角的平分线的性质 优质课获奖课件
角的平分线的性质全等三角形教学课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
拓展点二
拓展点三
拓展点二 角平分线性质与判定综合应用
例2 如图,在△ABC中,∠ABC平分线与∠ACB外角平分线交于点
P,PD⊥AC于点D,PH⊥BA于点H.求证:AP平分∠HAD.
分析过点P作PF⊥BE于点F,依据角平分线性质可得
PH=PF,PF=PD,有PD=PH,可得答案.
第8页
拓展点一
拓展点二
E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是(
)
A.6 B.5
C.4 D.3
解析: 过点D作DF⊥AC于点F,∵AD是△ABC角平分线,DE⊥AB,
∴DE=DF=2.
1
1
∴
S△ABC= ×4×2+ ×AC×2=7,解得 AC=3.故选 D.
答案:D
2
2
第6页
拓展点一
拓展点二
拓展点三
第7页
拓展点一
例3 如图,AD为∠BAC平分线,DF⊥AC于F,∠B=90°,DE=DC.求
证:BE=CF.
分析先由角平分线性质就能够得出DB=DF,再证实
△BDE≌△FDC就能够得出结论.
第11页
拓展点一
拓展点二
拓展点三
证实∵∠B=90°,
∴BD⊥AB.
∵AD为∠BAC平分线,且DF⊥AC,
= ,
∴
(2)画出平分线必须是射线.
第2页
知识点一
知识点二
知识点三
知识点二 角平分线性质
(1)角平分线上点到角两边距离相等.
(2)证实一个几何命题普通步骤:
①明确命题中已知和求证;
②依据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;
③经过分析,找出由已知推出要证结论路径,写出证实过程.来自第3页知识点一
《角的平分线的性质》优质课一等奖课件
助人为牙小明家1B 位于两条公晰政箫的平分线上 现在小明爨步行到公躇上坐车裘两条公畛汇处 的超市，问题如他该怎样钢绘m 节aillOt 你知典哪条藤缺In 超市用纸藕一个偷 两边叠合在J 麒 ―次卷折出一不; 痛为斜边》 成的三蹭1 片对折彩et® 的础缱缕拆 («B —灿折 豆察两次折叠形 动手与M A BO O A 。
E BD CA观察表格申的««说你wmsm?角的平分线上的点到角的两边的距离相等证明为v AZ1=Z2•.• 踏项畸：••• N （M^N»=9妒aAOAPSAOBP^ e «Z OAP= Z OBP （已证）0zi= Z2（已证）q 验证"宜瘪 你能用所学过的方法证明P5吗t0. Fi rate 超市A 」.OP=OP （公共边）.•. △ OAP 丝△ OBP （AAS）J ••• PA=PB （全等三角形对应边相等）几何模型务的平分线上的点到角的两边的距离相等,一平分咒辑吾言：•.•0P 平分NAOBPD LOA于D ,PE LOB 于E.*.PD=PE.（房的平芬线上的点到这个角的两边的距离相等）------ ------- ---------- ------ ------- -------------- ---------- 〜------------- -------- 、 ^- --------- --------- ---------------- ------- > CZ 7 CZ U . ^CL ■U. ^CL 7■聿涅5y-r~T^判断V如图，AD平分NBACBD（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）::BC------ ------- ---------- ------ ------- -------------- --------- 〜------------- -------- 、 ^- --------- --------- ---------------- ------- > CZ 7 CZ U . ^CL ■U. ^CL 7■（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）判［断 .・•如图，DC±AC 于C, DB±AB 于BXBDB D------ ------- ---------- ------ ------- -------------- --------- 〜------------- -------- 、 ^- --------- --------- ---------------- ------- > CZ 7 CZ U . ^CL ■U. ^CL 7■G------ ------- ---------- ------ ------ -------------- --------- 〜------------- -------- 、 ^- --------- --------- ---------------- ------- > CZ 7 CZ U . ^CL ■U. ^CL 7■判断V AD平分/BAC,DC±AC 于CBD（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）------ ------- ----------------- ------ -------------- --------- 〜------------- -------- 、 ^- --------- --------- ---------------- ------- > CZ 7 CZ U . ^CL ■U. ^CL 7■判断v AD平分/BAC,DB±AB于B, DC±AC于CBD =CD,（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）------ ------- ---------- ------ ------- -------------- ---------- 〜------------- -------- 、 ^- --------- --------- ---------------- ------- > CZ 7 CZ U . ^CL ■U. ^CL 7■ZEaF" CF±WR 求证篇CE w Q*1.； 证明：在△/（：和△ADC 中 [ AB=AD（）< BC=DC （）I AC=AC （公共边） A AABC^ A ADC （SSS ）AZ1=Z2 （全等三角形对应角相等）「•AC 平分 NDABVCE1AD 于E, CF±AF 于FCE=CF （角的平分线上的点到这个角的两边的距离相霁滨如虱点队欧测荏/皿的两边E C 是 点少s醐板.K- = K>- CB JL 雄于既 ED 1既然角平分线如.此有我们该如何做一个角的平分线呢V古人力才如图，是一个角平分仪，其中AB=AD, BC=DCoA证明：在△ ACD和△ ACB中| f AD=AB （）DC=BC （）〔AC=AC （公共边）D\ /B .・. AACD^ AACB （SSS）A ZCAD^ZCABF （全等三角形对应角相等）'E.・・AC平分NDAB根据角平分仪的制作原理怎样用氏规作一个1.把角平分仪放在角的两边 时，角平分仪两边AB=ADM 几何作图角度怎么画？画？3.射线0C 与角平分仪中的AE代表 同一条射线吗？ 角的平分线?2. BC=DC 从几何作图角度怎么A尺规初图方法：1 .以点。
初中数学《角平分线的性质》优质课件
M
B
D P
N C
∴ △AMP ≌ △ANP（AAS） ∴PM=PN
角平分线的性质1
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
M
B
（1）AD为角的平分线； （2）点P在该平分线上； A
D P
（3）PM⊥AB PN⊥AC
符号语言：
N C
∵AD平分∠BAC ，PM⊥AB ， PN⊥AC
∴PM=PN
作用：判断线段相等的依据.
练习一：判断正误，并说明理由：
1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分
别在OA、OB上，则PD=PE .
(×)
2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
PE=PF.
A
D
O
O
PC
E B
（1题）
A D
PC
E B
（2题）
(× )
3.如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到 OA 的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.( √ )
B
A
D
C
结论： 角是轴对称图形，角的平分线所在的
直线是它的对称轴.
活动二：探索角平分线的第一个性质
请同学们在刚才折出的角平分线AD上，任意取一点 P，
通过尺规作图，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分
别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，你有什
么发现？说明你的理由.
M
B
D
A
P
N C
结论：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
已知：AD是∠BAC的角平分线,点P是AD上任意一点，
PM⊥AB，PN⊥AC.求证：PM=PN
角的平分线的性质PPT教学课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB平分线上．
证实: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB平分线上
第4页
归纳 到角两边距离相等点在角平分线上。
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB平分线上．
角平分线上点到角两边距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB平分线上 ∴ QD＝QE
第5页
练一练
1.如图, △ABC角平分线BM,CN相交于点P,
求证：点P到三边AB、BC、CA距离相等
复习回顾
1、会用尺规作角平分线.
2、角平分线性质:
角平分线上点到角两边距离相等
用数学语言表述：
∵ OC是∠AOB平分线
PD⊥OA，PE⊥OB
O
∴ PD＝PE
A D
1
P
2
C
E B
第2页
思索
反过来，到一个角两边距离相等点是否一定在 这个角平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB平分线上．
求证：点F在∠DAE平分线上． 证实：过点F作FG⊥AE于G，
FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
∵点F在∠BCE平分线上，
G
FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM
M
又∵点F在∠CBD平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC
H
∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE平分线上
角的平分线的性质公开课一等奖课件省赛课获奖课件
见角平分线就作两边垂线段。
9月15日 1次 P22 -P23 习题11.3 第3、5题
按照折纸的次序画出一种角的三条折痕，并度量所画PD、PE与否等长？
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距 离相等”这句话．请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足． 由已知事项推出的事项：PD=PE．
性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
互逆性！
1、掌握角的平分线的性质. 2、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”． 3、能应用这两个性质解决某些简朴的实际问题．
重点：角平分线的性质及其应用． 难点：灵活应用两个性质解决问题．
【画一画】哪个是点P到∠AOB两边的垂线段？
P 【 20 探究】折出如图所示的折痕PD、PE．
问题：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可
推出的事项，并用符号语言填写下表：
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上． 鉴定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
如图所示，要在S区建一种集贸市场，使它到公路、铁路距离相等， 离公路与 铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为 1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一种性质能够解决这个问题？ 2．比例尺为1：20000是什么意思？
成果展示： 1．应当是用第二个性质． 这个集贸市场应当建在公路与铁路 形成的角的平分线上，并且规定离角的顶点500米处． 2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以 米为单位， 这就涉及一种单位换算问题了．1m=100cm，因此比 例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表达实际距离200m的意 思．作图以下：
角的平分线的性质教学课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
(如上图所表示)．
（来自点拨）
第9页
知识点 2 角平分线性质
知2－导
如图，任意作一个角∠AOB，作出 ∠AOB平分
线OC. 在OC上任取一点P，过点P 画出OA，OB垂
线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你
A
得到什么结论？在OC上再取
D
几个点试一试.
C
经过以上测量，你发觉了
P
角平分线什么性质？
∴AC平分∠DAB（角平分线定义）
知1－讲
A
B C E
第5页
知1－讲
作已知角平分线方法. 已知：∠AOB. 求作：∠AOB平分线. 作法：（1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，
交OA于点M，交OB于点N.
(2)分别以点M，N为圆心，大于 1 MN长 2
为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC即为所求（如图).
第6页
知1－练
1 作∠AOB平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作
弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D
为圆心，适当长度为半径作弧，使两弧相交于一点，
则这个适当长度为(
A．大于
1 2
CD
C．小于 1 CD
2
)A
B．等于
1 2
CD
D．以上答案都不对
第7页
知1－练
2 如图所表示，已知∠AOB，求作：∠AOM＝ 1∠AOB.
BC=DC.将点A放在角顶点，
A
AB和AD 沿着角两边放下，
沿AC画一条射线AE，AE就 D
是这个角平分线,你能说明
它道理吗？
C E
B
第4页
证实：
1 角平分线(一) 课件 大赛获奖精美课件 公开课一等奖课件
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
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角的平分线的性质—展示课件(获奖版)
《角的平分线的性质(1)》课案设计一. 教材分析1.教学内容简介本节课是《角的平分线的性质》的第一课时，这节课是学生在七年级学习了角平分线的概念和三角形全等的基础上进行教学的。
内容包括角平分线的作法、角平分线的性质的探究、证明及初步应用。
2.教材的地位及其作用角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础，具有举足轻重的地位，在数学知识体系中起到了承上启下的作用。
教材中设计的两个“思考”，贴近学生的实际，为学生经历观察、分析、归纳、猜想、检验、证明和运用等活动过程等提供了重要支撑，有利于学生体验与理解、思考与探索，反映了数学学习活动中直接经验与间接经验、结果与过程相结合的课程理念，是数学应用价值的生动体现。
另外，教材进一步归纳了证明一个几何命题的基本步骤，有利于后续学习中进一步培养学生严谨的推理过程和进一步发展学生的逻辑推理素养。
3.数学教育的培养目的《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，通过教学，要求学生理解并掌握角平分线的画法，探索并证明角平分线的性质定理，逐步掌握严谨规范的逻辑推理方法。
通过角平分线性质定理在生活实际中的运用，增强学生应用数学的意识和学好数学的信心，为后续学习打下坚实基础。
二. 学情分析在学习本节知识之前，学生已经学习了角平分线的定义、会用尺规作与已知角相等的角、会运用三角形全等的判定定理（基本事实）证明两个三角形全等，对尺规作图和演绎推理的作用有了一定的认识，但对几何证明规则的理解和运用还不够。
另外，在“探索并证明角平分线的性质”这一学习目标的达成过程中会，探索发现角平分线性质后，学生能够理解以文字命题形式给出的命题，但由于该命题中条件和结论的隐蔽性，用数学符号语言把上述命题表述为“如果...，那么...”的形式，特别是用严格的演绎推理形式对该性质进行严格证明，先前知识和技能积累不够，自然成为学习中的难点，需要在课堂学习中进一步耐心细致地加以引导。
第1课时 角的平分线的性质 省一等奖课件
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明月一池水；清风万卷书。
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解：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)
＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)] ＝x2－(2y－3)2
＝x2－(4y2－12y＋9)
＝x2－4y2＋12y－9；
(2)(a＋b＋c)2
＝[(a＋b)＋c]2 ＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2
Hale Waihona Puke ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
可由学生口答完成，教师多媒体展示结果，提高课 堂效率．
2．教材例4：运用完全平方公式计算： (1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22 ＝10 000＋400＋4
＝10 404；
(2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12 ＝10 000－200＋1
＝9 801.
2．你能根据下图说明(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组 快？第2小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮 助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－ 2ab＋b2.
六、巩固拓展
教材例5：运用乘法公式计算： (1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；(2)(a＋b＋c)2.
14．2
14．2.2
乘法公式
完全平方公式
1．完全平方公式的推导及其应用． 2．完全平方公式的几何解释．
重点 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释 ，
灵活应用．
难点 理解完全平方公式的结构特征 ， 并能灵活应用公 式进行计算．
一、复习引入 你能列出下列代数式吗？ (1)两数和的平方；(2)两数差的平方． 你能计算出它们的结果吗？ 二、探究新知 你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？ 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间 互相补充，教师不急于概括； 举例：(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________________； (2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝________________； (3)(m＋2)2＝________________； (4)(m－2)2＝________________．
(三)角平分线的判定
教师指出：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上．
(1)写出已知、求证．
(2)画出图形． (3)分析证明过程．
巩固应用：
解决教材第49页思考
(四)三角形的三个内角的平分线相交于一点 1．例题：教材第50页例题． 2．针对例题的解答，提出：P点在∠A的平分线上吗？ 通过例题明确：三角形的三个内角的平分线相交于一
讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法
则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目，让
学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学 生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的
项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a，b对照，
其中－2y＋3＝－(2y－3)，故应运用平方差公式．第(2)小 题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公 式． 在解此例的过程中，应注意边辩析各项的符号特征，边 对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过 程，帮助学生理解这一公式的拓展应用，突破难点．
通过几个这样的运算例子 ，让学生观察算式与结果间的结 构特征． 归纳：公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 语言叙述：两个数的和 ( 或差 ) 的平方 ，等于它们的平方和 ， 加上(或减去)它们积的2倍．这两个公式叫做(乘法的)完全平 方公式． 教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一 些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点 的原因． 还可以引导学生将(a－b)2的结果用(a＋b)2来解释： (a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.
此处可先让学生独立思考 ，然后自主发言，口述解题思路 ， 可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许
他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．
四、再探新知 1．现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根据 二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量的卡片， 尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的代数意义：
通过对分角仪原理的探究，得出用直尺和圆规画已知角
的平分线的方法，师生共同完成具体作法．
(二)角的平分线的性质 试验： (1) 让学生在已经画好的角的平分线上任取一点 P； (2)分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D，E； (3)测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系； (4)再换一个新的位置看看情况怎样？ 归纳总结得到角的平分线的性质． 分析讨论PD＝PE的理由．
点．
练习：教材第50页练习． 三、归纳总结
引导学生小组合作交流：
(1)本节课学到了哪些知识？ (2)你有什么收获？
四、布置作业
教材习题12.3第1～4题．
教学始终围绕着角平分线及其性质、判定的问题而展开， 先从出示问题开始，鼓励学生思考，探索问题中所包含的 数学知识，让学生经历了知识的形成与应用的过程，从而 更好的理解掌握角平分线的性质。发展学生应用数学的意 识与能力，增强学生学好数学的愿望和信心．
三、举例应用 1．教材例 3：运用完全平方公式计算： 12 (1)(4m＋n) ；(2)(y－ ) . 2 解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2· (4m)· n＋n2 ＝16m2＋8mn＋n2； 12 2 1 12 (2)(y－2) ＝y －2· y· 2＋(2) 1 2 ＝y －y＋4.
2
12．3
角的平分线的性质
掌握角的平分线的性质和判定 ，能灵活运用角的平分线 的性质和判定解题．
重点
角的平分线的性质和判定 ，能灵活运用角的平分 线的性质和判定解题． 难点 灵活运用角的平分线的性质和判定解题．
一、复习导入 1．提问角的平分线的定义． 2．给定一个角，你能不用量角器作出它的平分线吗？ 二、探究新知 (一)角的平分线的画法 教师出示：已知∠AOB. 求作：∠AOB的平分线． 然后让学生阅读教材第48页上方思考．(教师演示画图)