数学分析(一)第一章复习题

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数学分析第一册第一章

S的最小的上界称作的上确界的最小的上界,称作的上确界. 的最小的上界称作S的上确界满足：定义2 定义设S是R中的一个数集若数 η 满足：是中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是的上界；即是S的上界的上界； (ii) 对任何 α < η , 存在x0 ∈ S , 使得 x0 > α , 即则称数
事实上，对任何正数无论多么大无论多么大)，事实上，对任何正数M(无论多么大，取则 n0 ∈ N + , 且 n0
n0 = [ M ] + 1, ([ M ]表示对M 取整)
问题: 问题设 S
有无上界; 有无上界 = [0,1]. (1) S有无上界 (2) S若有上界有几个上界若有上界,有几个上界若有上界有几个上界; (3) S有无最小的上界有无最小的上界. 有无最小的上界
数集.确界原理 §2数集确界原理数集一区间与邻域为开区间，设 a, b ∈ R, 且 a < b. 称数集 {x | a < x < b} 为开区间，记作 ( a, b) 称为闭区间，记作数集称为闭区间，
{x | a ≤ x ≤ b}
(a, b)
数集
{x | a ≤ x < b} [a, b) 都称为半开半闭区间，都称为半开半闭区间，分别记作 ( a, b] { x | a < x ≤ b} b
例2 设
满足：定义2 定义设S是R中的一个数集若数η 满足：是中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是的上界；即是S的上界的上界； η 又是的最小上界，的最小上界 (ii) 对任何 α < η , 存在x ∈ S , 使得 x0 > α ,即又是S的最小上界，则称数证明: S = [0,1]. 证明 sup S = 1. 的上界；的上界证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界； (ii) 对任何 α < 1, 取 x0 = 1 ∈ S , 则有 x0 > α , 故 sup S = 1. 例2 设证明: = [0,1).证明: sup S = 1. 的上界；的上界证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界；则有任取 x0 ∈ S , (ii) 对任何 α < 1. 若 α < 0, 1+ α , 有 α < x0 . 有 α < x0 . 若 0 ≤ α < 1, 取 x0 = 2 sup S = 1. 例3 设 S 所以

18数学分析-1复习题试题及参考答案

18数学分析-1复习题参考答案一、选择题 1.函数1()ln(2)f x x =-的连续区间是（ B ）A. (2,)+∞ ;B. (2,3)(3,)⋃+∞;C. (,2)-∞ ;D. (3,)+∞.2.若函数xx x f =)(，则=→)(lim 0x f x （ D ）.A.0 ;B.1- ;C.1 ;D.不存在. 3.下列变量中，是无穷小量的为（ C ）. A.1ln(0)x x +→; B.cos (0)x x →;C.ln (1)x x → ;D.22(2)4x x x -→-. 4. 1lim(1)1nn n →∞+=+（ B ）. 12.1...-A B eC eD e5.1lim(1)1→∞+=-nn n （ B ）. 12.1...-A B eC eD e6.下列两个函数是同一函数的是（ C ）A. ()3,()f x x x ϕ=+=41()ln ,()ln 4f x x x x ϕ== ;C. 22()sin cos ,()1f x x x x ϕ=+= ; D. 2(1)(),()11x f x x x x ϕ-==-- . 7.2239lim 712x x x x →-=-+ ( C ) A.0 ; B.25- ; C.6- ; D. 76.8．0sin 2lim →=x xx（ D ）A. 0 ;B. 1 ;C. 3 ; D . 2 .9.=→xx x 1sin lim 2（ C ）. 11A B C D ∞-10. 函数3412++-=x xy 的定义域是( B ) A. 2±≠x ; B. 2±≠x 且3-≥x ; C.3-≥x ; D. 以上均不正确.),1.();,.();1,.();1,1.()(|2|||.11+∞+∞-∞-∞-->D C B A D x x x 的集合是所有用区间表示满足不等式12.当0→x 时,下列（ B ）为无穷小量A ．x e ;B ．x sin ;C ．sin x x ;D ．xx 1sin )1(2+13.=→xxx 3sin 5sin lim 0 ( D )A .0 ; B. 1 ; C. 不存在; D. 35.14.设函数x x x f -+=33)(，则)(x f 在),(+∞-∞内为( A ) A. 偶函数; B.奇函数; C. 非奇非偶函数 ; D.以上均不对. 15. 函数()1ln f x x=+的定义域是( D ) ().2,2A - ; [)(].0,11,2B ⋃ ; ()().2,11,2C -⋃ ; ()().0,11,2D ⋃.16.函数1sin y x=是定义域内的( C ).A 周期函数 ; .B 单调函数 ; .C 有界函数; .D 无界函数. 17.已知；()sin 2cos f x x x =+，则(0)f =（ A ） A.2 ; B. 0 ; C. 1; D.-1 ..210.;210.;110.;110.)()2lg(1.181122-=+=-=+=++=----x x x x y D y C y B y A D x y 的反函数是函数..;;.;..)(}.80|{},55|{.19B B A D B A C B A B B B A A A x x B x x A ⊃⊃⊂⊂≤≤=≤≤-= 则有设二、填空题1.已知函数(1)(1)f x x x -=-，则函数f ()x = x 2+x 。

数学分析试题

测试题第一章实数集与函数（A ）1．证明：n ≥1时，有不等式)1(21)1(2--<<-+n n nn n .然后利用它证明：当m ≥2时，有)21)2(21m nm mn <<-∑=.2．设S 是非空数集，试给出数的下界是S ξ，但不是S 的下确界的正面陈述.3．验证函数R x x x x f ∈=,sin )(，即无上界又无下界.4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 是定义在R 上的偶函数，试问))(()),((x f g x g f 是奇函数还是偶函数？5．证明：)0(sgn 2cot arctan ≠=+x x x arc x π.6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称：（1）c bx ax y ++=2；（2）x b x a y -++=. 7．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A =（B ）1．设n 为正整数.（1）利用二项式展开定理证明：∑=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+nk k r nn r k n 1101!1111 ，其中 10-=k r 是连乘记号.（2）若1 n ，证明：∑=<+<⎪⎭⎫⎝⎛+<n k nk n 13!111122．设{}为有理数r r r E,72<=，求E sup ，E inf3．设A ，B 为位于原点右方的非空数集，{}B y A x xy AB ∈∈=,证明： B A AB inf inf inf ⋅=4．设函数()x f 定义于()+∞,0内，试把()x f 延拓成R 上的奇函数，()x f 分别如下：（1）()x e x f =；（2）()x x f ln = 5．试给出函数()x f y =，D x ∈不是单调函数的正面陈述。

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第沖实数集与函敷 (1)第一节实数 (2)第二节效集僅界原理 (7)第三节fiftO (10)第四节具有某些特性的阪数 (17)总练习題答案 (22)第二章财极限 (26)第一节数列极限徵公 (27)第二节收敛数列的性质 (33)第三节数刘极限存在的条件 (39)总终习願唇* (44)第三章甬数极限 ........................................... ：・ .. (49)第一节面数极限低念 (50)第二节函数极限的性质 (55)第三节函数极限存在的条件 (60)第四节两个重要的极限 (64)第五卡无穷小董与无穷大R (69)总竦习題答案 (74)第酵献的连鸵 (79)第一节连续性豪念 (80)第二节连縊船性质 (86)第三节初等甬数的连线性 ............ : . (93)总绦习題菩案 (95)第五章导数和微分 (99)第一节导数的柢念 (100)第二节求导法H (107)一-唏三节滲变静数的导数 (114)第四节酗导数 ...................................................... ・“・117第五节» 分 (123)总练习题答案 (127)第六章微分中龊理及其觎 (130)第一节拉格朗日定理m的单调性 .......................................... BI第二节柯西中值定理和不定式极限 (140)s s223背F玄山鳥谡央」 225濟山M耳曲漱丰229s233s•册曲M#J r(涯) 242s s s殆2…••：254盂雷養監258259s^ss s s264誥**B i盂盅査穿268普令鉴雷畫抽273s 277•1s s§282T M283漓I*s s285s292s298誥H 書養 H93156羽W H阿涔30矗M g渐 -63S 169•s s ^§175176矗蛙益兽 -82节*笛料莽霞專常雷 183删I I*188 •ss ^l 189194孟盂睪 196节H 盂睾期盥聲睾賈 197n*W蛰®盥盂睾琳22金：2一22一8尹M册曲R222第一章实数集与函数本章大纲要求1 •掌握实数的概念及其性质2 •理解数集与邻域的概念，掌握有界集及确界的定义和确界原理3 •理解函数的概念，掌握函数的表示法及其有界性、单调性、周期性和奇偶性4 •掌握基本初等函数的性质和图形，理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念实数及其性质买外绝对值与不等式有界性单调性奇函数和偶函数［周期函数本章知识结构实数、数集与确界原理j 数集与确界原現实数集写函数［区间与邻域的概念与性质（有界集确界原理〈确界、确界原理函数的定义及表示法函数的四则运算函数概念复合函数反函数初等函数数学分析同步捕导（上册）第一节实数一.基本内容SU — 2二、重点难点第一节实数及绝对值的相关概念及性质我们在屮学阶段均已接触过，只是那时尚未对一些性质做进一步讨论，如实数的阿基米德性及稠密性等，在本节的学习中我们应着重注意对学过的知识的系统归纳和总结，从更新的高度理解实数.三、典型例题分析例1.证明:对任意x e R,存在唯一的整数，记为［幻•使得［门<J<M+ I.这里称［刃为工的整数部分.证明先证存在性：若0 < I 时，则取［疋］=0,有［x］ < x < ［J］ +1.若h根据实数的阿基米德性质，存在正整数N■使得工< N,令E = | j<n,n为正整数”则E工0,因为N€ E，因此％= minE存在11有％—1丢工<心・令［x］= no-l,则［刃< X R］ +1・若X 0,则一工〉0,由上面所证，存在正整数［一/］使得［一刃〈一工 < ［一刃+ 1所以一(［—刃 +1)< x <一［—龙］当工=一［一幻时，一［一刃W工 <-［—工］+1.令［工］=—［-工］•则［x］ < X < ［刃 + 1当X <—［一王］时•则一［―工］—1 <工 <—［一攵］・令［工］=—［一文］一1 ,则［x］ < J < ［z］ +1综上,存在性成立.再证唯一性；设都为整数且"<x<n + l,w^x<m + l,那么—(?n + 1) <—x m由此得••n—(m + l)<0<M+l — Z/1 即”一加一1 < 0 < 九一m + 1U学分析15步■粤(上SB)得—1 < m — n < 1由此得加一刃=0,即加=几例2•试在数轴上表示出下列不等式的解；(1)|| 工+ 1 Hz-1 ||<1；⑵|卄2 |+|x-2|<12解(1)先对不等式两端平方并化筒得x2+y <1 J2 -1 I即疋一】>++* 或J2 - 1 <~ (J2 4-1-)显热前者不可能•故解得1 . . 1"7<J<2如图】一1・图1-1(2)令工一2 =蓟则得H + 4I+UK12 或"+ 4|<12-两边平方,化简得再对上式两端平方得/+竝一32£0于是一8©〈4即—6 £工g 6・如图1 一2・—4—I—>—•_・ 6-3036 x0B1-2例3・设实数“6满足丨a|<l,|i|<l.证明不等式第一章实槪靈与函槪乞+01 + ab证明要证明的不等式等价于即同时有一盂〉°与】+応〉。

数学分析第一章习题课

n n 3 n1 n 2 lim 2 2 2 n n 1 n 2 n n 2 1 a 例7 设x1 0, 证明xn1 ( xn )有极限(a 0) 2 xn 证显然 xn 0 1 a xn 1 ( xn ) a 2 xn
解
注意到分子成等差数列
( n 1) ( n 2) ( n n) 2 n n ( n 1) ( n 2) ( n n) n2 1
n( 3n 1) n( 3n 1) 即 2 2( n n) 2( n2 1) n( 3n 1) 3 lim 2 n 2( n n ) 2 n( 3n 1) 3 lim 2 n 2( n 1) 2
② lim(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ), (| x | 1)
2 4 n
2n
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) 原式 lim n 1 x 2 n 1 1 x 1 lim n 1 x 1 x
1 x 1 2( x 1) ) f ( ) , 1 x x x
解联立方程组
x 1 f ( x) f ( x ) 2 x 1 2 ) f ( x) f ( 1 x 1 x 1 x 1 2( x 1) f (1 x ) f ( x ) x
p( x ) x 3 例8 设p( x )是多项式, 且 lim 2, 2 x x p( x ) lim 1, 求p( x ). x 0 x 3 解 lim p( x ) 2 x 2, x x 可设p( x ) x 3 2 x 2 ax b(其中a , b为待定系数 ) p( x ) 又 lim 1, x 0 x p( x ) x 3 2 x 2 ax b ~ x ( x 0)

数学分析第一章习题

并用定义验证之. 证明
1 2 n n S { , ,, , n N } ∵ ， n 1 |单调 2 3 n1
n 1 增加且 lim n 1 1 ，∴ sup S 1, inf S 2 |. n n 1 x S , x n 1 1 1 1 1 . （1）2 |是下界： n 1 n1 n1 2 2
例3
证明下面数列发散：
n
（1） {( 1) } ；证明
（2） { n
n
( 1)n1
}.
2 k 1
（1）设 an ( 1) ，易见
a2 k (1) 1 ， a2 k 1 ( 1)
2k
( 1)n1
1 .
n
奇偶子列收敛于不同的极限，故 {( 1) } 发散. （2）设 an n ，显然，a2 k 1 n
{( 1)n } 发散。证明：数列nΒιβλιοθήκη 1 ( 1) 证明： 1
n 2k 1 . a ，
n 2k
若 a 0 ， 0 1 0 ， N N ， n0 2 N 1 ，
an0 a ( 1)n0 a 1 a 1 a 1 0 ，有
2n0 a 2n0 a 0 ，
∴ 0 1 0 ， N N ， n0 N [ a ] 1 N ，有 2n0 a 2n0 a 2( N [ a ] 1) a 1 0 ，由定义，知数列 {2n} 发散. 证毕法二、显然数列 {2n} 无界，而收敛数列必有界， ∴ 数列 {2n} 发散。
注：下确界能取到证明简单；上确界取不到。
例3 设有数集 S { x x (0,1) Q} 试用定义验证： inf S 0,sup S 1 . | 证明（1） 0 是下界： x S , x 0 .

数学分析1考试题及答案

数学分析1考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是否连续？A. 是B. 否答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：B4. 函数f(x) = x^2 + 3x - 4的零点个数是？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/4 + 1/9 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x的导数是________。

答案：3x^2 - 32. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。

答案：e^x + C3. 函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的定积分是________。

答案：8/34. 函数f(x) = sin(x)的原函数是________。

答案：-cos(x) + C5. 函数f(x) = ln(x)的定义域是________。

答案：(0, +∞)三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (x^3 + 5x^2 - 2x)。

答案：02. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在区间[1, 3]上的定积分。

答案：-43. 求函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的极值点。

答案：x = 3/4四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是单调递增的。

答案：略2. 证明函数f(x) = x^3在x=0处连续。

数学分析(1)复习1.doc

数学分析(I)复习题一、选择填空题n TT1. 设= n sin —，则数列｛*”｝是 ( )(A) 收敛数列；(B)无穷人；(C)发散的有界数列; 2. 命题①若 hw\a n = a ,贝ijlimo “ = a ； n —>oo*n —>oo② 若对于任意自然数p ,都有lim a n =d ，则lim^ =ci (P 为任一自然数);“一>8 Pn->co③ 若 lim a n =a ，则 lim|a 打=a ；7T —>OO>20*④ P£>0,U(a,£)中含仏｝的无穷多项,贝ij lima” =a ."T8中不止确的个数是() (A) 1(B)2(C)3(D)43. 当刃T oo 时,卜•列变量屮非无穷小量的是()/7丄,2171(A) —(6?>1)(B2(C) — (D) sin-a n n4. 设函数/在(a — 恥 + 力)上单调，则/(a + 0)与/@一0) (A)都存在FL 相等； (B)都存在但不一定相等; (C)有一个不存在；(D)都不存在兀2_］丄5当兀T 1时，函数一£一啲极限是()x-l(A) 2;(B) 0; (C) 8； (£>)不存在但不为g2、- --- ax-b) 兀+ 1 7(A) a = \,b = \\ (S) a = -l.b = l\ (C) a = \y b = —1;(D) a = —\,b =cin x7. 设f(Q = L —,则兀=0是/的 ()I x I(D)无界但不是无穷人。

6•已知lim =0,则(A)连续点；(B)可去间断点；(C)跳跃间断点；(D)第二类间断点。

8.若函数/在(Q,b)上连续，则/ ( )(C)在(Q,b)的任一闭区间上有界；(D)在［a,b］有界。

e x -e----- ,X <1x-\9.设= { -1, x = l,则广(对在兀=1点处()lnx .------，x > 11-x(A)无定义；(B)仅左连续；(C)仅右连续；(D)连续.10.下列说法正确的是( )(A)若/⑴在勺点处的左极限、右极限存在，贝厅(兀)在勺点连续；(B)若对于V^>0,/(x)在(a +》,b-5)上连续，则/(兀)在［讪上连续;(C)若f (兀)在(°劝上连续，助a + 0)J(b-0)存在，则/(兀)在(°劝上一致连续；(D)若I f(x)l在兀。

《数学分析》1复习

得 f (c) = c . 20. 证明:函数 y = 1 sin 1 在(0,1)上无界,但当 x → +0 时,这个函数不是
xx 无穷大.
导数与微分
1．设函数
f
(x) 在 x
=
x0 处可导，且
f ′(x0 )
=
2, 则 lim h→0
f
(x0
− h) − h
f (x0 )
=
。
2．设
f
(0) = 0 ，且
（10） y = (tan5x2 )3 （12） y = e−x sin 2x
（13） y = xsin x
（14） y = ln(arcsin 2x)
6．设 f (x) = ⎪⎨⎧12 x 2 !!! x ≤ 2 ，且 f (x) 在 x = 2 可导，求 a, b 。 ⎪⎩ax + b!! x > 2
上有界。
15.设 b > 0, a0 > 0，数列{an}由以下递推公式给出,
an
=
1 2 (an−1
+
b )， an−1
n=1,2,3….证明该数列{an}收敛，并求其极限值。 16.设 f (x) 为定义在[a,+∞) 上的增函数，证明： lim f (x) 存在的充要条件是
x→+∞
f (x) 在[a,+∞) 上有上界。
f
(x)
=
3 x −1 x −1 ，则
x=1
是函数
f
(x) 的（
）
A、连续点 B、可去间断点 C、跳跃间断点
D、无穷间断点
13、设 f (x) = ⎪⎨⎧sinx x ⎪⎩0
x>0 ，则 x=0 是函数 f (x) 的第

数学分析1练习题

数学分析 1 练习题一、判断题1、非空有界数集S 必有正常上确界和下确界；2、单调数列必有极限；3、有界数列必有极限；4、有极限的数列一定单调；5、有极限的数列一定有界；6、设 f (x)在(a,b)内连续，则 f (x)在(a,b)内一定取得最大值和最小值；7、设 f (x)在(a,b)内连续，则 f (x)在(a,b)内一定一致连续性；8、设函数f(x)在点x0连续，则函数 f (x)在点x0一定可导；9、设函数f(x)在点x0可导，则函数 f (x)在点x0一定连续；10、设 f (x0)和 f (x0 )均存在，则 f (x0) 一定存在；11、设 f (x0)和 f ( x0 )均存在，则 f (x)在点x0一定连续；12、函数 f ( x)在点x0取得极值，则必有 f (x0) 0；13、若 f (x0) 0，则x0为函数 f ( x)的极值点；14、点(x0, f (x0)) 为曲线y f (x)的拐点，则必有 f (x0) 0；15、若 f (x0) 0，则点(x0, f (x0)) 为曲线y f ( x)的拐点；16、若x lim x f ( x)不存在，则 f (x0 )一定不存在；x x 017、设 f (x) C[a,b]，在( a,b)内可导，则一定不存在(a,b)，使得 f ( ) 0 ；18、设函数f(x)在点x0可微，则函数 f (x)在点x0一定可导；设 f (x) sgn x ，则 x 0为函数 f (x)的间断点；若 xlim x 0f (x) 存在，则函数 f (x)在点 x 0一定连续；定不存在；存在；存在；填空题19、20、 21、22、 23、二、 1、 2、 4、 6、 8、 10、 11、 12、 13、设 f ( x ) 的定义域为 [0,1]f (x 2) 的定义域为lim n3 n 22 n 12n 2 3 3、 limlnn nn1 lim xsin x 0x5、sin 2 5 x lim x 0 x tan 3 x 7、 li m x0ln(1 x ) x e1 lim x 0 x 9、 li m x01 cosx x23x 31 yx 2x 的垂直渐近线为 3 x 21 yx 2x的水平渐近线为 3 x 34 yx 22x的斜渐近线为若 lim f ( x) 不lim g(x) 也不存在，则 lim[ f (x) g( x)] 若 xlim xf ( x) 不l x im x g( x) 存在，则xlim x [ f (x) g( x)]一定不若 x lim x 0f (x)不存在， l x im x 0g( x)存在，则 x lim x 0[ f(x) g(x)]一定不 tan x sinx lim x0 sin 3xxx0；设 f (x) tan x ，则 x 为函数 f (x)的间断点；设 f (x) sin 1，则 x 0为函数 f (x)的间断点；x 线 f(x) ln x 在点 (1,0) 的切线方程为(2009) ( n)sin x ； 21、 cosx ； (2009)cosx；设 x ln(1 t 2) ，则 dy ， d dy，d22yy t arctan tdx d t d xdx 2曲线 f (x) x 33x 2的拐点为；线 f(x) 3x 的拐点为函数 f (x) x 45x 4在 [ 1,2] 上的最大值为设 f (x) (x 1)(x 2)( x 3) ，则 f (x) 0有个根。

数学分析课本-习题及答案01

第一章实数集与函数习题§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数。

证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。

2、试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。

3、设a 、b ∈R 。

证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。

4、设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。

5、证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。

6、设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。

证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。

你能说明此不等式的几何意义吗7、设x>0，b>0，a ≠b 。

证明x b x a ++介于1与ba 之间。

8、设p 为正整数。

证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。

9、设a 、b 为给定实数。

试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。

§2数集、确界原理1、用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6；（3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）；（4）sinx ≥22。

2、设S 为非空数集。

试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。

3、试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。

4、求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n21，n ∈+N }。

数学分析复习(一)极限

数列的极限1．下列说法能否作为a 是数列}{n a 的极限的定义？为什么？(1)．对于无穷多个0>ε，存在+∈NN ，当Nn >时，不等式ε<-||a a n 成立。

(2).对于任给的0>ε，存在+∈N N ，当Nn >时，有无穷多项na 使不等式ε<-||a a n 成立。

(3).对于给定的10010-=ε，不等式1010||-<-a a n 成立。

2．判断题(1).若A a n n =∞→lim ，则||||lim A a n n =∞→。

( )(2)．若||||lim A a n n =∞→，则A a n n =∞→l i m。

（） (3).若}{n a 收敛，则0)(l i m 1=-+∞→n n n a a 和1lim 1=+∞→nn n a a 。

( )(4).收敛数列一定是单调数列；无穷小量一定是单调数列。

( )(5).如果数列}{n a 收敛于a,那么||a a n -随着n 的增加而单调减少趋于0。

( )(6).非负数列的极限是非负数，正数列的极限是正数。

( )(7).}{n a 收敛的充分必要条件是}{2k a 和}{12-k a 收敛于同一极限。

(8).若数列}{n a 收敛，a a n n =∞→lim ,c a ≥,则存在N,当 Nn >时，有ca n ≥.（）(9)0lim ,0lim .==∞→n n n n x x 则若.2．选择题(1).若1lim 2=∞→n n x ，则○11lim=∞→nnx. ○21lim-=∞→nnx○3nnx∞→lim不存在.○4}{nx有界.3.求极限（1）)2222(lim284nn∞→(2)nnn2sin2lim+∞→(3))2411(lim3233nnnnnn++++++∞→(4)4)411(lim+∞→-+n n n(5) nn nn++∞→21lim(6)若daannn=-+∞→)(lim1，求nann∞→lim4．设aann=∞→lim，证明(1).annann=∞→][lim(2).若,0>>naa，则1lim=∞→nnna5．设)(21,0,011nnn xaxxxa+=>>+.证明}{nx收敛，并求其极限。

十）数学分析1考试试题

十）数学分析1考试试题（十）《数学分析1》考试试题一、叙述题1叙述闭区间套定理；2用肯定的形式叙述函数)(x f 在数集D 上无上阶；3叙述Rolle 微分中值定理；二、计算题1 求极限x x x x )11(lim -+∞→ ； 2 求摆线-=-=ty t t x cos 1sin π20≤≤t ，在π=t 处的二阶导数22dx y d 的值；3 设x e x f =)(2，求不定积分?dx x x f )( ；4 求不定积分?-+dx e ex x 1arctan 2 ；三、讨论题 1讨论函数=)(x f ≤0 ,00 , 1sin x x x x φ 在0=x 点处的左、右导数； 2设221)(xn nx x f n += ，[]A e x .∈ ，)0(+∞πππA e 2 1 ）、、（Λ=n ，讨论)(x f n 在[]A e .上的单调性的最大值点；四、证明题1用定义证明21121lim=-+∞→x x x ； 2证明：方程033=+-c x x ，（其中c 为常数）在[]1,0上可能有两个不同的实根；3若数列{}n x 收敛于a （有限数），它的任何子列{}k n x 也收敛于a 。

（十一）一年级《数学分析》考试题一（满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题：1 设数列}{n a 递增且（有限）. 则有}sup{n a a =. ( )2 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n ο∈?,当0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在点0x 连续. ( )3 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义. 若存在实数A ,使0→?x 时,),()()(00x x A x f x x f ?=?--?+ο则)(0x f '存在且A x f =')(0. ( )4 若),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='='则有).()(21x f x f >( )5 设 ??+=+=c x G dx x g c x F dx x f )()( ,)()(. 则当)()(x G x F ≠时,有)()(x g x f ≠. ( )二（满分 1 5 分，每小题 3 分）填空题: 1 =+=∞→+=∑n n n k n a k n a lim .911612 . 2 函数 |3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是 . 3. )1ln()(2x x f +=, 已知56)2()(lim000=--→h h x f x f h , =0x . 4. 函数193)(23+--=x x x x f 的既递减又下凸的区间是 .5. ??='+=dx x f x c x dx x f )( ,sin)(2 . 二（满分 3 6 分，每小题 6 分）计算题: 1 1111lim 30-+-+→x x x .2 求函数54)15(4)(+-=x x x f 的极值 . 3 ?+12x x dx . 4 ?++dx x x )1ln(2. 5+-+dx x x x 5232.6 在边长为 a 的正三角形的三个角上剪去长为x 的四边形(如右上图),然后折起来做成底为正三角形的盒子. 求最大体积 .三（满分 7 分）验证题: 用“δε-”定义验证函数 254)(2-+=x x x f 在点20=x 连续 . 四（满分 3 2 分，每小题 8 分）证明题:1 设函数f 在区间]2 , 0 [a 上连续 , 且 ) 2 () 0 (a f f =. 试证明 :] , 0 [ a c ∈?, 使 )() (a c f c f +=.2 设函数)(x f 在区间 I 上可导, 且导函数 )(x f '在该区间上有界 .试证明函数 )(x f 在区间 I 上一致连续 .3 设函数)(x f 在区间] , 0 [a 上二阶可导,且 0) (=a f . )()(2x f x x F =.试证明: ) , 0 ( a ∈?ξ, 使0) (=''ξF .4 试证明: 对R ∈?n x x x ,,, 21Λ, 有不等式 n x x x n x x x n n 2222121 +++≤+++ΛΛ.（十二）一年级《数学分析》考试题一判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））（共18分，每题3分）：1. 设)(x f 在],[b a 上连续，M 与m 分别是)(x f 的最大值和最小值，则对于任何数)(M c m c ≤≤，均存在],[b a ∈ξ，使得c f =)(ξ。

数学分析1复习题

一、填空题：（一）。

（二）设，则。

（三）设，则，=。

（四）当时，与等价。

（五）函数在点可微是函数在点连续的条件。

（六）设，则为其间断点。

（七）设，则。

（八）已知，则。

（九）设，它的严格单调上升区间为。

（十）设，则在严格上凸。

（十一）设，则，=。

（十二）当时，与等价。

（十三）设，则为其间断点。

（十四）设，则。

（十五）函数的拐点是二、选择题（一）“对任意给定的，总存在正整数，当时，恒有”是数列收敛于的（）。

A、充分条件但不是必要条件B、必要条件但非充分条件C、充分必要条件D、既非充分条件有非必要条件（二），则是（）。

A无界函数；B、偶函数；C、单调函数；D、以为周期的函数（三）下列等式正确的是（）。

A、B、C、D、（四）设，则满足（）。

A、在无界B、在有界C、当时有极限D、当时为无穷大量（五）设函数为内的可导偶函数，则是（）A、内的偶函数B、内的奇函数C、内的非奇非偶函数D、可能是奇函数，可能是偶函数（六）当时，与为同阶无穷小，则（）。

A、0B、1C、2D、3（七）函数在区间上满足l a g r a n g e中值定理，则（）。

A、B、1C、D、（八）=（）。

A、0B、1C、D、（九）设在上可导，是的最大值点，则（）。

A、B、C、时D、以上都不对（十）函数在区间上的最小值是（）。

A、B、C、D、（十一）数列收敛于，则对任意的的（）邻域之外，数列中的点（）。

A、必不存在B、至多只有有限多个C、必定有无穷多个D、可能有有限多个，可能有无穷多个（十二）设数列满足，下列说法正确的是（）。

A、若收敛，则必发散B、若无界，则必有界C、若有界界，则必为无穷小D、若为无穷小量，则必为无穷小量（十三）当时，与为同阶无穷小，则（）。

A、1B、3C、5D、7（十四）函数在区间上满足L a g r a n g e中值定理，则（）。

A、B、1C、D、（十五）=（）。

A、0B、1C、D、（十六）函数在区间上的最小值是（）。

A、0B、1C、2D、（十七）设在处连续，那么在处（）。

大一数学分析复习题

方法一：应用数列极限的定义(证明题)用定义求数列极限有几种模式：（1），作差，解方程，解出，则取或（2）将a a n -适当放大，解出()εf n >；（3）作适当变形，找出所需N 的要求。

方法二：常用方法：约去零因子求极限，分子分母同除求极限，分子(母)有理化求极限方法三（迫敛性）设收敛数列都以为极限，数列满足：存在正整数,当时有：则数列{}c n收敛，且。

方法四：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。

方法五：两个重要极限是和方法六：（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数N，使得当n，m时，有方法七：Stolz定理：设n>N时，且，若（为有限数或无穷大），则方法八：形如数列极限方法九：用等价无穷小量代换求极限（等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．），常见等价无穷小有：当时,,；方法十：用罗必塔法则求极限，用对数恒等式求极限，数列极限转化成函数极限求解。

算术－几何－调和平均不等式：对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有均值不等式:等号当且仅当时成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)对由二项展开式（４）Cauchy－Schwarz 不等式:(),有（５），；；；导数微分及应用习题判断:1、若可微，且为上的偶函数，则必为][l l-上的偶函数；,（）2 若是上的奇函数，则)f'必为[]l l,-上的偶函数；（）(xx点的极限存在3、如果函数在点的左、右极限都存在，则函数在（）x点可导；（）4、若函数)f在(x(xf在点连续，则)5、若函数)(x f 在点0x x =连续，则)(x f 在0x 点的极限一定存在；（）6、若函数)(x f 在点0x x =可微，则)(x f 在0x 点可导；（）7、如果函数()x f y = 在 0x 点的左、右极限都存在，则)(x f 在0x 点可导；（）8、若函数)(x f 在点0x x =连续，则函数()x f y = 在 0x 点的左、右极限都存在且相等；（）9、若)(x f 在0x 点不可导，则函数)(x f 在点0x x =一定不连续；（） 10、若函数)(x f 在点0x x =不可微，则)(x f 在0x 点不可导；（） 11、若函数)(x f 在点0x x =不可微，则)(x f 的左、右极限一定不存在；（）12、设函数)(x f 在0x 点可导，导数为，则（）13、设函数)(x f 在0x 点可导，导数为)(0x f '，则（）14、设函数)(x f 在0x 点可导，导数为)(0x f '，则（） 15、函数在处不可导；（）16、函数1-=x y 在1=x 处不连续；（） 17. 若)(0x f '存在，且，则（）18、若)(x f 在上可导，则)(x f 在],[b a 上有界；（）19、若)(x f 在0x 点导数不存在，则曲线在点处没有切线；（） 20、曲线上点处的法线的斜率为；（）21.设)(x f y =在0x x =可微，则当时，是关于高阶的无穷小；（） 22、若，则)(x f 在处不可导；（）23、若)0()()()(lim2+∞<<=--→l l a x a f x f ax ，则)(x f 在a x =处可导但；（） 24、若)0()()()(lim2+∞<<=--→l l a x a f x f ax ，则)(x f 在a x =处可导且；（） 25、若，则；（）1.设)(x f 在0x x =的某个邻域内具有二阶连续导数，则（）.A 、0；B 、)(0x f '；C 、；D 、；.2、设在0x 的邻域内连续，且有，则（）.A 、0；B 、；C 、；D 、.3.设，则（）. A 、； B 、； C 、； D 、.4.设)(x f 在1=x 点处可微，，则（）.A 、2；B 、1；C 、0；D 、.5.设，其中)(x f 为二阶可导函数，则（）.A 、；B 、；C 、；D 、.6.如果在区间内，，则在),(b a 内)(x f 与)(x ϕ（）.A 、仅相差一个常数；B 、完全相等；C 、均为常数；D 、为常数）.7.设)(x f 为可导的偶函数，则)(x f '为（）.A 、偶函数；B 、可能是偶函数；C 、奇函数；D 、非奇非偶函数.8、设()x f 在0x x =处可导，则（）. A 、0； B 、； C 、； D 、)(0x f '.9、设，则（）.A 、－3；B 、3；C 、0；D 、∞. 10、设()x f 在区间),(b a 内连续，，则在点0x 处()x f （）.A 、极限存在且可导；B 、极限不存在，但可导；C 、极限存在，但不一定可导；D 、极限不一定存在. 11.设，则在处()x f （）.A 、无定义；B 、不连续；C 、连续且可导；D 、连续但不可导. 12、设，在0=x 可导，则必有（）.A、；B、；C、；D、.13、，则在0x处的导数（）.=A、0；B、－1；C、不存在；D、1.14、可微的周期函数其导数（）.A、一定是周期函数，且周期不变；B、一定是周期函数，但周期可能发生变化；C、不一定是周期函数； D、一定不是周期函数.15、设()xf为可微的偶函数，且对任意的，则（）.A、；B、；C、2；D、－2.16.曲线上，切线平行于直线的点的坐标为（）.A、（1，－3）；B、（3，－3）；C、（－1，5）；D、（2，0）.''y（）.17、设，其中为可微函数，则=A、；B、；C、；D、.18、设，则（）.A、；B、；C、；D、.19.设)f为可微函数，若，则（）.(uA、；B、；C、；D、.20、下列函数中导数等于的是（）.A、；B、；C、；D、.21、曲线在点处的切线与直线垂直，则此曲线在点M 处的切线方程为（）. A 、；B 、；C 、； D 、.22.设，则（）.A 、；B 、；C 、2；D 、.23、设，则=''y （）.A 、；B 、； C 、； D 、.24、下列函数中在点0=x 连续且可导的是（）.A 、；B 、；C 、；D 、.25、设方程确定是的函数，则（）.A 、；B 、1；C 、；D 、0.26.其中为可微函数，则=22dxyd （）.A 、；B 、；C 、；D 、.27.设，其中l 为有限值，则()x f 在a x =处（）.A 、可导且0)(='a f ；B 、可导但0)(≠'a f ；C 、不一定可导；D 、肯定不可导.28.曲线在点M 处的切线斜率为3，则M 点的坐标为（）.A 、（1，0）；B 、（0，1）；C 、（1，3）；D 、（1，－2）. 29、设，则=dy （）.A 、；B 、； C 、； D 、.30.设具有二阶导数，，则=''y （）. A 、； B 、； C 、； D 、.31、函数，则()x f 在0=x 处（）.A 、间断；B 、连续但不可导；C 、连续且导数为0；D 、连续且导数为－1. 32.设，在0=x 可导，则的值为（）.A 、； B 、1,2=-=b a ； C 、1,2==b a ； D 、.33、，则（）.A 、；B 、；C 、6；D 、－6.34.若)(x f 在0x 处不可导，则)(x f 在0x 点（）.A 、无意义；B 、左、右极限不相等；C 、不一定可导；D 、不可微. 35、若，则( ).A 、；B 、； C 、； D 、.36.若，且，则=)(x f （）.A 、； B 、； C 、； D 、．37、设函数，则=')0(f （）.A 、-1；B 、；C 、1；D 、． 38.，在0=x 处（）.A 、不可导；B 、连续且可导；C 、不连续但可导；D 、不连续.39、设，则)(x f 的有关论证正确的是（）.A 、)(x f 在点0=x 处可微；B 、，C 、，D 、)(x f 在点0=x 处可导.40.设（其中为常数），则（）. A 、； B 、0； C 、1； D 、x . 41、设（其中 n a a a ,,,21 为常数），则（）. A 、!n ； B 、0； C 、1； D 、x .42.设，则（）.A 、；B 、；C 、；D 、0.43.设函数，则函数)(x f 在0=x 处（）.A 、不连续；B 、连续，不可导；C 、可导，但不连续；D 、可导且导数也存在.44、设，则=22dxy d （）. A 、；B 、；C 、；D 、.45.已知函数，则函数)(x f 在点0=x 处的导数（）. A 、； B 、； C 、； D 、不存在.46.设，则（）. A 、21； B 、； C 、1； D 、0. 47.设，则（）. A 、0； B 、1； C 、－1； D 、2.48、设，则=+)1(n y （）. A 、； B 、； C 、； D 、0. 49、设，则（）. A 、； B 、； C 、； D 、. 50.下列命题中正确的是（）.A 、若，则有；B 、若)()(x g x f =，则有)()(x g x f '='； C 、若，则； D 、若0)(0=x f ；则0)(0='x f .51.)(x f y 在点0x 处的左、右导数存在且相等是)(x f 在点0x 处可导的（）.A 、必要条件；B 、充分条件；C 、充分必要条件；D 、无关条件.52.设函数，则为（）.A 、2；B 、3；C 、－1；D 、不存在.1. × ；2.∨；3、×；4、×；5、∨；6、∨；7、 × ；8、 ∨ ；9、 × ；10、 ∨ ；11、×；12、×；13、 ∨ ；14、×；15、∨ ；16、×；17、 ∨ ；18、∨ ；19、×；20、∨ ；21、 ∨ ；22、×；23、×；24、∨；25、× ；1、D ；2、B ；3、D ；4、A ；5、C ；6、A ；7、C ；8、B ；9、A ；10、C ；11、D ；12、D ；13、；C ；14、A ；15、B ；16、B ；17、D ；18、C ；19、D ；20、B ；21、A ；22、B ；23、D ；24、C ；25、B ；26、C ；27、A ；28、D ；29、B ；30、D ；31、D ；32、C ；33、C ；34、D ；35、A ；36、C ；37、C ；38、B ；39、C ；40、B ；41、A ；42、B ；43、B ；44、B ；45、D ；46、D ；47、D ；48、B ；49、A ；50、B ；51、C ；52、D.中值定理和罗比达法则★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。

《数学分析》（上册）第一章实数集与函数试题和答案

第一章实数集与函数§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明：⑴x a +是无理数.⑵当0≠a 时，ax 是无理数.证： ⑴ 假设x a +是有理数，则x a x a =-+)(是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾，故x a +是无理数.⑵假设ax 是有理数，则x aax=为有理数，这与题设x 为无理数相矛盾故ax 是无理数.1、试在数轴上表示出下列不等式的解： ⑴ 0)1(2>-x x ；⑵⑶2、设a 、R b ∈.证明：若对任何正数ε有ε<-b a ，则b a =. 证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <; 若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a -=-.令b a -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-b a b a 矛盾; 若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a -=-.令a b -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-a b b a 矛盾; 从而必有b a =. 3、设0≠x ,证明21≥+xx ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x 1同号,从而21211=⋅≥+=+xx x x x x , 等号当且仅当xx 1=,即1±=x 时成立.4、证明:对任何R x ∈,有⑴ 121≥-+-x x ；⑵2321≥-+-+-x x x 证: ⑴因为21111-=+-≤--x x x ,所以121≥-+-x x .⑵因为21132-+-≤-≤--x x x x , 所以2321≥-+-+-x x x5、设a 、b 、+∈R c (+R 表示全体正实数的集合),证明:c b c a b a -≤+-+2222证:对任意的正实数a 、b 、c 有)(22222c b a bc a +≤,两端同时加244c b a +,有224222222242c b a c a b a bc a c b a +++≤++, 即))(()(222222c a b a bc a ++≤+bc c a b a a 2))((2222222-≤++-,两端再同加22c b +,则有c b c a b a -≤+-+2222其几何意义为:当c b ≠时,以),(b a ,),(c a ,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边. 当c b =时,此三角形变为以),(c a ,)0,0(为端点的线段,此时等号成立6、设0,0>>b x ,且b a ≠,证明x b x a ++介于1与ba之间. 证:因为x b a b x b x a +-=++-1,)()(x b b a b x b a x b x a +-=-++,且0,0>>b x 所以当b a >时, b ax b x a <++<1; 当b a <时, 1<++<xb xa b a ; 故x b x a ++总介于1与ba 之间.7、设p 为正整数,证明:若p 不是完全平方数,则p 是无理数证:假设p 是有理数,则存在正整数m 、n 使nmp =，且m 与n 互素. 于是22m p n =.可见n 能整除2m .由于m 与n 互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u 、v 使1=+nv mu .从而m mnv u m =+2因n 能整除2m ,又能整除mnv ,故能整除其和,于是n 可整除m ,这样1=n 因此2m p =.这与p 不是完全平方数相矛盾, 故p 是无理数8、设a 与b 为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： ⑴ b x a x -<-；⑵b x a x -<-；⑶b a x <-2.解: ⑴原不等式等价于11<---bx ba 这又等价于20<--<b x b a 即⎩⎨⎧-<-<>b x b a b x 220或⎩⎨⎧->-><b x b a bx 220即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>>b a b a x b x 2或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<<ba b a x b x 2故当b a >时,不等式的解为2ba x +>当b a <时,不等式的解为2ba x +<当b a =时,不等式无解.⑵原不等式等价于⎩⎨⎧-<->b x a x b x 且⎩⎨⎧-<->b x x a bx即⎩⎨⎧>>b a b x 且⎪⎩⎪⎨⎧+>>2b a x bx 故当b a >时,21bx +>; 当b a ≤时,不等式无解. ⑶当0≤b 时,显然原不等式无解,当0>b 时原不等式等价于b a x b a +<<-2因此①当0≤+b a 或0≤b 时,无解②当0>+b a 且0>b 时,有解 Ⅰ 如果b a ≥,则解为b a x b a +<<-即b a x b a +<<-或b a x b a +>>--Ⅱ 如果b a <,则解为b a x +< 即b a x b a +<<+-§2数集确界原理1、用区间表示下列不等式的解: ⑴01≥--x x ;⑵61≤+xx ; ⑶0))()((>---c x b x a x (a 、b 、c 为常数,且c b a <<)⑷22sin ≥x 解 ⑴原不等式等价于以下不等式组⎩⎨⎧≥--<011x x x 或⎩⎨⎧≥--≥011x x x前一不等式组的解为21≤x ，后一不等式组无解. 所以原不等式的解为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈21,x ⑵不等式61≤+xx 等价于616≤+≤-x x这又等价于不等式组⎩⎨⎧≤+≤->x x x x 61602或⎩⎨⎧-≤+≤<xx x x 61602前一不等式组的解为]223,223[+-∈x ，后一不等式组解为]223,223[+---∈x . 因此原不等式解为 ]223,223[]223,223[+-+---∈x⑶令))()(()(c x b x a x x f ---=,则由c b a <<知:⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈>-∞∈<= ;),(),(,0;),(),(,0)(c b a x c b a x x f因此0)(>x f 当且仅当 ;),(),(∞+∈c b a x因此原不等式的解为 ),(),(∞+∈c b a x .⑷当]43,4[ππ∈x 时22sin ≥x .由正弦函数的周期性知22sin ≥x 的解是]432,42[ππππ++∈k k x ,其中k 是整数2、设S 为非空数集,试给出下列概念的定义:⑴数集S 没有上界; ⑵数集S 无界.解: ⑴设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 没有上界 ⑵设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 无界3、证明:由(3)式确定的数集有上界,无下界. 证:{}22R x x y y S ∈-==.对任意的R x ∈,222≤-=x y 所以数集S 有上界2而对任意的0>M ,取m x +=31,则S M M x y ∈--=--===1322211, 但M y -<1,因此数集S 无下界4、求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证. ⑴{}22<=x x S⑵{},!为自然数n n x x S ==; ⑶{})1,0(内的无理数为x x S =; ⑷⎩⎨⎧=-==},2,1,211 n x x S n 解: ⑴2sup =S ,2inf -=S ,以下依定义加以验证.由22<x 知22<<-x ,因之对任意的S x ∈,有2<x 且2->x ,即2,2-分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,不妨设22<ε,于是存在220ε-=x ,221ε+-=x使0x 、1x S ∈，但ε->20x ，ε+-<21x ，所以2sup =S ,2inf -=S⑵+∞=S sup ,1inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，+∞<≤x 1，所以1是S 的下界.对任意的自然数n ,+∞<!n ,所以+∞=S sup ;对任意的0>ε,存在S x ∈==1!11,使ε+<11x ,所以1inf =S ⑶1sup =S ,0inf =S ,以下依定义加以验证.对任意的S x ∈，有10<<x ，所以1、0分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,取εη<<0，且使η-1为无理数，则η-1S ∈，εη->-11 所以1sup =S ；由η的取法知η是无理数，S ∈η，εεη+=<0，所以0inf =S⑷1sup =S ,21inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，有121≤≤x ，所以1、21分别是S 的上、下界.对任意的0>ε，必存在自然数k ，使S x k k ∈-=211，且ε->-=1211k k x所以1sup =S又S x ∈=-=21211,ε+<=-=2121211x 所以21inf =S5. 设S 为非空有下界数集.证明:S S S min inf =⇔∈=ξξ证:设S S ∈=inf ξ,则对一切S x ∈有ξ≥x ,而S ∈ξ,故ξ是数集S 中最小的数,即S min =ξ. 设S min =ξ,则S ∈ξ,下面验证S inf =ξ. Ⅰ 对一切S x ∈,有ξ≥x ,即ξ是S 的下界. Ⅱ 对任何ξβ>,只须取S x ∈=ξ0,则β<0x ,从而ξ不是S 的下界,故S inf =ξ.6.设S 为非空数集,定义}{S x x S ∈-=-,证明:⑴S S sup inf -=-⑵S S inf sup -=-证: ⑴设-=S inf ξ,由下确界的定义知,对任意的-∈S x ,有ξ≥x ,且对任意的0>ε,存在-∈S x 0,使εξ+<0x由}{S x x S ∈-=-知, 对任意的S x ∈-,ξ-≤-x ,且存在S x ∈-0,使εξ-->-0x ,由上确界的定义知ξ-=-S sup ,即S S sup inf -=-. 同理可证⑵式成立.7.设B A 、皆为非空有界数集,定义数集},,{B y A x y x z z B A ∈∈+==+. 证明: ⑴B A B A sup sup )sup(+=+ ⑵B A B A inf inf )inf(+=+ 证: ⑴设1sup η=A ,2sup η=B .对任意的B A z +∈,存在A x ∈,B y ∈,使y x z +=. 于是1η≤x ,2η≤y ,从而21ηη+≤z对任意的0>ε,必存在A x ∈0,B y ∈0且210εη->x ,220εη->y ,则存在B A y x z +∈+=000,使εηη-+>)(210z ,所以B A B A sup sup )sup(21+=+=+ηη ⑵同理可证8.设x a a ,1,0≠>为有理数,证明:{{⎪⎩⎪⎨⎧<>=<<,1}inf ,1}sup a r a a r a a rxr r x r x ，当为有理数，当为有理数证: 只证1>a 的情况, 1<a 的情况可以类似地予以证明.设}{x r r a E r<=，为有理数.因为1>a ,r a 严格递增,故对任意的有理数x r <,有x r a a <,即x a 是E 的一个上界.对任意的0>ε,不妨设x a <ε,于是必存在有理数x r <0,使得xr x a a a <<-0ε.事实上,由x a log 递增知:xx a a <-<ε0等价于x a a xa x a =<-log )(log ε取有理数0r ,使得x r a xa <<-0)(log ε.所以E a xsup =,即}{sup 为有理数r aa rxr x<=§4具有某些特征的函数1、证明:21)(x xx f +=是R 上的有界函数. 证: 利用不等式212x x +≤有2112211)(22≤+=+=x x xx x f 对一切的),(∞+-∞∈x 都成立故21)(x xx f +=是R 上的有界函数2、⑴证明陈述无界函数的定义; ⑵证明:21)(x x f =为)1,0(上的无界函数. ⑶举出函数f 的例子,使f 为闭区间]1,0[上的无界函数.解: ⑴设)(x f 在D 上有定义,若对任意的正数M ,都存在D x ∈0,使M x f >)(0,则称函数)(x f 为D 上的无界函数.⑵对任意的正数M ,存在)1,0(110∈+=M x ,使M M x x f >+==11)(2所以21)(xx f =为)1,0(上的无界函数. ⑶设⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f .下证)(x f 为无界函数0>∀M ,]1,0(110∈+=∃M x ,使得M M x f >+=1)(0 所以⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f 是闭区间[0,1]上的无界函数.3、证明下列函数在指定区间上的单调性: ⑴13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增; ⑵x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增;⑶x y cos =在],0[π上严格递减.证: ⑴任取1x 、),(2∞+-∞∈x ，21x x <，则0)(3)13()13()()(212121<-=---=-x x x x x f x f ，可见)()(21x f x f <，所以13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增. ⑵任取1x 、]2,2[2ππ-∈x ，21x x <，则有22221ππ<+<-x x ,02221<-≤-x x π, 因此02cos21>+x x ,02sin 21<-x x , 从而02sin 2cos 2sin sin )()(21212121<-+=-=-x x x x x x x f x f , 故)()(21x f x f <,所以x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增.⑶任取1x 、],0[2π∈x ，21x x <,则π<+<2021x x ,02221<-≤-x x π, 从而02sin21>+x x ,02sin 21<-x x 02sin 2sin2cos cos )()(21212121>-+-=-=-x x x x x x x f x f 故)()(21x f x f >,所以x y cos =在],0[π上严格递减.4、判别下列函数的奇偶性:(1)12)(24-+=x x x f ;(2) x x x f sin )(+=;(3)22)(x e x x f -=; (4))1lg()(2x x x f -+=解(1)因)(121)(2)()(2424x f x x x x x f =-+=--+-=-, 故12)(24-+=x x x f 是偶函数. (2)因),()sin ()sin()()(x f x x x x x f -=+-=-+-=-故x x x f sin )(+=是奇函数.(3)因)()()(222)(2x f e x e x x f x x ==-=----,故22)(x e x x f -=是偶函数. (4))()1lg(11lg)1lg())(1lg()(2222x f x x x x x x x x x f -=++-=++=++-=-++-=-故)1lg()(2x x x f -+=是奇函数.5、求下列函数的周期:(1)x x f 2cos )(=;(2)x x f 3tan )(=;(3)3sin 22cos )(xx x f +=. 解 (1) )2cos 1(21cos )(2x x x f +==,而x 2cos 1+的周期是π,所以x x f 2cos )(=的周期是π. (2))3tan(x 的周期是3π,所以x x f 3tan )(=的周期是3π. (3)2cos x 的周期是π4,3sin x 的周期是π6,所以3sin 22cos )(xx x f +=的周期是π12.6、设)(x f 为定义在],[a a -上的任一函数,证明: (1) ],[),()()(a a x x f x f x F -∈-+=为偶函数; (2) ],[),()()(a a x x f x f x G -∈--=为奇函数; (3) f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.证 (1)由已知函数)(x F 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀)()()()()()(x F x f x f x f x f x F =-+=+-=-.故)(x F 为],[a a -的偶函数.(2) 由已知函数)(x G 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀有)()]()([)()()(x G x f x f x f x f x G -=---=--=-.故)(x G 为],[a a -的奇函数.(3)由(1)(2)知: ),(2)()(x f x G x F =+从而)(21)(212)()()(x G x F x G x F x f +=+=,而)(x F ,)(x G 分别是偶函数和奇函数.显然)(21x F 也是偶函数, )(21x G 也是奇函数.从而f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.7、设)(x f ,)(x g 为定义在D 上的有界函数,且对任一)()(,x g x f D x ≤∈,证明:(1))(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈≤;(2) )(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤. 证 (1)假设)(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈>. 令))(sup )(sup (21x g x f D x D x ∈∈-=ε,则0>ε 由上确界定义知,存在D x ∈0,))(sup )(sup (21)(sup )(0x g x f x f x f Dx D x D x ∈∈∈+=->ε,又对任意的D x ∈,<)(x g ))(sup )(sup (21)(sup x g x f x g D x D x D x ∈∈∈+=+ε. 由此知)()(0x g x f >,这与题设)()()(D x x g x f ∈∀≤相矛盾,所以)(sup )(sup x g x f D x D x ∈∈≤.(2)同理可证结论成立.8、设f 为定义在D 上的有界函数,证明:(1) )(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-;(2) )(sup )}({inf x f x f Dx D x ∈∈-=- 证: (1)令ξ=∈)(inf x f Dx .由下确界的定义知,对任意的D x ∈,ξ≥)(x f ,即ξ-≤-)(x f , 可见ξ-是)(x f -的一个上界;对任意的0>ε,存在D x ∈0,使εξ+<)(0x f ,即εξ-->-)(0x f ,可见ξ-是)(x f -的上界中最小者.所以)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-=-ξ(2)同理可证结论成立.9、证明:函数x x f tan )(=在)2,2(ππ-内为无界函数,但在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.证: (1)对任意的正数M ,取)1arctan(0+=M x , 则220ππ<<-x ,M M M x >+=+=1)1(tan(arctantan 0 所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内是无界函数. (2)任取[]b a ,)2,2(ππ-∈,由于x tan 在[]b a ,上是严格递增的,从而b x a tan tan tan ≤≤对任意的[]b a x ,∈都成立.令}tan ,tan max{a a M =,则对一切的[]b a x ,∈,有M x ≤tan ,所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.10、讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x x x D ,0,1)(的周期性、单调性、有界性。

数学分析1测试题1

数学分析1测试题1一、填空题（每小题3分，共24分）1．已知2(1)1S n −=+ , 则supS= , infS= ．2．设21cos ()xf x x−=,那么0lim ()x f x →= ． 3． 201sinlimx x x x →= ． 4． ||1,lim 1nnn a a a →∞≠+当时= ．5． 0lim ()x x f x →存在的归结原则是．6．函数3, (0,)(,)()sin 21 , 0,xx f x x x ππππ ∈∪= = 的间断点为 , 且为第类间断点．7． ()|cos |f x x =在x= 处的导数不存在． 8．已知1(2)(1)(1)1,lim1x f x f f x→−−′=−则= ．二、计算题(每小题8分,共56分) 1．求lim n n →∞+．2．设()().f x x f x ′=求 3．设 ()(ln ),().x f x x f x ′=求4．曲线的参数方程为sin cos 2x t y t== , 求曲线在4t π=处的切线、法线方程． 5．已知1sin ,0()0, 0x x f x xx α≠ = = , 问： (1) α为何值时, f(x)在x=0处连续； (2) α为何值时, f(x)在x=0处可导． 6．求30sin lim x x xx→−．7．求1ln 0cos lim sin xx x x +→．三、证明题(每小题10分,共20分) 1．用''εδ−定义证明: 011lim2x x →−=． 2．证明:当12122121,0,,,sin sin 2x x x x x x x x π∈<−<− 且时有, 并由此证明方程1sin 20,2x x π+= 在内存在唯一实根．数学分析1测试题2一、填空题（每小题3分，共24分）1. 已知(1)1n n S n=− + , 则supS= , infS= .2. 设21, 1()11, 1x x f x x x −≠=− = ,那么1lim ()x f x →= . 3. 1lim 1n n n n +→∞+= .4. 设()lim ,()x x xxxn n n f x e f x n n −−−→∞−=+则= . 5. 0lim ()x x f x A →=的''εδ−定义为 .6. 函数()ln |1sin |f x x =+的间断点为 , 且为第类间断点.7. ()|sin |f x x =在x= 处的导数不存在.8. 已知1(2)(0)1,(0)0,limx f x f f x→′==则= .二、计算题(每小题8分,共56分) 1. 已知0b a >>,求n →∞.2. 设()().f x f x ′=求3. 设 cos ()(sin ),().x f x x f x ′=求4. 已知1(),().xf x x f x ′=求5. 已知289,0()1, 0x x x f x a x x b +−>= +< ,试确定,a b , 使 f(x)在x=0处可导. 6. 求30(2)2lim x x e x x x →−++. 7. 求()0lim sin x x x +→.三、证明题(每小题2分,共20分)1.用''N ε−定义证明: 1lim212n n n →∞=+. 2.应用中值定理证明:0,ln(1)x x x >+<当时有, 并由此证明数列2111ln 1ln 1ln 1,1,2,222n na n=++++++=L L 收敛.数学分析1测试题3一、填空题（每小题3分，共24分）1．已知{}111,S n N n=−∪−∈ , 则supS= , infS= ．2． 23lim 23n n n n n →∞+= ．3． 0lim ()''x x f x A εδ+→=−的定义是= ．4．设sin 2, 0()1, 0xx f x x x ≠= = , 那么0lim ()x f x →= ．5．当0,1cos(2)x x →−时与为等价无穷小量． 6．1limsin x x→−= ．7．由图象及导数的几何意义知()|sin |f x x =在x= 处不可导． 8．设2(),[,]f x x x a b =∈, 则拉格朗日中值定理中的ξ= (,)a b ∈．二、计算题(每小题8分,共48分)1.求0n x >．2. 试叙述0lim ()x x f x →存在的归结原则,并说明0lim cos x →不存在． 3．试指出2()sgn(1)f x x =−的间断点,并说明类型． 4．设2, 0(), 0x x f x x x ≥= < , 求()f x ′．5．设()(ln ),().x f x x f x ′=求 6．设22(),().x f x e d f x =求三、证明题(共28分)1.用''N ε−定义证明: 22lim313n n n →∞=+． (9分)2.设00lim ()()0x x f x f x →=>,试叙述保号性定理, 并给出证明． (9分) 3.(10分)设f(x)在0x 处可导, 且0()0f x ≠．试用导数的定义证明：'020()1()()x x f x f x f x =′ −=．数学分析1测试题4一、填空题（每小题3分，共24分）1. 已知11,S n N n=+∈ , 则supS= , infS= .2. 1lim 1n n n n +→∞+= .3. 0lim ()''x x f x A εδ−→=−的定义是= .4. 设sin 3, 0()1, 0xx f x x x ≠= = , 那么0lim ()x f x →= .5. 当20,x x e →时-1与为等价无穷小量.6. 0x →= .7. 由图象及导数的几何意义知()|cos |f x x =在x= 处不可导. 8. 设3(),[,]f x x x a b =∈, 则拉格朗日中值定理中的ξ= (,)a b ∈. 二、计算题(每小题8分,共48分)1．求, n .2．试叙述0lim ()x x f x →存在的归结原则,并说明0lim sin x →不存在. 3．试指出2()sgn(31)f x x x =−+的间断点,并说明类型. 4．设cos , 0()1sin , 0x x f x x x ≥ =+< , 求()f x ′. 5．设2cos ()(sin),().x f x f x ′=求 6．设sin()2(),().ax b f x e d f x +=求三、证明题(共28分)1．用''εδ−定义证明: 11lim12x x x →=+. (9分) 2．设函数0000(),(),().f x x g u u u f x =在连续在连续且证明: 0(())g f x x 在处连续. (9分) 3．设f(x)在0x 的某邻域内有定义,且在0x 可导. 若0x 为f(x)的极值点, 则必有0()0f x ′=. (10分)数学分析1测试题5一、填空题（每小题4分，共32分）1. 已知{}(0,1)2S =∪ 中的有理数, 则MaxS= , infS= .2. 若f(x)在D 上满足 , 则称f(x)在D 上有界.3.将区间[0,2]中的点的x 映射到区间[0,1]中的点u 的映射u= ;而将[2,6]映射到[0,1]的映射u .4. 0,1x →−当时的等价无穷小是 .5. ()sgn(cos )f x x =的所有间断点的集合为 ,且是类间断点.6. 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为 , 法线方程为 .7. 试举一函数()f x = 该函数在0x 处连续,但不可导. 8. 已知0(2)(0)(0)2,limsin x f x f f x→−′=则= .二、计算题(每小题6分,共36分) 1．求lim n →∞++L . 2．求极限 22ln(sin )lim(2)x x x ππ→− 3．求极限 2221lim 1x x x x →+∞− +4．设2ln arcsin ..y y x′= 求5．设ln .x y x y ′=,求6．设22sin ,,.cos ttx e tdy d y dx dx y e t= = 求四、证明题(每小题2分,共20分)1．用''εδ−定义证明: 211lim 2x x x→+=.2．设{}n a 为递增且有上界函数. 证明lim sup{}n n n a a →∞=, 并举例说明.3．设2()x f x x e =,证明: (1) ()f x ′在[0,3]上有界; (2) 用定义证明f(x)在[0,3]上一致收敛.4．试求极限121lim 11x x x →+∞+−,并证明()()lim 10k k n n n →∞+−=(0<k<1为常数.数学分析1测试题6一、填空题（每小题4分，共32分） 1. 已知{}(0,1)S =∪中的无理数, 则MaxS= , infS= .2. 若f(x)在D 上满足 , 则称f(x)为D 上的递增函数.3.将区间[0,3]中的点的x 映射到区间[0,1]中的点u 的映射u= ;而将[1,4]映射到[0,1]的映射u .4. 0,ln(12)x x →+当时的等价无穷小是 .5. ()sgn(sin )f x x =的所有间断点的为 ,且是类间断点.6. 若()y f x =在D 上满足 , 则称f(x)在D 上一致连续.7. 试举一函数()f x = 该函数在0x 处连续,但不可导.8. 已知0()(0)(0)2,limsin 2x f x f f x→−′=则= .二、计算题(每小题6分,共36分) 1．已知0b a c >>>,求n 2．求极限 1lim 1x x x e →+∞−3．求极限 ()1lim 1sin xx x →+4．设3ln arc ..y tg y x′= 求5．设cos (sin ).x y x y ′=,求6．设22232,,.2x t t dy d y dx dx y t t=− =− 求三、证明题(每小题2分,共20分)1．用''εδ−定义证明: 11lim 12x x x →=+.2．设0, 0()1sin , 0k x f x x x x == ≠ , 分别求:(1)当k 为何值时, f(x)在00x =处可导;(2) 当k 为何值时, 0()0f x x ′=在连续.3．用定义证明2()f x x =f(x)在[1,3]上一致收敛. 问:f(x)在(1,3)也一致收敛吗?为什么?4．证明:若f(x)是以2π为周期的函数,则存在ξ,使得()()f f ξπξ+=.数学分析1测试题7一、填空题(每小题3分,共24分)1. 用εδ−定义叙述: 函数()y f x =在0x 处的右极限是实数A 的定义是 .2. 用N ε−语言陈述数列{}n a 不是柯西数列为.3. 无界数列不是无穷大量,试利用子列的性质, 列举一个在n →∞时,不是无穷大量的无界数列: .4. 设()()1g x f x =−,且lim ()x ag x e →=,则lim ()x af x →= ;在x a →时,函数f(x)收敛的理由是 . 5. 0sin limx mx tgnx →= ;01lim sin x x x→ .6. 函数()f x 在0x 处连续是()f x 在0x 可微的条件. 函数()f x 在0x 处可微是()f x 在0x 连续的条件.7. 连续函数f(x)的局部保号性是指 . 8. 若函数()f x 在0x 处有0()0f x ′≠, 则曲线00()(,())y f x x f x =在点处的法线方程是 . 二、计算题(每小题8分,共48分) 1. 计算极限(1) 2132lim 31x x x x −→+∞+−(2) 2021lim sin 1cos x x x →− −2. 已知(1)1,(1)1,(1)0f f f ′′′===, 试求2222()1d f x x dx =在时的值.3. 289, 0(), 0x x x f x xa xb +−≥+<, 试确定a,b 的值, 使()0f x x =在处可导. 4. 设(sin )(1cos )x a t t y b t =− =− , 求22d ydx .5. 设ln y x =, 求()n y .(对结论的正确性请作严密的论述)6. 求数集1{|1,1,2,}3A x x n n ==−=+L 的上确界,并按定义加以检验. 三、验证题(3题共28分) 1. 设21sin , 0()0, 0x x f x xx > = ≤ ,验证()0f x x =在可导, 并求出()f x ′的表达式. 2. 求证: 方程3310x x −+=在[0,1]内有且仅有一个实根. 3. 试用数学分析的有关知识说明:当x 位于原点附近时, 近似公式ln(1)x x +≈的合理性(即说明此式的由来).数学分析1测试题8一、填空题(每小题3分,共24分)1. 用εδ−定义叙述: 函数()y f x =在数集D 上无界的定义是 .2. 函数()y f x =在0x 左连续的定义,用εδ−语言叙述为 .3. 构造一个在(,)−∞+∞上定义,0x →时为无穷大量的函数是 .4. 数列{}n a 收敛是{}n a 的任意子列收敛的条件.5. 0sin sin 4lim_____;lim _______.3x x x xx x→∞→==6. 运用函数增量与微分的近似关系式时,应取()______,f x =0__x =, x ∆= , 0()f x ′= .7. 曲线223y x x =−+上,斜率为2的切线是过点的切线. 8. 设(ln())y f x =, 则函数()f x 可导, 则22d ydx = .二、计算题（每小题8分，共48分） 1. 计算极限(1) lim(1mx x k x →∞+; (2) 011lim()1x x x e →−−2. 已知等式2211()()x x df x df x dxdx ===成立, 求(1)((1)1)f f ′⋅−的值.3. 已知2,3(),3x x f x ax b x ≥=+< 当当在x=3可导, 则,a b 各取值. 4. 设y xarctgx =, 求2d y . 5. 已知11y x=−, 求()n y .(对结论的正确性请作严密的论述) 6. 求数集2{|3}x x <的下确界, 并按定义检验. 三、验证题（3题共28分）1. 用εδ−语言验证22112lim 213x x x x →−=−−.2. 试说明||y x =是初等函数,且在x=0不可导.3. 设函数()f x 在有限区间(,)a b 内可导,且lim (),lim ()x ax af x A f x B +−→→==存在.求证: 在(,)a b 内必存在一点ξ使()B Af b aξ−′=−.数学分析1测试题9一、填空题(每小题3分,共24分)1. 设1{1}{1},,sup ____,inf _____.S n N S S n=−∪−∈==则2. 函数()sgn(sin )f x x =的所有间断点为 ,且都是第类间断点.3. 叙述连续函数的局部保号性: 若f(x)在点0x 连续, 且0()0f x >, 则 .4. 若289,0(), 0x x x f x x a x b +−≥ = +<在0x =处可导, 则___,___.a b == 5. 已知1(2)(1)(1)1,lim 1x f x f f x→−−′=−则= . 6. 021lim(sin sin 3)x x x x x→+= . 7. 当0,1cos 2x x →−时与是等价无穷小量. 8. 00()()lim(()())0,lim h h f a h f a f a h f a h→→+−+−=是存在的条件(选择“充分”、“必要”、“充要”三者中的一个).二、计算题(6+6+6+7+7+7+7+9)1.设0,n b a c >>>求. 2. 求极限253lim 52x x x x →∞+ −3. 求极限22ln(sin )lim (2)x x x ππ→−. 4.设2ln(arcsin ),y y x′=求. 5. 设(ln ),x y x y ′=求.6. 设2sin(32),x y e dy +=求.7. 设22sin ,,,2cos t t x e t dy d y t dx dx y e tπ = = = 求并求当时曲线的切线方程与法线方程. 三、证明题(8+9+10=27分)1. 用εδ−定义证明:211lim 0x x x→−=. 2. 用拉格朗日中值定理证明:当0b a >>时,有ln b a b b a b a a−−<<. 3. 试叙述函数f(x)在区间I 上一致连续的定义, 并据定义证明1()sin f x x=在区间(c,1)(其中0<c<1)上一致连续.数学分析1测试题10一、填空题(每小题3分,共24分)1.设{(0,1)}sup ____,inf _____.S S S =∪==中的无理数则2. 函数()sin x f x x=, 则0x =为间断点,(,0)x k k Z k π=∈≠为f(x)的第类间断点.3. 函数f(x)在点0x 连续的εδ−定义为 .4. 函数f(x)在区间I 上的函数.若 , 则称f(x)在I 上一致连续.5. 若31sin ,0()2, 0x x x f x xe a x > = +≤在0x =处连续, 则___.a = 6. 已知||1,lim 1nnn a a a →∞≠+则= . 7. 31lim(sin sin 2)x x x x x→∞+= . 8. 设0()(0)(0)2,lim sin 2x f x f f x→−′==则 . 二、计算题(6+6+6+7+7+7+7+9)1. lim n n→∞+求. 2. 求极限232lim 31x x x x →∞+ −3. 求极限02lim sin x x x e e x x x−→−−−. 4.设arcsin(ln )y x x y ′=+求. 5. 设sin ,x y x y ′=求.6. 设2ln (),tgx y e dy =求.7. 设22(sin ),,,(1cos )2x a t t dy d y t y a t dx dx π=− = =− 求并求当时曲线的切线方程与法线方程.三、证明题(8+9+10=27分)1. 用εδ−定义证明:212lim 3x x x→+=. 2. 用拉格朗日中值定理证明:当0h >时,有21h arctgh h h <<+. 3. 试述函数极限的归结原则,并由此证明0lim sin x →不存在.。