广西南宁三中最新通用版-最新通用版学年高一(上)第一次月考数学试卷(详解版)

2018-2019学年广西南宁三中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．一次函数y=x+3与y=﹣2x+6的图象的交点组成的集合为（）A．B．{x=1，y=4}C．{（1，4）}D．{1，4}
2．已知A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，则A∪B=（）A．{x|x是等腰三角形}B．{x|x是直角三角形}
C．{x|x是等腰直角三角形}D．{x|x是等腰或直角三角形}
3．已知集合M={x∈R|x2﹣3x＜0}，N={x∈N|x2≥0}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜3}B．{x∈Z|x＜0或0＜x＜3}
C．{x∈Z|0＜x＜3}D．{0，1，2}
4．已知集合A={1，2}，满足的集合B的个数为（）A．4B．5C．6D．7
5．已知全集U={1，2，a2﹣2a+3}，A=（1，a），∁U A={3}，则实数a等于（）A．0或2B．0C．1或2D．2
6．已知x，y为非零实数，则集合M={m|m=++}为（）A．{0，3}B．{1，3}C．{﹣1，3}D．{1，﹣3} 7．已知集合，，
，则A，B，C满足的关系为（）
A．A=B⊆C B．A⊆B=C C．A⊆B⊆C D．B⊆C⊆A 8．已知集合有两个非空真子集，则实数m的取值范围为（）
A．{m|m＞4}B．{m|m＜0或m＞4}C．{m|m≥4}
D．{m|m≤0或m≥4}
9．已知M，N为集合I的非空真子集，且M≠N，若M∩（∁I N）=∅，则M∪N=（）
A．∅B．I C．M D．N
10．集合A={2，0，1，7}，B={x|x2﹣2∈A，x﹣2∉A}，则集合B中的所有元
素之积为（）
A．36B．54C．72D．108
11．对于任意两个自然数m，n，定义某种⊗运算如下：当m，n都为奇数或偶数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m⊗n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a⊗b=18，a∈N，b∈N}中的元素个数为（）A．26B．25C．24D．23
12．设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z ∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）
A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S
C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分．
13．关于x的不等式﹣4x2﹣4a2x+2x+a2﹣a4＜0的解集为．
14．设全集U={（x，y）|x，y∈R}．集合M{（x．y）|=1}，N={（x，y）|y≠x+1}，则∁U（M∪N）等于．
15．设S为实数集R的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集，下列说法：
①集合S={a+b|a，b为整数}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定有无数多个元素；
④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．
其中的正确的说法是（写出所有正确说法的序号）．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知集合，B={x|x2﹣13x+30＜0}，求A∪B，（∁R A）∩B．17．已知集合A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，
（1）若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求a，b的值；
（2）若∅⊊B⊊A，求实数a，b的值．
18．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．
19．已知集合，B={x|2m＜x＜1﹣m}．
（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．
20．已知集合，，求M∪N，（∁R M）
∩N．
21．已知关于x的方程x2﹣ax+b=0的两根为p，q，方程x2﹣bx+c=0的两根为r，s，如果p，q，r，s互不相等，设集合M={p，q，r，s}，设集合S={x|x=u+v，u∈M，v∈M，u≠v}，P={x|x=uv，u∈M，v∈M，u≠v}．若已知S={5，7，8，9，10，12}，P={6，10，14，15，21，35}，求实数a，b，c的值．
2018-2019学年广西南宁三中高一（上）第一次月考数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．一次函数y=x+3与y=﹣2x+6的图象的交点组成的集合为（）A．B．{x=1，y=4}C．{（1，4）}D．{1，4}
【分析】将y=x+3与y=﹣2x+6，组成方程组，求得方程组的解，进而用集合表示即可．
【解答】解：将y=x+3与y=﹣2x+6，组成方程组
∴x=1，y=4
∴一次函数y=x+3与y=﹣2x+6的图象的交点组成的集合为{（1，4）}
故选：C．
【点评】本题考查的重点是用集合表示方程组的解，解题的关键是解方程组．2．已知A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，则A∪B=（）A．{x|x是等腰三角形}B．{x|x是直角三角形}
C．{x|x是等腰直角三角形}D．{x|x是等腰或直角三角形}
【分析】利用并集定义直接求解．
【解答】解：∵A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，
∴A∪B={x|x是等腰或直角三角形}．
故选：D．
【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．已知集合M={x∈R|x2﹣3x＜0}，N={x∈N|x2≥0}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜3}B．{x∈Z|x＜0或0＜x＜3}
C．{x∈Z|0＜x＜3}D．{0，1，2}
【分析】化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N．
【解答】解：集合M={x∈R|x2﹣3x＜0}={x∈R|0＜x＜3}，
N={x∈N|x2≥0}={x∈N|x∈R}=N，
则M∩N={x∈N|0＜x＜3}={1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
4．已知集合A={1，2}，满足的集合B的个数为（）A．4B．5C．6D．7
【分析】求出A∪B={1，2}，从而B为A所有子集，由此能求出集合B的个数．【解答】解：集合A={1，2}，满足={1，2}，
∴B为A所有子集．
∴集合B的个数为22=4．
故选：A．
【点评】本题考查集合的个数的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．已知全集U={1，2，a2﹣2a+3}，A=（1，a），∁U A={3}，则实数a等于（）A．0或2B．0C．1或2D．2
【分析】利用集合的补集关系，列出方程求解即可．
【解答】解：全集U={1，2，a2﹣2a+3}，A=（1，a），∁U A={3}，
可得a2﹣2a+3=3，并且a=2，
解得a=2．
故选：D．
【点评】本题考查集合的交、并、补的运算，基本知识的考查．
6．已知x，y为非零实数，则集合M={m|m=++}为（）A．{0，3}B．{1，3}C．{﹣1，3}D．{1，﹣3}
【分析】分类讨论，化简集合M，即可得出结论．
【解答】解：x＞0，y＞0，m=3，
x＞0，y＜0，m=﹣1，
x＜0，y＞0，m=﹣1，
x＜0，y＜0，m=﹣1，
∴M=（﹣1，3}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，比较基础．
7．已知集合，，
，则A，B，C满足的关系为（）
A．A=B⊆C B．A⊆B=C C．A⊆B⊆C D．B⊆C⊆A
【分析】将三个集合分别化简，分母一样，比较分子的不同，根据所表示范围的大小，判断出集合的关系．
【解答】解：集合A={x|x=a+，a∈Z}={x|x=，a∈Z}，
集合B={x|x=﹣，b∈Z}={x|x=，b∈Z}，
集合C={x|x=+，c∈Z}={x|x=，c∈Z}，
∵a∈Z时，6a+1表示被6除余1的数；b∈Z时，3b﹣2表示被3除余1的数；
c∈Z时，3c+1表示被3除余1的数；
所以A⊆B=C，
故选：B．
【点评】本题考查集合间的包含关系，考查学生转化问题的能力，属于基础题．8．已知集合有两个非空真子集，则实数m的取值范围为（）
A．{m|m＞4}B．{m|m＜0或m＞4}C．{m|m≥4}
D．{m|m≤0或m≥4}
【分析】n元集合非空真子集的个数为2n﹣2，有题意可得集合A为二元集合，即关于x的方程有两不等实根，及△＞0运算即可
【解答】解；由已知集合有两个非空真子集
即关于x的方程有两个不等实数根，
即m≠0
又有意义，则m＞0
则△=m2﹣4＞0
∴m2﹣4m＞0
又m＞0
∴m＞4
故选：A．
【点评】本题考查了集合的子集的概念，同时考查了分类讨论的思想．
9．已知M，N为集合I的非空真子集，且M≠N，若M∩（∁I N）=∅，则M∪N=（）
A．∅B．I C．M D．N
【分析】根据条件可画出Venn图表示出集合I，M，N，由Venn图即可得出M ∪N．
【解答】解：根据条件，用Venn图表示M，N，I如下：
由图看出，M∪N=N．
故选：D．
【点评】考查真子集的概念，交集、补集和并集的运算，用Venn图解决集合问题的方法．
10．集合A={2，0，1，7}，B={x|x2﹣2∈A，x﹣2∉A}，则集合B中的所有元素之积为（）
A．36B．54C．72D．108
【分析】可令x2﹣2分别等于2，0，1，7，再利用x﹣2∉A进行检验即可．【解答】解：当x2﹣2=2时，x=2或x=﹣2
又2﹣2=0∈A，﹣2﹣2=﹣4∉A
∴2∉B，﹣2∈B
当x2﹣2=0时，x=或x=﹣
又﹣2∉A，﹣﹣2∉A
∴
当x2﹣2=1时，x=或x=﹣
∴
当x2﹣2=7时，x=3或x=﹣3
又3﹣2=1∈A，﹣3﹣2=﹣5∉A
∴﹣3∈B，3∉B
∴B=
又﹣2××××（﹣）×（﹣3）=36．
故选：A．
【点评】本题考查了元素与集合的关系，采用代入法解方程即可，考查分类讨论的思想．
11．对于任意两个自然数m，n，定义某种⊗运算如下：当m，n都为奇数或偶数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m⊗n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a⊗b=18，a∈N，b∈N}中的元素个数为（）A．26B．25C．24D．23
【分析】根据定义，x⊗y=18分两类进行考虑：x和y一奇一偶，则x•y=18；x 和y同奇偶，则x+y=18．由x、y∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（x，y）的个数即可．
【解答】解：x⊗y=18，x、y∈N*，
若x和y一奇一偶，则xy=18，满足此条件的有1×18=2×9=3×6，故点（x，y）有6个；
若x和y同奇偶，则x+y=18，满足此条件的有1+17=2+16=3+15=4+14=…=17+1，故点（x，y）有17个，
∴满足条件的个数为6+17=23个．
故选：D．
【点评】本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键，属于中档题．
12．设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z ∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）
A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S
C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉
S
【分析】特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项，即得答案．【解答】解：方法一：特殊值排除法，
取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，
此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D均错误；
只有B成立，故选B．
直接法：
根据题意知，只要y＜z＜w，z＜w＜y，w＜y＜z中或x＜y＜w，y＜w＜x，w ＜x＜y中恰有一个成立则可判断（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．
∵（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，
∴x＜y＜z…①，y＜z＜x…②，z＜x＜y…③三个式子中恰有一个成立；z＜w ＜x…④，w＜x＜z…⑤，x＜z＜w…⑥三个式子中恰有一个成立．
配对后有四种情况成立，
第一种：①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；
第二种：①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；
第三种：②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；
第四种：③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．
综合上述四种情况，可得（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．
故选：B．
【点评】本题考查简单的合情推理，特殊值验证法是解决问题的关键，属基础题．
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分．
13．关于x的不等式﹣4x2﹣4a2x+2x+a2﹣a4＜0的解集为
．
【分析】十字相乘法分解因式后，使用口诀：大于取两边，小于取中间．
【解答】解：原不等式可化为4x2+（4a2﹣2）x+a2（a2﹣1）＞0，则（2x+a2）（2x+a2﹣1）＞0．
∴（x+）（x+）＞0，∴x＜﹣或x＞﹣+，
故答案为：{x|x＜﹣或x＞﹣+}．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法．属基础题．
14．设全集U={（x，y）|x，y∈R}．集合M{（x．y）|=1}，N={（x，y）|y≠x+1}，则∁U（M∪N）等于{（2，3）}．
【分析】集合M表示直线y﹣3=x﹣2，即y=x+1，除去（2，3）的点集；集合N表示平面内不属于y=x+1的点集，M∪N={（x，y）|x≠2，y≠3}，由此能求出∁U（M∪N）．
【解答】解：∵全集U={（x，y）|x，y∈R}．
集合M{（x．y）|=1}，N={（x，y）|y≠x+1}，
∴M∩N={（x，y）|}，
集合M表示直线y﹣3=x﹣2，即y=x+1，除去（2，3）的点集；
集合N表示平面内不属于y=x+1的点集，
∴M∪N={（x，y）|x≠2，y≠3}，
则∁U（M∪N）={（2，3）}．
故答案为：{（2，3）}．
【点评】本题考查补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
15．设S为实数集R的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集，下列说法：
①集合S={a+b|a，b为整数}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定有无数多个元素；
④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．
其中的正确的说法是①②（写出所有正确说法的序号）．
【分析】由题意直接验证①即可判断正误；令x=y可推出②是正确的；找出反
例集合S={0}，即可判断③的错误；令S={0}，T={0，1}，推出﹣1不属于T，判断④是错误的
【解答】解：①设x=a+b，y=c+d，（a，b，c，d为整数），
则x+y∈S，x﹣y∈S，xy=（ac+3bd）+（bc+ad）∈S，S为封闭集，①正确；
②当S为封闭集时，因为x﹣y∈S，取x=y，得0∈S，②正确；
③对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误；
④取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0﹣1=﹣1不属于T，故T不是
封闭集，④错误．
故答案为：①②．
【点评】本题考查对封闭集定义的理解及运用，考查集合的子集，集合的包含关系判断及应用，以及验证和举反例的方法的应用，是一道中档题
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知集合，B={x|x2﹣13x+30＜0}，求A∪B，（∁R A）∩B．【分析】可解出集合A，B，然后进行并集，补集和交集的运算即可．
【解答】解：A={x|2≤x＜7}，B={x|（x﹣3）（x﹣10）＜0}={x|3＜x＜10}；
∴A∪B={x|2≤x＜10}，C R A={x|x＜2或x≥7}，（C R A）∩B={x|7≤x＜10}．【点评】考查描述法的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，以及交集、并集和补集的运算．
17．已知集合A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，
（1）若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求a，b的值；
（2）若∅⊊B⊊A，求实数a，b的值．
【分析】（1）先求出A={3，5}，根据交集、并集的定义即可得出a，b；（2）根据∅⊊B⊊A即可得到B={3}，或{5}，根据韦达定理便可求出a，b．
【解答】解：（1）A={3，5}；
若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，则：
B={2，3}；
∴；
∴a=5，b=﹣6；
（2）若∅⊊B⊊A，则：
B={3}，或B={5}；
∴，或；
∴，或．
【点评】并集与交集的定义，描述法与列举法表示集合，以及空集、真子集的概念．
18．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．
【分析】用待定系数法设出二次函数解析式，再根据题目中条件列式解得．【解答】解：当图象与x轴另一交点在x轴负半轴，
即为（﹣1，0）时可设函数解析式为y=ax（x+1）（a＞0），
由图象经过点有，得a=1，则函数解析式为y=x2+x；
当图象与x轴另一交点在x轴正半轴，即为（1，0）时，可设函数解析式为y=ax （x﹣1）（a＜0），
由图象经过点有，得，
则函数解析式为．
综上，函数解析式为y=x2+x或．
【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法．属中档题．
19．已知集合，B={x|2m＜x＜1﹣m}．
（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．
【分析】（1）首先确定集合A，然后根据A⊆B找等价不等式，解之即可；（2）首先确定集合A，然后根据A∩B=∅找等价不等式，解之即可．
【解答】解：∵，∴，∴1＜x＜3，∴A=（1，3），
（1）∵A⊆B∴，∴m≤﹣2，
∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]；
（2）由A∩B=∅，得：若2m≥1﹣m，即时，B=∅，符合题意；
若2m＜1﹣m，即时，需，解得．
综上，实数m的取值范围为[0，+∞）．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法以及分类讨论思想，是中档题．
20．已知集合，，求M∪N，（∁R M）∩N．
【分析】可解出集合M，N，然后进行并集、交集和补集的运算即可．
【解答】解：由得，，则，即；
由得，，则，即
；
∴，，
．
【点评】考查描述法表示集合的定义，分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，以及并集、交集和补集的运算．
21．已知关于x的方程x2﹣ax+b=0的两根为p，q，方程x2﹣bx+c=0的两根为r，s，如果p，q，r，s互不相等，设集合M={p，q，r，s}，设集合S={x|x=u+v，u∈M，v∈M，u≠v}，P={x|x=uv，u∈M，v∈M，u≠v}．若已知S={5，7，8，9，10，12}，P={6，10，14，15，21，35}，求实数a，b，c的值．
【分析】由列举法表示集合S，P，再由二次方程的韦达定理和元素之和的特点，解方程即可得到所求值．
【解答】解：依题意有S={p+q，p+r，p+s，q+r，q+s，r+s}，P={pq，pr，ps，qr，qs，rs}，
由b=pq=r+s知b∈S，b∈P，则b=10．易知a=p+q，
由（p+q）+（p+r）+（p+s）+（q+r）+（q+s）+（r+s）=3（p+q+r+s）=3（a+b），有3（a+10）=5+7+8+9+10+12=51，则a=7．
易知c=rs，由pq+pr+ps+qr+qs+rs=pq+（r+s）（p+q）+rs=b+ab+c，
有10+7×10+c=6+10+14+15+21+35=101，则c=21．
综上可得a=7，b=10，c=21．
【点评】本题考查二次方程的韦达定理和集合的表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。