利息理论第2章等额年金 (上)

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利息理论第二章年金

Page 5
基本年金图示
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 ------1
---1 1 ----
1 1
1
1---- 延付永久年金 1---- 初付永久年金 0--0--初付年金延付年金
0 0 1 0
0
1
2
3
-------
n
n+1 n+2---
Page 6
2.1.1期末付年金
1 0 1
Page 20
假设分别在 1、2、3、…、n 时刻付款 1 的 n 次付款所形成的付款系列，记该系列付款在 t 时的值为 V(t)，则 V(0)、V(1)、V(n)、V(n+1)分别为
an 、 an 、 sn 和 sn ，对于其他任意（整数）点 t，
（1）如果 t<0（这里为了方便，我们允许负数作为时间的标识数，其意义符合逻辑顺序，如-1 表示在 0 前一期，-5 表示在 0 前 5 期），则 V(t)= (1+i)t an = v t an = ant - at 注意，这里 t<0 为负数；（2）如果 1<t<n，则 V(t)= (1+i)t an = vnt sn = st + ant ；（3）如果 t>n+1，则 V(t)= (1+i)t an = (1 i)t n sn = st - st n ；
Page 21
2.1.3 任意时刻的年金值
例某人从1980年1月1日起开始向希望工程捐款，每年捐款支付3000元，到 2005年1月1日为止从未间断。该人还表示，他的捐款将持续到2019年1月1 日为止。假设年实质利率为6%，分别求该人的全部捐款在下列各时刻的价值：（1）1960年1月1日；（2）1979年1月1日；（3）1980年1月1日；（4）2000年1月1日；（5）2019年1月1日；（6）2020年1月1日；

(完整版)利息理论第二章年金部分习题参考答案

第二章年金部分习题参考答案证明：(1)(1)(1)(1)(1)(1)[]()m nn m m n m n m n v v v v v v i iv v i i a a i i⌝⌝----=---=⨯--=⨯-=⨯-证明：n n n-t t n t t n tttt nnnnn nn t t tt t t t t t t t n na S a a v a a v a =a S v a v a v a v a i v a ia 1111v =====1v v a viv a v v v--+=+----（1-）（1-）（1-）（1-）6. 解：由公式得：mn m+n mva =a a-71118777v a =a a 7.036=9.180 5.153i i=1=0.08299---也即：（1+）解得：7. 设X 可取得的存款额为S,根据题意：5712120.08 0.0818187121000(10.08)1000(10.08)100037.45024 1.0839169.84S S S -=+=+=⨯⨯=12. 解：根据题意，有1010301030101000a 1000a v =a a v K K +-又由于，则上式经整理得：10v =1/21030101030101030101030101111(1)a -a v 10001-v -v (1v )5822111a +a v 1-v +v (1v )91(1)8221800K K ----====--+-=解得：14. 设该永续年金每年支付R ，结合公式: nn a =a v a ∞∞+根据题意该永续年金为三人年金现值之和，即：n n n a a Ra =Rv a 22RR ∞∞++又由于三人所领取的年金现值相等，有:nnn n n 1v a v 2=v a R =R 2i i v =1/3R R ∞- 即，所以，19. 根据题意：22i i 2222222i i 222105105i i 22105i 2i 21051051000=1700011==171=t t t 17t 15=0f()t t 17t 15escart t=f =-0.00117fS S S S t D ⨯++++++-++-+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）-1+（）-1则：令，上式经过整理为：令=根据规则，上式最多有两个正根，而1显然不符合实际，故排除。

利息理论第二章

a ′ (t ) = a (t ).a ′ (0 ) ⇒ a ′ (0 ) = ⇒ a ′ (0 ) = [ln a (t )]′ a (t )
a ′ (0 ) = [ln a (t )]′
积分：在等式两端从 0－ t积分：
∫ [ln a (s )]′ds = ∫
t 0
t
0
a ′ (0 )ds
ln a (t ) − ln a (0 ) = ta ′ (0 )
a (t ) = 1 + it ( t = 0 ,1, 2 ...)
称为单利率．其中 i称为单利率．
问题：单利率是否就为实际利率？问题：单利率是否就为实际利率？
为 a (t + 1 ), 则从时点 t开始的一个时期内的实际利率 i t 应为 :
为单利利率，令 i为单利利率，在时点 t的累积值为 a (t ), 在时点 t + 1的累积值
a (t )
复利
单利
(1,1 + i ) (0,1)
0
t
2、在初始本金一定的条件下单利在相等的时间区间内有相等的、利息，而复利在相等的时间区间内有相等的增长率。利息，而复利在相等的时间区间内有相等的增长率。
例如在时间区间 (t, t + s )内：
单利利息的绝对增量：单利利息的绝对增量：复利利息的相对增量：复利利息的相对增量： a (t + s ) − a (t ) = 1 + i (t + s ) − 1 − it = is [ a (t + s ) − a (t )] / a (t )
1 t=3 3
三、复利复利－－指前期赚取的利息在后期会赚取附加利息,即－－指前期赚取的利息在后期会赚取附加利息复利－－指前期赚取的利息在后期会赚取附加利息即利滚利” “利滚利”．为整数时，当t为整数时，复利条件下的累积函数为：为整数时复利条件下的累积函数为：

利息论第二章

利息论讲义——第二章年金
几个概念支付期（payment period):两次年金支付之间的间隔。计息期(interest coversion period ):两次计息日之间的区间年金时期（term of annuity ):第一次支付期的期初到最后一次支付期的期末。
利息论讲义——第二章年金
1 i
n 1
1 i i
n
1
利息论讲义——第二章年金
注意：实质上 an i 和 sn i 是同一项年金在不同时刻的价值。前者为基本延付年金的现值；后者为终值。故有：
sn i an i 1 i n a s ni ni
n
利息论讲义——第二章年金
i2 i结束插值过程
利息论讲义——第二章
3迭代法：
年金
f i (ani k )i
f (i s ) is 1 is ' f (is )
n 1 is 1 kis is 1 1 ，2，3， s 0， n 1 1 is n 1 1 1 is
a i
1 d
n
3、
1 1 lim an i lim n n d d
利息论讲义——第二章年金
永续年金与有限期年金的关系：
1 1 n1 n an i a i a i i i i
n
例2.6
利息论讲义——第二章年金
例2.3.2 Ralph buys a perpetuity-due paying 500 annually. He deposits the pmts into a saving account earning interest at an effective annual rate of 10%. Ten years later, before receiving the 11th pmt, Ralph sells the perpetuity base on an effective annual interest rate of 10%. Using the proceeds from the sale plus the money in the saving account, Ralph purchases an annuity-due paying X per year for 20 years at an effective rate of 10%, calculate X.

2 利息理论

反过来，在1100元的基础上减少100元成为一年前的价值1000元，其中减少的100元是贴现额。
利息率=利息100元与本金1000元之比=10%
贴现率=贴现额100元与累积额11000元之比=9.1%
18
利率和贴现率的关系
a(1) 1 (1 i) 1 i d i a(1) 1 i 1 i
0.05884
4
0.05870
6
0.05855
12
0.05841
∞
0.05827
i
(m)
0.06000
26
名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率。
以 d ( m ) 表示，m表示结算次数，
1 d [1
d
(m)
m
(m)
]
m
d m d 1 [1 ] m
27
名义贴现率和利率、名义利率的关系
五、利息力
利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。
(m) i 对于名义利率，当结算次数m趋于无穷大时便可以表示确切时点上的利率水平。
定义利息力δ为，
lim i
m
( m)
d (1+i ) x |x 0 (1+i) ln(1 i) |x0 ln(1 i) dx 1 e . 故， e 1 i，
i(m) m 12% 12 i (1 ) 1 (1 ) 1 12.68% m 12
30
(2)实际贴现率为
d (m) m 10% 4 d 1 (1 ) 1 (1 ) 9.63% m 4
(3)由(1 i)1 1 d , 有
i(m) m d (n) n (1 ) (1 ) m n 12% 12 d (2) 2 (1 ) (1 ) 12 2

《利息理论》等额年金知识分析

4
1、期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
年金
111
时间 0 1 2 3
11 n-1 n
5
期末付年金的现值因子
（annuity-immediate present value factor）
a ：a-angle-n n
n期期末付年金的现值因子 a ，a表示annuity，i表示每 ni
a 1v n
vn1
1 vn 1 vn
1v d
s ——期初付年金的积累值因子 n|i
s (1 i) (1 i)n (1 i)[1 (1 i)n1] n
(1 i)n 1 (1 i)
(1 i)n 1
(1 i) 1
d
16
a n|
和
s 的关系 n|
（1）
s a (1 i)n
n|
n|
（2） 1 1 d an sn
a
a m
m|
a n
vmna
m|
a n
a
a m
vmna
0
m
m+n
a m
m|
a n
vmna
a
38
6、可变利率年金（了解）
问题：如果用 ik 表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到时刻 k 这段时间的利率， i1，i2，，it 分别表示第1， 2，…，t 期的利率。如何计算年金的现值和累积值？
34
解：10万元每年产生的利息是7000元。
A所占的份额是 7000a 7000(7.0236) 49165 10|
B所占的份额是 7000(a a ) 7000(10.5940 7.0236) 24993 20| 10|

第二章利息理论2

1)10000(1.08)5 10000 4693.28
2)5 (10000 0.08) 4000 10000 3) R 2504.56; I 5 2504.56 10000 2522.8 a5 0.08
例. 某人以月计息的年名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？（1）Ra1512 0.00465 300000
单利与复利两者关系：t 1,( 1 i ) 1 i t
t
0 t 1,( 1 i )t 1 i t
t 1,( 1 i ) 1 i t
t
单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。
0 t 1 相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大
利息问题求解
利息问题求解四要素 1）原始投资本金； 2）投资时期长度； 3）利率及计息方式期初/期末计息：利率/贴现率积累方式：单利计息、复利计息利息转换时期：实质利率、名义利率、利息力 4）本金在投资期末的积累值；
利息问题求解原则本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题。工具：现金流图
( 1 1%)
(12)
为12%，问本金翻倍需要几年？
i( 12 ) 12%时，
12 n
ln 2 2n 5.8 12 ln1.01
第二节年金
定义:按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。分类： 1）基本年金等时间间隔付款；付款频率与利息转换频率一致；每次付款金额恒定； 2）一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金

第二章等额年金(上)-PPT精品文档

年金的原始含义—指一年付款一次，每次支付相等金额的一系列款项。年金—指以相等的时间间隔进行的一系列的收付款行为，例如：投保、房贷。年金的类型： 1、按照年金的支付时间和支付金额是否确定，可划分为确定年金和风险年金。注：确定年金就简称为年金。 2、按照年金的支付期限长短，可划分为定期年金和永续年金。 3、按照年金的支付周期不同，可分为每年或每月支付一次的年金等等，如果是连续支付，则这种年金就称为连续年金。
4、按照年金在每期的支付时点不同，可划分为期初付年金和期末付年金。 5、按照年金开始支付的时间不同，可划分为及期年金和延期年金。
6、按照每次支付的金额是否相等，可划分为等额年金和变额年金。
年金的现值
年金的现值是指一系列付款在期初的价值。
1、期末付定期年金的现值假设年金的支付时期为n个时期，在每个时期末支付1元,其现值一般用符号an 表示。
和股票出售的收入投进资行。 B股票在前 10年没有红利收入，
投资，并且 n 在年后出售股票。为甲了乙使在乙的股票出刻售时
解：设乙的股票出售价格为x
0 . 4 100 s 1 i 2 100 1 i 1 0
59 现值: 6755 . 879998 . 19402 ( 1 0 . 015 ) 3256
例：甲持A 有股票 100 股，乙持B 有股票 100 股。 A股票每年底得到红利 0.40 元，共计 10年，在第 10 次分红后，甲以每 2元股的价
格将所有的股票出而售且，甲以年利 6 ％率的收益率将红利收第 11 年底开始每年得到 0.80 红利元，如果乙也是以率年 6 ％利进行的累积值相同，分n 别 15 对、 50 、 25三种情况计算乙的出股售票价格。

利息理论(第二版) (第2章)

项。
2.1.2 年金的含义及其延伸
– 年金含义的延伸
1）时间间隔可以是年、季度、月、周、日、瞬时； 2）支付款项的金额可以相等也可以不等；可以是确定也可以是不确定；支付期和计息期可以相同也可以不同。 3
2.1 年金的含义
2.1.3 年金的分类
1．按照年金的支付时间和支付金额是否确定，年金可以分为确定年金(Annuity-certain)和风险年金(Contingent annuity)。 2．按照年金的支付期限长短，年金可以分为定期年金（Period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity）。 3．按照年金的支付周期不同，年金可以分为非连续年金 (每年(季、月、…)支付一次)和连续年金。 4．按照年金在每期的支付时点不同，年金可以分为期初付年金（先付年金）和期末付年金（后付年金）。 5．按照年金开始支付的时间不同，年金可以分为即期年金和延期年金。 6．按照每次付款的金额是否相等，年金可以分为等额年金(Level annuity)和变额年金(Variable annuity)。
1）向银行借款50000元，期限8年，在年实际利率6％之下，每年初分期还款 7596元； 2）签订租赁合同1，一次性支付50000元租金租下这间仓库，租期8年； 3）签订租赁合同2，出租这间仓库，租期8年，要求对方每年初支付8000元租金，其中7596元还银行，每年可获利 8000－7596＝404（元）。
50000 8000 8000 0 1 2 7596 7596 50000 3 4 5 6
8000 7 7596 8
12
2.2 年金的现值
2.2.3 期末付永续年金的现值
• 永续年金（perpetuity）及其现值的概念

第二章利息理论

现值和贴现率

在单利下，
现值和贴现率

将应在未来某时期支付的金额提前到现在支付，则支付额中应扣除一部分金额，这个扣除额叫贴现额。相当于资金投资在期初的预付利息。
贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间
以年度衡量时，成为实际贴现率。
d表示一年的贴现率:
d

A(1) A(0) a(1) 1 1 i 1 i A(1) a(1) 1 i 1 i

定义：

利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。本金利率时期长度

影响利息大小的三要素：

（一）总额函数

总额函数是t时资金累积额（本利和），
以 A(t) 表示。

其中，I(t)=A(t)-A(0)。 I(t)表示t时利息。
0
1
2
3
-------
n
n+1 n+2---
期首付年金现值
an 1 2 3 n1
1 n = 1 1 n = d
期末付年金现值
an 2 3 n
(1 n ) = 1
1 n = i
m m
等价公式

一般公式
a (t ) e

0 s ds
t
恒定利息效力场合 ln(1 i) a(n) exp{n } ln v a 1 (n) exp{n }
例4

确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值

2利息理论讲解

139 1000 (1 5%) 1019.4 （元） 365
在复利下，还款总额为
1000 (1 5%)
139 365
1018.75 （元）
10
(3) 设借款t年后需要还款1200元。在单利下，有
1200 1000 (1 t 5%)
解得 t=4（年）在复利下，有
3
资金在周转中实现价值
何二从丁一处买一头猪，欠1000元
张三从何二处买四条狗，欠1000元李四从张三处买一双皮鞋，欠1000元
王五从李四处买一套衣服，欠1000元
赵六从王五处买两套书，支付1000元王五立即还李四，李四立即还张三，张三立即还何二，何二立即还丁一，于是，仅用1000元，完成了5个1000元的交易，谁也不欠谁了。
A(5) 10000 (1 2 5% 3 6%) 12800(元)
三、现值和贴现率
我们把1单位元在t年前的值或者未来t年1单位元在现在的值称为t年的现值。
贴现因子
13
现值和贴现率
在单利下，1元的t年现值为
1 , 1 i1 i2 it
1 当年利率相等时，为 1 it
货币的发明真是人类经济生活中的伟大事件！
4
一、累积函数
(一)总额函数
本金：最初投资的滋生利息的款项。累积额：本金经过一段时期后形成的金额称为累积额，它是本金与利息之和，又称本利和。
A(t )
总额函数
I (t )
利息函数
I (t ) A(t ) A(0)
A(t ) A(0) I (t )
1200 1000 (1 5%)t
解得 t 3.74(年)

第二章等额年金 (上)分解

v
m 2
v
m n 1
v
m n
。
v (v v v )
m 2 n
v an
m

或：
a a a m n m n m
终值
2 n 1 s 1 ( 1 i ) ( 1 i ) ( 1 i ) m n
(1 i ) n 1 sn i
。
n (1 i ) (1 i ) 2 (1 i ) n s (1 i ) n 1 d
③ a n 与 n 的关系 s
n a n (1 i ) s
n
1 1 或： d n n a s
④期初付年金与期末付年金
n (1 i )an a
3、永续年金

1）期末付年金现值

1 vn 1 a lim an lim n n i i 2）期初付年金现值
1 期初投资 i 元，
则每年可获得1元
1 期初投资 d 元，则
1 v 1 lim a n lim a n n d d
n
每年可获得1元
sn (1 i ) sn
⑤其他
n1 1 an a n an1 1 a sn sn1 1
例：王平从银行贷款20，000元，他想在今后的10年内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求： 1）每年末的还款额； 2）每年初的还款额。

解: Pa10 20000
3）延期m年的永续年金
v a lim v an m n i
m m m
v lim v a n a m n d
m
4、其他时点上的年金

《保险精算》之二--利息理论

3 6%)
13139.95(元)。
13
现值和贴现率
在单利下，
14
现值和贴现率
贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间以年度衡量时，成为实际贴现率。
◦ d表示一年的贴现率:
d A(1) A(0) a(1) 1 1 i 1 i
A(1)
a(1) 1 i 1 i
◦ dn表示第n年贴现率:
dn

A(n) A(n 1) A(n)

a(n) a(n 1) a(n)
15
现值和贴现率
d a(1) 1 (1 i) 1 i i
a(1)
1i 1i
可见， d<i
1d 1 i 1
1i 1i i d
1 d
16
现值和贴现率
200
600
X
0
0
199
199
5
8
200 0 7100
5
2
2000 (1 i ) 3000 (1 i ) 7100,
令f (i )2000(1i )5 3000(1i )2 7100.
利用计算机模拟可以得到结果，也可以利用线性插值得到结果，
这样有
f (i1 ) f ( 0.111)11.710,
◦ 期首付年金
◦ 期末付年金
32
期首付年金现值
a 1 2 3 n1 n = 1 n 1 1 n = d
33
期末付年金现值
a 2 3 n n (1 n ) = 1
1 n
=
i
34
期首付年金终值
对于n年定期、每年1元、期首付的年金在n年末的终值为：

保险精算之利息理论第二章

新利息理论教案第2章

第 2 章：等额年金第 2.1 节：年金的含义本节内容：一、年金的含义（annuity ）年金是指一系列的付款（或收款）。

年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。

但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。

二、年金的分类1、确定年金和风险年金。

2、定期年金和永续年金。

3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。

4、期初付年金和期末付年金。

5、即期年金和延期年金。

6、等额年金和变额年金。

本节重点：年金的定义。

本节难点：年金的分类。

第 2.2 节：年金的现值年金现值是一系列款项在期初的价值。

本节内容：2.2.1 期末付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期末支付1元，那么这种年金就是期末付定期年金。

其现值一般用符号n ia表示。

在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。

na的计算过程图（略）一、公式23...n nv v v v a=++++(1)11n nv v v v i--==-二、理解1n n v ia +=三、例题1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年实际利率为8%，现在应该存入多少钱？解：应用期末付年金现值公式：4000 58%a=4000×3.9927=15971说明：58%a的具体数值可以通过年金现值表查到2、一笔年金在20年内每年末支付4，另一笔年金在10年内每年末支付5。

如果年实际利率为i ，则这两笔年金的现值相等。

若另一笔款项n 年内以利率i 投资可以翻番，求n 。

解：201045aa =20101145v v i i--=100.25v =i=0.1486982.2.2 期初付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期初支付1元，那么这种年金就是期初付定期年金。

其现值一般用符号n ia表示。

在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。

na的计算过程图（略）一、公式2311...n nv v v v a -=+++++(1)11n nv v v d--==-二、na与na的关系1、(1)n ni a a =+（可用公式展开证明）2、11nn aa -=+ （可用图形讲述）三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？解：设仓库的年租金为A ，可以建立50000=A8a，A=75962.2.3 期末付永续年金的现值永续年金是指无限期支付下去的年金。

[经济学]2利息理论——年金

an 1 an 1 S n S n 1 1
12
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付 ( m) a 年金现值，以 n 表示，
1 1 1/ m 1 2 / m a m m m 1 1 n 1/ m m 1 1 n ( m ) d
3
确定年金是年金的一种形式。确定年金与人的生死不发生关系。确定年金的支付总期间事前确定，纯粹以预定利息率作为累积基础。确定年金有多种分类，通常情况下的分类有：年金给付于每期开始时支付的期初付年金以及每期完了时支付的期末付年金；年金的给付在签约后即刻开始的即时年金以及经过一段时间后才开始的延付年金；年金的给付限于一定期间的有限期年金以及年金的给付无限期延续的无限期年金等。 4
n
23
变额递减年金
当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元的 n年定期递减的期末付年金为，
( Da)｜ n
n a｜ n i
上述定期递减年金在期首付时，为
) ( Da n ｜
n(1 i) a n ｜ i
变额年金的终值是现有这样的一种递减确定年金，第一年年末给付额为100元，第二年年末给付额为99元，以后每年年末给付额较上年给付额递减1，直至给付额为10元为止。试写出这一年金的现值符号表达式?
n
1 = i
n
7
期首付年金终值
sn an (1 i)
n
n
(1 i) 1 d
8
期末付年金终值
s n a n (1 i )
1 n (1 i ) i
n
n
(1 i ) 1 i

第二章利息理论Microsoft PowerPoint 演示文稿-PPT文档资料

1 1 i
1 (1 i ) 2
1
1
1
折现过程
1
vt
1 (1i )t
1 (1 i ) t
复利条件下：

折现因子：
v

1 1i
折现函数：
vt v
t
贴现率
1）计息的方式。滞后利息期初利息例：购买一年期面值为100元的国债，第一种方法：一年后还本付息110元； 10元为滞后利息，是期初本金上的增加额。---利息。
及：

及：
v 1 d
a ( 1 d ) t
t
例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=10% 求：1）90年1月1日的现值为多少？ 2）年利率为多少? 3）折现因子为多少？

解： 1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) d 1 d

i 11 . 1 %
例一
设：at =ct2+d
(c、d为常数）， a 5=126 , A0=100 求：A10、、 i10
解：
a0=1
a5=126 得： c=5 d=1 所以：at=5t2+1 A10=A0a10=50100 i10=(a10-a9)/a9=0.233
4、单利与复利的积累函数
设年名义利率为i（m），年实际利率为i。每次计息的实际利率为 i（m）/m 。则：

所以：
i ( 1 ) 1
(m ) m i m

或：
( m )
1 m
1 i ( 1 )
(m ) m i m
i m [( 1 i ) 1 ]

2.1利息基本理论(保险精算课程讲义)

第2章利息理论
利息基本理论年金
2.1 利息基本理论
2.1.1 累积函数时间 t 1 总额函数 A(t):t时资金累积额 2 利息 I(t)=A(t)-A(0)累积额与本金之差 A(t)=A(0)+I(t)
2 累积函数为了反映单位本金的增值情况，引入累积函数a(t) a(t)=A(t)/A(0) 3 利息率衡量资金生息水平的指标是利息率：单位本金在单位时间内的利息。 in表示第n个基本计息时间单位的实际利率。 in=(A(n)-A(n-1))/A(
假设每年的结算次数为m次，名义利率为i ，m表示结算次数，则
m
1 i m 结算时间间隔为年，每次的实际结算利息率为，在复利计算 m m 下，一年的累积额为： i 1 m 1 i i表示年实际利息率。 i 所以，i 1 m
2.1.5 利息力（利息力度）利息力是衡量确切时点上利率水平的指标。对于名义利率，当结算次数m趋于无穷大时，可以表示确切时点上的利率水平。
lim i
m
m
lim m[1 i
m
1/ m
1]
0
1 i lim
m t
1/ m
1 i 1/ m
m m
m
1
m
在年实际利息率i一定的情况下，i m 是关于m的递减函数。（参见课本p18表2 1）
名义贴现率的定义可以相应给出： d 1 d 1 m 几个重要公式： 1 1 d 1 i
m

m
d d 1 1 m
m

m

1 i m 1 1 i m m 1 d / m

南京财经利息理论(金融数学)

1. 利率期限结构理论（分数比例约为10%） 2. 随机利率模型（分数比例约为6%）
C、金融衍生工具定价理论(分数比例约为26%)
1. 金融衍生工具介绍（分数比例约为16%） 2. 金融衍生工具定价理论（分数比例约为10%）
D、投资理论(分数比例约为28%)
1. 投资组合理论（分数比例约为12%） 2. 资本资产定价（CAPM）与套利定价（APT）理论（分数比例约为16%）
• 教材：孟生旺：《金融数学（第三版）》，中国人
•
民大学出版社，2011年8月。参考书目：
– 1、孟生旺，袁卫：《利息理论及其应用》，中国人民大学出版社，2001年版； – 2、刘占国：《利息理论》，南开大学出版社，2000年版； – 3、李晓林：《利息理论》，经济科学出版社，1999年版； – 4、 [美]S.G.Kellison：《利息理论》，上海科学技术出版社， 1995年版； – 5、熊福生：《利息理论》，武汉大学出版社，2004年版； – 6、张连增：《利息理论》，南开大学出版社，2005年版； – 7、张运刚：《利息理论与应用》，西南财经大学出版社， 2006年版； – 8、陈伟森（香港）、谢耀权（新加坡）著，庄新田、苑莹译：《金融与保险精算数学》，机械工业出版社，2009年版。
累积函数与实际利率累积函数的证明贴现函数名义利率利息力利率概念辨析 1.2 单利 1.3 复利 1.6 贴现率 1.8 名义贴现率 1.10 贴现力
•
1.1 1.4 1.5 1.7 1.9 1.11
1.1
累积函数与实际利率
• 关于利息的几个基本概念
– 本金（principal）：初始投资的资本金额。 – 累积值（accumulated value）：过一段时期后收到的总金额。 – 利息（interest）——累积值与本金之间的差额。

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n
期初投资1元，每年末可获得利息i，且第n年末可获得本金1元。
②年金终值

.
0 1 n-2 Hale Waihona Puke -1 n111
1
1+i (1+i）2 (1+i)n-1
sn 1 (1 i ) (1 i ) (1 i )
2
n 1
。
1 (1 i ) 1 (1 i )
v
m 2
v
m n 1
v
m n
。
v (v v v )
m 2 n
v an
m

或：
a a a m n m n m
终值
2 n 1 s 1 ( 1 i ) ( 1 i ) ( 1 i ) m n
(1 i ) n 1 sn i
(1 i ) n 1 i
n
每年末存入1元，第n年末可得
sn
③ an 与sn 的关系
sn an (1 i )
n
1 1 i 证明： an s n
1 i 证： i i n sn (1 i ) 1
i (1 i ) n (1 i ) 1 i 1 n 1 v an
Pa10 20000 1 v P 20000 d P 3485.25元
10
1 v10 P 20000 i
P
3985.04元
2、延期m年的n年期年金
1）期末付延期年金现值 0 m

Vm+1 m+1 1 m+n-1 1 m+n 1
vm+n-1 Vm+n
m
an v
m 1

三、年金的现值与终值
1、n年定期年金 1）期末付年金 ①现值

0 1 1 2 1 3 1 n 1
v
v2
vn
an v v v
2
n
。
v (1 v ) 1 v
n
1 v i
n
年初存入 an ，则每年末可得到 1元的年金。
上式可写成：
1 ian v
(1 i) 1 d
n
n s
或：
s a (1 i ) m n m n
m n
例：3，000元的债务从第5年初开始，每年初偿还相同的数额，共分15次还清，年利率为8%，求年还债额。解：
15 3000 P 4 a 19 a 4 ) P(a P(9.6036 3.3121 )(1 0.08) P 441.51元
m
同理：
m n m n m n (1 i ) s s s s
m
.

年金的当前值
0 1 1 ------m 1 1 n 1
m s a v a ( 1 i ) m n m nm n
m s a v a ( 1 i ) m n n m nm
3、永续年金

1）期末付年金现值

1 vn 1 a lim an lim n n i i 2）期初付年金现值
1 期初投资 i 元，
则每年可获得1元
1 期初投资 d 元，则
1 v 1 lim a n lim a n n d d
n
每年可获得1元
3）延期m年的永续年金
v a lim v an m n i
m m m
v lim v a n a m n d
m
4、其他时点上的年金

过期年金的终值
0 1 1 ------n 1 n+1 n+m
sn m sn (1 i ) sm n sm
。
n (1 i ) (1 i ) 2 (1 i ) n s (1 i ) n 1 d
③ a n 与 n 的关系 s
n a n (1 i ) s
n
1 1 或： d n n a s
④期初付年金与期末付年金
n (1 i )an a
第二章
等额年金（上）
主要内容
年金的定义年金的类型年金的现值与终值年金的利率问题、时间问题求解

一、年金的定义
年金是指在相等的时间间隔内的一系列支付或收款。等额年金：每次的支付额相等。

二、年金的类型
确定性分类：确定型年金、不确定型年金。每次的支付额分类：等额年金、变额年金。支付时点分类：期初付年金、期末付年金。支付期限分类：定期年金、永续年金。连续性年金：离散型年金、连续型年金。
或：
m
sn m an (1 i )
m n
2)期初付延期年金

现值
m m 1 m n 1 a v v v m n
v (1 v v v )
m 2
n1
n v a
m
n a m n a m 或：m a
。

终值
2 n s (1 i) (1 i) (1 i) m n
n
2）期初付年金

①现值
0 1 1 1 2 1 n-2 1 n-1 1 n
v
v2
Vn-1
n 1 v v v a
2
n 1
。
1 v 1 v
n
1 v d
n
n v 或： 1 da
n
②终值

。
0
1
1
1
n-2
1
n-1
1
n
1+i (1+i)2
(1+i)n
sn (1 i ) sn
⑤其他
n1 1 an a n an1 1 a sn sn1 1
例：王平从银行贷款20，000元，他想在今后的10年内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求： 1）每年末的还款额； 2）每年初的还款额。

解: Pa10 20000
同理：
例：某投资项目，前3年每年初投资5万元，后3年每年末投资3万元，i=6%，试计算该项投资在10年末的终值

解：前3年投资在10年末的终值为：
3 7 5 3 (1 i ) 7 25.37万元 5 s s

后3年投资在第10年末的终值为：
3s3 4 3s3 (1 i ) 12.06万元