连续系统的频域分析

第三章傅立叶变换

时域分析：f(t) y f(t)=h(t)*f(t)

↓分解↑

基本信号δ(t)→LTI →h(t)

频域分析： f(t) ye jωt =h(t)* H(jω)Fe jωt

↓分解↑

基本信号 sinωt

→LTI →H(jω)e jωt

e jωt

H(jω)：系统的频域响应函数，是信号角频率ω的函数，与t无关.

主要内容：

一、信号的分解为正交函数。

二、周期信号的频域分析−付里叶级数（求和），频谱的特点。信号

三、非周期信号的频域分析−付里叶变换（积分），性质。分析

四、LTI系统的频域分析：频域响应H(jω)；y(jω)= H(jω)·F(jω). (系统分析)

五、抽样定理：连续信号→离散信号.

§3.1 信号分解为正交函数

一、正交：

两个函数满足φ1(t)φ2(t)dt=0,称φi(t),φj(t)在区间(t1 ,t2)正交。

二、正交函数集：几个函数φi(t)φi(t)dt= 0 当i≠j;

K i 当i=j.

三、完备正交函数集：在{φ1(t)…φn(t)}之外，

不存在ψ(t)满足ψ (t)φi(t)dt= 0 (i=1,2,…n).

例、三角函数集:{1,cosΩt,cos2Ωt,… ,cosmΩt,…,sinΩt,

sin2Ωt,…sin(nΩt),…}区间:（t0,t0+T）,t=2π/Ω为周期.

满足： cosmΩtcosnΩtdt= 0 m≠n

T/2 m=n≠0

T m=n=0

sin（mΩt）sin(nΩt)dt= 0 m≠n

T/2 m=n≠0

sin(mΩt)cos(nΩt)dt= 0. 所有的m和n.

结论:三角函数集是完备正交集。

推导： cosmΩtcosnΩtdt

=(1/2) [cos(m+n) Ωt+cos(m-n) Ωt]dt

=(1/2)sin(m+n)Ωt +(1/2)sin(m-n)Ωt

=(1/2)[sin(m+n) Ω(t0+T)-sin(m+n)Ωt0]

+(1/2)[sin(m-n) Ω(t0+T)-sin(m-n)Ωt0]

=0 当m≠n时.

m=n≠0，原式=(1/2) [ cos(m+n)Ωt+1]dt=(1/2)·t =T/2 m=n=0 , 原式=(1/2) [1+1]dt=T.

4、复函数的正交函数集：

几个复函数集{φi(t)}，φi(t)φi*(t)dt= 0 i≠j

k i i=j

例：复函数集{ e jnΩt}(n=0,±1,±2…)

区间(t0,t0+T）,T=2π/Ω为周期。

满足 e jm Ωt(e jnΩt)*dt= e j(m-n)Ωt dt

=[1/(j(m-n)Ω)] e j(m-n)Ωt dt =0 m≠n

= 1dt=T m=n.

结论：{ e jnΩt}是完备正交集。(n=0,±1,±2…)

二、信号分解为正交函数集。

1、分解：二维 A=c1v x + c2y y { v x，v}y二维正交矢量集

三维 A= c1v x +c2v y +c3v z { v x，v y，v z }三维正交矢量集

n维：{φ1(t)…φn(t)}在(t1 ,t2)构成正交函数集。

f(t)≈c1φ1 (t)+ c2φ2(t)+…c nφn(t)+(t)= c jφj(t)

任意一个函数可以用这几个正交函数的线性组合来近似。

2、系数c j的选择。

方均误差定义：=[1/(t2-t1)] [f(t)- c jφj(t)]2dt

使最小，对第i个系数c i来说，应使/c i =0.

∴c j= [ f(t)φj(t)dt]/ ( [φj(t)]2dt)

=(1/K j) f(t)φj(t)dt

最佳近似条件下的方均误差：

=[1/(t2-t1)]( [f(t)]2 dt - c j2K j).

∵≥0,n↑, ↓;

∴n→∞,→0. 则 [f(t)]2 dt= c j2K j→称帕斯瓦尔方程。 f(t)= c jφj(t).

即函数f(t)在区间(t1 ,t2)可分解为无穷多项正交函数之和。

§3.2付里叶级数

一、付里叶级数：（三角形式）

f(t)=(a0/2)·1+a1cosΩt+a2cos2Ωt+…+b 1sinΩt+b 2sin2Ωt+…

= a0/2+ a n cos(nΩt)+ b n sin(nΩt).

积分区间：t 0 t0+T, 0T, -T/2T/2

K i= (cos(nΩt))2 dt=T/2.

a n=(2/T) f(t)cos(nΩt)dt

b n=(2/T)f(t)sin(nΩt)dt

形制：a-n=a n是偶函数

b-n=-b n时奇函数 (其中n=0,1,2…).

2、三角形式二：同频率项合并。

f(t)=a0/2+A1cos(Ωt+φ1)+A2cos(2Ωt+φ2) +…

= a0/2+ A n cos(nΩt+φn).

A0=a0 a n=b n =-arctg(b n / a n).

由性质可知：a0= A0 a n=An cosφn b n= b n sinφn

3、物理意义;同周期信号可分解为各次谐波之和。

f(t)= a0/2+A1cos(Ωt+φ1)+A2cos(2Ωt+φ2) +…+A n cos(Ωt+φn)+…

例3.2-1 f(t)为方波，分解为付里叶级数。

周期：T 频率：1/T 角频率：Ω=2π/T. 区间：(-T/2,T/2)

(1)f(t)= a0/2+ a n cos(nΩt)+ b n sin(nΩt)

a n=(2/T) f(t)cos(nΩt)dt =0

b n=(2/T) f(t)sin(nΩt)dt= 0 n=2,4,6…

. 4/(nπ) n=1,3,5…

∴f(t)=(4/π)[sinΩt+(1/3)sin(3Ωt)+…+ (1/n)sin(nΩt)+…]

结论：方波只含有1，3，5等奇次谐波分量，无直流分量。

（2）方均误差（有限项逼近）

=[1/(t2-t1)][ f2(t)dt- c2

]

j K j

=(1/T)[ 1dt-(T/2) （b j）2]=1-(1/2) （b j）2

只取基波：=1-(1/2)(4/π)2=0.189.

取基三次谐波：=1-(1/2)[(4/π)2+(4/3π)2=0.0994.

基“+”3，”+”5次: =1-(1/2)[(4/π)2+(4/3π)2+(4/5π)2]=0.0669 （3）方波分解的特点

1、它包含的基波分量越多，越接近方波，其均方误差越小。

2、当合成波所含基波次数n→∞，在间断点仍有约9%偏差，在间断点出尖峰下的面积非常小以致趋近于零。