您的位置：360文档中心› 【新教材】高中数学必修第一册期末复习基础过关练习(7)三角函数

【新教材】高中数学必修第一册期末复习基础过关练习(7)三角函数

合集下载

第7章-7.2.1-任意角的三角函数高中数学必修第一册苏教版

第7章-7.2.1-任意角的三角函数高中数学必修第一册苏教版
=
sin
sin
A.−3
+
cos
cos
+
tan
tan
的值可以为(
B.3
BD
)
C.1
D.−1
【解析】当为第一象限角时，sin ,cos ,tan 均为正值，
∴
sin
sin
+
cos
cos
+
tan
tan
= 3.
当为第二象限角时，sin 为正值，cos ,tan 为负值，
【解析】 为第三象限角，则2π + π < < 2π +
∈ ，
∈

，所以 是第二或第四象限角，
2
当 是第二象限角时，sin

2
> 0，cos < 0，当 是第四象限角时，sin

2
cos

2
<

2
D.cos 2 > 0
3π
，
4
π
π
+
2
3π
，
2
)
< π +

2

2

2
< 0，
> 0，故A，B错误；4π + 2π < 2 < 4π + 3π , ∈ ，所以2 是第一或第
1
的垂线1 1 ，2 2 ，易知这两条正弦线的值都等于 ，在
2
[0,2π)内，sin
π
6
= sin
5π
6
=
1
，由图可知，满足条件的角的
2
终边在图中阴影部分（包括边界）内，故所求的的取值范围为

新教材人教A版高中数学必修第一册2022新高考一轮复习：三角函数的图象与性质 练习题

新教材人教A版高中数学必修第一册2022新高考一轮复习：三角函数的图象与性质 练习题

三角函数的图象与性质A 组 全考点巩固练1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋π12(k ∈Z )B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )B 解析：由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－3A 解析：因为0≤x ≤9.所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3.3．已知函数f (x )＝cos π5x ＋1.设a ＝f (π－1)，b ＝f (3－0.2)，c ＝f (－31.1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >b >aB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >b >cC 解析：函数f (x )＝cos π5x ＋1的定义域为R ，f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5x ＋1＝cos π5x＋1＝f (x )，所以函数y ＝f (x )为偶函数．所以c ＝f (－31.1)＝f (31.1)．当0<π5x <π，即0<x <5时，f (x )＝cos π5x ＋1在(0,5)上单调递减．因为0<3－0.2<1<π－1<3<31.1<343<5，所以f (3－0.2)>f (π－1)>f (31.1)，即b >a >c .4．同时满足f (x ＋π)＝f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的函数f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝cos 2xB ．f (x )＝tan xC ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝sin 2xD 解析：由题意得所求函数的周期为π，且图象关于直线x ＝π4对称．f (x )＝cos 2x 的周期为π，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0不是最值，所以图象不关于直线x ＝π4对称．f (x )＝tan x 的周期为π，但图象不关于直线x ＝π4对称．f (x )＝sin x 的周期为2π，不合题意．f (x )＝sin 2x 的周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1为最大值，所以D 项满足条件．故选D ．5．(多选题)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos |4x |D ．f (x )＝sin |x |AC 解析：作出函数f (x )＝|cos 2x |的图象如图所示．由图象可知f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增．同理可得f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递减．f (x )＝cos |4x |的周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增；f (x )＝sin |x |不是周期函数．故选AC ．6．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为________．3 解析：因为0≤x ≤π，所以π6≤3x ＋π6≤19π6.由题意可知3x ＋π6＝π2，3x ＋π6＝3π2，或3x ＋π6＝5π2，解得x ＝π9，4π9或7π9，故有3个零点． 7．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4.若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．2 解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.8．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(x ∈R )的一个零点，且0＜ω＜10，则函数f (x )的最小正周期为________．π 解析：依题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8－π4＝0，即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z .又因为0＜ω＜10，所以0＜8k ＋2＜10，得－14＜k ＜1.而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，最小正周期为π.9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π.(1)当f (x )为偶函数时，求φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：因为f (x )的最小正周期为π，所以T ＝2πω＝π. 所以ω＝2.所以f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． 所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)． 展开整理，得sin 2x cos φ＝0. 上式对任意x ∈R 都成立，所以cos φ＝0.因为0＜φ＜2π3，所以φ＝π2.(2)因为f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又因为0＜φ＜2π3，所以π3＜π3＋φ<π. 所以π3＋φ＝2π3，所以φ＝π3.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .10．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解：(1)若a ＝－1，则f (x )＝－2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1.由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )．得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．(2)因为0≤x ≤π，所以π4≤x ＋π4≤5π4.所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1.依题意知a ≠0.当a >0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，解得a ＝32－3，b ＝5； 当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，解得a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.B 组 新高考培优练11．(多选题)已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，则下列说法正确的是( ) A ．若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2 B ．f (x )的最小正周期是2π C ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上递增D ．f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称CD 解析：f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故A 错误；f (x )的最小正周期为π，故B 错误；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故C 正确；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝12sin 3π2＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，故D正确．12．(2020·衡水中学调研)直线y ＝a 与函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的相邻两个交点的距离为2π.若f (x )在(－m ，m )(m >0)上单调递增，则m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，3π4D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，3π2B 解析：因为直线y ＝a 与函数f (x )的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，所以ω＝12，所以f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4.由k π－π2<12x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π2<x <2k π＋π2(k ∈Z )，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2上单调递增，故(－m ，m )⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2，解得0<m ≤π2.故选B ．13．重庆被誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分(开口向下的抛物线)与主桁(图中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图象)相结合．已知拱桥部分长552 m ，两端引桥各有190 m ，主桁最高处距离桥面89.5 m ，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是( )A ．y ＝0.45cos 23xB ．y ＝4.5cos 23xC ．y ＝0.9cos 32xD ．y ＝9cos 32xA 解析：设主桁部分对应的余弦函数为f (x )＝A cos w x ， 可得周期T ＝552＋190×2＝932，即w ＝2π932＝π466. 又由2A ＝89.5，得A ＝89.52.所以f (x )＝89.52cos π466x . 按1∶100的比例等比变换，可得f (x )＝89.5200cos 100π466x ，对比选项，可得与函数y ＝0.45cos 23x 相似．故选A ．14．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为直线x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则ω＝________；函数f (x )的零点是________．53 x ＝6k π5或x ＝6k π5－2π5，k ∈Z 解析：由函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝k ＋23.又ω∈(1,2)，所以ω＝53，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6＋1.令f (x )＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6＝－12，所以53x －π6＝2k π－π6或2k π－5π6，k ∈Z ，解得x ＝6k π5或x ＝6k π5－2π5，k ∈Z ，即函数f (x )的零点为x ＝6k π5或x ＝6k π5－2π5，k ∈Z . 15．设定义在R 上的函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π12＜φ＜π2，给出以下四个论断：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0上单调递增；③f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；④f (x )的图象关于直线x ＝π12对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p ⇒q ”的形式)________．(用到的论断都用序号表示)①④⇒②③或①③⇒②④ 解析：若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)．同时，若f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝±1.又－π12＜φ＜π2，所以2×π12＋φ＝π2，所以φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，②③成立．故①④⇒②③.若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)．同时，若f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则2×π3＋φ＝k π，k ∈Z .又－π12＜φ＜π2，所以φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，②④成立．故①③⇒②④. 16．已知a ＝(sin x ，3cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，函数f (x )＝a·b ＋32. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)若方程f (x )＝13在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解：(1)f (x )＝a·b ＋32＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，－cos x )＋32＝sin x ·cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )． (2)由(1)及已知条件可知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于x ＝5π12对称，则x 1＋x 2＝5π6，所以cos(x 1－x 2)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x 1 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－π3－π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝f (x 1)＝13.。

新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 学案(知识点考点汇总及配套练习题)

新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 学案(知识点考点汇总及配套练习题)

第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制..................................................................................................... - 1 -5.1.1 任意角 ......................................................................................................... - 1 - 5.1.2 弧度制 ....................................................................................................... - 10 - 5.2 三角函数的概念................................................................................................... - 18 -5.2.1 三角函数的概念 ........................................................................................ - 18 - 5.2.2 同角三角函数的基本关系 ........................................................................ - 28 - 5.3 诱 导公式(1) ........................................................................................................ - 36 - 5.3 诱 导公式(2) ........................................................................................................ - 44 - 5.4 三角函数的图象与性质 ....................................................................................... - 51 -5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 .................................................................... - 51 - 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1) ............................................................... - 60 - 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2) ............................................................... - 67 - 5.4.3 正切函数的性质与图象 ............................................................................ - 76 - 5.5 三角恒等变换..................................................................................................... - 101 -5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................................. - 101 - 5.5.2 简单的三角恒等变换 .............................................................................. - 108 - 5.6 函数y ＝A sin(ωx ＋φ) ......................................................................................... - 116 - 5.7 三角函数的应用................................................................................................. - 135 -5.1 任意角和弧度制5.1.1 任意角内 容 标 准学 科 素 养1.结合具体实例，了解任意角的概念． 数学抽象 逻辑推理2.能区分正角、负角和零角．3.掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合表示这些角.授课提示：对应学生用书第76页[教材提炼]知识点一 角的概念预习教材，思考问题⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？知识梳理(1)角的概念角描述定义角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形表示其中O为顶点，OA为始边，OB为终边记法角α或∠α，或简记为α(2)角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转称它形成了一个零角(3)相等角与相反角①把角的概念推广到了任意角(any angle)，包括正角、负角和零角．设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.②设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.③把射钱OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.知识点二象限角预习教材，思考问题角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非半轴重合，如何借助象限来定义角？知识梳理角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．分别为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．知识点三终边相同的角预习教材，思考问题30°与390°、－330°的终边有什么关系？知识梳理所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[自主检测]1．与30°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．答案：A2．把－1 485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°答案：D3．若α是锐角，则180°＋α是第________象限角．解析：若α是锐角，则0°<α<90°，所以180°<α＋180°<270°，从而α＋180°是第三象限角．答案：三4．在0°到360°之间与－120°终边相同的角是________．解析：与－120°终边相同的角α＝－120°＋k·360°(k∈Z)．由0°≤－120°＋k·360°<360°，k∈Z，得13≤k<43.又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.答案：240°授课提示：对应学生用书第77页探究一任意角的概念[例1](1)下列说法正确的有________．(填序号)①零角的始边和终边重合．②始边和终边重合的角是零角．③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°.④绝对值最小的角是零角．(2)经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？[解析](1)根据角的概念知①③④正确，②不正确，因为360°角的始边和终边也重合．(2)时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－30°，而5小时25分钟为5512小时，而分针每小时转－360°，所以，时针转过的角度为－(5＋512)×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－⎝⎛⎭⎪⎫5＋512×360°＝－1 950°.[答案](1)①③④(2)见解析求解任意角问题的步骤(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．(2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小．写出下列说法所表示的角：(1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角；(3)向右转体3周．解析：(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此表示的角为－720°.(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角为900°.(3)向右转体即按顺时针方向旋转，因此向右转体3周，表示的角为－1 080°.探究二象限角与终边相同的角[例2][教材P170例1、例2拓展探究](1)与－2 010°终边相同的最小正角是________．(2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.(3)写出终边在x轴上的角的集合．[解析](1)因为－2 010°＝－6×360°＋150°，所以与－2 010°终边相同的最小正角是150°.(2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°.②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21；－21°＋1×360°＝339°.(3)终边在x轴的非负半轴的角的集合S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}．终边在x轴的非正半轴的角的集合S2＝{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}．∴终边在x轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·360°，k∈Z}∪{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝2k·180°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．[答案](1)150°(2)(3)见解析1.判断α是第几象限角的三个步骤第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式．第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}2．求解给定范围内终边相同的角的方法先写出与角α终边相同的角β，即：β＝α＋k·360°(k∈Z)，根据给定的范围建立关于k的不等式，解出k的范围，再根据k∈Z确定β.3．已知角的终边所在直线或射线求角的集合方法先写出0°～360°内的射线所在的角的集合，再将各个集合进行合并．探究三区域角的写法[例3](1)如图，已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，用集合表示角α的取值范围为________．(2)写出角的终边落在图中阴影区域内的角的集合(包括边界)．[解析](1)若角α的终边落在OA上，则α＝－60°＋360°·k，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.所以角α的终边在图中阴影区域内时，－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值范围为{α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}(2)在0°～360°范围内，45°≤α≤90°或225°≤α≤270°，所以S1＝{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}，＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}，S2＝{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，所以S1∪S2＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．[答案](1){α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}(2)见解析由角的终边的范围求角的集合的步骤(1)写出临界处终边所对应的角，一般在0°～360°内找一个．(2)按照所给的范围写出角的范围．(3)每个临界角都加上360°·k，即得范围内的角的集合．如图所示，写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角θ的集合(不包含边界)．解析：(1)如题图(1)所示，以OA为终边的角是75°，以OB为终边的角是330°，也可看成－30°，∴以OA，OB为终边的角的集合分别是：S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}，∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为{θ|k·360°－30°<θ<k·360°＋75°，k∈Z}．(2)如题图(2)所示，以OA为终边的角是135°，以OB为终边的角是225°，也可看成－135°，∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为{θ|－135°＋k·360°<θ<135°＋k·360°，k∈Z}．授课提示：对应学生用书第78页一、“分”角所在象限的判定方法——“分封制”已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角αn的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除，被n除余1，被n除余2，…，被n除余n－1，从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据角α终边所在的象限确定角αn的终边所落在的区域．如此，角αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．[典例]若α是第一象限角，α3是第几象限角？[解析]∵k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，∴k·120°＜α3＜k·120°＋30°(k∈Z)．法一(分类讨论)：当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＜α3＜n·360°＋30°(n∈Z)，∴α3是第一象限角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°＜α3＜n·360°＋150°(n∈Z)，∴α3是第二象限角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°＜α3＜n·360°＋270°(n∈Z)，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在区域，故α3为第一、二或第三象限角．二、角的终边与角的终边旋转方向不明致错[典例]写出角的终边落在OA、OB之间的阴影的角的集合．[解析]由OA逆时针旋转到OB，角是由小变大．OA表示角的终边为k·360°＋210°.则OB的终边为k·360°＋300°阴影中的角的集合为{β|β·360°＋210°≤β≤k·360°＋300°，k∈Z}．纠错心得此题易错为将角的终边随意写一个角的形式不考虑角的旋转方向，如写为[k·360°＋210°，k·360°－60°]写区域角时，务必要明确角的旋转方向，才能写对角的边界．5.1.2弧度制内容标准学科素养1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．数学运算数学抽象2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系．3.掌握并能应用弧度制下的扇形、弧长公式和面积公式.授课提示：对应学生用书第79页[教材提炼]知识点一角度制与弧度制预习教材，思考问题设α＝n°，OP＝r，点P所形成的圆弧PP1的长为l.由初中所学知识可知l＝nπr 180，于是lr＝nπ180.如果n°确定，lr的值变化吗？知识梳理(1)度量角的单位制单位制内容角度制周角的1360为1度角，记作1°；用度作为单位来度量角的单位制叫角度制弧度制规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad(2)弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．(3)弧度制与角度制的换算公式角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017 45 rad 1 rad＝(180π)°≈57.30°角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图．知识点二扇形的弧长、面积预习教材，思考问题初中学的扇形的弧长公式、扇形面积公式，改为弧度制如何表示？知识梳理扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中α＝nπ180，则[自主检测] 1．2 rad的角的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B2．若一扇形的圆心角为25π，半径为20 cm，则扇形的面积为()A．40π cm2B．80π cm2 C．40 cm2D．80 cm2解析：因为扇形的圆心角为25π，半径为20 cm，所以扇形的面积为S扇形＝12αR2＝80π cm2，故选B.答案：B3．请将下列角度化为弧度，弧度化为角度．(1)60°＝________，150°＝________；(2)π6＝________，2π3＝________.解析：根据角度与弧度的互化公式知60°＝π3，150°＝5π6，π6＝30°，2π3＝120°.答案：(1)π35π6(2)30°120°4．终边在y轴上的角的集合用弧度表示为________．答案：{β|β＝kπ＋π2，k∈Z}授课提示：对应学生用书第80页探究一 角度与弧度之间的互化[例1] (1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)： α1＝－117π，α2＝5116π，α3＝9，α4＝－855°；(2)把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式：16π3，－315°，－11π7； (3)在0°～720°中找出与2π5终边相同的角． [解析] (1)α1＝－117π＝－117×180°≈－282.86 °； α2＝5116π＝5116×180°＝15 330°； α3＝9＝9×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈515.66°；α4＝－855°＝－855×π180＝－194π. (2)16π3＝4π＋4π3；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4； －11π7＝－2π＋3π7. (3)∵2π5＝25×180°＝72°，∴与2π5终边相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )． 当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在0°～720°中与2π5终边相同的角为72°，432°.1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×(180π)°＝度数．2．特殊角的弧度数与度数对应值要熟记：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π6π4π3π223π34π56ππ角度210°225°240°270°300°315°330°360°弧度76π54π43π32π53π74π116π2π(1)已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝712π，试比较它们的大小．(2)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？解析：(1)法一：(化为弧度)：α＝15°＝15×π180＝π12，θ＝105°＝105×π180＝7π12，显然π12＜π10＜1＜7π12.故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二：(化为角度)：β＝π10＝π10×(180π)°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝7π12×(180π)°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.(2)－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9<2π，因为16π9是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．探究二用弧度制表示角[例2]用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．[解析] 对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－3π4，60°角的终边即π3的终边，∴所求集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－3π4＜α＜2k π＋π3，k ∈Z. 对于题图(2)，同理可得， 所求集合为⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6＜α≤2k π＋π2，k ∈Z ∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＋π6＜α≤2k π＋π＋π2，k ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π6＜α≤k π＋π2，k ∈Z .首先写出终边所在的角的形式，再根据旋转方向写出所在区域的角的集合，注意单位要统一，注意虚实边．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判断2 014°是不是这个集合的元素．解析：因为150°＝56π，所以终边落在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪56π＋2k π≤β≤32π＋2k π，k ∈Z . 因为2 014°＝214°＋5×360°＝107π90＋10π. 又56π<107π90<3π2， 所以2 014°＝107π90∈S .探究三 扇形的弧长、面积公式的应用[例3] [教材P 174例6拓展探究](1)已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．[解析] 设扇形的圆心角为α，半径为r ，则 2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r －2.∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1. ∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2. [答案] 1 cm 2 1 cm 2(2)求半径为2，圆心角为5π3的圆弧的长度． [解析] ∵半径R ＝2，圆心角α＝5π3， ∴弧长l ＝|α|·R ＝10π3.(3)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． [解析] 设扇形的半径为r ，弧长为l ，所对圆心角为α(0<α<2π)． 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝10，12rl ＝4，解得⎩⎨⎧ r ＝1，l ＝8，或⎩⎨⎧r ＝4，l ＝2.当r ＝1时，l ＝8，此时α＝lr ＝8(rad)>2π，不符合，舍去； 当r ＝4时，l ＝2，此时α＝l r ＝24＝12(rad)．∴所求圆心角的弧度数为12rad.求扇形的弧长和面积的解题技巧(1)记公式：弧长公式为：l＝|α|R.面积公式为S＝12lR＝12|α|R2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．授课提示：对应学生用书第81页一、弧度的实际应用生活实际中的“旋转”量都可以用“弧度”来解释，甚至要比用“度”方便．[典例]已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿．(1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；(2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分)，小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是多少？[解析]设大齿轮的半径为R，小齿轮的半径为r.根据题意设大齿轮的周长L＝48.小齿轮的周长l＝20.故2πR2πr＝4820，即Rr＝4820.(1)当大轮转动一周时，小轮转动的角度为θ，∴θr＝2πR，θ＝Rr×2π＝4820×2π＝245π.(2)大轮的转速v1＝3 r/s，故小轮的转速v 2＝4820×3，1 s 转过的弧长为4820×3×2π×10.5＝151.2π(cm)． 二、角度制与弧度制混用[典例] 把角－570°化为2k π＋α(0≤α＜2π)的形式为( ) A ．－3π－16π B ．－4π＋150° C ．－3k π－30°D ．－4π＋56π[解析] －570°＝－2×360°＋150°， 化为弧度为－4π＋56π. [答案] D纠错心得 (1)－3π不是2k π的形式，实际上解答本类题时要时刻注意其形式为2k π＋α的形式，其中α的范围也有限制．故A ，C 错．(2)同一表达式中角度与弧度不能混用，实际上这是最易出错的位置，在做题时要时刻谨慎以防出错，故B 错．5.2 三角函数的概念5.2.1 三角函数的概念内 容 标 准学 科 素 养 1.借助于单位圆理解任意角的三角函数的定义． 直观想象 数学抽象 数学运算2.掌握三角函数在各象限的符号．3.掌握诱 导公式(一)及其应用.授课提示：对应学生用书第81页[教材提炼]知识点一 三角函数的定义预习教材，思考问题如图所示，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1,0)，点P的坐标为(x，y)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.当α＝π6时，点P的坐标是什么？当α＝π2或2π3时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？知识梳理(1)利用单位圆定义任意角的三角函数．设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数(sine function)，记作sin α，即y＝sin_α；②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数(cosine function)，记作cos α，即x＝cos α；③把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tan α，即yx＝tanα(x≠0)．称为正切函数(tangent function)．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(trigonometric function)，通常将它们记为：正弦函数y＝sin_x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠π2＋kπ(k∈Z)．(2)利用角α终边上一点的坐标定义三角函数．如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.其中r ＝x 2＋y 2.知识点二 三角函数值在各象限的符号 预习教材，思考问题若一个角的终边任意一点为P (x ，y )，则该角的三角函数值在各象限的符号如何？知识梳理记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 知识点三 诱 导公式 预习教材，思考问题π6与136π终边有什么关系？sin π6与sin 136π.cos π6与cos 136π，tan π6与tan 136π之间有什么关系？知识梳理 终边相同的角的同一三角函数的值相等． 由此得到一组公式(公式一)： sin(α＋k ·2π)＝sin_α， cos(α＋k ·2π)＝cos_α， tan(α＋k ·2π)＝tan_α， 其中k ∈Z .[自主检测]1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α等于( )A ．－43 B ．－45 C ．－35 D ．－34答案：D2．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D3．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45 答案：D4．sin 136π的值为________． 答案：12授课提示：对应学生用书第82页探究一 利用三角函数定义求三角函数值[例1] [教材P 178例1拓展探究](1)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α＝________. [解析] 由题意知x ＝4a ，y ＝－3a ， 故r ＝(4a 2)＋(－3a )2＝5|a |.①当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝y r ＝－3a 5a ＝－35，cos α＝x r ＝4a 5a ＝45，则2sin α＋cos α＝－25.②当a ＜0时，r ＝－5a ，2sin α＋cos α＝2×－3a －5a ＋4a －5a ＝25. 综上，2sin α＋cos α＝⎩⎪⎨⎪⎧－25，a ＞0，25，a ＜0.[答案] ±25(2)求43π的正弦、余弦和正切值．[解析] 在直角坐标系中作∠AOB ＝43π，如图．∠AOB 的终边OB 与单位圆的交点B . 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴sin 43π＝－32，cos 43π＝－12，tan 43π＝ 3.(3)已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上一点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．[解析] 设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意可知，sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 1＝－22.∴cos α＝22，tan α＝－1，或cos α＝－22，tan α＝1.(4)已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．[解析] 法一：(单位圆)设直线y ＝2x 与单位圆x 2＋y 2＝1的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，y ＝2x ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝55，y 1＝255，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－55，y 2＝－255.①当角α的终边在第一象限时，cos α＝x 1＝55， sin α＝y 1＝255，tan α＝y 1x 1＝2.②当角α的终边在第三象限时， cos α＝x 2＝－55，sin α＝y 2＝－255， tan α＝y 2x 2＝2.法二：(定义法)在直线y ＝2x 上任取一点P (t,2t )(t ≠0)，则r ＝t 2＋(2t )2＝5|t |. ①若t ＞0时，则r ＝5t ，从而sin α＝2t 5t ＝255， cos α＝t 5t ＝55，tan α＝yx ＝2.②若t ＜0，则r ＝－5t ， 从而sin α＝2t －5t ＝－255，cos α＝t －5t＝－55， tan α＝y x ＝2.1.已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：解法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．解法二：第一步，取点，在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)，第二步，计算r：r＝|OP|＝x2＋y2，第三步，求值：由sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)求值．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.探究二三角函数值的符号问题[例2]判断下列各式的符号．(1)sin 2 005°cos 2 006°tan 2 007°；(2)tan 191°－cos 191°；(3)sin 2cos 3tan 4.[解析](1)∵2 005°＝1 800°＋205°＝5×360°＋205°，2 006°＝5×360°＋206°，2 007°＝5×360°＋207°，∴它们都是第三象限角，∴sin 2 005°<0，cos 2 006°<0，tan 2 007°>0，∴sin 2 005°cos 2 006°tan 2 007°>0.(2)∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0，∴tan 191°－cos 191°>0.(3)∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角．∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.∴sin 2cos 3tan 4<0.判断三角函数值正负的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角解析：∵cos θ·tan θ<0，∴⎩⎨⎧ cos θ<0，tan θ>0或⎩⎨⎧cos θ>0，tan θ<0. 由⎩⎨⎧cos θ<0，tan θ>0，得角θ为第三象限角． 由⎩⎨⎧cos θ>0，tan θ<0，得角θ为第四象限角． ∴角θ为第三或第四象限角． 答案：C探究三 利用公式一求值 [例3] 求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan(－15π4)； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.[解析] (1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan(－4π＋π4) ＝cos π3＋tan π4 ＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360° ＝sin 90°＋tan 45°－1 ＝1＋1－1＝1.利用诱 导公式求解任意角的三角函数的步骤sin(－1 740°)cos 1 470°＋cos(－660°)sin 750°＋tan 405°.解析：原式＝sin(60°－5×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(60°－2×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(45°＋360°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝32×32＋12×12＋1＝2.授课提示：对应学生用书第83页一、单位圆的妙用——比较函数值的大小在单位圆中，由三角函数的定义可知sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .如果α在第一象限，作PM ⊥x 轴于M 点．则|PM |＝y ，|OM |＝x .过A 点作QO 的切线，交OP 的延长线于T 点由于AT MP ＝OA OM ，即AT OA ＝MP OM ＝yx ＝tan α，OA ＝1，∴tan α＝AT .即此时，可用线段MP 、OM 、AT 的长度来表示sin α、cos α、tan α的值．[典例] 如果π4＜α＜π2，那么下列不等式成立的是( )A．cos α＜sin α＜tan αB．tan α＜sin α＜cos αC．sin α＜cos α＜tan αD．cos α＜tan α＜sin α[解析]在坐标系中作∠AOC＝π4，OC与单位圆的交点为C.作∠AOP＝α，OP与单位圆的交点为P.如图．作PM⊥x轴于M点，由OP和OC相比较可知．MP＞OM.过A点作切线AT，则AT＞MP.又sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.∴tan α＞sin α＞cos α.故选A.[答案] A二、利用三角函数的定义运算出错[典例]已知角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求α的各三角函数值．[解析]因为点P的坐标是(4t，－3t)且t≠0，所以r＝|PO|＝(4t)2＋(－3t)2＝5|t|.当t＞0时，α是第四象限角，r＝|PO|＝5t，sin α＝yr＝－3t5t＝－35，cos α＝xr＝4t5t＝45，tan α＝yx＝－3t4t＝－34；当t＜0时，α是第二象限角，r＝|PO|＝－5t，sin α＝yr＝－3t－5t＝35，cos α＝xr＝4t－5t＝－45，tan α＝yx＝－3t4t＝－34.纠错心得对涉及的参数未讨论符号，去根号时没有加绝对值而致错．因为t≠0，所以分t＞0和t＜0两种情况讨论．5.2.2同角三角函数的基本关系内容标准学科素养1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．逻辑推理数学运算2.理解同角三角函数的基本关系式．3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.授课提示：对应学生用书第84页[教材提炼]知识点同角三角函数基本关系式预习教材，思考问题如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．过P作x轴的垂线，交x 轴于M，则△OMP是直角三角形，而且OP＝1.由勾股定理有OM2＋MP2＝1.由此想到sin α、cos α、tan α之间有什么关系？知识梳理(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan_α(α≠π2＋kπ，k∈Z)．(3)文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．[自主检测]1．化简1－cos2π5的结果是()A．cos π5B．－sinπ5C．sin π5D．－cosπ5答案：C2．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝________.答案：－1 33．若sin θ＋cos θ＝15，则sin θcos θ＝________.答案：－12 25授课提示：对应学生用书第85页探究一利用基本关系式求值[例1][教材P183例6拓展探究](1)已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值．[解析]法一：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角，且sin α＝－2 cos α，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②消去sin α，得(－2cos α)2＋cos2α＝1，即cos2α＝1 5；当α为第二象限角时，cos α＝－55，代入①得sin α＝255；当α为第四象限角时，cos α＝55，代入①得sin α＝－255.法二：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角．由tan α＝sin αcos α，两边分别平方，得tan 2α＝sin 2αcos 2α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴tan 2α＋1＝sin 2αcos 2α＋1＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＝1cos 2α，即cos 2α＝11＋tan 2α.当α为第二象限角时，cos α<0， ∴cos α＝－ 11＋tan 2α＝－11＋(－2)2＝－55， ∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＝255. 当α为第四象限角时，cos α>0， ∴cos α＝11＋tan 2α＝11＋(－2)2＝55，∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×55＝－255. (2)已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．[解析] ∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝ －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517， tan α＝sin αcos α＝158.(3)已知tan α＝3，求：①2sin α－3cos α4sin α－9cos α；②sin 2α－3sin αcos α＋1.[解析] ①原式＝2tan α－34tan α－9＝2×3－34×3－9＝1.②原式＝sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－3tan α1＋tan 2α＋1＝32－3×31＋32＋1＝0＋1＝1.由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类 (1)依据：cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，要根据角α所在的象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用tan α＝sin αcos α时，不存在符号的选取问题．(2)分类：①如果已知三角函数的值，且角的象限已被指定时，则只有一组解； ②如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；(3)sin θ±cos θ与sin θcos θ相互转化方法：(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ.探究二 三角函数式的化简 [例2] 化简下列各式． (1) 1－cos θ1＋cos θ＋1＋cos θ1－cos θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π；(2)sin x1－cos x ·tan x －sin xtan x ＋sin x.[解析] (1)原式＝(1－cos θ)2sin 2 θ＋(1＋cos θ)2sin 2θ＝1－cos θ|sin θ|＋1＋cos θ|sin θ|＝2|sin θ|. ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴原式＝2sin θ.(2)原式＝sin x1－cos x·sin xcos x－sin xsin xcos x＋sin x＝sin x1－cos x·sin x(1－cos x)sin x(1＋cos x)＝sin x1－cos x·1－cos x|sin x|＝sin x|sin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ，2kπ＋π2∪⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋π2，2kπ＋π(k∈Z)，－1，x∈⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋π，2kπ＋3π2∪⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋3π2，2kπ＋2π(k∈Z).1．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变换，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则．(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α，sin α＝tan α·cos α，cos α＝sin αtan α.2．对三角函数式化简的原则(1)使三角函数式的次数尽量低．(2)使式中的项数尽量少．(3)使三角函数的种类尽量少．(4)使式中的分母尽量不含有三角函数．(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号．(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示．化简：sin θ1－sin2θ＋1－cos2θcos θ.解析：原式＝sin θ|cos θ|＋|sin θ|cos θ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2 tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ<θ<2kπ＋π2，0⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋π2<θ<2kπ＋π，－2tan θ⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋π<θ<2kπ＋32π(k∈Z)，0⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋32π<θ<2kπ＋2π，0(θ＝kπ).探究三三角恒等式的证明[例3]求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.[证明]法一：左边＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α)＝1＋(sin2α＋cos2α)－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝(1－2sin α＋sin2α)＋2cos α(1－sin α)＋cos2α＝(1－sin α)2＋2cos α(1－sin α)＋cos2α＝(1－sin α＋cos α)2＝右边．∴原式成立．法二：令1－sin α＝x，cos α＝y，则⎩⎨⎧sin α＝1－x，cos α＝y.由sin2α＋cos2α＝1，消去α得(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，∴左边＝2x(1＋y)＝2x＋2xy＝x2＋y2＋2xy＝(x＋y)2＝右边．∴原式成立．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．(2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1. (4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．求证：sin 4α－cos 4α＝2sin 2α－1.证明：左边＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝右边．所以等式成立．授课提示：对应学生用书第86页一、同角关系式与方程思想的“联袂”在同角三角函数关系中，sin 2α＋cos 2α＝1可变换成(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1，其中sin α＋cos α与sin αcos α很容易与一元二次方程中根与系数的关系产生联系．若以sin α，cos α为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题．[典例] 已知方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ. (1)求k 的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．[解析] (1)已知方程有两个实根sin θ，cos θ，应满足如下条件：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 2－32·(2k ＋1)≥0， ①sin θ＋cos θ＝－34k ， ②sin θ·cos θ＝2k ＋18. ③由平方关系可建立关于k 的等式．∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，即(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， ④。

第7章-培优帮-章末总结高中数学必修第一册苏教版

第7章-培优帮-章末总结高中数学必修第一册苏教版

图7-2
例3 图7-3是函数 = sin( + ) > 0, > 0, <


=


+
的解析式为_________________.

图7-3
π
2
的部分图象，则这个函数
【解析】
（最值法） 由图象知max = 3,min = −3,
∴ = 3.
∵

2
=
7π
12
π
, 0 处于曲线的递减部分，
3
2π
π
3π
∴ + ∈ [ + 2π, + 2π], ∈ .
3
2
2
2π
2π
由sin
+ = 0,得 + = 2π + π ，
3
3
π
π
π
∴ = 2π + , ∈ .又 < ,∴ = .
3
2
3
π
∴ = 3sin 2 + .
3
由图象知，
此方法适用于的范围已知的情况.
（平移法） 同方法1，得 = 3, = 2.
∵ 函数图象经过点
π
− ,0
6
,
π
6
∴ 该函数的图象可由 = 3sin 2的图象向左平移 个单位长度得到，
∴ = 3sin[2
π
+
6
],即 = 3sin 2 +
π
3
.
（单调性法） 同方法1，得 = 3, = 2.
④函数 在 = 0处取得最大值；
⑤ 的图象关于直线 = 1对称.

部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案基本知识过关训练

部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案基本知识过关训练

(名师选题)部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案基本知识过关训练单选题1、已知函数f (x )=sin 2x +2√3sinxcosx −cos 2x ，x ∈R ，则（ ） A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )在区间(0,π)上只有1个零点 C ．f (x )的最小正周期为π2D ．x =π3为f (x )图象的一条对称轴2、已知f (x )=tanωx (0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为√33，则ω=（ ）A ．12B ．13C ．23D ．343、已知sin (α−π3)+√3cosα=13，则sin (2α+π6)的值为（ ）A ．13B ．−13C ．79D ．−794、某公园有一摩天轮，其直径为110米，逆时针匀速旋转一周所需时间约为28分钟，最高处距离地面120米，能够看到方圆40公里以内的景致.某乘客观光3分钟时看到一个与其视线水平的建筑物，试估计建筑物多高？（ ）（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732） A ．50B ．38C ．27D ．155、在0∘~360∘范围内，与−70∘终边相同的角是（ ） A ．70∘B ．110∘C ．150∘D ．290∘6、已知角α的终边经过点P (−3,4)，则sinα−cosα−11+tanα的值为（ ）A ．−65B ．1C ．2D ．37、函数y =−sin 2x −4cosx +6的值域是（ ） A ．[2,10]B ．[0,10]C ．[0,2]D ．[2,8] 8、已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A ．–2B ．–1C ．1D ．2 多选题9、（多选）已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=15，则（ ）A ．θ∈(π2,π)B ．cosθ=−35C ．tanθ=−34D ．sinθ−cosθ=7510、函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则（ ）A ．ω=2B ．φ=π6C ．对任意的x 都有f (x )≥f (5π12)D ．f (x )在区间[−π,π]上的零点之和为π311、[多选题]下列说法正确的有（ ） A ．终边相同的角一定相等 B ．钝角一定是第二象限角 C ．第一象限角可能是负角 D ．小于90°的角都是锐角 填空题12、已知sinα=2cosα，则sin 2α+2sinαcosα=______． 13、计算：sin330°+cos240°=______．部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案(四十五)参考答案1、答案：D分析：首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；解：函数f(x)=sin2x+2√3sinxcosx−cos2x=√3sin2x−cos2x=2(√32sin2x−12cos2x)=2sin(2x−π6)，可得f(x)的最大值为2，最小正周期为T=2π2=π，故A、C错误；由f(x)=0可得2x−π6=kπ,k∈Z，即x=kπ2+π12,k∈Z，可知f(x)在区间(0,π)上的零点为π12,7π12，故B错误；由f(π3)=2sin(2π3−π6)=2，可知x=π3为f(x)图象的一条对称轴，故D正确．故选：D 2、答案：A分析：先求出0≤ωx≤ωπ3，再根据f(x)max=tanωπ3=tanπ6=√33解方程即可.因为x∈[0,π3]，即0≤x≤π3，又0<ω<1，所以0≤ωx≤ωπ3<π3，所以f(x)max=tanωπ3=tanπ6=√33，所以ωπ3=π6，ω=12．故选：A．3、答案：D解析：利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得cos(α−π6)=13，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．因为sin(α−π3)+√3cosα=12sinα−√32cosα+√3cosα=12sinα+√32cosα=sin(α+π3)=sin(π2+α−π6)=cos(α−π6)=13，所以sin(2α+π6)=sin(π2+2α−π3)=cos(2α−π3)=2cos2(α−π6)−1=2×(13)2−1=−79，故选：D4、答案：C分析：作出简图，求出3分钟走过的角度，从而求出三分钟后距摩天轮最低点的高度，进而求出建筑物的高度.设走了3分钟到达B（如图所示），走过的圆心角为θ=2π×328=3π14，OE=Rcos3π14=55cos3π14，因为π6<3π14<π4，所以√22<cos3π14<√32，所以38.885<55cos3π14<47.63所以AE=55−55cos3π14∈(7.73,21.145)，所以建筑物的高度：55(1−cos3π14)+10∈(17.73,31.145)故选：C5、答案：D解析：根据终边相同的角的定义即可求解.与−70∘终边相同的角的为−70∘+360∘⋅k(k∈Z)，因为在0∘~360∘范围内，所以k=1可得−70∘+360∘=290∘，故选：D.6、答案：A分析：由三角函数的定义可得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，将其代入即可求解.由√(−3)2+42=5，得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，代入原式得=45−(−35)−11+(−43)=−65．故选：A 7、答案：A分析：根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于cosx 的二次函数，利用换元法可得值域. 函数y =−sin 2x −4cosx +6=−(1−cos 2x )−4cosx +6 =cos 2x −4cosx +5=(cosx −2)2+1， 因为cosx ∈[−1,1]，所以当cosx =1时，函数取得最小值2， 当cosx =−1时，函数取得最大值10， 故函数的值域为[2,10]， 故选：A ． 8、答案：D分析：利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. ∵2tanθ−tan(θ+π4)=7，∴2tanθ−tanθ+11−tanθ=7， 令t =tanθ,t ≠1，则2t −1+t 1−t=7，整理得t 2−4t +4=0，解得t =2，即tanθ=2.故选：D.小提示：本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 9、答案：ABD分析：已知式平方求得sinθcosθ，从而可确定θ的范围，然后求得sinθ−cosθ，再与已知结合求得sinθ,cosθ，由商数关系得tanθ，从而可判断各选项．因为sinθ+cosθ=15①，所以(sinθ+cosθ)2=sin 2θ+2sinθcosθ+cos 2θ=125，所以2sinθcosθ=−2425．又θ∈(0,π)，所以sinθ>0，所以cosθ<0，即θ∈(π2,π)，故A 正确．(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=4925，所以sinθ−cosθ=75②，故D 正确．由①②，得sinθ=45，cosθ=−35，故B 正确．tanθ=sinθcosθ=−43，故C 错误．故选：ABD．10、答案：AB分析：利用图象求得函数f(x)的解析式，可判断AB选项的正误；计算f(5π12)的值，可判断C选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断D选项的正误.由题图可知函数f(x)的最小正周期为T=43(11π12−π6)=π，则ω=2ππ=2，所以，f(x)=sin(2x+φ)，把(π6,1)代入得1=sin(π3+φ)，则π3+φ=π2+2kπ(k∈Z)，得φ=π6+2kπ(k∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ=π6，则AB选项均正确；f(x)=sin(2x+π6)，当x=5π12时，f(x)=0，不满足对任意的x都有f(x)≥f(5π12)，C错误；∵x∈[−π,π]，∴2x+π6∈[−11π6,13π6]，则f(x)共有4个零点，不妨设为a、b、c、d，且a<b<c<d，则2a+π6+2b+π6=2×(−π2)，2c+π6+2d+π6=2×3π2，两式相加，整理得2a+2b+2c+2d=43π，故f(x)的所有零点之和为a+b+c+d=2π3，D错误，故选：AB.11、答案：BC分析：对于A：取特殊角30°和390°.即可否定结论；对于B：由第二象限角的范围直接判断；对于C：取特殊角－330°即可判断；对于D：取特殊角－45°角进行否定结论.对于A：终边相同的角不一定相等，比如30°和390°.故A不正确；对于B：因为钝角的大小在(90°,180°)，所以钝角一定是第二象限角，故B正确；对于C：如－330°角是第一象限角，所以C正确；对于D：−45°<90°，－45°角它不是锐角，所以D不正确.故选：BC．12、答案：85##1.6分析：根据题意，由同角三角函数关系可得tanα的值，而sin2α+2sinαcosα1=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α，最后利用齐次式化成关于tanα的分式即可解.解：由sinα=2cosα，得tanα=sinαcosα=2，则sin2α+2sinαcosα1=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α+2tanαtan2α+1=22+2×222+1=85.所以答案是：85.13、答案：－1分析：利用诱导公式进行化简，再由特殊角的三角函数值求值，即可求解．解：sin330°+cos240°=sin(360°−30°)+cos(180°+60°)=sin(−30°)−cos60°=−12−12=−1．所以答案是：−1。

高中数学必修一三角函数复习题(附答案)

高中数学必修一三角函数复习题(附答案)

三角函数复习题1.已知角θ的终边经过点P(4,m),且sinθ=35，则m等于 ( )A.−3B.3C.163D.±32.已知角的终边在直线y=−3x上，则sinα值为3.已知sinθ=1−a1+a ，cosθ=3a−11+a若θ为第二象限角，则tanθ的值是4.已知−π<x<0，sin x+cos x=15.则：(1)sin x−cos x的值为(2) 的值为5.函数在区间上的最小值是6.已知定义在实数集上的偶函数在区间上单调递增，且若是的一个内角，且满足，则的取值范围为7.若函数的图像经过点,则其图像一定经过点( )A. B. C. D.8.下列关于函数的说法正确的是①是以为周期的函数：②当且仅当时，函数取得最小值③的对称轴为直线④当时，9.将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数解析式为 ( )A. B.C. D.10.已知则( )A. B. C. D.11.化简：12．已知扇形的周长为20，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？13．设函数(1)求函数的最小正周期(2)求函数在上的最大值.参考答案1.B 由得，且，解得，故选B.易错提示：可得，解题时要充分分析求解参数得范围.2.答案解析：设角的终边上 任意一点为，则，当，是第四象限角，此时，当，是第四象限角，此时，综上，.3答案解析： 因为，所以，解得或当时，，不是第二象限角舍去当时，，是第二象限角，符合题意，所以.4.答案 (1)(2)解析(1)由，两边平方得，所以，因为，所以 所以，又，所以（2）联立方程组，解得，，5.答案解析： ，由，知，令则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以6.答案解析：偶函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递减.所以，所以,所以,,所以且,因为A是的一个内角，所以,,所以7.答案 C解析： 由A错，B错C正确，D错误8.答案 ①②④解析：做出的图像，由图可知①②④正确.9.答案 D 函数的最小正周期为 ，所得图像的解析式为10．答案 A解析：11.解：12.解13.解。

新高考地区 高一第一学期期末复习专题--三角函数(基础过关)(教师版)

新高考地区 高一第一学期期末复习专题--三角函数(基础过关)(教师版)

第7章 三角函数基础过关卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.（2020春•闵行区校级期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（）A ．2k π与k πB ．2k π+π与4k π±πC ．k π与2k π±D ．与k π±【解答】解：2k π（k ∈Z ）表示终边在x 轴非负半轴上的角的集合，k π（k ∈Z ）表示终边在x 轴上的角的集合，两组角终边不同；2k π+π与4k π±π（k ∈Z ）都表示终边在x 轴非正半轴上的角的集合，两组角终边相同； k π（k ∈Z ）表示终边与和终边相同的角的集合，2k π±（k ∈Z ）表示终边与和终边相同的角的集合，两组角终边不同；（k ∈Z ）表示终边在坐标轴上的角的集合，k π±（k ∈Z ）表示终边在y 轴上的角的集合，两组角终边不同； 故选：B ．2．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位 D ．向右平移π4个单位【答案】A【解析】因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8， 所以将y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象．3．（2019秋•浉河区校级月考）已知，b ＝（cos α）sin α，c ＝（sin α）cos α，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b【解答】解：因为，所以0＜sin αcos α＜1，所以b ＝（cos α）sin α＞（sin α）sin α＞（sin α）cos α，所以b ＞a ＞c ；即c ＜a ＜b ； 故选：D ．4．（2020•北京模拟）下列函数中，最小正周期为的是（ ） A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|2x |C ．y ＝|tan x |D ．y ＝|sin2x |【解答】解：由于函数y ＝sin|x |不是周期函数，故排除A ； 由于函数y ＝cos|2x |＝cos2x 的周期为π，故B 不正确；由于函数y ＝|tan x |的周期为π，故排除C ；由于函数y ＝|sin2x |的周期为•，故D 正确，故选：D ．5．（2020•茂名二模）已知cos （π+α），则sin （α）的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为，所以．故选：C ．6．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )A.π6B.π4C.3π4D.5π6 答案 C解析 sin(α－β)＝－255(－π2<α－β<0)．sin 2α＝31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋⎝⎛⎭⎫31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. 7．（2020•新课标Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cos α＝5，则sin α＝（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：由3cos2α﹣8cos α＝5，得3（2cos 2α﹣1）﹣8cos α﹣5＝0， 即3cos 2α﹣4cos α﹣4＝0，解得cos α＝2（舍去），或cos．∵α∈（0，π），∴α∈（，π），则sin α．故选：A ．8．（2020·厦门市湖滨中学高三其他（理））函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0,0,2A πωϕ＞＞＜)的部分图象如图所示，若12,,63x x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则12()f x x +=（ ）A ．1B ．12C D 【答案】D【解析】由图象可知，1,()2362T A πππ==--=，即T π=，所以2ω=，即()sin(2)f x x ϕ=+， 又因为()03f π=，则sin(2)03πϕ⨯+=，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈， 又由2πϕ＜，所以3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，又因为()36212πππ+-=，所以图中的最高点坐标为,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭.结合图象和已知条件可知122126x x ππ+=⨯=，所以122()()sin(2)sin 6633f x x f ππππ+==⨯+==， 故选D.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。

高中数学必修一三角函数概念知识点总结及练习题

高中数学必修一三角函数概念知识点总结及练习题

高中数学必修一三角函数概念知识点总结及练习题一、正弦函数与余弦函数1. 什么是正弦函数？正弦函数是指以单位圆为基础，对应于某个角的正弦值与其对边的比例。

2. 什么是余弦函数？余弦函数是指以单位圆为基础，对应于某个角的余弦值与其邻边的比例。

3. 正弦函数和余弦函数之间有什么关系？正弦函数和余弦函数是相互关联的，它们的图像相互对称，即正弦函数的图像沿y轴对称于余弦函数的图像。

二、三角函数的性质1. 三角函数的周期性是什么意思？三角函数的周期性指的是三角函数在一定范围内的值呈现出重复的规律。

2. 三角函数的奇偶性是什么意思？三角函数的奇偶性指的是在关于原点对称的图像中，函数值的变化规律。

3. 三角函数的单调性是什么意思？三角函数的单调性指的是在一定范围内，函数值的增减规律。

三、三角函数的图像1. 正弦函数的图像特点是什么？正弦函数的图像是一条连续的曲线，它在[-π/2, π/2]范围内在y 轴的正半轴上递增，在[π/2, 3π/2]范围内在y轴的负半轴上递减。

2. 余弦函数的图像特点是什么？余弦函数的图像是一条连续的曲线，它在[0, π]范围内在y轴的正半轴上递减，在[π, 2π]范围内在y轴的负半轴上递增。

四、三角函数的性质应用练题1. 求下列各式中所给的角度的正弦值：a) sin(30°)b) sin(60°)c) sin(45°)d) sin(90°)2. 求下列各式中所给的角度的余弦值：a) cos(0°)b) cos(180°)c) cos(270°)d) cos(360°)3. 判断下列各式是正弦函数还是余弦函数：a) f(x) = sin(x)b) f(x) = cos(x)4. 比较下列各式的大小：a) sin(30°) 与 cos(60°)b) sin(45°) 与 cos(45°)五、解答1. 求下列各式中所给的角度的正弦值：a) sin(30°) = 0.5b) sin(60°) = √3/2c) sin(45°) = √2/2d) sin(90°) = 12. 求下列各式中所给的角度的余弦值：a) cos(0°) = 1b) cos(180°) = -1c) cos(270°) = 0d) cos(360°) = 13. 判断下列各式是正弦函数还是余弦函数：a) f(x) = sin(x)（正弦函数）b) f(x) = cos(x)（余弦函数）4. 比较下列各式的大小：a) sin(30°) 与 cos(60°)（sin(30°) < cos(60°)）b) sin(45°) 与 cos(45°)（sin(45°) = cos(45°)）。

三角函数的概念专题练习题-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

三角函数的概念专题练习题-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

三角函数的概念专项练习题一、选择题1、(多选)若角α的终边经过点P (x ，－3)且sin α＝－31010，则x 的值为( ) A ．－ 3 B ．－1 C ．1 D. 32、已知点P(－3，y)为角β终边上一点，且sinβ＝1313，则y 的值为( ) A ．±12 B.12 C ．－12 D ．±2答案：B5、在△ABC 中，若sin A cos B tan C <0，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形6、 (多选)已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是( ) A ．sin 2α>0 B ．cos 2α>0C ．cos α2>0 D ．tan α2>07、若角α的终边在直线y ＝3x 上，sinα<0，且P(m ，n)是角α终边上一点，|OP|＝10(O 为坐标原点)，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－48、若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角9、 (多选)下列选项中，符号为负的是( )A ．sin(－100°)B ．cos(－220°)C ．tan 10D ．cos π10、已知点P (sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限11、已知sin α＝513，cos α＝－1213，则角α的终边与单位圆的交点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫513，－1213B.⎝⎛⎭⎫－513，1213C.⎝⎛⎭⎫1213，－513D.⎝⎛⎭⎫－1213，51312、(多选)若sin θ·cos θ>0，则θ在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13、点A (x ，y )是60°角的终边与单位圆的交点，则y x 的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－3314、代数式sin(－330°)cos 390°的值为( ) A ．－34 B.34 C ．－32 D.1415、若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x,2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．2 3 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 316、(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是( )A ．cos(－280°)<0B ．sin 500°>0C ．tan ⎝⎛⎭⎫－7π8>0D ．tan 53π12>017、已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角18、函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( )A ．{x |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π2≤x ≤k π＋π，k ∈Z D ．{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}二、填空20、已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，y (y <0)，则tan α＝.21、已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α＝.22、若－300°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为．23、已知角α终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－32，y ，则cos α＝，sin α＝.24、点P (tan 2 020°，cos 2 020°)位于第象限．25、已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是．26、求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．.三、解答题27、角θ的终边落在直线y ＝2x 上，求sin θ，cos θ的值．28、求下列函数的定义域： （1）y =)lg(cos x ；（2）y =lgsin2x +29x -．29、求函数y =1cos 3cos 22-+-x x +lg （36－x 2）的定义域．30、求函数y =x sin +lg （2cos x －1）的定义域．31、在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.32、求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域．33、利用单位圆，求适合下列条件的0到2π的角的集合．求(1)sinα≥12；(2)cosα＜22.34、设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．35、求满足sin α>的角α的取值范围；（2）求满足sin cos αα>的角α的取值范围。

新教材高一数学必修第一册三角函数综合检测答案解析

新教材高一数学必修第一册三角函数综合检测答案解析

新教材高一数学必修第一册三角函数综合检测答案解析一、单选题1．若()tan 2πα+=，则()()2sin 4sin cos 2παπαα⎛⎫----= ⎪⎝⎭（ ）A ．95- B ．75-C ．75D ．9575=-2．已知角α的终边在直线2y x =上，则sin cos αα=（ ） A ．25B ．25-C ．45D ．45-3．函数22sin 2cos 3y x x =+-的最大值是（ ） A ．1- B ．12C ．12-D ．5-【答案】C【分析】结合同角三角函数的基本关系式、二次函数的性质，求得函数的最大值. 【详解】()222sin 2cos 321cos 2cos 3y x x x x =+-=-+-1122-， 的最大值是12-的二次式求最值，属于基础题4()2x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的结果为（ ）A ．6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭5．将函数()()sin 0,0g x A x A ωω=>>，的图象向左平移中()0ϕϕπω<<个单位后得到函数()y f x =的图象，若()y f x =的图象关于y 轴对称，且()()130f f -==，则ω的可能取值为（ ） A ．3 B ．13C ．32π D ．π6．设z ∵C ，且|z |＝1，当|（z ﹣1）（z ﹣i ）|最大时，z ＝（ ）A ．﹣1B ．﹣iC D7．已知()sin (0)3f x x ωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：∵()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π；∵3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；∵(0)6f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭.若()f x 在[0,)t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是 A ．50,12π⎛⎤⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦8．已知1x ，2x ，是函数()()()tan 0,0f x x ωϕωϕπ=-><<的两个零点，且12x x -的最小值为3π，若将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后得到的图象关于原点对称，则ϕ的最大值为（ ） A ．34πB ．4π C ．78π D ．8π二、多选题9．设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，周长为L ，则（ ） A ．若α，r 确定，则L ，S 唯一确定 B ．若α，l 确定，则L ，S 唯一确定 C ．若S ，L 确定，则α，r 唯一确定 D ．若S ，l 确定，则α，r 唯一确定10．已知函数()sin f x x x =，则下列说法中正确的有（ ） A ．函数()f x 的值域为[1,2] B ．直线是6x π=函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 的最小正周期为πD ．函数()f x 在910109ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数11．已知函数()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为π2B ．函数()y f x =的图象关于直线19π12x =对称 C ．函数()y f x =在区间2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()1y f x =-在区间[]0,2π上有4个零点2112．若函数()()2ln 1=-+f x x ax 在区间[)2,+∞上单调递增，则下列实数可以作为a 值的是（ ）A ．4B ．52C ．2D ．0三、填空题13．若1cos 35πα⎛⎫+= ⎪，0,2πα⎛⎫∈ ⎪，则sin α=__________________．14．已知02πα<<，1cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．15．若函数()()sin 0f x x ωω=>在()0π，上单调递增，则ω的取值范围是________________.16．已知()sin()4f x x ωϕ=+-（0,02ωϕ><<）为奇函数，且()y f x =的图像与x 轴的两个相邻交点之间的距离为π，设矩形区域Ω是由直线2x π=±和1y =±所围成的平面图形，区域D 是由函数()2y f x π=+、2x π=±及1y =-所围成的平面图形，向区域Ω内随机地抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域D 的概率是___________.2π四、解答题 17．已知tan α＝2. (1)求sin 3cos sin cos αααα-+的值；(2)求2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α的值.18．已知,(0,)αβπ∈，且11tan(),tan 27αββ-==-，求2αβ-的值.【详解】tan tan[(α=)tan[(β-=11tan 1,0,tan ,3472ππααββ=<∴<<=-∴<故答案为：34π-. 19．已知函数2()cos 3sin cos (0,)ωωωω=++>∈R f x x x x m m ．再从条件∵、条件∵、条件∵这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知． (1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围． 条件∵：函数()f x 的最小正周期为π；条件∵：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件∵：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．112cos222ωω+++x x m π1sin(2)62ω=+++x m ．选择∵∵： 因为2ππ2T ω==，所以1ω=． 又因为1(0)12f m =+=，所以12m =-．所以π()sin(2)6f x x =+．当ππ22π62x k +=-，Z k ∈，即ππ3x k =-，Z k ∈时，()1f x =-. 所以函数()f x 的最小值为1-． 选择∵∵： 因为2ππ2T ω==，所以1ω=． 又因为函数()f x 的最大值为3322m +=， 所以0m =．所以π1()sin(2)62f x x =++．当ππ22π62x k +=-，Z k ∈，即ππ3x k =-，Z k ∈时， πsin(2)16x +=-，所以函数()f x 的最小值为11122． 选择∵∵：因为1(0)12f m =+=，所以12m =-，因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =m 的取值不可能有两个，∴无法求出解析式，舍去.（2） 选择∵∵： 令πsin(2)06x +=， 则π2π6x k +=，Z k ∈， 所以ππ212k x =-，Z k ∈． 当1,2k =时，函数()f x 的零点为5π11π,1212， 由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点， 所以5π11π1212t ≤<． 所以t 的取值范围是5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 选择∵∵：令π1sin(2)062++=x ，则π722π+π66+=x k ，Z k ∈，或π1122π+π66+=x k ，Z k ∈， 所以ππ+2=x k ，Z k ∈，或5π+π6=x k ，Z k ∈． 当0k =时，函数()f x 的零点分别为π5π,26， 由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点， 所以π5π26t ≤<． 所以t 的取值范围是π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭．20．已知函数()ππ2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（∵）求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（∵）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．21．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线=1x 对称，当[0,1]x ∈时，()21x f x =-.(1)求()f x 的最小正周期，并用函数的周期性的定义证明；(2)当[1,2]∈x 时，求()f x 的解析式； (3)计算(0)(1)(2)(2018)f f f f ++++的值．【答案】(1)见解析 (2)2()21x f x -=- (3)1【分析】（1）结合已知条件，利用函数的对称关系即可求解； （2）利用函数的对称关系即可求解；（3）利用周期性和()f x 在[0,2]上的解析式即可求解. （1）因为函数()f x 是R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线=1x 对称， 所以()(2)()f x f x f x =-=--，不妨令t x =-，则(2)()f t f t +=-，即()(2)f t f t =-+， 从而(2)(22)(4)f t f t f t +=-++=-+，即()(4)f t f t =+， 即()f x 的一个周期为4，因为当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，即()f x 在[0,1]上的单调递增， 所以由奇函数性质可知，()f x 在[]1,1-上单调递增， 又由对称性可知，()f x 在[1,3]单调递减， 从而()f x 的最小正周期为4. （2）当[1,2]∈x 时，则2[0,1]x -∈，因为当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，且()f x 的图象关于直线=1x 对称， 所以当[1,2]∈x 时，2()(2)21x f x f x -=-=-. （3）由（1）（2）和()f x 的周期性可知，(0)=0f ，(1)1=f ，(2)0f =，(3)(1)(1)1f f f =-=-=-， 因为()f x 的最小正周期为4， 所以(0)(1)(2)(2018)505[(0)(1)(2)(3)](3)1f f f f f f f f f ++++=+++-=.22．如图，某自来水公司要在公路两侧安装排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通.已知60AB m =，80BC m =，公路两侧排水管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排水管费用为每米2万元，设EF与AB所成的小于90︒的角为α.（∵）求矩形区域ABCD内的排水管费用W关于α的函数关系；（∵）求排水管的最小费用及相应的角α.cosαcos cos cosαααα-⎛⎫sin24f x,()f x为增函数；。

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》章末练习题卷含答案解析(67)

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》章末练习题卷含答案解析(67)

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1.已知sinα=−35，则cos2α的值为( )A．−725B．−2425C．725D．24252.若cos2θ=14，则sin2θ+2cos2θ的值为( )A．78B．1932C．138D．323.已知f(x)=sinx+√3cosx(x∈R)，函数y=f(x+φ)的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是( )A．π2B．π3C．π4D．π64.若cos(π+α)=−13，则cosα的值为( )A．13B．−13C．2√23D．−2√235.sin240∘等于( )A．12B．−12C．√32D．−√326.在△ABC中，cosA+cosB=√3，AB=2√3，当sinA+sinB取最大值时，△ABC内切圆的半径为( )A．2√3−3B．2√2−2C．13D．27.sin690∘=( )A．−√32B．−12C．12D．√328. −19π6是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角9. 已知 sin (5π2+α)=15，那么 cosα= ( ) A ． −25B ． −15C ． 15D ． 2510. 已知 sin (−α)=√53，则 cos (π2+α) 的值为 ( )A ．√53B ． −√53C ． 23D ． −23二、填空题（共6题）11. 设 α 为锐角，若 cos (α+π6)=45，则 sin (2α+π12) 的值为 ．12. 已知 x ∈(−π2,0)，cosx =45 则 tanx = ．13. 已知扇形的面积为 4，弧长为 4，该扇形的圆心角的大小为 弧度．14. 函数 y =tan2x 的最小正周期为 ．15. “密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是 6000 密位制，即将一个圆周角分为 6000等份，每一等份是一个密位，那么 120 密位等于 弧度．16. 函数 f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,−π2<φ<π2) 的部分图象如图所示，则 ω= ，φ= ．三、解答题（共6题） 17. 化简：sin(π2+α)cos(π2−α)cos (π+α)+sin (π−α)cos(π2+α)sin (π+α)．18. 如图，扇形 AOB 的半径 r =6 cm ，圆心角 ∠AOB =π3．求阴影部分的面积 S ．19. 已知函数 f (x )=sin2x +2cos 2x +2，x ∈[0,π2]．(1) 求函数 y =f (x ) 的值域； (2) 求函数 y =f (x ) 单调递减区间；(3) 若不等式 mf (x )+2m ≥f (x ) 恒成立，求实数 m 的取值范围．20. 作出下列函数的图象：(1) y =tan ∣2x ∣；(2) y =∣∣tan (2x −π4)∣∣．21. 函数 f (x )=6cos 2ωx 2+√3sin (ωx )−3(ω>0) 在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与 x 轴的交点，且 △ABC 为正三角形．(1) 求函数 f (x ) 的解析式； (2) 若 f (x 0)=6√35，且 x 0∈(−103,23)，求 f (x 0+1) 的值；(3) 若 y =f 2(x )−af (x )+1 的最小值为 12，求 a 的取值．22. 已知角 α 的终边上一点的坐标为 (−1,2)，求 α 的正弦、余弦和正切．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】cos2α=1−2sin2α=1−2×(−35)2=725.【知识点】二倍角公式2. 【答案】C【解析】sin2θ+2cos2θ=1−cos2θ2+2×1+cos2θ2 =32+cos2θ2=32+18=138,故选：C．【知识点】二倍角公式3. 【答案】D【解析】因为f(x)=2sin(x+π3)，所以f(x+φ)=2sin(x+φ+π3)．因为f(x+φ)的图象关于直线x=0对称，所以φ+π3=kπ+π2(k∈Z)，即φ=kπ+π6(k∈Z)．所以φ可以是π6．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质4. 【答案】A【解析】由cos(π+α)=−cosα，所以cosα=13．【知识点】诱导公式5. 【答案】D【解析】根据诱导公式sin(180∘+α)=−sinα得：sin240∘=sin(180∘+60∘)=−sin60∘=−√32．【知识点】诱导公式6. 【答案】A【解析】因为cosA+cosB=√3，所以2cos A+B2cos A−B2=√3, ⋯⋯①sinA+sinB=2sin A+B2cos A−B2，设sinA+sinB=t，则有：√3=2sinA+B2cos A−B2 2cos A+B2cos A−B2 =tan A+B2=tanπ−C2=cot C2,由①有：√3=2cos A+B2cos A−B2≤2cos A+B2=2cos(π2−C2)⇒sin C2≥√32⇒C2≥π3⇒C∈[2π3,π),则√3=cot C2≤cot23π2=√3，“=”当且仅当C=2π3，A=B=π6时取得，此时r内=2sc=√34+2√3=2√3−3．故选：A．【知识点】积化和差与和差化积公式7. 【答案】B【解析】sin690∘=sin(720∘−30∘)=sin(−30∘)=−sin30∘=−12．【知识点】诱导公式8. 【答案】B【解析】因为 −19π6=−4π+5π6，所以 −19π6与5π6的终边相同，它是第二象限角．【知识点】任意角的概念9. 【答案】C【解析】 sin (5π2+α)=sin (π2+α)=cosα， 故 cosα=15．故选C ．【知识点】诱导公式10. 【答案】A【解析】因为 sin (−α)=−sinα=√53， 所以 cos (π2+α)=−sinα=√53． 【知识点】诱导公式二、填空题（共6题） 11. 【答案】17√250【解析】因为 α 为锐角且 cos (α+π6)=45>0，所以 α+π6∈(π6,π2)， 所以 sin (α+π6)=35，所以sin (2α+π12)=sin [2(α+π6)−π4]=sin2(α+π6)cos π4−cos2(α+π6)sinπ4=√2sin (α+π6)cos (α+π6)−√22[2cos 2(α+π6)−1]=√2×35×45−√22[2×(45)2−1]=12√225−7√250=17√250.【知识点】二倍角公式、两角和与差的正弦12. 【答案】−34【解析】因为x∈(−π2,0)，所以sinx<0，又因为cosx=45，所以sinx=−35，所以tanx=sinxcosx =−34．【知识点】同角三角函数的基本关系13. 【答案】2【解析】由题意可得：设扇形面积为S，弧长为l，半径为R，圆心角为α弧度，则S=12lR=12×4×R=2R=4，解得R=2，又因为l=αR=2α=4，解得α=2．【知识点】弧度制14. 【答案】π2【解析】函数y=tan2x的最小正周期为π2．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质15. 【答案】π25【解析】由题意知，120密位等于1206000×2π=π25rad．【知识点】弧度制16. 【答案】2；−π3【解析】设f(x)的最小正周期为T，由题中图象可知34T=5π12−(−π3)得T=π，则ω=2πT =2ππ=2，又图象过点(5π12,2)，则f(5π12)=2，即2sin(5π6+φ)=2，则sin(5π6+φ)=1．因为−π2<φ<π2，所以π3<φ+5π6<4π3，所以5π6+φ=π2，所以φ=−π3．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质三、解答题（共6题）17. 【答案】sin(π2+α)cos(π2−α)cos(π+α)+sin(π−α)cos(π2+α)sin(π+α)=cosαsinα−cosα+sinα(−sinα)−sinα=−sinα+sinα=0.【知识点】诱导公式18. 【答案】S=(4π−3√3)cm2．【知识点】弧度制19. 【答案】(1) f(x)=sin2x+cos2x+3=√2sin(2x+π4)+3，因为x∈[0,π2]，所以π4≤2x+π4≤5π4，所以sin(2x+π4)∈[−√22,1]，所以函数y=f(x)的值域为[2,3+√2]．(2) 2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z)得，kπ+π8≤x≤kπ+5π8，k∈Z，又x∈[0,π2]，所以函数y=f(x)的单调递减区间是[π8,π2 ]；(3) 函数y=f(x)的值域为[2,3+√2]，于是，2+f(x)>0，原不等式mf(x)+2m≥f(x)等价于m≥f(x)2+f(x)=1−22+f(x)，由f(x)∈[2,3+√2]，得f(x)2+f(x)的最大值为13+2√223,所以，实数 m 的取值范围是 m ≥13+2√223． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质20. 【答案】(1) 用“三点两线法”作函数 y =tan2x 的图象，再保留它在 y 轴右边的图象，并将它对称翻折到 y 轴左边，便得到函数 y =tan ∣2x ∣ 的图象，如图 1 所示．(2) 用“三点两线法”作函数 y =tan (2x −π4) 的图象，再保留 x 轴上方的图象，将 x 轴下方的图象对称翻折到 x 轴上方，便得到函数 y =∣∣tan (2x −π4)∣∣的图象，如图 2 所示． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质21. 【答案】(1) f (x )=2√3sin (πx +π3)，正三角形高为 2√3，所以周期2πω=8⇒ω=π4，所以 f (x )=2√3sin (π4x +π3)．(2) f (x 0)=2√3sin (π4x 0+π3)=6√35，sin (π4x 0+π3)=35，x 0∈(−103,23)，π4x 0+π3∈(−π2,π2)，cos (π4x 0+π3)=45， f (x 0+1)=2√3sin (π4x 0+π3+π4)=2√3(35×√22+45×√22)=7√65． (3) t =f (x )=2√3sin (π4x +π3)∈[−2√3,2√3]，(t 2−at +1)min =12，对称轴 x =a2， 当 2√3≤a2⇒4√3≤a 时，(t 2−at +1)min =F(2√3)=12−2√3a +1=12，a =25√312舍；当 −2√3≥a2⇒−4√3≥a ，(t 2−at +1)min =F(−2√3)=12+2√3a +1=12，a =−25√312舍；当 −2√3≤a2≤2√3⇒−4√3≤a ≤4√3，(t 2−at +1)min =F (a2)=4−a 24−12，a =±√2．综上所述，a =±√2．【知识点】两角和与差的正弦、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】 sinα=2√55；cosα=−√55，tanα=−2．【知识点】任意角的三角函数定义。

广东省部分中学2023高中数学必修一第五章三角函数基本知识过关训练

广东省部分中学2023高中数学必修一第五章三角函数基本知识过关训练

广东省部分中学2023高中数学必修一第五章三角函数基本知识过关训练单选题1、已知函数y =√2sin(x +π4)，当y 取得最小值时，tanx 等于（ ）A ．1B ．−1C ．√32D ．−√32答案：A分析：由正弦函数的性质，先求出当y 取得最小值时x 的取值，从而求出tanx . 函数y =√2sin(x +π4)，当y 取得最小值时，有x +π4=2kπ+3π2，故x =2kπ+5π4，k ∈Z ．∴tanx =tan (2kπ+5π4)=tan (π4)=1，k ∈Z ． 故选：A ．2、若函数f(x)=sin(ωx +π3)(0<ω<3)的图象向右平移2π3个长度单位后关于点(π2,0)对称，则f(x)在[−7π24,π2]上的最小值为（ ）A ．1B ．−√22C ．−√32D ．√6−√24答案：C分析：由图像平移过程写出平移后的解析式g(x)=sin(ωx +π3−2ωπ3)，利用正弦函数的对称性求参数ω，最后由正弦型函数的单调性求区间最小值即可.将f(x)向右平移2π3个长度单位后，得到g(x)=sin[ω(x −2π3)+π3]=sin(ωx +π3−2ωπ3)，∵g(x)关于(π2,0)对称， ∴g(π2)=sin(ωπ2+π3−2ωπ3)=sin(π3−ωπ6)=0，∴π3−ωπ6=kπ,k ∈Z ，即ω=2−6k,k ∈Z ，又0<ω<3，则ω=2，即f(x)=sin(2x+π3)，由x∈[−7π24,π2]知：2x+π3∈[−π4,4π3]，则sin(2x+π3)∈[−√32,1]，∴f(x)在[−7π24,π2]上的最小值为−√32.故选：C.3、阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为s=2sin(ωt+φ)，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0(−2<s0<2)的时间分别为t1，t2，t3，且t3−t1=2，则ω=（）A．π2B．πC．3π2D．2π答案：B分析：利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为s0的时间t1，t2，t3，即可得T=t3−t1，可求参数ω.由正弦型函数的性质，函数示意图如下：所以T=t3−t1=2，则2πω=2，可得ω=π.故选：B4、将x轴正半轴绕原点逆时针旋转30°，得到角α，则下列与α终边相同的角是（）A．330°B．−330°C．210°D．−210°答案：B分析：写出终边相同的角α的集合，进而选出正确答案. 由题意得：{α|α=30°+k ⋅360°,k ∈Z }，当k =−1时，α=−330°，B 正确，其他选项经过验证均不正确. 故选：B5、sin (3π2+α)=（ ）A ．sinαB ．−sinαC ．cosαD ．−cosα 答案：D分析：利用诱导公式sin (π+α)=−sinα,sin (π2+α)=cos α代入计算． sin (3π2+α)=sin (π+π2+α)=−sin (π2+α)=−cos α． 故选：D ．6、已知sinα=2√67，cos (α−β)=√105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ=（ ）A ．9√1535B ．11√1035C ．√1535D ．√1035答案：A解析：易知sinβ=sin(α−(α−β))，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosα和sin (α−β)，分别在sin (α−β)=√155和−√155两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sinβ，结合β的范围可确定最终结果. ∵sinα=2√67<√22且0<α<3π4，∴0<α<π4，∴cosα=√1−sin 2α=57.又0<β<3π4，∴−3π4<α−β<π4，∴sin (α−β)=±√1−cos 2(α−β)=±√155. 当sin (α−β)=√155时， sinβ=sin(α−(α−β))=sinαcos (α−β)−cosαsin (α−β) =2√67×√105−57×√155=−√1535，∵0<β<3π4，∴sinβ>0，∴sinβ=−√1535不合题意，舍去； 当sin (α−β)=−√155，同理可求得sinβ=9√1535，符合题意.综上所述：sinβ=9√1535.故选：A .小提示：易错点睛：本题中求解cosα时，易忽略sinα的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cosα的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.7、若sinα+2cosα5cosα−sinα=516，则tanα=（ ）A ．13B ．12C ．−13D ．−12 答案：C分析：利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解.由sinα+2cosα5cosα−sinα=516可得tanα+25−tanα=516，解得：tanα=−13， 故选：C.8、已知函数f (x )=|cos 2x |+cos x ，下列四个结论中正确的是（ ） A ．函数f (x )在(0,π)上恰有一个零点 B ．函数f (x )在[0,π2]上单调递减 C ．f (π)=2D ．函数f (x )的图象关于点(π2,0)对称 答案：A分析：对x 的范围进行分类讨论，由此判断A 的正确性.利用赋值法判断BC 选项的正确性.由f (π2+x)+f (π2−x)是否为0来判断D 选项的正确性.x ∈(0,π4),2x ∈(0,π2)，f (x )=cos2x +cosx =2cos 2x +cosx −1=0，cosx =−1（舍去）或cosx =12,x =π3（舍去）. x ∈[π4,3π4],2x ∈[π2,3π2]，f (x )=−cos2x +cosx =−2cos 2x +cosx +1=0，cosx =1（舍去）或cosx =−12,x =2π3.x ∈(3π4,π),2x ∈(3π2,2π)，f (x )=cos2x +cosx =2cos 2x +cosx −1=0， cosx =−1（舍去）或cosx =12（舍去）.综上所述，函数f (x )在(0,π)上恰有一个零点，A 选项正确.f (0)=2,f (π4)=√22,f (π2)=1，B 选项错误.f (π)=1−1=0，C 选项错误.f (π2+x)+f (π2−x)=|cos (π+2x )|+cos (π2+x)+|cos (π−2x )|+cos (π2−x) =2|cos2x |−sinx +sinx =2|cos2x |不恒为0， D 选项错误. 故选：A9、已知A 为三角形的内角，且sinA +cosA =713，则tanA =（ ） A ．−125B ．−512C ．512D ．125答案：A分析：根据同角三角函数的基本关系，运用“弦化切”求解即可.∵sinA +cosA =713∴(sinA +cosA )2=(713)2计算得2sinAcosA =−120169<0，所以sinA >0，cosA <0，从而可计算的(sinA −cosA )2=1−2sinAcosA =289169∴sinA −cosA =1713， ∴sinA =1213，cosA =−513 ∴tanA =sinA cosA =−125,选项A 正确，选项BCD 错误.故选：A.10、已知角θ的终边经过点P (−12,√32)，则角θ可以为（ ） A ．5π6B ．2π3C ．11π6D ．5π3答案：B分析：求得sinθ，结合P 在第二象限求得θ的值，由此确定正确选项.依题意sinθ=√32√(−12)2+(√32)=√32，由于P 在第二象限， 所以θ=2π3+2kπ,k ∈Z ，当k =0时θ=2π3，所以B 选项正确，其它选项错误.故选：B 填空题11、已知cos(θ+π6)=−√33,则sin(π6−2θ)=__．答案：−13分析：根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.∵cos(θ+π6)=−√33， ∴sin(π6−2θ) =cos[π2−(π6−2θ)] =cos(2θ+π3)=cos[2(θ+π6)]=2cos 2(θ+π6)−1=2×(−√33)2−1=−13.所以答案是：−13.12、将函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 答案：x =−5π24##−524π分析：先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.y =3sin[2(x −π6)+π4]=3sin(2x −π12)2x −π12=π2+kπ(k ∈Z)∴x =7π24+kπ2(k ∈Z) 当k =−1时x =−5π24所以答案是：x =−5π24小提示：本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 13、函数y =tan x2的定义域为_____．答案：{x |x ≠2kπ+π,k ∈Z }分析：解不等式x2≠kπ+π2(k ∈Z )可求得函数y =tan x2的定义域. 解不等式x2≠kπ+π2(k ∈Z )，可得x ≠2kπ+π(k ∈Z )，因此，函数y =tan x2的定义域为{x |x ≠2kπ+π,k ∈Z }.所以答案是：{x |x ≠2kπ+π,k ∈Z }.小提示：本题考查正切型函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 解答题14、已知函数f (x )=sin (5π6−2x)−2sin (x −π4)cos (x +3π4).(1)解不等式f (x )≥−12；(2)若x∈[π12,π3]，且F(x)=−4λf(x)−cos(4x−π3)的最小值是−32，求实数λ的值.答案：(1)[kπ,kπ+2π3]，k∈Z；(2)λ=12.分析：(1)利用三角恒等变换公式化简，再结合三角函数图像解不等式；(2) 利用三角恒等变换公式化简，再转化为关于λ的一元二次不等式，利用分类讨论的思想求出λ的值.(1)∵f(x)=sin(5π6−2x)−2sin(x−π4)cos(x+3π4)=12cos2x+√32sin2x+(sinx−cosx)(sinx+cosx)=12cos2x+√32sin2x+sin2x−cos2x=12cos2x+√32sin2x−cos2x=sin(2x−π6)由2kπ−π6≤2x−π6≤2kπ+7π6，得kπ≤x≤kπ+2π3，解集为[kπ,kπ+2π3]，k∈Z(2)F(x)=−4λf(x)−cos(4x−π3)=−4λsin(2x−π6)−[1−2sin2(2x−π6)]=2sin2(2x−π6)−4λsin(2x−π6)−1=2[sin(2x−π6)−λ]2−1−2λ2∵x∈[π12,π3]，∴0≤2x−π6≤π2，0≤sin(2x−π6)≤1，①当λ<0时，当且仅当sin(2x−π6)=0时，f(x)取得最小值−1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin(2x−π6)=λ时，f(x)取最小值−1−2λ2，由已知得−1−2λ2=−32，解得λ=12；③当λ>1时，当且仅当sin(2x−π6)=1时，f(x)取得最小值1−4λ，由已知得1−4λ=−32，解得λ=58，这与λ>1相矛盾.综上所述，λ=12.小提示：解三角函数的不等式问题需要利用数形结合的思想，而二次函数含参的最值问题需要利用分类讨论的思想.15、已知0<a <π2，0<β<π2，sinα=45，cos(α+β)=513. （1）求cosβ的值；（2）求sin 2α+sin2αcos2α−1的值.答案：（1）6365；（2）−54.解析：（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sin(α+β)的值，进而根据β=(α+β)−α，利用两角差的余弦函数公式即可求解．（2）利用二倍角公式可求sin2α，cos2α的值，进而即可代入求解．（1）因为0<α<π2，sinα=45 所以cosα=√1−sin 2α=35 又因为0<β<π2，cos(α+β)=513 所以sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=1213 所以cosβ=cos [(β+α)−α]=cos(β+α)cosα+sin(β+α)sinα=513×35+1213×45=6365（2）因为cosα=35，sinα=45所以sin2α=2sinαcosα=2×45×35=2425cos2α=2cos 2α−1=2×(35)2−1=−725所以sin 2α+sin2αcos2α−1=(45)2+2425−725−1=−54小提示：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想．。

高一数学必修1三角函数练习题及答案详解

高一数学必修1三角函数练习题及答案详解

高一数学必修1三角函数练习题及答案详解考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的高一数学必修1三角函数练习题，希望对大家有所帮助!高一数学必修1三角函数练习题及答案1.下列命题中正确的是( )A.终边在x轴负半轴上的角是零角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β=α+k•360°(k∈Z)，则α与β终边相同解析易知A、B、C均错，D正确.答案 D2.若α为第一象限角，则k•180°+α(k∈Z)的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第一、二象限C.第一、三象限D.第一、四象限解析取特殊值验证.当k=0时，知终边在第一象限;当k=1，α=30°时，知终边在第三象限.答案 C3.下列各角中，与角330°的终边相同的是( )A.150°B.-390°C.510°D.-150°解析330°=360°-30°，而-390°=-360°-30°，∴330°与-390°终边相同.答案 B4.若α是第四象限角，则180°-α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析方法一由270°+k•360°<α<360°+k•360°，k∈Z得：-90°-k•360°>180°-α>-180°-k•360°，终边在(-180°，-90°)之间，即180°-α角的终边在第三象限，故选C.方法二数形结合，先画出α角的终边，由对称得-α角的终边，再把-α角的终边关于原点对称得180°-α角的终边，如图知180°-α角的终边在第三象限，故选C.答案 C5.把-1125°化成k•360°+α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( )A.-3×360°+45°B.-3×360°-315°C.-9×180°-45°D.-4×360°+315°解析-1125°=-4×360°+315°.答案 D6.设集合A={x|x=k•180°+(-1)k•90°，k∈Z}，B={x|x=k•360°+90°，k∈Z}，则集合A，B的关系是( )A.A?BB.A?BC.A=BD.A∩B=∅解析集合A表示终边在y轴非负半轴上的角，集合B也表示终边在y轴非负半轴上的角.∴A=B.答案 C7.如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC的度数为________.解析解法一根据角的定义，只看终边相对于始边的位置，顺时针方向，大小为75°，故∠AOC=-75°.解法二由角的定义知，∠AOB=45°，∠BOC=-120°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°-120°=-75°.答案-75°8.在(-720°，720°)内与100°终边相同的角的集合是________.解析与100°终边相同的角的集合为{α|α=k•360°+100°，k∈Z}令k=-2，-1,0,1，得α=-620°，-260°，100°，460°.答案{-620°，-260°，100°，460°}9.若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________.解析∵2小时40分=223小时，∴-360°×223=-960°.答案-960°10.若2α与20°角的终边相同，则所有这样的角α的集合是__________.解析2α=k•360°+20°，所以α=k•180°+10°，k∈Z.答案{α|k•180°+10°，k∈Z}11.角α满足180°<α<360°，角5α与α的始边相同，且又有相同的终边，求角α.解由题意得5α=k•360°+α(k∈Z)，∴α=k•90°(k∈Z).∵180°<α<360°，∴180°<k•90°<360°.∴2<k<4，又k∈Z，∴k=3.∴α=3×90°=270°.12.如图所示，角α的终边在图中阴影部分，试指出角α的范围.解∵与30°角的终边所在直线相同的角的集合为：{β|β=30°+k•180°，k∈Z}.与180°-65°=115°角的终边所在直线相同的角的集合为：{β|β=115°+k•180°，k∈Z}.因此，图中阴影部分的角α的范围为：{α|30°+k•180°≤α<115°+k•180°，k∈Z}.13.在角的集合{α|α=k•90°+45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不同的角?(2)写出区间(-180°，180°)内的角?(3)写出第二象限的角的一般表示法.解(1)在α=k•90°+45°中，令k=0,1,2,3知，α=45°，135°，225°，315°.∴在给定的角的集合中，终边不同的角共有4种.(2)由-180°<k•90°+45°<180°，得-52<k<32.又k∈Z，故k=-2，-1,0,1.∴在区间(-180°，180°)内的角有-135°，-45°，45°，135°.(3)其中第二象限的角可表示为k•360°+135°，k∈Z.。

第7章-7.2.2-同角三角函数关系高中数学必修第一册苏教版

第7章-7.2.2-同角三角函数关系高中数学必修第一册苏教版
2
D.不存在
)
【学会了吗丨变式题】
sin +cos
sin −cos
2.(2024·江苏省徐州市期末)已知
( D
)
A.−
3 5
5
5
5
tan +1
3，∴
tan −1
π
2
3 5
5
B.−
sin +cos
【解析】∵
=
sin −cos
π
π
又− < < ，tan > 0，
2
2
π
2 5
∴ 0 < < ，∴ sin =
，cos
2
5
5
∴ sin − cos = ．故选D.
5
π
2
= 3，− < < ，则sin − cos =
C.
= 3，解得tan = 2．
=
5
，
5
D.
5
5
例7 (2024·河南省郑州市期末)已知 ∈
π
− ,0
2
，且
tan2 − 3tan sin − 4sin2 = 0，则cos =( C
sin2
cos2
=
sin2
1−sin2
1 sin2
2 cos2
−1
1
=
=
sin2 −2
1−sin2
2tan2
+
sin2
，故有
1−sin2
1
sin2
2 1−sin2
1
2
=
=
sin2

数学人教A版(新课标)高中必修第一册 课后习题——三角函数的图象与性质(含答案)

数学人教A版(新课标)高中必修第一册 课后习题——三角函数的图象与性质(含答案)

数学人教A版（新课标）高中必修第一册课后习题——三角函数的图象与性质（含答案）《三角函数的图象与性质》课后习题复习巩固1．画出下列函数的简图：（1）y＝1－sin x，x∈［0，2π］；（2）y＝3cos x＋1，x∈［0，2π］．2．求下列函数的周期：（1）y＝，x∈R；（2）y＝，x∈R．3．下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数？（1）y＝sin x；（2）y＝1－cos 2x；（3）y＝－3sin 2x；（4）y＝1＋2 tan x．4．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并求出最大值、最小值：（1），x∈R；（2），x∈R；（3），x∈R；（4），x∈R．5．利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin 103°15′与sin 164°30′；（2）与；（3）sin 508°与sin 144°；（4）与．6．求下列函数的单调区间：（1）y＝1＋sin x，x∈［0，2π］；（2）y＝－cos x，x∈［0，2π］．7．求函数的定义域．8．求函数，x≠（k∈Z）的周期．9．利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）与；（2）tan 1 519°与tan 1 493°；（3）与；（4）与．综合运用10．求下列函数的值域：（1）y＝sin x，x∈；（2）y＝．11．根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值集合：（1）sin x≥（x∈R）；（2）＋2cos x≥0（x∈R）．12．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）．（A）y＝｜sin x｜（B）y＝cos x（C）y＝tan x（D）y＝13．若x是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的x的集合：（1）1＋tan x≤0；（2）tan x－≥0．14．求函数的单调区间．15．已知函数y＝f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，若f（0.5）＝1，求f（1），f（3.5）的值．16．已知函数，x∈R，（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．17．在直角坐标系中，已知∈O是以原点O为圆心，半径长为2的圆，角x（rad）的终边与∈O的交点为B，求点B的纵坐标y关于x的函数解析式，并借助信息技术画出其图象．18．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，（1）求函数的周期；（2）画出函数y＝f（x＋1）的图象；（3）写出函数y＝f（x）的解析式．19．容易知道，正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．答案1．可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．2．（1）3π （2）．3．（1）偶函数．（2）偶函数．（3）奇函数．（4）非奇非偶函数．4．（1）使y取得最大值的集合是｛x｜x＝6k＋3，k∈Z｝，最大值是；使y取得最小值的集合是｛x｜x＝6k，k∈Z｝，最小值是．（2）使y取得最大值的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝，最大值是3；使y取得最小值的集合是｛x｜x＝＋kπ，x∈Z｝，最小值是－3．（3）使y取得最大值的集合是｛x｜x＝＋4kπ，k∈Z｝，最大值是；使y取得最小值的集合是｛x｜x＝＋4kπ，k∈Z），最小值是．（4）使y取得最大值的集合是｛x｜x＝＋4kπ，k∈Z｝，最大值是；使y取得最小值的集合是｛x｜x＝＋4kπ，k∈Z｝，最小值是．5．（1）sin 103°15′＞sin 164°30′．（2）．（3）sin 508°＜sin 144°．（4）．6．（1）单调递增区间；单调递减区间．（2）单调递增区间［0，π］；单调递减区间［π，2π］．7．｛x｜x≠＋kπ，k∈Z｝．8．．9．（1）．（2）tan 1 519°＞tan 1 493°．（3）．（4）．10．（1）．（2）．11．（1）｛x｜＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z）．（2）｛x｜＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z｝．12．A．13．（1）．（2）．14．单调递减区间，k∈Z．15．f（1）＝0，f（3.5）＝－1．16．（1）π．（2）最大值为，最小值为＝．17．y＝2sin x，图略．18．（1）2．（2）y＝f（x＋1）的图象如图所示．（3）y＝｜x－2k｜，x∈［2k－1，2k＋1］，k∈Z．提示：可先求出定义域为一个周期的函数y＝f（x），x∈［－1，1］的解析式为y＝｜x｜，x∈［－1，1］；再根据函数y＝f（x）的图象和周期性，得到函数y＝f（x）的解析式为y＝｜x－2k｜，x∈［2k－1，2k ＋1］，k∈Z．19．由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（kπ，0），k∈Z．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是x＝＋kπ，k∈Z．由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为（＋kπ，0），k∈Z，对称轴的方程是x＝－kπ，k∈Z；正切曲线的对称中心坐标为（，0），k∈Z，正切曲线不是轴对称图形．。

专题强化三 三角函数图像和最值的问题基础过关高一数学(人教A版2019必修第一册)

专题强化三 三角函数图像和最值的问题基础过关高一数学(人教A版2019必修第一册)

专题强化三：三角函数图像和最值的问题基础过关必刷题一、单选题1．（2022·上海市控江中学高一期末）已知常数0a >，函数π()sin(23f x x =+在区间[0,]a 上是严格增函数，则实数a的取值范围是（）A ．π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．π{|2π2π,N}2a k a k k <≤+∈D ．π{|2π2π,N}12a k a k k <≤+∈2．（2022·全国·高一课时练习）设0ω>，若函数π()2cos 2f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,1]3．（2022·全国·高一课时练习）关于函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是πB ．()f x 的最小值为2C ．()f x 在π(0,)2上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1C ．()f x的最大值为3，最小值为34D ．()f x的最大值为3，最小值为35．（2022·陕西渭南·高一期末）已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，2πϕ≤）的部分图象如图所示；将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（）A ．1()2cos 34g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()2cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2cos 64g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1()2cos 64g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知函数2()sin 22sin f x x x =-，给出下列结论，正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．函数()f x 图像关于(,0)8π-对称D ．函数()f x 的图像可由函数2y x =的图像向右平移8π个单位，再向下平移1个单位得到7．（2022·江西·高一期中）已知函数()sin cos cos sin 0,0,2f x A x A x A πωϕωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如下图所示，先将()f x 的图象向右平移3π个单位长度（纵坐标不变），再将横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则（）A ．()3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()546g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．（2022·河南省嵩县第一高级中学高一阶段练习）为了得到函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()2sin g x x =的图象（）A ．所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向右平移12π个单位长度B ．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移6π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D ．向右平移12π个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变9．（2022·全国·高一）将函数π()2cos 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列结论中正确的是（）A ．函数()g x 的图象关于点π(,1)12-对称B ．函数()g x 的最小正周期是4πC ．函数()g x 在5(0,)12π单调递减D ．函数()g x 在5(0,12π的最小值是-310．（2022·浙江·杭十四中高一期中）已知函数π()sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则（）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于直线π2x =-对称C ．函数()f x 在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()f x 在区间3π4π,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是211．（2022·辽宁·大连市一0三中学高一期中）将函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，则ω的值可能为（）A ．73B ．13C ．3D ．412．（2022·河南新乡·高一期中）如图，A ，B 是函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭图像上的两个最高点，点C 是()f x 图像上的一个对称中心，若ABC 为直角三角形，则ϕ=（）A ．π3-B ．π4-C ．π3D ．π4二、多选题13．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为πx =，其中ω为常数，且()0,1ω∈，则以下结论正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为3πB ．3π4f ⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 的图象的对称中心为()π3π,0Z 4k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D ．函数()f x 在区间()0,100π上有67个零点14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()tan f x x =，则下列结论正确的是（）A ．2π是()f x 的一个周期B ．3344f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 的定义域是,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z D ．()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称15．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()cos 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线1124x π=对称C ．函数()f x 的图象关于点7,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减16．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）已知函数()()sin 2f x A x ϕ=+（0,||2A πϕ≠<），若23x π=是f （x ）图象的一条对称轴的方程，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象的一个对称中心5012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．()f x 在[－3π，6π]上是减函数C ．()f x 的图象过点（0，12）D ．()f x 的最大值是A17．（2022·全国·高一）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．函数f (x )的图象的周期为T π=B ．函数f (x )的图象关于点（12π，0）对称C ．函数f (x )在区间[－3π，6π]上的最大值为2D ．直线1y =与()11(1212y f x x ππ=-≤≤）图像所有交点的横坐标之和为6π18．（2022·安徽蚌埠·高一期末）关于函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，以下说法正确的是（）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 的最小正周期是2πC ．512x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴D ．函数()f x 在区间7,312ππ⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增19．（2022·广东清远·高一期末）设函数()2πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，则（）A ．ω的取值范围是1925,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个C ．()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点恰有2个D ．()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减20．（2022·江西宜春·高一期末）已知函数()()3cos 23f x x x R p 骣琪=-+Î琪桫，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线3x π=-对称C ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 可以改写成()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭21．（2022·江西上饶·高一期末）设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0,π上有且仅有3条对称轴，则（）A ．()f x 在[]0,π上有且仅有2个最大值点B ．()f x 在[]0,π上有且仅有2个零点C ．ω的取值范围是710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增三、填空题22．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知函数()π3cos 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭单调递增区间为________.23．（2022·江西·景德镇一中高一期中）函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间5π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且存在唯一05π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()01f x =，则ω的取值范围为_______．24．（2022·上海·华东师范大学附属周浦中学高一期末）将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，所得图像的解析式为______．25．（2022·上海市浦东中学高一期末）函数()sin()f x A x ωϕ=+（π0,0,||2A ωϕ>><）的部分图象如图所示，若将()f x 图象上的所有点向右平移π4个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x =__．26．（2022·江西·景德镇一中高一期中）己知函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位后得到函数()g x 的图象，若实数1x ，2x 满足()()124-=f x g x ，则12x x -的最小值为______．27．（2022·浙江杭州·高一期中）有下列说法:①函数cos2y x =-的最小正周期是π;②终边在y 轴上的角的集合是2k k παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ∣;③把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上所有的点向右平移6π个单位长度得到函数3sin2y x =的图像;④函数sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0π，上是减函数.其中，正确的说法是__________.（填序号）28．（2022·上海市控江中学高一期末）函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，现有三个论断：（1）图象C 关于直线11π12x =对称；（2）函数()f x 在区间ππ(,22-内是增函数；（3）由函数3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确结论的序号为______.29．（2022·湖南·长沙一中高一期末）已知函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t （0t >）个单位长度，得到函数()y f x =的图象．若函数()y f x =的图象关于原点对称，则t 的最小值为________．30．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()π()sin 0002f x A x A ωϕωϕ=+>><<（，，）的部分图象如图所示，下述四个结论：①2ω=；②π3ϕ=-；③π()12f x +是奇函数；④π()12f x -是偶函数中，其中所有正确结论的编号是_______.四、解答题31．（2022·山东东营·高一期中）已知函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2(1)求函数()f x 的单调递增区间和其图象的对称轴方程;(2)先将函数()y f x =的图象各点的横坐标向左平移π12个单位长度，纵坐标不变得到曲线C ，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到()g x 的图象，若1()2g x ≥，求x 的取值范围.32．（2022·山东临沂·高一期末）已知函数()8cos sin 236f x x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的周期；(2)将函数()f x 的图象向右平移12π个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求()g x 在[]0,π上的值域.33．（2022·全国·高一课时练习）若将函数()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象．(1)求()g x 图象的对称中心；(2)若1(2)()2f x g x =，求tan 46x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．34．（2022·河北张家口·高一阶段练习）已知()()2sin cos f x x x x =+(1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位，得到()g x 的图象，求()g x 的对称轴.35．（2022·广东省阳山县阳山中学高一阶段练习）如图为函数()()sin (0,0,,R)2f x A x A x πωϕωϕ=+>><∈的部分图像.(1)求函数解析式；(2)函数()y f x k =-在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，求实数k 的取值范围及12()f x x +的值.36．（2022·陕西西安·高一期末）已知函数()ππ2cos 2062f x x θθ⎛⎫⎛⎫=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数.(1)求θ的值；(2)将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，然后再向左平移π18个单位长度，最后向上平移1个单位长度后，得到()y g x =的图象，若关于x 的方程()2g x m --10=在ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有两个不同的根,αβ，求实数m 的取值范围.37．（2022·全国·高一专题练习）已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-．(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)现将()f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；再向右平移12π个单位长度得到()g x 的图像，若当0,4x π⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()210g x m -+≥恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案：1．B【分析】根据正弦型三角函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】πππ0,022,22333x a x a x a ≤≤≤≤≤+≤+，由于0a >且π()sin(2)3f x x =+在区间[0,]a 上是严格增函数，所以πππ2,03212a a +≤<≤，即a 的取值范围是π0,12⎛⎤⎥⎝⎦.故选：B 2．D【分析】先用诱导公式化简，再根据正弦函数的单调性可得4222ωππωππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，结合条件即得.【详解】π()2cos 2sin 2f x x x ωω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0ω>，可得,42x ωπωπω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的单调性，可得：4222ωππωππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，又0ω>，所以01ω<≤，即(0,1]ω∈.故选：D.3．D【分析】根据给定的函数()f x ，用周期性定义判断A ；取特值计算判断B ；分析单调性判断C ；证明对称性判断D 作答.【详解】对于A ，11(π)sin(π)sin ()sin(π)sin f x x x f x x x+=++=--≠+，即π不是()f x 的周期，A 错误；对于B ，取π2x =-，则ππ1()sin()2π22sin()2f -=-+=--，即()f x 的最小值不是2，B 错误；对于C ，当π(0,)2x ∈时，令sin (0,1)x t =∈，函数1y t t =+在(0,1)上单调递减，而sin t x =在π(0,)2上单调递增，因此1()sin sin f x x x =+在π(0,)2上单调递减，C 错误；对于D ，11(π)sin(π)sin ()sin(π)sin f x x x f x x x-=-++=-，即函数()f x 的图象关于直线π2x =对称，D 正确．故选：D 4．C【分析】利用换元法求解函数的最大值和最小值即可.【详解】因为函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，设sin cos 4x x x t π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，则22sin cos 1x x t =-，所以2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当12t =-时，()min 34f t =；当t =时，()max 3f t =故选：C 5．A【分析】由图象求三角形的解析式，再由图象平移过程求()g x 的解析式.【详解】由图知：2A =且311341264T πππ=-=，则T π=，所以2ππω=，故2ω=，则()()2cos 2f x x ϕ=+，由(2cos 263f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则23k πϕπ+=，Z k ∈，所以23k πϕπ=-，Z k ∈，又2πϕ≤，故3πϕ=-，综上，()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()1[()]2cos()6434x g x f x ππ=+=-.故选：A 6．B【分析】化简函数的解析式为())14f x x π=+-，结合三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数2()sin 22sin sin 2cos 21)14f x x x x x x π=-=+-=+-，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，所以A 错误；因为5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的图象与性质，可得函数sin y x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以B 正确；由函数())14f x x π=+-，令2,4x k k Z ππ+=∈，解得,82k x k Z ππ=-+∈，当0k =时，可得8x π=-，所以函数()f x 的对称中心为(,1)8π--，所以C 不正确；由函数2y x =的图像向右平移8π个单位，)]84y x x ππ=-=-，再向下平移1个单位得到)14y x π=--，所以D 不正确.故选：B.7．D【分析】根据两角和的正弦公式可得()()sin f x A x =+ωϕ，再根据周期求解得2ω=，结合图形可得A =，代入最低点可得可得3πϕ=，进而根据三角函数图象平移的方法求得()g x 即可【详解】()()sin cos cos sin sin f x A x A x A x ωϕωϕωϕ=+=+，由图知周期724123T πππω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，解得2ω=，又最小值为A =，故()()2f x x ϕ=+.又2033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合2πϕ<，可得3πϕ=，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将()f x 的图象向右平移3π个单位长度（纵坐标不变），得到23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将横坐标缩小为原来的12，得到()554443626g x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：D.8．A【分析】利用三角函数图象变换知识解答.【详解】解：将函数()2sin g x x =图象所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到2sin 2y x =，再将所得图象向右平移12π个单位，得到函数()2sin 2()12f x x π=-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以选项A 正确.故选：A 9．C【分析】利用函数cos()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，再利用余弦函数的对称性可判断A;利用周期公式，判断B;根据余弦函数的单调性，判断C,D.【详解】由已知可得π()2cos 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，对于A,由于当π12x =-时，()1g x =为函数最大值，故函数()g x 的图象不关于点π(12-，1)对称，故A 错误；对于B,函数()g x 的最小正周期是2π=π2,故B 错误；对于C,当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ2,π66x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时g （x ）单调递减．故C 正确；对于D,当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ2,π66x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时g （x ）单调递减．5π()()312g x g >=-，故D错误，故选：C ．10．D【分析】根据函数的部分图像得出周期求出ω，将5,112π⎛⎫⎪⎝⎭代入即可求出ϕ的值，进而得出()f x 的解析式，根据三角函数的性质及对称轴对称中心对应的函数值的特征进行分析即可求解.【详解】由函数图像可知5πππ41264T =-=，所以πT =，因为2ππT ω==，所以2ω=，故A 错误；又函数过点5π,112⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π5πsin 211212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5ππ2π,Z 62k k ϕ+=+∈，解得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-，所以π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππs ππsin 23in 216212x y f x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+=+=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎣⎦⎝⎢⎥⎭⎭，当π2x =-时，ππ116πsin 2sin 622y ⎡⎤⎛⎫=-⨯-= ⎪⎢⎥⎦=⎭⎣≠±⎝，故π2x =-不是函数π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，故B 错误；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π2π5π2,333x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在2π5π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上不单调，故C 错误；当3π4π,43x ⎡∈⎤⎢⎣⎦时，7π7π,3π236x -∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以πsin 23x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，故D 正确；故选：D.11．B【分析】先利用平移变换得到()2sin (0)g x x ωω=>，再根据函数()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，利用正弦函数的性质求解.【详解】解：将函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()2sin (0)g x x ωω=>，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0,4ωπω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，又因为函数()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎣⎦π上单调递增，所以42ωππ≤，解得，2ω≤所以ω的值可能为13，故选：B 12．B【分析】由题意得A =，π2ACB ∠=，设()f x 的最小正周期为T ，分别用T 表示出2AC ，2BC ，2AB ，由勾股定理解出T ，进一步求出ω，又因为点A 在图像上，代入即可求出ϕ.【详解】由题意得A =，π2ACB ∠=.设()f x 的最小正周期为T，所以2224T AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22234T BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22AB T =，所以222961616T T T =++，即4T =，所以2ππ2T ω==.因为3π3222f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3ππ2π42k k ϕ+=+∈Z ，即()π2π4k k ϕ=-+∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.故选：B.13．ABD【分析】先根据已知条件求得ω，然后根据三角函数值的最小正周期、函数值、对称中心、零点等知识求得正确答案.【详解】依题意，函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为πx =，所以ππ2ππ,,Z 623k k k ωω-=+=+∈，由于()0,1ω∈，所以令0k =，得23ω=.所以()2π2sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为22π3π3T ==，A 选项正确.3π23πππ2sin 2sin 43463f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 选项正确.2π3ππ,π,Z 3624x k x k k -==+∈，即函数()f x 的图象的对称中心为()3ππ,0Z 24k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以C 选项错误.3π0π100π24k <+<，113366.562k -<<=，由于Z k ∈，所以0,1,2,,66k =，共67个，即函数()f x 在区间()0,100π上有67个零点，D 选项正确.故选：ABD 14．ABC【分析】根据()tan f x x =的图象逐个分析即可.【详解】对A ，画出函数()tan f x x =的图象（如图），易得()f x 的周期为()T k k π=∈Z ，取2k =，则2π是()f x 的一个周期，故A 正确；对B ，()f x 是偶函数，则3344f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对C ，易得()f x 的定义域是,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故C 正确；对D ，由图可得点,02π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()tan f x x =图象的对称中心，故D 错误．故选：ABC 15．BCD【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：因为()cos 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期22T ππ==，故A 错误；1cos 2cos 1111124224f ππππ⎛⎫⨯+=⎛⎫= ⎪⎝⎪⎭⎭=- ⎝，所以函数()f x 的图象关于直线1124x π=对称，故B 正确；2cos 2coscos 0122277244f πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎛⎫⨯+=-== ⎪⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以()f x 的图象关于点7,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故C 正确；若0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2,7121212x πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，因为cos y x =在[]0,π上单调递减，所以()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故D 正确；故选：BCD 16．BCD 【分析】根据23x π=是()f x 图象的一条对称轴的方程，代入对称轴的方程式可得()sin 26f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的图象性质逐个判断即可【详解】∵23x π=是()f x 图象的一条对称轴的方程，∴()2232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，又||2ϕπ<∴6πϕ=，∴()sin 26f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对A ，52126πππ⨯+=为正弦函数的对称中心横坐标，故A 正确，对BD ，由于A 的正负未知，所以不能判断()f x 的单调性和最值，故B ，D 错误，对C ，()1022A f =≠，故C 错误．故选：BCD 17．AC【分析】先利用函数图象,,,T A ωϕ，从而求得函数解析式，然后利用零点，对称性及正弦三角形最值求解得结果.【详解】依题意，4T =253124πππ-=，得T π=，故A 正确；22πωπ==，2A =，则()()2sin 2f x x ϕ=+，当23x π=时，()f x 取最小值，则23232ππϕ⨯+=，得6πϕ=，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当12x π=时，2sin 22sin 0121263f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；当x ∈[－3π，6π]，则2,622x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则()22f x -≤≤，故C 正确；111212x ππ-≤≤，则[]20,26x ππ+∈，设直线1y =与()11(1212y f x x ππ=-≤≤）图像所有交点的横坐标为12,x x ，则122266x x πππ+++=，解得123x x π+=，故D 错误；故选：AC.18．BCD【分析】根据奇偶性的定义可判断A 项，根据正弦型函数的周期可判断B 项，根据正弦型函数的对称性可判断C 项，整体代入求解正弦型函数的单调性可判断D 项.【详解】解：对于A ，()sin 2sin 2()33f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 不是偶函数，故A 错误；对于B ，令()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()g x 的最小正周期为22ππ=，故函数()()f x g x =的最小正周期为2222ππ=⨯，故B 正确；对于C ，函数()f x 图象的对称轴方程为2(Z)32k x k ππ+=∈，即(Z)46k x k ππ=-∈，当1k =-时，512x π=-，故C 正确；对于D ，当7,312x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,32x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间7,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()()f x g x =在区间7,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 正确；故选：BCD.19．AB【分析】对于A,确定2π2π2ππ[,333πx ω-∈--，根据零点个数确定5π2π7ππ232ω≤-<，求得参数范围；对于B ，C ，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D ，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，确定2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，计算π2ππ2π,4323ωω--的范围，从而确定()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调性.【详解】当[]0,πx ∈时，2π2π2ππ[,]333πx ω-∈--，因为()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，所以5π2π7ππ232ω≤-<，解得192566ω≤<，故A 正确；又由以上分析可知，函数cos y x =在2π2π[,π33ω--上有且仅有4个零点，且5π2π7ππ232ω≤-<，则在2π7π[,)32-上，cos y x =出现两次最大值，此时函数cos y x =的大致图象如图示：即()y f x =在()0,π上两次出现最大值1，即2ππ3x -取0,2π时，()y f x =取最大值，故()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个，故B 正确；由于当(0,π)x ∈时，2π2π2ππ(,333πx ω-∈--，5π2π7ππ232ω≤-<，当2πππ3x -=-时，()y f x =取最小值1-，由于2ππ3x -是否取到3π不确定，故()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点可能是1个或2个，故C 错误；当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为192566ω≤<，所以π2π043ω->，11ππ2π17π122312ω≤-<，故π2π23ω-的值不一定小于π，所以()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上不一定单调递减.故选：AB.【点睛】本题考查了复合型余弦函数的解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的应用.20．BC【分析】将函数解析式变形为()3cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；由余弦型函数的对称性可判断B 选项；利用余弦型函数的单调性可判断C 选项；利用诱导公式可判断D 选项.【详解】因为()3cos 23cos 233f x x x pp 骣骣琪琪=-+=-琪琪桫桫.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22ππ=，A 错；对于B 选项，()()min 3cos 33f f x ππ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭，B 对；对于C 选项，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22633x πππ≤-≤，所以，函数()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，C 对；对于D 选项，()3sin 23sin 2326f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错.故选：BC.21．ACD【分析】由换元法结合正弦函数的图象以及性质逐一判断即可.【详解】∵[]0,x π∈，0ω>，∴0x ωπω≤≤，∴666x πππωπω≤+≤+，令6t x πω=+，∴66t πππω≤≤+，画出sin y t =图象进行分析：对于A 选项：由图象可知：()f x 在[]0,π上有且仅有1x ，3x 对应的这2个最大值点，故A 选项正确；对于B 选项：当5326πππωπ≤+<，即71736ω≤<时，()f x 在[]0,π有且仅有2个零点；当7362ππππω≤+<，即171063ω<≤时，()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，故B 选项不正确；对于C 选项：∵()f x 在[]0,π有且仅有3条对称轴，∴57262ππππω≤+<，∴71033ω≤<，∴ω的取值范围是710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故C 选项正确；对于D 选项：∵0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0ω>，∴010x πωω<<，∴66106x ππππωω<+<+，由C 选项可知，71033ω≤<，∴251062ππππω≤+<，即()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故D 选项正确.故选：ACD.22．Z12125πππ,π+,k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦【分析】令π2ππ22π,Z 6k x k k -≤-≤∈，求得x 的范围，即可求得()f x 的单调递增区间．【详解】令π2ππ22π,Z 6k x k k -≤-≤∈，解得+12Z 1π,25πππk x k k -≤≤∈，故()f x 的单调递增区间为Z 12125πππ,π+,k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．故答案为：Z 12125πππ,π+,k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．23．21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据函数得单调性可得2π5π2362πππ362T ω⎧≥+⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，根据后一个条件可得π5ππ5π2662ω≤+<，解之即可得解.【详解】解：由5π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得π5ππ2ππ,66636x ωωω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，因为函数()f x 在区间5π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且5πππ662ω-+<，所以π2π5π2362πππ362T ωω⎧=≥+⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得12ω≤，由05π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0ππ5ππ,6666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为存在唯一05π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()01f x =所以π5ππ5π2662ω≤+<，解得21455ω≤<，综上所述ω的取值范围为21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.24．πcos 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】横坐标缩短到原来的12，将x 变为2x 即可.【详解】将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，所得图像的解析式为ππcos 22cos 433y x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：πcos 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.25．πsin(26x -【分析】根据函数图象求得A 和最小正周期，继而求得ω，利用点π(,0)3带入解析式求得π3ϕ=，即得函数解析式，根据三角函数图象的平移变换可得答案.【详解】由函数()sin()f x A x ωϕ=+图象可知1A =，7ππ2π4()π,2123πT ω=-=∴==，将π(,0)3代入函数解析式()sin(2)f x x ϕ=+得2π3sin()0ϕ+=，则2π+π,2ππ.Z 332π+k k k ϕϕ+=∴∈=，由于π||2ϕ<，所以π3ϕ=，即π()sin(2)3f x x =+，将()f x 图象上的所有点向右平移π4个单位得到函数()g x 的图象，则πππ()sin[2()]sin 436(2g x x x =-+=-，故答案为：πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭26．5π12##5π12【分析】首先根据题意得到()2cos 2g x x =，根据题意得到()()()()1max 2min f x f x g x g x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而得到12125πππ12x x k k -=-+-，1k Z ∈，2Z k ∈，即可得到答案.【详解】()πππ2sin 22cos 212123g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为实数1x ，2x 满足()()124-=f x g x ，所以()()()()1max 2min f x f x g x g x ⎧=⎪⎨=⎪⎩.所以11ππ22π32x k +=+，1Z k ∈，解得11ππ12x k =+，1k Z ∈，222π2πx k =+，2k Z ∈，解得22ππ2x k =+，2k Z ∈，所以12125πππ12x x k k -=-+-，1k Z ∈，2Z k ∈.所以12min5π12x x -=.综上：12min5π12x x -=.故答案为：5π1227．①③【分析】由余弦函数性质判断①，由角的定义判断②，由三角函数的平移变换判断③，由诱导公式和余弦函数性质判断④．【详解】①函数cos2y x =-的最小正周期是2ππ2T ==，正确；;②终边在y 轴上的角的集合是π21{|π,Z}={|=π,Z}22k k k k αααα+=+∈∈，错误；;③把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上所有的点向右平移6π个单位长度得到图象的函数解析式为ππ3sin[2()]3sin 263y x x =-+=，正确；④πsin()cos 2y x x =-=-，它在[0,π]上是增函数，错误．故答案为：①③．28．（1）【分析】根据三角函数的对称性、单调性、三角函数图象变换等知识求得正确答案.【详解】（1），11π11ππ3π3sin 3sin 312632f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以（1）正确.（2），ππ4ππ2π,π2π,222333x x x -<<-<<-<-<，根据正弦函数的单调性可知，()f x 在区间ππ(,)22-内不是增函数.所以（2）错误.（3）函数3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到π2π3sin 23sin 233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以（3）错误.故答案为：（1）29．6π【分析】由图象可得π6x =时，函数sin()y A x ωϕ=+的函数值为0，可以解出ϕ的表达式，再利用平移的知识可以得出t 的最小值．【详解】解：由图象可得π6x =时，函数sin()y A x ωϕ=+的函数值为0，即ππ(Z)6k k ωϕ+=∈，ππ(Z)6k k ωϕ∴=-+∈，πsin(π)6y A x k ωω∴=-+，将此函数向左平移t 个单位得，π()sin[()π]6f x A x t k ωω=+-+，又()f x 为奇函数，11πππ(Z)6t k k k ωω∴-+=∈，11ππ(Z,Z)6k k t k k ω-∴=+∈∈，t ∴的最小值是π6．故答案为：6π.30．①②④【分析】根据()()sin f x A x ωϕ=+部分图象求出()f x 的解析式，再利用三角函数的性质即可求解.【详解】由函数图象的最值可得1A =，由3π7π3π46124T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得πT =，所以2π2Tω==，所以①正确；此时()()sin 2f x x ϕ=+代入7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭得7π7πsin 1126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7ππ5π2π,Z 2π,Z 623k k k k ϕϕ∴-+=+∈⇒=+∈，又π02ϕ<<，π3ϕ∴=-，所以②正确；所以()f x 的解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.ππππsin 2sin 2121236f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦不是奇函数，所以③错误；ππππsin 2sin 2cos 2121232f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，π(12f x ∴-为偶函数，所以④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．故答案为：①②④．31．(1)单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈；(2)πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由条件可得函数()f x 的最小正周期，结合周期公式求ω，再由正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数()g x 的解析式，根据直线函数性质解不等式求x 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2，所以()f x 的最小正周期为π，所以2ππω=，2ω=，所以π()2sin(23f x x =-，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，可得π5πππ1212k x k -≤≤+，()k ∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，由()ππ2πZ 32x k k -=+∈得π5π(Z)212k x k =+∈，所以所求对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈（2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度得到曲线π:2sin(2)6C y x =-，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到π()sin(2)6g x x =-的图象，由1()2g x ≥得π1sin(262x -≥，所以ππ5π2π22π666k x k +≤-≤+，Z k ∈，所以ππππ62k x k +≤≤+，Z k ∈，所以x 的取值范围为πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦32．(1)π(2)1,1⎡⎤⎣⎦【分析】（1）由三角恒等变换化简函数()f x 的表达式，可得()2cos 21f x x =-，从而根据周期公式即可求解；（2）根据图象变换求出函数()g x 的解析式，然后由三角函数的图象与性质即可求解()g x 在[]0,π上的值域.（1）解：()8cos sin 236f x x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭18cos 2232x x x x =⎫-⎪⎝+⎪-⎭2cos 4cos 23x x x x =+--224cos 23x x x =+--2cos 21x =-，所以()f x 的周期22T ππ==；（2）解：将函数()f x 的图象向右平移12π个单位，可得2cos 212cos 21126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得2cos 16y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()2cos 16g x x π⎛⎫ ⎝-⎪⎭=-，因为0x π≤≤，所以5666x πππ-≤-≤，所以cos 126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以2cos 26x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以()11g x ≤≤，所以()g x 在[]0,π上的值域为1,1⎡⎤⎣⎦.33．(1)5,24Z 0,4k k ππ⎛⎫⎪⎝⎭∈+(2)2【分析】（1）由三角函数的图象变换得到()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解；（2）由1(2)()2f x g x =，得出2cos 4sin 466x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得tan 46x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.（1）解：由题意将函数()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移8π个单位长度，可得()2cos 486g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2cos 43x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由4,Z 32x k k πππ-=+∈，可得5,Z 244k x k ππ=+∈，故()g x 图象的对称中心为5,24Z 0,4k k ππ⎛⎫⎪⎝⎭∈+．（2）解：由()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为1(2)()2f xg x =，可得2cos 4cos 4cos 4sin 463626x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin 46tan 426cos 46x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭．34．(1)最小正周期为π，7,,Z1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)5,Z 212k x k ππ=+∈【分析】（1）根据二倍角公式结合辅助角公式化简可得()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而求得周期，并代入单调递减区间求解即可；（2）根据函数图象平移的性质可得()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再代入正弦函数的对称轴方程求解即可.【详解】（1）()sin22sin 23f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为π.由3222,Z 232k x k k πππππ+≤+≤+∈，解得7,Z 1212k x k k ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为7,,Z 1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位，得到()g x 的图象，所以()2sin 22sin 23333g x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以函数()g x 的对称轴为2,Z 32x k k πππ-=+∈，解得5,Z 212k x k ππ=+∈35．(1)()2sin(23f x x π=+(2)(])2,12k ∈--⋃【分析】（1）根据图像得出T ，进而得出ω，由图可得A ，然后将点,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数解析式可求得ϕ的值，即可求解；（2）画出函数()y f x =的图像，函数()y f x k =-零点即函数()y f x =与y k =图像交点横坐标，结合图像可得出k 的取值范围，也可得出12x x +，进而求得12()f x x +.（1）解：由题中的图像知:2A =，43124T πππ=-=，所以T π=，22Tπω==，因为图像过点,212π⎛⎫⎪⎝⎭，所以22122k ππϕπ⨯+=+，Z k ∈，解得23k πϕπ=+，Z k ∈2πϕ<，3πϕ∴=函数解析式为()2sin(2)3f x x π=+；（2）列表得：作出函数()f x 在30,4π⎡⎤⎢⎣⎦上图像:函数()y f x k =-零点即函数()y f x =与y k =图像交点横坐标，如图可得：(])2,13,2k ∈--⋃，当)3,2k ⎡∈⎣时，122126x x ππ+=⨯=，则12()f x x +=()36f π=当(]2,1k ∈--时，12772126x x ππ+=⨯=，则12()f x x +=7()36f π=36．(1)6π(2)(]1,2【分析】（1）根据三角函数的性质可知，ππ6k θ-+=，再结合π02θ<<，即可解出；（2）由（1）知，()2cos2f x x =，根据三角变换法则可得()π2cos 316g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，原方程()2g x m --10=在ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有两个不同的根,αβ，等价于函数πcos 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与1y m =的图象在ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个交点，即可根据数形结合思想解出．（1）()π2cos 26f x x θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭是偶函数，ππ,6k k θ∴-+=∈Z ，ππ,6k k θ∴=-+∈Z ，π02θ<<，π6θ∴=．（2）由（1）知，()2cos2f x x =，由题意，()ππ2cos 312cos 31186g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()210g x m --=，π22cos 31106x m ⎛⎫∴++--= ⎪⎝⎭，即π1cos 36x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.π1cos 36x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭有两个不同的根,αβ，πcos 36y x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭与1y m =的图象在ππ,66⎡⎤-⎢⎣⎦上有两个交点，画出πcos 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,66⎡⎤-⎢⎣⎦上的图象，如图所示：由图可知，1112m≤<，解得12m <≤，m ∴的取值范围是(]1,2.37．(1)π(2)(,0]-∞【分析】（1）先化简得出的解析式，由周期公式可得答案（2）由图像的变换得到变换后()g x 的解析式，由题意只需()g x 的最小值大于等于21m -即可，求出()g x 的最小值即可.（1）由2()2cos cos 1cos 222sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以最小正周期为π；（2）将()f x 图像上所有点的横坐标缩短为到原来的12，纵坐标不变得2sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移12π个单位长度得到()2sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.要使()210g x m -+≥恒成立，只需()21g x m ≥-，只需()g x 的最小值大于等于21m -即可，由04x π≤≤，则54666x πππ-≤-≤1sin 4126x π⎛⎫∴-≤-≤ ⎪⎝⎭.所以()g x 的最小值为1-，则121m -≥-，得0m ≤，所以实数m 的取值范围是(,0]-∞..。

高一数学必修第一册2019(A版)_《三角函数的概念》基础训练

高一数学必修第一册2019(A版)_《三角函数的概念》基础训练

《三角函数的概念》基础训练一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.第6题为多选题，选对得5分，选错得0分，部分选对得2分）1.已知角α的终边经过点(2,1)P，则sinα等于（）A.5B.55C.5D.2552.若点(3,)P y是角α终边上的一点，且满足30,cos5yα，则tanα等于（）A.34B.34C.43D.433.已知cos tan0θθ，那么角θ是（）A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C第三或第四象限角 D.第一或第四象限角4.若三角形的两内角,αβ满足sin cos0αβ，则此三角形必为（）A.锐角三角形B钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都有可能5.已知角0360αα终边上一点的坐标为sin120,cos120，则α（）A.330B.300C.210D.1206.（多选）给出下列各函数值，其中符号为负的是（）A.sin 1000B.cos 2200C.tan(10)D.7sin cos1019tan7πππE.cos2二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）7.比较sin1和cos1的大小，结果是_____.（用“>”号连接）8.已知点M在角α终边的反向延长线上，且||2OM，则M的坐标为_____.三、解答题[本大题共2小题，每小题15分，共30分]9.化简下列各式.（1）75sin cos cos(5)tan 224ππππ;（2）22a b ab.sin810cos9002tan1125απ，求α的取值范围.10.已知点(sin cos,tan)Pααα在第一象限，若[0,2)参考答案一、选择题1.答案：B解析：因为角α的终边经过点(2,1)P ， 所以2,1,5x y r ， 所以15sin 55y r α. 2.答案：D 解析：2233cos 53y α， 22235,16y y ， 40,4,tan 3y y yx α. 3.答案：C 解析：由cos tan 0θθ知，cos θ与tan θ异号， 所以θ在第三或第四象限.4.答案：B解析：sin cos 0,,(0,)αβαβπ， sin 0,cos 0,αββ为钝角.三角形为钝角三角形.5.答案：A 解析：点sin120,cos120可转化为31,22，所以角α的终边在第四象限，且3tan 3y x α， 因为0360α，所以330α.6.答案：CE解析：1000336080， 1000角是第一象限角，sin(1000)0.2200636040,2200角是第四象限角， 7cos 220001032ππ， 10rad 角是第二象限角， 717tan(10)0sin 0,cos 0,tan 0109πππ，7sin cos 1002172tan 9πππππ，2rad 角是第二角限角，cos20.二、填空题7.答案：sin1cos1解析：如图，借助三角函数的概念可知sin1cos1.8.答案：(2cos ,2sin )αα解析：设(,)P x y 是角α终边上一点且||2OP ，则由三角函数的定义可得：sin ,cos 22y x αα，即2cos ,2sin ,x y αα点M 在角α终边的反向延长线上，且||2OM ，(,)M x y .故(2cos ,2sin )M αα.三、解答题 9. 答案：见解析解析：（1）原式3sin 2cos 2cos(23)tan 224πππππππ3sin cos cos 11011122πππ.（2）原式22sin 903602cos 18036022tan 453603)a b ab 22222sin 90cos1802tan 452()a b ab a b ab a b . 10. 答案：见解析解析：点P 在第一象限，sin cos 0,tan 0,ααα 即sin cos ,tan 0.ααα 结合三角函数的概念及02απ，可知42ππα或54ππα.。

高一数学必修第一册2019(A版)_高考通关练：三角函数的应用

高一数学必修第一册2019(A版)_高考通关练：三角函数的应用

高考通关练：三角函数的应用一、选择题1.已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图像不可能是（ ）A.B.C.D.答案：D解析：当振幅||1a >时，22||T a ππ=<，此时选项B 符合要求，而选项D 不符合要求.当||1a <时，22||T a ππ=>，此时选项A 符合要求.对于选项C ，当0a =时，显然符合要求.综上可知，函数()sin f x a ax =+l 的图像不可能是选项D 中的图像. 2.（2019·安徽淮南调考）动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间0t =时，点A 的坐标是12⎛ ⎝⎭，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）A.[0,1]B.[1,7]C.[7,12]D.[0,1]，[7,12] 答案：D解析：因为12T =，所以2126ππ=，从而可设y 关于t 的函数解析式为sin 6y t πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又0t =时，2y =，即sin 2ϕ=，不妨取3πϕ=， 所以sin 63y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以当22()2632k t k k ππππππ-++∈Z ，即125121()k t k k -+∈Z 时，该函数单调递增.因为012t ，所以函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12].3.（2019·石家庄二中月考）如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O 的距离s （单位：cm ）和时间t （单位：s ）的函数解析式为5sin 3s t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为（ ）A.2sB.1sC.12sD.14s 答案：B解析：由题意，知周期22T ππ==（s ）.单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为1s. 4.（2019·南昌九中月考）商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一期间某商场的人流量满足函数()504sin (0)2tF t t =+，则在下列时间段内人流量增加的是（ ） A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20] 答案：C 解析：由22222t k k ππππ-+，k ∈Z ，知函数()F t 的单调递增区间为[4,4]k k ππππ-+，k ∈Z .当1k =时，[3,5]t ππ∈，而[10,15][3,5]ππ⊆，故选C.5.（2018·重庆第一中学期末）已知简谐运动()2sin ||32f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为（ ） A.6T =，6πϕ= B.6T =，3πϕ=C.6T π=，6πϕ= D.6T π=，3πϕ=答案：A 解析：2263T πππω===.()f x 的图像过点(0,1)，1sin 2ϕ∴=. 22ππϕ-<<，6πϕ∴=.二、填空题6.一根细线的一端固定，另一端悬挂一个球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）之间的函数解析式是6sin 26s t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则小球开始摆动时，离开平衡位置_____cm ，小球离开平衡位置的最大距离是______cm ，小球来回摆动一次需要_______s. 答案：3 ， 6 ， 1解析：当0t =时，6sin 36s π==；max 6s =；212T ππ==. 7.图是一个单摆的振动图像，根据图像回答下面的问题：（1）单摆的振幅为______； （2）振动频率为_______.答案：（1）1cm （2）1.25Hz解析：由图像可知：单摆的振幅是1cm ；单摆的振动周期是0.8s ，所以111.250.8f T ===（Hz ）. 8.（2019·临川一中月考）示波器上显示的曲线是正弦曲线形状，记录到两个坐标(2,4)M 和(6,0)P ，已知M ，P 是曲线上相邻的最高点和平衡位置，则曲线的方程是__________.答案：4sin 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解析：由题意可设曲线方程为4sin()(0)y x ωϕω=+>.因为44T=，所以16T =，所以2168ππω==，所以4sin 8y x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又曲线经过点(2,4)M ， 所以2282k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，所以24k πϕπ=+，k ∈Z ，所以4sin 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.9.（2019·成都石室中学月考）一物体相对于某一固定位置的位移y （cm ）和时间t （s ）之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y （cm ）和时间t （s ）之间的关系的一个三角函数关系式为________.答案：54cos2y t π=-，0t 解析：设sin()y A t ωϕ=+，则从表中可以得到4A =，0.8T =，2250.82T πππω∴===，54sin 2y t πϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭. 又由4sin 4.0ϕ=-得sin 1ϕ=-，取2πϕ=-，故554sin 4cos 222y t t πππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，0t .三、解答题10.（2019·湖南岳阳一中期中）一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t（单位：s ）的函数关系是3sin 6s π⎫=+⎪⎪⎭，[0,)t ∈+∞.（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g≈980cm/2s ，要使小球摆动的周期恰好是1s ，则线的长度l 应当是多少？ 答案：见解析解析：（1）g l ω=22T πω∴==f = （2）若1T =s ，则224.8(cm)4g l π=≈.11.（2019·山东师大附中月考）如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8m ，圆环的圆心O 距离地面的高度为10m ，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点0P 处.（1）试确定在时刻t （min ）时蚂蚁距离地面的高度h （m ）；（2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面不低于14m ？答案：见解析解析：（1）设在时刻t （min ）时蚂蚁达到点P ，则以Ox 为始边，OP 为终边的角的大小为212262t t ππππ-=-，故P 点的纵坐标为8sin 62t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则8sin 10108cos 626h t t πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以在t 时刻时蚂蚁距离地面的高度108cos(0)6h t t π=-.（2）由（1）知108cos6h t π=-.令108cos146t π-，可得1cos62t π-， 所以2422()363k t k k πππππ++∈Z ，解得412812()k t k k ++∈Z ， 又012t ，所以48t .即在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4 min 蚂蚁距离地面不低于14m.。

相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

期末复习（七）——三角函数一．单选题 1．已知33cos()25πα+=，322ππα-<<-，则cos α的值等于( ) A ．45-B ．925-C ．4425-D ．39252．已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过6π后，终边交单位圆于1(3P -，)y ，则sin α的值为( )A B C D 3．函数()3sin()cos23f x x x π=+-+在[,]22ππ-上的最小值为( )A ．1-B ．38C ．78D ．14．已知2sin 5αα=，则2sin()cos()(36ππαα+++= ) A ．45-B ．25-C ．0D ．255．将函数2sin 2y x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位得到函数()f x 的图象．若5()()0412f f ππ-+=，则ϕ的值为( )A ．12πB ．8πC ．6π D ．3π 6．函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为( ) A ．[π，2]πB ．9[,)2ππ C ．139[,)122ππD ．917[,)88ππ 7．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a ，b R ∈，且0ab ≠，若()|()|4f x f π对一切x R∈恒成立，则( )A ．()()56f f ππ>B ．()4f x π+是奇函数 C ．3()()2f x f x π=-D ．()f x 在区间(0,2)π上有2个极值点8．已知函数()2sin()1(0f x x ωϕω=+->，(0,))ϕπ∈的图象与x 轴的两个交点的最短距离为3π．若将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到的新函数图象关于(0,1)-中心对称，则(ϕ= ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 二．多选题9．下列各式中，值为12的是( ) A ．22cos sin 1212ππ- B ．2tan 22.5122.5tan ︒-︒C ．2sin195cos195︒︒D10．已知函数()3sin(2)3f x x π=+，函数()g x 的图象由()f x 图象向右平移4π个单位长度得到，则下列关于函数()g x 的说法正确的有( )A ．()g x 的图象关于直线6x π=对称B ．()g x 的图象关于直线3x π=对称C ．()g x 在5[,]2424ππ-单调递增D ．()g x 在[,]63ππ-单调递减11．将函数()sin??(??0)f x x =>的图象向右平移4π单位长度，所得的图象经过点3(4π，0)，且()f x 在[0，1]4上为增函数，则??取值可能为( )A ．2B ．4C ．5D ．612．已知函数()sin(3)()22f x x ππϕϕ=--<<的图象关于直线4x π=对称，则( )A ．函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度得到的图象关于原点对称B ．函数()y f x =在[0，]4π上单调递增C ．函数()y f x =在[0，2]π有且仅有3个极大值点D ．若12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的最小值为23π 三．填空题13．已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α= ． 14．方程cos2sin 0x x -=在区间[0，]π上的所有解的和为 ． 15．方程1sin 2sin 33tan 2xx x=+在区间[0，2]π上的解为 ．16．设当x θ=时，函数()sin 3cos f x x x =+取得最大值，则cos()4πθ-= ．四．解答题17．已知函数2()cos 222x x xf x =+，[0x ∈，]π．（1）求函数()f x 的值域；（2）若方程()0)f x ωω=>在区间[0，]π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围． 18．设a 为常数，函数()sin 2cos(22)1()f x a x x x R π=+-+∈．（1）设a =()y f x =的单调递增区间及频率f ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．19．已知函数2()cos 2cos 1222x x xf x =-+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移6π个单位得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调增区间． 20．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<满足下列3个条件中的2个条件：①函数()f x 的周期为π；②6x π=是函数()f x 的对称轴；③()04f π=且在区间(,)62ππ上单调；（Ⅰ）请指出这二个条件并说明理由，求出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若[0,]3x π∈，求函数()f x 的最值．21．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示． （1）求()f x 的解析式；（2）设()()cos(2)16g x f x x π=+-+．若关于x 的不等式2()(32)()230g x m g x m -+--恒成立，求m 的取值范围．22．已知()2sin cos )cos()44f x x x x x ππ=+-+．（1）求函数()f x 的单调递减区间：（2）若函数()()42sin 2g x f x k x =--在区间7[,]1212ππ上有唯一零点，求实数k 的取值范围．期末复习（七）——三角函数答案1．解：因为33cos()25πα+=，所以3sin 5α=；又322ππα-<<-，所以4cos 5α==-．故选：A ． 2．解：顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过6π后，终边交单位圆于1(3P -，)y ，0y ∴>，且22191OP y =+=，求得y =，则sin()6y πα+==，1cos()63πα+=-，则11sin sin[()]sin()cos cos()sin 66666632ππππππαααα=+-=+-+=⨯， 故选：D ．3．解：()3sin()cos23f x x x π=+-+ 223sin 12sin 32sin 3sin 2x x x x =--++=-+ 2372(sin )48x =-+，[,]22x ππ∈-，sin [1x ∴∈-，1]， ∴当34six =时，7()8max f x =． 故选：C ．4．解：因为2sin 5αα=，可得1sin()35πα-=，则2112sin()cos()sin()cos()sin()sin()3632333555πππππππαααπααα+++=+-++-=----=--=-．故选：B ．5．解：将函数2sin 2y x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位得到函数()2sin(22)f x x ϕ=-的图象． 若5()()0412f f ππ-+=，则5()()124f f ππ=--，52sin(22)2sin[2()2)]2sin(2)1242πππϕϕϕ∴⨯-=-⨯--=+，即cos(2)cos23πϕϕ-=，1cos22cos22ϕϕϕ=，求得tan 2ϕ=，26πϕ∴=，12πϕ∴=， 故选：A ．6．解：当[0x ∈，2]时，,2444x πππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，()2sin()(0)4f x x πωω=+>的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，∴592[,)422πππω+∈，∴917[,)88ππω∈． 故选：D ．7．解：由题意函数()sin cos )f x a x b x x ϕ=+=+，其中a ，b R ∈，0ab ≠．因为()|()|14f x f π=，对一切x R ∈恒成立， 可知()14f π=±，所以42k ππϕπ+=+，k Z ∈，可得4k πϕπ=+，k Z ∈，可得4πϕ=，()sin()554f πππ+， ()sin()664f πππ+， 故()()56f f ππ>，或()()56f f ππ<， 故A 错误；因为()))4442f x x x x ππππ+=++=+=，又因为cos x 是偶函数，所以()f x 为偶函数，故B 错误；由35()sin())244f x x x πππ-=--，故C 错误；当(0,2)x π∈时，可得(44x ππ+∈，9)4π，可得())4f x x π=+有2个极值点，故D 正确． 故选：D ．8．解：函数()2sin()1(0f x x ωϕω=+->，(0,))ϕπ∈的图象与x 轴的两个交点的横坐标满足1sin()2x ωϕ+=， ()f x 的图象与x 轴的两个交点的最短距离为1233ππω=，2ω∴=，()2sin(2)1f x x ϕ=+-． 若将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到函数2sin(2)16y x πϕ=++-的图象，若得到的新函数图象关于(0,1)-对称，则6k πϕπ+=，k Z ∈，(0,)ϕπ∈，56πϕ∴=， 故选：D ．9．解：对于A ，22cos sin cos12126πππ-==对于B ，2tan 22.511tan 45122.522tan ︒=︒=-︒； 对于C ，12sin195cos195sin390sin302︒︒=︒=︒=；对于D =． 故选：BC ．10．解：函数()3sin(2)3f x x π=+，函数()g x 的图象由()f x 图象向右平移4π个单位长度得到，则函数()3sin(2)3sin(2)236g x x x πππ=-+=-． 令6x π=，求得3()2g x =，不是最值，故()g x 的图象不关于直线6x π=对称，故A 错误；令3x π=，求得()3g x =，是最值，故()g x 的图象关于直线3x π=对称，故B 正确；当[24x π∈-，5]24π时，2[64x ππ-∈-，]4π，()g x 单调递增，故C 正确； 当[6x π∈-，]3π时，2[62x ππ-∈-，]2π，()g x 单调递增，故D 不正确， 故选：BC ．11．解：将函数()sin??(??0)f x x =>的图象向右平移4π单位长度，可得sin()4y x ωπω=-的图象；根据所得的图象经过点3(4π，0)，∴344k ωπωππ-=，k Z ∈，2k ω∴=①． ()f x 在[0，1]4上为增函数，∴142πω⨯，则0??2π<②， 结合①②， 故选：ABD ．12．解：函数()sin(3)()22f x x ππϕϕ=--<<的图象关于直线4x π=对称，则342k ππϕπ⨯-=+，k Z ∈，4πϕ∴=，函数()sin(3)4f x x π=-． 函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度，得到3sin(3)sin3124y x x ππ=+-=的图象，显然所得图象关于原点对称，故A 正确；当[0x ∈，]4π，3[44x ππ-∈-，]2π，故函数()y f x =在[0，]4π上单调递增，故B 正确；当[0x ∈，2]π，3[44x ππ-∈-，23]4π，故当342x ππ-=，52π，92π时，函数()f x 取得最大值，故C 正确；若12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的最小值为()f x 的半个周期，即12233ππ⨯=，故D 错误，故选：ABC ．13．解：由12sin2cos2αα-=，得1cos22sin2αα-=， 即22sin 4sin cos ααα=； 又(0,)απ∈，所以sin 0α≠， 所以sin 2cos 0αα=>；由22222sin cos (2cos )cos 5cos 1ααααα+=+==，解得cos α=．14．解：2cos2sin 12sin sin 0x x x x -=--=， 即22sin sin 10x x +-=， 故(2sin 1)(sin 1)0x x -+=， 由于[0x ∈，]π解得：56x =或56π． 所以566πππ+=． 故答案为：π．15．解：原方程右边21sin 21cos 2223sin 2333cos 2x x sin xx x+-=+==，故原方程可化为：222sin 3sin xx -=，即22sin 3sin 20x x +-=，解得()122sinx sinx ==-或舍，故[]1,0,22sinx x π=∈又，∴566x ππ=或． 故答案为：566ππ或． 16．解：当x θ=时，函数()sin 3cos )f x x x x x =+= 取得最大值，cos θ∴=，sin θ=，sin 3cos θθ∴+=则cos()sin 4πθθθ-=+=． 17．解：（1）函数2()cos 2sin()2224x x x f x x x x π=+=+，当[0x ∈，]π，[44x ππ+∈，5]4π，sin()[4x π+∈1]，故()2sin()4f x x π=+的值域为[2]．（2）方程()0)f x ωω=>在区间[0，]π上至少有两个不同的解，即sin()4x πω+=在区间[0，]π上至少有两个不同的解．[44x ππω+∈，]4πωπ+，sin 3π，2sin 3π=， 243ππωπ∴+，解得512ω．18．解：（1）因为a =()sin 2cos(22)1f x a x x π=+-+2cos212sin(2)16x x x π=++=++， 令2[2,2]622x k k k Z πππππ+∈-+∈，解得[,]36x k k k Z ππππ∈-+∈， 所以函数的单调递增区间为[,]36k k k Z ππππ-+∈， 函数是频率212f ππ==； （2）因为函数是偶函数，则()()f x f x -=，即sin(2)cos(22)1sin 2cos(22)1a x x a x x ππ-+++=+-+， 即sin2cos2sin2cos2a x x a x x -+=+，所以0a =， 所以()cos21f x x =+，当x R ∈时，cos2[1x ∈-，1]， 所以cos21[0x +∈，2]，故函数()f x 的值域为[0，2]．19．解：（1）函数2()cos 2cos 1cos 2sin()2226x x x f x x x x π=-+=-=-， 所以函数()f x 的最小正周期为2π．（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短为原来的12倍（纵坐标不变）， 得到()2sin(2)6h x x π=-的图象， 再向左移动6π个单位得()2sin(2)2sin(2)366g x x x πππ=+-=+的图象， 令222262k x k πππππ-++，求得36k x k ππππ-+，可得函数()g x 的单调增区间为[3k ππ-，]6k ππ+，k Z ∈． 20．解：（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=．由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈．由③得，44m m πωπωϕπϕπ+=⇒=-，m Z ∈，220322633Tπππππωω-=⇒⇒<． 若①②成立，则2ω=，6πϕ=，()sin(2)6f x x π=+． 若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意．若②③成立，则12()66264k m m k ππωπωππω+-=-⇒=--，k Z ∈与③中的03ω<矛盾，所以②③不成立． 所以，只有①②成立，()sin(2)6f x x π=+． （Ⅱ）由题意得，5102()136662x x f x ππππ⇒+⇒， 所以，当6x π=时，函数()f x 取得最大值1；当0x =或3x π=时，函数()f x 取得最小值12． 21．解：（1）由图可知2A =，35346124T πππ=-=，解得T π=，所以22Tπω==，所以()2cos(2)f x x ϕ=+； 因为()f x 的图象过点5(6π，2)，所以52cos(2)26πϕ⨯+=，解得523k πϕπ=-，k Z ∈； 因为0ϕπ<<，所以3πϕ=， 所以()2cos(2)3f x x π=+；（2）由（1）可得()2cos(2)cos(2)136g x x x ππ=++-+2cos(2))133x x ππ=++++ 4sin(2)136x ππ=+++ 4cos21x =+；设()t g x =，因为1cos21x -，所以3()5g x -； 又因为不等式2()(32)()230g x m g x m -+--恒成立， 即2()(32)230h t t m t m =-+--在[3-，5]上恒成立， 则(3)0(5)0h h -⎧⎨⎩，即93(32)230255(32)230m m m m ++--⎧⎨-+--⎩， 解得112m -， 所以m 的取值范围是1[2-，1]．22．解：因为()2sin cos )cos()44f x x x x x ππ=+-+sin 2)cos()sin 2)442x x x x x πππ=+++=+sin 22sin(2)3x x x π==+，（1）令32[2,2]322x k k k Z πππππ+∈++∈， 解得7[,]1212x k k k Z ππππ∈++∈， 故函数()f x 的单调递减区间为7[,]1212k k k Z ππππ++∈； （2）函数()g x 在区间7[,]1212ππ上有唯一零点， 等价于方程()0g x =即()2(2sin 2)f x k x =+在7[,]1212ππ上有唯一实数根，所以12sin(2)sin 2sin 2cos(2)326k x x x x x ππ=+-=-+=+， 设()cos(2)6h x x π=+，7[,]1212x ππ∈，则42[,]633x πππ+∈， 根据函数()h x 在7[,]1212x ππ∈上的图象，要满足2y k =与()y h x =有唯一交点， 只需11222k -<或21k =-，解得1144k -<或12k =-， 故实数k 的取值范围为111(,]{}442--．。

相关文档
最新文档