利息理论 第2章 等额年金 (上)

v
m 2
v
m n 1
v
m n
。
v (v v v )
m 2 n
v an
m

或：
a a a m n m n m
终值
2 n 1 s 1 ( 1 i ) ( 1 i ) ( 1 i ) m n
(1 i ) n 1 sn i
或：ห้องสมุดไป่ตู้
m
sn m an (1 i )
m n
2)期初付延期年金

现值
m m 1 m n 1 a v v v m n
v (1 v v v )
m 2
n1
n v a
m
n a m n a m 或：m a
。

终值
2 n s (1 i) (1 i) (1 i) m n
n
期初投资1元，每年末可获得利息i， 且第n年末可获得本金1元。
②年金终值

.
0 1 n-2 n-1 n
1
1
1
1
1+i (1+i）2 (1+i)n-1
sn 1 (1 i ) (1 i ) (1 i )
2
n 1
。
1 (1 i ) 1 (1 i )
n
2）期初付年金

①现值
0 1 1 1 2 1 n-2 1 n-1 1 n
v
v2
Vn-1
n 1 v v v a
2
n 1
。
1 v 1 v
n
1 v d
n
n v 或： 1 da
n
②终值

。
0
1
1
1
n-2
1
n-1
1
n
1+i (1+i)2
(1+i)n
(1 i) 1 d
n
n s
或：
s a (1 i ) m n m n
m n
例：3，000元的债务从第5年初开始，每年初偿还相 同的数额，共分15次还清，年利率为8%，求年还债 额。 解：
15 3000 P 4 a 19 a 4 ) P(a P(9.6036 3.3121 )(1 0.08) P 441.51元
Pa10 20000 1 v P 20000 d P 3485.25元
10
1 v10 P 20000 i
P
3985.04元
2、延期m年的n年期年金
1）期末付延期年金 现值 0 m

Vm+1 m+1 1 m+n-1 1 m+n 1
vm+n-1 Vm+n
m
an v
m 1
sn (1 i ) sn
⑤其他
n1 1 an a n an1 1 a sn sn1 1
例：王平从银行贷款20，000元，他想在今后的10年 内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求： 1）每年末的还款额； 2）每年初的还款额。

解: Pa10 20000
3、永续年金

1）期末付年金现值

1 vn 1 a lim an lim n n i i 2）期初付年金现值
1 期初投资 i 元，
则 每年可获得1元
1 期初投资 d 元，则
1 v 1 lim a n lim a n n d d
n
每年可获得1元
m
同理：
m n m n m n (1 i ) s s s s
m
.

年金的当前值
0 1 1 ------m 1 1 n 1
m s a v a ( 1 i ) m n m nm n
m s a v a ( 1 i ) m n n m nm
3）延期m年的永续年金
v a lim v an m n i
m m m
v lim v a n a m n d
m
4、其他时点上的年金

过期年金的终值
0 1 1 ------n 1 n+1 n+m
sn m sn (1 i ) sm n sm
(1 i ) n 1 i
n
每年末存入1元，第n年末可得
sn
③ an 与sn 的关系
sn an (1 i )
n
1 1 i 证明： an s n
1 i 证： i i n sn (1 i ) 1
i (1 i ) n (1 i ) 1 i 1 n 1 v an
。
n (1 i ) (1 i ) 2 (1 i ) n s (1 i ) n 1 d
③ a n 与 n 的关系 s
n a n (1 i ) s
n
1 1 或： d n n a s
④期初付年金与期末付年金
n (1 i )an a

三、年金的现值与终值
1、n年定期年金 1）期末付年金 ①现值

0 1 1 2 1 3 1 n 1
v
v2
vn
an v v v
2
n
。
v (1 v ) 1 v
n
1 v i
n
年初存入 an ，则每年末可得到 1元的 年金。
上式可写成：
1 ian v
同理：
例：某投资项目，前3年每年初投资5万元，后3年每 年末投资3万元，i=6%，试计算该项投资在10年末的 终值

解：前3年投资在10年末的终值为：
3 7 5 3 (1 i ) 7 25.37万元 5 s s

后3年投资在第10年末的终值为：
3s3 4 3s3 (1 i ) 12.06万元
第二章
等额年金（上）
主要内容
年金的定义 年金的类型 年金的现值与终值 年金的利率问题、时间问题求解

一、年金的定义
年金是指在相等的时间间隔内的一系列支付 或收款。 等额年金：每次的支付额相等。

二、年金的类型
确定性分类：确定型年金、不确定型年金。 每次的支付额分类：等额年金、变额年金。 支付时点分类：期初付年金、期末付年金。 支付期限分类：定期年金、永续年金。 连续性年金：离散型年金、连续型年金。