广西南宁三中最新通用版-最新通用版学年高一(上)第一次月考数学试卷(详解版)
广西南宁三中2018-2019学年高一(上)第一次月考数学试卷(精品解析含答案)
2018-2019学年广西南宁三中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一次函数y=x+3与y=﹣2x+6的图象的交点组成的集合为（）A．B．{x=1，y=4}C．{（1，4）}D．{1，4}2．已知A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，则A∪B=（）A．{x|x是等腰三角形}B．{x|x是直角三角形}C．{x|x是等腰直角三角形}D．{x|x是等腰或直角三角形}3．已知集合M={x∈R|x2﹣3x＜0}，N={x∈N|x2≥0}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜3}B．{x∈Z|x＜0或0＜x＜3}C．{x∈Z|0＜x＜3}D．{0，1，2}4．已知集合A={1，2}，满足的集合B的个数为（）A．4B．5C．6D．75．已知全集U={1，2，a2﹣2a+3}，A=（1，a），∁U A={3}，则实数a等于（）A．0或2B．0C．1或2D．26．已知x，y为非零实数，则集合M={m|m=++}为（）A．{0，3}B．{1，3}C．{﹣1，3}D．{1，﹣3}7．已知集合，，，则A，B，C 满足的关系为（）A．A=B⊆C B．A⊆B=C C．A⊆B⊆C D．B⊆C⊆A8．已知集合有两个非空真子集，则实数m的取值范围为（）A．{m|m＞4}B．{m|m＜0或m＞4}C．{m|m≥4}D．{m|m≤0或m≥4}9．已知M，N为集合I的非空真子集，且M≠N，若M∩（∁I N）=∅，则M∪N=（）A．∅B．I C．M D．N10．集合A={2，0，1，7}，B={x|x2﹣2∈A，x﹣2∉A}，则集合B中的所有元素之积为（）A．36B．54C．72D．10811．对于任意两个自然数m，n，定义某种⊗运算如下：当m，n都为奇数或偶数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m⊗n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a⊗b=18，a∈N，b∈N}中的元素个数为（）A．26B．25C．24D．2312．设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈SC．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分．13．关于x的不等式﹣4x2﹣4a2x+2x+a2﹣a4＜0的解集为．14．设全集U={（x，y）|x，y∈R}．集合M{（x．y）|=1}，N={（x，y）|y≠x+1}，则∁U （M∪N）等于．15．设S为实数集R的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集，下列说法：①集合S={a+b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定有无数多个元素；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中的正确的说法是（写出所有正确说法的序号）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知集合，B={x|x2﹣13x+30＜0}，求A∪B，（∁R A）∩B．17．已知集合A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，（1）若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求a，b的值；（2）若∅⊊B⊊A，求实数a，b的值．18．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．19．已知集合，B={x|2m＜x＜1﹣m}．（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．20．已知集合，，求M∪N，（∁R M）∩N．21．已知关于x的方程x2﹣ax+b=0的两根为p，q，方程x2﹣bx+c=0的两根为r，s，如果p，q，r，s互不相等，设集合M={p，q，r，s}，设集合S={x|x=u+v，u∈M，v∈M，u≠v}，P={x|x=uv，u∈M，v∈M，u≠v}．若已知S={5，7，8，9，10，12}，P={6，10，14，15，21，35}，求实数a，b，c的值．2018-2019学年广西南宁三中高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一次函数y=x+3与y=﹣2x+6的图象的交点组成的集合为（）A．B．{x=1，y=4}C．{（1，4）}D．{1，4}【分析】将y=x+3与y=﹣2x+6，组成方程组，求得方程组的解，进而用集合表示即可．【解答】解：将y=x+3与y=﹣2x+6，组成方程组∴x=1，y=4∴一次函数y=x+3与y=﹣2x+6的图象的交点组成的集合为{（1，4）}故选：C．【点评】本题考查的重点是用集合表示方程组的解，解题的关键是解方程组．2．已知A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，则A∪B=（）A．{x|x是等腰三角形}B．{x|x是直角三角形}C．{x|x是等腰直角三角形}D．{x|x是等腰或直角三角形}【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，∴A∪B={x|x是等腰或直角三角形}．故选：D．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．已知集合M={x∈R|x2﹣3x＜0}，N={x∈N|x2≥0}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜3}B．{x∈Z|x＜0或0＜x＜3}C．{x∈Z|0＜x＜3}D．{0，1，2}【分析】化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合M={x∈R|x2﹣3x＜0}={x∈R|0＜x＜3}，N={x∈N|x2≥0}={x∈N|x∈R}=N，则M∩N={x∈N|0＜x＜3}={1，2}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．4．已知集合A={1，2}，满足的集合B的个数为（）A．4B．5C．6D．7【分析】求出A∪B={1，2}，从而B为A所有子集，由此能求出集合B的个数．【解答】解：集合A={1，2}，满足={1，2}，∴B为A所有子集．∴集合B的个数为22=4．故选：A．【点评】本题考查集合的个数的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知全集U={1，2，a2﹣2a+3}，A=（1，a），∁U A={3}，则实数a等于（）A．0或2B．0C．1或2D．2【分析】利用集合的补集关系，列出方程求解即可．【解答】解：全集U={1，2，a2﹣2a+3}，A=（1，a），∁U A={3}，可得a2﹣2a+3=3，并且a=2，解得a=2．故选：D．【点评】本题考查集合的交、并、补的运算，基本知识的考查．6．已知x，y为非零实数，则集合M={m|m=++}为（）A．{0，3}B．{1，3}C．{﹣1，3}D．{1，﹣3}【分析】分类讨论，化简集合M，即可得出结论．【解答】解：x＞0，y＞0，m=3，x＞0，y＜0，m=﹣1，x＜0，y＞0，m=﹣1，x＜0，y＜0，m=﹣1，∴M=（﹣1，3}．故选：C．【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，比较基础．7．已知集合，，，则A，B，C满足的关系为（）A．A=B⊆C B．A⊆B=C C．A⊆B⊆C D．B⊆C⊆A【分析】将三个集合分别化简，分母一样，比较分子的不同，根据所表示范围的大小，判断出集合的关系．【解答】解：集合A={x|x=a+，a∈Z}={x|x=，a∈Z}，集合B={x|x=﹣，b∈Z}={x|x=，b∈Z}，集合C={x|x=+，c∈Z}={x|x=，c∈Z}，∵a∈Z时，6a+1表示被6除余1的数；b∈Z时，3b﹣2表示被3除余1的数；c∈Z时，3c+1表示被3除余1的数；所以A⊆B=C，故选：B．【点评】本题考查集合间的包含关系，考查学生转化问题的能力，属于基础题．8．已知集合有两个非空真子集，则实数m的取值范围为（）A．{m|m＞4}B．{m|m＜0或m＞4}C．{m|m≥4}D．{m|m≤0或m≥4}【分析】n元集合非空真子集的个数为2n﹣2，有题意可得集合A为二元集合，即关于x的方程有两不等实根，及△＞0运算即可【解答】解；由已知集合有两个非空真子集即关于x的方程有两个不等实数根，即m≠0又有意义，则m＞0则△=m2﹣4＞0∴m2﹣4m＞0又m＞0∴m＞4故选：A．【点评】本题考查了集合的子集的概念，同时考查了分类讨论的思想．9．已知M，N为集合I的非空真子集，且M≠N，若M∩（∁I N）=∅，则M∪N=（）A．∅B．I C．M D．N【分析】根据条件可画出Venn图表示出集合I，M，N，由Venn图即可得出M∪N．【解答】解：根据条件，用Venn图表示M，N，I如下：由图看出，M∪N=N．故选：D．【点评】考查真子集的概念，交集、补集和并集的运算，用Venn图解决集合问题的方法．10．集合A={2，0，1，7}，B={x|x2﹣2∈A，x﹣2∉A}，则集合B中的所有元素之积为（）A．36B．54C．72D．108【分析】可令x2﹣2分别等于2，0，1，7，再利用x﹣2∉A进行检验即可．【解答】解：当x2﹣2=2时，x=2或x=﹣2又2﹣2=0∈A，﹣2﹣2=﹣4∉A∴2∉B，﹣2∈B当x2﹣2=0时，x=或x=﹣又﹣2∉A，﹣﹣2∉A∴当x2﹣2=1时，x=或x=﹣∴当x2﹣2=7时，x=3或x=﹣3又3﹣2=1∈A，﹣3﹣2=﹣5∉A∴﹣3∈B，3∉B∴B=又﹣2××××（﹣）×（﹣3）=36．故选：A．【点评】本题考查了元素与集合的关系，采用代入法解方程即可，考查分类讨论的思想．11．对于任意两个自然数m，n，定义某种⊗运算如下：当m，n都为奇数或偶数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m⊗n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a⊗b=18，a∈N，b∈N}中的元素个数为（）A．26B．25C．24D．23【分析】根据定义，x⊗y=18分两类进行考虑：x和y一奇一偶，则x•y=18；x和y同奇偶，则x+y=18．由x、y∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（x，y）的个数即可．【解答】解：x⊗y=18，x、y∈N*，若x和y一奇一偶，则xy=18，满足此条件的有1×18=2×9=3×6，故点（x，y）有6个；若x和y同奇偶，则x+y=18，满足此条件的有1+17=2+16=3+15=4+14=…=17+1，故点（x，y）有17个，∴满足条件的个数为6+17=23个．故选：D．【点评】本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键，属于中档题．12．设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈SC．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S【分析】特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项，即得答案．【解答】解：方法一：特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D均错误；只有B成立，故选B．直接法：根据题意知，只要y＜z＜w，z＜w＜y，w＜y＜z中或x＜y＜w，y＜w＜x，w＜x＜y中恰有一个成立则可判断（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．∵（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，∴x＜y＜z…①，y＜z＜x…②，z＜x＜y…③三个式子中恰有一个成立；z＜w＜x…④，w＜x＜z…⑤，x＜z＜w…⑥三个式子中恰有一个成立．配对后有四种情况成立，第一种：①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第二种：①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第三种：②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第四种：③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．综合上述四种情况，可得（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．故选：B．【点评】本题考查简单的合情推理，特殊值验证法是解决问题的关键，属基础题．二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分．13．关于x的不等式﹣4x2﹣4a2x+2x+a2﹣a4＜0的解集为．【分析】十字相乘法分解因式后，使用口诀：大于取两边，小于取中间．【解答】解：原不等式可化为4x2+（4a2﹣2）x+a2（a2﹣1）＞0，则（2x+a2）（2x+a2﹣1）＞0．∴（x+）（x+）＞0，∴x＜﹣或x＞﹣+，故答案为：{x|x＜﹣或x＞﹣+}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法．属基础题．14．设全集U={（x，y）|x，y∈R}．集合M{（x．y）|=1}，N={（x，y）|y≠x+1}，则∁U （M∪N）等于{（2，3）}．【分析】集合M表示直线y﹣3=x﹣2，即y=x+1，除去（2，3）的点集；集合N表示平面内不属于y=x+1的点集，M∪N={（x，y）|x≠2，y≠3}，由此能求出∁U（M∪N）．【解答】解：∵全集U={（x，y）|x，y∈R}．集合M{（x．y）|=1}，N={（x，y）|y≠x+1}，∴M∩N={（x，y）|}，集合M表示直线y﹣3=x﹣2，即y=x+1，除去（2，3）的点集；集合N表示平面内不属于y=x+1的点集，∴M∪N={（x，y）|x≠2，y≠3}，则∁U（M∪N）={（2，3）}．故答案为：{（2，3）}．【点评】本题考查补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．设S为实数集R的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集，下列说法：①集合S={a+b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定有无数多个元素；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中的正确的说法是①②（写出所有正确说法的序号）．【分析】由题意直接验证①即可判断正误；令x=y可推出②是正确的；找出反例集合S={0}，即可判断③的错误；令S={0}，T={0，1}，推出﹣1不属于T，判断④是错误的【解答】解：①设x=a+b，y=c+d，（a，b，c，d为整数），则x+y∈S，x﹣y∈S，xy=（ac+3bd）+（bc+ad）∈S，S为封闭集，①正确；②当S为封闭集时，因为x﹣y∈S，取x=y，得0∈S，②正确；③对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误；④取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0﹣1=﹣1不属于T，故T不是封闭集，④错误．故答案为：①②．【点评】本题考查对封闭集定义的理解及运用，考查集合的子集，集合的包含关系判断及应用，以及验证和举反例的方法的应用，是一道中档题三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知集合，B={x|x2﹣13x+30＜0}，求A∪B，（∁R A）∩B．【分析】可解出集合A，B，然后进行并集，补集和交集的运算即可．【解答】解：A={x|2≤x＜7}，B={x|（x﹣3）（x﹣10）＜0}={x|3＜x＜10}；∴A∪B={x|2≤x＜10}，C R A={x|x＜2或x≥7}，（C R A）∩B={x|7≤x＜10}．【点评】考查描述法的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，以及交集、并集和补集的运算．17．已知集合A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，（1）若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求a，b的值；（2）若∅⊊B⊊A，求实数a，b的值．【分析】（1）先求出A={3，5}，根据交集、并集的定义即可得出a，b；（2）根据∅⊊B⊊A即可得到B={3}，或{5}，根据韦达定理便可求出a，b．【解答】解：（1）A={3，5}；若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，则：B={2，3}；∴；∴a=5，b=﹣6；（2）若∅⊊B⊊A，则：B={3}，或B={5}；∴，或；∴，或．【点评】并集与交集的定义，描述法与列举法表示集合，以及空集、真子集的概念．18．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．【分析】用待定系数法设出二次函数解析式，再根据题目中条件列式解得．【解答】解：当图象与x轴另一交点在x轴负半轴，即为（﹣1，0）时可设函数解析式为y=ax（x+1）（a＞0），由图象经过点有，得a=1，则函数解析式为y=x2+x；当图象与x轴另一交点在x轴正半轴，即为（1，0）时，可设函数解析式为y=ax（x﹣1）（a＜0），由图象经过点有，得，则函数解析式为．综上，函数解析式为y=x2+x或．【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法．属中档题．19．已知集合，B={x|2m＜x＜1﹣m}．（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．【分析】（1）首先确定集合A，然后根据A⊆B找等价不等式，解之即可；（2）首先确定集合A，然后根据A∩B=∅找等价不等式，解之即可．【解答】解：∵，∴，∴1＜x＜3，∴A=（1，3），（1）∵A⊆B∴，∴m≤﹣2，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]；（2）由A∩B=∅，得：若2m≥1﹣m，即时，B=∅，符合题意；若2m＜1﹣m，即时，需，解得．综上，实数m的取值范围为[0，+∞）．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法以及分类讨论思想，是中档题．20．已知集合，，求M∪N，（∁R M）∩N．【分析】可解出集合M，N，然后进行并集、交集和补集的运算即可．【解答】解：由得，，则，即；由得，，则，即；∴，，．【点评】考查描述法表示集合的定义，分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，以及并集、交集和补集的运算．21．已知关于x的方程x2﹣ax+b=0的两根为p，q，方程x2﹣bx+c=0的两根为r，s，如果p，q，r，s互不相等，设集合M={p，q，r，s}，设集合S={x|x=u+v，u∈M，v∈M，u≠v}，P={x|x=uv，u∈M，v∈M，u≠v}．若已知S={5，7，8，9，10，12}，P={6，10，14，15，21，35}，求实数a，b，c的值．【分析】由列举法表示集合S，P，再由二次方程的韦达定理和元素之和的特点，解方程即可得到所求值．【解答】解：依题意有S={p+q，p+r，p+s，q+r，q+s，r+s}，P={pq，pr，ps，qr，qs，rs}，由b=pq=r+s知b∈S，b∈P，则b=10．易知a=p+q，由（p+q）+（p+r）+（p+s）+（q+r）+（q+s）+（r+s）=3（p+q+r+s）=3（a+b），有3（a+10）=5+7+8+9+10+12=51，则a=7．易知c=rs，由pq+pr+ps+qr+qs+rs=pq+（r+s）（p+q）+rs=b+ab+c，有10+7×10+c=6+10+14+15+21+35=101，则c=21．综上可得a=7，b=10，c=21．【点评】本题考查二次方程的韦达定理和集合的表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。
2019-2020学年广西南宁市第三中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年广西南宁市第三中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{0A x x =<或}2x >，{}1B x x =>，则()R A B =U ð（ ） A ．[)0,+∞ B ．[)1,+∞C ．[)2,+∞D ．()1,+∞【答案】A【解析】利用补集的定义可得出集合A R ð，再利用并集的定义可求出集合()R A B ðU . 【详解】{0A x x =<Q 或}2x >，[]0,2R A ∴=ð，因此，()[)0,R A B =+∞U ð.故选：A. 【点睛】本题考查补集和并集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.2．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ） A ．7 B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】求得圆心角的弧度数，用lr α=求得扇形半径.【详解】依题意150o 为5π6，所以5656l r ππα===．故选B. 【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制转化，考查扇形的弧长公式的运用，属于基础题.3．若()20x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，，，则()()2f f -=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】根据函数解析式，由内到外逐步代入，即可求出函数值. 【详解】因为()20x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，，，所以(2)(2)2-=--=f ，所以()()22(2)24-===f f f .故选：B 【点睛】本题主要考查由分段函数求函数值的问题，根据函数解析式，直接代入计算即可，属于常考题型.4．已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】由cos cos θθ=以及绝对值的定义可得cos 0θ≥,再结合已知得sin 0,cos 0θθ<>,根据三角函数的符号法则可得.【详解】由cos cos θθ=，可知cos 0θ≥，结合sin cos 0θθ<，得sin 0,cos 0θθ<>， 所以角θ是第四象限角， 故选:D 【点睛】本题考查了三角函数的符号法则,属于基础题.5．幂函数()f x 的图象过点()4,2，那么()2log 64f 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．4【答案】A【解析】设()af x x =，将点()4,2的坐标代入函数()y f x =的解析式，求出a 的值，然后利用对数的运算性质可求出()2log 64f 的值. 【详解】设()a f x x =，则()442af ==，解得12a =，()12f x x∴=. 因此，()12222log 64log 64log 83f ===.故选：A. 【点睛】本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式，同时也考查了对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 6．角α的终边经过点(3,4)，则sin cos sin cos αααα+=-A ．35B ．45 C ．7D ．17【答案】C【解析】若角终边经过点坐标为(),x y ，则sin yxααα===，即可求解． 【详解】由角α的终边经过点(3,4)，可得4sin 5α=，3cos 5α=，则43sin cos 55743sin cos 55αααα++==--．故选C ． 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，sin yxααα===,是基础题．7．函数()25x f x =-的零点所在区间为[1]()m m m N +∈，，则m 为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】利用零点存在性定理，求得m 的值. 【详解】依题意()()()()21,33,230f f f f =-=⋅<，由于函数为增函数，根据零点存在性定理可知，函数唯一零点所在区间为[]2,3，故2m =. 故选B. 【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，考查函数值的求法，属于基础题. 8．函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．()2,+∞C ．(),0-∞D ．()1,+∞【答案】C【解析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间.【详解】解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞U .内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数， 外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞.故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.9．已知函数13(01)x y a a a ，-=+>≠过定点P ，如果点P 是函数2()f x x bx c =++的顶点，那么,b c 的值分别为（ ） A ．2，5 B ．-2,5 C ．-2，-5 D ．2，-5【答案】B【解析】根据函数图像平移法则确定点P ，再将P 点代入2()f x x bx c =++，结合对称轴表达式进行求解即可 【详解】x y a Q =（0a >且1a ≠）恒过()0,1点，所以13x y a -=+（0a >且1a ≠）恒过()1,4点，又()1,4Q 为2()f x x bx c =++的顶点，满足1412b c b ++=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得25b c =-⎧⎨=⎩ 故答案选：B 【点睛】本题考查函数图像的平移法则，二次函数解析式的求法，平移法则遵循“左加右减，上加下减”10．已知函数()()()f x x a x b =--（其中)a b >的图象如图所示，则函数()xg x a b=+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先由函数()f x 的图象判断a ，b 的范围，再根据指数函数的图象和性质即可得到答案． 【详解】解：由函数的图象可知，10b -<<，1a >，则()xg x a b =+为增函数， (0)10g b =+>，()g x 过定点(0,1)b +，故选：C ． 【点睛】本题考查了指数函数和二次函数的图象和性质，属于基础题．11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式()10f x -<的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立等价于()()()()12120x x f x f x --<恒成立，由单调性的定义可知函数()f x 在R 上单调递减． 因为数()f x 在R 上为奇函数，所以()00f =，()10f x ∴-<即()()10f x f -<．10x ∴->，解得1x <．故C 正确．【考点】1函数的奇偶性；2单调性的定义．【思路点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性和单调性的定义，难度中等．应已知条件()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+变形，由单调性的定义判断函数()f x 在R 上的单调性．在利用单调性解不等式()10f x -<时应将0转化为函数值．关键在于奇函数的图像关于原点对称，所以0在定义域内时必有()00f =．12．已知函数()22log 042708433x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，若a b c d ,,,互不相同，且满足，()()()()f a f b f c f d ===则abcd 的取值范围是（ ）A ．()3233，B ．()3234，C ．()3235，D ．()3236，【答案】C【解析】本题要先画出分段函数()f x 的图象，再根据根据分段函数第一个表达式可得出1ab =，根据分段函数第二个表达式可得出12c d +=，这时可将abcd 用c 表示出来，通过求出关于c 的二次函数在相应区间上的值域即可得到abcd 的取值范围． 【详解】由题意，可画出函数()f x 图象如下：由题意，,,,a b c d Q 互不相同，∴可不妨设a b c d ＜＜＜．∵()()f a f b =，由图象，可知22log a log b -=．即：220log a log b +=． ∴20log ab =， ∴1ab =．又∵()()()()f a f b f c f d ===，∴依据图象，它们的函数值只能在0到2之间， ∴4578c d ＜＜，＜＜．根据二次函数的对称性，可知：2612c d +=⨯=． ∴()()2·121245abcd cd c c c c c ，＜＜==-=-+则可以将abcd 看成一个关于c 的二次函数． 由二次函数的知识，可知：212c c -+在45c ＜＜上的值域为()3235，． abcd ∴的取值范围即为()3235，，故选C ． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象，相等函数值的自变量取值，意在考查数形结合思想的应用，本题是一道较难的中档题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题13．sin 405=o _______.【答案】2【解析】利用诱导公式结合特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】由诱导公式可得()sin 405sin 36045sin 45=+==o o o o故答案为：2.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题. 14．函数y=232x x --的定义域是 . 【答案】[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1-【考点】函数定义域15．已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=，若方程有两根，其中一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，则m 的取值范围是__________．【答案】．【解析】试题分析：设f （x ）=x 2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f （x ）=x 2+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间（﹣1，0）和（1，2）内，由根与系数的关系得出不等式，解不等式组求得m 的范围．解：设f （x ）=x 2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f （x ）=x 2+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间（﹣1，0）和（1，2）内，则，解得﹣＜m ＜﹣，故m 的范围是，故答案为．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．16．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 【答案】3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值． 【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-． 故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.三、解答题17．（1）已知4sin 5α=，且α为第二象限的角，求cos α、tan α的值； （2）证明：221tan 12sin cos 1tan cos sin x x xx x x--=+-. 【答案】（1）3cos 5α=-，4tan 3α=-；（2）见解析.【解析】（1）利用同角三角函数的平方关系可求出cos α的值，再利用商数关系可求出tan α的值；（2）从等式右边出发，利用完全平方公式和平方差公式以及弦化切的思想，可证明出等式右边等于等式左边. 【详解】（1）αQ 为第二象限的角，3cos 5α∴==-，sin tan s 43co ααα==-； （2）证明：右边()()()22222cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x xx x x x x x --+==--+cos sin cos sin 1tan cos cos cos sin cos sin 1tan cos cos x xx x x x x x x x x x x x---====+++左边.【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的应用以及正、余弦分式齐次式的化简，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 18．解不等式：（1）221122x x ++⎛⎫> ⎪⎝⎭；（2）()2lg 31x x -<.【答案】（1）{}1x x >-；（2）{20x x -<<或}35x <<.【解析】（1）先将所求不等式转化为21222x x +-->，然后由指数函数2xy =的单调性可解此不等式；（2）利用对数函数lg y x =的单调性得出2230310x x x x ⎧->⎨-<⎩，解此不等式组即可.【详解】（1）原不等式可以化为21222x x +-->，由于指数函数2xy =为增函数，212x x ∴+>--，解得1x >-， 因此，原不等式的解集为{}1x x >-； （2）原不等式可以化为()2lg 3lg10x x -<，由于对数函数lg y x =是定义域为()0,∞+上的增函数，∴原不等式等价于2230032031025x x x x x x x x ⎧⎧->⎪⇒⇒-<<⎨⎨-<-<<⎪⎩⎩或或35x <<，因此，原不等式的解集为{20x x -<<或}35x <<. 【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的求解，涉及指数函数和对数函数单调性的应用，同时也要注意相应函数定义域的限制，考查运算求解能力，属于基础题.19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+．()1现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数()f x 的图象，并根据图象写出函数()f x 的增区间；()2写出函数()f x 的解析式和值域．【答案】（1）递增区间是()1,0-，()1,+∞，图像见解析（2）()222,0{|1}2,0x x x f x y y x x x ⎧+≤=≥-⎨->⎩， 【解析】() 1由函数为偶函数,图象关于y 轴对称,故直接补出完整函数()f x 的图象即可,再由图象直接可写出()f x 的增区间;()2直接利用偶函数的性质求解析式,值域可从图形直接观察得到.【详解】解：()1因为函数为偶函数,故图象关于y 轴对称,补出完整函数图象如图所示:由图可得函数()f x 的递增区间是()1,0-,()1,+∞.()2设0x >,则0x -<,所以()22f x x x -=-,因为()f x 是定义在R 上的偶函数,所以()()f x f x -=,所以0x >时,()22f x x x =-,故()f x 的解析式为()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 由图像可得值域为{|1}y y ≥-. 【点睛】本题考查分段函数求解析式、作图,同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质;求此类题型函数解析式时可由图象利用待定系数法求解析式,也可利用函数单调性求解解析式,属于基础题.20．已知函数()()()22log f x x mxm R =-∈.（Ⅰ）若1m =，求()2f 的值；（Ⅱ）若0m <，函数()f x 在[]2,3x ∈上的最小值为3，求实数m 的值. 【答案】(1) ()()222log 42log 21f =-==. (2)2m =-.【解析】分析：（Ⅰ）根据已知条件，将m=1,=2x 代入函数解析式即可求解. （Ⅱ）根据复合函数单调性在公共定义域上同增异减，判断出函数的单调性，确定最小值对应的x ，即可求得m 的值.详解：解：（1）当1m =时，()()222log 42log 21f =-== （2）因为0m <，函数()f x 在[]2,3x ∈上是增函数， 所以()()()2min 2log 423f x f m ==-=， 故428m -=，则2m =-点睛：本题考查函数值的计算和含参问题在闭区间上的最值问题，复合函数单调性的判断是解题关键.21．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：()()2041f x x x =-≥，()()()220413g x x x =-≥，()()230log 21h x x x =-≥，其中x 表示月数，()f x 、()g x 、()h x 分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60． 【答案】（1）选择()h x 作为模拟函数，理由见解析；（2）整治后16个月的污染度不超过60．【解析】（1）分别计算出三个函数在前4个月的函数值，列出表格进行分析，看哪组函数值比较接近于实际的污染度，由此可找出函数()h x 作为拟合函数； （2）令()60h x ≤，求出x 的取值，从而可得出污染度不超过60的月数. 【详解】（1）计算各函数对应各月份污染度得下表：从上表可知，函数()h x 模拟比较合理，故选择()h x 作为模拟函数； （2）令()60f x ≤，得2log 22x -≤，得20log 4x ≤≤，解得116x ≤≤， 所以，整治后16个月的污染度不超过60． 【点睛】本题考查函数拟合思想的应用，以及利用函数模型解决实际问题，在选择函数模型时，一般将函数值与实际值作比较，选择误差最小的函数来进行拟合，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22．已知()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈.（1）若1a =时，函数()f x 经过点()0,8-，且()()11f x f x -+=--，求()f x 的表达式；（2）在（1）的条件下，关于x 的方程()0f x m -=有且只有四个不同的实根，求实数m 的取值范围；（3）若2b =-，0c =，当[]0,1x ∈时，求()f x 的最小值.【答案】（1）()228f x x x =+-；（2）()0,9；（3）()min2,11,1a a f x a a-≤⎧⎪=⎨->⎪⎩. 【解析】（1）由题意得出()08f =-，可求出c 的值，再由()()11f x f x -+=--，可知二次函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，可求出b 的值，进而可求得函数()y f x =的表达式；（2）由()0f x m -=得出()m f x =，将问题转化为当直线y m =与函数()y f x =的图象有四个交点时，求实数m 的取值范围，利用数形结合思想即可求解；（3）分0a =、0a <、0a >三种情况讨论，分析函数()y f x =在区间[]0,1上的单调性，即可得出该函数在区间[]0,1上的最小值. 【详解】（1）当1a =时，()2f x x bx c =++，Q 函数()y f x =经过点()0,8-，即()08f c ==-，又()()11f x f x -+=--Q ，∴函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，12b∴-=-，得2b =， 因此，()228f x x x =+-；（2）关于x 的方程()0f x m -=有且只有四个不同的实根，即函数()y f x =与函数y m =的图象有四个交点，()()222819f x x x x =+-=+-Q ，如下图所示：由图象可知，当09m <<时，直线y m =与函数()y f x =的图象有四个交点， 因此，实数m 的取值范围是()0,9；（3）2b =-Q ，0c =，()22f x ax x ∴=-.（i ）当0a =时，()2f x x =-在区间[]0,1上单调递减，()()min 12f x f ∴==-； （ii ）当0a >时，函数()y f x =图象的对称轴为直线10x a=>，图象开口向上， ①当101a <<时，即当1a >时，函数()y f x =在区间10,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,1a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，()min 11f x f a a ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭； ②当11a≥时，即当01a <≤时，函数()y f x =在区间[]0,1上单调递减，则()()min 12f x f a ==-；（iii ）当0a <时，函数()y f x =图象的对称轴为直线10x a=<，开口向下， 函数()y f x =在区间[]0,1上单调递减，()()min 12f x f a ∴==-.综上所述，()min2,11,1a a f x a a-≤⎧⎪=⎨->⎪⎩. 【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，由函数零点个数求参数的取值范围以及二次函数在区间上最值的求解，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于中等题.。
广西南宁三中五象校区2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
20.已知 M x x2 3x 10 0 ， N x a 1 x 2a 1
（Ⅰ）若 M N M ，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）若 M N M ，求实数 a 的取值范围.
21.已知函数 f x 满足：对定义域内任意 x1 x2 ，都有 x1 x2 f x1 f x2 0 成立. （Ⅰ）若 f x 的定义域为0, ，且有 f a2 1 f 2a 2 成立，求 a 的取值范围；
② g x f x 2a 2 x x2 2ax 15 ， x 0, 2 对称轴 x a ，
当a
0 时，
g
x
max
g 0
15
当 0 a 2 时， g x g a a2 15 max
当a
2 时，
g
x
max
g 2
4a
11
15,a 0
综上所述，函数
g
x
在
x
0,
2
的最大值为
g
D.减函数且最小值是 3
8.已知全集U A B x N 0 x 10 ， A CU B 1,3,5, 7 ，则集合 B （ ）
A.2, 4,6,8 B.0, 2, 4, 6,8
C.2, 4, 6,8,9,10 D.2, 4, 6,8,9
9.若函数
f
x
x2
2ax 3, x
1
是减函数，则
2a 1 a 1
（Ⅱ）由 M N M 知 N M
①当 N 时，即 a 1 2a 1，有 a 2 ；
2 a 1 ②当 N ，则 5 2a 1 ，解得 2 a 3 ，
2a 1 a 1
综合①②得 a 的取值范围为 a 3
21.解：由题可知 f x 在定义域内单调递减
2024~2025学年南宁三中高一数学上学期月考试卷(一)及答案解析
南宁三中2024~2025学年度上学期高一月考（一）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}22M x x =-<<，集合{1,0,1,2}N =-，则M N =I （ ）A. {1,0,1}-B. {0,1,2}C. {}12x x -<£ D. {}12x x -££【答案】A 【解析】【分析】利用交集的定义直接求解即可.【详解】因为{}22M x x =-<<，{1,0,1,2}N =-，所以{1,0,1}M N Ç=-，故A 正确.故选：A2. 如果,,,R a b c d Î，则正确的是（ ）A. 若a >b ，则11a b< B. 若a >b ，则22ac bc >C. 若a >b ，c >d ，则a +c >b +d D. 若a >b ，c >d ，则ac >bd【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A:取2,1a b ==-则11a b>，故A 错，对于B:若0c =，则22=ac bc ，故B 错误，对于C:由同号可加性可知：a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，故C 正确，对于D:若2,1,2,3a b c d ===-=-，则4,3ac bd =-=-，ac bd <，故D 错误.故选：C3. 设命题甲为“03x <<”，命题乙为“12x -<“，那么甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先解绝对值不等式得到命题乙，再根据充分条件、必要条件判断即可；【详解】解：因为12x -<，所以212x -<-<，解得13x -<<，命题乙为“12x -<”，即命题乙：13x -<<因为命题甲为“03x <<”\甲Þ乙，乙推不出甲，故甲是乙的充分不必要条件．故选：A ．4. 已知实数x ，y 满足1423x ,y -<<<<，则z x y =-的取值范围是（ ）A. {}3|1z z -<< B. {}4|2z z -<< C. {}3|2z z -<< D. {}3|4z z -<<-【答案】B 【解析】【分析】根据不等式性质即可得到答案.【详解】由题意得32y -<-<-，则42x y -<-<，所以{}|42z z -<<.故选：B5. 若不等式20x ax b ++>的解集是{3x x <-或x >2}，则a ，b 的值为（ ）A. 1a =，6b = B. 1a =-，6b =C. 1a =，6b =- D. 1a =-，6b =-【答案】C 【解析】【分析】3,2-是方程20x ax b ++=的两个根，由韦达定理得到答案.【详解】由题意得3,2-是方程20x ax b ++=的两个根，故32,32a b -+=--´=，解得1,6a b ==-.故选：C.6. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数ay x=与正比例函数()y b c x =+在同一坐标系中的大致图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由二次函数图象可知a >0，c <0，再根据对称轴和x =1时的值，可得b +c <0，从而可判断.【详解】由二次函数图象可知a >0，c <0，由对称轴bx 02a=->，可知b <0，当x =1时，a +b +c <0，即b +c <0，所以正比例函数()y b c x =+经过二四象限，且经过原点，反比例函数ay x=图象经过一三象限，故选：B.7. 在R 上定义运算：a ⊕b ＝(a ＋1)b .已知1≤x ≤2时，存在x 使不等式(m －x )⊕(m ＋x )<4成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. {m |－2<m <2}B. {m |－1<m <2}C. {m |－3<m <2}D. {m |1<m <2}【答案】C 【解析】【分析】根据定义求出(m －x )⊕(m ＋x )＝m 2－x 2＋m ＋x ，将不等式分离参数后，转化为最大值使不等式成立，根据二次函数求出最大值后，解一元二次不等式即可得解.【详解】依题意得(m －x )⊕(m ＋x )＝(m －x ＋1)(m ＋x )＝m 2－x 2＋m ＋x ，因为1≤x ≤2时，存在x 使不等式(m －x )⊕(m ＋x )<4成立，所以存在1≤x ≤2，使不等式m 2＋m <x 2－x ＋4成立，即当1≤x ≤2时，m 2＋m <(x 2－x ＋4)max .因为1≤x ≤2，所以当x ＝2时，x 2－x ＋4取最大值6，所以m 2＋m <6，解得－3<m <2.故选：C ．【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了不等式能成立问题，考查了二次函数求最值，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.8. 若“2340x x -->”是“223100x ax a -->”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是A. 635éù-êúëû， B. 425éù-êúëû，C. (][)635-¥-+¥U ，， D. ][425æö-¥-+¥ç÷èøU ，【答案】D 【解析】【分析】将2340x x -->的解集记为A ，223100x ax a -->的解集记为B ,由题意可知B 是A 的真子集，由子集的定义求解即可.【详解】将2340x x -->的解集记为A ，223100x ax a -->的解集记为B .由题意2340x x -->是223100x ax a -->的必要不充分条件可知B 是A 的真子集.2340x x -->，解得{|4A x x =>或1}x <-,223100x ax a -->,则()()520x a x a -+>,（1）当0a ³时，{|2B x x a =<-或5}x a >,则5421a a ³ìí-£-î（等号不能同时成立），解得45a ³.（2）当0a <时，{|5B x x a =<或2}x a >- ,则2451a a -³ìí£-î（等号不能同时成立），解得2a £-.由（1）（2）可得45a ³或2a £-.故选：D .【点睛】将两个不等式之间的必要不充分性转化为其解集之间的包含关系是本题解题的关键，解题过程中注意分类讨论思想的运用.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的有（ ）A. x A Î是x A B ÎÈ的必要不充分条件B. “1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件C. 若2:N,2n p n n $Î>，则2:N,2np n n Ø"ΣD. x ，y 为无理数是x y +为无理数的既不充分也不必要条件【答案】BCD 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断ABD ，根据全称量词命题的否定为特称量词命题的否定判断C.【详解】对于A ，若x A Î，则x A B ÎÈ，但由x A B ÎÈ不能推出x A Î，所以x A Î是x A B ÎÈ的充分不必要条件，故A 错误；对于B ，1,1a b >>时，1ab >一定成立，所以1,1a b >>是1ab >成立的充分条件，故B 正确；对于C ，命题2:N,2n p n n $Î>，则2:N,2n p n n Ø"Σ，故C 正确；对于D ，当x y ==0x y +=，当2,x y ==x y +为无理数，所以,x y 为无理数是x y +为无理数的既不充分也不必要条件，故D 正确.故选：BCD.10. 已知a ，b 均为正实数，且1a b +=，则（ ）A. ab 的最大值为14B.2b a b+的最小值为C. 222a b +的最小值为23D. 2221a b a b +++的最小值为14【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，利用基本不等式即可解得；对于B ，212121b a a b a b a b-+=+=+-结合1a b +=代换即可用基本不等式解决；对于C ，消元变为给定范围内二次函数最值问题；对于D ，()()222222112121a b a b a b a b +-+-+=+++++结合214a b +++=代换即可用基本不等式解决.【详解】对于A ，因为a ，b 均为正实数，且1a b +=，所以()2144a b ab +£=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，212121b a a b a b a b-+=+=+-()122131b a a b a b a b æöæö=++-=++-ç÷ç÷èøèø312-³+=+，当且仅当2b a a b=即1,2a b ==B 错误；对于C ，()22222212212321333a b b b b b b æö+=-+=-+=-+ç÷èø，当12,33b a ==时，222a b +的最小值为23，故C 正确；对于D ，()()222222112121a b a b a b a b +-+-+=+++++()()41241221a b a b =+-+++-+++41321a b a b =+++-++()141212421a b a b æö=++++-ç÷++èø()411252421b a a b +éù+=++-êú++ë115244é³+-=êêë，当且仅当()24112a b b a =++++即21,33a b ==时，等号成立，故D 正确.故选：ACD.11. 已知关于x 的不等式组23344a x xb £-+£，下列说法正确的是（ ）A. 当1a b <<时，不等式组的解集是ÆB. 当1a =，4b =时，不等式组的解集是{}04x x ££C. 如果不等式组的解集是{}x a x b ££，则4b a -=D. 如果不等式组的解集是{}x a x b ££，则43a =【答案】BC 【解析】【分析】因为二次函数23344y x x =-+最小值为1，由一元二次不等的求法可判断A 错误；当1a =，4b =时，可解出不等式组的解集，判断B 错误；当不等式组23344a x xb £-+£的解集是{}x a x b ££时，2min3344a x x æö£-+ç÷èø，即1a £，再由因此,x a x b ==时，二次函数23344y x x =-+的值都等于b ，可解出b 的值，从而求出a 的值，可判断C 正确，D 错误.【详解】因为二次函数23344y x x =-+最小值为1，又1a b <<，由一元二次不等的求法可知不等式组23344a x xb £-+£解集不是Æ，故A 错误；当1a =时，不等式23344a x x £-+即为2440x x -+³，解集为R ，当4b =时，不等式23344x x b -+£即为240x x -£，解集为||04|x x ££，所以不等式组的解集是{}04x x ££，故B 正确；当不等式组23344a x xb £-+£的解集是{}x a x b ££时，2min3344a x x æö£-+ç÷èø，即1a £，因此,x a x b ==时，二次函数23344y x x =-+的值都等于b ，所以23344b b b -+=，解得43b =或4b =，当43b =时，由2343443a a b -+==，解得43a =或83a =，不满足1a £，不符合题意；当4b =时，由233444a ab -+==，解得0a =或4a =，因为0a =满足1a £，所以0a =，此时404b a -=-=，所以C 正确，D 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 命题“21,10x x "³-<”否定是_______.【答案】2001,10x x $³-³【解析】【分析】由命题否定的定义即可求解.【详解】由命题否定的定义，可知命题“21,10x x "³-<”的否定是“2001,10x x $³-³”.故答案为：2001,10x x $³-³.13. 函数()()52(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为___________.【答案】9【解析】【分析】由题意得10x +>，原函数表达式可化为关于1x +的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案.【详解】因为1x >-，则10x +>，所以22710(1)5(1)411x x x x y x x ++++++==++的4(1)5591x x =+++³=+，当且仅当411x x +=+即1x =时等号成立，∴已知函数的最小值为9.故答案为：9.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题.14. 设0b >2+=b ，则ab的最小值为_____________．【答案】4-##4-+【解析】【分析】根据基本不等式即可求解.2+=b ，所以22(2)143a b b b =--=-+，所以3444a b b b =+-³-=-，当且仅当6a b =-=故答案为：4-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. （1）已知0,0x y >>，且236x y +=，求xy 的最大值；（2）已知0,0x y >>，191x y+=，求x y +的最小值．【答案】32；16.【解析】【分析】（1）根据已知条件，直接利用基本不等式，即可求得结果；（2）根据已知条件，利用基本不等式中“1”的妙用，即可求得结果.【详解】（1）因为0,0x y >>，则236x y +=³，则32xy £，当且仅当23x y =，且236x y +=，即3,12x y ==时取得等号.故xy 的最大值为32.（2）因为0,0x y >>，191x y+=，故()199101016x y x y x y x y y x æö+=++=++³+=ç÷èø，当且仅当9x y y x =，且191x y+=，即4,12x y ==时取得等号.故x y +的最小值为16.16. 设集合{}23P x x =-<<，{}31Q x a x a =<£+.（1）若Q ¹Æ且Q P Í，求a 的取值范围；（2）若P Q =ÆI ，求a 的取值范围.【答案】（1）21,32éö-÷êëø （2）(]1,3,2éö-¥-+¥÷êëøU 【解析】【分析】（1）根据Q ¹Æ且Q P Í，列不等式组求a 的取值范围；（2）分Q =Æ和Q ¹Æ两种情形进行讨论，根据P Q =ÆI ，列不等式组求a 的取值范围.【小问1详解】因为Q P Í，且Q ¹Æ，所以321331a a a a ³-ìï+<íï<+î，解得，2132a -£<，综上所述，a 的取值范围为21,32éö-÷êëø.【小问2详解】由题意，需分为Q =Æ和Q ¹Æ两种情形进行讨论：当Q =Æ时，31a a ³+，解得，12a ³，满足题意；当Q ¹Æ时，因为P Q =ÆI ，所以1231a a a +£-ìí<+î，解得3a £-，或3331a a a ³ìí<+î无解；综上所述，a 的取值范围为(]1,3,2¥¥éö--È+÷êëø.17. 解关于x 的不等式()()2440R ax a x a -++³Î．【答案】答案见解析【解析】【分析】对于一元二次不等式2(4)40ax a x -++³，当0a =时，不等式变为一次不等式；当0a ¹时，可根据二次函数2(4)4y ax a x =-++的图像性质求解.先将二次函数因式分解，再分情况讨论a 的取值范围来求解不等式.【详解】（1）当0a =时,此时不等式化为440x -+³，移项可得44x -³-，两边同时除以4-，根据不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，得到1x £.（2）当0a ¹时,将2(4)4ax a x -++因式分解，得到(4)(1)0ax x --³.（i ）当0<a 时,二次函数(4)(1)y ax x =--开口向下，方程(4)(1)0ax x --=的两个根为1x =和4x a =，且41<a .不等式的解为41x a££.（ii ）当>0a 时,二次函数(4)(1)y ax x =--开口向上，方程(4)(1)0ax x --=的两个根为1x =和4x a =.当41a=，即4a =时，不等式化为(44)(1)0x x --³，即2(1)0x -³，此时R x Î.当41a >，即0<4a <时，不等式的解为1x £或4x a³.当41a <，即4a >时，不等式的解为4x a £或1x ³.综上所得,当0a =时，不等式的解为{|1}x x £；当0a <时，不等式的解为4{|1}x x a££；当04a <<时，不等式的解为{|1x x £或4}x a ³；当4a =时，R x Î；当>4a 时，不等式的解为4{|x x a£或1}x ³.18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x 元，朱古力蜂果蛋糕单位为y 元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b 个，花费记为1S ;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a 个，花费记为2S ．（其中4,4y x b a >>>>）（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；（2）若a ，b ，x ，y同时满足关系4224y x b a a =-=+-，求这两种购买方案花费的差值S 最小值（注：差值S =花费较大值-花费较小值）．【答案】（1）采用方案二；理由见解析（2）24【解析】【分析】（1）列出两种方案总费用的表达式，作差比较，即可求解；（2）根据题意，得到214(()4S S x a a -=-×+-，利用换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：方案一的总费用为1S ax by =+（元）；方案二的总费用为2S bx ay =+（元），由21()()()()()S S bx ay ax by a y x b x y y x a b -=+-+=-+-=--，因为4,4y x b a >>>>，可得0,0y x a b ->-<，所以()()0y x a b --<，即210S S -<，所以21S S <，所以采用方案二，花费更少【小问2详解】解：由（1）可知()()(1244S S y x b a x a a æö-=--=-×+ç÷-èø，令t =，则24x t =+，所以2224(1)33x t t t -=-+=-+³，当1t =时，即5x =时，等号成立，又因为4a >，可得40a ->，所以44(4)44844a a a a +=-++³+=--，的.当且仅当444a a -=-时，即6,14ab ==时，等号成立，所以差S 的最小值为2483=´，当且仅当5,8,6,14x y a b ====时，等号成立，所以两种方案花费的差值S 最小为24元.19. 对于一个函数给出如下定义：对于函数y ，若当a x b ££，函数值y 满足m y n ££，且满足()n m k b a -=-，则称此函数为“k 属和合函数”.例如：正比例函数2y x =-，当13x ££时，62y -££-，则2(6)(31)k ---=-，求得：2k =，所以函数2y x =-为“2属和合函数”.已知二次函数22362y x ax a a =-+++，（1）若把抛物线23y x =-先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，可得到该二次函数的图像，求a 的值；（2）当11x -££时，该二次函数是“k 属和合函数”，求k 的取值范围.【答案】（1）1；（2）32éö+¥÷êëø，.【解析】【分析】(1)根据图像平行对解析式的影响，写出新的解析式，与二次函数解析式对比即可求得a 的值；(2)根据二次函数对称轴的位置求出二次函数的值域，根据题意求出k 与a 的关系即可求k 的范围.【小问1详解】把抛物线23y x =-先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，得到函数23(1)6y x =--+，即2363y x x =-++26623a a a =ì\í+=î，1a \=；【小问2详解】二次函数22362y x ax a a =-+++的对称轴为直线x a =，其图像开口向下，当1x =-时，243y a a =--；当1x =时，283y a a =+-；当x a =时，242y a a =+.∵当11x -££时，该二次函数是“k 属和合函数”，①当1a £-时，,当1x =-时，有2max 43y a a --=；当1x =时，有2min 83y a a +-=；22((43)83)2a a a a k ---+-=\6,6k a k \=-\³；②当10a -<£时，当x a =时，2max 42y a a =+；当1x =时，2min 83y a a +-=；222)83)(42(a a a a k +-+-=\263(1)322a k k \\=£-<，；③当01a <£时，当x a =时，2max 42y a a =+；当1x =-时，有2min 43y a a --=；222)43)(42(a a a a k +---=\23(1)2k a \=+，∴362k <£；④当1a >时，当1x =时，2max 83y a a +-=；当1x =-时，有2min 43y a a --=；22((83)43)2a a a a k +----=\6,6a k k =\>\；综上，k 的取值范围为32éö+¥÷êëø，.。
广西南宁市第三中学2024-2025学年高一上学期月考(一)数学试卷
广西南宁市第三中学2024-2025学年高一上学期月考（一）数学试卷一、单选题1．已知集合{}22M x x =-<<，集合{1,0,1,2}N =-，则M N =I （ ） A ．{1,0,1}- B ．{0,1,2} C ．{}12x x -<≤D ．{}12x x -≤≤2．如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（ ） A ．若a >b ，则11a b< B ．若a >b ，则22ac bc > C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd3．设命题甲为“03x <<”，命题乙为“12x -<“，那么甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知实数x ，y 满足1423x ,y -<<<<，则z x y =-的取值范围是（ ） A ．{}3|1z z -<< B ．{}4|2z z -<<C ．{}3|2z z -<<D ．{}3|4z z -<<-5．若不等式20x ax b ++>的解集是{3x x <-或x >2 ，则a ，b 的值为（ ） A ．1a =，6b = B ．1a =-，6b = C ．1a =，6b =-D ．1a =-，6b =-6．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数ay x=与正比例函数()y b c x =+在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在R 上定义运算：a ⊕b ＝(a ＋1)b .已知1≤x ≤2时，存在x 使不等式(m －x )⊕(m ＋x )<4成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．{m |－2<m <2} B ．{m |－1<m <2} C ．{m |－3<m <2}D ．{m |1<m <2}8．若“2340x x -->”是“223100x ax a -->”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 A ．635⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．425⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．(][)635-∞-+∞U ，， D ．][425⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，，二、多选题9．下列说法正确的有（ ）A ．x A ∈是x AB ∈⋃的必要不充分条件 B ．“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件C ．若2:N,2n p n n ∃∈>，则2:N,2n p n n ⌝∀∈≤D ．x ，y 为无理数是x y +为无理数的既不充分也不必要条件 10．已知a ，b 均为正实数，且1a b +=，则（ ）A ．ab 的最大值为14B ．2b a b+的最小值为C ．222a b +的最小值为23D ．2221a b a b +++的最小值为1411．已知关于x 的不等式组23344a x xb ≤-+≤，下列说法正确的是（ ） A ．当1a b <<时，不等式组的解集是∅B ．当1a =，4b =时，不等式组的解集是{}04x x ≤≤C ．如果不等式组的解集是{}x a x b ≤≤，则4b a -=D ．如果不等式组的解集是{}x a x b ≤≤，则43a =三、填空题12．命题“21,10x x ∀≥-<”的否定是. 13．函数()()52(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为.14．设0b >2=b ，则ab的最小值为．四、解答题15．（1）已知0,0x y >>，且236x y +=，求xy 的最大值； （2）已知0,0x y >>，191x y+=，求x y +的最小值．16．设集合{}23P x x =-<<，{}31Q x a x a =<≤+. (1)若Q ≠∅且Q P ⊆，求a 的取值范围； (2)若P Q =∅I ，求a 的取值范围.17．解关于x 的不等式()()2440R ax a x a -++≥∈．18．某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x 元，朱古力蜂果蛋糕单位为y 元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b 个，花费记为1S ; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a 个，花费记为2S ． （其中4,4y x b a >>>>）(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；(2)若a ，b ，x ，y 同时满足关系4224y x b a a =-=+-，求这两种购买方案花费的差值S 最小值（注：差值S =花费较大值-花费较小值）．19．对于一个函数给出如下定义：对于函数y ，若当a x b ≤≤，函数值y 满足m y n ≤≤，且满足()n m k b a -=-，则称此函数为“k 属和合函数”.例如：正比例函数2y x =-，当13x ≤≤时，62y -≤≤-，则2(6)(31)k ---=-，求得：2k =，所以函数2y x =-为“2属和合函数”.已知二次函数22362y x ax a a =-+++，(1)若把抛物线23y x =-先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，可得到该二次函数的图像，求a 的值；(2)当11x -≤≤时，该二次函数是“k 属和合函数”，求k 的取值范围.。
2020-2021学年广西南宁市第三中学高一上学期月考(一)数学试卷及答案
一、选择题1.已知集合{}1A x x =>，{}1B x x =≥，则（ ）A. A ⊆BB. B ⊆AC. A∩B=φD. A ∪B=R2.设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =（）A. {1,1}-B. {0,1}C. {1,0,1}-D. {2,3,4}3.已知集合{}2230A x N x x =∈+-≤，则集合A 的真子集个数为（ ） A. 31B. 32C. 3D. 44.设集合{}2A x N x =∈≤，{}21B y y x==-，则A∩B=（）A. {}21x x -≤≤B. {}0,1C. {}1,2D. {}01x x ≤≤5.已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ）A.递增区间是(0,)+∞B.递减区间是(,1)-∞-C.递增区间是(,1)-∞-D.递增区间是(1,1)-6.设()f x 的定义域为R ，图像关于y 轴对称，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，则(2),()f f π--(3)f 的大小顺序是（ ）A. ()(2)(3)f f f π-<-<B. (2)(3)()f f f π-<<-C. ()(3)(2)f f f π-<<-D. (3)(2)()f f f π<-<-7.已知函数()f x =m 的取值范围是（ ）A. 04m <≤B. 01m ≤≤C. 4m ≥D. 04m ≤≤8.函数2()(32)5f x kx k x =+--，在[1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是（）A. (0,)+∞B. 2(,]5-∞C. 2[,)3+∞D. 2[,)5+∞9. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： (1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠． 某人单独购买A ，B 商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A ，B 两件商品，则应付款是( ) A. 413.7元B. 513.7元C. 546.6元D. 548.7元10.设21211()(())121,1x x f x f f x x ⎧--≤⎪==⎨>⎪+⎩则 ( )A.12B.413C. 95-D.254111.若函数()()g x xf x =的定义域为R ，图像关于原点对称，在(,0)-∞上是减函数，且(2)0,g =则使得()0f x <的x 的取值范围是（ ）A. （﹣∞，2）B. （2，+∞）C. （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D. （﹣2，2）12.设函数2()1,f x mx mx =--若对于[1,3]x ∈，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A. （﹣∞，0]B. 57[0,）C. 5(,0)(0,)7-∞⋃D. 5(,)7-∞二、填空题13.函数()1f x x =-的定义域为________ 14.已知2(1),f x x -=则 2()f x =_________15.若函数2(21)1,0()(2),0b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，那么b 的取值范围是_____．16.已知函数2()41f x x x =-+，若()f x 在区间[a ，2a+1]上的最大值为1，则a 的取值范围为_________．三、解答题17.已知集合A={x|4≤x ＜8}，B={x|5＜x ＜10}，C={x|x ＞a} （1）求A ∪B ；（∁R A ）∩B ； （2）若A∩C≠φ，求a 的取值范围．18.已知函数22(2),0()4,0(2),0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩（1）写出()f x 的单调区间； （2）若()16f x =，求相应x 的值．19.已知函数()f x =的定义域为集合A ，集合{|21}.B x m x m =≤≤- （1）当1m =-时，求A B ⋃；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围；（3）若,A B φ⋂=求实数m 的取值范围.20.设函数()f x 的定义域为（﹣3，3），满足()()f x f x -=-，且对任意,x y ，都有()()(),f x f y f x y -=-当0x <时，()0f x >，(1)2f =-．（1）求(2)f 的值；（2）判断()f x 的单调性，并证明；（3）若函数()(1)(32),g x f x f x =-+-求不等式()0g x ≤的解集．21.已知函数2()21.f x x ax a =-++-(1)1[1,6]()a x f x =∈-当时，在上求的最值；2[0,1]()0x f x a ∈>（）若时恒成立，求实数的取值范围。
广西南宁市第三中学2023-2024学年高一上学期月考(一)数学试题
前 n n N* 年的支出成本为 10n2 2n 万元，每年的销售收入 98 万元．
(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利； (2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以 20 万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以 30 万元的价格处理．
广西南宁市第三中学 2023-2024 学年高一上学期月考（一） 数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A x x 0 ， B 1, 0,1, 2,3 ，则 A B （ ）
A． 0,1
两个正实数根
x 1
，
x 2
，则
1 x1
1 x2
的最小值是
.
四、解答题 17．集合 A {x | 1 x 3} ， B {x | x 3 或 x 1} ， D {x | m x m 6}.
(1)求 ðR B 及 A B ；
(2)若 B D R ，求实数 m 的取值范围.
18．（1）当 a 0 时，比较 a 12 与 a 12 的大小；
a
0 的解集为 x
1 3
x
1
2
三、填空题
13．一元二次不等式 2x2 3x 2 0 的解集是
．
14．已知 a 2 ， b 4 3 ，判断 a，b 大小关系 a
b .（填“>、=、<”）
15．已知函数
f
x
x
f
5, x 6
x 2, x
6
，则
f(2)=
.
16．已知函数 f x 2x2 bx c （ b ， c 为实数）， f 10 f 12 .若方程 f x 0 有
2024-2025学年广西南宁市南宁二中高一(上)第一次月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年广西南宁二中高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={1,2,4}，B={1,3,4}，C={1,4,6}，则(A∩B)∪C=( )A. {1,2,3}B. {1,2,6}C. {1,3,6}D. {1,4,6}2.已知命题p：“∀x≥0，x2−x+1≥0”，则它的否定为( )A. ∀x<0，x2−x+1<0B. ∃x<0，x2−x+1<0C. ∀x≥0，x2−x+1<0D. ∃x≥0，x2−x+1<03.如图，三个圆的内部区域分别代表集合A，B，C，全集为I，则图中阴影部分的区域表示( )A. A∩B∩CB. A∩C∩(∁I B)C. A∩B∩(∁I C)D. B∩C∩(∁I A)4.设x∈R，则“1x<1”是“x2>1”成立的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.设集合A={x∈Z|62+x∈N}，则集合A的真子集个数为( )A. 7个B. 8个C. 16个D. 15个6.不等式2x2−5x−3<0的一个必要不充分条件是( )A. −3<x<12B. −1<x<6 C. −12<x<0 D. −12<x<37.已知实数m，n，p满足m2+n+4=4m+p，且m+n2+1=0，则下列说法正确的是( )A. n≥p>mB. p≥n>mC. n>p>mD. p>n>m8.已知正数x，y满足x2+2xy−1=0，则3x2+4y2的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )A. 若a >b >0，则ac 2>bc 2B. 若a <b <0，则a 2>ab >b 2C. 若a >b 且1a >1b ，则ab <0D. 若a >b >c >0，则a b <a +cb +c 10.已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|x <−2或x >3}，则下列说法正确的是( )A. a >0B. 关于x 的不等式bx +c >0的解集是{x|x <−6}C. a +b +c >0D. 关于x 的不等式cx 2−bx +a <0的解集为{x|x <−13或x >12}11.已知正数a ，b 满足4a +b +ab =12，则下列结论正确的是( )A. ab 的最大值为4B. 4a +b 的最小值为8C. a +b 的最小值为3D. 1a +1+1b 的最小值34三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
广西高一高中数学月考试卷带答案解析
广西高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合,且,那么m的最大值是（）A．1B．2C．3D．42.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与3.已知幂函数的图象过点则 =（）A．B．1C．D．24.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是（）A．B．β且⊥,则C．D．,则∥6.设,,，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c7.若函数的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．8.若，则的值为（ ） A ．6B ．3C ．D ．9.函数在上为减函数，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．10.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．11.函数是上的增函数，是其图像上两点，则的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．12.如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ） A ．48 B ．18 C ．24 D ．36二、填空题1.已知则．2.若定义域为的函数是偶函数，则的递减区间是 ． 3.已知函数且．当时，函数的零点，则 ．三、解答题1.若函数，的定义域都是集合，函数和的值域分别为和．（Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若，且，求实数m 的值．2.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：面； （Ⅱ）求点到面的距离．3.已知函数有最小值．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）设为定义在上的奇函数，且时，，求的解析式．4.如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）连结，求二面角的正弦值．5.已知二次函数满足，且．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值集合．6.已知函数是偶函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设,若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．广西高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知集合,且,那么m的最大值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】有意义，则，所以，，因为，所以，即，所以的最大值是，故选A．【考点】1、对数函数性质；2、集合的子集；3、集合的补集运算．2.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】D【解析】因为，与不同，所以A选项不正确，与不同，所以B选项不正确，与不同，所以C选项不正确，与相同，故选D．【考点】函数的概念．3.已知幂函数的图象过点则 =（）A．B．1C．D．2【答案】C【解析】因为是幂函数，所以，又因为过，代入解析式得：，所以，从而，故选C．【考点】幂函数的概念．4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图知，该组合体由底面圆半径为，高为的半圆柱与长宽高分别为，，长方体构成，所以体积为，选A．【考点】三视图．5.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是（）A．B．β且⊥,则C．D．,则∥【答案】B【解析】注意特例的情况，A中直线，可能是异面直线，所以不正确，C中，∥也满足条件，所以不正确，D中只有两条直线与相交时才成立，所以只有B正确，故选B．【考点】1、平行的判定与性质定理；2、垂直的判定与性质定理．6.设,,，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【答案】D【解析】，，，又因为，，，所以，故选D．【考点】1、对数的运算；2、换底公式．7.若函数的定义域为，则的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为函数的定义域为，所以要有意义，则，解得，故选B ．【考点】复合函数的定义域． 8.若，则的值为（ ） A ．6B ．3C ．D ．【答案】A 【解析】因为，所以，从而，又，故选A ．【考点】1、对数的运算法则；2、指数的运算法则．9.函数在上为减函数，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为，所以是减函数，又在上为减函数，所以是增函数，故，又真数大于零，所以，所以，故选B ． 【考点】1、一次函数的增减性；2、对数函数的增减性；3、复合函数的增减性．10.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意知底面积为，体积，所以，设是棱柱高，则是底面的中心，从而，又为直线和平面所成的角，所以，，故选B ．【考点】直线与平面所成的角．11.函数是上的增函数，是其图像上两点，则的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为是上的增函数，是其图象上两点，所以的解为，所以的解是，即，故选C ．【考点】1、函数的增减性；2、绝对值不等式；3、函数中替换的思想．【思路点晴】本题主要考查的是函数增减性的灵活运用、解绝对值不等式及函数中整体替换的思想，属于中档题．是其图象上两点，再根据函数是增函数，从而知当时，，这是本题的一个突破点，从而由整体替换思想知当时，，即解得：，这种替换思想在高中数学学习中非常重要．12.如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A．48B．18C．24D．36【答案】D【解析】取一条棱，它与两个面垂直，因为共12条棱，所以共有24个正交线面对，再取一个表面上的一条对角线，显然与一个对角面垂直，每个面上两条对角线，共两对正交线面对，共6个面，所以共12对正交线面对，综合上述分析，共有36对正交线面对，故选D．【考点】1、线面垂直的判定；2、正方体性质；3、分类讨论方法．【思路点晴】本题主要考查的是正方体中的垂直位置关系及分类讨论的思想，属于中档题．本题借助正方体图形，比较容易看出每条棱都有一对平行的对面与之垂直，所以这样的正交线面对共对，注意还可以发现每个面的对角线，有且只有一个正方体的对角面与之垂直，从而共有对正交线面对，这种情况容易遗漏，导致结果错误，因此解题时一定注意考虑问题要全面．二、填空题1.已知则．【答案】【解析】由分段函数解析式知：，所以答案应填：．【考点】分段函数的函数值．2.若定义域为的函数是偶函数，则的递减区间是．【答案】【解析】因为是偶函数，所以定义域关于原点对称，即，即，此时，由是偶函数，所以此时，即，因此，所以在上是减函数，所以答案应填：．【考点】1、偶函数的性质；2、函数图象的变换；3、函数的增减性．【方法点晴】本题主要考查的是偶函数的性质、函数的增减性及二次函数图象的变换，属于中档题．本由题关键是利用函数的偶函数性质，分析函数定义域关于原点对称，从而分析出函数解析式，在解此类题目时，特别注意函数定义域的问题，否则很容易出错，然后由图象得，再根据图象写出递减区间．3.已知函数且．当时，函数的零点，则．【答案】【解析】设函数，根据，函数，当时，，函数，所以两函数图象必有交点，在同一坐标系中画出两个函数的图象，判断两个函数的图象的交点在之间，∴函数的零点时，，所以答案应填：．【考点】1、函数零点；2、数形结合；3、对数函数图象．【方法点晴】本题主要考查的是函数的零点、对数函数的图象及数形结合方法求零点，属于中档题．求函数零点时，可以直接解方程，当不能解方程时，可考虑函数零点的存在性定理，即时，必在上有零点，也可以转化为用数形结合的方法去研究函数图象交点的个数或位置问题．三、解答题1.若函数，的定义域都是集合，函数和的值域分别为和．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，且，求实数m的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）当，函数的值域为，的值域为，由集合的求交集运算知；（Ⅱ）时，函数的值域为，的值域为，因为，所以，解得：．试题解析：（Ⅰ）因为，由二次函数性质知，在上递增，所以，因为是增函数，所以，从而．（Ⅱ）时，函数的值域为,的值域为，因为，所以，解得或(舍去)．【考点】1、函数的值域；2、函数的增减性；3、集合的交集运算．2.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）求点到面的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）取中点，连结，，∵，分别为，的中点，可证四边形是平行四边形，从而，故面；（Ⅱ）利用三棱锥体积的等积法，设点到面的距离为，，从而求出．试题解析：（1）如图所示，取中点，连结，，∵，分别为，的中点，∴可证得，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴面．（2）∵，∴【考点】1、线线平行判定；2、线面平行判定；3、三棱锥的体积．3.已知函数有最小值．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）设为定义在上的奇函数，且时，，求的解析式．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）含有绝对值的函数去掉绝对值可转化为分段函数，要使函数有最小值，则必为增函数，为减函数，从而；（Ⅱ）因为为定义在上的奇函数，所以时，，当时，，所以．综上可得的解析式．试题解析：（1），要使函数有最小值，需，即时，有最小值；（2）∵是上的奇函数，∴，设，则，∴，即．【考点】1、分段函数的最值；2、奇函数的性质；3、函数解析式．4.如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）连结，求二面角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）连结交于点，则，由三垂线定理知，，在平面内，连结交于点，由条件可证，，从而与互余，所以，从而易证平面；（Ⅱ））连结，连结，因为，所以，又因为，所以．故是二面角的平面角．在中求，，而，即可求出的正弦值．试题解析：依题设，，．（Ⅰ）连结交于点，则．由三垂线定理知，．3分在平面内，连结交于点，由于，故，，与互余．于是．与平面内两条相交直线都垂直，所以平面．6分（Ⅱ）连结，连结，因为，，所以，又因为所以故是二面角的平面角．8分，，又，．．所以 12分【考点】1、线线垂直的判定；2、线面垂直的判定；3、二面角的大小．5.已知二次函数满足，且．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值集合．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）已知函数是二次函数，用待定系数法，，再根据，求解得：，；（Ⅱ）采用分离参数法，由于，所以要分类讨论，当时，恒成立，即恒成立，有对勾函数的单调性知在单调递减，从而求其最大值，只须即，其他情况同理可得．试题解析：（1）设，∵，又故(2)因为x∈[-1，1]时，不等式f（x）≥2mx恒成立，①当时，恒成立，即恒成立，令，因为在单调递减，所以当时取得最大值，所以即．当时，恒成立，．③当时，恒成立，令，在上递减，所以当，取得最小值，，即，综上所述：实数的取值范围是．【考点】1、二次函数待定系数法求解析式；2、分离参数法；3、函数的最大值；4、分类讨论思想．【思路点睛】本题主要考查的是二次函数待定系数法求解析式，含参数不等式恒成立问题、分类讨论思想及研究函数最大值问题，属于难题．本题利用先利用待定系数法求解析式，含参不等式恒成立问题优先考虑分离参数法，本题在分离参数时需要分类讨论，然后注意利用函数的增减性质求最大值或最小值，从而得出的取值范围，注意对号函数性质的掌握．6.已知函数是偶函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设,若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）因为是偶函数，根据偶函数定义，即：, 对一切恒成立，从而只须即可；（Ⅱ）由题意，转化为方程有且只有一解，化简：有且只有一解，换元，令,则方程有且只有一正解，分析，不合题意，所以此方程为二次方程，分方程有两等根且为正，有两不等根且一正一负分类讨论，即可得出．试题解析：（Ⅰ）由于函数是上的偶函数，；,即：, 对一切恒成立；（Ⅱ）和的图象有且只有一个公共点，只需方程有且只有一个实根,化简方程:,即：方程有且只有一个实根，令,则方程有且只有一个正根,①,不合题意;②若或；若，则,不合题意；若 ,符合题意③若方程一个正根与一个负根,即综上所述：实数的取值范围是．【考点】1、偶函数的性质；2、对数指数的运算；3、含参方程式；4、分类讨论5、换元法．【思路点睛】本题主要考查的是偶函数的性质、函数图象相交问题及含参方程根的讨论，以及换元法分类讨论，属于难题题．本题利用偶函数的定义得恒等式，再根据恒等式确定的取值，研究函数图象有交点问题可以转化为方程根的个数问题，利用指对数的运算，化简为含参二次方程有且只有一正根问题，采用分类讨论的方法，利用二次方程方程知识处理，特别注意先研究二次项前系数是否为的问题，否则容易遗漏解的情况．。
2018-2019学年广西南宁市第三中学高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
2018-2019学年广西南宁市第三中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．一次函数与的图象的交点组成的集合为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】联立两条直线的方程，解方程组求得交点的坐标，进而得出选项.【详解】依题意，联立两条直线方程得，解得，故交点为，交点构成的集合为，故选.【点睛】本小题考查两条直线的交点坐标的求法，考查集合元素的表示方法.在联立两条直线方程求坐标的过程中，主要的方法有加减消元法和代入消元法.两种消元法都可以达到解出目的，两种消元法都是解方程组的重要思想方法.集合的研究对象是点集的话，要写成坐标的形式.2．已知，，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由并集的定义即可得解.【详解】因为，，所以．故选：D．【点睛】本题主要考查了并集的定义，属于基础题.3．已知集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】化简集合，根据交集的定义写出．【详解】集合，，则．故选：C．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．4．已知集合，满足的集合的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】求出，从而为所有子集，由此能求出集合的个数．【详解】集合，满足，∴为所有子集．∴集合的个数为．故选：A．【点睛】本题考查集合的个数的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知全集，，∁UA={3}，则实数a等于（）A．0或2 B．0 C．1或2 D．2【答案】D【解析】根据集合的补集含有元素，故全集里面含有元素，由此可求得的值，再用互异性确定的值.【详解】依题意得，解得或，当时，全集中不含有，不合题意，故舍去，故，所以选.【点睛】本小题主要考查集合的概念，考查集合三要素：确定性、互异性与无序性.得到的值后，要注意验证确定性和互异性来验证.6．已知，为非零实数，则集合=为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分类讨论，化简集合M，即可得出结论．【详解】x＞0，y＞0，m=3，x＞0，y＜0，m=﹣1，x＜0，y＞0，m=﹣1，x＜0，y＜0，m=﹣1，∴M={－1,3}．故选：C．【点睛】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，比较基础．7．已知集合，，，则满足的关系为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将三个集合分别化简，分母一样，比较分子的不同，根据所表示范围的大小，判断出集合的关系．【详解】集合，集合，集合，∵时，表示被6除余1的数；时，表示被3除余1的数；时，表示被3除余1的数；所以，故选：B．【点睛】本题考查集合间的包含关系，考查学生转化问题的能力，属于基础题．8．已知集合有两个非空真子集，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】元集合非空真子集的个数为，由题意可得集合为二元集合，即关于的方程有两不等实根，及运算即可.【详解】由已知集合有两个非空真子集即关于的方程有两个不等实数根，即又有意义，则,则,∴又,∴,故选：A．【点睛】本题考查了集合的子集的概念，同时考查了分类讨论的思想．9．已知为集合的非空真子集，且，若M∩（∁IN）=，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据条件可画出Venn图表示出集合，由Venn图即可得出．【详解】根据条件，用Venn图表示如下：由图看出，．故选：D．【点睛】考查真子集的概念，交集、补集和并集的运算，用Venn图解决集合问题的方法．10．集合，，则集合中的所有元素之积为（）A．36 B．54 C．72 D．108【答案】A【解析】可令分别等于2，0，1，7，再利用进行检验即可．【详解】当时，或又，,∴，当时，或又，,∴，当时，或,∴，当时，或又，,∴，∴又．故选：A．【点睛】本题考查了元素与集合的关系，采用代入法解方程即可，考查分类讨论的思想．11．对于任意两个自然数，定义某种运算如下：当都为奇数或偶数时，；当中一个为偶数，另一个为奇数时，．则在此定义下，集合中的元素个数为（ ）A ．26B ．25C ．24D ．23 【答案】D【解析】根据定义，分两类进行考虑：和一奇一偶，则；和同奇偶，则．由列出满足条件的所有可能情况，再考虑点的个数即可．【详解】，，若和一奇一偶，则，满足此条件的有，故点有6个；若和同奇偶，则，满足此条件的有，故点有17个，∴满足条件的个数为6+17=23个． 故选：D ． 【点睛】本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键，属于中档题． 12．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = .令集合(){,,|,,,,,}S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A ．(),,y z w S ∈, (),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈, (),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉, (),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉, (),,x y w S ∈ 【答案】B【解析】特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===, 1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈， (),,z w x S ∈，所以x y z <<…①， y z x <<…②， z x y <<…③三个式子中恰有一个成立； z w x <<…④， w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈， (),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈， (),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈， (),,x y w S ∈.【考点定位】新定义的集合问题二、填空题13．关于的不等式的解集为_____．【答案】【解析】十字相乘法分解因式后，使用口诀：大于取两边，小于取中间． 【详解】 原不等式可化为，则．∴，∴或，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法．属基础题．14．设全集=．集合，，则∁U等于_____． 【答案】【解析】集合表示直线，即，除去的点集；集合表示平面内不属于的点集，，由此能求出∁U．【详解】∵全集．集合，，∴，集合表示直线，即，除去的点集；集合表示平面内不属于的点集，∴，则∁U．故答案为：．【点睛】本题考查补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力．15．设为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称为封闭集，下列说法：①集合为封闭集；②若为封闭集，则一定有；③封闭集一定有无数多个元素；④若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集．其中的正确的说法是_____（写出所有正确说法的序号）．【答案】①②【解析】①正确，任取x，y∈S，设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2(a1，b1，a2，b2∈Z)，则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)，其中a1＋a2∈Z，b1＋b2∈Z.即x＋y∈S.同理x－y∈S，xy∈S.②正确，当x＝y时，x－y=0∈S.③错误，当S＝{0}时，是封闭集，但不是无限集．④错误，设S＝{0}⊆T＝{0,1}，显然T不是封闭集．因此正确命题为①②.三、解答题16．已知集合，，求，（∁RA）∩B．【答案】，【解析】可解出集合，然后进行并集，补集和交集的运算即可．【详解】，；∴，，．【点睛】考查描述法的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，以及交集、并集和补集的运算．17．已知集合，，（1）若，，求的值；（2）若∅⊊B⊊A，求实数的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）先求出，根据交集、并集的定义即可得出；（2）根据∅⊊B⊊A即可得到，或，根据韦达定理便可求出．【详解】（1）；若，，则：；∴；∴，；（2）若∅⊊B⊊A，则：，或；∴，或；∴，或．【点睛】并集与交集的定义，描述法与列举法表示集合，以及空集、真子集的概念．18．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．【答案】或．【解析】用待定系数法设出二次函数解析式，再根据题目中条件列式解得．【详解】当图象与轴另一交点在轴负半轴，即为时可设函数解析式为，由图象经过点有，得，则函数解析式为；当图象与轴另一交点在轴正半轴，即为时，可设函数解析式为，由图象经过点有，得，则函数解析式为．综上，函数解析式为或．【点睛】本题考查了函数解析式的求解及常用方法．属中档题．19．已知集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先确定集合，然后根据找等价不等式，解之即可；（2）首先确定集合，然后根据找等价不等式，注意讨论时，解之即可．【详解】∵，∴，∴，∴，（1）∵∴，∴，∴实数的取值范围为；（2）由，得：若，即时，，符合题意；若，即时，需，解得．综上，实数的取值范围为．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法以及分类讨论思想，是中档题20．已知集合，，求，（∁RM）∩N．【答案】【解析】可解出集合，，然后进行并集、交集和补集的运算即可．【详解】由得，，则，即；由得，，则或，即；∴，，．【点睛】考查描述法表示集合的定义，分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，以及并集、交集和补集的运算．第 11 页共 13 页21．已知关于的方程的两根为，方程的两根为，如果互不相等，设集合，作集合；；若已知，求实数的值.【答案】【解析】根据描述法的定义，分别化简集合，先根据，可得，再由，所以，进而可得结果.【详解】，因此且，所以，即；又，因此即，，所以；又，因此即，，所以.【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．第 12 页共 13 页第 13 页共 13 页。
2020-2021学年广西南宁市第三中学高一上学期月考(一)数学试题(解析版)
2020-2021学年广西南宁市第三中学高一上学期月考（一）数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x x =>，{}1B x x =≥，则（ ） A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A∩B=φD ．A ∪B=R【答案】A【解析】根据数轴判断两集合之间包含关系. 【详解】因为{}1A x x =>，{}1B x x =≥，所以A ⊆B ，选A. 【点睛】本题考查集合之间包含关系，考查基本判断分析能力.2．设集合{}1,2,3,4A =，{}1,0,2,3B =-，{}12C x R x =∈-≤<，则()AB C =（ ） A ．{}1,1- B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,3,4【答案】C 【解析】先求出A B ，然后再与C 求交集.【详解】由{}1,2,3,4A =，{}1,0,2,3B =-，则{}1,0,1,2,3,4A B =-又{}12C x R x =∈-≤<，所以(){}1,0,1A B C =-故选：C 【点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于基础题.3．已知集合A={x ∈N|x 2+2x ﹣3≤0}，则集合A 的真子集个数为 （ ） A ．3 B ．4C ．31D ．32【答案】A【解析】求出集合}1{0A =，，由此能求出集合A 的真子集的个数． 【详解】由题集合{}2{|230}{|31}01A x N x x x N x =∈+-≤=∈-≤≤=， ，∴集合A 的真子集个数为2213-= ． 故选A ． 【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．设集合{}2A x N x =∈≤，{}21B y y x ==-，则A ∩B =（ ）A ．{}21x x -≤≤ B ．{}0,1 C ．{}1,2D ．{}01x x ≤≤【答案】B【解析】根据绝对值不等式的解法，常用数集的符号意义，一元二次函数的性质即可求出集合,A B ，再根据集合的交集运算即可求解． 【详解】因为{}{}20,1,2A x N x =∈≤=，{}(]21,1B y y x ==-=-∞，所以{}0,1A B =．故选：B ． 【点睛】本题主要考查集合交集的运算，涉及绝对值不等式的解法，二次函数的性质应用，属于基础题．5．已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A ．递增区间是(0,)+∞ B ．递减区间是(,1)-∞- C ．递增区间是(,1)-∞- D ．递增区间是(1,1)-【答案】D【解析】根据绝对值的意义，将函数()f x 写成分段函数形式，作出图象即可判断． 【详解】因为函数222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨+<⎩，作出函数()f x 的图象，如图所示：由图可知，递增区间是(1,1)-，递减区间是(,1)-∞-和()1,+∞． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查分段函数性质的应用，属于基础题．6．设()f x 的定义域为R ，图象关于y 轴对称，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，则(2)f -，()f π-，(3)f 的大小顺序是（ ）A ．()(2)(3)f f f π-<-<B ．(2)(3)()f f f π-<<-C ．()(3)(2)f f f π-<<-D ．(3)(2)()f f f π<-<-【答案】B【解析】由图象的对称得函数是偶函数，这样可把自变量的值都化为正数，然后利用已知增函数的定义得出函数值的大小． 【详解】∵()f x 的定义域为R ，图象关于y 轴对称，∴()f x 是偶函数，∴(2)(2),()()f f f f ππ-=-=，又()f x 在[0,)+∞上为增函数，且23π<<，∴(2)(3)()f f f π<<， ∴(2)(3)()f f f π-<<-． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，利用偶函数的定义把自变量化到同一单调区间上，然后由单调性得出大小关系． 7．已知函数()21mx x f x m =++m 的取值范围是（ ）A ．04m <≤B ．01m ≤≤C ．4m ≥D ．04m ≤≤【答案】D【解析】试题分析：因为函数()f x =0m =时，函数1f x 对定义域上的一切实数恒成立；当0m >时，则240m m ∆=-≤，解得04m <≤，综上所述，可知实数m 的取值范围是04m ≤≤，故选D.【考点】函数的定义域.8．函数2()(32)5f x kx k x =+--，在[1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．2,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】根据二次项系数是否为零分类讨论，按照一次函数和二次函数的性质即可求出． 【详解】当0k =时，2()(32)525f x kx k x x =+--=--，函数()f x 在[1,)+∞单调递减，不符合题意；当0k ≠时，要函数()f x 在[1,)+∞单调递增，只需03212k k k>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得25k ≥．故选：D ． 【点睛】本题主要考查一次函数和一元二次函数的性质应用，属于基础题． 9．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： (1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人单独购买A ，B 商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A ，B 两件商品，则应付款是 A ．413.7元 B ．513.7元C ．546.6元D ．548.7元【答案】C【解析】依题意可得，因为168200<，所以购买A 商品没有优惠，则A 商品的价格为168元．当购买价值500元的物品时实际付款为5000.9450423⨯=>，所以购买B商品享受了9折优惠，则B 商品的原价为4234700.9=元．若一次性购买两件商品则付款总额为168+470=638元，则应付款(638500)0.75000.9546.6-⨯+⨯=元，故选C10．设()2|1|2,||11,||11x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，则12f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．12B ．413C ．95-D ．2541【答案】B【解析】先计算1()2f ，再计算1[()]2f f ． 【详解】由题意113()12222f =--=-，2314()32131()2f -==+-．故选：B. 【点睛】本题考查分段函数，求值时要注意自变量的范围不同，选取的表达式可能就不相同． 11．若函数()()g x xf x =的定义域为R ，图象关于原点对称，在(,0)-∞上是减函数，且，()00f =，(2)0=g ，则使得()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣2，2） 【答案】C【解析】根据函数的图象关于原点对称，可得知函数()g x 在()0,∞+上是减函数，即可利用其单调性在(,0)-∞和()0,∞+上解不等式即可． 【详解】函数()()g x xf x =的定义域为R ，图象关于原点对称，在(,0)-∞上是减函数，且()20g =，所以函数()g x 在()0,∞+上是减函数．当0x =时，()00f =，显然0x =不是()0f x <的解．当()0,x ∈+∞时，()0f x <，即()()0g x xf x =<，而()20g =，所以()()20g x g <=，解得2x >；当(),0x ∈-∞时，()0f x <，即()()0g x xf x =>，而()()220g g -==，所以()()2g x g >-，解得2x <-．综上，()0f x <的x 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）． 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用函数的性质解不等式，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题．12．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0 B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <57【答案】D【解析】将()4f x m <-+恒成立转化为g (x ) = mx 2－mx ＋m －5 < 0恒成立，分类讨论m 并利用一元二次不等式的解法，求m 的范围 【详解】若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立 即可知：mx 2－mx ＋m －5 < 0在x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}上恒成立 令g (x )＝mx 2－mx ＋m －5，对称轴为12x = 当m ＝0时，－5 < 0恒成立当m < 0时，有g (x )开口向下且在[1,3]上单调递减∴在[1,3]上max ()(1)50g x g m ==-<，得m < 5，故有m < 0 当m >0时，有g (x ) 开口向上且在[1,3]上单调递增 ∴在[1,3]上max ()(3)750g x g m ==-<，得507m << 综上，实数m 的取值范围为57m < 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，将不等式恒成立等价转化为一元二次不等式在某一区间内恒成立问题，结合一元二次不等式解法，应用分类讨论的思想求参数范围二、填空题 13．函数()f x =的定义域为________【答案】[0,1)(1,2]⋃【解析】根据偶次根式下被开方数大于等于零，分母不为零即可列式求解． 【详解】由题意可得，22010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得01x ≤<或12x <≤．故答案为：[0,1)(1,2]⋃ 【点睛】本题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题． 14．已知2(1),f x x -=则 2()f x =_________【答案】22(1)x +【解析】根据换元法可求出函数()f x 的解析式，再利用代入法即可求解． 【详解】令1t x =-，则1x t =+，所以()()21f t t =+，即()()21f x x =+，因此222()(1)f x x =+．故答案为：22(1)x +． 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于基础题．15．若函数2(21)1,0()(2),0b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，那么b 的取值范围是_____．【答案】[1,2]【解析】由已知1212()()0f x f x x x ->-得出单调增，然后由2210,02b b -->≥及10b -≥可得结论． 【详解】因为对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，所以()f x 为单调递增函数，因此21020210b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥⎪⎩，12b ∴≤≤． 故答案为：[1,2]．. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，分段函数在定义域内单调，需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函数值满足相应的大小关系．16．已知函数2()41f x x x =-+，若()f x 在区间[a ，2a+1]上的最大值为1，则a 的取值范围为_________． 【答案】13[,0]22⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭【解析】先作函数图象，结合图象分类确定最大值为1所满足的条件，解得结果. 【详解】因为211a a a <+∴>-，作函数()f x 图象：由图象得10013{0421021422a a a a a a -<≤>⎧∴-≤≤=⎨≥+≥+=⎩或或 【点睛】在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.三、解答题17．已知集合A ={x|4≤x ＜8}，B={x|5＜x ＜10}，C={x|x ＞a} （1）求A ∪B ；（∁R A ）∩B ； （2）若A∩C≠φ，求a 的取值范围． 【答案】（1）{x|8≤x ＜10}（2）a ＜8【解析】(1)根据数轴集合并集、交集以及补集定义求解，（2）集合数轴，确定A∩C≠φ满足的条件，解得a 的取值范围． 【详解】解：（1）A ∪B={x|4≤x ＜10}， ∵（C R A ）={x|x ＜4或x≥8}， ∴（C R A ）∩B={x|8≤x ＜10} （2）要使得A∩C≠φ，则a ＜8 【点睛】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．18．已知函数22(2),0(){4,0(2),0x x f x x x x +<==->（1）写出()f x 的单调区间； （2）若()16f x =，求相应x 的值．【答案】（1）单调增区间为[﹣2，0），（2，+∞），单调减区间为（﹣∞，﹣2），（0，2]．（2）6或﹣6．【解析】（1）结合二次函数性质分段讨论函数单调区间，（2）根据分段函数分类求满足方程的解. 【详解】解：（1）由题意知，当x ＜0时，f （x ）=（x+2）2，当x ＞0时，f （x ）=（x ﹣2）2； ∴函数的单调增区间为[﹣2，0），（2，+∞）， 单调减区间为（﹣∞，﹣2），（0，2]． （2）∵f （x ）=16，讨论下面两种情况： ∴当x ＜0时，（x+2）2=16，∴x=2（舍）或﹣6；当x ＞0时，（x ﹣2）2=16，∴x=6或﹣2（舍）．∴x 的值为6或﹣6．【点睛】求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.19．已知函数()f x =A ，集合{}21B x m x m =≤≤-.（1）当1m =-时，求AB ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围； （3）若AB =∅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[]2,3AB =-；（2）(],2-∞-；（3）[)0,+∞.【解析】（1）求出函数()y f x =的定义域，即集合A ，将1m =-代入集合B 可得出集合B ，再利用集合的并集的定义得出集合AB ；（2）由已知条件A B ⊆列不等式组可求出实数m 的取值范围；（3）分()21m m B >-=∅和()21m m B ≤-≠∅两种情况，结合条件A B =∅列不等式可求出实数m 的取值范围. 【详解】（1）对于函数()y f x =，有3010x x -≥⎧⎨->⎩，解得13x <≤，(]1,3A ∴=. 当1m =-时，[]2,2B =-，因此，[]2,3AB =-；（2）A B ⊆，则有2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-，因此，实数m 的取值范围是(],2-∞-；（3）当21m m >-时，即当13m >时，B =∅，此时，A B =∅，合乎题意； 当21m m ≤-时，即当13m ≤时， 由于AB =∅，则11m -≤或23m >，解得0m ≥或32m >，此时103m ≤≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[)0,+∞. 【点睛】本题考查集合的计算，以及利用集合的包含关系与交集运算求参数的取值范围，解题时要充分利用数轴，结合已知条件列不等式（组）进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.20．设函数()f x 的定义域为（﹣3，3），满足()()f x f x -=-，且对任意,x y ，都有()()(),f x f y f x y -=-当0x <时，()0f x >，(1)2f =-．（1）求(2)f 的值；（2）判断()f x 的单调性，并证明；（3）若函数()(1)(32),g x f x f x =-+-求不等式()0g x ≤的解集．【答案】（1）-4（2）单调递减（3）（0，2]．【解析】试题分析：（1）通过赋值法，令x ＝2，y ＝1代入即得；（2）利用单调性定义证明即可；（3）由奇函数条件得到f (x －1)≤f (2x －3)，结合单调性和定义即可解得.试题解析：(1)在f (x )－f (y )＝f (x －y )中，令x ＝2，y ＝1，代入得：f (2)－f (1)＝f (1)，所以f (2)＝2f (1)＝－4.(2)f (x )在(－3,3)上单调递减．证明如下：设－3<x 1<x 2<3，则x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(－3,3)上单调递减．(3)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0，所以f (x －1)≤－f (3－2x )．又f (x )满足f (－x )＝－f (x )，所以f (x －1)≤f (2x －3)，又f (x )在(－3,3)上单调递减，所以3133233123x x x x -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-≥-⎩解得0<x ≤2，故不等式g (x )≤0的解集是(0,2]．点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则1212,,()()x x D f x f x 且∈>时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则12()()f x f x ≤，这与12()()f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当1212,,()()x x D f x f x 且∈>时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域(－3,3). 21．已知函数2()21f x x ax a =-++-(1)当1a =时，在[1,6]x ∈-上求()f x 的最值；(2)若[0,1]x ∈时()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1) max min ()1()24f x f x ，==-； (2) 01a <<【解析】（1）根据二次函数单调性确定最值取法，（2）根据二次函数图像性质确定最小值取法，列对应不等式组，解得结果【详解】解：（1）当1a =时，22()2(1)1f x x x x =-+=--+ ()f x ∴的对称轴为1x =，则()f x 在[1,1]-上增，在[1,6]上减max ()(1)1f x f ∴==又(1)3,(6)3612243f f -=-=-+=-<-min ()(6)24.f x f ∴==-（2）22()()1f x x a a a =--++-的对称轴为x a =，抛物线开口向下 }{min ()min (0),(1)f x f f =100a a ->⎧∴⎨>⎩ 0 1.a ∴<<【点睛】本题考查二次函数图像与最值，考查基本分析求解能力，属中档题.22．已知二次函数2()1()f x x mx m m R =-+-∈．（1）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为()g m ，求()g m 的解析式；（2）求（1）中()g m 的最大值；（3）若函数()y f x =在[2，4]上是单调增函数，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）0（3）m≤3或m≥8【解析】(1)根据对称轴与定义区间位置关系，分类求解最小值，按分段函数形式写()g m 的解析式；（2）根据一次函数与二次函数性质分段讨论函数最大值，最后取最大值中最大值，（3）先转化：f（x）在[2，4]上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，再根据对称轴以及单调性列方程组，解得实数m的取值范围．【详解】解：（1）f（x）=x2﹣mx+m﹣1=，对称轴为x=．①若，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，所以最小值g（m）=f（﹣1）=2m．②若，此时当x=时，函数f（x）最小，最小值g（m）=f（）=．③若，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，所以最小值g（m）=f（1）=0．综上g（m）=．（2）由（1）知g（m）=．当m＜﹣2时，g（m）=2m＜﹣4，当﹣2≤m≤2，g（m）==当m＞2时，g（m）=0．综上g（m）的最大值为0．（3）要使函数y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，则f（x）在[2，4]上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，∴，所以或，解得m≤3或m≥8．【点睛】研究二次函数最值或单调性，一般根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论.。
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2018-2019学年广西南宁三中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一次函数y=x+3与y=﹣2x+6的图象的交点组成的集合为（）A．B．{x=1，y=4}C．{（1，4）}D．{1，4}2．已知A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，则A∪B=（）A．{x|x是等腰三角形}B．{x|x是直角三角形}C．{x|x是等腰直角三角形}D．{x|x是等腰或直角三角形}3．已知集合M={x∈R|x2﹣3x＜0}，N={x∈N|x2≥0}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜3}B．{x∈Z|x＜0或0＜x＜3}C．{x∈Z|0＜x＜3}D．{0，1，2}4．已知集合A={1，2}，满足的集合B的个数为（）A．4B．5C．6D．75．已知全集U={1，2，a2﹣2a+3}，A=（1，a），∁U A={3}，则实数a等于（）A．0或2B．0C．1或2D．26．已知x，y为非零实数，则集合M={m|m=++}为（）A．{0，3}B．{1，3}C．{﹣1，3}D．{1，﹣3} 7．已知集合，，，则A，B，C满足的关系为（）A．A=B⊆C B．A⊆B=C C．A⊆B⊆C D．B⊆C⊆A 8．已知集合有两个非空真子集，则实数m的取值范围为（）A．{m|m＞4}B．{m|m＜0或m＞4}C．{m|m≥4}D．{m|m≤0或m≥4}9．已知M，N为集合I的非空真子集，且M≠N，若M∩（∁I N）=∅，则M∪N=（）A．∅B．I C．M D．N10．集合A={2，0，1，7}，B={x|x2﹣2∈A，x﹣2∉A}，则集合B中的所有元素之积为（）A．36B．54C．72D．10811．对于任意两个自然数m，n，定义某种⊗运算如下：当m，n都为奇数或偶数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m⊗n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a⊗b=18，a∈N，b∈N}中的元素个数为（）A．26B．25C．24D．2312．设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z ∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈SC．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分．13．关于x的不等式﹣4x2﹣4a2x+2x+a2﹣a4＜0的解集为．14．设全集U={（x，y）|x，y∈R}．集合M{（x．y）|=1}，N={（x，y）|y≠x+1}，则∁U（M∪N）等于．15．设S为实数集R的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集，下列说法：①集合S={a+b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定有无数多个元素；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中的正确的说法是（写出所有正确说法的序号）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知集合，B={x|x2﹣13x+30＜0}，求A∪B，（∁R A）∩B．17．已知集合A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，（1）若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求a，b的值；（2）若∅⊊B⊊A，求实数a，b的值．18．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．19．已知集合，B={x|2m＜x＜1﹣m}．（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．20．已知集合，，求M∪N，（∁R M）∩N．21．已知关于x的方程x2﹣ax+b=0的两根为p，q，方程x2﹣bx+c=0的两根为r，s，如果p，q，r，s互不相等，设集合M={p，q，r，s}，设集合S={x|x=u+v，u∈M，v∈M，u≠v}，P={x|x=uv，u∈M，v∈M，u≠v}．若已知S={5，7，8，9，10，12}，P={6，10，14，15，21，35}，求实数a，b，c的值．2018-2019学年广西南宁三中高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一次函数y=x+3与y=﹣2x+6的图象的交点组成的集合为（）A．B．{x=1，y=4}C．{（1，4）}D．{1，4}【分析】将y=x+3与y=﹣2x+6，组成方程组，求得方程组的解，进而用集合表示即可．【解答】解：将y=x+3与y=﹣2x+6，组成方程组∴x=1，y=4∴一次函数y=x+3与y=﹣2x+6的图象的交点组成的集合为{（1，4）}故选：C．【点评】本题考查的重点是用集合表示方程组的解，解题的关键是解方程组．2．已知A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，则A∪B=（）A．{x|x是等腰三角形}B．{x|x是直角三角形}C．{x|x是等腰直角三角形}D．{x|x是等腰或直角三角形}【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，∴A∪B={x|x是等腰或直角三角形}．故选：D．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．已知集合M={x∈R|x2﹣3x＜0}，N={x∈N|x2≥0}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜3}B．{x∈Z|x＜0或0＜x＜3}C．{x∈Z|0＜x＜3}D．{0，1，2}【分析】化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合M={x∈R|x2﹣3x＜0}={x∈R|0＜x＜3}，N={x∈N|x2≥0}={x∈N|x∈R}=N，则M∩N={x∈N|0＜x＜3}={1，2}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．4．已知集合A={1，2}，满足的集合B的个数为（）A．4B．5C．6D．7【分析】求出A∪B={1，2}，从而B为A所有子集，由此能求出集合B的个数．【解答】解：集合A={1，2}，满足={1，2}，∴B为A所有子集．∴集合B的个数为22=4．故选：A．【点评】本题考查集合的个数的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知全集U={1，2，a2﹣2a+3}，A=（1，a），∁U A={3}，则实数a等于（）A．0或2B．0C．1或2D．2【分析】利用集合的补集关系，列出方程求解即可．【解答】解：全集U={1，2，a2﹣2a+3}，A=（1，a），∁U A={3}，可得a2﹣2a+3=3，并且a=2，解得a=2．故选：D．【点评】本题考查集合的交、并、补的运算，基本知识的考查．6．已知x，y为非零实数，则集合M={m|m=++}为（）A．{0，3}B．{1，3}C．{﹣1，3}D．{1，﹣3}【分析】分类讨论，化简集合M，即可得出结论．【解答】解：x＞0，y＞0，m=3，x＞0，y＜0，m=﹣1，x＜0，y＞0，m=﹣1，x＜0，y＜0，m=﹣1，∴M=（﹣1，3}．故选：C．【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，比较基础．7．已知集合，，，则A，B，C满足的关系为（）A．A=B⊆C B．A⊆B=C C．A⊆B⊆C D．B⊆C⊆A【分析】将三个集合分别化简，分母一样，比较分子的不同，根据所表示范围的大小，判断出集合的关系．【解答】解：集合A={x|x=a+，a∈Z}={x|x=，a∈Z}，集合B={x|x=﹣，b∈Z}={x|x=，b∈Z}，集合C={x|x=+，c∈Z}={x|x=，c∈Z}，∵a∈Z时，6a+1表示被6除余1的数；b∈Z时，3b﹣2表示被3除余1的数；c∈Z时，3c+1表示被3除余1的数；所以A⊆B=C，故选：B．【点评】本题考查集合间的包含关系，考查学生转化问题的能力，属于基础题．8．已知集合有两个非空真子集，则实数m的取值范围为（）A．{m|m＞4}B．{m|m＜0或m＞4}C．{m|m≥4}D．{m|m≤0或m≥4}【分析】n元集合非空真子集的个数为2n﹣2，有题意可得集合A为二元集合，即关于x的方程有两不等实根，及△＞0运算即可【解答】解；由已知集合有两个非空真子集即关于x的方程有两个不等实数根，即m≠0又有意义，则m＞0则△=m2﹣4＞0∴m2﹣4m＞0又m＞0∴m＞4故选：A．【点评】本题考查了集合的子集的概念，同时考查了分类讨论的思想．9．已知M，N为集合I的非空真子集，且M≠N，若M∩（∁I N）=∅，则M∪N=（）A．∅B．I C．M D．N【分析】根据条件可画出Venn图表示出集合I，M，N，由Venn图即可得出M ∪N．【解答】解：根据条件，用Venn图表示M，N，I如下：由图看出，M∪N=N．故选：D．【点评】考查真子集的概念，交集、补集和并集的运算，用Venn图解决集合问题的方法．10．集合A={2，0，1，7}，B={x|x2﹣2∈A，x﹣2∉A}，则集合B中的所有元素之积为（）A．36B．54C．72D．108【分析】可令x2﹣2分别等于2，0，1，7，再利用x﹣2∉A进行检验即可．【解答】解：当x2﹣2=2时，x=2或x=﹣2又2﹣2=0∈A，﹣2﹣2=﹣4∉A∴2∉B，﹣2∈B当x2﹣2=0时，x=或x=﹣又﹣2∉A，﹣﹣2∉A∴当x2﹣2=1时，x=或x=﹣∴当x2﹣2=7时，x=3或x=﹣3又3﹣2=1∈A，﹣3﹣2=﹣5∉A∴﹣3∈B，3∉B∴B=又﹣2××××（﹣）×（﹣3）=36．故选：A．【点评】本题考查了元素与集合的关系，采用代入法解方程即可，考查分类讨论的思想．11．对于任意两个自然数m，n，定义某种⊗运算如下：当m，n都为奇数或偶数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m⊗n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a⊗b=18，a∈N，b∈N}中的元素个数为（）A．26B．25C．24D．23【分析】根据定义，x⊗y=18分两类进行考虑：x和y一奇一偶，则x•y=18；x 和y同奇偶，则x+y=18．由x、y∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（x，y）的个数即可．【解答】解：x⊗y=18，x、y∈N*，若x和y一奇一偶，则xy=18，满足此条件的有1×18=2×9=3×6，故点（x，y）有6个；若x和y同奇偶，则x+y=18，满足此条件的有1+17=2+16=3+15=4+14=…=17+1，故点（x，y）有17个，∴满足条件的个数为6+17=23个．故选：D．【点评】本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键，属于中档题．12．设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z ∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈SC．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S【分析】特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项，即得答案．【解答】解：方法一：特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D均错误；只有B成立，故选B．直接法：根据题意知，只要y＜z＜w，z＜w＜y，w＜y＜z中或x＜y＜w，y＜w＜x，w ＜x＜y中恰有一个成立则可判断（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．∵（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，∴x＜y＜z…①，y＜z＜x…②，z＜x＜y…③三个式子中恰有一个成立；z＜w ＜x…④，w＜x＜z…⑤，x＜z＜w…⑥三个式子中恰有一个成立．配对后有四种情况成立，第一种：①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第二种：①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第三种：②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第四种：③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．综合上述四种情况，可得（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．故选：B．【点评】本题考查简单的合情推理，特殊值验证法是解决问题的关键，属基础题．二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分．13．关于x的不等式﹣4x2﹣4a2x+2x+a2﹣a4＜0的解集为．【分析】十字相乘法分解因式后，使用口诀：大于取两边，小于取中间．【解答】解：原不等式可化为4x2+（4a2﹣2）x+a2（a2﹣1）＞0，则（2x+a2）（2x+a2﹣1）＞0．∴（x+）（x+）＞0，∴x＜﹣或x＞﹣+，故答案为：{x|x＜﹣或x＞﹣+}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法．属基础题．14．设全集U={（x，y）|x，y∈R}．集合M{（x．y）|=1}，N={（x，y）|y≠x+1}，则∁U（M∪N）等于{（2，3）}．【分析】集合M表示直线y﹣3=x﹣2，即y=x+1，除去（2，3）的点集；集合N表示平面内不属于y=x+1的点集，M∪N={（x，y）|x≠2，y≠3}，由此能求出∁U（M∪N）．【解答】解：∵全集U={（x，y）|x，y∈R}．集合M{（x．y）|=1}，N={（x，y）|y≠x+1}，∴M∩N={（x，y）|}，集合M表示直线y﹣3=x﹣2，即y=x+1，除去（2，3）的点集；集合N表示平面内不属于y=x+1的点集，∴M∪N={（x，y）|x≠2，y≠3}，则∁U（M∪N）={（2，3）}．故答案为：{（2，3）}．【点评】本题考查补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．设S为实数集R的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集，下列说法：①集合S={a+b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定有无数多个元素；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中的正确的说法是①②（写出所有正确说法的序号）．【分析】由题意直接验证①即可判断正误；令x=y可推出②是正确的；找出反例集合S={0}，即可判断③的错误；令S={0}，T={0，1}，推出﹣1不属于T，判断④是错误的【解答】解：①设x=a+b，y=c+d，（a，b，c，d为整数），则x+y∈S，x﹣y∈S，xy=（ac+3bd）+（bc+ad）∈S，S为封闭集，①正确；②当S为封闭集时，因为x﹣y∈S，取x=y，得0∈S，②正确；③对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误；④取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0﹣1=﹣1不属于T，故T不是封闭集，④错误．故答案为：①②．【点评】本题考查对封闭集定义的理解及运用，考查集合的子集，集合的包含关系判断及应用，以及验证和举反例的方法的应用，是一道中档题三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知集合，B={x|x2﹣13x+30＜0}，求A∪B，（∁R A）∩B．【分析】可解出集合A，B，然后进行并集，补集和交集的运算即可．【解答】解：A={x|2≤x＜7}，B={x|（x﹣3）（x﹣10）＜0}={x|3＜x＜10}；∴A∪B={x|2≤x＜10}，C R A={x|x＜2或x≥7}，（C R A）∩B={x|7≤x＜10}．【点评】考查描述法的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，以及交集、并集和补集的运算．17．已知集合A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，（1）若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求a，b的值；（2）若∅⊊B⊊A，求实数a，b的值．【分析】（1）先求出A={3，5}，根据交集、并集的定义即可得出a，b；（2）根据∅⊊B⊊A即可得到B={3}，或{5}，根据韦达定理便可求出a，b．【解答】解：（1）A={3，5}；若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，则：B={2，3}；∴；∴a=5，b=﹣6；（2）若∅⊊B⊊A，则：B={3}，或B={5}；∴，或；∴，或．【点评】并集与交集的定义，描述法与列举法表示集合，以及空集、真子集的概念．18．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．【分析】用待定系数法设出二次函数解析式，再根据题目中条件列式解得．【解答】解：当图象与x轴另一交点在x轴负半轴，即为（﹣1，0）时可设函数解析式为y=ax（x+1）（a＞0），由图象经过点有，得a=1，则函数解析式为y=x2+x；当图象与x轴另一交点在x轴正半轴，即为（1，0）时，可设函数解析式为y=ax （x﹣1）（a＜0），由图象经过点有，得，则函数解析式为．综上，函数解析式为y=x2+x或．【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法．属中档题．19．已知集合，B={x|2m＜x＜1﹣m}．（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．【分析】（1）首先确定集合A，然后根据A⊆B找等价不等式，解之即可；（2）首先确定集合A，然后根据A∩B=∅找等价不等式，解之即可．【解答】解：∵，∴，∴1＜x＜3，∴A=（1，3），（1）∵A⊆B∴，∴m≤﹣2，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]；（2）由A∩B=∅，得：若2m≥1﹣m，即时，B=∅，符合题意；若2m＜1﹣m，即时，需，解得．综上，实数m的取值范围为[0，+∞）．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法以及分类讨论思想，是中档题．20．已知集合，，求M∪N，（∁R M）∩N．【分析】可解出集合M，N，然后进行并集、交集和补集的运算即可．【解答】解：由得，，则，即；由得，，则，即；∴，，．【点评】考查描述法表示集合的定义，分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，以及并集、交集和补集的运算．21．已知关于x的方程x2﹣ax+b=0的两根为p，q，方程x2﹣bx+c=0的两根为r，s，如果p，q，r，s互不相等，设集合M={p，q，r，s}，设集合S={x|x=u+v，u∈M，v∈M，u≠v}，P={x|x=uv，u∈M，v∈M，u≠v}．若已知S={5，7，8，9，10，12}，P={6，10，14，15，21，35}，求实数a，b，c的值．【分析】由列举法表示集合S，P，再由二次方程的韦达定理和元素之和的特点，解方程即可得到所求值．【解答】解：依题意有S={p+q，p+r，p+s，q+r，q+s，r+s}，P={pq，pr，ps，qr，qs，rs}，由b=pq=r+s知b∈S，b∈P，则b=10．易知a=p+q，由（p+q）+（p+r）+（p+s）+（q+r）+（q+s）+（r+s）=3（p+q+r+s）=3（a+b），有3（a+10）=5+7+8+9+10+12=51，则a=7．易知c=rs，由pq+pr+ps+qr+qs+rs=pq+（r+s）（p+q）+rs=b+ab+c，有10+7×10+c=6+10+14+15+21+35=101，则c=21．综上可得a=7，b=10，c=21．【点评】本题考查二次方程的韦达定理和集合的表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。