《一元二次方程的应用(几何面积问题)》教学设计 (九年级数学精品教案)
人教版九年级数学上册《一元二次方程的应用——面积问题》教学设计
一元二次方程的应用—面积问题知识与技能1.以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法.2.能根据实际问题正确列出一元二次方程解应用题.3.能够发现，归纳出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决问题.4.提高分析问题，解决问题的能力。
过程与方法通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。
情感态度与价值观，培养学生数形结合的思想。
重点：二次函数的模型的刻画难点：二次函数的性质的应用教学过程创设情境引入新课.。
[创设情境引入新课]1. 请学生回顾举行的面积公式，并进行两个小题的列方程来巩固矩形的面积公式。
2问:若纸板长为80cm,宽60cm，做成的长方体盒子底面积1500cm2。
同学们想一想怎样求剪去的小正方形的边长。
3 把无盖长方体盒重新展开，又会得到原来的长方形纸板，帮助学生从实际问题1.学生们动手制作，在长方形纸板的四个角上截去四个大小相同的正方形，然后把四边折起做成一个无盖的长方体包装盒..2.小组讨论学生们不难发现截去的正方形的边长就是盒子的高.从学生熟悉的矩形的面积入手，能迅速激发学生参与学习的兴趣；让学生发现生活中有些实际问题可以通过列一元二次方程来解决，从而顺利地引入新课。
启发探究建立模型启发探究，建立模型如图，在一个长为20m,宽为15m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条互相垂直且宽度相同的小路，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为266m2，那么小道的宽度应为多少米？。
1. 学生观察、相互讨论得出等量关系：（1）大矩形的面积—两条小路的面积=四个小矩形的面积之和；（2）大矩形的面积—四个小矩形的面积之和=两条小路的面积。
2、学生讨论，合作交流，请学生板演讲解.让学生经历从具体情境中抽象出一元二次方程的模型的过程，探索具体问题中的数量关系和变化规律，既起到了深化例题的作用，又复习了根的判别式的知识.一元二次方程应用教学反思这节课是“列一元二次方程解应用题”，讲授在几何问题中以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题。
人教版九年级数学上册第21.3：一元二次方程的应用教案
一、教学内容
人教版九年级数学上册第21.3节：一元二次方程的应用教案。本节课主要围绕以下内容展开：
1.利用一元二次方程解决实际问题的步骤和技巧。
2.分析实际问题，找出等量关系，列出相应的一元二次方程。
3.解决以下类型的实际问题：
a.行程问题：如速度、时间和路程的关系。
-重点强调从实际问题中抽象出一元二次方程的过程，以及如何利用方程求解实际问题。
-着重讲解如何建立等量关系，尤其是涉及两个未知数的情形，以及如何将实际问题转化为数学模型。
-例：在行程问题中，重点讲解速度、时间和路程的关系，即路程=速度×时间，以及当速度变化时如何建立一元二次方程。
2.教学难点
-难点在于让学生理解并掌握如何从复杂的实际问题中提取关键信息，建立正确的等量关系。
c.在比例分配问题中，如何根据不同条件建立比例关系，并将问题转化为求解一元二次方程。
-难点还包括如何引导学生运用数学语言准确描述问题，以及如何将实际问题与一元二次方程求解过程有效结合。
在教学过程中，教师需要针对这些重点和难点内容，采用直观演示、案例分析、小组讨论等多种教学方法，帮助学生理解和掌握一元二次方程在实际问题中的应用，确保学生能够透彻理解并灵活运用所学知识。
还有一个值得注意的问题是，在课堂总结环节，虽然大多数学生能跟上教学进度，但仍有少数学生对所学知识掌握不够牢固。为了确保每个学生都能学好这门课程，我打算在课后加强个别辅导，针对学生的薄弱环节进行有针对性的指导。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
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24.4 一元二次方程的应用┃教学整体设计┃第1课时用一元二次方程解决几何问题【教学目标】会根据几何图形问题中的数量关系和相等关系列出一元二次方程,并对方程的根的合理性做出解释.【重点难点】重点：列一元二次方程解有关问题的应用题.难点：发现问题中的等量关系.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、复习导入新课1.列方程解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)求解；(5)检验；(6)作答.2.矩形的周长和面积是什么？师生活动：教师提出问题,学生回忆,选一位同学作答,其他同学通过回顾列方程解应用题的步骤,唤起学生的数学建模思想,复习矩形的面积,为后面解决有关面积方面问题做好铺垫.补充,复习列方程解应用题的一般步骤,以及矩形的周长与面积的计算方法.二、师生互动,探究新知教师出示教材第47页例1.问题1：请试着找出上述问题中的等量关系.问题2：列出方程,并求出方程的解.问题3：写出答案,并与同学交流各自的思考过程.师生活动：教师引导学生读题,找到题目中的关键语句；学生在关键语句中找到反映相等关系的语句,探究解决办法；教师用多媒体演示分析、解题方法. 教师出示教材第47页例2.分析：题中的等量关系：包括纸的长×宽＝1260.师生活动：本题较前面的问题难度稍大,师生共同分析等量关系,寻找题中的数量关系,教师引导解决问题过程中,要检验结果的合理性,提高学生的审题能力,规范学生解题过程的安排,使学生会解决有关面积的问题.通过例题的板演,让学生经历利用一元二次方程解决实际问题的过程,体会方程思想的应用与数学模型的建立,培养学生解决问题的能力,并通过对根的验证,让学生体会到数学的严谨性.学生试着书写解题过程,在此过程中选部分学生进行板书,最后师生共同完成解题的过程.三、运用新知,解决问题教材第48页练习第1,2题.师生活动：以小组形式进行问题的解决,让学生在小组内各抒己见,探索问题的解决过程,并进行全班展示.教师在此过程中进行巡回指导.在小组竞赛中,培养学生的数学应用意识,和小组团结合作,激发学生的竞争意识.四、课堂小结,提炼观点在这节课中,你学到了什么？有什么感想？师生活动：教师引导,学生总结出本节的主要方法与解题思路.通过知识总结,让学生再一次体会一元二次方程模型的建立.五、布置作业,巩固提升必做：教材第48页A组第1,2题,B组第1题.选做：教材第49页B组第2题.通过分层次布置作业,使每个学生都有所收获.┃教学小结┃【板书设计】用一元二次方程解决几何问题列一元二次方程解应用题的步骤：1.审2.设3.列4.解5.验6.答【教学反思】这节课是“用一元二次方程解决几何问题”,讲授在几何问题中以学生熟悉的现实生活为问题的背景,让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系,归纳出变化规律,并能用数学符号表示,最终解决实际问题.问题的设置,让学生由浅入深,由易到难,也让学生解决问题的能力逐级上升,在讲完例题的基础上,将更多教学时间留给学生,小组合作交流,共同提高.┃教学整体设计┃第2课时用一元二次方程解决代数问题【教学目标】1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.2.能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.【重点难点】重点：列一元二次方程解有关代数问题的应用题.难点：寻找问题中的等量关系.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境,导入新课汽车产业是某市支柱产业之一,产量和效益逐年增加,据统计,2015年该市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆,到2017年,该品牌汽车计划年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率相同,那么这个增长率是多少？师生活动：教师出示问题,引导学生进入新的内容学习.创设问题情境,激发学生的兴趣,自然顺畅地引入探究课题.二、师生互动,探究新知1.列方程.设年产量平均增长率为x,思考下列问题：(1)预计2016年比2015年增加____万辆,达到____万辆. (2)预计2017年比2016年增加____万辆,达到____万辆. (3)根据题意,列出的方程为本活动把问题进行分解,降低难度,通过讨论分析提高学生分析问题解决问题的能力,提高学生数学建模的能力,培养学生利用方程的思想解决实际问题的能力.__________.(4)解方程,回答问题,并与同学交流解题思路和过程.(5)在上面问题中,两年的增长率相同,列方程时有无规律可循？师生活动：教师将问题分几个小的问题,使问题难度降低,学生经历问题的解决过程,通过观察具体问题,师生共同探讨问题(5),寻找出一般规律.2.解决问题.某体育局组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程,并完成填空. 解：设应邀请x支球队参赛,则每队共打____场比赛,比赛总场数用代数式表示为____.根据题意,可列方程____.整理,得____.解这个方程,得____.合乎实际意义的解为____. 答：应邀请____支球队参赛. 师生活动：因为问题已分解为小的问题,降低了难度,可以由学生自主完成,教师指导,特别关注程度差的学生的问题分析过程和解决问题过程,给他们及时的点拨.3.例题精讲.小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件,单价为80元；如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元.按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了1200元.请问她购买了多少件这种服装？分析：根据一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,表示出每通过师生共同完成例题的解答,培养学生的数学思维,帮助学生逐步提高分析问题、解决问题的能力.件服装的单价[80－2(x－10)]元,根据总售价＝单价×数量列出方程,从而解决问题.解：设购买了x件这种服装. 根据题意,得[80－2(x－10)]x＝1200.解得x1＝20,x2＝30.当x＝30时,80－2×(30－10)＝40(元),40<50,不符合题意,舍去.答：她购买了20件这种服装. 师生活动：由于例题中涉及的数量关系较多,难度较大,所以教师要给予必要的引导,通过师生合作,启发学生寻找等量关系,列出方程并求解.由于这个方程的解都有实际意义,所以教师要引导学生仔细分析题意,然后再结合实际问题的要求确定问题的答案.三、运用新知,解决问题多媒体出示1,2,3题.四、课堂小结,提炼观点学完本节内容,你有什么收获？师生活动：学生自由谈自己的收获,主题必须是围绕一元二次方程的应用、应用类型、解题思路、技巧、一般步骤、注意事项等,教师进行点评.五、作业布置,巩固提升必做：教材第52页A组第1,2题,B组第1题.选做：教材第52页B组第2题.┃教学小结┃【板书设计】用一元二次方程解决代数问题1.分析问题.2.找数量关系,设未知数x.3.列出解决问题的一元二次方程.4.解方程.5.检验所得结果是否符合问题的实际意义.6.作答.【教学反思】通过本节课的教学,总体调动了学生的积极性,能够充分发挥学生的主体作用.以现实生活情境问题入手,激发了学生思维的火花,通过把问题进行分解,降低了学生学习的难度,使学生在不知不觉中完成了教学目的与任务.在课堂中始终惯彻数学源于生活又用于生活的数学观念,同时用方程来解决问题,使学生树立一种数学建模的思想.。
最新北师版九年级初三数学上册《利用一元二次方程解决面积问题》名师精品教案
2.3用公式法求解一元二次方程第2课时 利用一元二次方程解决面积问题教学目标1．能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题；(重点、难点)2．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(难点)课前准备课件等.教学过程一、情景导入如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m 2，道路的宽为多少？二、合作探究探究点：利用一元二次方程解决面积问题如图所示，某幼儿园有一道长为16m 的墙，计划用32m 长的围栏靠墙围成一个面积为120m 2的矩形草坪ABCD ，求该矩形草坪BC 边的长．解析：若设BC 长为x m ，则宽AB 可表示为32－x 2m ，由矩形的面积公式“面积＝长×宽”可列方程求解．解：设矩形草坪BC 边的长为x m ，则宽AB 为32－x 2m. 根据题意，得x ·32－x 2＝120. 解得x 1＝12，x 2＝20.又由题意知BC ≤16，∴x ＝20不符合题意，应该舍去．∴该矩形草坪BC 边的长为12m.方法总结：(1)结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题时的关键；(2)注意检验一元二次方程的根是否符合题意．将一条长20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．解析：做成的是两个正方形，且已知两个正方形的面积之和，只需设出正方形的边长或用未知数表示出边长，列方程解答即可．解：设一个正方形的周长为x cm ，则另一个正方形的周长为(20－x )cm.(1)由题意可列方程(x 4)2＋(20－x 4)2＝17.解此方程，得x 1＝16，x 2＝4. 所以两段铁丝的长度分别为16cm 和4cm ；(2)由题意可列方程(x 4)2＋(20－x 4)2＝12， 此方程化为一般形式为x 2－20x ＋104＝0.∵b 2－4ac ＝(－20)2－4×1×104＝－16<0，∴此方程无解．∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm 2.方法总结：对于生活中的应用题，首先要全面理解题意，然后根据实际问题的要求，确定用哪些数学知识和方法解决，如本题用方程思想和一元二次方程的根的判定方法来解决．三、板书设计列一元二次方程解应用题的一般步骤可以归结为“审，设，列，解，检，答”六个步骤：(1)审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；(2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；(3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即可得到方程；(4)解：求出所列方程的解；(5)检：检验方程的解是否正确，是否保证实际问题有意义；(6)答：根据题意，选择合理的答案．四、教学反思经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．通过学生创设解决问题的方案，增强学生的数学应用意识和能力.励志名言：1、学习从来无捷径，循序渐进登高峰。
人教版初三数学上册《用一元二次方程解决几何图形问题》教学设计
第3课时用一元二次方程解决几何图形问题学习目标1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.2．列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题.预习导学自学指导阅读教材第20至21页探究3，完成预习内容.知识探究如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1 cm)分析：封面的长宽之比是27∶21=9∶7，中央的长方形的长宽之比也应是9∶7，若设中央的长方形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是(27-9a)∶(21-7a).点拨：怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请你试一试.自学反馈要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？解：设镜框边的宽度为x cm，则有(29+2x)(22+2x)=(14+1)×(29×22)，即4x2+102x-159.5=0，解得x1=1.48，x2=-26.98(舍去).答：镜框边的宽度应是1.48cm.点拨：本题和上题一样，利用矩形的面积公式作为相等关系列方程.合作探究活动1 小组讨论例如图，某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积都是144 m2，求马路的宽.解：假设三条马路修在如图所示位置.设马路宽为x，则有(40-2x)(26-x)=144×6，化简，得:x2-46x+88=0，解得：x1=2，x2=44，由题意：40-2x>0，26-x>0，则x<20.故x2=44不合题意，应舍去，∴x=2.答：马路的宽为2 m.点拨： 这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形.活动2跟踪训练1.如图，要设计一幅宽20 cm 、长30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(精确到0.1 cm).解：设横彩条的宽度为3x cm ，则竖彩条的宽度为2x cm.根据题意，得(30-4x)(20-6x)=（1-14）×20×30.解得x 1≈0.6，x 2≈10.2(不合题意，舍去). 故3x=1.8，2x=1.2.答：横彩条宽为1.8 cm ，竖彩条宽为1.2 cm.2.用一根长40 cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm 2.(1)求此长方形的宽是多少？(2)能围成一个面积为101 cm 2的长方形吗？如能，说明围法.(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm 2)，长方形的宽为x(cm)，求S 与x 的函数关系式，并求出当x 为何值时，S 的值最大？最大面积为多少？解：(1)设此长方形的宽为x cm ，则长为(20-x)cm. 根据题意，得x(20-x)=75.解得：x 1=5，x 2=15(舍去).答：此长方形的宽是5 cm.(2)不能.由x(20-x)=101，即x 2-20x+101=0，知Δ=202-4×101=-4<0，方程无解，故不能围成一个面积为101 cm 2的长方形.(3)S=x(20-x)=-x 2+20x. 由S=-x 2+20x=-(x-10)2+100知当x=10时，S 的值最大，最大面积为100 cm 2. 点拨：怎样解决(2)中的能与不能的问题；用配方法解决第(3)问.活动3课堂小结用一元二次方程解决的特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程.。
人教版九年级数学教案-利用一元二次方程解决面积问题
第2課時利用一元二次方程解決面積問題學習目標：1、在已有的一元二次方程的學習基礎上，能夠對生活中的實際問題進行數學建模解決問題，從而進一步體會方程是刻畫現實世界的一個有效數學模型。
2、積極主動參與課堂自主探究和合作交流，並在其中體驗發現問題、提出問題及解決問題的全過程，提高自己的數學應用能力。
3、感受數學的嚴謹性，形成實事求是的態度及進行質疑和激發思考的習慣。
【預習案】知識準備解方程2708250x x-+=，並敘述解一元二次方程的解法。
【探究案】探究點：利用一元二次方程解決面積問題小明把一張邊長為10cm的正方形硬紙板的四周剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方形盒子。
（1）如果要求長方體的底面面積為81cm2，那麼剪去的小正方形邊長為多少？（2）如果按下表列出的長方體底面面積的數據要求，那麼剪去的正方形邊長會發生什麼樣的變化？折合成的長方體的體積又會發生什麼樣的變化？問題：1、長方形的底面、正方形的邊長與正方形硬紙板中的什麼量有關系？（長方形的底面正方形的邊長與正方形硬紙板的邊長有關系）2、長方形的底面正方形的邊長與正方形硬紙板的邊長存在什麼關係？（長方形的底面正方形的邊長等於正方形硬紙板的邊長減去剪去的小正方形邊長的2倍）3、你能否用數量關係表示出這種關係呢？並求出剪去的小正方形的邊長。
解：設剪去的正方形邊長為xcm，依題意得：2(10)81x-=，109x-=±，11x=，29x=，因為正方形硬紙板的邊長為10cm，所以剪去的正方形邊長為1cm。
4、請問長方體的高與正方形硬紙板中的什麼量有關系？求出此時長方體的體積。
（長方體的高與正方形硬紙板式剪去的小正方形的邊長一樣；體積為381181cm⨯=）5、完成表格，與你的同伴一起交流，並討論剪去的正方形邊長髮生什麼樣的變化？折合成的長方體的體積又會發生什麼樣的變化？6、在你觀察到的變化中、你感到折合而成的長方體的體積會不會有最大的情況？以剪去的正方形的邊長為引數，折合而成的長方體體積為函數，並在直角坐標系中畫出相應的點，看看與你的感覺是否一致。
北师大版九年级数学上册教案《一元二次方程的应用》
《一元二次方程的应用》教学设计合肥市第三十八学徐晶第1课时：行程问题及几何问题教材分析:本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。
但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。
因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。
显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。
教学目标：【知识与技能】通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。
【过程与方法】1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；【情感态度与价值观】在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。
教学重难点：【教学重点】重点：掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性.【教学难点】难点：理解将实际问题抽象为方程模型的过程,并能运用所学的知识解决问题．课前准备：多媒体教学过程：一、复习引入问题：如图,在一块长为92m ,宽为60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？【设计意图】用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望，用学生已有的知识为支点，进一步让学生体会数形结合的思想。
二、讲授新课活动1：典例精析例1 ：如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200n mile处有一目标B,在B的正东方向200nmile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.(1)小岛D与小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1海里)？【设计意图】该部分是学习中的难点，在教学中要给学生充分的时间去审清题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决。
九年级数学上册《一元二次方程的应用》教案、教学设计
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师应注重以下方面：
1.创设生活情境，引导学生从实际问题中发现一元二次方程，培养学生观察、思考、分析问题的能力；
2.采用启发式教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流等方式，掌握一元二次方程的求解方法，提高学生的自主学习能力和团队协作能力；
7.课后作业，巩固成果
课后布置适量、具有针对性的作业，让学生在课后巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学开始时，通过一个与学生生活密切相关的实际问题引入新课：“一块正方形菜地的面积比一块长方形菜地少24平方米，已知正方形菜地的边长比长方形菜地的长少4米，求两块菜地的面积。”
针对以上学情，教师在教学过程中应关注以下几点：
1.注重培养学生的抽象思维能力，通过具体实例引导学生逐步认识一元二次方程；
2.精心设计教学活动，让学生在实践中掌握解题方法，提高解题策略；
3.结合实际情境，培养学生的数学建模能力，使学生能够将所学知识应用于解决实际问题；
4.针对不同学生的认知水平，因材施教，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
d.应用题：结合实际情境，求解一元二次方程。
2.教师巡回指导，解答学生的疑问，针对学生存在的问题进行讲解。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学的一元二次方程的概念、求解方法及其在实际问题中的应用。
2.教师引导学生总结解题规律，强调一元二次方程求解过程中需要注意的细节问题。
3.布置课后作业，要求学生课后巩固所学知识，提高解题能力。
2.让学生尝试用已学过的知识解决问题，引导学生发现需要用到一个新的数学工具——一元二次方程。
《一元二次方程应用——面积问题》教学设计-优秀教案
1．回顾：用一元一次方程解决问题的一般步骤有哪些？（1）（2）（3）（4）（5）（6）【自主预习】一根长22cm的铁丝。
（1）能否围成面积是30cm2的矩形？（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由补充：围成的矩形面积最大是多少？【例题讲解】例1．如图在长为40米，宽为22米的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760平方米，道路的宽应为多少？变式1：在长为40米，宽为22米的矩形地面内，修筑如图同样宽的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760平方米，道路的宽应为多少？（列式不计算）变式2：如图在长为40米，宽为22米的矩形地面内，修筑两条入口处宽度相等平行四边形的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760平方米，求每条道路的入口处宽应为多少？例2.用一段长40m的篱笆和长15m的墙AB，围城一个矩形的花园，设平行于墙的一边DE的长为xm；（1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成，当花园面积为150m2时，求x的值；（2）如图2，如果矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF 引导，启发，交流答案用课件演示化部分为整体的思考方法教师总结出这类问题的思考方法。
思考：还可以有哪些铺道路的方案。
引导，交流答案。
讨论，思考，练习解方程，写出完整的过程。
列出方程，讨论思考方法学生讨论，自己列出方程列出方程解答，写出完整的熟悉列方程解应用题的步骤，解题过程的书写；注意知识的迁移，用配方法求出代数式的最大值。
拓展学生的知识，体会图形的构造方法正确的设未知数，并且构成，另三边由篱笆ADEF围成，当花园面积是150m2时，求BF的长．变式：（1）如图1，要建立一个面积为150平方米的长方形养鸡场，养鸡场一边靠墙，墙长18米，在墙的对面留一个宽为2米的门，另三边（门除外）用33米的竹篱笆围成，求养鸡场的长和宽。
（2）如图2，若留两个宽为2米的门呢？求养鸡场的长和宽。
人教版九年级数学上册教案本《一元二次方程 实际问题-面积问题》
人教版九年级数学上册教案本《一元二次方程实际问题-面积问题》一. 教材分析本节课的内容是《一元二次方程实际问题-面积问题》，是人教版九年级数学上册的教学内容。
这部分内容是在学生已经掌握了一元二次方程的基本概念和解法的基础上进行教学的，旨在让学生能够将一元二次方程应用到实际问题中，特别是在面积问题的计算中。
通过本节课的学习，学生将能够进一步理解和掌握一元二次方程的实际应用，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的概念和解法有一定的了解。
但是，学生在应用一元二次方程解决实际问题时，可能会遇到一些困难，比如对实际问题的理解不够深入，对一元二次方程在解决实际问题中的应用方法不够清晰等。
因此，在教学过程中，需要帮助学生深入理解实际问题，引导学生将一元二次方程应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生能够理解一元二次方程在解决面积问题中的应用，能够运用一元二次方程计算一些简单的面积问题。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在实际生活中的重要性，培养学生的责任感和使命感。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程在面积问题中的应用。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为数学问题，如何帮助学生理解和掌握一元二次方程在解决面积问题中的应用方法。
五. 教学方法本节课采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
同时，采用小组合作学习的方法，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
在教学过程中，教师注重启发式教学，引导学生主动思考，提高学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要提前准备一些面积问题的实际案例，以便在课堂上进行教学演示和练习。
2.学生准备：学生需要预习一元二次方程的基本概念和解法，以便能够更好地理解和掌握本节课的内容。
九年级数学上人教版《 一元二次方程的应用》教案
《一元二次方程的应用》教案一、教学目标1.理解和掌握一元二次方程在实际问题中的应用；2.学会分析和解决与一元二次方程相关的实际问题；3.培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容与重点难点1.教学内容：一元二次方程在实际问题中的应用，包括增长率问题、最大最小值问题等；2.教学重点：理解并掌握一元二次方程的应用场景，掌握解决问题的方法和步骤；3.教学难点：将实际问题抽象为一元二次方程，并选择合适的解法进行求解。
三、教学方法与手段1.教学方法：讲解、讨论、练习；2.教学手段：多媒体课件、黑板、实物模型等。
四、教学过程设计1.导入新课：通过实际问题引入一元二次方程的应用，激发学生的学习兴趣；2.讲解新课：通过实例展示一元二次方程在实际问题中的应用，包括增长率问题、最大最小值问题等，并介绍解决问题的方法和步骤；3.练习巩固：布置相关练习题，让学生自主解决问题，并适时点拨和归纳；4.归纳小结：总结一元二次方程在实际问题中的应用场景和特点，以及解决问题的思路和方法；5.布置作业：布置相关实际问题，让学生运用所学知识进行解答。
五、评价与反馈1.通过课堂练习和作业，检验学生对一元二次方程的应用掌握情况；2.通过学生自我评价和互评，培养学生的自我认知和团队协作能力；3.通过教师评价和总结，反思教学过程和效果，及时调整教学策略和方法。
六、教学反思与改进方向1.在教学过程中，应注重学生的主体性和参与度，激发学生的学习兴趣和积极性；2.应注重问题的实际应用性，让学生更好地理解并掌握一元二次方程的应用场景；3.应注重培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力，加强实际问题的练习和应用；4.在评价过程中，应注重评价的客观性和公正性，避免主观臆断和偏见。
同时应及时给予学生反馈和鼓励，激发学生的学习动力。
5.不断改进教学方法和手段，提高教学效果。
例如，可以采用小组合作、项目式学习等多样化的教学方式让学生在实践中学习和掌握知识。
湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》(第1课时)教学设计
湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.5《一元二次方程的应用》是本册教材的重要内容之一。
本节课主要通过实际问题引入一元二次方程的应用，让学生了解一元二次方程在实际生活中的运用，培养学生的数学应用能力。
教材中给出了两个实际问题，分别是物体运动问题和几何问题。
通过这两个问题的解决，学生可以掌握一元二次方程在实际问题中的应用方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程的理论知识，对一元二次方程的解法有一定的掌握。
但学生在实际应用一元二次方程解决生活中的问题时，往往会因为不能将实际问题与数学知识有效地结合而感到困惑。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学问题，让学生在解决实际问题的过程中，自然地应用一元二次方程。
三. 教学目标1.理解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生的数学应用意识。
2.掌握将实际问题转化为数学问题的方法，提高学生的数学建模能力。
3.通过解决实际问题，培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程在实际问题中的应用方法。
2.教学难点：将实际问题转化为数学问题，选择合适的一元二次方程求解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.案例分析法：分析教材中的两个实际问题，让学生在案例分析中掌握一元二次方程的应用。
3.小组合作学习法：培养学生合作交流的能力，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材：湘教版数学九年级上册。
2.教学PPT：制作包含实际问题、解题思路和拓展练习的PPT。
3.练习题：准备一些实际问题，供学生课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示教材中的两个实际问题，让学生观察问题，引发学生的思考。
提问：“这两个问题是如何涉及到数学知识的？”引导学生回顾一元二次方程的知识。
一元二次方程的应用--面积问题》教学设计
一元二次方程的应用--面积问题》教学设计本节课的学生已经学过一元二次方程的基本知识，但对于如何将方程应用于实际问题解决中还存在一定的困惑。
因此，本节课需要通过生活化的面积问题引导学生思考，提高他们的运算能力和思维能力，并让他们体验到建模思想的魅力。
同时，通过合作研究和探索交流，培养学生的主动探究、深度思考的研究品质，使他们学会智慧生活。
二、教学重难点教学重点：通过面积问题引导学生理解一元二次方程解的实际意义，掌握列一元二次方程解决实际问题的方法，加强对XXX的合理性的理解。
教学难点：寻找等量关系，对方程的解在实际情境中的合理理解。
为了突破这些难点，我们将采用共同分析问题、灵感碰撞、辨析比较、数学类比、转化、建模思想的运用、归纳提炼等方法，帮助学生生成方法，提高他们的综合能力，达成教学目标。
三、教学过程1.引入问题老师：同学们，你们去过花园吗？在花园里，我们经常能看到各种各样的小路，那么设计这些小路的时候，有没有考虑过它们的面积呢？今天，我们就来探讨一下如何用数学方法解决这个问题。
2.讲解面积问题的解法老师：同学们，我们可以将小路看成长方形，这样，小路的面积就是长和宽的乘积。
但是，有些小路的形状并不规则，如何求出它们的面积呢？我们可以将它们分成若干个规则的图形，然后再求出每个图形的面积，最后将它们加起来。
这个方法叫做分割法，你们可以试一试。
3.解决实际问题老师：现在，我们假设有一个长方形的花坛，它的周长是20米，面积是56平方米，那么这个花坛的长和宽各是多少呢？请你们用一元二次方程解决这个问题。
4.检验解的合理性老师：同学们，我们已经求出了这个花坛的长和宽，但是，我们还需要检验一下这个解是否合理。
请你们思考一下，如果这个花坛的长和宽与我们求出的解不同，会出现什么情况呢？5.总结归纳老师：同学们，今天我们研究了如何用一元二次方程解决面积问题，并通过一个实际问题体验了建模思想的魅力。
你们觉得这个方法有用吗？有哪些需要注意的地方呢？请你们思考一下，并做一下总结。
最新湘教版九年级数学上册《一元二次方程的应用》教学设计(精品教案)
一元二次方程的应用教学目标1、学生会用列一元二次方程的方法解有关面积方面的实际问题.2、经历用方程解决实际问题的过程，知道解应用问题的一般步骤和关键所在.3、进一步提高学生把实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力.学习重点和难点重点：数形结合，把实际问题转化为数学问题.难点：审题找出等量关系.教学过程：一、回顾方法1．用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）验根（6）答2．用一元二次方程解决问题的关键是什么？3．常见图形的周长、面积公式：图形周长面积2(a+b) ab4a a2a+b+c(设计意图：学生回顾解题步骤和常见图形的周长和面积，为更好的学习这节课做准备.)二、例题解析例1．如图，在长为40m、宽为22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，道路的宽为多少？（设计意图：创设问题情境，在直接设未知数表示道路的宽后，可由不同路径找到表示草坪的面积的不同方法，让学生进一步认识到建立方程模型的作用，提高数学的应用意识，并且让不同基础的的学生都得到解决问题的成功体验。
找到等量关系时，可以通过对道路模型的平移，让学生直观的感知余下的草坪仍然是一个矩形。
）变式1：如图1，其余条件不变，将其中一条道路改成倾斜的，但倾斜的道路宽度处处相等，并且等于水平的道路宽度。
（列出方程即可）变式2：如图2，其余条件不变，修筑的道路改为水平2条，垂直的3条。
（列出方程即可）图1 图2（设计意图：变式1，2两问旨在让学生通过例题1得到启发观察发现不管道路倾斜，还是多条道路都可以通过平移将余下草坪面积转化成更直观，容易用未知数表示矩形面积，激发学习的兴趣。
）例2.一根长22cm的铁丝。
（1）能否围成面积是30cm2的矩形？（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由.(3)你能求出这根铁丝围成的矩形中，面积最大是多少？要怎样围？（设计意图：该例题通过让学生自己画图，感受知识的发生发展过程，再次建模，增强学生用数学的意识，该题的3问环环相扣，汇集了该章的学习内容，层层深入的思考、讨论、解决不仅可以让学生经历用方程解决实际问题的过程，知道解应用题的一般步骤和关键所在，还可以让学生用已学知识解释生活现象，养成学生自我探究的习惯。
初中数学九年级《一元二次方程的应用——矩形面积问题》公开课教学设计
一元二次方程的应用-------矩形面积问题【教学目标】1.能用代数式表示相应的量；2.能理解所求结果的取舍；3.能建立一元二次方程模型解决简单的面积问题。
【任务分析】重点：建立一元二次方程模型解决简单的面积问题难点：建立一元二次方程模型解决简单的面积问题学生认知障碍预设：学生不会结合所给信息用代数式表示相应的量【教学过程】一、活动1：情景引入---邻居用铁丝网在天台围矩形养鸡场方案（3分钟）不靠墙一边靠墙两边靠墙学生说出解决方案，教师补充，引出课题，共同学习本节课目标。
【设计意图：学生初步体验一元二次方程在生活中的应用。
】二、活动2：课前检测（4分钟）2.用14米长的铁丝围成长方形，设AB 长x 米。
BC ：____________________米 ____________________米 学生抢权，并口述答案；师生共同复习长方形周长及面积公式。
【设计意图：学生复习用代数式表示相应的量。
】三、活动3：探究（29分钟）例：在天台建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长5米），另三边用长10米铁丝围成。
鸡场的面积能达到12平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
【分析】：1.要给出设计方案即要知道哪些量？2.本题的等量关系是？3.该如何设？ 小组讨论，学生练习，学生代表说出解决方案，教师点拨，展示规范的答题过程。
思考：若将结论改为：鸡场的面积能达到20平方米吗？该如何分析呢？鸡场CB D AC B DA小结：解决面积问题关键_______________________________学生小组合作，师生共同解决【设计意图：知识升华，让学生会解决一类问题。
】C ．x （76－2x ）＝672；D ． x （76－x ）＝672．2.如图，用长为18m 的铁丝，两面靠墙围成矩形的养鸡场.要围成养鸡场的面积为81m 2。
设养鸡场的宽为xm ，可列方程__________________学生练习，学生代表说出解决方案，教师点拨。
2023年北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程第三节第二课时一元二次方程的应用、几何面积设计方案
第二章
2.3 用公式法求解一元二次方程
第二课时 一元二次方程的应用---几何面积设计方案
课程导入
课程讲授
习题解析
课堂总结
前言
学习目标及重难点
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
课时A计划
课程导入
回顾旧识
一元二次方程
课时A计划
习题解析
习题3 一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去
边长为5cm的小正方形， 然后把四边折起来，做成
一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁
板的长和宽．
解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm
5(2x-10)(x-10)=3000
x2-15x-250=0
解得 x1=25 ，x2=-10(舍去）∴ 2x=50
答：铁板的长50cm,宽为25cm.
课时A计划
则图形的面积公式列出方程；
图形经过移动，它的面积大小不会改变
课时A计划
课程讲授
新课推进
例1 如图，在一块长为 92 m ,宽为 60 m 的矩形耕地上挖
三条水渠，水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均
为 885 m2 的 6 个矩形小块，水渠应挖多宽？
分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，
解得 x1 = 2 , x2 = 12.
x =12 不符合题意舍去.
答：小路的宽为2 m.
x
课时A计划
课程讲授
新课推进
小亮设计方案：如图，其中花园每个角上的扇形都相同.
问题：你能帮小亮计算一下这扇形的半径吗？
16m
数学人教版九年级上册一元二次方程与几何图形面积
课题：一元二次方程的实际应用——几何图形问题教案设计陈国和教学目标知识技能1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．数学思考经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
解决问题通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．学情分析探究3与以前的实际问题相比，它在分析数量关系方面更复杂，问题情境与实际情况也更接近，对于这样的综合性问题，学生缺乏解决问题的经验，而且探究3的问题中没有明确求什么，学生感觉无从下手．学生一般可以意识到要“设元”用方程解决问题，但如何设元，如何与几何知识结合，挖掘题目图形中隐蔽的相等关系，构造方程模型对学生来说存在不同程度的困难，这也是本节课的难点所在．由于探究3的问题中，方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解，因此由数学问题的解得到实际问题的答案对于学生来说也是一个难点．重难点、关键重点：列一元二次方程解有关问题的应用题难点：发现问题中的等量关系关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型一、复习引入1．面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与________的内在联系，根据___________公式列出一元二次方程．2．一个正方形的边长增加了3 cm，面积相应增加了39 cm2，则原来这个正方形的边长为_______cm.二、新课探究（一）例题1 某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.变式练习（1）.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?（2） 如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m ，宽20m 的矩形草坪上修筑两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2 ，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？（3）．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上花草．若种植花草的面积为540 m2，求道路的宽．如果设道路的宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( )A．(20－x)(32－x)＝540 B．(20－x)(32－x)＝100 C．(20＋x)(32－x)＝540 D．(20－x)(32＋x)＝540（4）课本26页拓广练习12三、新课探究（二）例题1 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?四、新课再探究例题如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．变式练习（1）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
最新版初中数学教案《利用一元二次方程解决面积问题》精品教案(2022年创作)
第2课时利用一元二次方程解决面积问题教学内容根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．重难点关键1．•重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．•难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入〔口述〕1．直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢？2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3．梯形的面积公式是什么？4．菱形的面积公式是什么？5．平行四边形的面积公式是什么？6．圆的面积公式是什么？〔学生口答，老师点评〕二、探索新知现在，我们根据刚刚所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．例1．某林场方案修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多．〔1〕渠道的上口宽与渠底宽各是多少？〔2〕如果方案每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，那么上口宽为x+2，•渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：〔1〕设渠深为xm那么渠底为〔x+0.4〕m，上口宽为〔x+2〕m依题意，得：1 2整理，得：5x2+6x-8=0解得：x1=45=0.8m，x2=-2〔舍〕∴上口宽为，渠底为．〔2〕1.675048=25天答：渠道的上口宽与渠底深各是和；需要25天才能挖完渠道．学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度〔精确到〕？老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，•由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，•那么左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为〔27-18x〕cm，宽为〔21-14x〕cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的14，那么中央矩形的面积是封面面积的．所以〔27-18x〕〔21-14x〕=34×27×21整理，得：16x2-48x+9=0解方程，得：，x1≈，x2所以：9x1=〔舍去〕，9x2=，7x2=因此，上下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．三、稳固练习有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?〔精确到0．1尺〕四、应用拓展例3．如图〔a〕、〔b〕所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A•开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．〔1〕如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．〔2〕如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C•后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于2．〔友情提示：过点Q•作DQ⊥CB，垂足为D，那么：DQ CQAB AC=〕分析：〔1〕设经过x秒钟，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．〔2〕设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=〔14-y〕，CQ=〔2y-8〕，又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．解：〔1〕设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．那么：12〔6-x〕·2x=8整理，得：x2-6x+8=0解得：x1=2，x2=4∴经过2秒，点P到离A点1×2=2cm处，点Q离B点2×2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1×4=4cm处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求．〔2〕设y秒后点P移到BC上，且有CP=〔14-y〕cm，点Q在CA上移动，且使CQ=〔2y-8〕cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，那么有DQ CQ AB AC=∵AB=6，BC=8∴由勾股定理，得：∴DQ=6(28)6(4) 105y y--=那么：12〔14-y〕·6(4)5y-整理，得：y2-18y+77=0 解得：y1=7，y2=11 九年级 练数 学 习同步即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处〔CP=14-y=7〕，点Q在CA上距C点6cm处〔CQ=•2y-8=6〕，使△PCD的面积为m2．经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．∴本小题只有一解y1=7．五、归纳小结本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．六、布置作业1．教材P442．选用作业设计:一、选择题1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，那么斜边为〔〕．A B．5 C D．72．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是〔〕．A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;C．第一块木板长9m，宽，第二块木板长7m，宽;D．以上都不对3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，那么原来的正方形铁片的面积是〔〕．A．8cm B．64cm C．8cm2D．64cm2二、填空题1．矩形的周长为，面积为1，那么矩形的长和宽分别为________．2．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，那么它的周长为________．3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，假设竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，那么此长方形鸡场的长、宽分别为_______．三、综合提高题1．如下列图的一防水坝的横截面〔梯形〕，坝顶宽3m，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，假设坝长30m，完成大坝所用去的土方为4500m2，问水坝的高应是多少?〔说明：•背水坡度CFBF=12，迎水坡度11DEAE〕〔精确到〕2．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，那么这个宽度为多少?3．谁能量出道路的宽度:如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，•只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．【知识与技能】了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形.【过程与方法】结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.【情感态度】学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又效劳于生活，表达事物之间是相互联系，相互作用的.【教学重点】正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.【教学难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.一、情境导入，初步认识观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.〔1〕你能从图案中找出多边形吗？〔2〕你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题〔2〕的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.二、思考探究，获取新知问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论.教师引导学生根据题意画图，并写出和求证.：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE形成五边形.问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论.答案：五边形ABCDE是正五边形.====，∴AB=BC=CD=DE=EA，证明：在⊙O中，∵AB BC CD DE EA==，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE是正五边形. BCE CDA AB3【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带着学生完成证明过程.问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？答案：这个n边形一定是正n边形.【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般.问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形.【教学说明】问题3的提出是为了稳固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不可.同时教会学生学会举反例.培养学生思维的批判性.综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念.正n边形：中心角为：360°n；内角的度数为：180°〔n-2〕n例1〔课本106页例题〕有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积〔结果保存小数点后一位〕.分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=360°/6=60°.∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，∴这个亭子地基的周长为:4×6=24〔m〕.过O点作OP⊥△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角形来解决.例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合的方法来解决问题，加深对有关概念的理解.画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：〔1〕用量角器等分圆周.方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可防止地存在误差.〔2〕用尺规等分圆正方形的作法:如图〔1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，那么可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图〔2〕任意作一条直径AB，再分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，那么A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.方法二：如图〔3〕由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.【教学说明】尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分.三、运用新知，深化理解1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，那么∠APB的度数为_______./π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____.3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，……正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.〔1〕求图1中的∠MON的度数；〔2〕在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____；〔3〕试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.〔直接写出答案〕【教学说明】题1、2可由学生自主探索完成，题3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习.°4.解：〔1〕连接OB、OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法与〔1〕相同)(3)∠MON=360°/n.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回忆，教师再予以补充和点评.1.布置作业：从教材“〞中选取.练习册中本课时练习的“课后作业〞局部.1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些根本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，表达了化归的思想.其次，在这一根底上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以开展学生的作图能力.2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最根本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.。
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《一元二次方程的应用（几何面积问题）》教学设计
课型：新授
教学目标：
1、知识与技能：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程；
2、数学思考：进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，从中感受到数学学习的意义；
3、问题解决：经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程；
4．情感态度：培养学生实事求是的科学态度，提高自身的数学交流水平，增强与人合作的精神和解决实际问题的能力，发展辩证思维能力。
教学重点：掌握列一元二次方程解应用题的基本步骤，会列一元二次方程解确决有关几何应用中的面积问题。
教学难点：如何将实际问题转化成数学问题，一元二次方程的建模过程，是本节课的一个难点。
课标与教材分析：课标要求能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
本节内容的设置，正是《新课程标准》在知识点上呈螺旋上升趋势的具体体现。
学生已经有了列方程解应用题的基本思路,同时,掌握了解一元二次方程的基本方法,但是学生的思维需要逐渐培养，在学生具备一定的思维水平的基础上，教师是引导学生学习的关键，在学习难度较大的知识点时，兴趣是关键。
教师还应从学生的积极性入手，努力去挖掘学生的主动性和合作性，以增强学生克服困难的决心。
教学过程：
一、 课前热身
这两个一元二次方程是这节课学习一元二次方程的应用（几何面积问题）的方程模型，这两个方程的掌握会对学生直接产生事半功倍的效果，通过练习，让学生熟练掌握这类方程的解法。
二、课堂进行时……
园林设计院计划在一块长16m 、宽12m 的矩形空地上，修建同样宽的道路，剩余部分种植花
草，种植花草部分的面积为96m 2，请你在下面的矩形中设计几种既美观又实用的方案：
通过一个小小的设计环节，
让学生自己动手设计出模型，
并由此引出下面模型的计算。
下面是几位工人师傅设
计出的几个方案，请同学
们帮忙计算一下这些方案是否可行。
()()()()12362126
x x x x --=++=、
、
1、如图，甲工人在空地中间修建两条同样宽且互相垂直的
道路，请同学们帮忙求出道路的宽度为多少？
通过几何画板，向学生展示矩形内部的道路移动时，
不改变剩余部分的面积。
进而列出一元二次方程，
解决此种类型的应用题。
2、乙工人在空地中间修建如图所示的两条道路，请同学们帮
忙求出x的值。
可列方程为：
_____________________________________
通过一个变式练习，让学生加深印象。
3、如图，在空地四周修建同样宽的道路，中间绿色地方种植花
草，请同学们帮忙求出道路的宽度为多少？
解：设道路的宽为x米。
可列方程为：
_____________________________________
进入另外一个数学模型。
三、总结概括
列一元二次方程解应用题的关键是：_____________________________。
列一元二次方程解应用题的步骤：一_____；二______；三_____；四____；五_____；六_____。
列一元二次方程解应用题需要注意的是：__________________________。
总结解一元二次方程应用题的关键、步骤和注意事项。
四、熟能生巧
1、如图，在空地两边修建两条同样宽且互相垂直的道路，
要使剩余部分的面积为总面积的80%，请同学们帮忙求
出道路的宽度为多少？设道路的宽度为x米，可列方程
为：______________________________。
2、如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修同样宽
的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪面
积为540平方米，则道路的宽为多少米？设道路的宽度为
x米，可列方程为：______________________________。
3、如图，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折小道，剩余地方种植花草．如图所示，要使种植
花草面积532m 2
，那么小道进出口宽度应多少米？设小道的宽度为x 米，可列方程为：______________________________。
4、如图，在宽为 60 m ，长为 92 m 的矩形耕地上，修筑
同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互
相垂直），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使每块
试验田面积为885m 2，问道路应为多宽？设道路的宽度为x
米，可列方程为：______________________________。
5、在一幅长90cm 、宽40cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？设金色纸边的宽为x 米，可列方程为：______________________________。
6、如图，在长为1m ，宽为0.8m 的长方形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，
制成一幅挂图，如果整幅挂图的面积为1.2m 2，那么金色纸边的宽度应是多少m ？
通过练习解方程，让学生更深刻的了解此类应用题的解题。
五、课后作业：课本第57页8—12题。
板书设计：
一元二次方程的应用（几何面积问题）
矩形面积公式：S=长×宽
解：设道路的宽度为X 米，由题意的 ()()()
12161296
424x x x x --===解得：不合题意，舍去 答：道路的宽为4米。
关键：寻找等量关系，列出方程。
步骤：审、设、列、解、验、答。
注意：根的合理性。