第二章 解析函数

第二章 解析函数

§1 复变函数

一 、复变函数的概念

1． 定义：设D 为复平面上的点集，对∀点D z ∈，按某种法则，

总有另一复数W 与之对应，则称W 是Z 的复变函数,记为)(z f w =。 其中，称W 为像；Z 为原像。

若W Z 与是一一对应，则称)(z f w =为单值函数，若W Z 与 是相互一一对应，则称)(z f w =为单叶函数；Z 对应多个W ， 则称)(z f w =为多值函数。 2、复变函数与实变函数的关系

设iy x z +=，iv u y x iv y x u z f W +=+==),(),()(，

即有⎩⎨⎧⋅=⋅=)()(y x v v y x u u 这说明了一个复变函数可以用

两个二元实变函数 ),(),,(y x v y x u 来表示。

例：xy i y x Z W 2)(2

2

2

+-==⎩⎨⎧=-=⇒xy

v y x u 22

2。

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=+=⇒+-+=+-===22

2

22222221y x y v y x x u y x y i y x x y x iy x z z z z w 3．关于映射的慨念

复变函数在几何上又称为映射（或变换）。这种函数关系要用两个平面来表示。

函数)(z f w =在几何上可以看成是把z 平面上的一个点集G 映射到

w 平面上的一个点集*G 。

例 z w =，显然，它将z 平面上的点i z 321+=映射成w 平面上的 点i w 321-=，将点i z 212-=映射成w 平面上的点i w 212+=， 将三角形ABC 映射成w 平面上的三角形'''C B A .

见下图：

例2 问：函数2z w =将z 平面上的曲线C x =映射成w 平面上的何种曲线？

解 ⎩⎨⎧=-=⇒+-=+==xy

v y

x u xy i y x iy x z w 22)(2

22222

xy v 2=可得2

22

42C v C u c x x v y -=⇒== 是w 平面上 关于以u 轴为对称的抛物线。例 .16

42;4112

2v u x v u x -=⇒=-=⇒=

例3 变换 z

w 1

=

将z 平面上的直线1=x 映射成w 平面上的何种曲线？ 解 2

2222211y x y i y x x y x iy x iy x z w +-+=+-=+==

，

⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=⇒⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=+=22

222

222v u v

y v u u x y x y v y x x u 1=x 代入方程，可得

22

22

2)2

1()21(1=+-⇒=+v u v u u ，显然为w 平面上圆。

由以上例子，可以总结出一般的将z 平面上的曲线映射成

w 平面上的何种曲线时，考虑问题的方法是：

先求出函数),(),()(y x iv y x u z f w +==中的)1()

,()

,(⎩⎨

⎧==y x v v y x u u ，

再反解出 )2()

,()

,(⎩⎨

⎧==v u y v u x ψϕ，由给出的条件代入（1）

， 可得 在w 平面上的相应的含有v u 和.的曲线方程。

二、复变函数的极限和连续 (内容省略) （一）、复变函数的极限

1 .定义 设函数)(z f w =在点0z 的某个邻域有定义，A 复常数。 若对任意给定的0>ε，相应地必有一正数)(εδ，使得 当ρ<-<00z z 时，有,)(ε<-A z f 则称A 为)(z f 当z 趋向于0z 时的极限，记为A z f z z =→0

)(lim 。

必须注意，定义中的z 趋向于0z 的方式必须是任意的。

定理1 设 ),(),()(y x iv y x u z f +=，00000,iy x z iv u A +=+=， 则A z f z z =→)(lim 0

的充要条件是00),(lim ,),(lim 0

v y x v u y x u y y x x y y x x ==→→→→。

这个定理说明求复变函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=的极限问题 可以转化为求两个二元实函数),(y x u 和),(y x v 的极限问题。 2．极限的运算法则——完全类似于实函数的极限运算法则 如果A z f z z =→)(lim 0

，B z f z z =→)(lim 0

，那末

1）B A z g z f z z ±=±→)]()([lim 0

； 2）AB z g z f z z =→)()(lim 0

；

3）0,)()(lim

≠=→B B

A

z g z f z z 。 （二）、函数的连续性

1定义 如果)()(lim 00

z f z f z z =→，则称函数)(z f 在点0z 处连续。

如果)(z f 在区域D 内处处连续，我们说)(z f 在D 连续。 定理2 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在000y x z +=

处连续的充要条件是：),(y x u 和),(y x v 在点),(00y x 处连续。 2 .连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数， 连续函数的复合函数仍为连续函数。

§2解析函数

一、解析函数的慨念

1． 复变函数的导数

1）

定义 设函数)(z f w =是定义于区域D 。0z 与z z ∆+0

均为D 内的点。若极限z

z f z z f z ∆-∆+→∆)

()(lim

000

存在，

则称)(z f 在0z 处可导（可微），这个极限值称为)(z f 在0z 处的导数， 记为 )(0'z f 或

z z dz

dw

==z

z f z z f z z ∆-∆+→)

()(lim

000

。

也就是说，对任意给定的0>ε，相应地有一个0)(>εδ，使得当

δ<∆

ε<-∆-∆+)()

()(0'00z f z

z f z z f 。

应当注意，定义中0→∆z 的方式是任意的。如果)(z f 在D 处处可导， 则称)(z f 在D 可导。 例1 求2)(z z f =的导数。

解 因为z

z z z z z f z z f z x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆2

00)(lim )()(lim

z z z z 2)2(lim 0

=∆+=→∆

所以 z z f 2)('=，即函数2)(z z f =在全平面均可导。