第六章 动态回归与误差修正模型

第6章 动态回归与误差修正模型

本章假定时间序列是平稳的。

6.1 均衡与误差修正机制

1 均衡

均衡指一种状态，达到均衡时将不存在破坏均衡的内在机制。这里只考虑平稳的均衡状态，即当系统受到干扰后会偏离均衡点，而内在均衡机制将努力使系统重新回到均衡状态。

下面通过一个例子说明系统均衡概念。以两个地区某种商品的价格为例，假设地区A 中该商品物价由于某种原因上升时，该商品就会通过批发商从价格低的B地区向价格高的A 地区流动。从而使批发商从中获利。这种活动将直接导致该商品在B地区的需求增加，从而使该商品在B地区的价格上涨。从A地区看，由于增加了该商品的供给，则导致价格下降，反之依然，从而使两各地区的该商品价格趋同。

若称价格A = 价格B的直线表示均衡价格。如上所述，当价格离开这条均衡价格直线后，市场机制这只无形之“手”就会把偏离均衡点的状态重新拉回到均衡状态。随着时间推移，无论价格怎样变化，两个地区的价格都具有向均衡价格调整的趋势。

若两个变量x t , y t永远处于均衡状态，则偏差为零。然而由于各种因素的影响，x t , y t并不是永远处于均衡位置上，从而使u t≠ 0，称u t为非均衡误差。当系统偏离均衡点时，平均来说，系统将在下一期移向均衡点。这是一个动态均衡过程。t期非均衡误差u t是y t下一期取值的重要解释变量。当u t > 0时，说明y t相对于x t取值高出均衡位置。平均来说，变量y t 在t+1期的取值y t+1将有所回落。所以，u t= f (y t , x t) 具有一种误差修正机制。

6.2 分布滞后模型

如果回归模型中不仅包括解释变量的本期值，而且包括解释变量的滞后（过去）值，则这种回归模型称为分布滞后模型。例

y t = α0 + ∑

=−

n

i

i

t

i

x

β+ u t,u t∼ IID (0, σ2 ) (6.1)

上述模型的一个明显问题是x t 与x t -1 , x t -2, …, x t - n 高度相关，从而使 βj 的OLS 估计值存在严重偏倚。

实际上，对于分布滞后模型，这并不是一个严重问题，因为人们的注意力并不在单个回归系数上，而是在这些回归系数的和式，∑=n

i i 0β上。通过这个和式可以了解当x t 变化时，

对y t 产生的长期影响。尽管对每个βj 的估计量不是很准确，但这些估计值的和却是相当精确的。

Var(∑=n i i 0ˆβ) = ∑=n i i 0)ˆ(Var β+ 2∑∑=−=n i i k k i 01

0)ˆ,ˆ(Cov ββ, (6.2) 若x t - i 与x t - k , (i ≠ k ) 是正相关的（实际中常常如此），则（6.2）式中的协方差项通常是负的。

当这些项的值很大（绝对值）且为负时，Var (∑=n i i 0ˆβ) 比 0ˆ()n i

i Var β=∑小，甚至比每个Var (i

βˆ) 还小。 分布滞后模型中的解释变量存在高度相关，克服高度相关的一个方法是在等号右侧加一个被解释变量的滞后项。于是，得到动态模型。

动态模型(自回归模型)：如果在回归模型的解释变量中包括被解释变量的一个或几个滞后值，则称这种回归模型为动态模型(或自回归模型)。例如，

y t = α0 + α1 y t -1 + β1 x t + u t

6.3 动态分布滞后模型

如果在分布滞后模型中包括被解释变量的若干个滞后值作解释变量，则称之为动态分布滞后模型或自回归分布滞后模型。例

y t = α0 + ∑=−m i i t i

y 1α+10p n ji jt i j i x β−==∑∑+ u t , u t ∼ IID (0, σ 2 ) (6.3)

用ADL (m , n , p ) 表示，其中m 是自回归阶数，p 是分布滞后阶数， n 是外生变量个数。

对ADL (m , n , p ) 模型可采用OLS 法估计，尽管，参数估计量是有偏的，但是，它们是参数的一致估计。

例如，对于AR(1)模型

y t = β y t -1 + u t , | β | < 1, u t ∼ IID(0, σ 2) , (6.5) 如果y t ∼I(0)；y t 具有非零的有限的4阶矩；则

β 的OLS 估计量计算公式是

βˆ = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∑∑=−=−T

t t T t t t y y y 22121. (6.6) 把 (6.5) 式代入 (6.6) 式得

βˆ = ∑∑∑=−==−−+T t t T t T t t t t y

u y y 221

22121

β

= β +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∑∑=−=−T

t t T

t t t y u y 22121. (6.7) y t -1与u t 是相关的。上式右侧第二项的期望不为零。所以，用OLS 法得到的回归系数估计量是有偏估计量。若对 (6.7) 式右侧第二项的分子分母分别除以（T -1）（样本容量）并求概率极限，

lim p ∞→T β

ˆ = β +∑∑=−−∞→=−−∞→−−T t t T T t t t T y T u y T 2211211]

)

1[(lim p ])

1[(lim p = β (6.8)

可见β

ˆ也是一致估计量。 最常见的是ADL (1, 1,1) 和ADL (2,1, 2) 模型，

y t = α0 + α1 y t -1 + β0 x t + β1 x t -1 + u t , u t ∼ IID (0, σ 2 ), (6.9) 和

y t = α0 + α1 y t -1 + α2 y t -2 + β0 x t + β1 x t -1 + β2 x t -2 + u t , u t ∼ IID (0, σ 2 )

对于ADL (1, 1,1) 模型 (6.9)，x t 和 y t 的长期关系是

y t = 101αα−+1

101αββ−+x t = θ0 + θ1 x t , (6.10) 其中，式(6.10)被称为静态模型，参数被称为静态参数或长期参数。

长期参数描述了变量之间的均衡关系。动态模型 (6.9) 中的参数称作动态参数或短期参数。短期参数描述了变量通向均衡状态过程中的非均衡关系。通过对α0 , β0 和 β1 施加约束条件，从ADL 模型（6.9）可以得到许多特殊的经济模型。下面以9种约束条件为例，给出特定模型如下：

（1） 当 α1 = β1 = 0 成立，模型（6.9）变为

y t = α0 + β0 x t + u t . (6.11) 即，静态回归模型。

（2） 当 β0= β1= 0时，由模型（6.9）得

y t = α0 + α1 y t -1 + u t . (6.12) 即，一阶自回归模型。

（3） 当 α1 = β0 = 0 时，则有

y t = α0 + β1 x t -1 + u t . (6.13) x t -1是y t 的超前指示变量。此模型称为前导模型。