13数学分析期末复习题03

数学分析(三)复习题

一、计算题

1．求二重极限y

x x a

y x x +→∞→⎪

⎭⎫ ⎝⎛

+2

11lim ；

2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角； 3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。 4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。 5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。 6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。

7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。 8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。

9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求

=t dt

du 。

10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。

11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C ϖ

=(2,-2,1)的方向导数。

12．求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。 13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。

14．在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。

15．设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+2z

y

，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单

位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。

16． 求函数z=arctg x

y

在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21,23)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角α

的范围为：0≤α<π）。

17. 设数量场u=

2

2

2

z

y x z ++，试求：（1）gradu ；（2）在域1

18. 求曲线x 2+y 2+z 2=4a 2，x 2+y 2=2ax 在点(a ，a ，2a)处的法平面方程。 19．求x 2+z 2=10，y 2+z 2=10在点(1,1,3)处的切线方程。

20. 设u=f(x,y,z)，ϕ(x 2,e y ,z)=0，y=sinx ，其中f ，ϕ都具有一阶连续偏导数，且0≠∂∂z ϕ，求

dx

du

。 21．求函数u=

2

2y x z +的全微分；

22．求函数u=f(x+2y,3x-5y)的二阶混合偏导数。（f 具有连续的二阶偏导数) 23．设f ，g 为连续可微函数，u=f(x,xy)，v=g(x+xy)，求

x

v

x u ∂∂⋅∂∂。 24．设w=f(u,v)有连续二阶偏导数，u=y x

，v=x

y ，求y x w ∂∂∂2。

25．设u+v=x+y ，

y x v u =sin sin ，求

x

u ∂∂，x v

∂∂。

26. 设u=xyf(x-2y,x 2y)，f(u,v)有二阶连续偏导数，求

2

2x

u ∂∂。

27．设x 3-3xyz=10，求

x

y z

∂∂∂2。 28．设x=u+v ，y=uv ，z=u 2+v 2，求z x /，z y /。

29. 设函数z=z(x,y)由方程z=f(x+y+z)所确定，其中f 具有连续的二阶偏导数，试求y

x z

∂∂∂2。

30. 设u=u(x,y)。已知du=(x 2+2xy-y 2)dx+(x 2-2xy-y 2)dy 求u 。 31．设

z=f(sinx,cosy,e x+y )，而

f(u,v,w)的二阶偏导数连续，求x z

∂∂，22x

z ∂∂。

32. 设z=φ(xy)+ψ(y

x

)，求：y x z ∂∂∂2。

33. 设u=yf(y x

)+xg(x y )，其中函数f ，g 具有二阶连续导数，求y x u y x

u x ∂∂∂+∂∂222。

34. 设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dx

dz 。 二、证明题

1. 用极限定义证明6)4(lim 22

1

=--→→y x y x 。

2. 用极限定义证明2)2(lim 221

0=+-→→y xy x y x 。

3. 设A ，B 是R 2中互不相交的有界闭集。求证：存在开集W ，V 满足W ⊇A ，V ⊇B ，W I V=∅。

4. 设G 1，G 2是R 2中两个不相交的开集。试证明：G 1I 2G =∅。（其中2G 表示G 2连同其边界所成集合，称其为G 2的闭包）

5. 设u=f(z)，其中z 是由方程z=x+yg(z)所确定的x 和y 的函数，求证x

u

z g y u ∂∂=∂∂)

(。 6. 证明由方程F(

z x ,z y )=0所确定的函数z=z(x,y)，满足方程y

z

y x z x ∂∂+∂∂=z 。 7. 设z=f(x,y)=⎪⎩⎪

⎨⎧=≠+-)0,0(),( ,0)0,0(),( ,)

(y x y x y x y x x ，证明：（1）)0,0(x f '，)0,0(y f '存在；（2）f(x,y)在(0,0)处不可微。

8. 设f(x,y)=⎪

⎩⎪

⎨⎧=≠+)

0,0(),( 0)0,0(),( 223

y x y x y x x 。证明f(x,y)在(0,0)不可微。

9. 设z=f(x,y)=⎪

⎩⎪

⎨⎧=≠+)

0,0(),( ,0 )0,0(),( ,222y x y x y x y

x 。证明：(1)f(x,y)在原点(0,0)连续；(2)x f ∂∂)0,0(，y f ∂∂)0,0(存在；