广州大学复变函数期末试卷习题四解答
广州大学2011-2012复变函数期末考试卷B卷
学院领导审批并签名B 卷广州大学20011-2012学年第二学期考试卷（答案）课 程： 复 变 函 数 考 试 形 式： 闭卷 考查学院：_ _ _ _ 系：_ _ _ _ _ 专业：_ _ _ _ 班级：_ _ _ _ _ 学号：_ _ 姓名：_ _ _ _ _题 次 一 二 三 四 五 六 总分 评 卷 人分 数 24 30 16 10 10 10 100评 分一．填空题（每小题3分，共24分） 1．设1255,34,z i z i =-=+ 则)Re(21z z =__-1/5___。
2. 复数 13i - 的主幅角为 3/π-。
3. 复数1i +的指数形式为ie 42π。
4. ln(3)i +=62ln πi+。
5. 曲线|3||3|10z z -++=的直角坐标方程为1162522=+y x 。
6. 0=z 是3sin zz 的 2 级极点。
7.dz z zz ⎰=-1||2= 0 。
8. 复数项级数12nn n n z ∞=∑的收敛半径R = 2 。
二．解答下列各题（每小题6分，共30分） 1．求方程 310z +=的全部解。
p.32.)31(21,1),31(21i i --+ 2．设iy x z +=，判定函数i y x z f 2332)(+=在何处可导？何处解析？ 答案： p.66. 在抛物线2x y =上可导，但在复平面上处处不解析。
3．计算积分2()Cx iy dz +⎰， 其中C 为连接原点O 到i +1的线段。
p.99 i 6561+-4．计算积分33()Cz dz z i -⎛⎜⎠ 其中C 为正向圆周：||2z =。
答案： p.89 π6- 5．计算积分cos i z z dz ⎰。
答案： p.83 11--e三．解答下列各题（每小题8分，共16分）1．判断级数2(1)1[]ln 3n n n i n∞=-+∑的收敛性与绝对收敛性。
答案： p.109 收敛、非绝对收敛 2．将函数1()(1)(2)f z z z =--在圆环域1||2z <<内展成洛朗级数。
(完整版),复变函数与积分变换期末考试题及答案,推荐文档
1． z0 为函数 f z 的 m 阶零点；
2． z0 为函数 f z 的 m 阶极点；
求
Res
z
f f
z z
,
z0
。
ez2
六．（15 分）写出函数
的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。
cos z
七．（10 分）求函数 f t 1 tu t 3 t sin 2t 傅氏变换。
四、填空题（15 分，每空 3 分）
1． ln 2 i 。2． i 。3． 2 z 3 3 。4． 半平面 Re w 1 R。5．0。
4
2
三．(10 分)解:容易验证 u 是全平面的调和函数。利用 C-R 条件，先求出 v 的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
江西科技师范学院卷（B）
2007--2008 学年第二学期
时间 110 分钟
复变函数与积分变换 课程 40 学时 2.5 学分 考试形式：闭卷
专业年级：电子科学与技术 总分 100 分，占总评成绩 70 %
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上
三、单项选择题（15 分，每小题 3 分）
1．A。2． B 。3． A。4． C。5．C。
z
z
z0
z
z0
n z0
n!
z
z0
n
(1)z0为f的阶z 零m点等价于在的一个z0邻域内
f z z z0 m z
其中在点z 解析, z0
于z是在0,的去心领z0 域
z
f f
z z
m z
z z0
z
z z
m z0
z z0
m
n1
m zz
复变函数期末试题及答案
复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。
答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。
答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。
（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档
（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A）1．1 -i⼀．填空题（每⼩题3 分，共计15 分）的幅⾓是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1）；3.f (z) =1 +z 2，z - sin z f (5)(0) =（）；f (z) =1，4．z = 0 是z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）；⼆．选择题（每⼩题3 分，共计15 分）1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）；（A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y；（C） f '(z) =ux+ivy ；（D） f '(z) =u y +iv x.2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ．3；（B）3(z -1)；（C）3(z -1)；（D）3.n=1（A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛；（C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点⼀定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点⼀定解析；得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ?C f (z )dz = 0（C ）如果 ?C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析；（D ）函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）．(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共计 40 分）（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .z（2）．计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；得分zd z （3）计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数；（1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞五．（本题 10 分）⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 6 分）求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换，并由此证明：costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准⼀．填空题（每⼩题 3 分，共计 15 分）得分3 的幅⾓是（ 2k Ln (-1 + i ) ee 1． 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 ）；2.的主值是（ 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 ， f(5)(0) = （ 0），4． z = 0 是1 z4的（⼀级）极点；5． f (z ) = z， R e s [ f (z ),∞] =（-1）；⼆．选择题（每题 3 分，共 15 分）1----5B DC B D三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共 40 分）（1）．设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .解：因为 f (z ) 解析，由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, ， a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。
复变函数期末试卷(含答案)
解：令，则
因在处连续，故在处连续。
又，故在处不可导。
16．设在区域内解析，且。试证在内必为常数。
证：因在内解析，故
已知等式两边分别对求偏导，并用上式得：
同理可得，故均为常数，进一步有在内必为常数。
17．计算积分，其中为不过和的任一简单闭曲线。
解：①均在的外部，在所围的闭区域上解析，故
②在内部，在外部，由高阶导数公式
《复变函数》期末试卷
1、 单项选择题（每题2分，共20分）
1． 以下命题正确的是
A．
B．零的辐角为零
C．
D．对任意复数有 [ A ]
2．若，则
A．
B．
C．
D．
[D ]
3．设在区域内解析，则
A．
B．
C．
D．
[B]
4．下列说法正确的是
A．如果存在，则在处解析
B．如果和在区域内可微，则在区域内解析
C．如果在区域内处处可导，则在区域内解析
[ A]
B．二级零点
C．三级零点 10．设则 A．
D．四级零点 B．
[C ] [C]
C．
D．
[D ]
Hale Waihona Puke 二、填空题（每空2分，共10分）
11．
12．设为包围的任一简单闭曲线，为整数，则 或0
13．的主值等于
14．函数在处的主要部分为
，
在处的主要部分为
0
2、 解答题
15．讨论函数在原点的连续性与可导性。
D．如果在区域内解析，则在区域内一定不解析
5．下列等式中不正确的是
A． （为整数） B．
C． （为整数）
D． [ B ]
6．设在复平面内处处解析（其中为常数），则
XX大学复变函数习题答案习题4解答
4，5，7，9，10，11，（1，2，6），12（1，23），16（1，3，5）其中第7题改为：7.设c n =a n +ib n ,a n ,b n ∈R,n ≥0.若级数∑+∞n =0c n z n 的收敛半径是R ,级数∑+∞n =0a n z n 的收敛半径是R 1,级数∑+∞n =0b n z n 的收敛半径是R 2,证明R =min {R 1,R 2}.另外，原题中的提示<应改为≤.第8题改为：设r >0,若级数∑+∞n =0c n r n 收敛，而∑+∞n =0|c n |r n =+∞,证明级数∑+∞n =0c nz n 的收敛半径是r .第7题的证明：不妨设R 1≤R 2,则min {R 1,R 2}=R 1.若|z |<R 1,则|z |<R 2,由收敛半径的定义知，级数∑+∞n =0a n z n 和级数∑+∞n =0b n z n 绝对收敛，即∑+∞n =0|a n z n |<+∞和∑+∞n =0|b n z n |<+∞,这意味着+∞∑n =0|c n z n |≤+∞∑n =0|a n z n |++∞∑n =0|b n z n |<+∞,即级数∑+∞n =0c n z n 绝对收敛，再由收敛半径的定义知R ≥R 1=min {R 1,R 2}.若|z |<R ,由收敛半径的定义知级数∑+∞n =0c n z n 绝对收敛，而即∑+∞n =0|c n z n |<+∞.但|a n |≤|c n |,故∑+∞n =0|a n z n |<+∞,这意味着R 1≥R ,即min {R 1,R 2}≥R.综上所述，R =min {R 1,R 2}.本题得证。
第8题的证明：设级数∑+∞n =0c n z n 的收敛半径为R .因级数∑+∞n =0c n r n 收敛，由Abel 定理知当|z |<r 时，级数∑+∞n =0c n z n 绝对收敛，再由收敛半径的定义知R ≥r .若R >r ,则由收敛半径的定义知级数∑+∞n =0c n r n 绝对收敛,即∑+∞n =0|c n |r n <+∞,这与已知矛盾,故R ≤r .综上所述，得R =r .本题得证。
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复变函数与积分变换 第 3 页共 6 页
23. 将函数 f (z)
1
在点 z 0 处展开为洛朗级数.
(z 1)(z 2)
dz
25. 计算 |z|3 (z 1)2 (z i)(z 4) .
四、综合题（共 4 小题，每题 8 分，共 32 分）
2
25. 计算
1
d .
0 5 4 cos
A. 3 4i 的主辐角为 arctan 4 3
C. a rg(3 4i)2 2 arg(3 4i)
B. arg(3i) arg(i) D. z z | z |2
3．下列命题中，正确的是（ ）
A. z 1表示圆的内部
B. Re(z) 0 表示上半平面
C. 0 arg z 表示角形区域 4
19.
( 2)n
幂极数
n2
n 1
zn
的收敛半径为_______.
复变函数与积分变换 第 2 页 共 6 页
20. 设 z3 ，则映射在 z0 1 i 处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数 f (t) t 2 sin t ，则 f (t) 的拉氏变换等于____________.
15．已知 F () F[ f (t)] ，则下列命题正确的是（ ）
A. F[ f (t 2)] e2 j F ()
B. e2 j f (t) F 1[F ( 2)]
C. F[ f (2t)] 2F (2)
D. F[e2 jt f (t)] F ( 2)
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
解：设曲线 C 的参数方程为 C : z (2 3i)t 0 t 1.
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数及积分变换期末考试卷及答案
一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（i 432ln 21π+ ）； 3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4sin z zz -的（ 一级 ）极点；5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ． （A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n n nz c在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1](可打印
------14 分
1i
1．
的幅角是（
2k , k 0 1,2,L
）；
2
4
2. Ln(1 i) 的主值是（ 1 ln 2 i
z
ez 1)
2
z0
2i
无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
z15
（3）．
dz
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
共 6 页第 2 页
3/8
解：设 f (z) 在有限复平面内所有奇点均在： z 3 内，由留数定理
z15
dz 2i Re s[ f (z), ]
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
， Re
s[
f
( z ), ]
（-1
）；
二．选择题（每题 4 分，共 24 分）
1．解析函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 的导函数为（B ）；
（A） f (z) u x iu y ； （B） f (z) u x iu y ； （C） f (z) u x iv y ； （D） f (z) u y ivx .
（D）函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域内解析的充分必要条件是 u(x, y) 、
共 6 页第 1 页
2/8
v(x, y) 在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ D
( A)、
、
sin
1、、、、、、 z
）．
(B)、 、 sin z、、、、、、
(C )、 、 1 、、、、、 1
2．C 是正向圆周 z 3 ，如果函数 f (z) （ D ），则 f (z)dz 0 ． C
3
复变函数考试题和答案
复变函数考试题和答案****一、选择题（每题5分，共30分）1. 复数 \( z = a + bi \) 的共轭复数为（）。
A. \( a - bi \)B. \( a + bi \)C. \( -a + bi \)D. \( -a - bi \)**答案：A**2. 复数 \( z = a + bi \) 的模长为（）。
A. \( \sqrt{a^2 + b^2} \)B. \( \sqrt{a^2 - b^2} \)C. \( \sqrt{a^2 + b} \)D. \( \sqrt{a + b^2} \)**答案：A**3. 函数 \( f(z) = \frac{1}{z} \) 在 \( z = 0 \) 处的性质是（）。
A. 可导B. 连续C. 可微D. 奇点**答案：D**4. 函数 \( f(z) = z^2 \) 在复平面上是（）。
A. 单叶函数B. 多叶函数C. 常数函数D. 线性函数**答案：A**5. 函数 \( f(z) = \sin(z) \) 是（）。
A. 整函数B. 亚纯函数C. 非解析函数D. 多项式函数**答案：A**6. 函数 \( f(z) = e^z \) 在复平面上是（）。
A. 整函数B. 亚纯函数C. 非解析函数D. 多项式函数**答案：A**二、填空题（每题5分，共20分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的共轭复数是 \( \_\_\_\_\_\_\_ \)。
**答案：3 - 4i**2. 复数 \( z = 1 + i \) 的模长是 \( \_\_\_\_\_\_\_ \)。
**答案：\( \sqrt{2} \)**3. 函数 \( f(z) = z^3 \) 在 \( z = 1 \) 处的导数是 \( \_\_\_\_\_\_\_ \)。
**答案：3**4. 函数 \( f(z) = \frac{1}{z-1} \) 的奇点是 \( \_\_\_\_\_\_\_ \)。
《复变函数》考试试题与答案(四)(可编辑修改word版)
《复变函数》考试试题（四）一. 判断题. (20 分) 1. 若 f (z )在 z 0 解析，则 f (z )在 z 0 处满足柯西-黎曼条件. （ ） 2. 若函数 f (z )在 z 0 可导，则 f (z )在 z 0 解析. （ ） 3. 函数sin z 与cos z 在整个复平面内有界.（ ）4. 若 f (z )在区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ⎰Cf (z )dz = 0 .（ ）5. 若lim z →z 0f (z ) 存在且有限，则 z 0 是函数的可去奇点.（ ）6. 若函数 f (z )在区域 D 内解析且 f '(z ) = 0 ，则 f (z )在 D 内恒为常数.（ ）7. 如果 z 是 f (z )的本性奇点，则 lim z →z 0f (z ) 一定不存在.（ ）8. 若（ ） f (z 0 ) = 0, f (n ) (z ) = 0， 则z 0 为 f (z ) 的 n 阶 零 点 .9. 若f (z )与g (z ) 在 D 内 解 析 ， 且 在 D 内 一 小 弧 段 上 相 等 ， 则f (z ) ≡g (z ), z ∈ D .（ ）10. 若 f (z )在0 <| z |< +∞内解析，则Res( f (z ),0) = -Res( f (z ),∞).（ ）二. 填空题. (20 分)11. 设 z =1- i，则Re z = , Im z =.2. 若lim z = ，则lim z 1 + z 2 + ... + z n = .n →∞ n n →∞ n 3. 函数 e z 的周期为 .4. 函数 f (z ) = 11 + z 2的幂级数展开式为 5. 若函数 f (z )在复平面上处处解析，则称它是 .6. 若函数 f (z )在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的.. e z7. 设C :| z |= 1，则⎰C(z -1)dz =.sin z 8.的孤立奇点为 .z9. 若 z 0 是 f (z )的极点，则lim z → z 0f (z ) =.10.10.e zRes( zn ,0) =.三. 计算题. (40 分)1. 解方程z 3 + 1 = 0z2. 设 f (z ) = z 2 - 1，求Re s ( f (z ),∞).3. ⎰|z |=2 (9 - z 2)(z + i )1 -1dz . . 4. 函数 f (z ) = e z - 1 四. 证明题. (20 分)z 有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.1. 证明：若函数 f (z )在上半平面解析，则函数f (z ) 在下半平面解析.2. 证明 z 4 - 6z + 3 = 0 方程在1 <| z |< 2 内仅有 3 个根.《复变函数》考试试题（四）参考答案一. 判断题.1．√ ２．× ３．× ４．× ５．× 6．√ ７．×８．× ９．√10．√ . 二. 填空题. 1 1.,2 1 ;2. 2; 3. 2k i (k ∈ z ) ;4.∑(-1)n n =0z2n( z < 1) ;5. 整函数; 16. 亚纯函数;7. 0;8.三. 计算题.1.z = 0 ;9. ∞ ;10..(n +1)!∞解: z 3 = -1 ⇒ z = cos2k++ i s in 2k + k = 0,1,2 3 3z = cos + i s in = 1 + 3i 1 3 3 2 2 z 2 = cos + i sin = -1z = cos 5 + i s in 5 = 1 - 3i 3 3 3 2 2 ee -1 2. 解 Re sf (z ) = z =1 = , z =12Re s f (z ) = z =-1 = z =-1 -2 .故原式= 2i (Re s f (z ) + Re s f (z )) =i (e - e -1) .z =1 z =-13. 解 原式= 2i Re s f (z ) = 2iz =-i = . z =-i 51 1 z - e z+ 14. 解 e z - 1 - z = z (e z - 1) ，令 z (e z- 1) = 0 ，得 z = 0, z = 2ki ， k = ±1,±2,lim( 1 - 1 ) = l im z - e z + 1 = lim 1 - e z而z →0 e z - 1 z z →0 (e z - 1)z z →0 e z - 1 + ze z = lim - e = - 1 zz →0e z + e z + ze z2 ∴ z = 0 为可去奇点当 z = 2ki 时， (k ≠ 0), z - e z+ 1 ≠ 0[(e z - 1)z ]'= e z - 1 + ze z≠ 0而z = 2k i z = 2k i四. 证明题.∴ z = 2ki 为一阶极点.1. 证明 设 F (z ) = f (z ) , 在下半平面内任取一点 z 0 , z 是下半平面内异于 z 0 的点, 考虑limF (z ) - F (z 0 )= limf (z ) - f (z 0 ) = limf (z ) - f (z 0 ) . z →z 0z - z 0z →z 0 z - z 0 z →z 0z - z 0而 z 0 , F (z ) =z 在上半平面内, 已知 f (z ) 在下半平面内解析.f (z ) 在上半平面解析, 因此 F '(z 0 ) = f '(z 0 ) , 从而2. 证明 令 f (z ) = -6z + 3 , (z ) = z 4 , 则 f (z ) 与(z ) 在全平面解析,且在C 1 : z = 2 上, f (z ) ≤ 15 <(z ) = 16 , 故在 z < 2 内 N ( f +, C 1 ) = N (, C 1 ) = 4 .在C 2 : z = 1 上, f (z ) ≥ 3 > (z ) = 1 ,故在 z < 1内 N ( f +, C 2 ) = N ( f , C 2 ) = 1.所以 f +在1 < z < 2 内仅有三个零点, 即原方程在1 < z < 2 内仅有三个根.e z z +1 ezz +1 z 9 - z 2。
《复变函数》 期末试卷及答案(A卷)
20.计算积分 1i z 2dz . 0
17.判断数列 zn
2017 ni n 1
的收敛性.
若收敛，求出其极限.
18.求在映射 w z2 下， z 平面上的直线 z (2 i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.
得分
评卷人 复查人
三、证明题(本大题共 1 小题，每小题 15 分，共 15 分)
二
题分
30
20
得分
三
四
30
30
得分
评卷人 复查人
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选 项，并将其前面的字母填在题中括号内。）
1. Re(iz)
A. Re(iz)
B. Im(iz)
C. Im z
D. Im z
2.函数 f (z) z 2 在复平面上
21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z) 在圆 C : z z0 R 所围的区域内解析，且在
C 上连续，则
f
(n) (z0 )
Mn! Rn
(n 1,2,...)
其中 M 是 f (z) 在 C 上的最大值.
19.求 ez 在 z 0 处的泰勒展开式.
《复变函数》试卷 第 3 页（共 4 页）
这是 w 平面上第一象限内的一条半直线。
19. 解：因为 (ez )(n) ez (n 0,1,2,...) ，其展开式中泰勒系数为
cn
f (n) (0) n!
1 n!
于是 ez 在 z 0 处的泰勒展开式为
ez zn 1 z zn zn
复变函数习题四参考答案
习题四4.1判别下列复数列的收敛性，若收敛求其极限。
（1）11n ni z n +=+；（2）()cos +sin 1n nn i n z i =+；（3）cos n in z n =；（4）nin z e = 解：（1）1lim lim1n n n niz i n→∞→∞+==+所以复数列11nin++收敛。
（2）()()cos +sin 111nnii n nnn i ne e z i i i ⎛⎫=== ⎪+++⎝⎭， 11i e i <+，所以复数列()cos +sin 1n n i ni +收敛，且lim 0n n z →∞=。
（3）cos =2n nn in e e z n n-+=，复数列cos in n 不收敛。
（4）cos +sin ni n z e n i n ==，cos n ，sin n 都不收敛，所以复数列ni e 不收敛。
4.4判别下列级数的收敛性（1）1n n i n ∞=∑；（2）()1658n n n i ∞=+∑；（3）()012nnn i ∞=-+∑；（4）011n i n ∞=++∑ 解：（1）由于1n i n n =，所以1n n i n ∞=∑发散，但是1n n i n∞=∑收敛，所以原级数条件收敛；（2）6518i +<，所以()1658nn n i ∞=+∑绝对收敛； （3）()12nnn ∞=-∑和012n n ∞=∑均绝对收敛，所以()012nn n i ∞=-+∑绝对收敛； （4）一般项的实部，虚部为11n +，都发散，所以011n in ∞=++∑发散。
4.5判断下列命题是否正确。
（1）每个幂级数在它的收敛圆上处处收敛。
（2）每个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。
（3）每个在0z 连续的函数必能在0z 的邻域能展开成泰勒级数。
解：（1）错，幂级数在它的收敛圆上可能收敛，也可能发散。
（2）错，每个幂级数的和函数在收敛圆内不可能有奇点。
复变函数期末练习题参考答案
复变函数期末练习题 一、填空题 1.0||10()n z z dzz z -==-⎰ .(n 为自然数)2. 22sin cos z z += _________. 3. 函数sin z 的周期为___________. 4. 设21()1f z z =+，则()f z 的孤立奇点有__________. 5. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6. 若函数()f z 在整个平面上处处解析，则称它是__________.7. 若lim n n z ξ→∞=，则12 (i)nn z z z n→∞+++= ______________.8. Re (,0)zn e s z= ________，其中n 为自然数.9.sin zz的孤立奇点为________ . 10. 若0z 是()f z 的极点，则0lim ()z z f z →= 。
11. 设z i =-，则||z = ，arg z = ，z = 。
12. 设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.13. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .14. 若0z 是()f z 的m 阶零点且0m >，则0z 是)('z f 的_____零点. 15. 函数ze 的周期为__________.16. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 17. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.18. 41Res(,1)z z -= 。
19. 设21()1f z z =+，则()f z 的定义域为___________.20. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.21. 设1ze =-，则z = .22. 设11z i=-，则Re z = ，Im z = . 23. 函数211)(z z f +=的幂级数展开式为___ _______。
复变函数与积分变换期末考试试卷及答案(K12教育文档)
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一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分,共30分) 1．下列复数中,位于第三象限的复数是( ）A 。
12i +B 。
12i --C 。
12i -D 。
12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ）4.34arctan 3A i π-+-的主辐角为.arg(3)arg()B i i -=-2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+2.||D z z z ⋅=3．下列命题中，正确．．的是（ ） A 。
1z >表示圆的内部 B 。
Re()0z >表示上半平面C 。
0arg 4z π<<表示角形区域D 。
Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是（ ） A 。
0ω= B 。
ω不存在 C.1ω=- D 。
1ω=5．下列函数中,在整个复平面上解析的函数是（ ）.z A z e +2sin .1z B z + .tan z C z e + .sin zD z e +6．在复平面上,下列命题中，正确．．的是( ） A. cos z 是有界函数B 。
22Lnz Lnz =.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在下列复数中,使得z e i =成立的是（ ）.ln 223iA z i ππ=++.ln 423iB z i ππ=++.ln 226C z i ππ=++.ln 426D z i ππ=++8．已知31z i =+,则下列正确的是（ ）12.iA z π=34.iB z π= 712.i C z π= 3.iD z π=9．积分||342z dz z =-⎰的值为（ ）A 。
复变函数试题及答案解析
复变函数试题及答案解析一、选择题（每题3分，共15分）1. 若复数z满足|z|=1，则z的辐角的取值范围是（）。
A. [0, 2π)B. [0, π]C. [0, π/2]D. [π/2, 3π/2]答案：A解析：复数z的模长|z|=1表示z在复平面上位于单位圆上，因此其辐角可以取遍[0, 2π)范围内的所有值。
2. 函数f(z)=1/z在z=0处（）。
A. 可导B. 不可导C. 连续D. 间断答案：B解析：函数f(z)=1/z在z=0处没有定义，因此不可导。
3. 函数f(z)=z^2在z=i处的导数为（）。
A. 2iB. -2iC. -2D. 2答案：A解析：根据复变函数的导数定义，f'(z)=2z，代入z=i得到f'(i)=2i。
4. 若f(z)是解析函数，则以下哪个选项是正确的（）。
A. f(z)的实部和虚部都是调和函数B. f(z)的实部和虚部都是解析函数C. f(z)的实部和虚部都是连续函数D. f(z)的实部和虚部都是可导函数答案：A解析：解析函数的实部和虚部都是调和函数，这是解析函数的基本性质之一。
5. 以下哪个函数不是解析函数（）。
A. f(z)=sin(z)B. f(z)=e^zC. f(z)=z^2D. f(z)=|z|答案：D解析：解析函数在其定义域内处处可导，而函数f(z)=|z|在z=0处不可导，因此不是解析函数。
二、填空题（每题4分，共20分）6. 复数z=3+4i的共轭复数为______。
答案：3-4i解析：复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，因此z=3+4i的共轭复数为3-4i。
7. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)的实部为______，虚部为______。
答案：u(x,y)；v(x,y)解析：根据复变函数的表示，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)为实部，v(x,y)为虚部。
8. 若f(z)在区域D内解析，则f(z)满足柯西-黎曼方程，即______。