第七章不等式
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专题——不等式(复习课)
复习目标：
1.不等关系:了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
2.一元二次不等式
(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；
(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；
(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
3.二元一次不等式组与简单线性规划问题
(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
(2)了解二元一次不等式组的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
4.基本不等式：a ＋b 2
≥ab (a ，b ≥0) (1)了解基本不等式的证明过程；
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
教学策略：
1．在复习中要深刻理解不等式的基本性质，在不等式变形中严格按照其性质进行，熟练掌握不等式的解法，分类讨论、换元、数形结合是解不等式的常用方法．
2．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法，在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．
3．不等式应用问题体现了一定的综合性，这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．
4．不等式与函数一样，综合性极强，高考时有关不等式的解答题通常都安排在比较靠后的位置，甚至很多是压轴题，虽然如此，在高考复习时还是要控制难度，以免做无用功.
教学手段：利用多媒体，开展讲—练—导教学
知识网络：
不等式的性质（2课时）
重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问题．
难点：用不等式(组)正确表示不等关系，要求理解不等式的基本性质，并能解决一些简单的问题．
典例精析
题型一 比较两个式子(或数)的大小
【例1】比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)(x －3)2与(x －2)(x －4)；
(2)当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1； (3)7＋10与2＋13.
【思路分析】(1)(2)可直接利用作差法比较大小；(3)应先平方再作差比较大小．
【解析】(1)(x －3)2－(x －2)(x －4)＝x 2－6x ＋9－(x 2－6x ＋8)＝1＞0， 所以(x －3)2＞(x －2)(x －4)．
(2)x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1
＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)，
因为x ＞1，所以x 3－(x 2－x ＋1) ＞0，
所以当x ＞1时，x 3＞x 2－x ＋1.
(3)因为7＋10＞0，2＋13＞0，且 (7＋10)2－(2＋13)2＝270－413＝270－252＞0， 所以7＋10＞2＋13.
【方法归纳】比较两个代数式的大小，通常采用作差比较法，当两个代数式都有根号，作差后不好变形时，可以作平方差，但要注意只有两个代数式同号时，才可以作平方差比较大小，否则要先将两代数式变形后再比较．
【举一反三】1.已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小．
【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)，
当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ；
当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ；
综上所述，当a ＞0，a ≠1时，P ＞Q .
题型二 确定取值范围
【例2】已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2
的取值范围． 【思路分析】根据已知不等关系，按照不等式性质进行变形得出结果．
【解析】因为－π2≤α＜β≤π2
， 所以－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4
，
两式相加得－π2＜α＋β2＜π2
. 又－π4≤－β2＜π4，所以－π2≤α－β2＜π2
， 又因为α＜β，所以α－β2＜0，
所以－π2≤α－β2
＜0， 综上，－π2＜α＋β2＜π2，－π2≤α－β2
＜0为所求范围． 【方法归纳】在利用不等式基本性质求范围时，一定要强调不等式性质中条件的作用，不等式的两边同乘以(或除以)一个含有字母的式子时，一定要知道它的值是正还是负，并且不能为零，才能得到正确结论．同向不等式只能相加，不能相减．