3-有限域-代数基础-域上多项式环
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g = q2r1+ r2, 0 deg(r2) < deg(r1) r1 = q3r2+ r3, 0 deg(r3) < deg(r2) . . . rs2 = qs rs1 + rs, 0 deg(rs) < deg(rs1) rs1 = qs+1rs
gcd( gcd(
f, g) = rs f, g) = mf＋ng
7
最大公因子(greatest common divisor)
定理
设 f1(x), f2(x),…, fn(x)K[x], d(x) = gcd(f1(x), d(x) = b1f1 + b2f2 + + bnfn
f2(x),…, fn(x)) , 则
b1, b2,…, bn K[x].
K[x]中的分解 p(x) = b(x)c(x) 有b(x)是常数或c(x)是常数, 则称p(x)是K上的不可约多项式.
注:
多项式的不可约性与所考虑的域有关.
10
不可约多项式(irreducible polynomial)
定理
设 f1(x), f2(x)K[x], p(x)K[x]是不可约多项式.若
e e f (x) a p1e p2 , pk
1 2 k
其中aK, p1(x), p2(x),…, pk(x)是K[x]中不同的首一不可 约多项式, 并且上述表示在不记顺序的条件下是唯一的.
12
不可约多项式(irreducible polynomial)
定理
设 p(x)K[x], 则 p(x)是不可约多项式当且仅当
Notation:
若gcd(f1(x), f2(x),…, fn(x))
= 1, 则称f1(x), f2(x),…, fn(x)互
素.
5
Polynomial Ring
最大公因子(greatest common divisor)
定理
设 g(x)K[x]且 g(x) 0, 则对任意的 f(x)K[x], 存
3
Polynomial Ring
域上的多项式环（ Polynomial Rings over a Field ）
设 f(x),
g(x)K[x]. 若存在多项式 h(x)K[x]满足 f(x) =
g(x)h(x), 则称g(x)整除 f(x), g(x)是f (x)的因子, f(x)是g(x) 的倍式.
p(x)整除 f1(x)f2(x), 则 p(x) | f1(x)或者 p(x) | f2(x).
注:
p(x) | f1(x)f2(x)fn(x) 存在1 i n满足 p(x) | fi(x).
11
不可约多项式(irreducible polynomial)
定理
设 f (x)K[x]且deg(f ) 1, 则 f (x)可以表示成
8
域上的多项式环（ Polynomial Rings over a Field ）
定理 K[x]是主理想整环.
设J (0)是K[x]中的理想, g(x)是 J 中次数最小的多 项式, 则 J = (g(x)).
9
不可约多项式(irreducible polynomial)
设
p(x)K[x]并且deg(p(x)) 1. 若 p(x)满足对于任意在
deg(
f)=n
首项系数、首一多项式 多项式加法、乘法 多项式环
K[x]
2
Polynomial Ring
域上的多项式环（ Polynomial Rings over a Field ）
K[x]是否整环? K[x]是否域? K[x]中可逆元? K[x]中主理想? K[x]中素理想? K[x]中极大理想?
4
Polynomial Ring
最大公因子(greatest common divisor)
设 f1(x), f2(x),…, fn(x)K[x].
满足下述两个条件的首一
多项式d(x)K[x]称为 f1(x), f2(x),…, fn(x)的最大公因子:
d(x)整除 fi(x), i = 1, 2,…, n; 若c(x)K[x]整除 f1(x), f2(x),…, fn(x), 则c(x) 整除d(x); d(x) = gcd( f1(x), f2(x),…, fn(x))
f(x)的重根 b 是 f(x)和 f(x) 的根.
二次或三次多项式
f(x)F[x]是不可约的 f(x)在F 中
没有根.
14
多项式 (polynomial)
环上多项式 多项式运算
加法 、 乘法
多项式环
R[x] 是否交换、含幺、整环？ 取决于环R.
1
Polynomial Ring
域上的多项式环（ Polynomial Rings over a Field ）
设K是域
域 K上的多项式： f (x) = a0+a1x ++anxn, a0,a1,…, anK
(p(x))是极大理想.
K[x]/(p(x))是域当且仅当
p(x)在 K 是不可约.
13
多项式的根 (root)
设
f(x)F[x], 如果 bF 满足 f(b) 0, 则称 b 是 f(x)在F
中的根。
bF 是
f(x)在F 中的根 (x b) f(x).
重根，重数，单根 bF 是
在唯一的多项式q(x), r(x)K[x] 满足 f(x) = q(x)g(x) + r(x)并且deg(r(x)) < deg(g(x)).
gcd(f (x), g(x)) = gcd(g(x), r(x))
6
最大公因子(greatest common divisor)
f = q1gபைடு நூலகம்+ r1, 0 deg(r1) < deg(g)
gcd( gcd(
f, g) = rs f, g) = mf＋ng
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最大公因子(greatest common divisor)
定理
设 f1(x), f2(x),…, fn(x)K[x], d(x) = gcd(f1(x), d(x) = b1f1 + b2f2 + + bnfn
f2(x),…, fn(x)) , 则
b1, b2,…, bn K[x].
K[x]中的分解 p(x) = b(x)c(x) 有b(x)是常数或c(x)是常数, 则称p(x)是K上的不可约多项式.
注:
多项式的不可约性与所考虑的域有关.
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不可约多项式(irreducible polynomial)
定理
设 f1(x), f2(x)K[x], p(x)K[x]是不可约多项式.若
e e f (x) a p1e p2 , pk
1 2 k
其中aK, p1(x), p2(x),…, pk(x)是K[x]中不同的首一不可 约多项式, 并且上述表示在不记顺序的条件下是唯一的.
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不可约多项式(irreducible polynomial)
定理
设 p(x)K[x], 则 p(x)是不可约多项式当且仅当
Notation:
若gcd(f1(x), f2(x),…, fn(x))
= 1, 则称f1(x), f2(x),…, fn(x)互
素.
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Polynomial Ring
最大公因子(greatest common divisor)
定理
设 g(x)K[x]且 g(x) 0, 则对任意的 f(x)K[x], 存
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Polynomial Ring
域上的多项式环（ Polynomial Rings over a Field ）
设 f(x),
g(x)K[x]. 若存在多项式 h(x)K[x]满足 f(x) =
g(x)h(x), 则称g(x)整除 f(x), g(x)是f (x)的因子, f(x)是g(x) 的倍式.
p(x)整除 f1(x)f2(x), 则 p(x) | f1(x)或者 p(x) | f2(x).
注:
p(x) | f1(x)f2(x)fn(x) 存在1 i n满足 p(x) | fi(x).
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不可约多项式(irreducible polynomial)
定理
设 f (x)K[x]且deg(f ) 1, 则 f (x)可以表示成
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域上的多项式环（ Polynomial Rings over a Field ）
定理 K[x]是主理想整环.
设J (0)是K[x]中的理想, g(x)是 J 中次数最小的多 项式, 则 J = (g(x)).
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不可约多项式(irreducible polynomial)
设
p(x)K[x]并且deg(p(x)) 1. 若 p(x)满足对于任意在
deg(
f)=n
首项系数、首一多项式 多项式加法、乘法 多项式环
K[x]
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Polynomial Ring
域上的多项式环（ Polynomial Rings over a Field ）
K[x]是否整环? K[x]是否域? K[x]中可逆元? K[x]中主理想? K[x]中素理想? K[x]中极大理想?
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Polynomial Ring
最大公因子(greatest common divisor)
设 f1(x), f2(x),…, fn(x)K[x].
满足下述两个条件的首一
多项式d(x)K[x]称为 f1(x), f2(x),…, fn(x)的最大公因子:
d(x)整除 fi(x), i = 1, 2,…, n; 若c(x)K[x]整除 f1(x), f2(x),…, fn(x), 则c(x) 整除d(x); d(x) = gcd( f1(x), f2(x),…, fn(x))
f(x)的重根 b 是 f(x)和 f(x) 的根.
二次或三次多项式
f(x)F[x]是不可约的 f(x)在F 中
没有根.
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多项式 (polynomial)
环上多项式 多项式运算
加法 、 乘法
多项式环
R[x] 是否交换、含幺、整环？ 取决于环R.
1
Polynomial Ring
域上的多项式环（ Polynomial Rings over a Field ）
设K是域
域 K上的多项式： f (x) = a0+a1x ++anxn, a0,a1,…, anK
(p(x))是极大理想.
K[x]/(p(x))是域当且仅当
p(x)在 K 是不可约.
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多项式的根 (root)
设
f(x)F[x], 如果 bF 满足 f(b) 0, 则称 b 是 f(x)在F
中的根。
bF 是
f(x)在F 中的根 (x b) f(x).
重根，重数，单根 bF 是
在唯一的多项式q(x), r(x)K[x] 满足 f(x) = q(x)g(x) + r(x)并且deg(r(x)) < deg(g(x)).
gcd(f (x), g(x)) = gcd(g(x), r(x))
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最大公因子(greatest common divisor)
f = q1gபைடு நூலகம்+ r1, 0 deg(r1) < deg(g)