泛函分析试卷(优选.)

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泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）

1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα，　y x Ty Tx B.1≥-≤-αα，　y x Ty Tx

C.10<<-≥-αα，　y x Ty Tx

D.1≥-≥-αα，

y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x

B.()数复为任意实,αααx x =

C. y x y x +≤+

D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的

C.集X是闭的

D.集Y是闭的

5、设(1)

p

l p

<<+∞的共轭空间为q l，则有11

p q

+的值为（）.

A. 1-

B.1

2

C. 1

D.

1

2

-

二、填空题（每个3分，共15分）

1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。

2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。

3、1l的共轭空间是（）。

4、设X按内积空间成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。

5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。

三、判断题（每个3分，共15分）

1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。 ( )

2、距离空间中的列紧集都是可分的。( )

3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。( )

4、任何一个Hilbert空间都有正交基。( )

5、设X是线性赋范空间，T是X X的有界线性算子，若T既是单

射又是满射，则T 有逆算子。( ) 四、计算题（10分）

叙述1l 空间的定义，并求1l 上连续线性泛函全体所成的空间？。

五、证明题（第一个5分，其余10分一个，共45分）

1、若T 为Banach 空间X 上的无界闭算子，证明T 的定义域至多只能在X 中稠

密。

2、设[0,1]C 表示闭区间[0,1]上连续函数全体，对任何,[0,1]x y C ∈，令

1

0(,)|()()|,d x y x t y t dt =-⎰证明(,)x d 成为度量空间。

3、证明n R 按范数||||max ||i i

x ξ=组成的赋范线性空间X 与n R 按范数

1||||||n

i i x ξ==∑组成的赋范线性空间Y 共轭。

4、设X 是可分Banach 空间，M 是X '中的有界集，证明M 中每个点列含有

一个弱*收敛子列。

5、设H 是内积空间，M 为H 的子集，证明M 在H 中的正交补是H 中的闭线

性子空间。

泛函分析期末考试试卷答案

一、选择题

1、A

2、D

3、B

4、D

5、D

二、填空题

1、柯西点列

2、巴拿赫空间

3、∞

l 4、||≦||x||||y|| 5、对于一切x ∈X,是实数 三、判断题

1、对

2、对

3、错

4、错

5、错 四、计算题

答： 1

121(,,),,(1,2

)i i i l x R i ξξξξ∞

=⎧

⎫

==<∞∈=∞⎨⎬⎩

⎭

∑ 对于任意12(,,

,)n x ξξξ=，12(,,)n y ηηη=，定义运算

1122

(,)n n x y ξηξηξη+=+++，12

(,)n ax a a a ξξξ=

1

l 按上述加法与数乘运算成为线性空间11

i i x ξ∞

==∑

1l 按上述定义的范数构为Banach 空间

令(0,01,0),1,2

n n

e n ==，121

(,,0,0,),n

n n n i i i x x e ξξξξ===∑

则12

1(,)n

n

x l ξξξ∀=∈能被表示为lim n n x x →∞

=，对任意给定()'

1f l

∈，

令(),1,2

n n f e n η==则1

1

()(lim )lim ()lim ()n

n n n i i i i n n n i i f x f x f x f e ξξη→∞

→∞

→∞

======∑∑.

又因为1i e =对于i ∀

有1()i i i f e f e f η=≤=。 由此可得sup i i

f η≤即12

(,)n

l ηηη∞∈