选)初中数学圆的技巧及练习题附解析

（易错题精选）初中数学圆的技巧及练习题附解析一、选择题1．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（）A．50°B．60°C．80°D．90°【答案】C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质得：∠GBC=∠ADC=50°，由垂径定理得：··=，则∠CM DMDBC=2∠EAD=80°．【详解】如图，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠GBC=∠ADC=50°．∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠EAD=90°﹣50°=40°，延长AE交⊙O于点M．∵AO⊥CD，∴··=，∴∠DBC=2∠EAD=80°．CM DM故选C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，还考查了垂径定理的应用，属于基础题．2．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°【答案】D【解析】分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．详解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°-95°-50°=35°故选D．点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．3．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（）A．123B．1536π-πC．30312π-D．48336π-π【答案】C【解析】【分析】易得AD长，利用相应的三角函数可求得∠ABD的度数，进而求得∠EOD的度数，那么一个阴影部分的面积=S△ABD-S扇形DOE-S△BOE，算出后乘2即可．【详解】连接OE，OF．∵BD=12，AD：AB=1：2，∴AD=43，AB=83，∠ABD=30°，∴S△ABD=33,S扇形=603616,63393 3602OEBSππ⨯==⨯=V∵两个阴影的面积相等，∴阴影面积=()224369330312ππ⨯--=- .故选：C【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积．4．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B ，下列说法错误的是（）A ．圆形铁片的半径是4cmB ．四边形AOBC 为正方形 C ．弧AB 的长度为4πcmD ．扇形OAB 的面积是4πcm 2【答案】C【解析】【分析】【详解】解：由题意得：BC ，AC 分别是⊙O 的切线，B ，A 为切点，∴OA ⊥CA ，OB ⊥BC ，又∵∠C=90°，OA=OB ，∴四边形AOBC 是正方形，∴OA=AC=4，故A ，B 正确；∴»AB 的长度为：904180π⨯=2π，故C 错误； S 扇形OAB =2904360π⨯=4π，故D 正确．故选C ．【点睛】本题考查切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算．5．如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF=EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【答案】B【解析】【分析】连接FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可求得答案.【详解】连接FB，则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，∴∠FEB＝12∠FOB=70°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.6．已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB=6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE=BC，则阴影部分面积为（）A．934π-B．9942π-C．39324π-D．3922π-【答案】B【解析】【分析】连接OD、OC，根据CE=BC，得出∠DBC=∠CEB=45°，进而得出∠DOC=90°，根据S阴影=S 扇形-S△ODC即可求得．【详解】连接OD、OC，∵AB是直径,∴∠ACB=90°，∵CE=BC，∴∠CBD=∠CEB=45°，∴∠COD =2∠DBC=90°，∴S阴影=S扇形−S△ODC=2903360π⋅⋅−12×3×3=94π−92.故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握扇形面积的计算.7．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长．【详解】连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI=∠BAI，由平移得：AC∥DI，∴∠CAI=∠AID，∴∠BAI=∠AID，∴AD=DI，同理可得：BE=EI，∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，即图中阴影部分的周长为4，故选B．【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．8．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（）A．34B．13C．12D．14【答案】C【解析】【分析】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．【详解】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．Q圆的直径正好是大正方形边长，22，∴大正方形的边长为2，则大正方形的面积为222⨯=，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为12．故选：C．【点睛】概率=相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比．设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.9．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：如右图，连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，所以OP=12AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．故选D．10．已知某圆锥的底面半径为3 cm，母线长5 cm，则它的侧面展开图的面积为（）A．30 cm2B．15 cm2C．30π cm2D．15π cm2【答案】D【解析】试题解析：根据圆锥的侧面展开图的面积计算公式得：S＝RLπ＝15π故选D.11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．【详解】解：连接OD，设⊙O半径OD为R,∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，∴DM=12CD=4cm，OM=R-2,在RT△OMD中，OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得：R=5,∴直径AB的长为:2×5=10cm．故选B．本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．12．如图，7×5的网格中的小正方形的边长都为1，小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上，过点C作△ABC外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】作△ABC的外接圆，作出过点C的切线，两条图象法即可解决问题.【详解】如图⊙O即为所求，观察图象可知，过点C作△ABC外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是3个，选：C．【点睛】考查三角形的外接圆与外心，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意.13．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形面积为（）A．32πB．83πC．6πD．以上答案都不对【解析】【分析】从图中可以看出，线段AB 扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC ，小圆半径是BC ，圆心角是60度，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积．【详解】阴影面积=()603616103603π⨯-=π．故选D ．【点睛】本题的关键是理解出，线段AB 扫过的图形面积为一个环形．14．如图，ABC V 是O e 的内接三角形，且AB AC =，56ABC ∠=︒，O e 的直径CD 交AB 于点E ，则AED ∠的度数为（）A ．99︒B ．100︒C ．101°D ．102︒【答案】D【解析】【分析】连接OB ，根据等腰三角形的性质得到∠A ，从而根据圆周角定理得出∠BOC ，再根据OB=OC 得出∠OBC ，即可得到∠OBE ，再结合外角性质和对顶角即可得到∠AED 的度数.【详解】解：连接OB ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=56°，∴∠A=180°-56°-56°=68°=12∠BOC ， ∴∠BOC=68°×2=136°，∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB=（180°-136°）÷2=22°，∴∠OBE=∠EBC-∠OBC=56°-22°=34°，∴∠AED=∠BEC=∠BOC-∠OBE=136°-34°=102°.故选D.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是作出辅助线OB，得到∠BOC的度数.15．如图，已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．50cm2B．50πcm2C．255cm2D．255πcm2【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，求出底面圆周长，根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：如图所示，∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm，∴等腰三角形的斜边长＝22＝55，即圆锥的母线长为55cm，圆锥底面圆半105径为5，∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π，即为侧面展开扇形的弧长，圆锥的侧面积＝1×10π×55＝255πcm2，2故选：D．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的轴截面是等腰三角形，勾股定理的应用，以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．16．如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 等分⊙O ，分别以点B 、D 、F 为圆心，AF 的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O 的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（）A ．π+33B ．π-33C ．33π+ D ．33π-【答案】B【解析】【分析】连接OA 、OB 、AB ，作OH ⊥AB 于H ，根据正多边形的中心角的求法求出∠AOB ，根据扇形面积公式计算．【详解】连接OA 、OB 、AB ，作OH ⊥AB 于H ，∵点A 、B 、C 、D 、E 、F 是⊙O 的等分点，∴∠AOB=60°，又OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OB=1，∠ABO=60°，∴2211()2-3 ∴“三叶轮”图案的面积=（2601360π⨯⨯-12×1×32）×6=π-332，故选B ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积的计算，掌握正多边形的中心角的求法、扇形面积公式是解题的关键．17．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m 的半圆，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（）A ．3mB ．33mC ．35mD ．4m【答案】C【解析】【分析】【详解】如图，由题意得：AP =3，AB =6，90.BAP ∠=o ∴在圆锥侧面展开图中223635.BP m =+=故小猫经过的最短距离是35.m故选C.18．如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（）A ．2B 3C 2D ．12【答案】B【解析】【分析】连接OA ，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC 的正切即可求出PA 的值.【详解】连接OA ，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA是圆的切线，∴∠PAO=90°，∵tan∠AOC =PA OA,∴PA= tan60°×1=3.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.19．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧弧AB上任意一点（与点B不重合），则∠BPC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【解析】分析：接OB，OC，根据四边形ABCD是正方形可知∠BOC=90°，再由圆周角定理即可得出结论．详解：连接OB，OC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC=12∠BOC=45°．故选B．点睛：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．20．如图，在扇形OAB中，120AOB∠=︒，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π【答案】A【解析】【分析】如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．【详解】解：如图作OH⊥AB于H．∵C、D分别是弦AP、BP的中点．∴CD是△APB的中位线，∴AB＝2CD＝63∵OH⊥AB，∴BH＝AH＝33∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠AOH＝∠BOH＝60°，在Rt△AOH中，sin∠AOH＝AHAO，∴AO＝336sin3AHAOH==∠，∴扇形AOB的面积为：2120612360ππ=g g，故选：A．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．。

人教版初中数学圆的技巧及练习题含答案

【详解】
解：∵S扇形FCD ，S扇形EAD ，S矩形ABCD ，
∴S阴影＝S扇形FCD﹣（S矩形ABCD﹣S扇形EAD）
＝9π﹣（24﹣4π）
＝9π﹣24+4π
＝13π﹣24
故选：C．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，根据阴影面积＝扇形FCD的面积﹣（矩形ABCD的面积﹣扇形EAD的面积）是解答本题的关键．
【详解】
设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，
∴∠OAB=60°，
在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=4 ，
∴光盘的直径为8 ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.
6．下列命题中，是假命题的是
A．10B．9C．8D．7
【答案】D
【解析】
分析：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10．∵已经有3个五边形，∴10﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝30°，DC＝1，
∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，
则在Rt△ABC中，AB＝ACtanC＝2 ，

初三数学圆的知识点总结及经典例题详解

圆的基本性质1．半圆或直径所对的圆周角是直角.2．任意一个三角形一定有一个外接圆.3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.6．同圆或等圆的半径相等.7．过三个点一定可以作一个圆.8．长度相等的两条弧是等弧.9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.0．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

直线与圆的位置关系1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.5．垂直于半径的直线必为圆的切线.6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.7．垂直于半径的直线是圆的切线.8．圆的切线垂直于过切点的半径.圆与圆的位置关系1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切.2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦.3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条.5．相切两圆的连心线必过切点.正多边形基本性质1．正六边形的中心角为60°.2．矩形是正多边形.3．正多边形都是轴对称图形.4．正多边形都是中心对称图形.圆的基本性质1．如图，四边形ABCD内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A的度数是.A. 50°B. 80°C. 90°D. 100°2．已知：如图，⊙O中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD的度数是.A.100°B.130°C.80°D.50°3．已知：如图，⊙O中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD的度数是.A.100°B.130°C.80°D.50°4．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，则下列结论中正确的是.A.∠A+∠C=180°B.∠A+∠C=90°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠B=905．半径为的圆中,有一条长为的弦,则圆心到此弦的距离为.A B C D6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD的度数是.A.100°B.130°C.80°D.507．已知：如图，⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是.A.100°B.130°C.200°D.508. 已知：如图，⊙O中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD的度数是.A.100°B.130°C.80°D.50°9. 在⊙O中,弦AB的长为,圆心O到AB的距离为,则⊙O的半径为cm.A.3B.5 D. 10点、直线和圆的位置关系1．已知⊙O的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为.A.相离B.相切C.相交D.相交或相离2．已知圆的半径为,直线l和圆心的距离为,那么这条直线和这个圆的位置关系是.A.相切B.相离C.相交D. 相离或相交3．已知圆O的半径为,PO=,那么点P和这个圆的位置关系是A.点在圆上B. 点在圆内C. 点在圆外D.不能确定4．已知圆的半径为,直线l和圆心的距离为,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是.A.0个B.1个C.2个D.不能确定5．一个圆的周长为a cm,面积为a cm2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是.A.相切B.相离C.相交D. 不能确定6．已知圆的半径为,直线l和圆心的距离为,那么这条直线和这个圆的位置关系是.A.相切B.相离C.相交D.不能确定7. 已知圆的半径为,直线l和圆心的距离为,那么这条直线和这个圆的位置关系是.A.相切B.相离C.相交D. 相离或相交8. 已知⊙O的半径为,PO=,则PO的中点和这个圆的位置关系是.A.点在圆上B. 点在圆内C. 点在圆外D.不能确定圆与圆的位置关系1．⊙O1和⊙O2的半径分别为和，若O1O2=，则这两圆的位置关系是.A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切2．已知⊙1、⊙O2的半径分别为和,若O1O2=,则这两个圆的位置关系是.A.内切B. 外切C. 相交D. 外离3．已知⊙1、⊙O2的半径分别为和,若O1O2=,则这两个圆的位置关系是.A.外切B.相交C. 内切D. 内含4．已知⊙1、⊙O2的半径分别为和,若O1O2==,则这两个圆的位置关系是.A.外离B. 外切C.相交D.内切5．已知⊙1、⊙O2的半径分别为和，两圆的一条外公切线长4，则两圆的位置关系是.A.外切B. 内切C.内含D. 相交6．已知⊙1、⊙O2的半径分别为和,若O1O2=,则这两个圆的位置关系是.A.外切B.相交C. 内切D. 内含公切线问题1．如果两圆外离，则公切线的条数为.A. 1条B.2条C.3条D.4条2．如果两圆外切，它们的公切线的条数为.A. 1条B. 2条C.3条D.4条3．如果两圆相交，那么它们的公切线的条数为.A. 1条B. 2条C.3条D.4条4．如果两圆内切，它们的公切线的条数为.A. 1条B. 2条C.3条D.4条5. 已知⊙1、⊙O2的半径分别为和,若O1O2=,则这两个圆的公切线有条.A.1条B. 2条C. 3条D. 4条6．已知⊙1、⊙O2的半径分别为和,若O1O2=,则这两个圆的公切线有条.A.1条B. 2条C. 3条D. 4条正多边形和圆1．如果⊙O的周长为10πcm，那么它的半径为.A. B.cm C D.5πcm2．正三角形外接圆的半径为2,那么它内切圆的半径为.A. 2B.C.1D.3．已知,正方形的边长为2,那么这个正方形内切圆的半径为.A. 2B. . D.4．扇形的面积为,半径为2,那么这个扇形的圆心角为= .A.30°B.60°C.90°D. 120°5．已知,正六边形的外接圆半径为R,那么这个正六边形的边长为.A.RB.RC.RD.6．圆的周长为C,那么这个圆的面积S= .A. B. C. D.7．正三角形内切圆与外接圆的半径之比为.A.1:2B.1:C.:2D.1:8. 圆的周长为C,那么这个圆的半径R= .A.2B.C.D.9.已知,正方形的边长为2,那么这个正方形外接圆的直径为.A.2B.2 D.20．已知,正三角形的外接圆半径为3,那么这个正三角形的边长为.A. 3B.C.3D.3。

人教版初中数学圆的技巧及练习题附答案

人教版初中数学圆的技巧及练习题附答案
一、选择题
1．如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是( )．
A．22.5°B．30°C．45°D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
设圆心为，连接，如图，先证明为等腰直角三角形得到，然后根据圆周角定理确定的度数．
【详解】
解：设圆心为，连接，如图，
16．如图，已知⊙O的半径是4，点A,B,C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案．
4．如图，是的内接三角形，，，把绕圆心按逆时针方向旋转得到，点的对应点为点，则点，之间的距离是（）
A．1B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AD，构造△ADB，由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质，证△ADB和△DBE全等，从而得到AD=BE=BC=1.
【详解】
如图，连接AD，AO，DO
A．12 B． πC． D． π
【答案】C
【解析】
【分析】
易得AD长，利用相应的三角函数可求得∠ABD的度数，进而求得∠EOD的度数，那么一个阴影部分的面积=S△ABD-S扇形DOE-S△BOE，算出后乘2即可．
【详解】
连接OE，OF．
∵BD=12，AD：AB=1：2，
∴AD=4 ，AB=8 ，∠ABD=30°，
又∵OM：OC＝3：5，
所以OM＝3，

初中数学圆的技巧及练习题附答案解析

初中数学圆的技巧及练习题附答案解析一.选择题1.如图,AABC内接于ZBAC=120°, AB=AC=4, BD为00的直径,则BD等于【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理求得ZC=ZABC=30%再根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求得BD的长. 【详解】VZBAC=120°, AB=AC=4,AZC=ZABC=30°AZD=30°•・・BD是直径••• ZBAD=90°ABD=2AB=8.故选c.2・如图，已知AB是O0的直径，CD是弦，且CD丄AB, BC=3, AC=4,则sinZABD的值是（）【答案】D【解析】【分析】由垂径定理和圆周角定理可证ZABD=ZABC,再根据勾股定理求得AB=5,即可求sinZABD 的值.【详解】TAB 是00的直径,CD 丄AB,・••弧AC=弧AD,AZABD=ZABC.根据勾股定理求得AB=5,4•••sinZABD 二sinZABC 二一・厂故选D.【点睛】此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念.3.如图，正方形ABCD 内接于O0, 则4B 的长是（）A. RB. —TIC. 2nD. —n2 2 【答案】A【解析】【分析】连接0A 、0B,求出ZAOB=90。

，根据勾股定理求出A0,根据弧长公式求出即可.【详解】连接0A 、0B,••• AB = BC = CD = DA^1:.ZAOB=-X 360°=90%4在Rt/xAOB 中，由勾股定理得：2AO 2= (2^2)2»解得:A0=2,：• AB 的长为90^x2•••正方形ABCD 内接于00,AAB=BC=DC=AD,故选A.【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求岀ZAOB的度数和0A的长是解此题的关键.4・如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（'・— B.—4 3【答案】C 【解析】【分析】算出阴影部分的面积及人正方形的面积，这个比值就是所求的概率.【详解】解：设小正方形的边长为1,则其面积为1.•••圆的直径正好是大正方形边长，•••根据勾股定理，其小正方形对角线为血，即圆的直径为•••大正方形的边长为则人正方形的面积为则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为丄.2 故选：C.【点睛】概率=相应的面枳与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比•设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.5.如图，43是OO的直径，C是OO上一点（4、3除外），ZAOD = 132°.则ZC 的度数是（）【解析】【分析】C. 34°D. 24°B. 48°【答案】D根据平角得出ZBOD的度数，进而利用圆周角定理得出ZC的度数即可.【详解】解：v Z4OD = 132°,/. ZBOD= 48°,/. ZC = 24° ,故选：D.【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的度数的一半是解答此题的关键.6.下列命题是假命题的是（）A.三角形两边的和人于第三边B.正六边形的每个中心角都等于60，C.半径为R的圆内接正方形的边长等于血D.只有正方形的外角和等于360。

圆的技巧及练习题附答案

圆的技巧及练习题附答案一、选择题1．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形面积为（）A．32πB．83πC．6πD．以上答案都不对【答案】D【解析】【分析】从图中可以看出，线段AB扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC，小圆半径是BC，圆心角是60度，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积．【详解】阴影面积=() 603616103603π⨯-=π．故选D．【点睛】本题的关键是理解出，线段AB扫过的图形面积为一个环形．2．如图，△ABC的外接圆是⊙O，半径AO=5，sinB=25，则线段AC的长为（）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，又由⊙O的半径是5，sinB=25，即可求得答案．【详解】解：连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，∵∠B和∠D所对的弧都为弧AC，∴∠B=∠D，即sinB=sinD=25，∵半径AO=5，∴CD=10，∴2 sin105AC ACDCD===，∴AC=4，故选：C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.3．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长．【详解】连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI=∠BAI，由平移得：AC∥DI，∴∠CAI=∠AID，∴∠BAI=∠AID，∴AD=DI，同理可得：BE=EI ，∴△DIE 的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，即图中阴影部分的周长为4，故选B ．【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．4．如图，AC BC ⊥，8AC BC ==，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作»AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（）A ．20833π-B ．20833π+C ．20833π-D ．20433π+ 【答案】A【解析】【分析】如图，连接CE ．图中S 阴影＝S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE ．根据已知条件易求得OB ＝OC ＝OD ＝4，BC ＝CE ＝8，∠ECB ＝60°，OE ＝43，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．【详解】解：如图，连接CE ．∵AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝8，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB ，∴∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD＝4，BC＝CE＝8．又∵OE∥AC，∴∠ACB＝∠COE＝90°．∴在Rt△OEC中，OC＝4，CE＝8，∴∠CEO＝30°，∠ECB＝60°，OE＝43，∴S阴影＝S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE＝2260811-4-443 36042ππ⨯⨯⨯⨯=20-83 3π故选：A．【点睛】本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．5．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作»PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交»PQ于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD【答案】D【解析】【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【详解】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；∵OM=ON=MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=13∠MON=20°，故B选项正确；∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，∴∠OCD=∠OCM=80°，∴∠MCD=160°，又∠CMN=12∠AON=20°，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，∴3CD＞MN，故D选项错误；故选：D．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．6．下列命题是假命题的是（）A．三角形两边的和大于第三边B．正六边形的每个中心角都等于60oC．半径为R2RD．只有正方形的外角和等于360【答案】D【解析】【分析】根据三角形三边关系、中心角的概念、正方形与圆的关系、多边形的外角和对各选项逐一进行分析判断即可.【详解】A 、三角形两边的和大于第三边，A 是真命题，不符合题意；B 、正六边形6条边对应6个中心角，每个中心角都等于360606︒︒＝，B 是真命题，不符合题意；C 、半径为R 的圆内接正方形中，对角线长为圆的直径2R ，设边长等于x ，则：222(2)x x R +=，解得边长为2x R ：＝，C 是真命题，不符合题意；D 、任何凸3n n ≥（）边形的外角和都为360︒，D 是假命题，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了真假命题，熟练掌握正多边形与圆、中心角、多边形的外角和等知识是解本题的关键.7．如图，ABC V 中，90ACB ∠=︒，O 为AB 中点，且4AB =，CD ，AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠，交于D 点，则OD 的最小值为（）．A ．1B ．22C 21D ．222【答案】D【解析】【分析】根据三角形角平分线的交点是三角形的内心，得到DO 最小时，DO 为三角形ABC 内切圆的半径，结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形，从而得到答案．【详解】解：Q CD ，AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠，交于D 点，D ∴为ABC ∆的内心，OD ∴最小时，OD 为ABC ∆的内切圆的半径，,DO AB ∴⊥过D 作,,DE AC DF BC ⊥⊥ 垂足分别为,,E F,DE DF DO ∴==∴ 四边形DFCE 为正方形，O Q 为AB 的中点，4,AB =2,AO BO ∴==由切线长定理得：2,2,,AO AE BO BF CE CF r ======sin 4522,AC BC AB ∴==•︒=222,CE AC AE ∴=-=Q四边形DFCE为正方形，∴=CE DE,OD CE∴==-222,故选D．【点睛】本题考查的动态问题中的线段的最小值，三角形的内心的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相关知识点是解题关键．8．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，若∠DAC＝30°，DC＝1，则⊙O的半径为（）A．2 B3C．23D．1【答案】B【解析】【分析】先由圆周角定理知∠BDA=∠ADC=90°，结合∠DAC=30°，DC=1得AC=2DC=2，∠C=60°，再由3【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝∠ADC＝90°，∵∠DAC＝30°，DC＝1，∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，则在Rt△ABC中，AB＝ACtanC＝3，∴⊙O3，故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角和三角函数的应用．9．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【答案】B【解析】【分析】连接FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可求得答案.【详解】连接FB，则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，∴∠FEB＝12∠FOB=70°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.10．如图，有一个边长为2cm 的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（）A ．3cmB ．2cmC ．23cmD ．4cm【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB 的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图所示，正六边形的边长为2cm ，OG ⊥BC ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC=360°÷6=60°，∵OB=OC ，OG ⊥BC ，∴∠BOG=∠COG=12∠BOC =30°， ∵OG ⊥BC ，OB=OC ，BC=2cm ， ∴BG=12BC=12×2=1cm ， ∴OB=sin 30BG o=2cm ， ∴OG=2222213OB BG -=-=，∴圆形纸片的半径为3cm ，故选：A ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．11．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接OC 交⊙O 于点D ，连接BD ，∠C=40°．则∠ABD 的度数是（）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°【答案】B【解析】试题分析：∵AC 为切线 ∴∠OAC=90° ∵∠C=40° ∴∠AOC=50°∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50° ∴∠ABD=∠ODB=25°. 考点：圆的基本性质.12．已知线段AB 如图，(1)以线段AB 为直径作半圆弧»AB ，点O 为圆心；(2)过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、，交»AB 于点E F 、；(3)连接,OE OF ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )A ．CE DF =B ．»»AE BF =C ．60EOF ∠=︒D ． =2CE CO【答案】D【解析】【分析】根据作图可知AC CO OD DB ===,据此对每个选项逐一判断即可.【详解】根据HL 可判定ECO FDO ≅V V ,得CE DF =，A 正确；∵过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、，连接AE ， CE 为OA 的中垂线，AE OE =在半圆中，OA OE =∴OA OE AE ==,AEO △为等边三角形，60EOF =o ∠AOE=∠FOD=∠, C 正确；∴圆心角相等，所对应的弧长度也相等，»»AE BF=，B 正确 ∵60,90EOC =o o ∠AOE=∠, ∴=3CE CO ，D 错误【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键在于证明60o ∠AOE=.13．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝68°，则∠OBC 的大小是( )A ．22°B ．26°C ．32°D ．68°【答案】A【解析】试题分析：根据同弧所对的圆心角等于圆周角度数的两倍，则∠BOC=2∠A=136°，则根据三角形内角和定理可得：∠OBC+∠OCB=44°，根据OB=OC 可得：∠OBC=∠OCB=22°. 考点：圆周角的计算14．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是（）A ．183π-B ．183πC ．32316πD ．1839π-【答案】C【解析】【分析】由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=38432⨯=， ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积 =2120(43)84332316ππ⨯⨯-=-．故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．15．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD = 23．则»BC的长为( )A ．3πB ．23πC 3πD 23π 【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到3CE DE ==»»BC BD = ，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，AD =CD = 23∴3CE DE ==»»BC BD = ，∠A=30°， ∴∠DOE=60°，∴OD=2sin 60DE =o ， ∴»BC 的长=»BD 的长=60221803ππ⨯=，故选：B.【点睛】此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.16．如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为()A．6 B．6C．8 D．8【答案】B【解析】【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长．【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，∵AB=CD=16，∴BM=DN=8，∴OM=ON==6，∵AB⊥CD，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP=．故选B．【点睛】本题考查的是垂径定理，正方形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=86°，则∠BCD的度数是（）A．86°B．94°C．107°D．137°【答案】D【解析】【分析】【详解】解：∵∠BOD=86°，∴∠BAD=86°÷2=43°，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-43°=137°，即∠BCD的度数是137°．故选D．【点睛】本题考查圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是¶CD上一点，且¶¶，连接CF并延长交DF BCAD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】B【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵»»DF BC，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.19．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧弧AB上任意一点（与点B不重合），则∠BPC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【解析】分析：接OB，OC，根据四边形ABCD是正方形可知∠BOC=90°，再由圆周角定理即可得出结论．详解：连接OB，OC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC=12∠BOC=45°．故选B．点睛：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．20．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）A．4 B．22C．3D．23【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到CH=BH，»»AC BC=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．【详解】如图BC与OA相交于H∵OA⊥BC，∴CH=BH，»»=，AC AB∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB⋅sin∠3，∴3故选D．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．。

九上圆的题型分类知识点+例题+练习(非常好分类全面)

教学内容圆的题型分类教学目标巩固圆的相关题型重点垂径定理、切线性质的运用难点垂径定理、切线性质的运用教学过程圆中辅助线1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系【类型1】：圆的基本性质的综合应用1.如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP=【变式练习】2.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC 的长为【类型2】：圆的相切和圆中位置关系的问题题型一：连半径，证垂直例1、如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD 的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．例2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．【课堂练习】1、如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE 交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；3、如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．4、如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O 是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当BD＝6，AB＝10时，求⊙O的半径．5、如图，四边形ABCD是菱形，对角线BD上有一点O，以O为圆心，OD长为半径的圆记为⊙O。

初三数学圆知识点总结和解题技巧,初中圆的经典例题附答案

《圆》全章复习与珥固一知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解圆及其有关柢念，理解弧、弦、圆心角的关系J 探素并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2. 了解切线的概念'探索并摹握切我与过切点的半径之间的位置关系'能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线，3. 了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆34. 了解正多边形的瞬，摹握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积55. 结合相关图形性质的探素和证明，进一步培养合情推理能如发展i 罗辑思维能力彳瞒理论证的表达能力；通过这一童的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知说网络】的时房件其应用T 具的野典LJ-T 弧.夜、网心角之间的忐IT 时兑上的隔用角与Bi心角的美系三角於FT/卜接携切咬的件项及捋定与K 有关的传置关系T 正多边形和直线利01的位置关系曜长的讨算反其魔用周扇形血秋沮形面秘的计斯我其应的计鼻I ~H ［要点橙理］要点二'圜的定义、性质及与圈有矣的角1. 圆的定义0舞殳0A 绕着它的T 端点。

放转一周，另T 、端点A 所形成的封闭曲添叫偷凰（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：① 圆心确定圆的位置，半径福定圆的大小J 确定一个圆应先确定圆心，再珊定半径，二者缺一不可;② 圆是一条封闭曲线.2. 圆的性质令旅转不变性：圆是族转对称图形，绕圆心族转任一南度都和原来图形重合，圆是中心对称图形，对称中心是圆心・在同圆或等圆中，两个圆6角，两条弘.两条弦，两条弦心距，这ES 瞠中的任意一卸爵）那么它所对应的耳他各组分别相等・0轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它根I称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心'且平分弦对的两条强.吵平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心；且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.要点诠释：'…在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的当弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论・(注意：“过圆心、平分弦〃作为题设时，平分的弦不能是直径〉3.两国的性质6两个圆是一个轴对称图形'对称轴是两圆连心场0相交两圆的连心线垂直平分公共弦'相切两圆的连心线经过切点.4.与圆有美的危6圆心角；顶点在圆心的角叫圆心角.EI心角的，性质：圆心角的度数等于它所对的孤的度数.⑵圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的，性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中』相等的圆周角所对的弧相等.③ 90°的圆周角所对的弦为直径；半国或直径所对的圆周角为直角.四如果三角形一边上的中线等于这边的一半'那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补J外角等于它的内对角.要点逢释:"、(1)圆周角必须海足两个条件：①顶点在鼠h②角的两边都和圆相交.⑵圆周角定理成立的前提条件是在同圆成等圆中.要点二'与园有笑触位置笑系1.判定一个点P是否在oo±设3的半径为,，0P=d,贝惰d＞厂=点「在。

中考数学圆精讲及习题(附答案)

中考数学《圆》知识详解知识点一、圆的定义及有关概念1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。

例 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______．解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10 cm，8 cm.知识点二、平面内点和圆的位置关系平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点A在圆外。

当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点B在圆上。

当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点C在圆内。

例如图，在Rt△ABC中，直角边AB?3，BC?4，点E，F分别是BC，AC的中点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，则点E在圆A的_________，点F在圆A的_________．解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部 A，?4)．试判断点P(3，?1)与圆O 的位置练习：在直角坐标平面内，圆O的半径为5，圆心O的坐标为(?1关系．答案：点P在圆O上．- 1 -。

初三关于圆的练习题讲解

初三关于圆的练习题讲解【篇一：圆的基本定义及性质】在初中数学中，圆是一个重要的几何形状，掌握圆的性质对于解决与圆相关的练习题至关重要。

本文将为大家讲解一些关于圆的练习题及其解答。

题目1：已知圆O的半径为r，过点A作圆的切线AB，且AB与半径OA的夹角为60°，求线段AB的长度。

解答：首先，连接OA，分别过A、O作圆的半径，与AB相交于点C、D。

由于OC与OD都是圆的半径，因此OC = OD = r。

又因为AB是圆的切线，所以AO与AB垂直，所以∠OAB = 90°。

由于∠BOC为圆心角，所以∠BOC = 2∠OAB = 120°。

根据正弦定理，在三角形BOC中，可以得到：BC/sin∠BOC = OC/sin∠OCBBC/sin120° = r/sin60°BC/√3 = r/√3BC = r所以线段AB的长度为r。

题目2：已知圆O的半径为8cm，圆心角AOC的度数为60°，求弧AB的长度。

解答：由于圆O的半径为8cm，圆心角AOC的度数为60°，根据圆心角的性质可知，弧AB的度数也为60°。

圆的周长是2πr，其中r为半径，所以圆的周长为2π*8 = 16πcm。

圆的周长与圆心角所对应的弧长满足以下比例关系：弧长/周长 = 圆心角/360°。

即弧AB的长度/s16π = 60°/360°。

解方程得到，弧AB的长度为16π/6 cm。

【篇二：与圆有关的等角定理】与圆有关的等角定理是解决与圆相关问题的重要工具。

下面讲解两个与圆相关的练习题。

题目1：已知圆O的半径为r，点A与点B分别在圆上，且∠AOB = 90°，求线段AB的长度。

解答：由于∠AOB = 90°，即∠AOB是一个直角，根据直角三角形的性质可知，线段AB就是圆的直径。

所以线段AB的长度等于2r。

题目2：已知圆O的半径为5cm，点A在圆上，点B为圆内一点，且AO与BO互为直径，求线段AB的长度。

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【详解】
鲁列斯曲边三角形有三条对称轴，就是等边三角形的各边中线所在的直线，故正确；
点A到上任意一点的距离都是DE，故正确;
勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心的距离都不相等，到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍，故错误；
鲁列斯曲边三角形的周长=3× ,圆的周长= ,故说法正确.
故选C.
A．2πB．3πC．6πD．8π
【答案】B
【解析】
【分析】
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【详解】
解：圆锥的侧面积为： ×2π×1×3＝3π，
故选：B．
【点睛】
此题考查圆锥的计算，解题关键在于掌握运算公式.
14．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）
∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π，即为侧面展开扇形的弧长，圆锥的侧面积＝ ×10π×5 ＝25 πcm2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的轴截面是等腰三角形，勾股定理的应用，以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
16．如图，四边形内接于圆，，，的大小为（）
7．如图，在⊙O，点A、B、C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C()
A．54°B．27°C．36°D．46°
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后利用圆周角解答即可.
【详解】
解：∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝54°，
∴∠AOB＝180°﹣54°﹣54°＝72°，
【详解】
解：∵AB=5，BC=4，AC=3，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径= =1，
∴S△ABC= AC•BC= ×4×3=6，
S圆=π，
∴小鸟落在花圃上的概率= ，
故选B．
【点睛】
本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式.
6．如图，是的直径，是上一点（、除外），，则的度数是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平角得出的度数，进而利用圆周角定理得出的度数即可．
【详解】
解：，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的度数的一半是解答此题的关键．
3．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（）
A．圆形铁片的半径是4cmB．四边形AOBC为正方形
C．弧AB的长度为4πcmD．扇形OAB的面积是4πcm2
4．已知下列命题：
①若a＞b，则ac＞bc；
②若a=1，则 =a；
③内错角相等；
④90°的圆周角所对的弦是直径．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．
【详解】
解:①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；
D、任何凸边形的外角和都为，是假命题，符合题意，
故选D.
【点睛】
本题考查了真假命题，熟练掌握正多边形与圆、中心角、多边形的外角和等知识是解本题的关键.
9．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）
②若a=1，则 =a是真命题，逆命题是假命题；
③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；
④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；
故选A．
点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．如图，已知AB是⊙O是直径，弦CD⊥AB，AC=2 ，BD=1，则sin∠ABD的值是()
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据垂径定理，可得BC的长，再利用直径对应圆周角为90°得到△ABC是直角三角形，利用勾股定理求得AB的长，得到sin∠ABC的大小，最终得到sin∠ABD
A．2 B．4C． D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
连接CO，由直径AB平分弦CD及垂径定理知∠COB=∠DOB，则∠A与∠COB互余，由圆周角定理知∠A=30°，∠COE=60°，则∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,利用勾股定理即可求出x，再求出BE即可.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据同弧和等弧所对的圆周角相等，则弧所对的圆周角，和是对顶角，所以．
【详解】
解：，
，
故选：．
【点睛】
考查相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．
13．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则侧面积为（）
初中数学圆的技巧及练习题附解析
一、选择题
1．如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB2=BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径= =1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．
根据三角形三边关系、中心角的概念、正方形与圆的关系、多边形的外角和对各选项逐一进行分析判断即可.
【详解】
A、三角形两边的和大于第三边，A是真命题，不符合题意；
B、正六边形条边对应个中心角，每个中心角都等于，B是真命题，不符合题意；
C、半径为的圆内接正方形中，对角线长为圆的直径，设边长等于，则：，解得边长为，C是真命题，不符合题意；
A．50cm2B．50πcm2C．25 cm2D．25 πcm2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出圆锥的母线长，求出底面圆周长，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】
解：如图所示，
∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm，
∴等腰三角形的斜边长＝＝5 ，即圆锥的母线长为5 cm，圆锥底面圆半径为5，
∴∠ADC= ∠AOB=33°，
故选：A．
【点睛】
本题考查垂径定理及圆周角定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握相关定理是解题关键．
12．如图，已知和都是的内接三角形，和相交于点，则与的相似的三角形是（）
∴∠ACB＝ ∠AOB＝36°．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键.
8．下列命题是假命题的是（）
A．三角形两边的和大于第三边
B．正六边形的每个中心角都等于
C．半径为的圆内接正方形的边长等于
D．只有正方形的外角和等于
【答案】D
【解析】
【分析】
∴在△ADC中，∠C=∠DAC=65°
∴∠AOD=2∠C=130°
故选：A
【点睛】
本题考查圆的性质，主要是内接四边形对角互补和同弧对应圆心角是圆周角2倍，解题中，我们要充分利用圆的性质进行角度转换，以便得到我们需要的角度.
17．如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD=4 ，连接AC，OD,若∠A与∠DOB互余，则EB的长是（）
【详解】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
A．130°B．100°C．20°D．10°
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出∠ABC的大小，根据内接四边形角度关系，得到∠ADC的大小，从而得出∠C的大小，最后利用圆周角与圆心角的关系得∠AOD的大小.
【详解】
∵∠CBE=50°
∴∠ABC=130°
∵四边形ABCD是内接四边形
∴∠ADC=50°
∵AD=DC
5．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）
A．4.5B．4C．3D．2
【答案】B
【解析】

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