第二章 解析函数

第二章 解析函数§1 复变函数一 、复变函数的概念1． 定义：设D 为复平面上的点集，对∀点D z ∈，按某种法则，总有另一复数W 与之对应，则称W 是Z 的复变函数,记为)(z f w =。

其中，称W 为像；Z 为原像。

若W Z 与是一一对应，则称)(z f w =为单值函数，若W Z 与 是相互一一对应，则称)(z f w =为单叶函数；Z 对应多个W ， 则称)(z f w =为多值函数。

2、复变函数与实变函数的关系设iy x z +=，iv u y x iv y x u z f W +=+==),(),()(，即有⎩⎨⎧⋅=⋅=)()(y x v v y x u u 这说明了一个复变函数可以用两个二元实变函数 ),(),,(y x v y x u 来表示。

例：xy i y x Z W 2)(222+-==⎩⎨⎧=-=⇒xyv y x u 222。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=⇒+-+=+-===22222222221y x y v y x x u y x y i y x x y x iy x z z z z w 3．关于映射的慨念复变函数在几何上又称为映射（或变换）。

这种函数关系要用两个平面来表示。

函数)(z f w =在几何上可以看成是把z 平面上的一个点集G 映射到w 平面上的一个点集*G 。

例 z w =，显然，它将z 平面上的点i z 321+=映射成w 平面上的 点i w 321-=，将点i z 212-=映射成w 平面上的点i w 212+=， 将三角形ABC 映射成w 平面上的三角形'''C B A .见下图：例2 问：函数2z w =将z 平面上的曲线C x =映射成w 平面上的何种曲线？解 ⎩⎨⎧=-=⇒+-=+==xyv yx u xy i y x iy x z w 22)(222222xy v 2=可得22242C v C u c x x v y -=⇒== 是w 平面上 关于以u 轴为对称的抛物线。

例 .1642;41122v u x v u x -=⇒=-=⇒=例3 变换 zw 1=将z 平面上的直线1=x 映射成w 平面上的何种曲线？ 解 22222211y x y i y x x y x iy x iy x z w +-+=+-=+==，⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=22222222v u vy v u u x y x y v y x x u 1=x 代入方程，可得22222)21()21(1=+-⇒=+v u v u u ，显然为w 平面上圆。

由以上例子，可以总结出一般的将z 平面上的曲线映射成w 平面上的何种曲线时，考虑问题的方法是：先求出函数),(),()(y x iv y x u z f w +==中的)1(),(),(⎩⎨⎧==y x v v y x u u ，再反解出 )2(),(),(⎩⎨⎧==v u y v u x ψϕ，由给出的条件代入（1）， 可得 在w 平面上的相应的含有v u 和.的曲线方程。

二、复变函数的极限和连续 (内容省略) （一）、复变函数的极限1 .定义 设函数)(z f w =在点0z 的某个邻域有定义，A 复常数。

若对任意给定的0>ε，相应地必有一正数)(εδ，使得 当ρ<-<00z z 时，有,)(ε<-A z f 则称A 为)(z f 当z 趋向于0z 时的极限，记为A z f z z =→0)(lim 。

必须注意，定义中的z 趋向于0z 的方式必须是任意的。

定理1 设 ),(),()(y x iv y x u z f +=，00000,iy x z iv u A +=+=， 则A z f z z =→)(lim 0的充要条件是00),(lim ,),(lim 0v y x v u y x u y y x x y y x x ==→→→→。

这个定理说明求复变函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=的极限问题 可以转化为求两个二元实函数),(y x u 和),(y x v 的极限问题。

2．极限的运算法则——完全类似于实函数的极限运算法则 如果A z f z z =→)(lim 0，B z f z z =→)(lim 0，那末1）B A z g z f z z ±=±→)]()([lim 0； 2）AB z g z f z z =→)()(lim 0；3）0,)()(lim≠=→B BAz g z f z z 。

（二）、函数的连续性1定义 如果)()(lim 00z f z f z z =→，则称函数)(z f 在点0z 处连续。

如果)(z f 在区域D 内处处连续，我们说)(z f 在D 连续。

定理2 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在000y x z +=处连续的充要条件是：),(y x u 和),(y x v 在点),(00y x 处连续。

2 .连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数， 连续函数的复合函数仍为连续函数。

§2解析函数一、解析函数的慨念1． 复变函数的导数1）定义 设函数)(z f w =是定义于区域D 。

0z 与z z ∆+0均为D 内的点。

若极限zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim000存在，则称)(z f 在0z 处可导（可微），这个极限值称为)(z f 在0z 处的导数， 记为 )(0'z f 或z z dzdw==zz f z z f z z ∆-∆+→)()(lim000。

也就是说，对任意给定的0>ε，相应地有一个0)(>εδ，使得当δ<∆<z 0时，总有ε<-∆-∆+)()()(0'00z f zz f z z f 。

应当注意，定义中0→∆z 的方式是任意的。

如果)(z f 在D 处处可导， 则称)(z f 在D 可导。

例1 求2)(z z f =的导数。

解 因为zz z z z z f z z f z x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆200)(lim )()(limz z z z 2)2(lim 0=∆+=→∆所以 z z f 2)('=，即函数2)(z z f =在全平面均可导。

例2 问y i x z f 2)(+=是否可导？解 这里 =∆-∆+→∆zz f z z f z )()(lim 0yix yix z yi x i y y x x z z ∆+∆∆+∆=∆--∆++∆+→∆→∆2lim2)(2)(lim00 ① 设z ∆沿着平行于x 轴的方向趋于0，因为x z y ∆=∆=∆,0。

这时极限 1lim 2lim00=∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆xxyi x yi x x z② 设z ∆沿着平行于y 轴的方向0，因为0=∆x 。

这时y i z ∆=∆，极限.22lim 2lim00=∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆yyiyi x yi x y z所以函数y i x z f 2)(+=不可导。

2）可导与连续 从例2可以看出，函数yi x z f 2)(+=处处连续却处处不可导。

然而，反过来我们容易证明可导必定连续。

3） 求导法则 类似于实变函数。

2． 解析函数的慨念定义 如果函数)(z f 在0z 及0z 的邻域内处处可导，那末称)(z f 在0z 点解析。

如果)(z f 在区域D 内每一点解析， 则称)(z f 是D 内的一个解析函数。

若函数)(z f 在0z 点不解析， 称0z 为函数)(z f 的奇点。

例3 讨论2)(z z f =的解析性。

解 由于 zz z z z z f z z f z z ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆20200000lim )()(lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆∆+∆+=∆-∆+∆+=→∆→∆z z z z z z z z z z z z z z 00000000lim ))((lim， 当00=z 时，这个极限是零；当00≠z 时，令z z ∆+0沿直线)(00x x k y y -=-趋于0z ，由于k 的任意性，kiki i zy ix y yi x yi x z z +-=∆∆+∆∆-=∆+∆∆-∆=∆∆1111 不趋于一个确定的值， 所以极限zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim 000不存在。

因此，0)(2==z z z f 在处可导，而在其他点都不可导， 根据解析性定义，它在复平面上处处不解析。

定理 两个解析函数的和、差、积、商都是解析函数 （除去分母为零的点）；解析函数的复合函数仍为解析函数。

§3 函数解析的充要条件在上一节中，我们已经看到并不是每一个复函数都是解析函数； 判别一个函数是否解析，如果只根据解析函数的定义进行判断, 往往是困难的，需要寻找判别函数可导与否的简便而实用的方法。

下面先讨论)(z f 可导的必要条件。

定理1 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内有定义，iy x z +=是D 内任意一点。

若z z f 在点)(处可导，则),(),(y x v y x u 与满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann ）条件：,,xvy u yv x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ 则)(z f 的导数为 yui y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(。

证 因为z z f 在点)(处可导，所以由导数定义，有zz f z z f z f z ∆-∆+='→∆)()(lim)(0=z w z ∆∆→∆0lim ,其中，v i u w ∆+∆=∆， y i x z ∆+∆=∆，则原式[]{-∆+∆++∆+∆+=→∆→∆),(),(lim 00y y x x iv y y x x u y x []})/(),(),(y i x y x iv y x u ∆+∆+其中z ∆以任意方式趋于零，因此可以选取两条特殊路线使0→∆z 。

[]})/(),(),(y i x y x v y y x x v i ∆+∆-∆+∆+[]{+-∆+∆+=→∆→∆),(),(lim 00y x u y y x x u y x ,lim0yx vi u y x ∆+∆∆+∆=→∆→∆①当z ∆沿平行于实轴的直线趋于零，即0,≡∆∆=∆y x z 时，有x v i x u x v i x ux v i u z f x x ∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+∆∆=∆∆+∆='→∆→∆00lim lim)(。

②当z ∆沿平行于虚轴的直线趋于零，即0,≡∆∆=∆x y i z 时，有y u i y v y u i yv y i vi u z f y y ∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆-∆∆=∆∆+∆='→∆→∆00lim lim)(， 于是yui y v x v i x u ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂， 比较上式两端，即得上述条件称为柯西-黎曼条件，或称柯西-黎曼方程，简记为C-R 条件。