模糊数学(第七讲)

∞
其中 I ( λ ) = [i1 ( λ ) , i2 ( λ )].
9
目录
2.3.5 模糊数运算法则 (i) 区间数的运算法则 定义2.3.4 设∗∈L={＋,－, · ,÷,∨, ∧} 定义 ＋－ ÷∨ 上的二元运算, 为R上的二元运算 A=[ a, b ], B=[ c, d ]为R中 上的二元运算 为 中 两个区间,则∀z∈R,有 两个区间 则 ∈ 有 ([a, b] ∗[c, d])(z)=∨x∗y=z ([a, b](x)∧[c, d](y)) ∨∗ ∧ 可证明: 可证明 [a, b] ∗[c, d]={x ∗ y | x ∈[a, b],y ∈[c, d]}
5
2.3.3 模糊数及其性质 定义2.3.3 设A∈F(R),若∀λ∈( 0,1 ], Aλ为R中 定义 ∈ 若 ∈ 中 有限闭区间,则称 则称A为 上的一个模糊数; 上的一个模糊数 有限闭区间 则称 为R上的一个模糊数 若A为模 为模 糊数,且 则称A是关于 糊数 且A1=kerA={a},则称 是关于 的严格模糊数 则称 是关于a的严格模糊数. 上的全体有限闭区间(称为区间数 记R- 为R上的全体有限闭区间 称为区间数 所 上的全体有限闭区间 称为区间数)所 成之集,而记 而记R 上的全体模糊数所成之集. 成之集 而记 ~为R上的全体模糊数所成之集 上的全体模糊数所成之集 显然, 如果我们把实数a与单点集 等同看待, 与单点集{a}等同看待 显然 如果我们把实数 与单点集 等同看待 则 实数⇒ 区间数⇒ 凸模糊集⇒ 实数⇒ 区间数⇒ 模糊数 ⇒凸模糊集⇒模糊集 这里c(R)表示 上的全体凸模 表示R上的全体凸模 即R⊂R-⊂R~⊂c(R)(这里 ⊂ 这里 表示 糊集所成之集). 糊集所成之集
10
目录
下面就算符 的不同形式给出区间数的各种运算 (1) [ a, b ]+[ c, d ]= [ a+c, b+d ] (2) [ a, b ]－[ c, d ]= [ a－d, b－c ] － － － (3) [ a, b ] · [ c, d ]= [ p, q ], 其中p=min{ ac, bc, ad, bd}, 其中 q =max{ac, bc, ad, bd} (4) [ a, b ] ÷[ c, d ]= [ p,q ],其中 其中p=min{ a/c, b/c, a/d, b/d}, 其中 q =max{a/c, b/c, a/d, b/d}, (5) [ a, b ]∨[ c, d ]= [ a ∨ c, b ∨ d ] ∨ (6) [ a, b ]∧[ c, d ]= [ a ∧ c, b ∧ d ] ∧
第二章 模糊映射与模糊数
第七讲 2.3 模糊数及其运算 续) 模糊数及其运算(续
1
§2.3 模糊数及其运算
2.3.1 凸模糊集及其性质 为实数集, 如果对R中 定义2.3.1 设R为实数集 A∈F(R), 如果对 中 为实数集 ∈ 定义 满足x<y<z的任意实数 y和z都有 满足 的任意实数x, 和 都有 A(y)≥min( A(x), A(z)) 则称A为 上的 上的凸模糊集 则称 为R上的凸模糊集 .
12
设近似于2的模糊数为 例2.3.2 设近似于 的模糊数为
∫2 x x 求 : 2 + 2 , 2 − 2 , 2 ⋅ 2 , 2 ÷ 2.
2 =
1
∫
2
( x − 1)
+
3
(3 − x )
,
解 : (见 黑 板 )
13
目录
例2.3.3 设 T(a,σ), T(a1,σ1),和T(a2,σ2) 均 σ σ 和 σ 为 三角模糊数, 三角模糊数 k > 0 ,求T(a1,σ1)+T(a2,σ2) , 求 σ σ k·T(a,σ). σ
11
(ii) 模糊数的运算法则 定义2.3.5 设 p, q∈R~, ∗∈L={＋,－,·,÷,∨, ∈ ＋－ ÷∨ 定义 ∧}则根据分解定理可定义模糊数的运算为 则根据分解定理可定义模糊数的运算为 (1) p ∗ q = ∪λ∈[ 0,1 ] λ(pλ ∗qλ), 其隶属函数为 ∈ (p ∗ q)(z) = ∨x∗y=z [p(x) ∗q(y)] ∗ 其中x, 其中 y, z∈R ∈ (2) 设 k为非负实数 r∈ R~, 则k与r的乘积为 为非负实数, 为非负实数 ∈ 与 的乘积为 k · r = ∪λ∈[ 0,1 ] λ(k ·rλ) ∈ 其隶属函数为 (k · r)(x) = ∨k · y=x r(y) x, y∈R ∈
n =1
∞
}
∩ Aλn ≠ Ο.由此推知 ∃ x 0 ∈ Aλ0 , 即 A( x 0 ) = A .所以 A 是可达的。 /
目录
利用定理2.3.6,可证如下模糊数的截集运算性质 可证如下模糊数的截集运算性质. 利用定理 可证如下模糊数的截集运算性质 定理2.3.7 设p, q∈ R~ ,则 k >0 , λ∈( 0,1 ], 则 定理 ∈ 则 ∈ (1) (p+q)λ = pλ +qλ ; (2) (p－q)λ = pλ － qλ ; － (3) (p·q)λ = pλ·qλ ; (7) (k·p)λ = k·pλ; (4) (p÷q)λ = pλ ÷qλ ; ÷ (5) (p∨q)λ = pλ∨qλ ; (6) (p∧q)λ = pλ∧qλ ; ∨ ∧
(1) (2)
r = ∪ λ I (λ ) ∈ R ~ ;
λ ∈[ 0,1]
(3)
1 ∀ λ ∈ (0,1], rλ = ∩ I ( λ n ), 其中 λ n = 1 − λ , n ∈ N = {1, 2, L}; n =1 n +1 1 , x ∈ [i1 (1) , i2 (1)], r的隶属函数为 r ( x ) = ∨{λ ∈ (0,1) | i1 ( λ ) ≤ x} , x < i1 (1) , ∨{λ ∈ (0,1) | i ( λ ) ≥ x} , x > i2 (1) . 2
n→∞
x∈/ R
λ 0 = ∨ λ n ⇒ Aλ
n =1
∞
∞
0
= A
从而A 由于λ 由于 n <λ0 ,故 Aλ ≠ ,从而 n为有限闭区间 且 故 从而 为有限闭区间,且 Ο / n
n =1
∨ λ n =1
∞
{A
n
λn
| n ∈ N是闭区间套 因此 是闭区间套,
17

= ∩ Aλn
14
目录
因为∀ ∈ 解: 因为∀λ∈(0,1 ],有 有 T( a,σ)λ=[a－σ (1－λ), a+σ (1－λ)]. σ － － σ － 所以由定义2.3.5知 知 所以由定义 (1) T(a1,σ1)+T(a2,σ2) = ∪λ∈[ 0,1 ]λ[T(a1,σ1)λ +T(a2,σ2)λ ] σ σ σ σ ∈ = ∪λ∈[ 0,1 ]λ{[a1－σ1 (1－λ), a1+σ 1 (1－λ)]+ － σ － ∈ [a2－σ 2 (1－λ), a2+σ 2 (1－λ)]} － σ － = ∪λ∈[ 0,1 ] λ[a1+a2－(σ1+σ2 )(1－λ), a1+a2 +(σ1+σ2 )(1－λ)] σ σ － σ σ － ∈ = T(a1+a2,σ1+σ2). σ σ (2) k·T(a,σ) = ∪λ∈[ 0,1 ]λ{k· [a－σ (1－λ), a+σ (1－λ)]} σ － － σ － ∈ = ∪λ∈[ 0,1 ]λ{ [k·a－k·σ (1－λ), k·a+k·σ (1－λ)]} － σ － σ － ∈ = T(k·a, k·σ) σ
7
定理2.3.3 A∈ R~ iff ∀λ∈( 0,1 ], Aλ为非空有 定理 ∈ ∈ 界闭凸集. 界闭凸集 为偶函数, 设r∈R~,若∃a∈R s.t. r(x+a)为偶函数 则称 r ∈ 若 ∈ 为偶函数 对称模糊数. 是对称模糊数
8
2.3.4 模糊数表现定理 定理2.3.4 设 I ∈ R − ，则 定理
18
目录
证明: 根据定理2.2.4(2)(见P35),欲证结论 成立 只需 欲证结论(1)成立 证明 (1)根据定理 根据定理 见 欲证结论 成立,只需 即可. 证∀z∈R, ∃x0∈R, s.t. (p+q)(z) = p(x0)∧q(z－x0)即可 ∈ ∧ － 即可 事实上,由模糊数的加法运算知 事实上 由模糊数的加法运算知 (p+q)(z) =∨x+y=z[p(x)∧q(y)]= ∨x∈R [p(x)∧q(z-x)] ∨ ∧ ∧ ∈ 由定理1.4.2(见P12)知 (p∩r)λ= 令r(x)=q(z-x),则∀λ∈( 0,1 ],由定理 则 ∈ 由定理 见 知 pλ∩rλ.由于 λ和rλ都是有限闭区间 故(p∩r)λ为有限闭区间 由于p 都是有限闭区间,故 由于 或空集,从而由定理 从而由定理2.3.6知 ∃x0∈R使 或空集 从而由定理 知 使 p(x0)∧q(z－x0)= ∧ －
2
目录
性质2.3.1 A∈F(R)为凸模糊集当且仅当∀λ∈[ 0,1 ], 为凸模糊集当且仅当∀ 性质 ∈ 为凸模糊集当且仅当 ∈ Aλ为区间 为区间.
性质2.3.2 若A, B∈F(R )均为凸模糊集 则A∩B 均为凸模糊集,则 性质 ∈ 均为凸模糊集 也是凸模糊集. 也是凸模糊集
3
2.3.2 凸模糊集表现定理 定义2.3.2 若映射 若映射I:[0, 1] →P(R)满足 满足 定义 (i) 0≤λ1 <λ2 ≤1 ⇒ I(λ2 )⊆I(λ1 ); ⊆ (ii) ∀λ∈[ 0,1 ], I(λ)为R的子区间 的子区间;. ∈ 为 的子区间 则称I为的区间套. I(R)为R的全体区间套之 则称I为的区间套. 记I(R)为R的全体区间套之 为的区间套 集. 显然, 区间套必为集合套, 显然 区间套必为集合套 故I(R) ⊆v(R).